Aplikasi Teori Graf dalam Four Cubes

A. Four Cubes Problem

Masalah Four Cubes dalam perkembangannya tidak hanya melibatkan

empat kubus saja, tapi berkembang menjadi lima bahkan sampai enam kubus

dengan inti permasalahan yang sama yaitu menampilkan warna-warna yang

berbeda pada keempat sisinya disusun keatas. Perkembangan permainan ini

memiliki nama dagang yang berbeda-beda, yaitu Instant Insanity untuk empat

kubus, Mutando juga untuk empat kubus dengan variasi permainan yang sedikit

berbeda dengan Instant Insanity , Dorobo untuk permainan 5 kubus, dan Drive Ya

Crazy untuk permainan enam kubus. Solusi Graf untuk masing-masing

permainan ini pun memiliki keunikannya tersendiri. Berikut adalah contoh-contoh

pengembangan permainan Four Cubes dengan solusi-solusi grafnya.

1. Instant Insanity

Seperti yang telah dikemukakan sebelumnya bahwa dalam permainan ini

terdapat empat buah kubus yang memiliki empat warna yang berbeda pada

keenam sisinya. Warna-warna yang biasa dipakai adalah

merah(red),bir(blue),hijau(green),putih(white), atau kuning (yellow). Tujuan dari

permaianan ini adalah menyusun keempat kubus tersebut sedemikian rupa

sehingga menampilkan empat warna yang berbeda pada sisi depan,

belakang,kanan dan kiri (lihat 1.2).

Menyelesaikan permainan ini dengan menggunakan metode trial and error

akan sangat melelahkan karena ada 331.776 cara untuk menyusun keempat kubus

tersebut. Karenanya teori graf digunakan untuk mencari solusi dari four cubes

problem atau yang lebih dikenal dengan nama dagang Instant Insanity.

Misalkan kita memiliki kerangka 4 buah kubus seperti berikut ini:

1. B

R R R G

Y

2. R

G Y G B

B

3. R

B G R Y

Y

4. G

B R Y G

Y

Kita akan menemukan solusinya dengan merepresentasikan warna-warna

pada keempat kerangka kubus tersebut menjadi titik atau verteks, dan relasi antara

warna-warna menjadi garis atau edges.

Karena ada empat warna pada masing-masing kubus tersebut, kita

gambarkan sebagai titik yang kita beri nama sesuai dengan inisial warna yang

mewakilinya, missal R untuk Red atau merah, B untuk Blue atau biru dan

seterusnya.

Setelah itu kita akan menghubungkan titik-titik tersebut dengan garis

tersebut menggambarkan sisi-sisi kubus yang saling berhadapan.Misal sisi yang

berwarna biru pada kubus 1 berhadapan dengan sisi yang berwarna kuning, karena

itu hubungkan titik biru dengan kuning, lalu beri label 1 pada garis tersebut untuk

menandakan bahwa hubungan yang dimaksud adalah pada kubus 1.

Berikut adalah graf untuk kubus 1:

G

Y

R

B

Gambar Verteks Instant Insanity

G

B Y 1

R 1 1

Graf untuk kubus 2:

Graf untuk kubus 3:

Graf untuk kubus 4:

Setelah itu, kita akan menggabungkan keempat graf tersebut untuk mencari

tahu solusinya.

R G

B Y 2

2

2

3

B Y 1

3 2

3 2 3

R G1 1

4 2

4

R

B

G

Y

3 3 3

R

B

G

Y 4

4

4

Sekarang kita akan mencari dua lintasan yang melintasi keempat titik dan

garis yang diberi label nomor yang berbeda tepat satu kali. Kedua lintasan tersebut

tidak boleh menggunakan garis yang sama.

Pada contoh ini, kita menemukan dua subgraf atau lintasan yang di maksud,

yaitu

Lintasan pertama: R-1-G-4-Y-2-B-2-3-R dan litasan kedua: R-4-G-3-Y-1-

B-2-R. Lintasan yang pertama akan menyelesaikan masalah tampak depan dan

belakang sedangkan lintasan yang kedua akan menyelesaikan tampak kanan dan

kiri.

2. Mutando

R G

Y B 2

1

4 3

R G

Y B

2

1

3

4

Mutando juga merupakan permainan yang menggunakan empat kubus versi

Jerman, cara permainannya sama seperti instant Insanity, hanya saja ia memiliki

alternative cara penyusunan yang berbeda, yaitu dengan mendatar, membuat balok

berukuran 2 x 2 x 1 satuan dan juga kombinasi warna yang berbeda ( dalam satu

kubus boleh hanya ada tiga warna saja). Berikut adalah contoh jaring-jaring kubus

dalam permainan Mutando:

1. G

B R Y R

Y

2. G

R R B Y

Y

3. G

R B R B

Y

4. G

Y Y B B

R

Dengan cara yang sama kita membuat graf untuk masing-masing kubus lalu

menggabungkannya seperti di bawah ini:

3

Gambar Graf Mutando

3 4

1

1

2

1

2

3

G

Y B

R

2

3

4

4

Kita lihat disini bahwa merah(R) hanya terhubung dengan satu warna, yaitu

hijau (G), karena itu tidak ada lintasan yang memuat titik R. Meskipun demikian,

kita masih tetap dapat menyelesaikan permainan ini dengan mecari dua subgraf

yang memuat garis- garis dengan label yang berbeda( garis dengan label 1-4 harus

ada tepat satu dalam masing-masing subgraf). Kedua subgraf yang dimaksud

adalah:

Dua Subgraf solusi permainan Mutando

Dengan demikian solusi untuk permainan ini adalah: R-1-R,B-3-B,G-4-Y-

2-G dan R-3-R, B-2-G-4-Y-1-B.

Penyusunan keempat kubus menjadi balok berukuran 2 x 2 x 1 juga dapat

dilihat dari grafnya. Seperti yang dapat kita lihat, pada masing-masing kubus sisi

berwarna hijau berhadapandengan sisi berwarna kuning, jadi sisi 2 x 2-nya

haruslah hijau dan kuning. Kubus 3 akan menampilkan merah dan biru pada sisi

luarnya. Kubus 1 harus menampilkan merah, kubus 2 tidak memiliki warna

merah, jadi ada tepat satu 2 x 1 sisi merah yang di bentuk oleh kubus 3 dan kubus

1. Kubus 4 tidak memiliki warna biru, jadi kubus 2 harus membentuk sisi

berwarna biru dengan kubus 3. Sisi merah dari kubus 4 harus disembunyikan, jadi

sisi yang lainnya hanyalah kuning dan hijau. Ringkasnya sebagai berikut:

G

Y B

R 1

2 4

3

Y

G

B

R

4 2

1

3

Tabel solusi 2 x 2 x 1 permainan Mutando

3. Drive Ya Crazy

Permainan ini merupakan perluasan dari Instans Instanity karena

menggunakan enam buah kubus dengan enam kombinasi warna yang berbeda.

Berikut adalah contoh jaring-jaring kubus dari permainan ini:

2 1 3

4 2 1 3

4

Sisi

Depan

Kiri

Belakang

Kanan

Warna

Biru

Merah

Kuning

Hijau

Kubus Posisi

1 belakang-kiri

2 depan-kanan

3 depan-kiri

4 belakang-kanan

1. R

Y G B C

O

2. C

O Y G B

R

3. Y

B C R O

G

4. O

G B C R

Y

5. B

G O Y R

C

6. G

C R O Y

B

Dengan cara yang sama seperti sebelumya, kita menggambarkan sebuah

graf dengan enam titik berbentuk heksagonal lalu mencari subgraf-subgraf dari

graf tersebut untuk mendapatkan solusinya. Berikut adalah graf untuk kerangka

kubus di atas:

Graf Drive Ya Crazy

3 5

2

4

4

1

1

4

3

6 5

6

3

5

2 6

2 1

Y

G

O

C B

R

Graf ini terlihat lebih kompleks dibandingkan dengan dua graf sebelumnya

tetapi kita menemukan tiga buah subgraf yang dapat menjadi solusi bagi

permainan tersebut yaitu:

V

Loop pada subgraf yang pertama adalah O-1-R-2-C-5-B-6-G-3-Y-4-O.

Loop pada subgraf yang kedua adalah O-2-G-4-C-6-O,Y-1-B-3-R-5-Y, dan loop

pada subgraf yang ketiga adalah O-5-G-1-C-3-O, Y-2-B-4-R-6-Y.

4. Dorobo

G

O Y

R

B C

G

O Y

R

B C

3 1

5

2

4

6 6

2

4 3

5

1 G

O Y

R

B C

6

3

3

2

1 4

Sama seperti permainan Mutando, Dorobo adalah pengembangan dari

permainan Instant insanity yang menggunakan lima buah kubus dengan lima

lambing yang berbeda pada sisi-sisinya. Permainan ini diproduksi oleh pabrik

Hanayama di Jepang. Kerangka kubus-kubus Dorobo adalah sebagai berikut:

1.

2.

3.

4.

5.

Penyelesaiannya juga menggunakan metode yang sama seperti sebelumnya.

Berikut adalah graf pentagonal dari contoh permainan dorobo di atas dan juga

subgraf-subgraf solusinya:

Gambar tiga subgraf solusi permainan Dorobo

Graf dorobo ini juga memberikan tiga subgraf sebagai solusi dari

permainannya. Loop pada subgraf pertama adalah G-3-O-4-C-1-P-2-Y-5-G, loop

5 1

2

3 1

4

5

3 2

2 4 5

1

4

3

2 1

3

5 4 1

2

5 4

3

1

5 4

3

2

pada subgraf kedua adalah G-2-O-1-Y-5-C-3-P-4-G, dan loop pada subgraf ketiga

adalah G-1-O-5-P-3-Y-4-C-2-G.

B. Permainan Instant Insanity yang tidak memiliki solusi

Untuk menemukan solusi dari permainan yang melibatkan kubus-kubus

warna ini, kita menggunakan graf yang diambil sebagai representasi kerangka

kubus-kubus yang ada. Suatu set permainan Instant Insanity juga dapat tidak

memiliki solusi, hal ini akan terlihat dari tidak adanya subgraf-subgraf yang dapat

diambil dari graf utamanya. Untuk lebih jelasnya, kita lihat contoh kerangka

kubus-kubus ini .

1. B

G R R Y

G

2. Y

R Y G B

Y

3. B

Y B G R

B

4. G

Y G R B

R

Dari kerangka tersebut, kita buat grafnya.

Gambar Graft Insanity tanpa solusi

Y

G

B

R

1

1

1

2 3 3

4

2

4

2

Dari graf diatas, kita tidak dapat menemukan lintasan yang memuat keempat

titik dan melewati garis-garis yang memiliki label yang berbeda tepat satu kali.

Karena itulah permainan Instant Insanity kali ini tidak ada solusi.

C. Syarat agar permainan Instant Insanity memiliki solusi

Dari dua contoh permainan Instant Insanity yang telah kita bahas, kita dapat

menarik suatu kesimpulan bahwa permainan ini memiliki solusi jika ada

setidaknya dua buah subgarf yang melewati keempat titik pada graf dan melewati

garis-garis yang memiliki label yang berbeda tepat satu kali.

Subgraf-subgraf ini dikatakan sebagai solusi dari permainan ini jika

memenuhi tiga property berikut:

1. masing-masing sugraf memuat tepat satu garis dari tiap kubus

2. masing-masing titik pada subgraf berderajat dua

3. kedua subgraf yang bersesuaian(mewakili timur-barat dan utara-selatan)

tidak memiliki sisi yang sama.