aplicacion a momentos

Profesora: Rosa N. Llanos Vargas

MOMENTO DE MASA

Trataremos varias aplicaciones importantes de la integración, que se refieren al concepto de

masa. La masa se considera una medida absoluta de la cantidad de materia de un cuerpo, sin

embargo, son tantas las aplicaciones en que aparece la masa en la superficie terrestre, que

tendemos a igualar la masa de un objeto con su peso. Esto es técnicamente incorrecto. El peso,

es un tipo de fuerza y, como tal, depende de la gravedad. Fuerza y masa se hayan relacionados

por la ecuación

Fuerza = Masa Aceleración ( F = m. a )

Antes de introducir el concepto de centroide, conviene recordar el concepto de momento de

masa respecto a un punto.

Sobre una varilla de peso y espesor no significativos existe un sistema de partículas, cada una

con masa mi y ubicadas a xi unidades de distancia del origen , ∀ i=1,2,3 , …, n. El sistema

puede quedar balanceado o no dependiendo del tamaño de las masas y de como están

distribuídas.

Cada masa mk , ejerce una fuerza hacia abajo dada por

Fk = mk.g

estas fuerzas tienden a hacer girar el eje alrededor de su origen (Efecto torque ).

El torque del sistema es

∑k=0

n

mk . g . xk=g .∑k=0

n

mk . xk

donde∑k=0

n

mk . xk esel momento de masadel sistema conrespecto a su origen

NOTA . El sistema está en equilibrio si el torque es cero.

Definición: Sean m1, m2,m3,…,mn masas situadas en x1,x2,x3,…, xn sobre el eje X . Entonces:

1. El momento de masa con respecto del origen es

M 0=∑k=0

n

mk . xk

2. La masa total del sistema es

m=∑k =0

n

mk

3. Centro de masa x , es el punto , donde se colocaría el punto de apoyo para obtener el

equilibrio estático. Es como si se colocara toda la masa en él.1


x=M 0

m=∑i=0

n

mi xi

∑i=0

n

mi

CENTRO DE MASA DE UNA VARILLA

Si se tiene una varilla no homogénea, entonces la densidad lineal ρ varía a lo largo de la

varilla. Si L es la longitud de la varilla y ρ(x) slug/p representa la densidad lineal en el punto x;

ρ es continua en [ 0 , L] , la masa de la i-ésima partición de la varilla será

∆ im= ρ(εi)∆i x

Y el momento de masa con respecto al origen de la partición i-ésima es:

moi=εi ∆i m=εi . ρ(εi)∆i x

De allí que la masa y el momento de masa de la varilla serán

∑i=0

n

∆i m≈∑i=0

n

ρ ( εi ) ∆i x ,m0 ≈∑i=0

n

εi . ρ (εi)∆i x

Definición .Si ρ(x) slug/p representa la densidad lineal en el punto x de una varilla de longitud

L; ρ es continua en [ 0 , L] ,entonces

1. La masa de la varilla es : m=∫0

L

ρ ( x ) dx

2. El momento de masa es : m0=∫0

L

x ρ (x ) dx ………………… (1)

3. El centro de masa es x=∫

0

L

x ρ ( x ) dx

∫0

L

ρ ( x )dx

………………………… …(2)

NOTA.- Si la varilla es homogénea ρ ( x )=k , entonces su masa es proporcional a su longitud,

m = kL

Ejemplo1. La longitud de una varilla es 9 pulgadas y la densidad lineal en un punto a x pies de

un extremo es (4x+1) slug-pie . Hallar m y m0.

Solución

m=∫0

9

( 4 x+1 ) dx=171

2


x=∫

0

9

x ( 4 x+1 )dx

171=5.92 pies

Ejemplo2. La medida de la densidad lineal en un punto de una varilla varía directamente

proporcional con el cubo de la medida de la distancia del punto desde un extremo. La varilla

mide 4 pies y la densidad de la varilla es de 2 pies en el centro. Hallar x

Solución

Luego ρ ( x )=14(4−x)3

,entoncesm=1

4∫0

4

(4−x)3 dx=16∧ x=

14∫0

4

x (4−x )3 dx

m=16

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CENTRO DE MASA DE UNA REGION PLANA

Podemos extender el concepto de momento a dos dimensiones considerando un sistema de

masas situadas en los puntos (x1, y1), (x2 , y2), (x3, y3),…, (xn, yn) pero en lugar de definir un

único momento (con respecto al origen),definimos dos momentos, uno respecto al eje X y otro

respecto al eje Y.

Consideramos una placa plana de un material de densidad uniforme ( la llamaremos lámina).

Intuitivamente, vemos el centro de masas (x,y) de la lámina como supunto de equilibrio. Es

como si toda la masa estuviera concentrada en el punto ( x, y) , por tanto es el punto de

equilibrio estático.

Si se tratara de una lámina plana de densidad uniforme, ρ, el centro de masas sería el centro

geométrico de la lámina. Así, en el caso de un rectángulo, el centro de masas es el punto de

corte de sus diagonales( centro del rectángulo) , en un círculo su centro, en un triángulo su

baricentro, etcétera. Si la lámina es simétrica con respecto a una recta, entonces el centro de

masa se encuentra sobre el eje de simetría.

Considérese una lámina plana de contornos irregulares y densidad uniforme limitada por las

gráficas de yf(x) ,yg(x) , f ( x ) ≤ g ( x ) ;sobre [a , b]. La masa de esta región será:

m = densidad. área

Para hallar el centro de masas de esta lámina, partimos el intervalo [a,b] en n -subintervalos

iguales de anchura x . Entonces, si xi es el centro del i-ésimo, subintervalo, entonces podemos

3

x

0 4

ρ ( x )=k (4−x )3 , además ρ (2 )=2, entonces

ρ (2 )=k (2)3=2⇒k=14


aproximar la porción de lámina situada en él por un rectángulo cuya altura es h = g(x i) - f(x i)

Por ser la densidad del rectángulo , sabemos que la masa es

mi=ρ [ g ( x i )−f (x i) ] . ∆ x

Consideramos que esta masa está situada en el centro del rectángulo ( xi ,yi). Sabemos que la

distancia del eje X a ( xi ,yi) es

y i=[ g ( x i )+f (xi)]

2

Por tanto, el momento mi con respecto al eje X es:

momento=masa .distancia=mi y i= ρ. [ g ( x i )−f (x i) ] . ∆ x⏟masa

.[ g ( x i )+ f (x i)2 ]⏟

distancia

Sumando estos momentos y si n →+∞, definimos el momento de la lámina con respecto al eje

X,

M X=ρ∫a

b [ g ( x )+f (x)2 ] . [ g ( x )−f (x) ]dx= ρ

2∫a

b

[(g ( x ))2−(f ( x ))2 ]dx

M X=ρ2∫

a

b

[(g ( x ))2−( f (x ))2 ] dx

Como la distancia desde el eje Y a ( xi ,yi) es xi ,entonces el momento respecto a dicho eje es:

M Y=ρ∫a

b

x [ g ( x )−f (x)] dx

Una vez visto esto, tenemos la siguiente definición.

Definición: Sean f yg funciones continuas tales que g(x)≥ f (x) en [a,b]. Consideremos la lámina

plana de densidad uniforme limitada por las gráficas de yf(x),yg(x), con axb. Entonces:

1.Los momentos respecto de los ejes X e Y son:

M X=ρ2∫

a

b

[(g ( x ))2−( f (x ))2 ] dx……… ..(3)

M Y=ρ∫a

b

x [ g ( x )− f (x)] dx ……………(4)

2. El centro de masas (x , y ) viene dado por:

x=M y

m, y=

M X

m

4


( x , y )=(∫ab

x [ g ( x )−f (x) ]dx

∫a

b

[ g ( x )−f (x)] dx

,

12∫

a

b

[(g ( x ))2−( f ( x ))2 ] dx

∫a

b

[g ( x )−f (x )] dx )Observación: La densidad es factor común del momento y de la masa, razón por la cual se

cancela en el cociente y no aparece en las coordenadas del centro de masa. Así pues, el centro de

masa de una lámina de densidad uniforme depende sólo de la forma de la lámina, no de su

densidad. Por eso el centro de masas de la lámina se llama a veces centro de masas de la región

del plano que ocupa la lámina, o también centroide de la región ( en este caso ρ = 1).

Ejemplo. Hallar el centroide de la región R limitada por las curvas y = ax2 , x = a

Solución

Sea ( x , y )=(xc , y c)

Yc= 0 , puesto que el segmento es simétrico respecto al eje OX.

CENTRO DE GRAVEDAD DE UNA CURVA PLANA

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Supongamos que la ecuación y = f(x), a x b, define una curva material AB. Sea d la densidad

lineal (masa de la unidad de longitud de la curva dada,que supondremos igual en todos los puntos de

la curva) de esta curva material.

Dividimos la curva en n partes de longitudes s1, ... , sn. Las masas de estas partes serán iguales a

los productos de sus longitudes por la densidad lineal

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TEOREMA DE PAPPUS PARA VOLUMEN.

Sea una región plana R de área A, que se hace rotar alrededor de una línea recta que está en su

plano pero que no intersepta la región ( a lo sumo es frontera de ella ). El volumen V del sólido

de revolución generado es igual al producto del área por la distanciaque recorre el centroide al

girar. Es decir

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V=2 π . r . A

Donde:

r es la distancia del centroide de R a la recta L. Si L: ax + by +c = 0 , (x , y ) es el

centroide, entonces r = d[ ( x , y ) , L]=|a x+b y+c|

√a2+b2

A es el área de R. (Obsérvese que 2r es la distancia que recorre el centroide de la

región al girar entorno a la recta L)

OBSERVACION

Si L: y = 0 , entonces el eje de giro es X ,luego V=2 π . y . A

Ejemplo. Calcular el volumen que se genera cuando la circunferencia (x- 2) 2 + y 2 = 1 gira

alrededor de la recta L: x + y = 4.

Solución

( x= 2 ) ∧( y = 0 ) son ejes de simetría de la circunferencia, por tanto ( x , y ) = ( 2 , 0 )

d[ ( x , y ) , L ]=|2+0−4|√2

= 2√2

V=2π .2√2

. π (1)2=4 π2

√2

TEOREMA DE PAPPUS PARA AREAS DE SUPERFICIES

Si un arco de una curva plana suave se hace girar alrededor de una recta en el plano, de manera

que ésta no corte el interior del arco, entonces el área de la superficie generada por el arco es

igual a la longitud del arco,L, por la distancia recorrida por el centroide del arco durante la

rotación.Si “d” es la distancia entre el eje de rotación y el centroide, entonces

S=2π . d . L

Ejercicios.

Calcular el volumen y el área de la superficie de revolución que se genera cuando la región R

gira alrededor de la recta L.

1. R:y = 4 –x2, eje X , L: x- y = 5

2. R: y= 2x + 1 , x + y = 7 , x = 8 ; L : y- 2x - 9 = 0

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3. R: y = x3 , y = 4x , primer cuadrante , L: x = - 5

4. R: y = x2 – 4 , y = 2x – x2 , L: 4x- 3y = - 12

5. R: 2y2= 18 – 3x , eje Y ; ρ ( x , y )=√6−x2 , L: y = 6

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aplicacion a momentos

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