APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

Como ya sabemos la transformada de Laplace es una herramienta muy poderosa para la resolución de circuitos RCL. La ecuación diferencial que esta en el dominio del tiempo mediante la Transformada de Laplace pasan al dominio en campo s, dominio de Laplace. Una vez resuelto, efectuando las respectivas operaciones algebraicas, se aplica la Transformada Inversa de Laplace para obtener la respuesta en el dominio del tiempo.

APLICACIÓN BÁSICA:Supongamos dos condensadores: C1 y C2 que tienen una carga inicial expresada por los voltajes V01 y V02. Los condensadores están conectados a través de una resistencia R y un interruptor ideal ( sin resistencia y que conmuta instantáneamente). Si el interruptor se cierra en el instante t = 0, calcular: la corriente máxima.Solución:

Despejando resulta:

APLICACIÓN BÁSICA:Donde

Es decir equivalente serie de los dos condensadores. Note que los condensadores están conectados en serie a través de masa.

Utilizando una tabla de transformadas inversas se puede volver al dominio del tiempo:

Ahora ya podemos responder la pregunta:La corriente en el instante t=0 es , es decir: la diferencia de voltajes iniciales entre la resistencia.

APLICACIÓN CONCRETA:• Se propone el siguiente problema. “El transbordador Atlantis, de Estados Unidos, se acopló con la

cosmonave Mir, de Rusia, el 28 de junio de 1995. Para activarse y abrir una puerta de carga del transbordador estadounidense, el electroimán consume 0.1 A antes de activarse. El diagrama eléctrico del circuito del electroimán se ve en la siguiente figura, donde la bobina del imán se representa con L.

APLICACIÓN CONCRETA:• La corriente de activación es i1(t). El intervalo en el que i1 llega a 0.1 A debe ser menor que 3

segundos. Comprobar L = 1 H es un valor adecuado para conseguir este objetivo.” Inicialmente el circuito estaba según el diagrama

• Por lo que inicialmente i1(0) = i2(0) = 0 A y VC(0) = 1 V . Una vez que se cierran los dos interruptores el circuito pasa a ser de la forma

APLICACIÓN CONCRETA:• Y las ecuaciones del mismo son:

• De donde teniendo en cuenta las condiciones iniciales y tomando la Transformada de Laplace obtenemos

APLICACIÓN CONCRETA:• Despejando L[i2] en función de L[i1] en la primera ecuación y sustituyendo en la segunda

tenemos que:

• Por lo que tomando la Transformada de Laplace inversa

• Observamos que la función i1 es creciente si t ≥ 0 y que i1(2) ≈ 0.106 A, por lo que el valor L = 1 H es perfectamente válido en el diseño del circuito.

BIBLIOGRAFIA • https://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace_en_circuitos• Transformada de Laplace y sus aplicaciones a las ecuaciones

diferenciales – José Salvador Cáñovas Peña