aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden
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Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden
ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM
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Aplicaciones Geomtricas
ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM
TL
Y
NL
)(: xfY
A
),( yxP
C D EX
-
)(' xXyyY
I
TL
Y
NL
)(: xfY
A
),( yxP
C D EX
Ec. Recta Tangente:
22)'
(),( yy
yEPd
)('
1xX
yyY
'0 xyyYx Punto A:
Punto E:'
0y
yxXy
Ec. Recta Normal:
Punto C: '0 yyxXy
Long. Tg.
22)'(),( yyyCPd Long.Normal
'0)
'(),( 22
y
y
y
yEDd Sub. Tg.
'0)'(),( 22 yyyyCDd Sub. No.
-
Problema: Un triangulo formado por la tangente a una curva en un punto cualquiera de P de ellos ,el ejeY y OP (donde O es el origen de coordenadas) es issceles y tiene su base en el eje Y. Hallar la familia decurvas que cumplan lo requerido.
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Solucin:DATOS: OP=AP
ADEMS POR SER ISSCELES: =+
2, PERO B=(0,Y)
A=(0,2Y)
ADEMS : Y=2
0= -
=
LNY=-LNX + LNC , DE DONDE.
XY=C
-
uuxuu
u
uxu
u
uxuu
uxx
uxxuu
xuuyuxy
yx
yyyx
y
y
yxy
y
1'
1'
1''
'' Sea
''
0y'
y Si a)
:casos 2Habrn
. tangenciade punto el es y)P(x, donde '
:Solucin
" tangenciade punto del scoordenada de suma la a igual es
esubtangent la de longitud la" :propiedad siguiente la satisfacen quexy
plano elen curvas de familia la deecuacin laHallar : 2 Ejemplo
2
-
c
yyLnxCyLn
y
x
CyLny
xCxLnxLnyLn
y
x
CxLnx
yLn
y
x
x
yuCxLnuLn
u
x
dxduuu
x
dxdu
u
u
1
11
1
1
12
2
:entonces Como .1
:obtenemos Integrando
1
ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM
-
2222222
2
2
2
22
1
2
2
2
21
11222
1
22
1
2
1
1
2'
1'
1''
'' Sea
''
0'
Si b)
cyxyxcyxx
c
x
yx
x
cu
x
cuu
x
cLnuuLn
CxLnuuLn
x
dxdu
uu
u
u
uuxu
uu
uxu
u
uxuu
uxx
uxxuu
xuuyuxy
yx
yyyx
y
y
y
y
ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM
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ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM
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ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM
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ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM
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TRAYECTORIAS ORTOGONALES
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ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM
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PROBLEMAHallar las trayectorias ortogonales de la familia de parbolas y = ax2.
ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM
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En primer lugar planteamos la ecuacin diferencial del haz de parbolas:
Las pendientes de las curvas ortogonales a las parbolas consideradas son perpendiculares a las de estas parbolas; por consiguiente, tendremos:
Y esa es la ecuacin pedida.
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El problema es un caso particular del de encontrar la ecuacin de las curvas que corten con ngulo cualquiera, w, aun haz cuya ecuacin se da.El problema en este caso se resuelve como sigue. Siendo C una curva representativa de la familia dada, en el puntoP se tendr:
Anlogamente, siendo T una de las curvas que cortan al haz dado con un ngulo w, en el mismo punto P severificar la ecuacin:
Pero entre los ngulos implicados se tienen las siguientes relaciones:
Con lo que finalmente podemos escribir:
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Problema:
Encontrar la ecuacin de la curva que pasa por el punto (1;3) para la cual: La ordenada PN de cualquier punto P(x ; y) corta a la recta 2x+y-10=0 en un punto Q y si sobre PN tomamos un punto M tal que PM = NQ entonces la recta OM resulta paralela a la recta tangente a la curva en P.
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Solucin:Del Grfico, observamos: N(x;0), Q(x;y+2x-10)
Como PM = NQ entonces:
M (x; y +2x-10)
= y' = Entonces:
y'= y/x +2 -10/x
Despus :
y'- = 2 - ..(1)
Ecuacin diferencial lineal
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F.I = = x-1 .(2)
Luego (1)x (2):
= - entonces
yx-1 =
Por tanto
Y = 2xlnx + 10 + cx .(3)
Condicin inicial: X=1 , y = 3
En (3)C = -7Por lo tanto en (3): Y = 2xlnx + 10 -7x
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Problema:
Determinar la ecuacin de la familia de curvas que gozan de la siguientepropiedad: El rea del trapecio limitado por los ejes coordenados, latangente en un punto cualquiera de la curva y la ordenada del punto detangencia sea siempre igual a b unidades cuadradas.
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Por dato:
(PB+OA) . OB/2 = b ..(1)
Sabemos que PB = y, OB =x, OA =?
Sea A = (0; y1) Entonces y'= ( y-y1)/x
Entonces y1 = y-x y' luego OA =y1 = y-x y'
Reemplazando en (1)
(y+ y-x y')x/2 = b (2xy-2b)-x2 = 0
(2xy 2b)dx x2dy = 0..(1)
M = 2xy 2b = 2x
N = -x2 = -2x
Son diferentes por ello buscamos el factor integrante
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Si depende de X u(x)=
Donde g(x)= =
u(x) = x-4
X F.I: (2xy -2b)x-4dx x-2dy = 0
M* = 2x-3 -2bx-4, N* = x-2
Sea F(x;y) = c la solucin entonces
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= M* y = N*
De = N* F(x; y) = dy + h(x) = -x-2y + h(x) (2)
De = M* 2x-3y + h'(x) = 2x-3y 2bx-4
h'(x) = 2bx-4 h(x) = bx-3
En (2):
F(x;y) = -x-2y + bx-3 = c
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ProblemaHallar una curva que tenga lapropiedad de que la magnitud dela perpendicular bajada delorigen de coordenadas a latangente sea igual a la abscisa delpunto de contacto.
.
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1d
d
0
Y
X
tL
00 , yxp
xfy
-
.0xd
0'| xymL pt
00: xxmLyyL tt
0: 01
000
1 xyyxyyxxyLt
1',0
2
0
0
1
00
xy
xyxyLd t
0,0 xLd t
Por dato del problema
Adems y la ecuacin de la tangente es:
Por condicin del problema se tiene:
02
0
0
1
00
1'
,x
xy
xyxy
generalizando en cualquier punto se tiene:
211
21
1
11
yxxyyxy
xyy
212221212 2 yxxYxxyyy
02 122 xyyxy de donde
,0222 xydydxxy es homognea
sea xduudxdyuxy
02 2222 xduudxuxdxxxu
0212 xduudxudxu
,0212 uxdudxu separando las variables.
01
22
duu
u
x
dx
Lncduu
u
x
dx
1
22
, integrando
cuxLncuLnLnx 11 22
x
yu de donde
por lo tanto: .22 cxyx
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Hallar la curva para la cual,la razn del segmentointerceptado por latangente en el eje OY, alradio vector es unacantidad constante positiva
PROBLEMA
-
Por dato se tiene La ecuacin de la recta tangente es:
Lt : y0= y-M(x-xo) , de donde Lt :
Para x=0 se tiene
luego : , generalizando se tiene :
,
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-
Sea :
Remplazando:
separando las variables:
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-
Entonces:
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-
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PROBLEMA03:
Hallar la curva cuyas tangentes corten en los ejes coordenados
segmentos cuya suma se igual a 2a.
-
De la ecuacin de la pendiente tenemos:
- (X-x)*
Para el punto (0, y1)
Reemplazando en * tenemos: y1= -
Para el punto (X1,0)
Reemplazando en * tenemos: X1= -
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Reemplazamos en el dato:
X1 +y1= 2 a
- + - =2 a
Ahora derivamos respecto a x:
1-( )- - =0
=
de ah tenemos dos soluciones:
=0 Y=CX+C1
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x=
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APLICACIONES FISICASUn cuerpo es dejado caer verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial Vo en un medioque ofrece una resistencia proporcional a la magnitud de la velocidad. Encuntrese una relacinentre la velocidad v y el tiempo t.
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Solucin
Haciendo el D.C.L. del cuerpo
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kvv
mg
-
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1) Una pelota de masa m es lanzada verticalmente hacia arriba desde la superficie de latierra con una velocidad inicial V0. Supongamos que no actan fuerzas sobre la pelota
excepto la de gravitacin mg y la resistencia del aire de magnitud kv , donde v es la
velocidad escalar. Hallar el tiempo en el cual la pelota alcanza su altura mxima, as como
encontrar dicha altura mxima.
Kv
mg
V0
F=-mg-Kv=ma
-g-kv/m = a =dV/dt
-g = (k/m)V + dV/dt (ecuacion lineal)
dy/dx + P(x).y =Q(x)
=
(1)
Cuando t=0 .(2)
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Altura mxima alcanzada V=0
Hemos hallado el valor del tiempo que demora en llegar a la altura mxima
..(3)
Descomponemos matemticamente la velocidad, para luego integrarlo
En t=0 el S=0
..(4)
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Ahora hallamos la altura mxima ya que tenemos el tiempo en que demora en subir la altura
mxima y tenemos la ecuacion de la altura
Remplazando la ecuacion 3 en 4
Rpta:
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PROBLEMA
Una bala se introduce en una tabla de h=10cm. De espesor con la velocidad de V0= 200m/s traspasndole con la velocidad V1= 80m/s. Suponiendo que la resistencia de latabla al movimiento de la bala esproporcional al cuadrado de la velocidad,hallar el tiempo del movimiento de la balapor la tabla.
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V0 Vf
H=10
La tabla presenta una fuerza de resistencia por lo tanto planteamos lo siguiente :
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F = ma = m
Por condicin del problema tenemos:
m
Integrando la expresin:
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-
Adems :
Integrando
2ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM
-
Finalmente, reemplazamos 2 en 1 teniendo de esta manera:
Reemplazando los datos el valor de t es:
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Problema: Un paracaidista(y por supuesto suparacadas) cae desde el reposo. El peso combinadodel paracaidista y su paracadas es W. el paracadastiene una fuerza actuando sobre l(debido a laresistencia del aire) la cual es proporcional a lavelocidad en cualquier instante durante la cada.Asumiendo que le paracaidista cae verticalmente haciaabajo y que el paracadas ya esta abierto cuando elsalto ocurre, describa el movimiento resultante.
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SABEMOS: Resistencia proporcional a v. R=a.v
Condiciones iniciales: v=0 en t=0
-
Problema:Si nos planteamos que al tratar delimpiar "una piscina, a la cual le hemosaadido el doble de la cantidad de sulfatospermitida, y queremos saber cunto tiempotenemos que mantener abierta una entradade 120 lits/min de agua sin sulfatos y lasalida de la piscina que responde a 60lits/min. La piscina en cuestin tiene 20 m delongitud, 10 m de ancho y 2 m deprofundidad. Tendremos que:
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Donde el volumen es V = 400m3 = 400 (100cm) 3 = 4 x 108cm3 = 4 x 108 (10-3lit) = 4 x 105lit.Con lo cual el tiempo para que la cantidad final decaiga a la mitad de la inicial surge de:
-
PROBLEMA: Se lanza un cuerpo de masaconstante hacia arriba, desde la superficieterrestre con una velocidad inicial Vo.Suponiendo que no hay resistencia del airepero tomando en cuenta como vara elcampo gravitacional de la tierra con laaltura; encontrar la menor velocidad inicialque necesita tener el cuerpo para que noregrese a la tierra.
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La gravedad va en sentido opuesto a la velocidad por lo tanto es negativa.
Por frmula:
2)( hR
GMt
dt
dvg
t
dt
dh
dh
dV
dt
dV
dh
dVV 2)( hR
GMt
t
2)( hR
dhGMVdV
t
-
ChR
GMtV
t
2
2
C.I V = Vo h= O
CRT
GMtVo
2
2
C=Rt
MtG
Vo 2
2
Si no queremos que regrese debe cumplirse que para h= V=0
2
)0( 2
Rt
GMtV
Rt
GMt o 2)(
2
=
Rt
GMtVo
2
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ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM
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Problema:Un proyectil de masa m se dispara verticalmente hacia arriba,desde la Tierra hasta la Luna, con velocidad inicial Vo, teniendo encuenta que las masas de la Tierra y de la Luna son Mt y ML , susradios son R y r, que la distancia entre ambos es 60R, que R = 4r(aproximadamente ); y que la influencia del Sol, otros planteas yla resistencia del aire se deprecian, hallar:a)La velocidad en cualquier instante Tb)La velocidad de salida para alcanzar el punto, entre la tierra y la
luna, donde la gravedad es nula tenga en cuenta que MT =81ML, gL =g/6
c) La velocidad que el proyectil debera tener para abandonar laTierra y nunca regresar (tambin llamada velocidad de escape).
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Solucin:
Aplicando la ley de la gravitacin de Newton:ma = F1 - FT m = G - G .(1)
Ahora, sabemos que la atraccin de una masa m a la tierra es su peso W = mgLuego: = mg GMT = gR
2
Si gL es la gravedad en la luna, entonces :GML = gR2
En (1): = - (2)
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-
Pero: = adems : t = 0 x = 0, v = v0
De (2): = -
= - + c
Teniendo en cuenta las condiciones iniciales:
a) = - + - 2gR - .(3)
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-
b) La gravedad es nula cuando (1) se anula, es decir:
G = G
Como = 81 entonces =
Resolviendo: x =
Adems en este punto (donde gravedad es nula) se tiene
que v = 0
En (3) tenemos:- -
= 2gR + - -
= 2gR + - ..(4)
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-
Pero r = , en(4):
= 2gR + .(5)
Tambin: gL = en (5):
= 2gR +
= 2gR (1+0.0002-0.02)
=
c) Para encontrar la velocidad de escape, hacemos que la distancia 60R tienda a infinito, por ello de (4):
= 2gR =
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Problema 5:
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Problema 3:
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Problema 1:
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Solucin:La descripcin matemtica es
De donde al resolver la ecuacin se tiene
Para t = 0, v= 10 m/seg , se tiene
Para t = 5 seg , v=8 m/seg .
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Solucin:
Para v = 1 m/seg .
De donde
seg. RPTA
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Trayectorias ortogonales
Dada una familia de curvasuniparamtricas F(x,y,c) = 0, es posibleencontrar otra familia de curvasuniparamtricas H(x,y,c) = 0 de modoque cada curva de la segunda familiacorta perpendicularmente a cada curvade la primera familia
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Obtencin de las trayectorias ortogonales
Dada la familia: F(x,y,c) = 0 , podemos obtener la
ecuacin diferencial:
Para obtener la ecuacin diferencial de las trayectorias
ortogonales, reemplazamos y por en (I) (ya que
en cada punto de interseccin de ambas familias, el
producto de las pendientes de las tangentes es -1). Nos
queda :
))......(,(' Iyxfy
'
1
y
ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM
),('
1yxf
y
-
Ejemplo 1: hallar las trayectorias ortogonales a la familia:
Solucin.- obtenemos la ecuacin diferencial de la familia dada:
0,1
cc
xy
c
11
1'1
cc
c
xy
c
xc
dx
dy
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'
'
1
'
: doReemplazan
'
'
'11'
yy
xy
y
yy
yy
xyc
y
y
c
x
c
xyy
-
'1'
:As . '
1por ' doreemplazan
obtiene se sortogonale ias trayectorlas de ldiferenciaecuacin La
yy
x
yyy
yy
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-
232
2
32
2
332
2
3232
32
2
3'
2
26'2
2
36'2
2
132'2
2
:Solucin
2
:curvas de familia la a sortogonale ias trayectorlasHallar :2 Ejemplo
xc
xcxyy
xc
xcxyy
xc
xxcxyy
xc
xxxcyy
xc
xy
xc
xy
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-
3333
3
32
3
3
32
3
32
3
222
2
3
22
4
3
3
2
2
2
2
3
32
2
3
2
3
2
3
3
2'
3
2'
'' Sea
3
2'
2
3
'
1
:obtenemos
sortogonale curvas de familia la de ldiferenciaecuacion La
2
3'
2
3'
2
3'
12
3
2
3
'
2
12
uuxuu
xuux
xxuu
xuuyuxy
yx
xy
x
yyx
y
x
yyxy
x
yxyyy
y
x
yxyy
y
x
xy
x
y
x
xxxy
x
yy
xy
xc
y
xxc
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Cxy
yx
x
yu
x
C
u
u
x
CLn
u
uLn
LnCLnxCxLnuLnuLn
x
dxdu
u
u
u
u
x
dxdu
uu
uu
uu
uuxuu
uuxu
22
22
2
2
2
2
1
22
2234
3
3
42
3
2
: Pero
2
1
2
1
122
1
1
2
223
3
3
32'
3
2'
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-
xy
)(xf
)(xg
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IS O G O N A L E S A ST R A Y E C T O R I
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TRAYECTORIAS ORTOGONALES
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PROBLEMAHallar las trayectorias ortogonales de la familia de parbolas y = ax2.
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En primer lugar planteamos la ecuacin diferencial del haz de parbolas:
Las pendientes de las curvas ortogonales a las parbolas consideradas son perpendiculares a las de estas parbolas; por consiguiente, tendremos:
Y esa es la ecuacin pedida.
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El problema es un caso particular del de encontrar la ecuacin de las curvas que corten con ngulo cualquiera, w, aun haz cuya ecuacin se da.El problema en este caso se resuelve como sigue. Siendo C una curva representativa de la familia dada, en el puntoP se tendr:
Anlogamente, siendo T una de las curvas que cortan al haz dado con un ngulo w, en el mismo punto P severificar la ecuacin:
Pero entre los ngulos implicados se tienen las siguientes relaciones:
Con lo que finalmente podemos escribir:
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')('1)(')('tantan
ED la desolucin la es caso este
en y de sortogonale ias trayectorde familia
llama le se a,90 cuando, particularb).En
')('1
')('
)(')('1
)(')('
tantan1
tantan)tan(tan
ED. la de
solucin la es 0),,(y de isogonales
ias trayectorde familia llama le se familia
laA . anguloun bajo familia una a
corta que 0),,( familia otra existe
,0),,( curvas de familia una a).Dada
:isogonales asTrayectori
0
yxfxgxf
g
f
g
yxf
yxf
xgxf
xgxf
cyxgf
g
f
cyxg
cyxf
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-
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'1
11
'1
'1
'
1
0)()1())((
1')('1
')('45tan
:
.1)(
2
2
0
yy
yy
y
y
y
y
y
ycx
y
ycx
y
cx
y
dx
dy
dx
dycxy
dx
dcxy
dx
d
yxf
yxf
Solucin
cxy
familia la de 45 a lesiasisogona trayectorlasHallar
1 Ejemplo
0
:implcita derivacinpor
-
disminuya.
o aumente queser puede ra temperatula de variacinla como
0).cuerpo(t del inicial atemperatur
To ay circundate medio del ra temperatula Tm ay t tiempoel
en circundate medio dely cuerpo del ras temperatulas de diferencia la
a alproporcion es t,tiempocualquier en cuerpoun de ra temperatude
cambio de rapidez la que, estableceNewton de toenfriamien deley La
A._TEMPERATUR DE CAMBIO
LESDIFERENCIA ECUACIONES LAS DE ESAPLICACION
tan20),,(tan2
1
21
1
1
1
1'
1)1('''1
11
22
2
2
2
2222
KxyycyxgKxyy
dxdyydy
dx
y
y
y
yy
yyyyyyy
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-
kt
m
kt
mm
ktkt
mm
mm
eTTTmT
AeTdondeTcdtkTeeT
kTkTdt
dTTTk
dt
dT
TTkdt
dTTTk
dt
dT
)(
Luego ToT0, tparacumplir debe se adems
:essolucin su y orden primer de ldiferenciaecuacin
una es Que )( Si
alidad.proporcion defactor el esk donde, disminuya o
aumente que sea ya )( )(
l.diferenciaecuacion la mediante expresa se
Newton de toemfriamien deLey la a acuerdo de Luego
0
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-
Problema
Hallar las trayectorias ortogonales de la familiade curvas que satisface la siguiente propiedad;la recta tangente a las curvas en cualquier puntoP, es la bisectriz del ngulo determinado por larecta vertical que pasa por P y la recta que uneP con el origen de coordenadas.
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-
SolucinGraficando tenemos:
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Dadas las condiciones:
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ProblemaLas curvas equipotenciales de un determinado campo electrosttico se puede aproximar por las elipses ; Encuentre las lneas de fuerza.
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Solucin:Como sabemos las curvas equipotenciales y las lneas de fuerzas son curvas ortogonales entre si, por lo cual emplearemos propiedades sobre trayectorias ortogonales.
(I)
Derivando:
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.Reemplazando:
Resolviendo la integral y remplazando t:
RPTA
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problema4
Partiendo del origen de coordenadas un hombre se pasea
por el semieje y positivo con una velocidad de 100
metros/min.En el instante inicial silva a su perro que se
encuentra en el punto (900m,0)y este comienza a correr
con una velocidad de 200 mts/min , dirigida en todo
momento hacia su dueo. Hallar la ecuacin diferencial la
curva que describe el perro y el tiempo k tarda en
alcanzar a su amo.
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SIENDO EL PUNTO R(900.0)
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Solucin:
En un tiempo t minutos , el hombre estar en P=(0,vht) y el
perro en el punto P(X,Y)
Luego :
= ..(0)
la distancia recorrida por el perro, en dicho instante es el arco AB
Luego AB=- dX=s(1)
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Pero: Vpt=200t.(2)
(2) en un (1): - dX=200t
De (0) reemplazamos t: - - )
Derivando tenemos: =
= 2 =
u+ =c
Volviendo a la ecuacin :
+ =c ..(3)
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=0
Reemplazando en (3) tenemos: c=1/30
De (3) pasamos el al otro miembro y elevamos al cuadrado:
Y= -30 +C1
En t=o x = 900 y=0
C1=600
Dea hi la ecuacin ser: Y= -30 +600
El perro dara alcance en X =0 Y=0 ; P(0,600)
Dado que el tiempo es igual para el hombre y el perro
600=Vht1=100 t1 t1= 6min
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F-10aire del atemperaturT
:cuepo del atemperaturTSean
Solucin
p.m. 1.09 las a o termmetrdel lectura la es
Cual, F70 est aire el donde adentro nuevamente
lleva se o termmetrel p.m 1.05 las a F26 de es
a temreaturp.m.la 1.02 las a F10- de atemperatur
una tieneaire el dondeexterior al o trasladades
F70 marca que troun termme p.m 1 laA
:Ejemplo
0
m
0
0
0
0
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FT
T
Te
K
eF
eTTTT
AeTT
tmTkdt
dT
tt
t
kt
mm
kt
m
0
2
5
220
9ln
2
1
20
00
88.0
20
98010 tienesemin 5tp.m., 1.05 las a
)20
9(8010decir es 80-10T Luego
)20/9ln(5.0
80102626t2, tp.m 1.02 la a
y 1.p.m la a es esto )( tienese TT
para :es ldiferenciaecuacion la desolucion La
alidadproporcion defactor k
),( es matematican descripci La
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AAeScktsLnkdtdt
dS
kSdt
dS
kSdt
dSkS
dt
dS
kt
00 S0, tcuando ,SSdecir es
inicial cantidad la a representa So .si generalsolucin
la es )( integrando ,
:.Luego separablesson y t s variableslas, Como
alidad.proporcion defactor un esK dondeen o,crecimient el
para y cin descomposi la para por
dado esta, tocreciemien dey cin descomposi deLey La
QUIMICAS. REACCIONES
OCRECIMIENT, CIONDESCOMPOSI
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material. del media vidala tambien Encuentre
. tiempodel
funcin como material ese de masa la paraexpresin
una tregrs.Encuen 80 a disminuido ha masasu , aos 20
de despes observa le se cuandogr.y 100 de masa una
nteoriginalme tienematerial ese de bloque.Un presente
material de cantidadsu a alproporcion velocidad
una a decae radiactivo material ciertoun que sabe Se
PROBLEMA
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-
4
5ln
20
20
100)( :luego
4
5ln
20
18080)20(, aos 20 tpara
: tienede esto paraK constante la emosdeterminar 100)(
: tienese doreemplazan Luego ,100.100)(0, tPara
: tienese esto para ,A constante
la osdeterminam )( tieneseecuacin la oResolviend
)()(
es matemtica
ndescripci lat cualquier en sustancia de radiactiva)( Sea
SOLUCION
t
t
kt
kt
etx
kex
etx
Agrtx
Aetx
tkxdt
tdx
tx
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-
V L
i
R
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R
V
i
V
iC
L
E L E C T R IC O S C IR C U IT O SA E SA P L IC A C IO N
L
-
0RI
0 0
:anteriores figuras las de circuitos losEn
cero" es cerrado circuitoun en voltajede cadas las todasde
algebraica suma La." kirchoff de voltajeslos deley la es
circuitos estos gobierna que lfundamneta principio El
tiempo.delfuncin una o constanteser puede E
circuito del sespecfico scomponente los de esdependient
constantes tegeneralmenson CL,R, cantidades Las
EC
qERI
dt
dIL
EEEEEE cRLR
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f.e.m la den desconexio dela .despues
0.01segr condensado del carga lay corriente la
.Encontrar circuito del f.e.m la desconecta se,
permanete estado el alcanzado ha se Cuando
. faradios 105 de es iacapacitanc cuya
cargado nor condensadoun y ohms 10 de
aresistenci una serieen contiene que circuito
un en introduce se voltios100 de fem Una
PROBLEMA
4-
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RC
t
RC
ttq
q
RCRC
eRC
q
dt
dqi
eqqRCq
qdt
RCq
dq
qRCdt
dq
c
qRi
qq
iVCq
eR
VieVCq
0
0
00
0
11
1ln
1
donde de ,01
:decir es 0
:sera 0Vcon Kirchoff, deley segunda la a acuerdo de
circuito el paraecuacion lay coulomb. 05.0
0 tpara: tiene0)se(t circuito del V f.e.men
fuente la desconecta se cuando, parte segunda laEn
.0Coulomb. 05.0
) t(cuando permanente estado El
)(,1
SOLUCION
0
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Problema de mezclas
Un tanque contiene un volumen de litros de salmuera con kg. de sal disuelta, luego se introduce salmuera con kg. de sal por litro a la rapidez de litros por minuto y la mezcla, bien agitada, sale del tanque con una rapidez de litros por minuto. Determinar en un instante t cualquiera:
a) El volumen en el tanque.
b)La concentracin de sal contenida en el recipiente.
c) La cantidad de sal contenida en el depsito en cualquier instante.
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0V
0Q
ECEV
SV
-
0V 0Q
ECEV
SV SC
Esquema
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SolucinEn un instante cualquiera t ,sean :
Q(t) = Cantidad de soluto presente en el depsito.
V(t) = Volumen en el depsito.
C(t) = Concentracin de soluto en el depsito.
Luego, en un instante t, tenemos:
)1(..........SESE QQdt
dQdtQdtQdQ
tVVV
tQtC
tV
tQtC
SE )(
)()(
)(
)()(
0
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Adems tenemos:
-
Reemplazando en (1):
S
SE
EESE VtVVV
tQVCQQdQ )
)(
)((
0
EE
SE
S VCQtVVV
V
dt
dQ
)(0
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A partir de esta ecuacin diferencial podemos calcular la
cantidad Q de sal presente en el instante t, a partir de la
condicin inicial
-
proceso. el iniciado de minutos 60 de cabo alin concentrac La b)
litros. 500 tengamezcla la cuando sal de cantidad La a)
:Calcular .lt/min 8 derazn a hace
la salcon agua de mezcla la si lt/min; 4 derazn a mezcla nueva
lainferior partesu por saldr que vezla aKg./lt derazn a sal
contiene que agua entrar dadomoment un en pura; agua de litros
400 contiene capacidad de litros 3000 de depsito Un :1 Ejemplo
81
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0
pura) (agua 0C
400V
000
0
0
CVQ
lt
ltKgC /81min/8lt
? Cs ,4lt/min Vs
-
.cualquiera instanteun en in concentrac es c(t) donde
)(
)()( : Sabemos ?.c(t) de Clculo
cc(t) :Luego
(c(t)). instante
mismo eseen sal dein concentrac la a igual es dado instanteun en
)(C mezcla la sale cual lacon sal, dein concentrac la que observa Se
?c Pero 4
18 :Pero
dt
dQ que Sabemos
:datos siguientes los Tenemos
t.instante elen depsito, elen presente sal, de cantidad la (t) Q Sea
:Solucin
S
S
S
81
tv
tQtc
ccvQ
xcvQ
QQ
SSSS
EEE
SE
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-
tee
tLndtt
tP
t
tQ
dt
dQ
t
tQ
dt
dQ
t
tQ
t
tQQ
ct
tQtc
tttv
tvvvtv
tLntP
S
S
SE
100
:integrantefactor el sconstruimo
)100(100
1)(
t100
1p(t) Sea
lineal Ec. 1100
)(
100
)(1 :Entonces
100
)(
4400
)(4
4400
)()(
4400)48(400)(
cualquiera instanteun en volumen )()( Pero
)100()(
0
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.5.22252
125100
125
1
minutos.254400500)(t
t tpara ,4t 400 v(t)que Sabemos
500 vcuando , ?QQ a)
2
1100
100
1)(
00Q0 tPara :c de Clculo
2
1100
100
1)(
2
1100)100)((100')100)((
:queda ,integrantefactor elpor ecuacin la mosMultiplica
2
1
111
1
1
2
0
2
2
KgxQ
ttv
ttt
tQ
c
cttt
tQ
cttttQtttQ
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0.076kg/ltc(60)
640
48.75c(60)
48.75Q(60) Pero
640
)60(
)60(4400
)60(c(60) Para
60t ?c(60) b) 1
QQ
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Problema 4:
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PROBLEMA: Considere un tanque usado enexperimentos hidrodinmicos. Despus de unexperimento, el tanque contiene 200 litros de unasolucin entintada, con la concentracin de 1 g/litro.Para preparar el siguiente experimento, el tanque seenjuagar con agua no contaminada a una razn de 2litros/minuto, y la mezcla sale del tanque a la mismatasa. Considerando agitacin uniforme, halle el tiempoen que el tanque tendr una concentracin del 1% desu valor inicial.
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Piden hallar el tiempo para el cual el tanque este con el 1% de concentracin . No entra tinte adicional, hay agitacin uniforme.
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Tasa de salida del tinte: razn de salida del agua x concentracin entre capacidad del tanque
Condiciones iniciales
Reemplazando las condiciones del problema: 1% (2g)
Donde t est expresado en minutos
-
Problema5
Un deposito de 3,000 litros de capacidad contiene 400
litros de agua pura; en un momento dado entrara agua
que contiene sal a razn de 1/8 kg/litro ala vez que saldr
de su parte inferior la nueva mezcla a razn 4
litros/minutos; si la mezcla de agua con sal se hace a
razn de 6 litros/minutos, calcular:
-la cantidad de sal cuando la mezcla tenga 500 litros.
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SIENDO: CI= 8lit/min; CII= Kg/Lit ;Vs=4lit/min
C0= o(agua pura); Xo= ;Vo=400
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Solucin
Sea X la cantidad de sal presente en el depsito, en el
instante t tenemos lo siguiente:
=Xe-Xsecuacin
Pero : Xe=Ve.Ce=8*1/8=1(1)
Xs=Vs.Cs=4 Cs(2)
Se observar que la concentracin de sal de la cual sale
mezcla(Cs)en un instante dado es igual a la concentracin de sal
en ese mismo instante (C(t))
C(t)= Cs sabemos que :
C(t)= ..(3)concentracin en un instante t
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V(t)= V0+( Ve- Vs)t..volumen en un instante t
V(t)=400+4t reemplazamos en (3) primero luego en (2) tenemos:
Xs= (4)
Reemplazando (4) y (1) en la ecuacin tenemos lo siguiente:
+ =1..ECUACION LINEAL
Hacemos: x +k
Resolviendo Tenemos: (100t+ )
Para t=0 X=0 C=0
(100t+ )
RESPUESTAS:-X=X1 cuando V=500
De la ecuacin V(t)=400+t
500=400+4tt=25 minutos
Reemplazando en la ecuacin general tenemos: X=22.5 Kg
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Dos tanques contienen cada uno v galones de agua empezando en el tiempo t=0,una solucin a lb/gal de un solvente qumico fluye dentro del tanque I a la tasade b gal/min . La mezcla luego entra y sale del tanque II a la misma tasa.Asumiendo agitacin completa en ambos tanques muestre que lacantidad de qumico en el tanque II despus de un tiempo t>0 es
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Considere un tanque usado enexperimentos hidrodinmicos. Despusde un experimento, el tanque contiene200 litros de una solucin entintada, conla concentracin de 1 g/litro. Parapreparar el siguiente experimento, eltanque se enjuagar con agua nocontaminada a una razn de 2litros/minuto, y la mezcla sale del tanquea la misma tasa. Considerando agitacinuniforme, halle el tiempo en que eltanque tendr una concentracin del 1%de su valor inicial.
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Piden hallar el tiempo para el cual el tanque este con el 1% de concentracin . No entra tinte adicional, hay agitacin uniforme.
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Tasa de salida del tinte: razn de salida del agua x concentracin entre capacidad del tanque
Condiciones iniciales
Reemplazando las condiciones del problema: 1% (2g)
Donde t est expresado en minutos
-
Problema: Un tanque esta lleno con 10 galones(gal) de agua salada en la cual estan disueltas 5 lb de Sal. Agua salada conteniendo 3 lb de sal por gal entra al tanque a 2 gal por minuto, y laMezcla bien agitada sale a la misma tasa.
Solucin: Su tasa de cambio es A/dt
Entra 2 gal/min conteniendo 3 lb/gal:
Inicialmente hay 10 gal en el tanque en A librasEn un tiempo t:
Luego tenemos:
Inicialmente A=5 en t=0
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-
min. 20 de despes tanqueelen sal de cantidad la Determine
. rapidez misma lacon mezcla lasalir dejandolit/min 8
de rapidez la a tanqueqelen limpia agua viertesey proceso el
detiene se minutos 10 de .Despues rapidez misma lacon salga
mezcla la que deja sey lit/min 8 de velocidaduna alitro,por
sal de kg 0,050 contiene que agua len viertese entonces
limpia agua de litros 400 nteoriginalme contiene Un tanque
2 Ejemplo
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-
kg )1(20)20(min 20 tpara )1(20)(
)1(20)1(200:inicialcondicin
)(50
050
050
0400
8
)1(20)(min 10 tpara
2020)(
20;00: inicialcondicin
20)(
4.0)(
4.050/1 0.4q400
8
SOLUCION
5050
1
5050
1
50
1
50
50
50
1
50
50
505050
tt
t
t
t
t
ttt
eeqeetq
eceqt
CetqLnCt
Lnqdt
q
dq
q
dt
dqq
dt
dq
exq
exq
cqt
cetq
cdteexqeu
dt
dq
dt
dq
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- Problema: Por un agujero circular de rea Ao, en el fondo de un tanque, sale agua. Debido a la friccin y a la contraccin de la corriente cerca del agujero, el flujo de agua, por segundo, se reduce a , donde 0
-
PROBLEMA 1. Se cuelga un cable homogneo entre los soportes deuna estructura a una misma altura. Despreciando la velocidad delviento, determinar la ecuacin de la curva que contiene el cable(catenaria).
ING
. CA
RLO
S RO
JAS SER
NA
UN
I-FIM
-
Solucin:
De la figura:
Desarrollando:
Hallando la segunda derivada:
Cambio de variable:
Pero:
Del sistema de ecuaciones:
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-
Tenemos:
Hallando la ecuacin:
Por lo tanto obtenemos: {solucin}
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-
PROBLEMA 2. Antes del medioda el cuerpo de una aparente victimade homicidio se encuentra en un cuarto que se conserva atemperatura constante a 70F. Al medioda, la temperatura del cuerpoes 80F y a la 1 pm la temperatura del cuerpo es de 75F.Considerando que la temperatura del cuerpo en el momento delasesinato era 98,6F Cul fue la hora del asesinato?
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-
Solucin:
Sabemos por la Ley de enfriamiento de Newton:
Para
Para
Para
Hacemos: (1)/(2)
Reemplazamos en la ecuacin:
Ahora, para
Por lo tanto, la hora del asesinato fue:
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-
VACIADO DE TANQUES
.
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-
PROBLEMASuponga que el agua sale de un depsito por un orificiocircular de rea Ak en su fondo. Cuando el agua sale por elorificio, la friccin y la contraccin de la corriente cerca delorificio reducen el volumen de agua que sale del depsito..Determine la ecuacin diferencial para la altura h del aguaen el instante t para el depsito que se muestra acontinuacin. El radio del orificio es de 2 pulg y g= 32
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-
SolucinEl volumen del agua en el tanque en el instante t es V w = Ah
Con esa ecuacin podemos plantear una diferencial entre la altura y el tiempo en el que disminuye el volumen de agua en el recipiente:
Hemos conseguido una ecuacin diferencial en base a los parmetros definidos planteada generalmente. Sin embargo, hay, a modo de condiciones iniciales unos valores que se pueden determinar para solucionar particularmente esta ecuacin
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-
Usando
sustituyendo estos valores para las condiciones establecidas:
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-
Hallar el tiempo en vaciar el cono de Radio R en la base con 3 agujeros de area a como se muestra en la figura
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-
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-
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-
Finalmente hallamos el tiempo total=Tt=t1+t2+t3
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-
Problema: Se tiene un recipiente recto cuya seccin transversal es como semielse de semiejes a y b (a>b). Su altura en H. tendido en posicin l recipiente en posicin horizontal y base rectangular hacia arriba ) , se le llena de agua. Si en esa posicin, en el fondo presenta un orificio de salida de seccin transversal A, calcule el tiempo de vaciado, sabiendo que su coeficiente de gasto es c.
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-
Sean V(t) y h(t) el volumen y la altura de agua en el recipiente
Por Torricelli: dV = -cA dt ..(1)
Adems: dV = -A(h)dh = -2xHdh ..(2)
Pero (x;h )E elipse que tiene ecuacin. + = 1
Entonces x =
En (2): dV = -2 dh = cA dt
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-
- t = + k (3)
Para t = 0 h= b, en (3): k = -
En (3): t = -
Para h = 0 -
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-
PROBLEMA 3. Una esfera con radio R est llena de agua. Se hacendos agujeros de rea A en sus puntos ms alto y ms bajo para queentre el aire y salga el agua. Usando c=0.6, encontrar los valores deT1 y T2 en segundos, necesarios para que salga la mitad y la totalidaddel agua, respectivamente.
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-
Solucin:Datos: V(t) = volumen del agua en un instante t
h(t) = altura del nivel de agua en un instante t Sabemos: (para vaciado de tanques)
Condiciones iniciales: t=0 h=2R
Para que salga la mitad del agua (T1), hacemos h = R
Para que salga la totalidad del agua (T2), hacemos h = 0
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-
PROBLEMA 4. Una lancha se desplaza a la velocidad de v = 10km/h, estando las aguas tranquilas. En plena marcha su motorfue desconectado. Al cabo de t=20 segundos, la velocidad de lalancha bajo hasta v1 = 6 km/h. Considerando que la fuerza deresistencia del agua al movimiento de la lancha es proporcionala la velocidad de sta, hallar la velocidad de la lancha a los 2minutos de para el motor. Hallar tambin la distancia recorridapor la lancha durante un minuto despus de parar el motor.
ING
. CA
RLO
S RO
JAS SER
NA
UN
I-FIM
-
Solucin:De la segunda ley de Newton:
Tenemos: Es la ecuacin de la velocidad para cualquier instante.
Condiciones iniciales: t = 0 v = v0 = 10 km/h 25/9 m/s
Para t = 20 seg v = 6 km/h 5/3 m/s
Para t = 2 min = 120 seg
Ahora:
La longitud recorrida se expresa de esta forma:
Para t = 1 min = 60 seg
Longitud recorrida por la lancha al minuto de apagar su motor: Velocidad de la lancha a los 2 minutos de apagar su motor:
ING
. CA
RLO
S RO
JAS SER
NA
UN
I-FIM
-
PROBLEMA 5 . Halle el nmero de caloras/hora que pasa a travs de 1m2de la pared de una habitacin frigorfica de 125 cm de espesor y K=0,0025,la temperatura en la cara interior es -5C y en la cara exterior es 30Csegn:
100 cm.
100 cm.
125 cm.
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-
dx
dTKAQ
5
30
125
0 dx
dTKAQ
De la ecuacin:
Reemplazando:
Solucin:
100 cm.
100 cm.
x=0
x=125 cm.
210000cmA
0025,0K
hcalscalQ
Q
/25200/7
)35.(25)125(
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-
Problema: Se tiene un recipiente recto cuya seccin transversal es como semielipse de semiejes a y b (a>b). Su altura en H. tendido en posicin horizontal ( eje del recipiente en posicin horizontal y base rectangular hacia arriba ) , se le llena de agua. Si en esa posicin, en el fondo presenta un orificio de salida de seccin transversal A, calcule el tiempo de vaciado, sabiendo que su coeficiente de gasto es c.
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Sean V(t) y h(t) el volumen y la altura de agua en el recipiente
Por Torricelli: dV = -cA dt ..(1)
Adems: dV = -A(h)dh = -2xHdh ..(2)
Pero (x;h )E elipse que tiene ecuacin. + = 1
Entonces x =
En (2): dV = -2 dh = cA dt
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-
- t = + k (3)
Para t = 0 h= b, en (3): k = -
En (3): t = -
Para h = 0 -
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-
PROBLEMA 6. Cierto producto qumico se disuelve en agua a unavelocidad proporcional a la cantidad an no disuelta y la diferenciaentre la concentracin en una solucin saturada y la concentracin enuna solucin real. Se sabe que en 100g de una solucin saturada,estn disueltos 50 g de sustancia. Si se agitan 30 g de un productoqumico con 100 gr. de agua, en 2 horas se disuelven 10 gr.
Solucin:
Concentracin saturada =50/100
30 gr.
t=0
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-
t=t
x gr.
30-x gr.
Cantidad no disuelta
Cantidad disuelta
Del enunciado:)).(.( rsat CCxk
dt
dx
100
20)..(
xxk
dt
dx
dt
k
xx
dx.
100)20.(
Concentracin real:
100
30 x
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-
Dato t = 2horas
Cantidad disuelta =10 .20gr
2
0
20
30
20
30.
5.
20
1.
1dt
kdx
xdx
x
Calculando k
5.2
50
30ln
40
20ln
.5
20lnln
2
0
20
30
20
30
k
tk
xx
6
5ln.
2
5k
2769,12
6
5ln.
2
5
20.
3
5ln
5
3ln
20ln
.520
ln
5
030
x
x
x
kx
x
tk
x
xx
Cantidad disuelta=30-x =17.723 gramos
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-
PROBLEMA 7. Hallar la curva cuya tangente forma con los ejescoordenados un tringulo de rea constante S =2a
Solucin:
(0,h)
(b,0)
h
b
Y=f(x)
(x,y)
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-
Nos dicen:
aSbxh
A 22
Es decir bxh=4a ..(1)
Peroxyyh
x
hyy ''
Tambin:'
'y
yxb
bx
yy
Reemplazando en (1)
2.....'4''4
'4'4'
'4'.
'
'
4''
22
ayxyyayxyy
ayxyyay
xyyaxyy
y
yxy
axyyy
yx
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-
Sea:
)3....(4' apxpypy
Derivando (3)
0'4
2
'442
1'' 2
1
pap
ax
apapxppy
Si p=0
generalsolucinacxcy
En
ctecp
4
:3
.
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-
Clculo de la solucin singular del sistema del sistema:
04
2
4
ap
ax
acxcy
Eliminado p obtenemos: x
ay
Rpta: curva
x
ay
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-
PROBLEMA 8. Despus de permanecer abierto por un tiempo largo elconmutador en el circuito de la figura se cierra para t=0 En qumomento despus de t=0 la magnitud de i(t) es mxima?
+
-
1 F80 mH
200
300
200
30v
t=0
i(t)
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-
Solucin:
i1 i2
1 F80 mH
200
300
200
30 v
t=0
i(t)
+
-
18
+
-
Al inicio:
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-
i(t)= i2-i1
En el inductor la corriente es igual a 30/(200+300)=0,06 A
En el capacitor la corriente es igual a (30-18)/200=0,06 A
vl80 mH
200i1
vR
Para i1:
ctekeki
idt
di
idt
di
vv
t
Rl
,.
02500
020008,0
0
2500
1
11
11
k: corriente inicial (t=0)
Del sistema la corriente inicial (inductor) es 0,06
)...(.06,0 25001 Ieit
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-
Para i2:
200
1 F
i2vR
vc
.,.
05000
010
1200
01
200
0
5000
2
22
26
2
22
ctememi
idt
di
idt
di
dtic
i
vv
t
cR
Del sistema la corriente inicial (capacitor) es 0,06
m: corriente inicial (t=0)
IIei t ....06,0 50002
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-
tttt
eeti
eeiii
25005000
25005000
12
.06,0
.06,0.06,0 =(t)
.277,0 mst
Tiempo necesario=0,277 ms.
tt eedt
di 25005000 25005000.06,00
2ln.2500
12
50002500
2500
50002500
te
ee
t
tt
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-
PROBLEMA 9. Segn la ley de newton de enfriamiento la velocidad ala que se enfra una sustancia al aire libre, es proporcional a ladiferencia entre la temperatura de la sustancia y la del aire. Si latemperatura del aire 30C y la sustancia se enfra de 100C a 70C en15 min. Al cabo de qu tiempo la temperatura de la sustancia ser40C?
Solucin:
).( mTTkdt
dT mT :Temp. del medio (aire libre) :30CmT
CTt
CTt
70min15
100min0
kTkdt
dT30. k: cte. real
fija
30.)( 1 kteCtT
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-
7030:1000 11 CCTt
Nos piden el tiempo si T=40
30.7040 157
4ln
t
e
Al cabo de 52,128 min. la temperatura de la sustancia ser 40C
15
7
4ln
30.70:7015 15
keTt t
158,52.7
4ln.
15
1
7
1ln
tt
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-
PROBLEMA 11. Bajo ciertas condiciones, la cantidad cte Q cal/s decalor que pasa a travs de una pared esta dado por
Donde K conductividad trmica del material A (cm2) es la superficie deuna cara de la pared perpendicular a la direccin del flujo, T es latemperatura a una distancia x (cm)Halle la prdida de calor por hora a travs de una longitud de un metrode la tubera mostrada si la superficie interior es 200C y la exterior30C, adems el conducto de vapor de 20 cm. de dimetro estprotegido por un recubrimiento de 6 cm. de espesor y K=0,0003.
dx
dTkAQ
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-
Solucin:
K=0,0003 LxA ..2
dtLKxQdx
dtAKQdx
....2
..
)170.(...210
16ln
....230
200
16
10
LKxQ
dtLKxx
dxQ
Prdida de calor: 245,44 kcal/h
hkcalQ
scalQ
scalQ
/44,245
/178,68
/)6,1ln(
)170).(100).(0003,0.(2
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-
PROBLEMA 12. Un cuerpo de peso W cae partiendo del reposo. Si laresistencia del aire es proporcional a la velocidad y la velocidad lmite es de52 m/s, hallar la distancia recorrida en la cada en un tiempo de 5 segundos(g = 10 m/s2).
Solucin:
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-
Segn la segunda ley de Newton:
Obtenemos la ecuacin diferencial lineal: {e. d. lineal}
Factor integrante:
Condiciones iniciales: t=0 v=0
Velocidad limite (t ):
Para: t=0 x=0
Para t=5 seg.
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-
PROBLEMA 13. Considere una poblacin de peces P(t). Supongamos quela poblacin inicial es de 100 peces, estos peces son una combinacinde truchas maduras hembras y machos. Para bajos niveles depoblacin y considerando los factores ambientales se sugiere que lasfunciones que normalizan la tasa de crecimiento y prdidapoblacional son inversamente proporcionales a la raz cuadrada de lapoblacin presente en el instante t.
Sobre la base de la descripcin anterior, obtener un modelomatemtico para la poblacin de peces y encontrar una solucingeneral para P(t). Dado que la poblacin despus de 6 meses ser de169peces, estimar cuntos peces estarn en el estanque despus delprimer ao. Utilizando el mismo modelo, cul ser el tamao del lapoblacin despus de cinco aos?, y luego qu puedes decir acercade la exactitud del modelo matemtico para los grandes tamaos depoblacin?
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-
Por lo tanto, la ecuacin de balance de poblacin se convierte en
Donde k es constante. De este modo, el modelo matemtico de estesistema es simplemente.
Esta es una ecuacin separable, cuya solucin se pueden desarrollarde la siguiente manera. En primer lugar rescribir la ecuacin debalance como
Solucin:
Dado que las tasas de mortalidad y las de natalidad se normalizan,podemos escribir la ecuacin de balance como
Donde B y D son las funciones que normalizan las tasas respectivas.Segn el problema las funciones que normalizan las tasas delnacimiento y mortalidad son inversamente proporcionales a la razcuadrada del tamao de la poblacin, o
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-
La integracin de ambos lados da
Y despejando la solucin general para la poblacin de peces seconvierte en
Ahora, aplicando la condicin inicial da por lo que
y la solucin es
La tasa de crecimiento constante, k, se puede determinar a partir de losdatos que figuran en el problema. Sabemos que despus de 6 meses,
Evaluando en (3) para t=6.
Con la tasa de crecimiento constante conocida, podemos utilizar la ecuacin (3) como un modelo predictivo. La evaluacin de esta expresin en t = 1 ao (12 meses) y de nuevo a los 5 aos (60 meses) da
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-
As, vemos que la poblacin de pecescrece con bastante rapidez, sobre todo amayores valores de P (ya que la tasa decambio de P es proporcional a ). Estemodelo, sin embargo, predice que en untiempo ilimitado el crecimientopoblacional ser excesivo, y esto no esfsicamente posible para un estanque detamao finito y limitados suministros dealimentos. El modelo puede seradecuado en un perodo de varios aos,pero finalmente su naturaleza sin lmitesdara lugar a grandes errores en unentorno real limitado. De la comparacindel modelo predictivo y la capacidad realperidica de poblacin de peces sealerta al usuario de la necesidad demodificar el modelo matemtico paraeste ecosistema. A la derecha tenemosla grfica de la estimacin del modelopara distintos valores de k. En este casosu valor fue de 1.
ING
. CA
RLO
S RO
JAS SER
NA
UN
I-FIM
-
PROBLEMA 14. .- La fuerza de marea es un efecto secundario de la fuerza degravedad que es responsable de la existencia de las mareas. Es el resultado de ladiferencia de potencial gravitacional que existe a lo largo del dimetro de un cuerpo.Suponiendo que inicialmente la forma del cuerpo ms grande era una esfera, lafuerza de marea que tender a convertirla en un elipsoide. El Lmite de Roche es ladistancia mnima que puede soportar un cuerpo, que mantiene su estructuranicamente por su propia gravedad y que orbita un cuerpo masivo, sin comenzar adesintegrarse debido a las fuerzas de marea que genera el objeto principal. Esto es loque sucede con la tierra y la luna. Por ltimo el ritmo de recesin es la velocidad conla que los cuerpos celestes o las galaxias se alejan entre si, y es inversamenteproporcional a la sexta potencia de la distancia. Calcular el tiempo que le tomo a laluna llegar a su posicin actual respecto de la tierra. Datos:
ING
. CA
RLO
S RO
JAS SER
NA
UN
I-FIM
-
Reemplazando en (1) e integrando sera
sera la distancia actual a la que se encuentran y sera la distancia inicial mnimaa la que pudieron estar o en otras palabras el Lmite de Roche. Entoncesreemplazando valores en (2)
Solucin:
Hallando el valor de k
Resolviendo tenemos
Donde
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-
PROBLEMA 15. En mayo de 1993 la poblacin mundial alcanz los 5.5 mil millones y a partir de entonces aument a la tasa de 250 mil personas por da. Suponiendo que las tasas de nacimiento y muerte fuesen constantes. Para cuando se esperara una poblacin mundial de 11 mil millones?
SOLUCIN
Partimos de esta ecuacin diferencial denominada ecuacin de crecimiento natural o exponencial:
xkdt
dx.
Integrando se obtiene: ktktc eAee .. x(t)x
En nuestro problema:kteP0 P(t) ..(1)
Donde:P (t)=: Poblacin mundial en miles de millones t : en aos
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-
Datos:
5.5OP
0913.0)25.365(00025.0' OP
En t = 0 (1993)
El aumento significa:
De la ecuacin kPt
PLim
dt
dP
t
k
Donde: P: Nmero de individuos
: Tasa de natalidad : Tasa de mortalidad
Entonces obtenemos: 0166.05.5
0913.0.
1
0
'
0
0
P
P
dt
dP
Pk
t
De esto deducimos que la poblacin en 1993 estaba creciendo a la tasa de 1.66 por ciento
De la Ec (1): TetP 0166.05.5)(11 )(420166.0
.)5/11(aos
LnT
Corresponde al ao 2035, suponiendo que las tasa de natalidad y mortalidad se mantuviesen constantes, la poblacin mundial se estara duplicando cada 42 aos
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-
PROBLEMA 16. Un espcimen de carbn vegetal encontrado en Stonehenge result contener 63% de que una muestra de carbn vegetal actual de igual masa Cul es la edad de la muestra?
14C
SOLUCIN
Tomamos:
t = 0 el instante de la muerte del rbol del cual el carbn de Stonehenge fue hechoN0: # de tomos de C14 que la muestra de Sstonehenge contenia
Ahora:
063.0 NN k= 0.0001216
De la Ec:kteNN 00 0.63
)(38000001216.0
)63.0(aos
LnT
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-
PROBLEMA 17. Una tina hemisfrica tiene un radio superior de 4 pies y en el instante t= 0 est completamente llena de agua. En ese momento, en el fondo de la tina se abre un agujero circular con dimetro de 1 pulg. Cunto tiempo tardar en salir toda el agua del tanque?
SOLUCIN
Datos: g = 32.2 pies/s2
st 215015
448.72 Ahora, y(0) = 4, asi que
esto es, casi 35 min 50s De esta manera el tanque se vaciar en un poco
menos de 36 minING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM
-
La ley de Newton del enfriamiento dice que latemperatura de un objeto cambia a una tasaproporcional a la diferencia de temperaturas entre elobjeto y su entorno. Suponga que la temperatura deuna taza de agua caliente obedece la ley deenfriamiento. Si la taza tiene una temperatura de200 F cuando le acaban de verter el agua y unminuto ms tarde la temperatura de la taza habajado hasta 190F, en un cuarto de donde latemperatura es de 70F, determine t para cuando latemperatura de la taza es de 150F.
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-
Siguiendo las indicaciones del problema, la tasa de enfriamiento es proporcional a la diferencia de temperaturas.
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Condiciones iniciales
Segundo juego de condiciones
-
Resolviendo para T=150
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Donde t est expresado en minutos
-
PROBLEMA
Antes del medioda el cuerpo de una aparentevictima de homicidio se encuentra en un cuartoque se conserva a temperatura constante a 70F, amedioda la temperatura del cuerpo es de 80F yala 1 pm la temperatura del cuerpo es de 75F.Considerando que la temperatura del cuerpo enel momento del asesinato era de 98.6FCal fuela hora del asesinato?
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-
Para resolver este problema haremos con LA LEY DE
ENFRIAMIENTO DE NEWTON:
Siendo: T: Temperatura de la sustancia que generalmente el
que hay que hallar.
: Temperatura del medio circundante.
K: Constante de proporcionalidad.
RESOLUCIN:
=- dt
ahora pasamos a la respectiva integracin en ambas partes :
Ln(T- )=-kt+Ln(C)
T= C.
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-
Sabemos que: por dato del problema.* Para t =0 T=98.6 F
C=28.6 F** Para t =t T=80 F
80=28.6.*** Para t =t+60 T=75 F
75=28.6.De la ecuacin **: -1.0508=-ktAhora en la ecuacin ***: -1.7439=-k(t+60)De la cual obtenemos: k=0.01155De ah reemplazamos en ** lo que nos da: t=90.9783minEntonces la hora del asesinato tenemos como tomamos el tiempot para el medio da lo restamos los 90.9783 minutos lo que nos dara como resultado que el asesinato fue: 10:29 a.m
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