aplic.ec linales de orden sup(d6e)

7/25/2019 Aplic.ec Linales de Orden Sup(D6E)

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DEBER 6

CABLE COLGANTE

1. Un cable flexible de peso despreciable soporta un puente uniforme cuyos extremos

estn separados 200 pies. Los soportes estn a 60 pies sobre el puente y el punto ms

bajo del puente est a 40 pies sobre el puente. Determine la ecuacin que adopta el

cable.

Tomando el eje horizontal x, con origen en P:

Componentes de la tensin en P: Direccin vertical: Direccin horizontal: Como el cable est en equilibrio:

Derivando:


2/37

En el puente colgante:

EDO: Integrando:

Condicin:

* 2. Un cable de un puente colgante tiene sus soportes al mismo nivel, separados a unadistancia de 500 pies. Si los soportes estn a 100 pies ms altos que el punto ms bajo

del cable. Encuentre la forma que adopta el cable y la pendiente de los soportes.

Ecuacin del cable que soporta un puente:


3/37

Donde

Entonces: *

Pendiente de los soportes:

Como 3. Un cable pesa , cuelga de dos soportes que estn a un mismo nivel y a

de separacin. Si la pendiente del cable en uno de los soportes es

a. Encuentre la tensin del cable en su punto ms bajo

Ecuacin del cable:

+

En los extremos:


4/37

*

*

b. Determine una ecuacin para la curva en la cual el cable cuelga

*

+

4. Un cable tiene una densidad constante de y cuelga de dos soportes almismo nivel separados . Si la tensin en el punto ms bajo del cable es ,muestre que la tensin en los soportes est dada por:

Entonces: Adems:

Ecuacin del cable:

+ Por lo tanto:


5/37

Por identidades trigonomtricas:

5. Un cable de de largo tiene una densidad constante de . Cuelga dedos soportes que estn al mismo nivel y separados . Los soportes estn por encima del punto ms bajo del cable. Muestre que la tensin en elpunto ms bajo es:

Ecuacin del cable:

+


6/37

Longitud del cable , donde S: mitad del cable (derecha)

|

* *

Tensin en el punto ms bajo: En los extremos:

+

De (1):

En (2):

Por definicin de y


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*

Entonces: *

6. Un cable de densidad

cuelga de dos soportes que estn al mismo nivel y

separados 50 pies. Los soportes estn a 10 pies por encima del punto ms bajo delcable. Encuentre:

a. La longitud del cable

Ecuacin del cable:

+

*

Longitud del cable , donde S: mitad del cable (derecha)


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|

*

b. La tensin en el punto ms bajo

c. La tensin en los soportes

Por el ejercicio 6:

*

DEFLEXIN DE VIGAS

7. Una viga en voladizo uniforme de longitud L y de peso despreciable tiene una carga

concentrada S en el extremo libre. Encuentre la ecuacin de la curva elstica y la

deflexin mxima.

S


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Lado derecho:

EDO:

Condiciones:

}

Deflexin mxima

8. Una viga de longitud L y de peso despreciable est apoyada simplemente en ambos

extremos. Una carga concentrada S acta en su centro. Encuentre la ecuacin de la

curva elstica, la deflexin mxima, y el valor numrico de la pendiente en los

extremos.

Cada soporte resiste la mitad del peso

Lado izquierdo:


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Momento flexionante:

* Por simetra: lado derecho:

* *EDO

{

* *

Integrando

si si Puesto que los dos valores de

deben ser iguales en

(condicin de

continuidad), tenemos * *

Integrando nuevamente:

* * Condiciones iniciales:


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Condicin de continuidad:

* * * * * * * * * * *

{

* *

{

*

*

Deflexin mxima

*

*

*

* Pendiente en los extremos


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9.

Asuma que adems de la carga concentrada, las vigas de los ejercicios anteriorespesan w por unidad de longitud. Encuentre la ecuacin de la curva elstica y la

deflexin mxima, en cada caso.

Ejercicio 11:

Considerando el lado derecho:

Fuerza Distancia Extremo Peso

Condicin:

Deflexin mxima:

Sw


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Ejercicio 12:

Primer caso

Lado izquierdo: Fuerza Distancia

Soporte

Peso

Condicin:

Segundo caso:

Lado derecho:

Fuerza Distancia Soporte

Peso


14/37

Condicin:

Por continuidad en tenemos:(1) = (3)

* * * * * * *

(2) = (4)

* * * *

*

*

*

*

*


15/37

(5) = (6)

Primer caso:

Deflexin mxima: * * * * *

Segundo caso:

10.Una viga en voladizo de longitud L y peso despreciable tiene una carga concentrada en

su centro. Encuentre la ecuacin de la curva elstica.


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Lado derecho:

* *

Integrando:

* Condiciones iniciales:

Entonces:

11.Una viga de longitud L y peso uniforme de w por unidad de longitud tiene sus

extremos horizontalmente fijos empotrados. Determine la ecuacin de la curva

elstica y encuentre la deflexin mxima, cuando:

a. no tiene cargas externas

Considerando el lado izquierdo:

P


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Fuerza Distancia Extremo Peso

Desconocido

Condicin:

Condicin:

Deflexin mxima:

* * *

b. acta una carga concentrada en el centro de la viga


18/37

Primer caso:

Lado izquierdo: Fuerza Distancia Extremo

Peso Desconocido

Condicin:

Condicin:

Segundo caso:

Lado derecho:

Fuerza Distancia Extremo


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Peso Carga *Desconocido

Por continuidad en (1) = (3)

* * * * * * * *

(2) = (4)

* * * * * * * * * *

*

*

*

*

* * * * * *


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Condicin: En (1):

* * *

Primer caso:

Deflexin mxima:

* * * * *

Ntese que es vlido slo para ; para la deflexin mxima no ocurre en

Segundo caso:


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12.Un extremo de una viga de longitud L y de peso uniforme de w por unidad de longitud

est simplemente apoyado, mientras que el otro extremo est horizontalmente fijo.

a. Encuentre la ecuacin de la curva elstica

Considerando el lado derecho:

Fuerza Distancia Soporte Peso

Condicin:

Condicin: Condicin:

LP


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*

*

b. Muestre que la deflexin mxima ocurre a una distancia

() aproximadamente, del extremo fijo y tiene una magnitud aproximada de

Deflexin mxima:

*

*

Pero

Deflexin mxima del extremo fijo:

( ) Magnitud:


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PNDULO SIMPLE

13.Las oscilaciones pequeas de un pndulo simple tiene un perodo de . Determinela longitud del pndulo. Encuentre la longitud correspondiente de un pndulo simple

que tiene dos veces este perodo.

Para oscilaciones pequeas:

Para un pndulo con el doble de perodo

14.El medalln de un pndulo simple de 2 pies de longitud se desplaza de manera que la

cuerda del pndulo forma un ngulo de con la vertical. Si el pndulo se suelta deesta posicin:


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a) Encuentre el ngulo que la cuerda forma con la vertical en cualquier tiempo

En este caso Solucin:

Condiciones iniciales:

() b) Determine la frecuencia de la vibracin

A

B

O


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c) Calcule la distancia recorrida por el medalln del pndulo durante un perodo

Pero:

d) Encuentre la velocidad y aceleracin del medalln en el centro de su trayectoria

En el centro de su trayectoria:

MOVIMIENTO ARMNICO

15.Un resorte suspendido de un techo tiene una constante de . Un peso de se coloca en el resorte, y cuando se alcanza el equilibrio, el peso se eleva porencima de la posicin de equilibrio y se suelta. Describa el movimiento dando la

amplitud, perodo y frecuencia.


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Cuerpo: EDO:

Problema a resolver: Solucin:

Amplitud:

Perodo: Frecuencia:

16.Cuando un peso al extremo de un resorte se pone en movimiento, el perodo es

. Despus de aadirle un peso de , el perodo es de . Cunto pesoestaba originalmente en el resorte?

Pero Entonces, la masa original:


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Peso aadido:

Igualando:

17.Si se taladra un hueco a travs del centro de la Tierra, uno encontrara que un objeto

colocado en l est bajo la influencia de una fuerza de atraccin que vara

directamente con la distancia entre el objeto y el centro de la Tierra. Asumiendo que la

Tierra es una esfera de 4000 millas (6436000 m) de radio:

a)

Encuentre el tiempo para que un objeto que se deja caer en el hueco regrese

Desplazamiento:

En


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Por identidades trigonomtricas ( ):

En

Pero , entonces:

Perodo:

b)

Encuentre su velocidad al pasar por el centro de la Tierra

Pero se sabe que: y

En el centro de la Tierra:


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Entonces:

Pero se sabe que: y

+18.Un peso de est suspendido de un resorte vertical en el cual tiene una constante

de . Si el peso se eleva por encima de su posicin de equilibrio y sesuelta:

a. Encuentre la posicin del peso en un tiempo despus y determine en cualdireccin y qu tan rpido se est moviendo el peso en este tiempo

Cuerpo: EDO:

Problema a resolver:

Solucin:


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Entonces:

Posicin:

por encima de la posicin de equilibrio.

+ +

+movindose hacia arriba.b. Encuentre la amplitud, perodo y frecuencia de la vibracin

Amplitud: *

Perodo

Frecuencia


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19.

Una partcula se mueve a lo largo del eje x hacia el origen bajo la influencia de unafuerza de atraccin en la cual vara directamente con la distancia de la partcula de. En la partcula est a 4 cm de O y se mueve hacia con velocidad de y aceleracin de a. Encuentre la velocidad y posicin como una funcin del tiempo

Cuando

Posicin: Velocidad:

b. Encuentre la amplitud, perodo y frecuencia del movimiento.

Amplitud:

Perodo:


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Frecuencia:

20.Una partcula parte del reposo a 20 cm de un punto fijo O. Se mueve a lo largo de una

lnea horizontal hacia O bajo una fuerza de atraccin en O la cual vara directamente

con su distancia de O. En O su velocidad es a. Encuentre su velocidad y aceleracin a 10 cm de O

Cuando

Entonces:

En O

Si , entonces por identidades trigonomtricas: Entonces: Posicin:


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Velocidad: [

]

[ ]alejndose de OAceleracin:

b. Determine la amplitud, perodo y frecuencia del movimiento

Amplitud:

Perodo: Frecuencia:

c. Encuentre su posicin, velocidad y aceleracin despus de * *[ ]

* 21.

Un resorte se estira por una fuerza de 1250 dinas. Una muestra de sesuspende del resorte y, despus de que est en equilibrio, se hala hacia abajoyse suelta. Asumiendo que hay una fuerza amortiguadora numricamente en dinasigual a . Encuentre la posicin y velocidad en cualquier tiempo.En equilibrio:


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+ +

Races:

Condiciones iniciales ( ):

}

22.Un peso de 2 lb en un resorte lo estira . El peso se hala por debajo de su

posicin de equilibrio y se suelta. Asuma una fuerza amortiguadora en libras

numricamente igual a

. Encuentre la posicin del peso en cualquier tiempo. El

movimiento es sobreamortiguado o crticamente amortiguado?

En equilibrio:

*


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Races:

Condiciones iniciales ( ):

*El movimiento es crticamente amortiguado, ya que el amortiguamiento es tal que al

disminuir se producen oscilaciones.

23.Si en el ejercicio anterior al cuerpo se le da una velocidad inicial hacia abajo de

cuando est en la posicin de equilibrio. Encuentre la posicin y velocidad

en cualquier tiempo y el desplazamiento mximo.

En equilibrio:


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Races: Condiciones iniciales ( ):

}

24.Un resorte vertical con constante de tiene suspendido un peso de 16 lb. Seaplica una fuerza externa dada por . Se asume que acta una fuerzaamortiguadora dada numricamente en libras por . Inicialmente el peso est enreposo en su posicin de equilibrio.

a. Determine la posicin del peso en cualquier tiempo

EDO homognea:


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( )( ) () ()

Solucin particular de la EDO no homognea:

Anulador: Aplicando a la EDO:

Reemplazando en la EDO: Solucin:

b. Indique las soluciones transientes y de estado estacionario

Parte del estado estacionario:

c. Encuentre la amplitud, perodo y frecuencia de la solucin de estado estacionario

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