02. 10. 2013 1

Aplikovaná fyzika a biofyzika pro FZS

http://stein.upce.cz/msfzs13.html

Doc. Miloš Steinhart, UPCE 06 036, ext. 6029

02. 10. 2013 2

Úvod do předmětu

• Přednášející: Doc. Miloš Steinhart

• Adresa: Studentská 84, 06 036 (514), 466 036 029

• stein@imc.cas.cz

• http://stein.upce.cz/msfzs13.html• St: 9:50 – 11:30, ZE-3

• Nejsou laboratoře ani seminář !

• Je zápočet - úspěšné vyřešení krátkých písemek na konci některých přednášek

02. 10. 2013 3

Mechanika, Termodynamika

Elektřina a magnetismus, Optika, Moderní fyzika

02. 10. 2013 4

FFZS-01 Úvod do fyziky

http://stein.upce.cz/lectcz/ffzsn_01.ppt

02. 10. 2013 5

Hlavní body

• Úvod do předmětu.

• Předmět fyziky.

• Dělení fyziky.

• Základní jednotky.

• Předpony násobných jednotek.

• Základní matematika

02. 10. 2013 6

Úvod do fyziky I

• Fyzika je nejzákladnější věda, která se se zabývá studiem struktury a chováním hmoty = to, co existuje kolem nás, od mikroskopických po makroskopické rozměry.

• Richard Feynman “fyzika je způsob myšlení“:

Příroda hraje šachy a my se snažíme odkoukat pravidla hry. Přímo pozorujeme tahy figurkami, ale důvod, proč se určitým způsobem táhne znamená vyšší stupeň poznání.

02. 10. 2013 7

Úvod do fyziky II

• Fyzika je věda, ne proto, že je obtížná, ale:• Je založená na interpretaci experimentů.

• Každá její teorie je platná, dokud souhlasí s experimentem.

• Experiment je nejvyšší autorita. (dočasné výjimky: Newton, Einstein…).

• Na rozdíl od života, politiky a pavěd výjimka nepotvrzuje pravidlo, ale bourá jej a vynucuje si vytvoření pravidel nových.

02. 10. 2013 8

Dělení fyziky I

• Fyzika je velmi rozsáhlá, ani fyzikové ji neznají celou. Hledisek dělení může být mnoho:

• Klasická:• Mechanika – kinematika, dynamika, hydrostatika,

hydrodynamika, termika a termodynamika. Geometrická optika, akustika. Elektřina a magnetismus. Astronomie.

• Moderní (zahrnuje nové obory i rozvíjí klasickou):• Teorie relativity, kvantová, jaderná, elementárních

částic, kondenzovaný stav, astrofyzika a kosmologie.

02. 10. 2013 9

Dělení fyziky II

• Experimentální:• Návrh, provádění a vyhodnocování měření.

• Teoretická:• Snaží se vysvětlit experiment a mechanismus

fungování přírody. Existuje ale i sama o sobě. Tím má blízko k umění a literatuře, ale její užitečnost se prověřuje experimentem. Některé současné kosmologické nebo kvantové teorie se samy deklarují jako neověřitelné?

02. 10. 2013 10

Dělení fyziky III• V přednášce položíme základy většině důležitých

klasických oblastí a uskutečníme exkursi do fyziky moderní.

• Hypotéza – nápad, jak vysvětlit určitý jev.• Model – určitý jev formuluje matematicky.• Teorie – širší a detailnější vysvětlení zpravidla skupiny

jevů na společném základě.• Zákon – stručný, ale velmi obecný předpis, jak se příroda

chová (preskriptivní vs. deskriptivní)• Fyzika se buduje od hypotéz k zákonům. Tuto cestu je

užitečné projít i při snaze ji hlouběji porozumět.

02. 10. 2013 11

Fyzikální rozměry a jednotky I• Většina fyzikálních veličin má určitý rozměr

(například délku; čas; rychlost, hmotnost) a měří se v jistých jednotkách (metr, míle, světelný rok; sekunda, rok; uzel, km/h; gram).

• V r. 1795 byl ve Francii uzákoněn metrický systém a z něj se vyvinula soustava SI. Proč:• Velké množství různých jednotek brzdí poznání!• Např. archeologové mají problémy s jednotkami,

které byly dávno zapomenuty.

02. 10. 2013 12

Fyzikální rozměry a jednotky II

• SI – Système International d’Unités.• Soustava je založená na 7 základních a 22

odvozených jednotkách a jejich desetinném dělení a násobení.

• Nemetrické: USA, Libérie, Barma. Ale paradoxně tzv. imperiální míry jsou od roku 1893 definovány pomocí metrického systému!

1” (palec) = 2.54 cm (přesně)

Je nutné umět jednotky spolehlivě převádět!

02. 10. 2013 13

Základní jednotky SI

• metr m – délka

• kilogram kg – hmotnost

• sekunda s – čas

• ampér A – elektrický proud

• kelvin K – teplota

• mol mol – látkové množství

• kandela cd – svítivost

02. 10. 2013 14

Základní jednotky - metr

• Původně 10-7 kvadrantu Země. Kvůli nepraktičnosti byl vytvořen etalon – mezinárodní metr. Na rozdíl od “loktů” je ale definován na základě reprodukovatelné hodnoty.

• Nyní definován pomocí rychlosti světla ve vakuu: c = 299 792 458 ± 1 ms-1

02. 10. 2013 15

Základní jednotky - kilogram

• Původně hmotnost 1 l vody za určitých podmínek.

• Nyní etalon – mezinárodní kilogram. To je trochu paradox s tím, “že vážení je nejpřesnější měření”.

02. 10. 2013 16

Základní jednotky - sekunda

• Původně 1/86400 solárního dne 1. 1. 1900.

• Nyní pomocí kmitočtu spektrální čáry133Cs: 9 192 631 770 Hz

02. 10. 2013 17

Základní jednotky - ampér

• Pomocí silových účinků dvou rovnoběžných (nekonečně dlouhých) vodičů protékaných proudem.

• Jsou-li vzdáleny 1 m od sebe a protéká-li jimi (souhlasně) proud 1 A, přitahují se silou 0,2 N na 1 m délky.

02. 10. 2013 18

Základní jednotky - kelvin

• Stupeň stejně velký jako stupeň Celsiův, tedy interval tuhnutí a varu vody za normálních podmínek se dělí na 100 stupňů.

T[K] = 273. 15 + T[°C]

• K definici stačí jediný bod, používá se trojný bod vody 273.16 K

02. 10. 2013 19

Základní jednotky - mol

• Počet atomů v 0.012 kg uhlíku 12C.

• Počet rovný NA = 6.02214199 1023 částic.

(Amedeo Avogadro 1776 - 1856)

• Dohodnuté číslo, které umožňuje převod z exotických jednotek mikrosvěta do pro nás běžných jednotek makrosvěta.

02. 10. 2013 20

Předpony násobných jednotek I

• kilo 103 k

• mega 106 M

• giga 109 G

• tera 1012 T

• peta 1015 P

• exa 1018 E

02. 10. 2013 21

Předpony násobných jednotek II

• mili 10-3 m

• mikro 10-6 • nano 10-9 n

• piko 10-12 p

• femto 10-15 f

• atto 10-18 a

02. 10. 2013 22

Příklad I – délka • poloměr neutronu 10–15 m• poloměr atomu 10–10 m• délka viru 10–7 m• tloušťka papíru 10–4 m• prst 10–2 m• fotbalové hřistě 102 m• výška Mt. Everestu 104 m• poloměr Země 107 m• vzdálenost Země-Slunce 1011 m• vzdálenost Země- Centauri 1016 m• nejbližší galaxie 1022 m• nejvzdálenější viditelná galaxie 1026 m

02. 10. 2013 23

Příklad II – čas• doba života některých částic 10–23 s• poločas rozpadu 10–22 – 1028 s• průlet světla atomem 10–19 s• průlet světla papírem 10–13 s• tlukot srdce 1 s• den 104 s• rok 107 s• lidský život 109 s• známé dějiny lidstva 1012 s• život na Zemi 1016 s• stáří vesmíru 1022 s

02. 10. 2013 24

Příklad III – hmotnost • elektron 10-30 kg• proton, neutron 10-27 kg• molekula DNA 10–17 kg• bakterie 10–15 kg• komár 10-5 kg• člověk 102 kg• loď 108 kg• Země 6 1024 kg• Slunce 3 1030 kg• galaxie 1041 kg

02. 10. 2013 25

Goniometrické funkce

• cos() … první souřadnice průsečíku orientovaného úhlu s jednotkovou kružnicí

• sin() … druhá souřadnice průsečíku orientovaného úhlu s jednotkovou kružnicí

• tg() = sin() / cos()

• cotg() = cos() / sin()

• sin2() + cos2() = 1

• sec()=1/cos(); cosec()=1/sin()

02. 10. 2013 26

Součtové vzorce I

• sin(+) = sin()cos() + sin()cos()

• sin(-) = sin()cos() – sin()cos()

• cos(+) = cos()cos() – sin()sin()

• cos(-) = cos()cos() + sin()sin()

• sin(2) = 2 sin()cos()

• cos(2) = cos2() – sin2()

• sin2(/2) = [1 – cos()]/2

• cos2(/2) = [1 + cos()]/2

02. 10. 2013 27

Součtové vzorce II

• sin()+sin() = 2sin((+)/2)cos((-)/2)

• sin()–sin() = 2cos((+)/2)sin((-)/2)

• cos()+cos() = 2cos((+)/2)cos((-)/2)

• cos()–cos() = –2sin((+)/2)sin((-)/2)

• Eulerův vzorec:

exp(–i) = cos() – i sin()

i2 = –1 … imaginární jednotka

02. 10. 2013 28

*Rotace souřadnic

• Souřadné soustavy mají společný počátek a čárkovaná je pootočená o úhel + okolo osy z :

• x’ = x cos() + y sin()

• y’ = x sin() + y cos()

• Zpětná transformace -> -, x’-> x, y’-> y

• x = x’ cos() – y’ sin()

• y = –x’ sin() + y’ cos()

02. 10. 2013 29

Transformace souřadnic I

• Často se řešení podstatně zjednoduší, zvolíme-li vhodné souřadnice – například souřadnice polární

• Souřadné soustavy mají společný počátek

• Bod v kartézské pravoúhlé s. s. je dán dvojicí [x,y] a element plochy dS = dx*dy

• Bod v polárních souřadnicích je dán dvojicí [r,] a element plochy dS = dr*rd

• ;

• x = r cos() ; y = r sin()

22 yxr )( xyacrtg

02. 10. 2013 30

Sinova a cosinova věta

• mějme libovolný trojúhelník, v němž strana a je protilehlá úhlu , strana b ~ a strana c ~

• sinova věta :

• a / sin() = b / sin() = c / sin()

• cosinova věta :C

• c2 = (a – b cos())2 + (b sin())2 =

a2 + b2 – 2ab cos()

02. 10. 2013 31

Vektorový počet I

• skalární veličinu lze vyjádřit číslem • teplota, čas, energie

• vektorová veličina má velikost a směr• rychlost, síla, moment hybnosti

• = (x1, x2, x3) =• =(cos(1), cos(2), cos(3)) jednotkový vektor

• xi složky vektoru

• = r = (x21 + x2

2 + x23 + …)1/2 … velikost vektoru

• cos(i) … směrové cosiny

r

r 0r

0r

r

02. 10. 2013 32

Vektorový počet II

• nulový vektor ... nulová délka, libovolný směr

• násobení skalárem k = (kx1, kx2, kx3) = k

• opačný vektor k = -1 … změna orientace

• součet vektorů = + … ci = ai + bi

• rozdíl vektorů = – … di = ai – bi

• úhlopříčky rovnoběžníku, který vektory tvoří: • c2 = a2 + b2 + 2ab cos()

• d2 = a2 + b2 – 2ab cos()

r

r 0r

c

d a

a b

b

Převod jednotek Obvykle jsou si přímo úměrné:

1u = 1.6605 10-27 kg

v(m/s) = v(km/h)/3.6

V obtížnějších případech je převod lineární:T(°K) = T(°C) + 273.15T(°F) = T(° C).5/9 + 32

^

Skalární součin Ať

Definice I (ve složkách)

Definice II

n

iiibac

1

cosbac

bac

Skalární součin je součin velikosti jednoho vektoru krát průmět velikosti vektoru druhého do jeho směru. ^

Vektorový součin I Ať

Definice (ve složkách)

Velikost vektoru

3

1

3

1j kkjijki bac

sinbac

Velikost vektorového součinu je rovna obsahu rovnoběžníku tvořeného vektory .

bac

ba

,

c

Vektorový součin II

zyx

zyx

zyx

bbb

aaa

uuu

c

Vektor je kolmý k rovině vytvořené vektory a a společně vytváří pravotočivý systém.

ijk = {1 (sudá permutace), -1 (lichá), 0 (eq.)}

c

a

b

^

Plocha kruhu v polárních s.

2

0 00 0

4.4

RR R

rdrddydxS

2020

0 0 00

][][4442

2

2 2

RrdrdrdrdS RrR R

^

Zápis obou dvojných integrálů je stejně snadný. Ale výpočet prvního je ve skutečnosti velmi obtížný pro závislost dx.dy na souřadnicích. Druhý dvojný integrál lze napsat jako součin dvou integrálů jednorozměrných a řešit přímočaře: