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Apostila Matemática Básica para os cursos de Tecnologia
Este material contém noções básicas da matemática elementar necessárias ao conteúdo programático de matemática para o ensino superior dos cursos de Tecnologia.
2011
Prof. Dr. Eik Tenório FATEC TAUBATÉ
20/8/2011
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Apostila Matemática Básica Prof. Dr. Eik Tenório
Matemática Básica FATEC TAUBATÉ
2
NÚMEROS REAIS 1. Conjuntos
Definição Símbolo Exemplo
Vazio =
Pertinência (pertence)
(não pertence)
2 A (2 pertence a A)
3 A (3 não pertence a A)
Inclusão
ou
Subconjunto
(contido)
(não contido)
B A (B está contido em A ou B é subconjunto de A)
C A (C não está contido em A ou C não é subconjunto de
A)
União
A B =
Intersecção
Diferença
2. Conjuntos numéricos
Conjunto dos números naturais
Conjunto dos números inteiros
* o asterisco indica que o zero não pertence ao
conjunto.
Conjunto dos números racionais
Formado por todos os números que podem ser escritos na forma de fração, com denominador não-nulo.
- Decimal finita: (número exato de algarismos)
75,04
3 5,0
2
1 75,6
4
27 275,0
40
11
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3
- Decimal infinita periódica ou dízima periódica: (repetição infinita de algarismos após a vírgula)
33,0...33333,03
1
61,6...16666,6
6
37
33,2...3333333,2
3
7
Fração geratriz é a fração que dá origem à dízima.
Conjunto dos números racionais
Formado por todos os números que não podem ser escritos na forma de fração, são números que na forma
decimal não são periódicos, nem têm um número finito de casas.
0,123456...
...7320508,13
...4142135,12
Conjunto dos números reais
Formado pela união dos números racionais com os irracionais:
Representação geométrica de
A cada ponto de uma reta podemos associar um único número real, e a cada número real podemos associar um
único ponto na reta.
Diagrama de Venn
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,5
׀ ׀ ׀ ׀ ׀ ׀ ׀ ׀ ׀ ׀ ׀ ׀ ׀ ׀ ׀ ׀ ׀ ׀ ׀ ׀ ׀
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4
Intervalos reais
São subconjuntos do conjunto dos números reais
a) Intervalo aberto de extremos 3 e 5.
b) Intervalo fechado de extremos 3 e 5.
c) Intervalo aberto a direita
d) Intervalo aberto á esquerda
e) Intervalos infinitos:
3. Operações com números reais
Adição e subtração de frações
Com denominadores iguais
10
3
10
36
10
342
10
3
10
4
10
2
Com denominadores diferentes
30
11
30
1526
30
15206
2
1
6
4
10
2
1º) Passo: Calcular o M.M.C. (Mínimo Múltiplo Comum) dos denominadores
10,6,2 2
5,3,1 3
5,1,1 5
2º) Passo: Reescrever a fração sob o m.m.c. encontrado:
30
11
30
1526
30
15206
30
)1.15()4.5()2.3(
30
]1).230[(4).630[(]2).1030[(
Multiplicação de frações
35
3
70
6
2.5.7
1.2.3
2
1
5
2
7
32
2
(Observe que podemos dividir tanto o denominar quanto o numerador por 2)
O M.M.C. será a multiplicação dos números encontrados, logo,
M.M.C. (10, 6, 2)=2x3x5=30
3 5
3 5
3 5
3 5
3
3
3
3
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5
Divisão de frações
5
3
20
12
4.5
6.2
4
6
5
2
6
4
5
24
4
4. Expressões numéricas
Prioridades das expressões
1º) Potenciação ou
radiciação
2º) Multiplicação ou divisão
3º) Adição ou subtração
1º) Parênteses
2º) Colchetes
3º) Chaves
Regra dos sinais
Multiplicação Divisão
(+1) (+1) = +1 (+1) (+1) =+1
(+1) (– 1) = – 1 (+1) (– 1) = –1
(– 1) (+1) = – 1 (– 1) (+1) = –1
(– 1) (– 1) = +1 (– 1) (– 1) =+1
Exemplo 1
18612
53026
Exemplo 2
000020189
0236366195
60602135366539
23060217536318539
Exemplo 3
483492
3492
34452
34952
3415352
3415352
341105352
5. Potenciação
a número real, m e n inteiros positivos
Base positiva + expoente par = potência positiva Base negativa + expoente par = potência positiva
93332
93332
Base positiva + expoente ímpar = potência
positiva
Base negativa + expoente impar = potência negativa
6444443
6444443
Exemplos:
22 . 2
3 =2
(2+3) = 2
5 12315
3
15
3
53
3
5
222
2
2
2
2
8
550
5
0
533
3
3
3
1
822223
n vezes
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6
6. Radiciação
a e b números reais, n inteiro positivo
abba nn aa
n n nnn baba ..
mnn m aa . n
m
n m aa 0, b
b
a
b
an
n
n
Obs.: Quando o índice for o número 2 não precisamos escrevê-lo, ele fica subentendido 552
Exemplos:
749 22 12 22 122 32 22222228
5
1
5
1
5
15
3 3
3
3
3 3
4
2
222
22
222
22
222
22
2
22
2
22
4
2
222
2
222
2
6
2
32
12
3
3
7. Porcentagens ou taxas percentuais
Porcentagem é o resultado de uma razão cujo denominador é 100, ou seja, toda razão 100
a é uma porcentagem.
As porcentagens podem ser expressas de duas maneiras: na forma de fração com denominador 100 (percentual)
ou na forma decimal.
Obs: (o símbolo “%” indica que o valor esta sendo dividido por 100)
30% =100
30 = 0,30 4% =100
4 = 0,04
1% = 100
1 = 0,01 115% =100
15 = 1,15
135% = 100
135 = 1,35 27,9 % = 100
9,27 = 0,279
Exemplo 1:
Quanto é 23% de $3.000,00?
23% de $3.000,00 = 00,690100
2300,30000
Exemplo 2:
Num lote de 50 lâmpadas, 13 apresentaram defeito. A razão entre o número de lâmpadas defeituosas e o total de
lâmpadas é dada por: 100
26%26
50
13 , ou seja, se o lote contivesse 100 lâmpadas, 26 estariam com defeito.
O número %26100
26 é a taxa percentual de lâmpadas defeituosas.
Exemplo 3:
Uma bolsa é vendida por R$ 32,00. Se seu preço fosse aumentado em 20%, quanto passaria a custar?
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7
o aumento seria 20% de 32 = 0,2 x 32 = R$6,40
o novo preço seria 32 + 6,40 = R$ 38,40.
Poderíamos fazer simplesmente:
valor x (1+taxa )
32 x (1+0,2 ) = 32 x (1,2)= R$ 38,40
Se, por outro lado, numa liquidação, fosse anunciado um desconto de 20% sobre o preço original, o cálculo
seria:
valor x (1 - taxa)
32 x (1 - 0,2 ) = 32 x (0,8) = R$ 25,60
Exemplo 4:
Certa mercadoria que custava R$ 24,00 passou a custar R$ 30,00. Para calcular a taxa percentual de aumento
faça:
(taxa percentual do aumento)
Exemplo 5:
Certa mercadoria que custava R$ 30,00 passou a custar R$ 24,00. Para calcular a taxa percentual de desconto
faça:
(taxa percentual do aumento)
8. Resolução de problemas
1. Calcule as seguintes expressões numéricas:
a) 5
1
9
4
2
1
5
7
3
4
b) 1162
8
1
3
2
4
13224
c)
d)
e)
f)
g)
h)
97
3
3
7
15
3
2
1
i) 43 25
4
1 j) 22
2
5431
11
2
1
5
4
k)
17
181
5
4
4
3
5
2
2
3819
9
1
2
1
9
4
l)
5
2
8
17
10
1
11
43
2. Resolva:
a) 23. 8
5 b) 2
2. 3
2 c) 5 d) (-2)5 e)
5
53
8
)2(
f) 2
5
2
2 g)
2
32
2
22 h) 2 610 i) 3-2 j) 3
3
3
2
k) 22
32
82
22
l)
4
44
6
23 m) 2 632 n) ((-1)3)4
o) 3 64
p) 22 813 q) 2
2
81
3 r)
3
2
9
3 s) (-1)0 t) 5 2
u) 3 310 v) 27 w)
3
3
2
x)
3
2
1
y) (2
3)
2
Para aumentar Multiplique por
30% 1,3
16% 1,16
5% 1,05
Para descontar Multiplique por
30% 0,7
16% 0,84
5% 0,95
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8
3. Calcule:
a) 25% de 650 b) 75% de 2000 c) 4% de 750
d) 10% de 29 + 4,2% de 17 e) 5,3% de 18,45 – 3,4 % de 2,7 f) 0,4% de 125 +1,6% de 234,25
4. Uma loja está com uma promoção de 15% de desconto em todos os seus produtos, qual será o valor que
pagaremos se comprarmos uma camisa manga longa ( R$ 57,00), uma calça social ( R$ 93,50) e duas saias
longa (R$ 47,00).
5. Os vendedores de uma determinada loja recebem 3,5% de comissão sobre o total de vendas, qual o valor
que receberam os seguintes vendedores
a) Adriana – Total de vendas R$ 33.500,00
b) Manoel – Total de vendas R$ 18.750,00
c) Paulo – Total de vendas R$ 47.935,00
6. O preço de um par de sapatos é R$ 48,00. Em uma liquidação, ele é vendido com 15% de desconto. Quanto
passará a custar?
7. Após um aumento de 16% no salário, um estagiário passou a receber R$ 556,80.
a) Qual era o seu salário antigo?
b) Quanto o estagiário passaria a receber, se o aumento fosse de 20%?
8. Uma mercadoria foi comprada por R$ 50,00 e vendida por R$ 80,00. Determinar a taxa de lucro sobre o
preço de compra e a taxa de lucro sobre o preço de venda.
9. Um comerciante remarcou em 5% o preço de suas mercadorias. Qual e o novo preço de uma mercadoria
que era vendida por R$ 74,50?
10. Um funcionário recebe um salário base de R$ 850,00. Recebe também um adicional por tempo de serviço
de 5% sobre o salário base. Alem disso, esta respondendo pela chefia da seção, recebendo por isso 8%
sobre o salário base. O empregador desconta 8,5% sobre seu salário total para a contribuição previdenciária.
Quanto recebe esse funcionário?
11. Uma pessoa recebe R$ 1.500,00 de salário da empresa em que trabalha. Recebe também R$ 700,00 do
aluguel de um apartamento, alem de R$ 800,00 de uma aplicação em CDB. Qual e a participação percentual
de cada fonte em seu salário total?
9. Gabarito
1) a) 46,2;90
221 b) 73,88;
48
259.4 c) 92,6;
400.4
429.30 d) 38,0;125
48 e) 50,0;
2
1 f) 25,1;4
5
g)-414 h) 19,0;290.2
441 i)125,1875 j)0,7028 k) 79,1;417.69
600.124 l) 92,6;
400.4
429.30
2) a)262144 b)36 c)1,495 d)-32 e)1 f)8 g)8 h)1000 i)0,11 j)0,296 k)0,125 l)1 m)32,768 n)1 o)2
p)59,049 q)0,0013 r)0,111 s)1 t)1,072 u)10 v)0,142 w)0,296 x)8 y)64
3) a)162,50 b)1.500 c)30 d)3,614 e)0,88605 f)4,248
4) R$ 207,825
5) a)1.172,50 b)656,25 c)1.677,72 6) R$40,80 7) a)R$ 480,00 b)$576,00
8) Taxa de juros sobre o preço da compra = 60%, Taxa de lucro sobre o preço da venda = 37,5%
9) R$ 78,23 10) R$ 878,86 11) 50%, 23,33%, 26,67%
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9
10. Bibliografia
SILVA, S. M., Matemática: para os cursos de economia, administração, ciências contábeis. Vol1. São Paulo:
Atlas, 1999.
SILVA, S. M., Matemática Básica para Cursos Superiores. São Paulo: Atlas, 2002.
IEZZI, G., DOLCE, O., Matemática Ciência e Aplicação. 4ª Edição. São Paulo: Atual, 2006.
DANTE, L. R., Matemática. 1ª Edição. São Paulo: Ática, 2006.
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
11. Valor numérico de expressões algébricas
Para x=-1. Calcule o valor da seguinte expressão
algébrica:
2
121
1121
:Re
12
3
3
y
y
y
solução
xxy
Para x=1. Calcule o valor da seguinte expressão
algébrica:
5
511
511
:Re
5
45
45
y
y
y
solução
xxy
12. Expressões Algébricas
São expressões matemáticas compostas por números, letras e operações algébricas.
Expressões algébricas Exemplos
Monômio
Binômio
Trinômio
Polinômio
13. Operações com expressões algébricas
Adição e subtração
46423452345 yxyxyxyxyx
43223452345 yxyxyxyxyx
Multiplicação e divisão
zyxzxyx 34232 632
z
yx
zxy
yx
216
8 3
2
34
Adição e Subtração de monômios
Atenção: Só é possível somar ou subtrair monômios
que possuem exatamente a mesma parte literal.
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Produtos notáveis
2222
32232223
32232223
22222
22222
332
332
2
2
babbaabababa
babbaababababababa
babbaababababababa
bababbaababababa
bababbaababababa
Fatoração
É a expressão matemática escrita na forma de uma multiplicação.
10x yx23 23 yx 4312 xy
Simplificação
3313
3
3
3
33
3
93 2
xxxx
x
x
xx
x
xx
3
3
3
31
3
3
3
3
33
33
96
92
2
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
xx
xx
x
14. Resolução de problemas
12. Calcule o valor de y para as expressões abaixo:
a) 3;3
92
x
x
xy
b) 1;11123
xxxy c) 1;
2
11
3
21
2
12
35
xxxy
d) 2;23
124 3
x
x
xxy e) 2;1
3
2
1
132
x
x
x
xy f) 1;
2
319
2
312
5
3
x
x
x
x
xy
g) 2
1;2
34
3
21
xx
xxy h) 4;1221
xxx
y i) 0;
1
3
x
x
xxy
13. Efetue:
a) cbaacb 23434 b) xyxxxy 35313 22
c) yxyx 1552010
d) 33 25412 xyxyxyxy e) ca 75 f) yxyx 3434
g) 33 xx h) 22 48 xx i) xyxyyxyx 2345 432
14. Desenvolva os produtos indicados:
a) 21x b) 252 x
c) 221 y d)
2
4
1
2
1
x
e)
2
22
x f) 253 yx g)
2
1
1
x
x h)
21
2
x
x
i) 32 x j) 342 yx k) xx 44 l) 1331 xx
m) 1515 22 yy n) cbacba o) 11 xx p) 21313 xx
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11
15. Fatore:
a) xx 42 b) yx 42
c) 1293 yx d)
24 3xx
e) 45
45 xx f) xx 910 2 g) xzxy 217 h)
24 416 xy
i) 44 ba j)
21 x k) 12 x l) xx 42
16. Simplifique:
a) 3
6x b)
2
64 x c)
x
xx
3
93 2 d)
xy
yxxy 22 2416
e) 3
92
x
x f) 4
162
x
x g)
49
72
x
x
h)
9
32
2
x
x
15. Gabarito
12. a) y = 0 b) y = 13 c)6
1y d)
8
27y e) 62y f)
3
484y g)
5
4y
h)2
17y i) y = 0
13.a) 3a+b+c b)-2xy + 2x2 + 4 c) 5x + 5y d) 463 xyxy e) –35ac f) 16x2 – 9y2 g) x2+6x+9 h) 2
i) yxxy
2
32
2
5 32
14.a) 122 xx b) 25204 2 xx c)2441 yy d)
16
1
44
2
xx e)
222
2xx
f) 22 25309 yxyx g)
12
122
2
xx
xx h)2
2 11
4 x
x i)
326128 xxx
j) 3223 6496488 yxyyxx k) l) m)
n) 222 2 cbaba o) x – 1 p)25x2 – 9
15.a)6x b)2(x+2y) c)3(x=3y+4) d)x2(x2-3) e)
4
1
5
4 xx f)x(10x-9) g)7x(y+3z) h) )2)(2(4 22 xyxy
i)(a2+b2)(a + b)(a–b) j)(1 – x)(1+x) k)(x + 1)(x – 1) l)-2x
16.a)2x b)2x +3 c)x +3 d)16y-24x e)x+3 f)x-4 g)
7
1
x
h)3
3
x
x
16. Bibliografia SILVA, S. M., Matemática: para os cursos de economia, administração, ciências contábeis. Vol1. São Paulo:
Atlas, 1999.
SILVA, S. M., Matemática Básica para Cursos Superiores. São Paulo: Atlas, 2002.
IEZZI, G., DOLCE, O., Matemática Ciência e Aplicação. 4ª Edição. São Paulo: Atual, 2006.
DANTE, L. R., Matemática. 1ª Edição. São Paulo: Ática, 2006.
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12
EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DO 1º GRAU 17. Equações do 1º grau
Exemplos:
3
35
15
155
0155
x
x
x
x
4
46
24
246
91539
15399
5319
9
5
3
1
x
x
x
xx
xx
xx
xx
18. Inequações do 1º grau
Exemplos:
3
5
15
155
0155
x
x
x
x
6
2
12
122
0122
x
x
x
x
19. Exemplos de aplicações
a) Um pagamento foi acrescido de 50% de seu valor, resultando em um total a ser pago de R$ 300,00. Qual o
valor da dívida original?
dívida original: x valor de acréscimo: 50% de x ou 0,5x dívida original somada ao valor de
acréscimo: x + 0,5x = 300
Resolvendo a equação:
x + 0,5x = 300
1,5 x = 300
2005,1
300x
b) Uma pessoa sai de casa com R$ 300,00 e pretende adquirir por R$160,00 uma passagem de ida e volta para
um balneário, acredita que gastará mais R$25,00 por dia com outras despesas no local. Quanto tempo ele
pode ficar hospedado nesse balneário, se reservar R$ 40,00 para uma emergência qualquer?
3 -6
Resposta: O valor da dívida original era de R$ 200,00
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13
Número de dias que essa pessoa poderá ficar hospedado no balneário: x
Valor máximo que a pessoa possui: R$ 300,00
Passagem + despesas diárias: 160 + 25x Reserva: 40 Total: 160+ 25x + 40 = 200 + 25x
Portanto temos a seguinte inequação:
20. Resolução de problemas
17. Resolver as seguintes equações:
a) 3x = 9 b) -2x = 18 c) 4x = -27 d) 5
2
4
3x
e) 8
7
5
3x f)
5
12,0 x g) 5,45,0 x h) 741321 xx
i) 222161124 xx j)
5
1
25
104
x k) 4
208
6
410
xx l) 610
9
15
4
xx
18. Resolver as seguintes inequações:
a) 205 x b) 10010 x c) 82 x d) 63 x
e) 164 x f) 4
3
2
1x g) 9,04,0 x h) 10
4
1
x
i) 3
14
5
2
xx
19. Um produto teve seu preço aumentado em 20% para pagamento a prazo, resultando um total de R$600,00.
Qual era o preço a vista do produto?
20. Duas pessoas têm juntado R$135,00. Quanto possui cada uma delas, sabendo-se que uma possui o dobro da
outra?
21. Um produto é anunciado em uma loja com pagamento em duas vezes sem juros, ou a vista com desconto de
20%. Se uma pessoa pagou a vista R$ 400,00 pelo produto, qual o valor das prestações para a compra a
prazo?
22. Uma pessoa fez um acordo com uma administradora para pagar o saldo de seu cartão de crédito em três
vezes sem juros. O primeiro pagamento corresponde à metade da dívida e o segundo pagamento, R$300,00.
Qual o valor da dívida, se o último pagamento era de 20% da dívida original?
23. A relação entre o preço de venda e a quantidade vendida de um produto é dada pela equação q = 100-2p.
Determinar os valores de p para os quais a quantidade vendida é de no mínimo 40 unidades.
24. Uma pessoa economizou R$ 400,00 para pagar prestações de dois carnês em atraso. O primeiro carnê tem
prestações fixas de R$ 50,00 e o segundo tem prestações fixas de R$ 80,00. Qual o número máximo de
prestações que ele poderá pagar do segundo carnê, se for obrigado a quitar pelo menos duas prestações do
primeiro carnê?
25. No problema anterior, se o primeiro carnê tem apenas quatro prestações a pagar, qual o número mínimo e
máximo de prestações que ele pode pagar no segundo carnê?
Resposta: A pessoa poderá hospedar-se no balneário no máximo 4 dias.
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21. Gabarito
1) a) x = 3 b) x = -9 c) 4
27x d)
15
8x e)
24
35x f) x = 1 g)x = -9 h) x = -7
i) x = 5 j) 10
1x k) x = 13 l) x = 3
2) a) 4x b) 10x c) 4x d) 2x e) 4x f)2
3x g)
4
9x h) 39x i)
23
1x
3) R$ 500,00
4) R$ 45,00 e R$ 90,00
5) R$ 250,00 cada um
6) R$1.000,00
7) 30p 8) Resp. 3
9) No mínimo duas e no máximo três prestações.
22. Bibliografia
SILVA, S. M., Matemática: para os cursos de economia, administração, ciências contábeis. Vol1. São Paulo:
Atlas, 1999.
SILVA, S. M., Matemática Básica para Cursos Superiores. São Paulo: Atlas, 2002.
IEZZI, G., DOLCE, O., Matemática Ciência e Aplicação. 4ª Edição. São Paulo: Atual, 2006.
DANTE, L. R., Matemática. 1ª Edição. São Paulo: Ática, 2006.
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EQUAÇÕES DO 2º GRAU
23. Equações do 2º grau
A equação admite 2 raízes reais e
diferentes
A equação admite 2 raízes reais e
iguais
A equação não admite raízes
reais
Exemplos:
A equação não tem raízes
reais
24. Exemplo de aplicação
Dois números apresentam soma 20 e produto 91. Quais são esses números?
Solução:
Dois números: x e y soma: x + y = 20 produto: x . y = 91
x + y = 20 y = 20 – x
x . y = 91 x . (20 – x) = 91
x . (20 – x) = 91 -x2 + 20x – 91 = 0 ( equação do 2º grau)
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25. Resolução de problemas
26. Resolver as seguintes equações:
a) 0652 xx b) 01072 xx c) 01522 xx d) 021102 xx
e) 0442 xx f) 0144 2 xx g) 02
5
2
112 xx h) 12 xx
i) 1053 2 xx j) xx 2
k) 162 x
l) 015 2 x
m) 1644
1 2 xx n) 02 x o) 03 2 x
p) 52 x
q) 93 2 x r) 8342 xxx s) 6232 xxx t)
5
3
12
xx
27. Determinar dois números positivos com soma 14 e produto 33.
28. Determinar as dimensões de um retângulo com área de 80m2 , sabendo-se que um lado tem 2 m a mais que
o outro.
29. A razão entre dois números é 4 e seu produto é 36. Quais são esses números?
26. Gabarito
1. a)
b)
c)
d)
e) f)
g)
h) Não possui
solução
real
i) Não possui
solução
real
j)
k)
l) Não possui
solução
real
m) n)
o) p)
q)
r)
s) t)
2. 11 e 3
3. 8m e 10m
4. 3 e 12 ou -3 e -12
27. Bibliografia
SILVA, S. M., Matemática: para os cursos de economia, administração, ciências contábeis. Vol1. São Paulo:
Atlas, 1999.
SILVA, S. M., Matemática Básica para Cursos Superiores. São Paulo: Atlas, 2002.
IEZZI, G., DOLCE, O., Matemática Ciência e Aplicação. 4ª Edição. São Paulo: Atual, 2006.
DANTE, L. R., Matemática. 1ª Edição. São Paulo: Ática, 2006.
REYNOLDS, H., Matemática Aplicada – Administração, Economia e Ciências Sociais e Biológicas. 7ª Edição.
São Paulo: McGrowHill, 2006
Resposta: os números são 7 e 13
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FUNÇÃO DO 1º GRAU
28. Definição e exemplos (Revisão)
Função é uma relação entre dois conjuntos A e B definida por uma lei de formação f (ou regra), onde cada
elemento de “A” está relacionado com apenas um elemento de B. Função f: A B
Diagrama de flechas
Diagrama cartesiano
Exemplos:
1. Dado os conjuntos A = {1; 2; 3;4} e B = {0;2;4;6;8;10 }, onde a relação de f: A → B é definida pela função f(x) = 2x,
com . (que também pode ser representada por y=2x)
Par ordenado (x,y) Domínio: D(f) = {1; 2; 3;4}
Contradomínio: C(f) = {0;2;4;6;8;10 }
Imagem: Im(f) = {2;4;6;8}
(1,2)
(2,4)
(3,6)
(4,8)
O conjunto A é o conjunto de partida e o conjunto B é o de
chegada
Domínio é o conjunto de partida (A)
Contradomínio é o conjunto de chegada (B)
Conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio, composto
pelos elementos que possuem uma relação com os elementos de A.
y
x
A B
0
2
4
6
8
10
1
2
3
4
A B
origem
Produto cartesiano (A x B)
Se tiver dois conjuntos não vazios A e B, chamamos de produto
cartesiano de A por B o conjunto de todos os pares ordenados de
modo que x pertença ao conjunto A e y ao conjunto B.
A x B = {(x;y)│x A e y B}
O produto cartesiano pode ser representado por diagrama de
flechas ou por diagrama cartesiano
1 2 3 4 5 6 x
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
P = (x,y)
x ( eixo das abscissas ou eixo horizontal)
y ( eixo das ordenadas ou eixo vertical)
x
y
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2. Dado os conjuntos A = {0;1; 2; 3;4;5} e B = {1;3;5;7;9;11}, onde a relação de f: A → B é definida pela função
f(x) = 2x+1, com . ( que também pode ser representada por y=2x+1)
Par ordenado (x,y)
Domínio: D(f) = {0;1; 2; 3;4;5}
Contradomínio: C(f) = {1;3;5;7;9;11}
Imagem: Im(f) = {1;3;5;7;9;11}
(0,1)
(1,3)
(2,5)
(3,7)
(4,9)
(5,11)
3. Dado os conjuntos A = {1; 4; 7} e B = {1;4;6;7;9;12}, onde a relação de f: A → B é definida pela função f(x) = x+5,
com . (que também pode ser representada por y = x+5)
Par ordenado (x,y) Domínio: D(f) = {1;4;7}
Contradomínio: C(f) = {1;4;6;7;9;12}
Imagem: Im(f) = {6;9;12}\
(1,6)
(4,9)
(5,12)
1
3
5
7
9
11
0
1
2
3
4
5
A B
1
4
6
7
9
12
1
4
7
A B
1 2 3 4 5 6 0 x
y
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 0 x
y
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
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29. Função do 1º grau (função linear ou afim) Denomina-se função do 1
o grau toda função definida pela regra
. O gráfico da função do 1º grau é uma reta.
Exemplo 1: Função crescente ( a > 0) – quando maior o valor de x maior será o valor de y
1
o passo: calcular o valor de y para x=0
p
2 o
passo: calcular o valor de x para y=0 (Raiz ou Zero da função)
3
o passo: inserir os dois pontos no diagrama cartesiano e traçar uma reta que passe por eles
x y
0 6
-3 0
Exemplo 2: Função decrescente ( a < 0) - quando maior o valor de x menor será o valor de y
1
o passo: calcular o valor de y para x=0
2 o
passo: calcular o valor de x para y=0 (Raiz ou Zero da função)
3
o passo: inserir os dois pontos no diagrama cartesiano e traçar uma reta que passe por eles
x y
0 6
3 0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x
y
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x
y
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
Atenção!!! - O gráfico da função intercepta o eixo
horizontal no -3 e o eixo vertical no 6
- A função é crescente pois a=2>0
Atenção!!! - O gráfico da função intercepta o eixo
horizontal no número 3 e o eixo vertical no número 6.
- A função é decrescente, pois a= -2 < 0
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Exemplo 3: Função constante (a = 0) – para qualquer valor de x o valor de y será sempre o mesmo
1
o passo: calcular o valor de y para x=0
2 o
passo: calcular o valor de y para x=1
3
o passo: inserir os dois pontos no diagrama cartesiano e traçar uma reta que passe por eles
x y
0 6
1 6
Exemplo 3: Função especial (b = 0) – o gráfico sempre passa pela origem (0,0)
1
o passo: calcular o valor de y para x=0
2 o
passo: calcular o valor de y para x=1
3
o passo: inserir os dois pontos no diagrama cartesiano e traçar uma reta que passe por eles
x y
0 0
1 2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x
y
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x
y
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
Atenção!!! - O gráfico da função não intercepta o
eixo horizontal e o eixo vertical no número 6.
- A função é constante, pois a=0
Atenção!!! - O gráfico da função intercepta tanto o
eixo horizontal e o eixo vertical no 0, ou seja, passa pela origem (0,0)
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30. Resolução de problemas
30. Representar graficamente as funções, determinar se a função é crescente, decrescente ou constante:
a) 10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,,42 xparaxy
b) 0,,3 xparaxy
c) 3,,5 xparay
d) 0,,210 xparaxy
e) Rxxy ,32
f) Rxxy ,32
5
31. Determinar o ponto de intersecção das retas e representar num mesmo sistema de coordenadas:
a)
1
52
xy
xy
b)
xy
xy
3
52
c)
12
13
xy
xy
d)
15
1
43
1
xy
xy
31. Bibliografia
SILVA, S. M., Matemática: para os cursos de economia, administração, ciências contábeis. Vol1. São Paulo:
Atlas, 1999.
SILVA, S. M., Matemática Básica para Cursos Superiores. São Paulo: Atlas, 2002.
IEZZI, G., DOLCE, O., Matemática Ciência e Aplicação. 4ª Edição. São Paulo: Atual, 2006.
DANTE, L. R., Matemática. 1ª Edição. São Paulo:Ática, 2006.
http://www.somatematica.com.br/
http://www.exatas.mat.br/
http://www.ficharionline.com/
http://mundoeducacao.uol.com.br/
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22
FUNÇÃO DO 2º GRAU
32. Função do 2º grau (ou quadrática) Denomina-se função do 2
o grau toda função definida pela regra
.
O gráfico de uma função quadrática é uma curva denominada parábola.
Gráfico da função quadrática
1 o passo: análise do coeficiente a Se a >0, o gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para cima. Se a <0, o gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para baixo.
2 o passo: Calcular os zeros ou raízes da função
A função admite 2 raízes reais e
diferentes
A parábola intercepta o eixo horizontal
(eixo x) em dois pontos diferentes (x’ e
x”)
A função admite 2 raízes reais e
iguais
A parábola intercepta o eixo horizontal
(eixo x) em um único ponto (x’= x”)
A função não admite raízes reais
A parábola NUNCA intercepta o eixo
horizontal (eixo x)
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3 o passo: Calcular o vértice da parábola
aa
bV
ay
a
bx
v
v
4,
2
4
2
4 o passo: Calcular o ponto que intercepta o eixo vertical (eixo y), para isso calcule o valor de y para x=0:
Exemplo 1: Construir o gráfico da função 542 xxy
1 o passo: análise do coeficiente a
Como , o gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para cima.
2 o passo: Calcular os zeros ou raízes da função
A função admite 2 raízes reais e diferentes
A parábola intercepta o eixo horizontal (eixo x) em
dois pontos diferentes (-1 e 5)
3 o passo: Calcular o vértice da parábola
aa
bV
ay
a
bx
v
v
4,
2
4
2 9,2
94
36
1.4
36
22
4
1.2
)4(
V
y
x
v
v
4 o passo: Calcular o ponto que intercepta o eixo vertical (eixo y), para isso calcule o valor de y para x=0:
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5 o passo: Colocar todos os pontos no diagrama cartesiano e traçar o gráfico:
Exemplo 2: Construir o gráfico da função 962 xxy
1 o passo: análise do coeficiente a
Como , o gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para baixo.
2 o passo: Calcular os zeros ou raízes da função
A função admite 2 raízes reais e iguais
A parábola intercepta o eixo horizontal (eixo x) no ponto 3.
A parábola intercepta o eixo horizontal (eixo x) no
ponto 3.
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3 o passo: Calcular o vértice da parábola
aa
bV
ay
a
bx
v
v
4,
2
4
2 0,3
04
0
)1.(4
0
32
6
)1.(2
6
V
y
x
v
v
4 o passo: Calcular o ponto que intercepta o eixo vertical (eixo y), para isso calcule o valor de y para x=0:
5 o passo: Colocar todos os pontos no diagrama cartesiano e traçar o gráfico:
33. Resolução de problemas Construa a representação gráfica das seguintes funções quadráticas:
a) b)
c)
d) e) f)
g) h) i)
j) k) l)
m) n) o)
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34. Bibliografia
SILVA, S. M., Matemática: para os cursos de economia, administração, ciências contábeis. Vol1. São Paulo:
Atlas, 1999.
SILVA, S. M., Matemática Básica para Cursos Superiores. São Paulo: Atlas, 2002.
IEZZI, G., DOLCE, O., Matemática Ciência e Aplicação. 4ª Edição. São Paulo: Atual, 2006.
DANTE, L. R., Matemática. 1ª Edição. São Paulo: Ática, 2006.
http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao1/funcao1_3.php
http://www.exatas.mat.br/funcao1.htm
http://www.ficharionline.com/ExibeConteudo.php5?idconteudo=5806
http://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/definicao-funcao.htm
http://milanesa.ime.usp.br/igraf
35. Sugestões
Para os alunos que necessitam de um software didático para visualizar os gráficos sugeridos como
exercícios de fixação recomenda-se o software Graph que pode ser baixado gratuitamente no site
http://www.padowan.dk/graph/Download.php.
O material aqui exposto tem unicamente a função de oferecer elementos básicos da matemática
elementar para dar suporte às aulas ministradas, não dispensando o aluno totalmente de buscar a leitura
complementar nos livros sugeridos pela bibliografia proposta pelo professor em sala de aula.
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