aplicación libre 3
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Aplicación Libre 3 – Utilizando los Métodos de Solución EDO
ROMARIO FAJARDO AMAYAFABIÁN EULYN RIVAS CARRILLO
FREDY CONTRERAS SALASGRUPO: 01 - SIMULACIÓN
INTRODUCCIÓN
La simulación de aplicaciones en la computadora, es la herramienta mas poderosa hasta ahora conocida, para la solución de problemas en el campo de las ciencias exactas, en este caso los métodos numéricos para la solución EDO, como punto principal por sus aplicaciones en la ingeniería y en infinidades de ramas.
El trabajo monótono que se hacia anteriormente, al uso de la simulación de aplicaciones en la computadora, hace de importancia, el dominio de los métodos numéricos para la solución EDO, los cuales se deben llevar a cabo en combinación con las capacidades y potencialidades de la programación de estas aplicaciones para de esa forma resolver los problemas de ingeniería mucho mas fácilmente y eficientemente.
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Un piloto pierde el control de un aeroplano y esta apunto de estrellarse pero decide lanzarse al vacío con un paracaídas, el piloto con una masa M de 70 kg. Calcular la velocidad del piloto desde el momento que salto para salvar su vida hasta los 20 s después que fue el momento que abrió el paracaídas y salir del peligro en el que se encontraba.
Consideremos que la velocidad vertical inicial del piloto es cero en t = 0 y que la caída es vertical. Si el arrastre aerodinámico esta dado por Faire = , donde c es una constante aproximadamente igual a 0.27 kg/m. y v es la velocidad vertical (positiva hacia abajo).
MODELO MATEMÁTICO
Formula de la primera ley de newton:
F= ma F es la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo.
m es la masa del objeto.
Utilizando esta ley, vamos a determinar la velocidad del piloto en caída libre. Para este caso expresamos la aceleración como la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo (dv/dt). Y sustituimos en la ecuación de nueva forma:F=m(dv/dt)
MODELO MATEMÁTICO (II)
Para un cuerpo que cae la fuerza total esta compuesta por dos fuerzas contrarias, la atracción debida a la gravedad Fgravedad, y la fuerza hacia arriba debida a la resistencia del aire Faire.
Por lo tanto: F= Fgravedad + FaireLa fuerza debida a la gravedad se puede rescribir: Fgravedad=mg g :: constante de gravitación= 9.8 m/.La resistencia del aire se puede formular como una aproximación sencilla proporcional a la velocidad: Faire = - c :: constante de proporcionalidad llamada coeficiente de arrastre.
MODELO MATEMÁTICO (III)
Entonces la fuerza total es la diferencia de las fuerzas hacia abajo y hacia arriba, así que combinando las ecuaciones anteriores:
• m o dividiendo cada lado entre m:
Remplazando los valores que nos plantea el problema tenemos:
Aplicación Libre 3 – Utilizando el Método de Solución de Euler
Solución Software Resultados
iteración
Tiempo
Velocidad
1 0 0
2 0.1 0.9800
3 0.2 1.9600
4 0.3 2.9400
6 0.5 4.8999
10 0.9 8.8192
50 4.9 47.8733
100 9.9 95.7913
150 14.9 141.8096
199 19.8 184.1353
200 19.9 184.9640
En el método de Euler tuvimos como entradas:
Ecuación Diferencial :(-0.27/70)*x^2+9.8
Valor del Primer Punto x1: 0
Valor del Segundo Punto x2: 20
Condición inicial y(x0): 0
Ingrese el valor de pasos h=0.1
Aplicación Libre 3 – Utilizando el Método de Solución deRunge -Kutta
Solución Software Resultados
En el método de Runge - Kutta tuvimos como entradas:
Ecuación Diferencial :(-0.27/70)*x^2+9.8
Valor del Primer Punto x1: 0
Valor del Segundo Punto x2: 20
Condición inicial y(x0): 0
Ingrese el numero de pasos n= 200
iteración
Tiemp
o
Velocidad
0 0 0.9800
1 0.1 1.9600
2 0.2 2.9400
3 0.3 3.9199
5 0.5 5.8797
10 1.0 10.7783
50 5.0 49.8094
100 10.0 97.6553
150 15.0 143.5533
198 19.9 184.8878
199 20.0 185.7143
ConclusiónMétodo de Euler
Método de Runge Kutta
Solución Analítica: 185.7013 km/h
iteración
Tiempo
Velocidad
1 0 0
2 0.1 0.9800
3 0.2 1.9600
4 0.3 2.9400
6 0.5 4.8999
10 0.9 8.8192
50 4.9 47.8733
100 9.9 95.7913
150 14.9 141.8096
199 19.8 184.1353
200 19.9 184.9640
iteración
Tiemp
o
Velocidad
0 0 0.9800
1 0.1 1.9600
2 0.2 2.9400
3 0.3 3.9199
5 0.5 5.8797
10 1.0 10.7783
50 5.0 49.8094
100 10.0 97.6553
150 15.0 143.5533
198 19.9 184.8878
199 20.0 185.7143
Conclusión
EL MEJOR MÉTODO A UTILIZAR ES EL MÉTODO DE RUNGE KUTTA YA QUE SE APROXIMA MAS AL RESULTADO DESEADO Y UN MARGEN DE ERROR MENOR A LOS DEMÁS MÉTODOS, Y OBSERVAMOS QUE GRACIAS A ESTAS APLICACIONES RESUELTAS CON HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS EN LA COMPUTADORA SE PUEDEN DESARROLLAR INFINIDADES DE CASOS QUE OCURREN EN LA VIDA REAL, ADEMÁS DE PROBLEMAS DE LAS DIFERENTES RAMAS DE LAS CIENCIAS.