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Semana 10 [1/52]
Aplicaciones de la integral
September 30, 2007
Aplicaciones de la integral
Apicaciones de la integral Semana 10 [2/52]
Longitud de un Arco de Curva
y = f (x) la ecuación de una curva en el plano OXY , donde x ∈ [a, b].
Queremos calcular el largo de la curva.
Q = {x0 . . . , xn}: Partición del intervalo [a, b].
En [xi−1, xi ], se a aproxima la curva con el segmento entrePi−1 = (xi−1, f (xi−1)) y Pi = (xi , f (xi)).Si f es diferenciable,
Lba(f ) = lim
|Q|→0
n∑
i=1
Pi−1Pi︸ ︷︷ ︸
∆Li=√
1+f ′2(ξi )(xi−xi−1)
.
Luego
Largo curva
Lba(f ) =
∫ b
a
√
1 + f ′2(x)dx .
Aplicaciones de la integral
Apicaciones de la integral Semana 10 [3/52]
Longitud de un Arco de Curva
y = f (x) la ecuación de una curva en el plano OXY , donde x ∈ [a, b].
Queremos calcular el largo de la curva.
Q = {x0 . . . , xn}: Partición del intervalo [a, b].
En [xi−1, xi ], se a aproxima la curva con el segmento entrePi−1 = (xi−1, f (xi−1)) y Pi = (xi , f (xi)).Si f es diferenciable,
Lba(f ) = lim
|Q|→0
n∑
i=1
Pi−1Pi︸ ︷︷ ︸
∆Li=√
1+f ′2(ξi )(xi−xi−1)
.
Luego
Largo curva
Lba(f ) =
∫ b
a
√
1 + f ′2(x)dx .
Aplicaciones de la integral
Apicaciones de la integral Semana 10 [4/52]
Longitud de un Arco de Curva
y = f (x) la ecuación de una curva en el plano OXY , donde x ∈ [a, b].
Queremos calcular el largo de la curva.
Q = {x0 . . . , xn}: Partición del intervalo [a, b].
En [xi−1, xi ], se a aproxima la curva con el segmento entrePi−1 = (xi−1, f (xi−1)) y Pi = (xi , f (xi)).Si f es diferenciable,
Lba(f ) = lim
|Q|→0
n∑
i=1
Pi−1Pi︸ ︷︷ ︸
∆Li=√
1+f ′2(ξi )(xi−xi−1)
.
Luego
Largo curva
Lba(f ) =
∫ b
a
√
1 + f ′2(x)dx .
Aplicaciones de la integral
Apicaciones de la integral Semana 10 [5/52]
Longitud de un Arco de Curva
y = f (x) la ecuación de una curva en el plano OXY , donde x ∈ [a, b].
Queremos calcular el largo de la curva.
Q = {x0 . . . , xn}: Partición del intervalo [a, b].
En [xi−1, xi ], se a aproxima la curva con el segmento entrePi−1 = (xi−1, f (xi−1)) y Pi = (xi , f (xi)).Si f es diferenciable,
Lba(f ) = lim
|Q|→0
n∑
i=1
Pi−1Pi︸ ︷︷ ︸
∆Li=√
1+f ′2(ξi )(xi−xi−1)
.
Luego
Largo curva
Lba(f ) =
∫ b
a
√
1 + f ′2(x)dx .
Aplicaciones de la integral
Apicaciones de la integral Semana 10 [6/52]
Longitud de un Arco de Curva
y = f (x) la ecuación de una curva en el plano OXY , donde x ∈ [a, b].
Queremos calcular el largo de la curva.
Q = {x0 . . . , xn}: Partición del intervalo [a, b].
En [xi−1, xi ], se a aproxima la curva con el segmento entrePi−1 = (xi−1, f (xi−1)) y Pi = (xi , f (xi)).Si f es diferenciable,
Lba(f ) = lim
|Q|→0
n∑
i=1
Pi−1Pi︸ ︷︷ ︸
∆Li=√
1+f ′2(ξi )(xi−xi−1)
.
Luego
Largo curva
Lba(f ) =
∫ b
a
√
1 + f ′2(x)dx .
Aplicaciones de la integral
Apicaciones de la integral Semana 10 [7/52]
Longitud de un Arco de Curva
y = f (x) la ecuación de una curva en el plano OXY , donde x ∈ [a, b].
Queremos calcular el largo de la curva.
Q = {x0 . . . , xn}: Partición del intervalo [a, b].
En [xi−1, xi ], se a aproxima la curva con el segmento entrePi−1 = (xi−1, f (xi−1)) y Pi = (xi , f (xi)).Si f es diferenciable,
Lba(f ) = lim
|Q|→0
n∑
i=1
Pi−1Pi︸ ︷︷ ︸
∆Li=√
1+f ′2(ξi )(xi−xi−1)
.
Luego
Largo curva
Lba(f ) =
∫ b
a
√
1 + f ′2(x)dx .
Aplicaciones de la integral
Apicaciones de la integral Semana 10 [8/52]
Manto de un Sólido de Revolución
y = f (x) la ecuación de una curva en el plano OXY , con f es continuamentediferenciable en [a, b].
Q = {x0, . . . , xn} una partición del intervalo [a, b].
En [xi−1, x1], la rotación del trazo entre Pi−1 = (xi−1, f (xi−1)) yPi = (xi , f (xi)) genera el manto de un tronco de cono de área
∆Ai = 2πf (xi)∆Li
xi ∈ [xi−1, xi ].
Aba(f ) = lim
|Q|→0
n∑
i=1
∆Ai
= lim|Q|→0
n∑
i=1
2πf (xi)∆Li
= lim|Q|→0
n∑
i=1
2πf (xi)
√
1 + f ′2(ξi)∆xi .
Aplicaciones de la integral
Apicaciones de la integral Semana 10 [9/52]
Manto de un Sólido de Revolución
y = f (x) la ecuación de una curva en el plano OXY , con f es continuamentediferenciable en [a, b].
Q = {x0, . . . , xn} una partición del intervalo [a, b].
En [xi−1, x1], la rotación del trazo entre Pi−1 = (xi−1, f (xi−1)) yPi = (xi , f (xi)) genera el manto de un tronco de cono de área
∆Ai = 2πf (xi)∆Li
xi ∈ [xi−1, xi ].
Aba(f ) = lim
|Q|→0
n∑
i=1
∆Ai
= lim|Q|→0
n∑
i=1
2πf (xi)∆Li
= lim|Q|→0
n∑
i=1
2πf (xi)
√
1 + f ′2(ξi)∆xi .
Aplicaciones de la integral
Apicaciones de la integral Semana 10 [10/52]
Manto de un Sólido de Revolución
y = f (x) la ecuación de una curva en el plano OXY , con f es continuamentediferenciable en [a, b].
Q = {x0, . . . , xn} una partición del intervalo [a, b].
En [xi−1, x1], la rotación del trazo entre Pi−1 = (xi−1, f (xi−1)) yPi = (xi , f (xi)) genera el manto de un tronco de cono de área
∆Ai = 2πf (xi)∆Li
xi ∈ [xi−1, xi ].
Aba(f ) = lim
|Q|→0
n∑
i=1
∆Ai
= lim|Q|→0
n∑
i=1
2πf (xi)∆Li
= lim|Q|→0
n∑
i=1
2πf (xi)
√
1 + f ′2(ξi)∆xi .
Aplicaciones de la integral
Apicaciones de la integral Semana 10 [11/52]
Manto de un Sólido de Revolución
y = f (x) la ecuación de una curva en el plano OXY , con f es continuamentediferenciable en [a, b].
Q = {x0, . . . , xn} una partición del intervalo [a, b].
En [xi−1, x1], la rotación del trazo entre Pi−1 = (xi−1, f (xi−1)) yPi = (xi , f (xi)) genera el manto de un tronco de cono de área
∆Ai = 2πf (xi)∆Li
xi ∈ [xi−1, xi ].
Aba(f ) = lim
|Q|→0
n∑
i=1
∆Ai
= lim|Q|→0
n∑
i=1
2πf (xi)∆Li
= lim|Q|→0
n∑
i=1
2πf (xi)
√
1 + f ′2(ξi)∆xi .
Aplicaciones de la integral
Apicaciones de la integral Semana 10 [12/52]
Manto de un Sólido de Revolución
y = f (x) la ecuación de una curva en el plano OXY , con f es continuamentediferenciable en [a, b].
Q = {x0, . . . , xn} una partición del intervalo [a, b].
En [xi−1, x1], la rotación del trazo entre Pi−1 = (xi−1, f (xi−1)) yPi = (xi , f (xi)) genera el manto de un tronco de cono de área
∆Ai = 2πf (xi)∆Li
xi ∈ [xi−1, xi ].
Aba(f ) = lim
|Q|→0
n∑
i=1
∆Ai
= lim|Q|→0
n∑
i=1
2πf (xi)∆Li
= lim|Q|→0
n∑
i=1
2πf (xi)
√
1 + f ′2(ξi)∆xi .
Aplicaciones de la integral
Apicaciones de la integral Semana 10 [13/52]
Manto de un Sólido de Revolución
y = f (x) la ecuación de una curva en el plano OXY , con f es continuamentediferenciable en [a, b].
Q = {x0, . . . , xn} una partición del intervalo [a, b].
En [xi−1, x1], la rotación del trazo entre Pi−1 = (xi−1, f (xi−1)) yPi = (xi , f (xi)) genera el manto de un tronco de cono de área
∆Ai = 2πf (xi)∆Li
xi ∈ [xi−1, xi ].
Aba(f ) = lim
|Q|→0
n∑
i=1
∆Ai
= lim|Q|→0
n∑
i=1
2πf (xi)∆Li
= lim|Q|→0
n∑
i=1
2πf (xi)
√
1 + f ′2(ξi)∆xi .
Aplicaciones de la integral
Apicaciones de la integral Semana 10 [14/52]
Manto de un Sólido de Revolución
Como el anterior no es un límite de suma de Riemann, hacemos:
Aba(f ) = lim
|Q|→0
n∑
i=1
2πf (ξi)
√
1 + f ′2(ξi)∆xi
+ lim|Q|→0
n∑
i=1
2π (f (xi) − f (ξi))
√
1 + f ′2(ξi)∆xi .
La segunda suma converge a cero. Luego
Área manto sólido de revoluciónAb
a(f ) = 2π
∫ b
af (x)
√
1 + [f ′(x)]2dx .
Aplicaciones de la integral
Apicaciones de la integral Semana 10 [15/52]
Manto de un Sólido de Revolución
Como el anterior no es un límite de suma de Riemann, hacemos:
Aba(f ) = lim
|Q|→0
n∑
i=1
2πf (ξi)
√
1 + f ′2(ξi)∆xi
+ lim|Q|→0
n∑
i=1
2π (f (xi) − f (ξi))
√
1 + f ′2(ξi)∆xi .
La segunda suma converge a cero. Luego
Área manto sólido de revoluciónAb
a(f ) = 2π
∫ b
af (x)
√
1 + [f ′(x)]2dx .
Aplicaciones de la integral
Apicaciones de la integral Semana 10 [16/52]
Manto de un Sólido de Revolución
Como el anterior no es un límite de suma de Riemann, hacemos:
Aba(f ) = lim
|Q|→0
n∑
i=1
2πf (ξi)
√
1 + f ′2(ξi)∆xi
+ lim|Q|→0
n∑
i=1
2π (f (xi) − f (ξi))
√
1 + f ′2(ξi)∆xi .
La segunda suma converge a cero. Luego
Área manto sólido de revoluciónAb
a(f ) = 2π
∫ b
af (x)
√
1 + [f ′(x)]2dx .
Aplicaciones de la integral
Apicaciones de la integral Semana 10 [17/52]
Manto de un Sólido de Revolución
Como el anterior no es un límite de suma de Riemann, hacemos:
Aba(f ) = lim
|Q|→0
n∑
i=1
2πf (ξi)
√
1 + f ′2(ξi)∆xi
+ lim|Q|→0
n∑
i=1
2π (f (xi) − f (ξi))
√
1 + f ′2(ξi)∆xi .
La segunda suma converge a cero. Luego
Área manto sólido de revoluciónAb
a(f ) = 2π
∫ b
af (x)
√
1 + [f ′(x)]2dx .
Aplicaciones de la integral
Coordenadas polares Semana 10 [18/52]
Definición
Coordenadas polaresDado los reales r y φ, se determina el punto P del plano de coordenadas(x , y) mediante las fórmulas
x = rcos φ
y = rsen φ.
(r , φ): Coordenadas polares del punto P.
Aplicaciones de la integral
Coordenadas polares Semana 10 [19/52]
Definición
Coordenadas polaresDado los reales r y φ, se determina el punto P del plano de coordenadas(x , y) mediante las fórmulas
x = rcos φ
y = rsen φ.
(r , φ): Coordenadas polares del punto P.
Aplicaciones de la integral
Coordenadas polares Semana 10 [20/52]
Definición
Coordenadas polaresDado los reales r y φ, se determina el punto P del plano de coordenadas(x , y) mediante las fórmulas
x = rcos φ
y = rsen φ.
(r , φ): Coordenadas polares del punto P.
Aplicaciones de la integral
Coordenadas polares Semana 10 [21/52]
Algunos conjuntos
Ejemplosr = cte define una circunferencia con centro en 0.
φ = cte define una recta que pasa por el origen de pendiente tg φ.
r = a(1 + εsen φ) con ε pequeño define una curva cercana a unacircunferencia de radio a.
Aplicaciones de la integral
Coordenadas polares Semana 10 [22/52]
Algunos conjuntos
Ejemplosr = cte define una circunferencia con centro en 0.
φ = cte define una recta que pasa por el origen de pendiente tg φ.
r = a(1 + εsen φ) con ε pequeño define una curva cercana a unacircunferencia de radio a.
Aplicaciones de la integral
Coordenadas polares Semana 10 [23/52]
Algunos conjuntos
Ejemplosr = cte define una circunferencia con centro en 0.
φ = cte define una recta que pasa por el origen de pendiente tg φ.
r = a(1 + εsen φ) con ε pequeño define una curva cercana a unacircunferencia de radio a.
Aplicaciones de la integral
Coordenadas polares Semana 10 [24/52]
Área en coordenadas polares
f : [a, b] → R una función integrable.
Se define la curva en coordenadas polares r = f (φ).
f no negativa y b − a ≤ 2π.
Buscamos el área de
R = {(rcos φ, rsen φ) : φ ∈ [a, b], r ∈ [0, f (φ)]}.
Aplicaciones de la integral
Coordenadas polares Semana 10 [25/52]
Área en coordenadas polares
f : [a, b] → R una función integrable.
Se define la curva en coordenadas polares r = f (φ).
f no negativa y b − a ≤ 2π.
Buscamos el área de
R = {(rcos φ, rsen φ) : φ ∈ [a, b], r ∈ [0, f (φ)]}.
Aplicaciones de la integral
Coordenadas polares Semana 10 [26/52]
Área en coordenadas polares
f : [a, b] → R una función integrable.
Se define la curva en coordenadas polares r = f (φ).
f no negativa y b − a ≤ 2π.
Buscamos el área de
R = {(rcos φ, rsen φ) : φ ∈ [a, b], r ∈ [0, f (φ)]}.
Aplicaciones de la integral
Coordenadas polares Semana 10 [27/52]
Área en coordenadas polares
f : [a, b] → R una función integrable.
Se define la curva en coordenadas polares r = f (φ).
f no negativa y b − a ≤ 2π.
Buscamos el área de
R = {(rcos φ, rsen φ) : φ ∈ [a, b], r ∈ [0, f (φ)]}.
Aplicaciones de la integral
Coordenadas polares Semana 10 [28/52]
Área en coordenadas polares
Sea P = {φ0, φ1, . . . , φn} una partición del intervalo [a, b].
Sean
Ri = {(rcos φ, rsen φ); φ ∈ [φi−1, φi ], r ∈ [0, f (φ)]}R i = {(rcos φ, rsen φ); φ ∈ [φi−1, φi ], r ∈ [0, mi(f )]}R i = {(rcos φ, rsen φ); φ ∈ [φi−1, φi ], r ∈ [0, Mi(f )]}.
Es claro que:
R =n⋃
i=1
Ri y que,
R i ⊆ Ri ⊆ Ri
luego:
12
m2i (f )∆φi = area(R i) ≤ area(Ri) ≤ area(Ri) =
12
M2i (f )∆φi .
Aplicaciones de la integral
Coordenadas polares Semana 10 [29/52]
Área en coordenadas polares
Sea P = {φ0, φ1, . . . , φn} una partición del intervalo [a, b].
Sean
Ri = {(rcos φ, rsen φ); φ ∈ [φi−1, φi ], r ∈ [0, f (φ)]}R i = {(rcos φ, rsen φ); φ ∈ [φi−1, φi ], r ∈ [0, mi(f )]}R i = {(rcos φ, rsen φ); φ ∈ [φi−1, φi ], r ∈ [0, Mi(f )]}.
Es claro que:
R =n⋃
i=1
Ri y que,
R i ⊆ Ri ⊆ Ri
luego:
12
m2i (f )∆φi = area(R i) ≤ area(Ri) ≤ area(Ri) =
12
M2i (f )∆φi .
Aplicaciones de la integral
Coordenadas polares Semana 10 [30/52]
Área en coordenadas polares
Sea P = {φ0, φ1, . . . , φn} una partición del intervalo [a, b].
Sean
Ri = {(rcos φ, rsen φ); φ ∈ [φi−1, φi ], r ∈ [0, f (φ)]}R i = {(rcos φ, rsen φ); φ ∈ [φi−1, φi ], r ∈ [0, mi(f )]}R i = {(rcos φ, rsen φ); φ ∈ [φi−1, φi ], r ∈ [0, Mi(f )]}.
Es claro que:
R =n⋃
i=1
Ri y que,
R i ⊆ Ri ⊆ Ri
luego:
12
m2i (f )∆φi = area(R i) ≤ area(Ri) ≤ area(Ri) =
12
M2i (f )∆φi .
Aplicaciones de la integral
Coordenadas polares Semana 10 [31/52]
Área en coordenadas polares
Sea P = {φ0, φ1, . . . , φn} una partición del intervalo [a, b].
Sean
Ri = {(rcos φ, rsen φ); φ ∈ [φi−1, φi ], r ∈ [0, f (φ)]}R i = {(rcos φ, rsen φ); φ ∈ [φi−1, φi ], r ∈ [0, mi(f )]}R i = {(rcos φ, rsen φ); φ ∈ [φi−1, φi ], r ∈ [0, Mi(f )]}.
Es claro que:
R =n⋃
i=1
Ri y que,
R i ⊆ Ri ⊆ Ri
luego:
12
m2i (f )∆φi = area(R i) ≤ area(Ri) ≤ area(Ri) =
12
M2i (f )∆φi .
Aplicaciones de la integral
Coordenadas polares Semana 10 [32/52]
Área en coordenadas polares
Sumando sobre i ,
12
s(f 2, P) ≤ area(R) ≤ 12
S(f 2, P)
De donde,
Área en coordenadas polares
A(R) =12
∫ b
af 2(φ)dφ.
Aplicaciones de la integral
Coordenadas polares Semana 10 [33/52]
Área en coordenadas polares
Sumando sobre i ,
12
s(f 2, P) ≤ area(R) ≤ 12
S(f 2, P)
De donde,
Área en coordenadas polares
A(R) =12
∫ b
af 2(φ)dφ.
Aplicaciones de la integral
Coordenadas polares Semana 10 [34/52]
Área en coordenadas polares
Sumando sobre i ,
12
s(f 2, P) ≤ area(R) ≤ 12
S(f 2, P)
De donde,
Área en coordenadas polares
A(R) =12
∫ b
af 2(φ)dφ.
Aplicaciones de la integral
Centro de Gravedad de una Superficie Plana Semana 10 [35/52]
Momento estático
Consideramos un plano ideal, sin peso, en el cual se encuentranlocalizadas n partículas puntuales Pi de masas mi , i = 1, . . . , n.
Consideramos un sistema ortogonal de ejes OXY en el plano.
Momento Estático : Tendencia a rotar del plano en torno de L.
Recta L : x = x0.Momento estático de la partícula i con respecto a la recta L es:
ML(xi) = (xi − x0) · mig.
Momento estático total:
ML =n∑
i=1
(xi − x0)mig.
De aquí, no hay tendencia a la rotación en el punto de coordenadas:
x0 =
∑mixi
∑mi
, y0 =
∑miyi
∑mi
.
Centro de GravedadAplicaciones de la integral
Centro de Gravedad de una Superficie Plana Semana 10 [36/52]
Momento estático
Consideramos un plano ideal, sin peso, en el cual se encuentranlocalizadas n partículas puntuales Pi de masas mi , i = 1, . . . , n.
Consideramos un sistema ortogonal de ejes OXY en el plano.
Momento Estático : Tendencia a rotar del plano en torno de L.
Recta L : x = x0.Momento estático de la partícula i con respecto a la recta L es:
ML(xi) = (xi − x0) · mig.
Momento estático total:
ML =n∑
i=1
(xi − x0)mig.
De aquí, no hay tendencia a la rotación en el punto de coordenadas:
x0 =
∑mixi
∑mi
, y0 =
∑miyi
∑mi
.
Centro de GravedadAplicaciones de la integral
Centro de Gravedad de una Superficie Plana Semana 10 [37/52]
Momento estático
Consideramos un plano ideal, sin peso, en el cual se encuentranlocalizadas n partículas puntuales Pi de masas mi , i = 1, . . . , n.
Consideramos un sistema ortogonal de ejes OXY en el plano.
Momento Estático : Tendencia a rotar del plano en torno de L.
Recta L : x = x0.Momento estático de la partícula i con respecto a la recta L es:
ML(xi) = (xi − x0) · mig.
Momento estático total:
ML =n∑
i=1
(xi − x0)mig.
De aquí, no hay tendencia a la rotación en el punto de coordenadas:
x0 =
∑mixi
∑mi
, y0 =
∑miyi
∑mi
.
Centro de GravedadAplicaciones de la integral
Centro de Gravedad de una Superficie Plana Semana 10 [38/52]
Momento estático
Consideramos un plano ideal, sin peso, en el cual se encuentranlocalizadas n partículas puntuales Pi de masas mi , i = 1, . . . , n.
Consideramos un sistema ortogonal de ejes OXY en el plano.
Momento Estático : Tendencia a rotar del plano en torno de L.
Recta L : x = x0.Momento estático de la partícula i con respecto a la recta L es:
ML(xi) = (xi − x0) · mig.
Momento estático total:
ML =n∑
i=1
(xi − x0)mig.
De aquí, no hay tendencia a la rotación en el punto de coordenadas:
x0 =
∑mixi
∑mi
, y0 =
∑miyi
∑mi
.
Centro de GravedadAplicaciones de la integral
Centro de Gravedad de una Superficie Plana Semana 10 [39/52]
Momento estático
Consideramos un plano ideal, sin peso, en el cual se encuentranlocalizadas n partículas puntuales Pi de masas mi , i = 1, . . . , n.
Consideramos un sistema ortogonal de ejes OXY en el plano.
Momento Estático : Tendencia a rotar del plano en torno de L.
Recta L : x = x0.Momento estático de la partícula i con respecto a la recta L es:
ML(xi) = (xi − x0) · mig.
Momento estático total:
ML =n∑
i=1
(xi − x0)mig.
De aquí, no hay tendencia a la rotación en el punto de coordenadas:
x0 =
∑mixi
∑mi
, y0 =
∑miyi
∑mi
.
Centro de GravedadAplicaciones de la integral
Centro de Gravedad de una Superficie Plana Semana 10 [40/52]
Momento estático
Consideramos un plano ideal, sin peso, en el cual se encuentranlocalizadas n partículas puntuales Pi de masas mi , i = 1, . . . , n.
Consideramos un sistema ortogonal de ejes OXY en el plano.
Momento Estático : Tendencia a rotar del plano en torno de L.
Recta L : x = x0.Momento estático de la partícula i con respecto a la recta L es:
ML(xi) = (xi − x0) · mig.
Momento estático total:
ML =n∑
i=1
(xi − x0)mig.
De aquí, no hay tendencia a la rotación en el punto de coordenadas:
x0 =
∑mixi
∑mi
, y0 =
∑miyi
∑mi
.
Centro de GravedadAplicaciones de la integral
Centro de Gravedad de una Superficie Plana Semana 10 [41/52]
Momento estático
Consideramos un plano ideal, sin peso, en el cual se encuentranlocalizadas n partículas puntuales Pi de masas mi , i = 1, . . . , n.
Consideramos un sistema ortogonal de ejes OXY en el plano.
Momento Estático : Tendencia a rotar del plano en torno de L.
Recta L : x = x0.Momento estático de la partícula i con respecto a la recta L es:
ML(xi) = (xi − x0) · mig.
Momento estático total:
ML =n∑
i=1
(xi − x0)mig.
De aquí, no hay tendencia a la rotación en el punto de coordenadas:
x0 =
∑mixi
∑mi
, y0 =
∑miyi
∑mi
.
Centro de GravedadAplicaciones de la integral
Centro de Gravedad de una Superficie Plana Semana 10 [42/52]
Caso área plana
La masa total del sistema se encuentra uniformemente distribuida sobre unaregión plana.
1 Si una región plana tiene un eje de simetría, su centro de gravedad debeestar sobre él.
2 La masa de cualquier región de área A es ρ · A, donde ρ es la densidad yla suponemos contante.
Sea f no negativa e integrable. Definimos
R ={(x , y) ∈ R2; x ∈ [a, b], y ∈ [0, f (x)]
}.
Aplicaciones de la integral
Centro de Gravedad de una Superficie Plana Semana 10 [43/52]
Caso área plana
La masa total del sistema se encuentra uniformemente distribuida sobre unaregión plana.
1 Si una región plana tiene un eje de simetría, su centro de gravedad debeestar sobre él.
2 La masa de cualquier región de área A es ρ · A, donde ρ es la densidad yla suponemos contante.
Sea f no negativa e integrable. Definimos
R ={(x , y) ∈ R2; x ∈ [a, b], y ∈ [0, f (x)]
}.
Aplicaciones de la integral
Centro de Gravedad de una Superficie Plana Semana 10 [44/52]
Caso área plana
La masa total del sistema se encuentra uniformemente distribuida sobre unaregión plana.
1 Si una región plana tiene un eje de simetría, su centro de gravedad debeestar sobre él.
2 La masa de cualquier región de área A es ρ · A, donde ρ es la densidad yla suponemos contante.
Sea f no negativa e integrable. Definimos
R ={(x , y) ∈ R2; x ∈ [a, b], y ∈ [0, f (x)]
}.
Aplicaciones de la integral
Centro de Gravedad de una Superficie Plana Semana 10 [45/52]
Caso área plana
La masa total del sistema se encuentra uniformemente distribuida sobre unaregión plana.
1 Si una región plana tiene un eje de simetría, su centro de gravedad debeestar sobre él.
2 La masa de cualquier región de área A es ρ · A, donde ρ es la densidad yla suponemos contante.
Sea f no negativa e integrable. Definimos
R ={(x , y) ∈ R2; x ∈ [a, b], y ∈ [0, f (x)]
}.
Aplicaciones de la integral
Centro de Gravedad de una Superficie Plana Semana 10 [46/52]
Caso área plana
La masa total del sistema se encuentra uniformemente distribuida sobre unaregión plana.
1 Si una región plana tiene un eje de simetría, su centro de gravedad debeestar sobre él.
2 La masa de cualquier región de área A es ρ · A, donde ρ es la densidad yla suponemos contante.
Sea f no negativa e integrable. Definimos
R ={(x , y) ∈ R2; x ∈ [a, b], y ∈ [0, f (x)]
}.
Aplicaciones de la integral
Centro de Gravedad de una Superficie Plana Semana 10 [47/52]
Caso área plana
Sea una partición P = {x0, . . . , xn} del intervalo [a, b] con |P| → 0.
En cada intervalo [xi−1, xi ], se tiene una región “Casi Rectangular" de ∆xi
por f (ξi) con ξi ∈ [xi−1, xi ] cuyo centro de gravedad es el punto:
XG,i = xi + ∆xi/2
YG,i = f (ξi)/2
Luego:
∆M0X = ρf (ξi)∆xI ·f (ξi)
2∆M0Y = ρf (ξi)∆xI · (xi + ∆xi/2)
⇒ M0X =ρ
2
∫ b
af 2(x)dx
M0Y = ρ
∫ b
axf (x)dx .
Aplicaciones de la integral
Centro de Gravedad de una Superficie Plana Semana 10 [48/52]
Caso área plana
Sea una partición P = {x0, . . . , xn} del intervalo [a, b] con |P| → 0.
En cada intervalo [xi−1, xi ], se tiene una región “Casi Rectangular" de ∆xi
por f (ξi) con ξi ∈ [xi−1, xi ] cuyo centro de gravedad es el punto:
XG,i = xi + ∆xi/2
YG,i = f (ξi)/2
Luego:
∆M0X = ρf (ξi)∆xI ·f (ξi)
2∆M0Y = ρf (ξi)∆xI · (xi + ∆xi/2)
⇒ M0X =ρ
2
∫ b
af 2(x)dx
M0Y = ρ
∫ b
axf (x)dx .
Aplicaciones de la integral
Centro de Gravedad de una Superficie Plana Semana 10 [49/52]
Caso área plana
Sea una partición P = {x0, . . . , xn} del intervalo [a, b] con |P| → 0.
En cada intervalo [xi−1, xi ], se tiene una región “Casi Rectangular" de ∆xi
por f (ξi) con ξi ∈ [xi−1, xi ] cuyo centro de gravedad es el punto:
XG,i = xi + ∆xi/2
YG,i = f (ξi)/2
Luego:
∆M0X = ρf (ξi)∆xI ·f (ξi)
2∆M0Y = ρf (ξi)∆xI · (xi + ∆xi/2)
⇒ M0X =ρ
2
∫ b
af 2(x)dx
M0Y = ρ
∫ b
axf (x)dx .
Aplicaciones de la integral
Centro de Gravedad de una Superficie Plana Semana 10 [50/52]
Caso área plana
Sea una partición P = {x0, . . . , xn} del intervalo [a, b] con |P| → 0.
En cada intervalo [xi−1, xi ], se tiene una región “Casi Rectangular" de ∆xi
por f (ξi) con ξi ∈ [xi−1, xi ] cuyo centro de gravedad es el punto:
XG,i = xi + ∆xi/2
YG,i = f (ξi)/2
Luego:
∆M0X = ρf (ξi)∆xI ·f (ξi)
2∆M0Y = ρf (ξi)∆xI · (xi + ∆xi/2)
⇒ M0X =ρ
2
∫ b
af 2(x)dx
M0Y = ρ
∫ b
axf (x)dx .
Aplicaciones de la integral
Centro de Gravedad de una Superficie Plana Semana 10 [51/52]
Caso área plana
Sea una partición P = {x0, . . . , xn} del intervalo [a, b] con |P| → 0.
En cada intervalo [xi−1, xi ], se tiene una región “Casi Rectangular" de ∆xi
por f (ξi) con ξi ∈ [xi−1, xi ] cuyo centro de gravedad es el punto:
XG,i = xi + ∆xi/2
YG,i = f (ξi)/2
Luego:
∆M0X = ρf (ξi)∆xI ·f (ξi)
2∆M0Y = ρf (ξi)∆xI · (xi + ∆xi/2)
⇒ M0X =ρ
2
∫ b
af 2(x)dx
M0Y = ρ
∫ b
axf (x)dx .
Aplicaciones de la integral
Centro de Gravedad de una Superficie Plana Semana 10 [52/52]
Caso área plana
Para el centro de gravedad (XG, YG) usamos las reglas
MOX = YG · m
MOY = XG · m
de donde se deduce que
XG =
∫ b
axf (x)dx
∫ b
af (x)dx
YG =
∫ b
af 2(x)/2dx
∫ b
af (x)dx
.
Aplicaciones de la integral
Centro de Gravedad de una Superficie Plana Semana 10 [53/52]
Caso área plana
Para el centro de gravedad (XG, YG) usamos las reglas
MOX = YG · m
MOY = XG · m
de donde se deduce que
XG =
∫ b
axf (x)dx
∫ b
af (x)dx
YG =
∫ b
af 2(x)/2dx
∫ b
af (x)dx
.
Aplicaciones de la integral
Centro de Gravedad de una Superficie Plana Semana 10 [54/52]
Caso área plana
Para el centro de gravedad (XG, YG) usamos las reglas
MOX = YG · m
MOY = XG · m
de donde se deduce que
XG =
∫ b
axf (x)dx
∫ b
af (x)dx
YG =
∫ b
af 2(x)/2dx
∫ b
af (x)dx
.
Aplicaciones de la integral
Centro de Gravedad de una Superficie Plana Semana 10 [55/52]
Caso área plana
Para el centro de gravedad (XG, YG) usamos las reglas
MOX = YG · m
MOY = XG · m
de donde se deduce que
XG =
∫ b
axf (x)dx
∫ b
af (x)dx
YG =
∫ b
af 2(x)/2dx
∫ b
af (x)dx
.
Aplicaciones de la integral