5 Las Funciones Trigonométricas

Aplicaciones adicionales de funciones trigonométricas

Resolver un triángulo rectángulo

• En un triángulo rectángulo si se conoce un de los ángulos agudos y un lado o si nos dan las medidas de dos lados entonces podemos usar la fórmulas en 5.2 para hallar las demás medidas del triángulo.

• Le llamamos a este proceso, resolver el triángulo.

Ejemplo Resuelva el triángulo ∆ABC, si C = 90°, A = 34°, y b = 10.5. Solución: Como la suma de los 3 ángulos internos es 180°, tenemos que A + B + C = 180°. Resolviendo para el ángulo B tenemos B = 180° – A – B = 180° – 34° – 90° = 56°.

Solución (cont)

• Para determinar a, de la figura anterior tenemos

• Para hallar el largo de c, podemos usar la función del coseno.

Solución (cont)

Aplicaciones: Tipos de ángulos

Ejemplo • El ángulo de elevación de una rampa de 80 pies

de largo que lleva hacia un puente que está encima de una carretera, es de 10.5o . Encontrar la altura a la cual se encuentra el puente por encima de la carretera.

Solución (cont) • La figura nos da

• El puente se encuentra a aproximadamente 14.6 pies por encima de la carretera.

sin 10.5𝑜 =ℎ

80

(80)sin 10.5𝑜 = ℎ

14.57884204 = ℎ ℎ ≈ 14.6 𝑓𝑓

Ejemplo • Desde el techo de una casa, el ángulo de

depresión con un punto en el suelo es 25o. Este punto se encuentra a 35 metros de la base del edificio. ¿ Cuán alto es el edificio?

Ejemplo (cont)

• El edificio tiene una altura de aproximadamente 16 metros.

tan 25𝑜 =𝐵𝐵35

(35)tan 25𝑜 = 𝐵𝐵

16.32076804 = 𝐵𝐵

BC ≈ 16.3 m

Ejemplo • El tope de una colina es 40 metros más alto que

un aeropuerto cercano. La distancia horizontal desde el final de la pista de despuegue hasta un punto directamente debajo del tope es 325 metros. Un avión despega de la pista en dirección hacia la colina . ¿A qué ángulo debe despegar el avión si el piloto quiere pasar a 30 metros por encima de la colina?

Solución tan𝜃𝑜 = 70

325

𝜃 = 𝑓𝑡𝑡−170

325

𝜃 = 12.1549417

El avión debe despegar a 12.2o .

Hallar la ecuación de la forma y = a cos(bx + c)

Hallar la ecuación de la forma y = a cos(bx + c)

(solución) 𝒂 =

𝟑𝟒

periodo= 2𝜋3− −𝜋

3= 𝜋

2𝜋𝑏 = 𝜋

2𝜋 = 𝜋𝑏

cambio de fase e𝑠 𝜋3

hacia la izquierda −𝑐𝑏 = −

𝜋3

−𝑐2 = −

𝜋3

𝒄 =𝟐𝝅𝟑

Hallar la ecuación de la forma y = a cos(bx + c)

(solución continuada) 𝒂 =

𝟑𝟒

2𝜋𝑏 = 𝜋

2𝜋 = 𝜋𝑏

cambio de fase e𝑠 𝜋3

hacia la izquierda −𝑐𝑏 = −

𝜋3

−𝑐2 = −

𝜋3

𝒄 =𝟐𝝅𝟑

𝐿𝑡 𝑒𝑐𝑒𝑡𝑐𝑒𝑒𝑡 𝑒𝑠: 𝑦 = 34 cos 2𝑥 +

2𝜋3