aplicacao de bombas

CÁLCULO E SELEÇÃO DE BOMBAS E TUBULAÇÕES

JOÃO BATISTA APARECIDO [email protected]

JUNHO DE 2006.

CCCÁÁÁLLLCCCUUULLLOOO EEE SSSEEELLLEEEÇÇÇÃÃÃOOO DDDEEE BBBOOOMMMBBBAAASSS EEE TTTUUUBBBUUULLLAAAÇÇÇÕÕÕEEESSS

1. PRINCÍPIOS DE TERMODINÂMICA E MECÂNICA DE FLUIDOS. 1.1 Definição de fluido.

A matéria existe em quatro estados de agregação: sólido, líquido, vapor (gases) e plasma. Quando a matéria está em estado líquido e gasoso pode ser genericamente chamada de fluido. Fluido são todas substâncias ou misturas de substâncias que não possuem forma definida e quando submetidas a tensões de cisalhamento não nulas deformam-se indefinidamente. 1.2 Propriedades dos fluidos.

As principais propriedades termodinâmicas de um fluido são:

p pressão Pa = N/m2

T temperatura K, oC ρ densidade kg/m3

µ viscosidade dinâmica kg /(m×s) ν viscosidade cinemática m2/s

As propriedades termodinâmicas de um fluido definem o seu estado de existência. 1.3 Volume de Controle O volume de controle é um volume definido no espaço em conformidade com o interesse da análise. Pode coincidir ou não com um volume físico. A superfície do volume de controle é conhecida como superfície de controle. 1.4 Equação da continuidade. Para um volume de controle em um escoamento em regime permanente a soma dos fluxos de massa que entram é igual à soma dos fluxos de massa que saem. Este é o princípio da conservação da massa, e pode ser expresso pela seguinte fórmula

Criado no ano 2000, modificado em 21/6/2006, impresso (*.pdf) em 1

&&m mee

ss

∑ ∑= . (1.1)

Quando existe apenas uma entrada e uma saída em um volume de controle, a fórmula acima reduz-se a

& & & &m m m m Q Qe s e e s= s= ⇒ = =ρ ρ , (1.2a,b)

ou seja o fluxo de massa que entra é igual ao que sai. Os fluidos líquidos são incompressíveis, e os gases, embora fluidos compressíveis, comportam-se como fluidos compressíveis até número de Mach ≈ 0,5. Assim vamos considerar o fluido de trabalho incompressível, ou seja com a densidade constante. Portanto, a equação (12b) torna-se

21/6/2006 17:56 Autor: João Batista Aparecido - [email protected]


& ,&

m Q Qm

Q Qe e s s e s e s= = = = ⇒ = = =ρ ρ ρ ρ ρρ

Q , (1.3a-c)

assim, a vazão Q que entra no volume de controle é igual à que sai. 1.5 Equação da Energia No volume de controle, com múltiplas entradas e saídas mencionado acima, a equação da energia torna-se

& & ( ) & ( ) &Q W+ + + + = + + + +∑ ∑m up V

gz m up V

gze ee e

ee

s ss s

ssρ ρ

2 2

2 2 (1.4)

Para volumes de controle com apenas uma entrada e uma saída, o fluxo de massa que entra é igual ao que sai, conforme estabelecido na equação (1.2a). Nesta condição, a equação acima torna-se

&

&

&

&

Q Wm

up V

gz up V

gzme

e ee s

s ss+ + + + = + + + +

ρ ρ

2 2

2 2. (1.5)

A equação da energia acima indica que o fluxo de calor mais o fluxo de energia térmica ou mecânica que entra no volume de controle é igual ao trabalho mais o fluxo de energia térmica ou mecânica que sai do volume de controle. 1.6 Queda de pressão ao longo de uma tubulação. Um trecho de tubulação sem ramificações apresenta apenas uma entrada e uma saída, adicionalmente não produz nem consome trabalho de eixo ( . Neste caso a equação (1.5) pode ser usada e torna-se

& )W ≡ 0

p V

gzp V

gz u um

e ee

s ss s eρ ρ

+ + = + + + − −2 2

2 2[( )

&

&]

Q. (1.6)

Os termos do lado esquerdo da equação da energia, adaptada ao escoamento em um segmento de tubo, compõem a energia mecânica (energia de pressão, energia cinética e energia potencial). Do lado direito da equação tem-se também os termos da energia mecânica, entretanto tem-se mais um segundo termo que é exatamente a parcela de energia que transformou-se da forma mecânica para a forma térmica, quer seja na forma de variação de energia interna (us-ue) ou como fluxo de calor. Este termo em geral é chamado de perda de carga, no entanto trata-se apenas de um conversão de energia da forma mecânica para a forma térmica devido às irreversibilidades termodinâmicas ocorridas no escoamento entre a entrada e a saída do tubo. Assim, preferimos chamar esta perda de carga, simplesmente de queda de pressão no caso de escoamentos em tubos. No caso de escoamento em tubos de seção transversal constante e circular esta queda de pressão pode ser calculada como segue

2Criado no ano 2000, modificado em 21/6/2006, impresso (*.pdf) em 21/6/2006 17:56 Autor: João Batista Aparecido - [email protected]


hg

u um

fLD

Vgs e≡ − − ≡

12

2[( )

&

&]

Q. (1.7)

onde h Queda de pressão m f Fator de atrito adimensional L Comprimento do trecho de tubo m D Diâmetro interno do tubo m V Velocidade média do escoamento m/s g Aceleração da gravidade m/s2

Com a definição da queda de pressão h, a equação (1.6) torna-se

p V

gzp V

gz ghe ee

s ssρ ρ

+ + = + + +2 2

2 2. (1.8)

O fator de atrito f que depende do número de Reynolds e da rugosidade relativa da tubulação, pode ser obtido a partir do diagrama de Moody, mostrado abaixo.

Figura 1.1-Diagrama de Moody A rugosidade relativa ε/D depende do material de fabricação, do processo de fabricação e do diâmetro da tubulação. Na figura abaixo tem-se rugosidades relativas para algumas combinações destas grandezas.



Figura 1.2-Rugosidade relativa (ε/D) para alguns tipo de materiais e processos de fabricação, em função do diâmetro da tubulação (D).



2. Seleção e Especificação de Máquinas de Fluxo. . 2.1 Instalação de bombeamento genérica. Na Figura 2.1 apresenta-se uma instalação típica de bombeamento. Existem dois reservatórios, o sucção e o de recalque. O ponto 1 está na superfície do reservatório de sucção, e o 2 na superfície do reservatório de recalque. Na figura estes reservatórios estão fechados, no entanto também podem ser a céu aberto, tal qual um lago ou um rio. A única diferença seria a pressão nos reservatórios. Naqueles abertos a pressão é igual à pressão ambiente, nos fechados a pressão poderá ser diferente da do meio externo. Nestas instalações tem-se também a tubulação de sucção e a de recalque. A de sucção liga o reservatório de sucção até a entrada da bomba. A de recalque liga a saída da bomba até o reservatório de recalque. Existe ainda a bomba, que realiza o efeito de movimentar o fluido de trabalho, e os acessórios, tais como: válvulas de pé, válvulas de retenção, válvulas de gaveta, válvulas globo, curvas, manômetros e vacuômetros. A instalação elétrica, não mostrada na figura, pode ser razoavelmente grande para modelos de bomba com potências elevadas.

Figura 2.1-Instalação de bombeamento genérica, contendo os tanques e a

tubulação de sucção e de recalque, a bomba e demais acessórios.

2 z2

1

z1

zs

ze

2.2 Queda de pressão ao longo da linha de sucção. Aplicando a equação (1.8) entre o nível do reservatório de sucção e a entrada da bomba, obtém-se a equação a seguir que relaciona a energia mecânica nestes pontos e a queda de pressão hps no trecho de sucção

p V

gzp V

gz ghe ee p

1 12

1

2

2 2ρ ρ+ + = + + + s , (2.1)

e por conseguinte a pressão na entrada da bomba, pe



p p V

gzV

gz ghp V V

g z z ghe ee ps

eeρ ρ ρ

= + + − + +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥= +

−+ − −1 1

2

1

21 1

2 2

12 2 2( ) ps (2.2)

2.3 Queda de pressão ao longo da linha de recalque. Usando a equação (1.8) entre a saída da bomba e o ponto 2 na superfície líquida do reservatório de recalque, obtém a relação entre as energias mecânicas nestes pontos e a queda de pressão hpr para este trecho da tubulação

p V

gzp V

gz ghs ssρ ρ

+ + = + + +2

2 22

22 2 pr , (2.3)

e portanto obtém-se também a pressão na saída da bomba, ps

p p V

gz ghV

gzp V V

g z z ghspr

ss

ssρ ρ ρ

= + + + − +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥= +

−+ − +2 2

2

2

22 2

2 2

22 2 2( ) pr (2.4)

2.4 Balanço de energia na bomba. Aplicando a equação da energia (1.5), entre a entrada e a saída de uma bomba, resulta a equação a seguir que relaciona as energias mecânicas de entrada e saída da bomba, o fluxo de calor , a potência consumida do meio , e o salto de energia interna (u&Q &W s-ue)

&

&

&

&(

Q Wm

p Vgz

p Vgz

mu ue e

es s

s s+ + + = + + + + −ρ ρ

2 2

2 2)e . (2.5)

2.5 Rendimento global da bomba. A equação (2.5) pode ser re-arranjada da seguinte maneira

p V

gzp V

gzm

m u ue ee

s ssρ ρ

+ + = + + + − + −2 2

2 21&

[ & & & (W Q s e )] , (2.6)

ou ainda p V

gzp V

gzm

m u ue ee

s ss

e sρ ρ

+ + = + + + −+ −2 2

2 21

&

&[

& & ( )& ]

W QW

. (2.7)

Definindo, em conformidade com a Segunda Lei da Termodinâmica, o rendimento global da bomba como sendo

η ≡ −+ −

1& & ( )

&Q

Wm u ue s , (2.8)

a equação (2.7) torna-se



p V

gzp V

gzQ

e ee

s ssρ ρ

ηρ

+ + = + + +2 2

2 2

&W. (2.9)

2.6 Potência de acionamento da bomba. Uma expressão para a potência de acionamento da bomba pode ser obtida a partir da equação (2.9), resultando em

&W = + + − + +⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

ρη ρ ρQ p V

gzp V

gze ee

s ss

2 2

2 2, (2.10a)

ou ainda

& (W = −−

+−

+ −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

ρη ρQ p p V V

g z zs e s es e

2 2

2) . (2.10b)

2.7 Altura manométrica da bomba. A altura manométrica da bomba pode ser definida como a carga em termos de diferença de pressão a que está submetida a bomba. Assim, podemos obter a diferença de pressão entre a entrada e a saída da bomba, subtraindo as equações (2.4) e (2.2), resulta

p p p p V V V Vg z z g z z g h hs e e s

e s ps pr−

=−

+−

+−

+ − + − + +ρ ρ

2 1 22

12 2 2

2 12 2( ) ( ) ( ) (2.11)

A altura manométrica H, é então definida como sendo a relação entre o salto de pressão entre a entrada e a saída da bomba (ps-pe) e o peso específico do fluido bombeado (γ = ρg). Tomando o salto de pressão na bomba (ps-pe) fornecido na equação (2.11), resulta

Hp p

gp p

gV V

gV V

gz z z z h hs e e s

e s ps pr≡−

=−

+−

+−

+ − + − + +ρ ρ

2 1 22

12 2 2

2 12 2( ) ( ) ( ) . (2.12)

Substituindo-se a equação (2.11) para o salto de pressão na bomba (ps-pe), na equação (2.10b), obtém outra fórmula para o cômputo da potência de acionamento da bomba

& ( ) (W = −−

+−

+ − + +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

ρη ρQ p p

gV V

gz z h hps pr

2 1 22

12

2 12) , (2.13a)

a qual ainda pode ser re-arranjada para abrigar o conceito de altura manométrica H, como segue

& ( ) (W = − +−

+ −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥= − +

−+ −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

ρη

ρη

QgH

V Vg z z

gQH

V Vg

z zs es e

s es e

2 2 2 2

2 2) . (2.13b)



2.8 NPSH (Net Positive Suction Head). Caso a pressão do escoamento na entrada da bomba (pe) atinja a pressão de vapor (pv), haverá cavitação e o rotor será rapidamente destruído. Eventualmente outras partes, tais como a tubulação próxima da sucção da bomba, e a carcaça da bomba na região de sucção, também serão destruídas. A solução deste problema é mais preventiva do que curativa, assim é necessário que a pressão na entrada da bomba nunca atinja a pressão de vapor, ficando sempre acima daquele valor. Desta forma haverá um salto de pressão entre a pressão na entrada da bomba e a pressão de vapor do fluido à temperatura de trabalho (pe-pv). Esta diferença de pressão pode ser obtida subtraindo pv/ρ da equação (2.2)

p p p p V V

g z z ghe v v ee

−=

−+

−+ − −

ρ ρ1 1

2 2

12( ) ps , (2.14a)

o NPSH disponível do escoamento NPSHdisp é então definido como a relação entre o salto de pressão (pe-pv) e o peso específico do fluido (γ = ρg), conforme a seguinte fórmula

pse1

21v1

2eve

disp h)zz(g2

Vgpp

g2V

gpp

NPSH −−++−

=+−

≡ρρ . (2.14b)

Para que a cavitação na ocorre o NPSH disponível no escoamento NPSHdisp tem que ser maior ou igual ao NPSH requerido pela bomba, o NPSHreq, portanto

NPSH NPSHdisp req≥ . (2.14c)

O NPSH requerido pode ser obtido dos catálogos do fabricante. Caso não esteja disponível pode ser estimado por formulação corrente na literatura correlata. 2.9 Altura de sucção. Para evitar a cavitação é necessário que a energia de pressão na entrada da bomba esteja ligeiramente acima daquela da pressão de vapor à temperatura de trabalho. Assim, faz-se necessário que o NPSH disponível no escoamento seja maior ou igual aquele requerido pela bomba, conforme estabelecido na equação (2.14c). Para atender esta restrição será necessário fazer algumas restrições na tubulação de sucção, uma delas é a altura de sucção, o desnível entre a entrada da bomba (ze) e o nível do líquido no reservatório de sucção (z1). Tomando as equações (2.14b,c), tem-se

reqpse1

21v1

disp NPSHh)zz(g2

Vgpp

NPSH ≥−−++−

=ρ

, (2.15a)

desta forma, usando a equação (2.15a) pode-se definir a altura máxima de sucção hs (para que não ocorra cavitação), como segue



psreq

21v1

1es hNPSHg2

Vgpp

)zz(h −−+−

≤−≡ρ

. (2.15b)

2.12 Seleção e especificação de bombas. A seleção e especificação de bombas abriga muitas possibilidades práticas. De um modo geral deseja-se transportar um fluido de um local para outro. Às vezes conhece-se as instalações e deseja-se estimar qual a vazão está sendo bombeada. Outras vezes deseja-se bombear uma vazão especificada e necessita-se definir a bomba e as tubulações necessárias. Ainda é possível que tendo-se a bomba ou a tubulação já definidos, calcular aquele parte que for desconhecida, e ainda atingir uma vazão desejada. Enfim as possibilidades são muitas, abaixo apresentamos algumas destas variantes. 2.12.1 Exemplos característicos. Exemplo-1: Cálculo de uma instalação de bombeamento e seleção da bomba, conhecido o diâmetro da tubulação.

Deseja-se bombear água entre dois reservatórios mostrados, na Figura abaixo, com vazão de 300m3/hora. A tubulação disponível, de aço galvanizado Standard, tem φ10” de diâmetro nominal. Escolher a bomba adequada para realizar o serviço. Considera-se que a temperatura ambiente é de 30oC.

3m

5m

25m

10m

Figura 2.2-Layout da tubulação e comprimento dos tubos.

Os acessórios, mínimos, necessários são uma válvula do tipo gaveta, uma válvula de

retenção, tipo basculante, instaladas logo após a bomba, na tubulação de recalque, e dois cotovelos de 90º. Para uma tubulação de diâmetro φ250mm (φ10”), o comprimento equivalente de cada um dos acessórios e elementos de ligação é:

Item Quantidade Descrição Comprimento equivalente unitário (m)

Comprimento equivalente por item (m)



1 1 Válvula de pé com crivo 65,00 65,002 2 Curva longa, 90o 5,50 11,003 1 Válvula de gaveta (aberta) 1,70 1,704 1 Válvula de retenção (pesada) 32,00 32,005 1 Saída de canalização 7,50 7,50

Comprimento equivalente total, Leq (m) ⇒ 117,20 O comprimento de tubo reto, conforme a Figura acima é L = 43m; assim o comprimento total de tubo (Lt) será

L m mt = m+ =43 00 117 20 160 20, , , . A perda de carga total (h) na tubulação é calculada por

h fLD

Vg

t=2

2

onde f é o coeficiente de atrito;

D é o diâmetro interno da tubulação; V é a velocidade média do escoamento.

Para tubulação de aço com D = 254,5mm, na Figura X.2, tem-se a rugosidade relativa ε/D

ε / ,D = 0 000589 . A velocidade média para este escoamento e a viscosidade cinemática da água são

VQA

m sm

ems

ms= = = =

300 36000 2545 4

1 638 0 00000083

22/

( , ) /, ,

πν ,

consequentemente o número de Reynolds será

Re, ,

,= = = =ρµ νVD VD mm

sm

s

1 638 0 2545

0 00000085210892 .

Do Diagrama de Moody, para a rugosidade relativa ε/D = 0,000589 e Re = 521089 obtém-se o fator de atrito f

f = 0 017, . Com o fator de atrito, a velocidade média, e o comprimento equivalente calculados pode-se obter a perda de carga na tubulação

h fLD

Vg

mm

m sm s

h mt= =×

⇒ =2 2

220 017

160 20 2545

1 6382 9 81

1 46,,

,( , / )

, /,



A altura manométrica (H) será então

H m m m m≈ + = ≈28 00 1 46 29 46 30, , , . As rotações mais comuns para acionamento de bomba são 1750 e 3500rpm. Para H = 29,46m, Q = 300m3/h e n = 1750rpm, a bomba adequada pode ser selecionada inspecionando os catálogos dos fabricantes. Utilizando o catálogo da KSB para as bombas da família MEGANORM encontra-se o modelo que mais ajusta-se ao especificado que é o KSB-MEGANORM-125-250, com rotor de diâmetro igual a 265mm. A bomba operará com uma eficiência de, aproximadamente, 84% e terá uma vazão ligeiramente menor que 300m3/h, algo em torno de 280m3/h. Para H = 29,46m, Q = 300m3/h e n = 3500rpm o modelo que mais aproxima-se é o KSB-MEGANORM-80-160, com rotor de 166mm, que apresenta uma eficiência de 77%.

Figura 2.3-Curva característica H×Q da bomba KSB Meganorm 125-250 (1750rpm).

Fig. 2.4-Curva característica H×Q da bomba KSB Meganorm 80-160 (3500rpm).



A potência de acionamento e o NPSH requerido para estes dois modelos operando nas condições acima descritas são, respectivamente: &W = 55 HP e NPSHreq = 10m para o KSB-MEGANORM-80-160; e &W = 37,5 HP e NPSHreq = 2,5m para o KSB-MEGANORM-125-250. Procurando-se em catálogos de outros fabricantes pode-se encontrar outros modelos que também possam satisfazer as condições desejadas. Para decidir entre os vários conjuntos-candidatos, pode-se verificar o custo de aquisição, a disponibilidade no mercado, o atendimento da condição de NPSH disponível ser maior ou igual ao NPSH requerido, para evitar cavitação. Após todo este arrazoado é possível chegar ao final com apenas um modelo-solução.

Q (m3/hora)

Fig. 2.5-NPSH requerido pela bomba KSB Meganorm 125-250 (1750rpm).

Q (m3/hora)

Fig. 2.6-NPSH requerido pela bomba KSB Meganorm 80-160 (3500rpm).

Note que, como era de se esperar, as potências de acionamento dos dois conjuntos estão bastante próximas, a pequena diferença deve-se à diferença na eficiência global. Por outro lado os valores dos NPSHs requeridos são bastante diferentes.



Fig. 2.7-Potência de acionamento da bomba KSB Meganorm 125-250 (1750rpm).

Fig. 2.8-Potência de acionamento da bomba KSB Meganorm 80-160 (3500rpm).

Exemplo-2: Cálculo da tubulação e escolha da bomba hidráulica para uma vazão desejada de um dado líquido.

Em uma refinaria de petróleo é necessário bombear-se 30 litros/segundo de querosene a 20oC ao longo de uma tubulação de recalque de 1850m, instalada horizontalmente. A densidade do querosene é 813kg/m3.

Qual deverá ser a velocidade do escoamento? Qual o diâmetro da tubulação? Qual a espessura mínima da tubulação? Escolha uma bomba apropriada, dispondo-se de algum catálogo de fabricante de bombas hidráulicas.

O problema tem que ser resolvido iterativamente uma vez que o mesmo forma um

conjunto não linear de equações algébricas. Vamos arbitrar alguns valores iniciais, e vamos iterando até que a solução convirja.



Existem duas maneiras principais para resolver este tipo de problema: o método da velocidade econômica e o método da minimização da função custo. Vamos neste exemplo seguir o método da velocidade econômica, em outro exemplo mais adiante utilizaremos o método de minimização da função custo. Com a experiência acumulada ao longo dos anos sabe-se que existem velocidades recomendadas para cada tipo de aplicação, são as denominadas velocidades econômicas, porque supostamente são aquelas que minimizam os custos envolvendo instalação, operação e manutenção. Estas velocidades indicadas podem ser encontradas no Apêndice.

Para casos de hidrocarbonetos, como o querosene, a velocidade recomendada no recalque está na faixa de 1,5 a 2,5m/s.

Adotando-se um valor de 2m/s, para a velocidade econômica, encontra-se

DQV

m sm s

m= =××

=4 4 0 03

20 138

3

π π, /

/, .

Consultando a tabela de tubulações de aço comercial, vemos que o tubo que mais aproxima-se da dimensão acima é o φ6”. Vamos tomar um tubo da classe Standard, com o diâmetro nominal de φ6”, uma espessura de parede de 7,11mm, e um diâmetro interno de φ154mm. Obviamente, deve-se escolher um tubo que esteja disponível no mercado, que atenda as condições técnicas (suporte adequadamente a corrosão, tenha resistência mecânica adequada à temperatura de funcionamento), e que também tenha o menor custo. Com o diâmetro nominal e interno da tubulação já definidos, pode-se então calcular a velocidade média do escoamento. O restante é semelhante ao apresentado no exemplo anterior. Assim, a velocidade média do escoamento é calculada por

VQ

Dm s

mms= =

×

×=

4 4 0 030 154

1 612

3

2 2π π

, /,

,

A viscosidade ν do fluido pode ser encontrada no Apêndice. Para a temperatura do fluido igual a 20oC o querosene apresenta ν = 0,0000023m2/s = 2,3centistokes (1 stoke = 1cm2/s). Portanto, pode-se calcular o número de Reynolds como segue

Re, ,

, /= = = =ρµ νVD VD m

m s

ms1 61 0 154

0 00000231078002 ,

o qual indica que o escoamento é turbulento. Como a tubulação é razoavelmente longa, numa primeira aproximação pode-se desconsiderar a perda de carga nos acessórios, considerando apenas a perda de carga no tubo propriamente dito. Caso deseje-se considerar as perdas nos acessórios é só proceder de maneira semelhante ao apresentado no exemplo anterior. Para calcular a perda de carga vamos utilizar a equação de Darcy-Weisbach

h fLD

Vg

t=2

2,



onde o fator de atrito f é função da rugosidade relativa ε/D e do Número de Reynolds. Para aço comercial novo, ver Figura X.2, ε = 0,03mm. Assim,

ε / , / ,D mm mm= =0 03 154 0 000195.

De posse do Número de Reynolds e da rugosidade relativa, obtém-se no Diagrama de Moody o fator de atrito f

f ≈ 0 018, , e pode-se então obter a perda de carga

hmm

m sm s

m=×

=0 01818500 154

1 612 9 81

28 572

2,,

( , / ), /

, .

A altura manométrica à qual estará submetida a bomba é fornecida pela equação

Hp p

gV V

gV V

gz z z z h he s

e s ps pr=−

+−

+−

+ − + − + +2 1 22

12 2 2

2 12 2ρ( ) ( ) ( )

h

onde p p V V V V z z z z h he s e s ps pr2 1 2

212 2 2

2 10 0 0 0 0− = − = − ≈ − = − ≈ + =, , , , , ,

portanto

Hp p

gh ms e≡

−≈ =

ρ28 57, .

Sabendo-se a vazão Q, a altura manométrica H e tendo os catálogos dos fabricantes pode-se escolher a bomba. Geralmente, os dados dos catálogos são para bombas bombeando água, o fluido mais utilizado na aplicações. Então quando bombeia-se um fluido que não seja água faz-se necessário algum tipo de adaptação nos resultados. Isto pode ser feito utilizando as teorias de análise dimensional e semelhança. Neste caso existem três parâmetros adimensionais de interesse: os coeficientes de correção da vazão, da altura manométrica, e do rendimento; definidos a seguir

CQ

QC

HH

CQagua

Hagua agua

≡ ≡ ≡, , ηη

η.

Os valores de CQ = 1, CH = 1 e Cη = 0,98 foram obtidos na Figura 2.9, desta forma pode-se obter os valores equivalentes para água Qágua e Hágua, como segue

QQ

Cm s

HH

Cm

maguaQ

ms agua

H= = = = = =

0 031

0 0328 57

128 57

3 3, /, ,

,, .



Figura 2.9-Fatores de correção CQ, CH e Cη.

Uma vez obtidos a vazão Qágua (108m3/hora) e a altura manométrica Hágua(28,75m), pode-se escolher do catálogo do fabricante o modelo que mais se adeqüe às condições de uso. Inspecionando o catálogo da KSB conclui-se que os dois modelos de bombas que mais aproximam-se das condições de operação são: KSB-MEGANORM-50-125 operando a uma rotação de 3500rpm e o KSB-MEGANORM-80-250 operando a uma rotação de 1750rpm. Estes dois modelos apresentam diâmetros externos do rotor e rendimentos de φ142mm e 79%, e φ266mm e 71%, respectivamente. Note que o primeiro modelo é menor, com diâmetro externo do rotor aproximadamente a metade do rotor do segundo, além do mais o rendimento do primeiro (79%) é maior do que o do segundo (71%). Conforme já comentado no exemplo anterior as potências de acionamento são semelhantes, mas é maior no segundo modelo porque seu rendimento é ligeiramente menor do que o do primeiro. Atendidas as condições de disponibilidade no mercado, compatibilidade química e demais requisitos físicos e químicos, parece que o primeiro modelo será o mais barato. A conferir nas lojas do ramo.





Quanto à espessura mínima da parede do tubo, isto depende do tipo de carregamento que o tubo vai suportar. Por exemplo: o peso do fluido dentro da tubulação, o peso do próprio tubo, o arrasto devido ao vento, a pressão interna e externa ao tubo, e o sistema de ancoramento da tubulação. Para se considerar todas estas cargas é necessário fazer um layout completo das tubulações, e então calcular as tensões na parede do tubo de acordo com o cálculo estrutural. Vamos aqui apenas verificar se a tubulação suporta a pressão máxima do escoamento. O fluido bombeado entra na bomba a uma pressão baixa (quando comparada com a pressão de saída) e sai a uma pressão mais alta. Na tubulação de recalque o fluido vai perdendo pressão à medida que o escoamento vai progredindo em direção à saída. Assim, de um modo geral (embora seja possível imaginar exceções) a maior pressão na tubulação vai ocorrer logo na saída da bomba. Então para verificar qual a espessura mínima da parede da tubulação para suportar as tensões longitudinais e circunferenciais causadas pela pressão interna do escoamento.



A tensão longitudinal é uma tensão de tração e tende a romper o tubo ao longo da seção transversal, e pode ser obtida por

σ ls Bp p R

e=

−( )2

onde ps é a pressão manométrica (relativa) na saída da bomba, pB é a pressão atmosférica (relativa) do lado externo na saída da bomba, R o raio interno da tubulação, “e” a espessura local da tubulação, e σl a tensão longitudinal. A tensão circunferencial σc também é de tração e atua tentando abrir o tubo em uma seção ao longo de sua lateral, e pode ser calculada pela fórmula

σcs Bp p R

e=

−( ).

Como σc = 2σl, portanto σc é mais crítica e será utilizada na obtenção espessura mínima da parede do tubo. A pressão relativa ps na saída da bomba pode ser calculada como segue

p p p p V Vg z z ghs B B s

s p−

=−

+−

+ − +ρ ρ

2 22 2

22( ) r

0

onde p p V z zatm s2 2 20 0= ≡ = − =, ,

e portanto

p p ghV

s B prs− = −ρ( )2

2.

A perda de carga na tubulação de recalque hpr poderia ser considerada como aproximadamente a perda total h, isto é hpr ≈ h, uma vez que a tubulação é razoavelmente longa. Em se definindo o comprimento da tubulação de sucção, digamos Ls = 50m, pode-se calcular a perda de carga na tubulação de sucção (ou mesmo na de recalque) utilizando a equação de Darcy-Weisbach, no entanto neste caso pode-se calcular esta perda usando uma simples regra de três, uma vez que a perda é diretamente proporcional ao comprimento da tubulação, assim

hL

hL

h hLL

mmm

m h h h mps

s tps

s

tpr ps= ⇒ = = = ⇒ = − =28 57

501850

0 77 27 8, , , ,

de fato hps é pequeno, menos de 3% de h, e hpr é aproximadamente 97% de h. Logo a pressão manométrica na saída bomba pode ser calculada, resultando

p p ghV

m ks B prs kg

mms

ms

− = − = − =ρ( ) ( , ,,

)2 2

2813 9 81 27 8

1 612

2213 2

2

2 Pa .

Cada material possui uma determinada tensão admissível de trabalho (normalizada). No caso do aço carbono sem costura tem-se



σadm kgf cm MPa= ≈1125 1102/ .

É necessário que e portanto σ σc ad≤ m

σ σσc

s Badm

s

adm

p p Re

ep R kPa m

MPamm mm=

−≤ ⇒ ≥ =

×= <

( ) ,, ,

221 0 077110

0 15 7 11 ,

portanto o tubo suporta tranqüilamente a pressão máxima no escoamento. Sob esta ótica seria possível escolher um tubo, se disponível no mercado, no parede mais fina. Vale lembrar que existem outros esforços mecânicos atuando sobre o tubo que podem ser também importantes. Exemplo-3: Obtenção da vazão, tendo-se a bomba e a tubulação. Dispondo-se de uma bomba KSB MEGANORM-32-125 com diâmetro externo do rotor φ139mm, operando a 1750rpm, e de uma tubulação de aço galvanizado com diâmetro nominal de φ2”, classe Standard, com dez anos de uso. Qual a vazão de água, viscosidade cinemática ν = 0,000001m2/s, pode ser obtida quando esta bomba é submetida a uma altura estática (desnível geométrico) de 8m, e o comprimento total da tubulação é 15m? Os acessórios necessários na tubulação são: uma válvula de pé com crivo, um registro de gaveta, uma válvula de retenção do tipo pesado e quatro curvas de 90o de raio longo. Um esquema da instalação é mostrado na Figura 2.12. A tubulação de aspiração tem um comprimento de 6m. Qual a altura máxima de aspiração?

Fig. 2.12-Layout da instalação de bombeamento, mostrando tubulações, acessórios e a bomba.



A altura manométrica que esta bomba pode fornecer em função da vazão é mostrada na curva característica fornecida pelo fabricante e apresentada na Figura 2.13.


Por outro lado a altura manométrica solicitada pela tubulação para ocorrer através dela uma determinada vazão é dada pela fórmula

Hp p

gV V

gV V

gz z z z h he s

e s ps pr=−

+−

+−

+ − + − + +2 1 22

12 2 2

2 12 2ρ( ) ( ) ( )

h

h

onde p p V V V V z z m z z h he s e s ps pr2 1 2

212 2 2

2 10 0 0 8 0− = − = − = − = − ≈ + =, , , , , portanto H pode ser expresso pela fórmula simplificada.

H m= +8 .

No ponto de equilíbrio a altura manométrica fornecida pela bomba será toda consumida pela tubulação, e vice-versa, assim a solução do problema ocorrerá quando a duas alturas manométricas forem iguais. Matematicamente é como se tivéssemos duas equações e duas incógnitas, H e Q. Entretanto existe um problema, que é o seguinte: as informações sobre a curva característica da bomba estão na forma gráfica (catálogo do fabricante) e as da tubulação na forma analítica, apresentada na equação acima. Existem duas maneiras de resolver um sistema de equações algébricas com estas características, a primeira é interpolar uma função para os dados da curva característica da bomba, obtendo-se assim uma equação que juntamente com a segunda forma um sistema de duas equações com duas incógnitas; a segunda maneira é variar a vazão, começando no zero e aumentando, calcular a altura manométrica da tubulação para cada vazão escolhida, e em seqüência colocar estes pontos coordenados sobre a figura da curva característica da bomba. Obviamente, a solução do sistema será quando as duas curvas encontrarem-se. Vamos utilizar aqui o segundo método, no entanto o primeiro também é igualmente simples, uma vez que polinômios de segundo grau interpolam muito bem os dados das curvas características de bombas (H×Q).

Vamos re-escrever a equação da altura manométrica da tubulação, como segue 20Criado no ano 2000, modificado em 21/6/2006, impresso (*.pdf) em



h fLD

Vg

VQA

h fLD

QgA

H m fLD

QgA

= = ⇒ = ⇒ = +2 2

2

2

22 28

2, .

Na equação acima, para se obter f é necessário ter a rugosidade relativa do tubo. A rugosidade (absoluta) de aço galvanizado novo é ε = 0,15mm; a taxa de aumento da rugosidade é de 0,01 a 0,1mm ao ano. Tomando um valor médio de 0,055mm ao ano, tem-se ε = (0,15+0,055×10)mm = 0,7mm. E por conseguinte

ε / , / , ,D mm mm= =0 7 52 5 0 0133.

No cômputo da altura manométrica da tubulação H, é necessário obter-se o comprimento total equivalente L, que representa as contribuições da tubulação propriamente dita mais as dos acessórios. Na tabela abaixo apresenta-se a obtenção do comprimento total equivalente.

Item Quantidade Descrição Comprimento equivalente unitário (m)

Comprimento equivalente por item (m)

1 1 Válvula de pé com crivo 14,0 14,02 4 Curva longa, 90o 1,1 4,43 1 Válvula de gaveta (aberta) 0,4 0,44 1 Válvula de retenção (pesada) 6,4 6,45 1 Tubo reto 15,0 15,0

Comprimento equivalente total, L (m) ⇒ 40,2 Variando os valores de Q na equação acima, pode-se construir a seguinte tabela

Q(m3/hora) Re f h(m) H(m) 0 0 ∞ 0 8,00 5 33683 0,044 0,69 8,71 10 67367 0,043 2,76 10,76 8 53894 0,043 1,77 9,77 9 60630 0,043 2,24 10,24 7 47157 0,043 1,35 9,35

A curva característica desta bomba apresenta vazões variando de 0 a 20m3/hora, assim planejamos inicialmente calcular as grandezas acima para Q = 0, 5, 10, 15 e 20m3/hora. Entretanto quando efetuamos os cálculos para Q = 0, 5 e 10m3/hora, percebemos que a altura manométrica da tubulação já estava acima da curva de altura manométrica da bomba, assim era inútil continuar no plano original. Colocando os pontos correspondentes às vazões Q = 0, 5 e 10m3/hora, percebe-se pela disposição das curvas que uma provável solução seria Q = 8m3/hora, de fato a altura manométrica da tubulação calculada resulta em H = 9,77m (conforme a tabela acima), praticamente igual ao valor da altura manométrica da bomba. Atingindo assim o ponto de equilíbrio. Só para verificar, fez-se ainda o cômputo para as vazões Q = 7 e 9m3/hora, que resultou nos seguintes valores de alturas manométricas H = 9,35 e 10,24m, respectivamente. Como era de se esperar estes dois pontos estão o primeiro abaixo da curva característica da bomba, e o segundo acima. Este processo poderia



ser refinado tantas vezes quanto se desejasse, vamos parar por aqui e assumir que a vazão procurada é Q = 8m3/hora. A altura máxima de aspiração (ou sucção), destina-se a evitar a cavitação na bomba e pode ser calculada por

psreq

21v1

1es hNPSHg2

Vgpp

)zz(h −−+−

≤−≡ρ

onde p kPa p kPa V V

NPSH m hmm

m m

vms e

ms

req ps

1 1101 35 2 339 0 1 03

1 628 640 2

1 77 1 26

= = = =

= = =

, , , , , ,

, ,..

, ,

,

e portanto

m23,7m)26,16,124,033,10(h

26,1m6,181,91000

kPa339,2kPa35,101h

s

sm

mkgs

23

=−−−≤⇒

⇒−−−

≤

Q (m3/hora)

Fig. 2.14-NPSH requerido pela bomba KSB Meganorm 32-125 (1750rpm). É interessante notar que a contribuição da pressão atmosférica é 10,33m (ao nível do mar), para regiões mais elevadas esta vai cai, uma vez que a pressão atmosférica local diminui com a altitude. Todos os termos restantes são subtrativos, neste caso as contribuições da pressão de saturação e da energia cinética são bem pequenas, as maiores contribuições são a do NPSHreq e a da perda na sucção. Exemplo-4: Conhecida a geometria do problema e a vazão, determinar a bomba e a tubulação. Necessita-se bombear água a uma vazão Q = 100m3/hora. Os reservatórios de sucção e recalque estão ambos submetidos à pressão atmosférica (p = 70kPa). A temperatura ambiente é T = 40oC. O desnível geométrico entre as superfícies dos fluidos nos reservatórios é de 50m. A distância (horizontal) entre os reservatórios é de 3km. Coloque os acessórios que achar necessários. Determinar: A tubulação de sucção; A tubulação de recalque; O modelo de bomba a ser utilizado; A altura máxima de sucção.



Pela tabela de velocidades recomendadas, considerando o comprimento da tubulação (3000m) esta instalação assemelha-se mais com redes em cidades. Assim as velocidades deverão estar na faixa de 1-3m/s.

Como é sabido da mecânica de fluidos, a perda hidráulica (conversão de energia mecânica para energia térmica) é diretamente proporcional ao comprimento da tubulação, ao quadrado da velocidade média, bem como inversamente proporcional ao diâmetro da tubulação. Desta forma para tubulações curtas (por exemplo, L = 50m) pode-se adotar velocidades mais altas, enquanto para tubulações longas a velocidade adotada deverá ser menor.

Para a vazão Q = 100m3/hora = 0,02778m3/s, tem-se

V m s Q V QV

m sm s

mm= = ⇒ = =×

×⇒ =1 4 4 0 02778

314159 1188 04

23

/ , , /, /

,π φ φπ

φ ,

V m s Q V QV

m sm s

mm= = ⇒ = =×

×⇒ =3 4 4 0 02778

314159 3108 64

23

/ , , /, /

,π φ φπ

φ .

Admitindo-se que as tubulações da série Std 40 são suficientes para suportar as tensões causadas pela pressão interna aos tubos (isto deve ser verificado posteriormente), e após inspeção na norma de tubulações (ANSI B.36.10) conclui-se que o diâmetro comercial, com diâmetro interno na faixa de 108,6mm-188,0mm é φ = 6” (φint=154,0mm). Os tubos com φ = 4” (φint=102,3mm) e φ = 8” (φint=202,7mm) encontram-se próximos dos extremos da faixa analisada e também serão considerados. Para estes tubos pode-se calcular a velocidade média como segue

φ φπφ

π= = ⇒ = =×

×⇒ =4 4 4 0 02778

3 14159 0 10233 384

22

3

2 2", , /, ,

, /intint

Q V V Q m sm

V m s,

φ φπφ

π= = ⇒ = =×

×⇒ =6 4 4 0 02778

3 14159 0 15401 494

22

3

2 2", , /, ,

, /intint

Q V V Q m sm

V m s,

φ φπφ

π= = ⇒ = =×

×⇒ =8 4 4 0 02778

3 14159 0 20270 864

22

3

2 2", , /, ,

, /intint

Q V V Q m sm

V m s .

Analisando-se as velocidades acima percebe-se que o tubo de φ = 4” leva a velocidades acima da faixa recomendada e não deve ser utilizado por que a tubulação é longa e a perda de carga será considerável. Para φ = 8” a velocidade está abaixo da recomendada e produzirá baixas perdas de carga, mas o custo será alto, pois o diâmetro é o maior dos três possíveis. Entretanto φ = 8” poderá ser utilizado para tubulação de sucção, onde baixos valores de perda de carga são importantes e o custo do tubo não será elevado, uma vez que a tubulação de sucção é curta. O tubo com φ = 6” é o que produz velocidades dentro da faixa recomendada e poderá ser utilizado para a tubulação de recalque.

A seguir analisa-se um pouco mais esta questão. O número de Reynolds para estes três diâmetros são:

φ νφν

= = × ⇒ = =×

×⇒ ≈ ×−

−4 6 5 10 3 38 0 10236 5 10

5 2 107 27 2

6", , / Re , / ,, /

Re ,intm s V m s mm s

,



φ νφν

= = × ⇒ = =×

×⇒ ≈ ×−

−6 6 5 10 1 49 0 1546 5 10

3 5 107 27 2

5", , / Re , / ,, /


,

φ νφν

= = × ⇒ = =×

×⇒ ≈ ×−

−8 6 5 10 0 86 0 20276 5 10

2 7 107 27 2

5", , / Re , / ,, /


.

Para tubos comerciais novos, tem-se nas Figuras X.1 e X.2

φ = ≈ × ⇒ = ⇒ =4 5 2 10 0 0004 0 01606", Re , , ,eD

f ,

φ = ≈ × ⇒ = ⇒ =6 3 5 10 0 00028 0 01685", Re , , ,eD

f ,

φ = ≈ × ⇒ = ⇒ =8 2 7 10 0 00022 0 01725", Re , , ,eD

f . Faz-se uma estimativa inicial da perda de carga na tubulação como segue

φ = = ⇒ =×

⇒ =42

0 0160 30500 1023

3 382 9 81

277 762 2 2 2

2", ,,

, /, /

,h f LD

Vg

h mm

m sm s

h m ,

φ = = ⇒ =×

⇒ =62

0 0168 30500 1540

1 492 9 81

37 652 2 2 2

2", ,,

, /, /

,h f LD

Vg

h mm

m sm s

h m ,

φ = = ⇒ =×

⇒ =82

0 0172 30500 2027

0 862 9 81

9 762 2 2 2

2", ,,

, /, /

,h f LD

Vg

h mm

m sm s

h m .

Nesta aplicação a altura manométrica é fornecida, aproximadamente, pelo desnível geométrico mais a perda de carga na tubulação de recalque. Assim

φ = ⇒ ≈ + =4 277 76 50 327 76" ,H m m , m ,

φ = ⇒ ≈ + =6 37 65 50 87 6" , ,H m m 5m ,


φ = ⇒ ≈ + =8 9 76 50 59 76" , ,H m m m

2m

instalação para estes dois diâmetros e então verificar-se qual teria menor custo. Entretanto

. Por outro lado, estas tubulações têm as seguintes seções transversais de metal

φ φ φ= ⇒ = = ⇒ = = ⇒ =4 20 4 6 36 0 8 54 22 2" , ; " , ; " ,S cm S cm S c .

Os dados acima confirmam a idéia de que para φ = 4” a perda de carga seria muito grande. Quando passamos para φ = 6” a altura manométrica (H), cai consideravelmente em comparação com aquela que ocorre com φ = 4”. Porém quando passamos para φ = 8” a queda na altura manométrica já não é mais tão acentuada. Mesmo que fizéssemos φ → ∞ a altura manométrica seria igual a altura geométrica, isto é H = 50m. Por outro lado o custo da tubulação seria infinito. Fica claro que a tubulação com φ = 4” está descartada. Uma decisão final entre φ = 6” e φ = 8” deveria ser de ordem econômica, isto é deveria-se calcular a



parece provável que a tubulação de recalque deva ser φ = 6”. A tubulação de sucção, por questões de segurança contra cavitação (a ser verificada mais adiante) deverá ser φ = 8”. Define-se então as dimensões e acessórios das tubulações de sucção e recalque. Tubulação de sucção:

Item Descrição


Quantidade Comprimento Equivalente 1 Tubo φ = 8”, Std 40 4m9,24m 9,22 Válvula de pé, φ = 8” 51 2,00m3 Cotovelo de 45o, φ = 8” 1 3,00m

Co ri = 64,24mmp mento equivalente total

A perda de carga na su ps aneira cção (h ) pode ser calculada da seguinte m

φ = = ⇒ =×

⇒ =82

0 0172 64 240 2027

0 862 9 81

0 2052 2 2 2

2", , ,,

, /, /

,h f LD

Vg

h mm

m sm s

h mps ss

s

sps ps

ubulação de recalque:

Quantidade Comprimento Equivalente

T

Item Descrição 1 Tubo φ = 6”, Std 40 3050m 3050,0m2 Válvula de retenção, φ = 6” 1 19,3m3 Válvula de gaveta, φ = 6” 1 1,1m4 Saída de canalização 1 5,0m5 Cotovelo (raio longo) de 90o, φ = 6” 2 6,8m

Comp rimento equivalente total = 3082,2m

A perda de carga no recalque (hpr aneira ) pode ser calculada da seguinte m

φ = = ⇒ =×

⇒ =62

0 0168 3082 20 154

1 492 9 81

38 052 2 2 2

2", , ,,

, /, /

,h f LD

Vg

h mm

m sm s

h mpr rr

r

rpr pr

A altura manométrica total (H) é então obtida por

H p p z z h h V Vg

m H m

B AB A ps pr

r s=−

+ − + + +−

=

= + + + + ⇒ =γ

( )

( , , , ) ,

2 2

20 50 0 205 38 05 0 0755 88 33

Percebe-se que a altura manométrica total (H = 88,33m) obtida considerando-se os

étrica H = 88,33m, pod

detalhes das tubulações e respectivos acessórios na sucção e no recalque é praticamente igual ao valor inicialmente estimado (H = 87,65m). Isto sempre vai ocorrer para tubulações longas, com, proporcionalmente, poucos acessórios. Nota-se também que a contribuição dos termos de energia cinética na altura manométrica seriam desprezíveis (0,0755m).

Com a vazão que se necessita Q = 100m3/hora, e com a altura manome-se selecionar um modelo de bomba a partir de um catálogo de fabricante. No caso

utilizou-se o catálogo do fabricante KSB. Inspecionando-se o catálogo constata-se que o único modelo que pode satisfazer estas condições é o do TIPO MEGANORM, TAMANHO 50-250, N = 3500RPM. Para as condições especificadas esta bomba deverá funcionar com um rotor com diâmetro próximo a 238mm, onde apresentará um rendimento η = 61%. Para esta condição de funcionamento o NPSHreq ≈ 4m, e a potência de acionamento no eixo,



Peixo ≈ 55 hp. (Caso fosse possível, dependendo do processo industrial onde a bomba seria usada, trabalhar com uma vazão ligeiramente menor do que Q = 100m3/hora, uma boa opção ao modelo 50-250 seria o modelo 50-200, que trabalha com valores de altura manométrica um pouco menores, mas que apresenta um rendimento máximo ηmax = 74,5%, enquanto o modelo 50-250 apresenta um rendimento máximo menor ηmáx = 67%.)


3Q (m /hora)

Fig. 2.16-NPSH requerido pela eganorm 50-250 (3500rpm).

Com a tubulação definida, o modelo de bomba selecionado, e as demais informações

bomba KSB M

obtidas, pode-se fazer o cômputo da altura máxima de sucção (hs), como segue

.m384,2h)m4m752,0m206,0(m136,7

m4

mkg1000

sm81,9

mN7380

m206,0

mkg1000

sm81,9

mN107

NPSHp

hph

s

32

2

32

24

reqv

psA

s

=⇒++−=

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+×

+−×

×=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−=

γγ

Assim esta bomba deve ser instalada a uma altura máxima hs=2,384m contado acima da

superfície do reservatório de sucção.




ubulação onde ocorre a pressão mais elevada é a saída Finalmente pode-se verificar se a espessura da tubulação é suficiente para suportar as pressões desenvolvidas. O ponto da tda bomba. A pressão neste local é relacionada por

[ ]

p V z p V z h pg g

p z z h Vg

p p kgm

ms

m m) m m p p kPa

r B pr r B B r prr

r B r B

γ γγ= − + −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− = − + − ⇒ − =3 2

2 2 2

1000 9 81 50 2 38 05 0 11 844 15

( )

, ( , , ,

A tensão limite que esta tubulação suporta é σlim = 1125kgf/cm2. A tensão efetiva de abalho em termos da diferença de pressão interna e externa (pr-pB), do raio médio da parede e

r r B B+ + = + + + ⇒ −2 2 2

trm tálica (R), e da espessura de parede (E), é fornecida por

σ =σ

σ

−⇒ =

−⇒

⇒ =−

=×

× ×⇒ = <

( ), ,

,, ,min

limmin

E

E p p RN

mmm

N

( ) ( )p p R E p p R

m

E mm mm

B

r B844 15 10 80 55

1125 9 81 100 62 7 11

32

42

Portanto, este tubo é suficiente para suportar os esforços desenvolvidos pelas pressões

ternas e externas. (Quando uma instalação de bombeamento estiver definida do ponto de

ização da nção custo.

ombear água a uma vazão Q = 200m /hora. Os reservatórios de sucção e calque estão ambos submetidos à pressão atmosférica (p = 70kPa). A temperatura ambiente

lo de bomba a ser utilizado; A altura máxima de sucção.

da tubulação 0km) esta instalação assemelha-se mais com redes em cidades. Assim as velocidades

dev idir

diretamente proporcional ao comprimento da tubulação, ao qua

Para a vazão Q = 200m /hora = 0,05555m /s, tem-se

r B r

invista hidráulico é necessário fazer uma verificação geral do ponto de vista de resistência dos materiais, quando os tubos estiverem submetidos a outros tipos de carregamentos.) Exemplo-5: Cálculo de uma instalação de bombeamento utilizando a minimfu Necessita-se b 3

reé T = 40oC. O desnível geométrico entre as superfícies dos fluidos nos reservatórios é de 100m. A distância (horizontal) entre os reservatórios é de 10km. Coloque os acessórios que achar necessários. O custo de 1kg de tubo é $R2.00 e 1kW de potência de bombeamento custa $R300.00. Determinar, considerando o menor custo global: A tubulação de sucção; A tubulação de recalque; O mode

Pela tabela de velocidades recomendadas, considerando o comprimento(1

erão estar na faixa de 1-3m/s, talvez até menores. Utiliza-se uma função custo para decqual é a solução mais adequada.

Como é sabido da mecânica de fluidos, a perda hidráulica (conversão de energia mecânica para energia térmica) é

drado da velocidade média, bem como inversamente proporcional ao diâmetro da tubulação. Desta forma para tubulações curtas (por exemplo, L = 50m) pode-se adotar velocidades mais altas, enquanto para tubulações longas a velocidade adotada deverá ser menor.

3 3



V m s Q V QV

= = ⇒ = =m s

m smm×

×⇒ =

55550 5

376 13 /

/,φ 0 5 4 4 0 0

3 1415942, / , ,

, ,π φ φ

π

V m s Q VQV

m sm s

mm= = ⇒ = =×

×⇒ =1

4 4 0 055553 14159 1

265 942

3/ ,

, /, /

,π φ φπ

φ ,

V m s Q VQV

m sm s

mm= = ⇒ = =×

×⇒ =3

4 4 0 055553 14159 3

153 542

3/ ,

, /, /

,π φ φπ

φ .

Admitindo-se que as tubulações da série Std 40 são suficientes para suportar as tensões causadas pela pressão interna aos tubos (isto deve ser verificado posteriormente), e após inspeção na norma de tubulações (ANSI B.36.10) conclui-se que os tubos comerciais, com diâmetro interno na faixa de 102,3mm-376,1mm são φ= 4” (φint=102,3mm), φ= 6” (φint=154,0mm), φ = 8” (φint=202,7mm), φ = 10” (φint=254,5mm), φ = 12” (φint=303,2mm), φ = 14” (φint=333,4mm), φ = 16” (φint=381,0mm). Para estes tubos pode-se calcular a velocidade média como segue

φ φπ= = ⇒πφ

= =×

×⇒ =

14159 0 10236 762 2 2 , /

intV

mV m s , 4 4 4 0 05555

42

3", , /

intQ V Q m s3, ,

φ φπφ

π= = ⇒ = =×

×⇒ =6 4 4 0 05555

3 14159 0 15402 984

22

3

2 2", , /, ,

, /intint

Q V V Q m sm

V m s ,

φ φπφ

π= = ⇒ = =×

×⇒ =8 4 4 0 05555

3 14159 0 20271 724

22

3

2 2", , /, ,

, /intint

Q V V Q m sm

V m s .

φ φπφ

π= = ⇒ = =×

×⇒ =10 4 4 0 05555

3 14159 0 25451 094

22

3

2 2", , /, ,

, /intint

Q V V Q m sm

V m s

φ φπφ

π= = ⇒ = =×

×⇒ =12 4 4 0 05555

3 14159 0 30320 774

22

3

2 2", , /, ,

, /intint

Q V V Q m sm

V m s

φ φπφ

π= = ⇒ = =×

×⇒ =14 4 4 0 05555

3 14159 0 33340 644

22

3

2 2", , /, ,

, /intint

Q V V Q m sm

V m s

φ φπφ

π= = ⇒ = =×

×⇒ =16 4 4 0 05555

3 14159 0 38100 494

22

3

2 2", , /, ,

, /intint

Q V V Q m sm

V m s

Analisando-se as velocidades acima percebe-se que o tubo de φ = 4” leva a velocidades elevadas e provavelmente não será a solução e a perda de carga será considerável. Para φ = 16” a velocidade está baixa e produzirá baixas perdas de carga,

a

por que a tubulação é longa

m s o custo será alto, pois o diâmetro é o maior dos que estamos analisando. Entretanto φ = 16” poderá ser utilizado para tubulação de sucção, onde baixos valores de perda de carga são importantes e o custo do tubo não será elevado, uma vez que a tubulação de sucção é curta. Os outros tubos produzem velocidades numa faixa intermediária.

A seguir analisa-se um pouco mais esta questão.



O número de Reynolds para estes três diâmetros são:


φ ν φν

= = × ⇒ = =×

×4 6 5 10

6 5", , / Re

,m s ⇒ ≈ ×−

6 0 102310

1 06 107 26/ ,

/Re ,m s m

m s, − 6 77 2 ,intV

φ ν φν

= = × ⇒ = =×

×⇒ ≈ ×−

−6 6 5 10 2 98 0 15406 5 10

7 06 107 27 2

5", , / Re , / ,, /


,

φ ν φν

= = × ⇒ = =×

×⇒ ≈ ×−

−8 6 5 10 1 72 0 20276 5 10

5 4 107 27 2

5", , / Re , / ,, /


.

φ ν φν

= = × ⇒ = =×

×⇒ ≈ ×−

−10 6 5 10 1 09 0 25256 5 10

4 2 107 27 2

5", , / Re , / ,, /


φ ν φν

= = × ⇒ = =×

×⇒ ≈ ×−

−12 6 5 10 0 77 0 30326 5 10

3 6 107 27 2

5", , / Re , / ,, /


φ ν φν

= = × ⇒ = =×

×⇒ ≈ ×−

−14 6 5 10 0 64 0 33346 5 10

3 3 107 27 2

5", , / Re , / ,, /


φ ν φν

= = × ⇒ = =×

×⇒ ≈ ×−

−16 6 5 10 0 49 0 38106 5 10

2 9 107 27 2

5", , / Re , / ,, /


Para tubos comerciais novos, tem-se nas Figuras X.1 e X.2

φ = ≈ × ⇒ =4 1 06 10 0 00046", Re , ,D

⇒ = 0 0165,e f ,

φ = ≈ × ⇒ = ⇒ =6 7 06 10 0 00028 0 0165", Re , , ,eD

f ,

φ = ≈ × ⇒ = ⇒ =8 5 4 10 0 00022 0 01565", Re , , ,eD

f ,

φ = ≈ × ⇒ = ⇒ =10 4 2 10 0 00018 0 01555", Re , , ,eD

f

φ = ≈ × ⇒ = ⇒ =12 3 6 10 0 00012 0 01555", Re , , ,eD

f

φ = ≈ × ⇒ = ⇒ =14 3 3 10 0 00011 0 01525", Re , , ,eD

f

φ = ≈ × ⇒ = ⇒ =16 2 9 10 0 0001 0 01525", Re , , ,eD

f

Faz-se uma estimativa inicial da perda de carga na tubulação como segue

φ = = ⇒ =×

⇒ =42

0 0165 101000 1023

6 762 9 81 2", ,

,, /

, /h f L

DV

gh m

mm s

m sh 3794 2

2 2 2 2, m ,

φ = = ⇒ =×

⇒ =62

0 0160 101000 1540

2 982 9 81

475 02 2 2 2

2", ,,

, /, /

,h f LD

Vg

h mm

m sm s

h m ,

φ = = ⇒ =×

⇒ =82

0 0156 101000 2027

1 722 9 81

117 22 2 2 2

2", ,,

, /, /

,h f LD

Vg

h mm

m sm s

h m ,



φ = = ⇒ =×

⇒ =102

0 0155 101000 2545

1 092 9 81

37 22 2 2 2

2", ,,

, /, /

,h f LD

Vg

h mm

m sm s

h m

φ = = ⇒ =×

⇒ =122

0 0155 101000 3033

0 772 9 81

15 62 2 2 2

2", ,,

, /, /

,h f LD

Vg

h mm

m sm s

h m

φ = = ⇒ =×

⇒ =142

0 0152 101000 3334

0 642 9 81

9 62 2 2 2

2", ,,

, /, /

,h f LD

Vg

h mm

m sm s

h m

φ = = ⇒ =×

⇒ =162

0 0152 101000 3810

0 492 9 81

4 92 2 2 2

2", ,,

, /, /

,h f LD

Vg

h mm

m sm s

h m .

Nesta aplicação a altura manométrica é fornecida, aproximadamente, pelo desnível geométrico mais a perda de carga na tubulação de recalque. Assim

φ = ⇒ ≈ + =4 3794 2 100 3894 2" , ,H m m m , φ = ⇒ ≈ + =6 475 0 100 575 0" , ,H m m m , φ = ⇒ ≈ + =8 117 2 100 217 2" ,H m m , m ,


φ = ⇒ ≈ + =10 37 2 100 137 2" ,H m m , m φ = ⇒ ≈ + =12 15 6 100 115 6" ,H m m , m φ = ⇒ ≈ + =14 9 6 100 109 6" ,H m m , mφ = ⇒ ≈ + =16 4 9 100 104 9" ,H m m ., m

Por outro lado, estas tubulações têm os seguintes pesos por un de comprimento, peso total e custo total

Diâ e

idade

m tro f 4” 6” 8” 10” 12” 14” 16”

Pes ,06 28,23 42,48 60,23 79,65 94,29 123,2o(kg/m) 16Peso (kg) 162206 285123 429048 608323 804465 952329 1244320Custo ($R) 32 ,00 570 ,00 85 ,00 121 ,00 160 ,00 190 ,00 248 ,004412 246 8096 6646 8930 4658 8640

Os dado b c a c m

= 4” a perda de carga é muito grande. Quando passamos para φ = 6” a altura manométrica )

s acima, so re perda de arga e altur manométri a, confirma a idéia de que para φ(H , cai consideravelmente em comparação com aquela que ocorre com φ = 4”. Quando passamos para φ = 8” a queda na altura manométrica já não é mais tão acentuada, mas continua diminuindo. Mesmo que fizéssemos φ → ∞ a altura manométrica seria igual a altura geométrica, isto é H = 100m. Por outro lado o custo da tubulação seria infinito.

Pode-se então calcular a potência de acionamento do conjunto motor-bomba (considerando o rendimento global η=0.8), como segue φ ρ η= ⇒ ≈ ⇒ ≈ =4 1000 9 81 0 05555 3894 2 08 2652 63 2

3" / . . . / . .P gQH P m kWkg

mms

m , s

φ ρ η= ⇒ ≈ ⇒ ≈ =6 1000 9 81 0 05555 575 0 08 39173 2

3" / . . . / .P gQH P m kWkg

mm .s

ms ,

φ ρ η= ⇒ ≈ ⇒ ≈ =8 1000 9 81 0 05555 217 2 08 148 03 2

3" / . . . / .P gQH P m kWkg

mm .s

ms ,



φ ρ η= ⇒ ≈ ⇒ ≈ =10 1000 9 81 0 05555 137 2 08 9353 2

3" / . . . / .P gQH P m kWkg

mm .s

ms ,

φ ρ η= ⇒ ≈ ⇒ ≈ =12 1000 9 81 0 05555 115 6 08 78 73 2

3" / . . . / .P gQH P m kWkg

mm .s

ms ,

φ ρ η= ⇒ ≈ ⇒ ≈ =14 1000 9 81 0 05555 109 6 08 74 73 2

3" / . . . / .P gQH P m kWkg

mm .s

ms ,

φ ρ η= ⇒ ≈ ⇒ ≈ =16 1000 9 81 0 05555 104 9 08 7153 2

3" / . . . / .P gQH P m kWkg

mm .s

ms .

O para aquisição do conjunto moto-bomba custará

10” 12” 14” 16”

Diâmetro φ 4” 6” 8” Potência (kW) 2652.6 391.7 148.0 93.5 78.7 74.7 71.5Custo ($R) 795 ,00 117 ,00 44 00 28 0 23 0 22 0 21 0789 510 400, 050,0 610,0 410,0 450,0

Co e o e t t

bela abaixo. Estes dados também foram usados para criar a figura abaixo, onde se vê e

10” 12” 14” 16”

m os custos xistentes nas tabelas p de-se obt r o custo otal da ins alação conforme a taclaramente onde ocorre o mínimo da função custo. Desta forma o diâmetro da tubulação drecalque que minimiza o custo total é φ=6”.

Diâmetro φ 4” 6” 8” Bomba ($R) 795789,00 117510,00 44400,00 28050,00 23610,00 22410,00 21450,00Tubo ($R) 32 ,00 570 ,00 858 ,00 121 ,00 160 0 190 ,00 248 ,004412 246 096 6646 8930,0 4658 8640Total ($R) 1 9 12 16 19 25120201,00 687756,00 02496,00 44696,00 32540,00 27068,00 10090,00

C l l e i it ó ão poderia ser feito se a tubulação fosse curta.

16

omo a tubu ação é razoavelmente onga pod se descons derar o efe o dos acess rios, o quen

2500000

2 4 6 8 10 12 140

500000

1000000

1500000

2000000


Custo da bomba Custo da tubulação Custo total

Cus

to ($

R)

Diâmetro da tubulação (polegadas) Fig. 2.17–Custos da tubulação, da bomba e total em função do diâmetro do tubo.

A bo altura

anométrica H = 575m. Consultando os catálogos do fabricante KSB, têm três famílias de bombas que são capazes de atender as especificações aqui definidas. As famílias são: KSB HAD, KSB HDB e KSB WL. Os modelos que satisfazem o problema aqui proposto são:

mba a ser selecionada deverá prover uma vazão Q = 0.05555m3/s e uma m



HDA 125/4, HDB 125/3, e WL 125/4. Os modelos HDA e HDB são destinadas a bombear água de alimentação de caldeiras. Como neste problema pretende-se bombear água a uma temperatura de 40oC e que não é para alimentação de caldeira, então o modelo que mais adequa-se é o WL 125/4.

Fig. 2.18- Curva característica H×Q da família de bombas KSB WL (3500rpm). O NPSH requerido por esta bomba pode ser estimado, usando um coeficiente de sucção Sq=0

.4, por

NPSH n Q S g NPSH rps mreq q reqms

ms

≈ ⇒ ≈⎡⎣⎢

/4 3

Como o NPSH requerido, estimado acima é razoavelmente alto, é necessário que a velocidade na tubulação de sução seja menor ou igual a unidade, assim adota-se inicialm te um tubo com φ=10”, para o qual a velocidade V=1,09m/s. Considerando-se que entre tubulação propriam e dita e comprimentos equivalentes devido

a sucção

guinte maneira

⎤⎦⎥

=( / ) / . / . / . ./4 3 350060

005555 04 981 1143

2 .

en

enta acessórios localizados na tubulação de sucção, e o comprimento total equivalente nseja Ls=100m. A perda de carga na sucção (hps) pode ser calculada da se

φ = 10 100 0 1 092 2 2 2" , , , /L V m m ss s= ⇒ = ⇒ =0 0155 0 37, ,h f h h mps s ps ps

Com a tubulação definida, o modelo de bomba selecionado, e as demais informações obtidas, pode-se fazer o cômputo da altura máxima de sucção (hs), como segue

×2 0 2525 2 9 81 2, , /D g m m ss



.m339.5h)m4.11m752,0m37,0(m136,7

m4.11

mkg1000

sm81,9

mN7380

m37,0

mkg1000

sm81,9

mN107

NPSHphph reqv

psA

s =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−=

γγ

s

32

2

32

24

−=⇒++−=

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+×

+−×

×=

Assim esta bomba deve ser instalada afogada a uma altura hs=-5.339m abaixo do nível do reservatório de sucção (supostamente à pressão atmosférica).



Velocidade econômica (m/s)

Vazão econômica (m3/hora)



Comprimento equivalente (m)



HDA

HDB



PERDA DE CARGA EM VÁLVULAS, CONEXÕES E OUTROS ACIDENTES – COMPRIMENTOS EQUIVALENTES.


aplicacao de bombas

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