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8/20/2019 apostila de algebra.docx

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Álgebra Moderna - notas de aulasProfª Ana Paula

CAPÍTULO 1 - CONJUNTOS

DATA / /

O conjunto é um conceito fundamental em todos os ramos da matemática.Intuitivamente um con!unto é uma lista cole"#o ou classe de ob!etods bem definidos. Osob!etos em um con!unto como veremos nos e$em%los %odem ser &ual&uer coisa' n(meros%essoas letras rios etc.... )sses ob!etos s#o c*amados os elementos de um con!untos.

Representação'letras mai(sculas %ara con!untos' A, B, C , D, …

letras min(sculas %ara elementos de um con!unto' a, b, c, d , …

Formas e representação'Forma de listagem' A = {a, e, i, o, u} = {e, o, a, u, i}, onde os elementos do con!unto

s#o a%resentados um a um se%arados %or v+rgulas sob a forma de uma lista linear n#onecessariamente ordenada.

Pela propriedade'

A = x/ x é um vogal do alfabeto da l+ngua = { x/ P ( x)} =

x/ x go,a da %ro%riedade o con!unto %assa a ser referido %ela %ro%riedade de seuselementos e a leitura é a seguinte' A é igual ao con!unto dos x tal &ue x é uma vogal da+ngua Portuguesa. O x é uma variável &ue re%resenta cada um dos elementos cu!a

%ro%riedade é a de ser uma vogal do alfabeto da +ngua Portuguesa o &ue n#o %ermitiráincluir no con!unto A o b como vogal.Pelo Diagrama de Venn-Euler '

!"emplos' A' os n(meros 10 e 12.3' As solu"4es da e&ua"#o x2 – 3 x – 2 = 05' As %essoas &ue *abitam a 6erra.7' Os estudantes 5arlos 8osé e 9oberto.)' Os alunos &ue faltaram : aula.;' Os %a+ses' Inglaterra ;ran"a e )s%an*a.


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O#S' A re%eti"#o n#o cria novos elementos no con!unto.!"emplo' A = {a, e, i, o, u} = {a, a, a, e, o, u, e, i, o, u}.

O s+mbolo < é usado %ara es%ecificar se um elemento %ertence a um con!unto e ø&uando n#o %ertence a este con!unto.

!"emplos$ Be!a A = {a, e, i, o, u}. )nt#o a


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De%&n&ção ,' Be!am A e B dois con!untos &uais&uer di,emos &ue dois con!untos s#o&-ua&s &uando um está contido no outro e vice-versa isto é A = B ¤ 6 x, x


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COPL!!NTAR

De%&n&ção 2' Be!am A e B dois con!untos &uais&uer. Be B


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OP!RA78!S

De%&n&ção 11' A &nterseção de dois con!untos A e B é con!unto dos elementos &ue s#ocomuns a A e B isto é os elementos &ue %ertencem a A e também %ertencem a B.

A ß B = x/ x


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–1

CONJUNTOS NU9R(COS

Conjunto os n:meros natura&s$A = {0, 1, 2, 3, 4, . . . }

A+ = {1, 2, 3, 4, . . . }.= A – {0}

Conjunto os n:meros &nte&ros$A = {0, ±1, ±2, ±3, …} = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,…}

A+ = {±1, ±2, ±3, …} = {…, –3, –2, –1, 1, 2, 3,…} = A – {0}

A+ = {0, 1, 2, 3,…} = con!unto dos n(meros inteiros n#o-negativos.A– = {…, –3, –2, –1, 0} = con!unto dos n(meros inteiros n#o-%ositivos.

A+ = {1, 2, 3,…} = con!unto dos n(meros inteiros %ositivos ou estritamente %ositivos.A+ = {…, –3, –2, –1} = con!unto dos n(meros inteiros negativos ou estritamentenegativos.

A2n = {k < A/k = 2n, n < A} =con!unto dos inteiros %ares.A2n+1 = k < A/k = 2n + 1 ou k = 2n – 1, n < =con!unto dos inteiros +m%ares.

Conjuntos os n:meros rac&ona&s$

=a /a < A e b < A+

Conjuntos os n:meros &rrac&ona&s$ ( C ) = ‘

Conjunto os n:meros rea&s$ = x/ x = a0, a1a2a3… an…; a0 < A e ai = {0, 1, 2,… 9} com i m

Conjunto os n:meros comple"os$

¢ = z / z = a + bi, a, b < e i =

7e forma geral' A+ = A – {0}

A+ = { x < A/ x Ç0} A– = { x < A/ xÇ 0} A+ = { x <

A/ x > 0} A– = { x


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!"emplos$1.D – =

=D – = Ø

0D ¢ – =

>D – =D – A = A

Resumo

Be!am X um con!unto e A, B e C subcon!untos de X . )nt#o temos'CaD Os elementos neutros'

CbD As leis de idem%otFncia'

CcD As leis comutativas'

CdD As leis associativas'

CeD As leis distributivas'

A † Ø =

A A ß X

= A

A † A =

A A ß A =

A

A † B = B

† A A ß B =

B ß A

A † ( B † C ) = ( A † B)

† C . A ß ( B ß C ) = ( A ß B) ß

C .

CfD As leis de identidade

A ß ( B † C ) = ( A ß B) † ( A ß C )

A † ( B ß C ) = ( A † B) ß ( A † C )

A † Ø =

A A † U

= U A ß

Ø = Ø A

ß U = ACgD eis de 5om%lementariedade

C*D eis de 7e Morgan

A † Ac = U

( Ac)c = A

A ß Ac = Ø

U c = Ø

Øc = U

A ß Ac = Ø e A † Ac = U .

( A ß B)C = Ac † Bc e ( A † B)c = Ac ß Bc


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CAPÍTULO ) - R!LA78!S

DATA / /

De%&n&ção 1' 7ados dois con!untos E e F n#o va,ios. O prouto cartes&ano de E %or F é

o con!unto formado %or todos os %ares ordenados ( x, y) com x


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De%&n&ção .' Be!a R uma rela"#o de E em F . 5*ama-se relação &n/ersa de R e indica-se%or R–1 a seguinte rela"#o de F em E '

R–1 = {( y, x)


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R!LA7=O SO#R! U CONJUNTO

De%&n&ção 0' uando E = F e R é uma rela"#o de E em F di, &ue R é uma rela"#o sobre E ou ainda R é uma rela"#o em E .

Propr&eaes$1' Re%le"&/a7i,emos &ue R é refle$iva &uando todo elemento de E se relaciona consigo mesmo isto

é6 x


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*' Trans&t&/a.7i,emos &ue R é transitiva se vale xRz sem%re &ue vale xRy e yRz isto é

6 x, y, z


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?r+%&co cartes&ano e propr&eaesBe!am E = , R é uma rela"#o em e G R o seu gráfico cartesiano.

1) Re%le"&/a$ 6 x < , ( x, x)


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R!LA7=O D! !@U(ALBNC(A

De%&n&ção 2' Ema rela"#o R sobre um con!unto E m Ø é c*amada de rela"#o dee&uivalFncia sobre R se e somente se R é refle$iva simétrica e transitiva. Ou se!a R devecum%rir res%ectivamente as seguintes %ro%riedades'

1) 6 x


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Re/&são'1D D&/&s&D N:meros pr&mos$Em n(mero inteiro % é c*amado n(mero %rimo se as seguintescondi"4es se verificam'

i) p m 0.ii) p m ±1.iii) Os (nicos divisores de p s#o ±1, ± p.

Em n(mero inteiro a m 0±1 é c*amado n:mero composto se tem outros divisoresalém dos triviais.

7ois inteiros a e b di,em-se %rimos entre si se mdc(a, b) = 1.Para &ue os inteiros a e b se!am %rimos entre si é necessário e suficiente &ue se %ossam

encontrar x0, y0 < A tais &ue ax0 + by0 = 1.

5) C' O M+nimo M(lti%lo 5omum de dois inteiros %ositivos a e b é o menor inteiro%ositivo &ue é div+sel %or a e b isto é a m e b m.Notação$ mmc(a, b) = mBe!am a e b inteiros. )nt#o o mmc(a, b) divide todo outro m(lti%lo comum de a e b.Be!am a, b < A e m um inteiro %ositivo. )nt#o m = mmc(a, b) se e somente sem mverifica'i) a m e b m.ii) Be a m‘ e b m‘, ent#o m m‘.


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CLASS! D! !@U(ALBNC(A

De%&n&ção 3' Be!a R um rela"#o de e&uivalFncia sobre E . 7ado a


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CONJUNTOG@UOC(!NT!

De%&n&ção 5' O con!unto das classes de e&uivalFncia mRdulo R será indicado %or E | R ec*amado conjuntoGuoc&ente de E %or R.

!"emplos1D R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a)} de E = {a, b, c}. R é uma rela"#o de

e&uivalFncia de

E . E | R = {{a, b}, {c}}

2) E = A com R = ( x, y) < A2/ x ! y(mod m), m < A+ e m >A| R = Am = { 0 , 1 , 2 , …, m – 1}

#) E = A com R = {( x, y) < A2/ x ! y(mod 6)}A6 = { 0 , 1 , 2 , …, 5 }

Propos&ção 1' Be!a R uma rela"#o de e&uivalFncia sobre E e se!am a


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CAPÍTULO * - APL(CA7=O

DATA / /

De%&n&ção 1' Be!a f uma rela"#o de E em F . 7i,emos &ue f é uma apl&cação de E em F

se e somente se1D D( f ) = E ;=D 6a


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=2

APL(CA78!S (NJ!TOR!S ! SO#R!J!TORAS

Be!a uma a%lica"#o f : E ‹ F .

De%&n&ção ,' f é uma apl&cação &njetora se %ara 6 x1, x2


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APL(CA7=O (N!RSA

Propos&ção 1' Be!am f : E ‹ F uma a%lica"#o e f –1 a rela"#o inversa de f . Ema

condi"#o necessária e suficiente %ara &ue f –1 se!a uma a%lica"#o de F em E é &ue f se!abi!etora. Isto é

f é bi!etora ¤ f –1 é uma a%lica"#o de F em E .Dem'


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O#S' ( f –1 )–1

= f

!"emplos'1) 7ados os con!untos E = {a, b, c, d } e F = {0, 1, 2, 3, 4} e f : E ‹ F

f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d , 4)} é uma rela"#o de E em F e f –1 = {(1, a), (2, b), (3,

c), (4, d )} é uma rela"#o inversa de F em E . )$iste a rela"#o inversa mas f –1 n#o éuma a%lica"#o inversa %ois D( f –1) = {1, 2, 3, 4} m F .

=D 7ados os con!untos E = {a, b, c, d } e F = {0, 1, 2} e f : E ‹ F . f = {(a, 0), (b, 1), (c, 2), (d , 2)} é uma rela"#o de E em F e f –1 = {(0, a), (1, b), (2,

c), (2, d )} é uma rela"#o inversa de F em E . )$iste a rela"#o inversa mas f –1 n#o é

uma a%lica"#o inversa %ois n#o é in!etora.

0D 7ada f : ‹ uma a%lica"#o tal &ue f ( x) = 3 x – 1 é bi!etora %ortanto f –1 = x+1 é

a%lica"#o inversa.

!"erc;c&os o l&/ro' Página $!' todos.

3


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&'

COPOS(78!S D! APL(CA78!S

Be!am f : E ‹ F e : F ‹ G duas a%lica"4es.

De%&n&ção 2' 5*ama-se composta de f e a a%lica"#o de E em G definida da seguintemaneira'

( of )( x) = ( f ( x)) 6 x


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Propos&ção )' Be f : E ‹ F e : F ‹ G s#o a%lica"4es in!etoras ent#o of é

in!etora também.

Dem'

Propos&ção *' Be f : E ‹ F e : F ‹ G s#o a%lica"4es sobre!etoras ent#o of

é sobre!etora também.Dem'

O#S' fo é in!etora também se estiver definida. fo é sobre!etora também se estiver

definida.


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O#S' Be uma a%lica"#o é in!etora e a outra é sobre!etora nada %odemos afirmar dacom%osta.

!"emplo' Be!am E = {a1, a2, a3, a4 }, F = {b1, b2, b3, b4, b5} e C = {c1, c2, c3 }.

5onsideremos

as a%lica"4es' f = {(a1, b1), (a2, b2 ), (a3, b4 ), (a4, b5 )} de E em F e

= {(b1, c1), (b2, c1 ), (b3, c2 ), (b4, c2 ), (b5, c3 )} de F

em G. A a%lica"#o com%osta of : E ‹ G é dada

%or'

of = {(a1, c1), (a2, c1 ), (a3, c2 ), (a4, c2 )}

!m( of ) =

D( of ) =

f é in!etora e n#o sobre!etora e é sobre!etora e n#o in!etora. of é n#o in!etora e n#o sobre!etora.

!"erc;c&os' Página 12' todos

APL(CA7=O (DBNT(CA

De%&n&ção 3' 7ado E m Ø. 5*ama-se a%lica"#o idFntica de ) a a%lica"#o i E : E ‹ E dada%ela lei i E ( x) = x, 6 x


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'& + ,&

Propr&eaes'Be!a E é um con!unto munido da o%era"#o +.1' Assoc&at&/a$ x + ( y + z ) = ( x + y) + z , %ara 6 x, y, z


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'& + ,&

)' Comutat&/a$ x + y = y + x, %ara 6 x, y < E .

!"emplos'1) Adi"#o em A, A, , e ¢.2) Multi%lica"#o em A, A, , e ¢.

3) Adi"#o em $ mxn( & ), onde & = A, A, , ou ¢.

ContraGe"emplos'1) Multi%lica"#o em $ n( & ), onde & = A, A, , ou ¢.2) 5om%osi"#o de fun"4es de em .3) f : A+ ✕ A+ ‹ A+ onde f ( x, y) = x y o%era"#o de %otencia"#o sobre A+.4) f : + ✕ + ‹ + onde f ( x, y) = x o%era"#o de divis#o sobre +.5) f : A ✕ A ‹ A onde f ( x, y) = x – y o%era"#o de subtra"#o sobre A.

!"erc;c&os o l&/ro$12@cD E = + e x + y =12@aD E = e x + y = x+ y

é comutativa.

é comutativa.

T+


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02

'& + ,&

*' !lemento Neutro)lemento neutro : es&uerda %ara +' Ee


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T+


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T+


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'& + ,&

Conjunto os s&metr&H+/e&sDe%&n&ção 16' Be + é uma o%era"#o sobre E com elemento neutro e indica U +( E ) o

con!unto dos simetri,áveis de E %ara o%era"#o +.U +( E ) = { x


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'& + ,&

Propos&ção 3' Be a o%era"#o + sobre E é associativa tem elemento neutro e e umelemento a


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T+


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0D 5om a tábua E = {1, 2, 3, 4} com a6b = a e ± definida %ela tábua

± 1 2 3 4

1 1 = 0 >

2 = 1 > 0

3 0 > 1 =

4 > 0 = 16 é distributiva : direita em rela"#o : o%era"#o ±.

Mas 6 n#o é distributiva : es&uerda em rela"#o a o%era"#o ±.

O#S'1D Be a o%era"#o 6 é distributiva : es&uerda em rela"#o : o%era"#o + e se 6 é

comutativa ent#o 6 também é distributiva : direita em rela"#o : o%era"#o +.=D Be a o%era"#o 6 é distributiva : direita em rela"#o : o%era"#o + e se 6 é comutativa

ent#o 6 também é distributiva : es&uerda em rela"#o : o%era"#o +.0D Portanto &uando a o%era"#o 6 é comutativa a distributiva unilateral de 6 em rela"#o :

o%era"#o + im%lica a distributiva de 6 em rela"#o : o%era"#o +.

!"emplos' A interse"#o de con!untos é distributiva em rela"#o : uni#o e vice-versa.

!"erc;c&os o l&/ro'Página ,!' 1= e 1=?Página !, ' 1>> 1> 1> 1>@ 1>J 12 11


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PART! F!CIADA PARA UA OP!RA7=O

De%&n&ção 1)' Be!am + uma o%era"#o sobre E e A m Ø, A


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CAPÍTULO , - ?RUPO

DATA / /

De%&n&ção 1' Be!a G m Ø munido de uma o%era"#o'( x, y) > x + y sobre G

A o%era"#o + sobre G é c*amada de -rupo se essa o%era"#o se su!eita aosseguintes a$iomas'

1) Associatidade' x + ( y + z ) = ( x + y) + z , %ara 6 x, y, z < G.2) )$istFncia de )lemento neutro' Ee < G/e + x = x + e = x, 6 x < G.3) )$istFncia de simétricos' 6 x < G, E x‘ < G/ x‘ + x = e = x + x‘.Be a comutativa for válida além dos a$iomas anteriores o gru%o é c*amado de -rupo

aD (¢, +) gru%o aditivo dos n(meros com%le$os.-)( $ n( & ), +) gru%o aditivo de matri,es &uadradas de ordem n com coeficientes em &

=

A, , ou ¢, ou &ual&uer outro con!unto & .?D ( +, ) gru%o multi%licativitivo dos n(meros racionais.D ( +) gru%o multi%licativo dos n(meros reais.@D (¢+, ) gru%o multi%licativo dos n(meros com%le$os.JD ( +, 6) onde

a6b =

ab é um gru%o abeliano.2

12D ( , ±) onde a ± b = a + b – 5 é um gru%o abeliano.

+


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ContraGe"emplos$1D (A, ) n#o é gru%o multi%licativo dos n(meros inteiros.

=D ( + ✕ , +) onde (a, b) + (c, d ) = (ac, bc + d ) é um gru%o n#o-abeliano.

Propr&eaesBe!a CD (a‘ )

‘= a 6a < G.

D (a + b)‘ = b‘ + a‘.?D (a1 + a2 + a3 +…+an )‘ = an + an–1 +…+a2 + a1‘ ‘ ‘ ‘

D 6odo elemento de G é regular %ara a o%era"#o + ou se!a

6 x, y < G/a + x = a + y‹ x = y e x + a = y + a‹ x = y.@D No gru%o G a e&ua"#o a + x = b Cou x + a = bD tem con!unto solu"#o unitário

constitu+do do elemento a‘ + b.

?RUPOS F(N(TOS

De%&n&ção )' Em gru%o (G, +) em &ue G é finito c*ama-se de -rupo %&n&to.De%&n&ção *' o(G) é o n(mero de elementos de G c*amado de ordem dogru%o.

!"emplo' G = {–1, 1}, (G, ) um gru%o multi%licativo é gru%o finito e o(G) = 2.

O#S'Be o gru%o finito (G, +) é abeliano ent#o a sua tábua é simétrica em rela"#o :

diagonal %rinci%al.

!"emplo' 6ábua de um gru%o finito (G, +)G = {a, b, c, e}

+ e a b c

e e a b c

a a e c b

b b c e a

c c b a e

A o%era"#o + é comutativa associativa tem elemento neutro todo elemento ésimetri,ável e regular.


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>2

?RUPOS (PORTANT!S

1' ?rupos l&neares e -rau n Cmulti%licativo n#o comutativo se n > 1D

( $ n(k ), ) onde & = , ou ¢ n#o é gru%o %or&ue nem toda matri, tem um simétricoCé invers+velD.Be!a G(n(k ) = { A


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!"emplo' (A+, )

n#o é gru%o %or&ue n#o é uma o%era"#o binária.

O#S' A+ = A – { 0 } com o%era"#o nem sem%re é gru%o multi%licativoabeliano.

Propos&ção 1' (Am, ) é um gru%o multi%licativo abeliano se e somente se m é %rimo.Dem'

4

m m

) 1 2 3

1 1 2 3

2 2 0 2

3 3 2 1

+


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>D ?rupos as permutaç4es

Permutação é o termo es%ec+fico usado na teoria dos gru%os %ara designar um bi!e"#ode um con!unto nele mesmo.

De%&n&ção ,' Be!a E m Ø. 5*ama-se %ermuta"#o de E toda fun"#o bi!etora f de E em E ( f : E ‹ E ).

O#S' Be E é finito toda fun"#o in!etora ou sobre!etora f : E ‹ E é bi!etora e

%ortanto f é uma %ermuta"#o em E .

!"emplo' A fun"#o idFntica de E . ! E : E ‹ E . ! E ( x) = x, 6 x


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O#S' (S ( E ), o) onde E = {1, 2,…, n} é de ordem n, isto é o(S ( E )) = n.

De%&n&ção 0' 5*ama-se S n %ara (S ( E ), o) o gru%o das %ermuta"4es de ordem n ou gru%osimétrico de grau n.

O#S' (S ( E ), o) é um gru%o n#o-abeliano %ara n > 2.

!"emplos$1D n = 1o(S ( E )) = 1 e E = {a}.

f (a) = a, 6a


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.

?RUPOS DA S(!TR(A

1' S&metr&a o tr&Kn-ulo eu&l+teroDe%&n&ção 2' 7enomina-se simetria de um triQngulo e&uilátero ) &ual&uer

a%lica"#o bi!etora f : ) ‹ ) &ue %reserva distQncias.

Preservar distQncias significa &ue se a e b s#o %ontos arbitrários do triQngulo ent#o adistQncia de f (a) e f (b) é igual a distQncia de a e b.

F(?URA 1 G S&metr&a o tr&Kn-ulo eu&l+tero Rotação no sent&o ant&GMor+r&o'

7efine-se ) = {1, 2, 3} o con!unto dos vértices do triQngulo D3 = { R0, R1, R2, X , # , * }

o con!unto das simétrias do triQngulo' R0, R1, R2 as rota"4es de 0/ 120/ e 240/ em torno do seu centro + no sentido anti-*orárioL

X , # , * as refle$4es de n radianos em torno das retas x, y e z .dadas %or'

R0=

X =

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 3 2

R1=

# =

1 2 3

2 3 1

1 2 3

3 2 1

, R2=

e * =

1 2 3 ,3 1 2

1 2 3

2 1 3

( D3, o) é um gru%o n#o-abeliano %ois R0 é o elemento neutro todos os elementos s#osimétri,áveis a associativa vale %or se tratar de %articular com%osi"#o de a%lica"4es e n#o éválida a comutativa.

A tábua fica'

. A com%osta de duas rota"4es é uma rota"#o. A com%osta

de duas refle$4es é uma rota"#o.A com%osta de uma rota"#o com uma refle$#o e vice-versa

é uma refle$#o.

o R0 R1 R2 X # *

R0 R0 R1 R2 X # *

R1 R1 R2 R0 * X #

R2 R2 R0 R1 # * X

X X # * R0 R2 R1

# # * X R1 R0 R2

* * X # R2 R1 R0


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.

=D S&metr&a o uaraoDe%&n&ção 3' 7enomina-se simetria de um &uadrado , &ual&uer a%lica"#o bi!etora

f : , ‹ , &ue %reserva distQncias.

F(?URA * G S&metr&a o uarao Rotação no sent&o ant&GMor+r&o'

7efine-se , = {1, 2, 3, 4} o con!unto dos vértices do &uadrado

D4 = { R0, R1, R2, R3, X , # , * , - } o con!unto das simétrias do &uadrado' R0, R1, R2 R3 as rota"4es de 0º, 90º, 180º e 270º em torno do seu centro O no

sentido anti-*orárioL X , # , * , - as refle$4es de n radianos em torno das retas x e y, e z e ..dadas %or'

R0=

X =

1 2 3 41 2 3 4

1 2 3 4

1 4 3 2

R1=

# =

1 2 3 44 1 2 3

1 2 3 4

3 2 1 4

, R2=

* =

1 2 3 43 4 1 2

1 2 3 4

2 1 4 3

, R3=

, - =

1 2 3 42 3 4 1

1 2 3 4

4 3 2 1

( D4, o) é um gru%o n#o-abeliano %ois R0 é o elemento neutro todos os elementos s#osimétri,áveis a associativa vale %or se tratar de %articular com%osi"#o de a%lica"4es e n#o éválida a comutativa.


48/80

A tábua fica'

.

A com%osta de duas rota"4es é uma rota"#o. A com%osta de duas refle$4es é uma rota"#o. A com%osta de uma rota"#o com uma refle$#o e vice-versa é uma refle$#o.

PRODUTO D(R!TO

Be!am G e ( gru%os multi%licativos Cou aditivosD.(G ✕ (, ) é um gru%o. Be G e ( forem abelianos ent#o (G ✕ (, ) também será.(G ✕ (, ) onde (a, b) (c, d ) = (ac, bd ), 6(a, b), (c, d ) < G ✕ (.

Provando &ue é um gru%o.1D Associativa' $(a. b) (c, d )% (e, f ) = (ac, bd ) (e, f ) = ((ac)e, (bd ) f ) = (a(ce),b(df )) =

(a, b) (ce, df ) = (a, b) $(c, d ) (e, f )%=D )lemento neutro' se eG e e ( s#o elementos neutros de G e ( res%ectivamente ent#o

(eG, e ( ) é o elemento neutro de G ✕ (.0D )lemento o%osto' Be (a, b) < G ✕ ( e a‘ e b‘ os inversos de a e b em G e (. )nt#o(a, b) (a‘, b‘) = (aa‘, bb‘ ) = (eG, e ( )

!"erc;c&os o l&/ro' Página ++ ' 1 a ? @111> a =2.

o R0 R1 R2 R3 X # * -

R0 R0 R1 R2 R3 X # * -

R1 R1 R2 R3 R0 * - # X

R2 R2 R3 R0 R1 # X - *

R3 R3 R0 R1 R2 - * X #

X X * # - R0 R2 R1 R3

# # - X * R2 R0 R3 R1

* * # - X R3 R1 R0 R2

- - X * # R1 R3 R2 R0


49/80

SU#?RUPOS

De%&n&ção 3' Be!a (? +) um gru%o. 7i,-se &ue um subcon!unto n#o-va,io / < G ésubgru%o de < se'

a) / é fec*ado %ara o%era"#o + isto é 6a, b


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O#S' 6odo gru%o (G, +) em &ue o con!unto G tem mais de um elemento admite %elomenos dois subgru%os'

(G,

+)

({e},

+)

c*amados de subgru%os triviais ou im%rR%rios de G.

!"emplos'

1) 6odos subgru%os de (A4, +):

(A4, +).

(A4,

+) ({

0 },

+)

({ 0 , 2}, +)

(A6,

+) ({

0 }, +)

. Mas ({ 0 , 3 }, +) n#o ésubgru%o de

2) 6odos subgru%os de (A6, +) : .({ 0 , 3 }, +)

({ 0 , 2 , 4 }, +)

0D 6odos os subgru%o de ({e, a, b, c}, +) ondes#o

({e, a, b,

c}, +)

({e}, +)

({e, a}, +)

.

({e, b}, +)

({e, c}, +)

O %ar ({e, a, b}, +) n#o é subgru%o %ois a + b = c ø {e, a, b, c}.

>D 6odos os subgru%os do gru%o ( D3, o) das simetrias do triQngulo e&uilátero onde

( D3, o)

({ R0 },

o)

({ R0, X },o)

D3 = { R0, R1, R2, X , # , * }s#o'

.({ R0, # }, o)

({ R0, * }, o)

({ R0, R1, R2 },o)

Teorema 1' Be!am (G, +) um gru%o e / uma %arte n#o va,ia de G. O %ar ( / , +) éum subgru%o de (G, +) se e somente se s#o válidas as duas seguintes condi"4es'1D 6a, b


51/80

Dem'


52/80

Teorema )' Be!am (G, +) um gru%o e / uma %arte n#o va,ia de G. O %ar ( / , +) é umsubgru%o de (G, +) se e somente se é válida aseguinte condi"#o' 6a, b


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2

IOOORF(SO ! (SOORF(SOS D! ?RUPOS

De%&n&ção 5' 7á-se o nome de Momomor%&smo de um gru%o (G, +) num gru%o ( 0 ,

6) a toda a%lica"#o f : G ‹ 0 tal &ue &uais&uer &ue se!am x, y < G tem-se f ( x + y) =

f ( x)6 f ( y).

O#S' Be 0 = G e a o%era"#o é a mesma c*ama-se *omomorfismo de G.

De%&n&ção 16' Be!a f : G ‹ 0 um *omomorfismo de gru%os. Be f for também uma

bi!e"#o ent#o será c*amada de &somor%&smo do gru%o (G, +) no gru%o ( 0 , 6). Neste

caso di,-se &ue f é um isomorfismo de gru%os.

O#S' Be 0 = G e a o%era"#o é a mesma f é um isomorfismo de G.Notação' (G, +) ! ( 0 , 6).

!"emplos' + +1D Be!am ( , +) um gru%o aditivo e ( +, ) gru%o multi%licativo. A fun"#o f : ‹ + dada%or f ( x) = 2 x é um *omomorfismo de ( , +) em ( +, ).

um *omomorfismo in!etorV sim um *omomorfismo sobre!etorV sim um isomorfismo de gru%osV sim

&) Be!am (¢+, ) um gru%o multi%licativo e ( +, ) gru%o multi%licativo. A fun"#o f :¢+

dada %or f ( z ) = | z | é um *omomorfismo de (¢+, ) em ( +, ). um *omomorfismo in!etorV n#o um *omomorfismo sobre!etorV sim um isomorfismo de gru%osV n#o

‹ +

3) Be!am (A, +) um gru%o aditivo e (Am, +) gru%o aditivo com m > 1. A fun"#o f : A ‹ Amdada %or f ( x) = x é um *omomorfismo de (A, +) em (Am, +).

um *omomorfismo in!etorV n#o um *omomorfismo sobre!etorV sim um isomorfismo de gru%osV n#o

>D Be!am ( $ 2( ), +) um gru%o aditivo e ( , +) gru%o aditivo. A fun"#o f : $ 2( ) ‹dada

a b%or f = a + d é um *omomorfismo de ( $ 2( ), +) em ( , +).

c d

um *omomorfismo in!etorV n#o um *omomorfismo sobre!etorV sim um isomorfismo de gru%osV n#o

+ +

D Be!am ( +, ) gru%o multi%licativo e ( , +) um gru%o aditivo. A fun"#o f : + ‹ dada%or f ( x) = !o" x é um isomorfismo de ( +, ) em ( , +).

+

+ +

+

+


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?D Be!am (A4, +) um gru%o aditivo e (G, ) gru%o multi%licativo onde G = {±i, ±1} cu!a atábua é dada %or'

. A fun"#o f : A4‹ G dada %or f ( 0 ) = 1, f ( 1 ) = i, f ( 2 ) = –1e

f ( 3 ) = –i é um isomorfismo de (A4, +) em (G, ). Mas n#o é (nica' : A4 ‹ G dada%or

( 0 ) = 1, ( 1 ) = –i, ( 2 ) = –1 e ( 3 ) = i é um isomorfismo de (A4, +) em (G, )também.

Propr&eaesBe!am (

G,+) e (

0 ,6) dois gru%os cu!os elementos neutros res%ectivos s#o

e1e

e2e

f : G ‹ 0 um *omomorfismo de (G, +) em ( 0 , 6).

1D f (e1) = e2=D Be 6a < G, ent#o f (a–1) = $ f (a)%–1.0D f (a + b–1) = f (a)6$ f (b)%–1

>D Be / é um subgru%o de G ent#o f ( / ) é um subgru%o de 0 .Dem'

) 1 –1 i –i

1 1 –1 i –i

–1 –1 1 –i ii i –i –1 1

–i –i i 1 –1


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Propos&ção 1' Be!am G 0 e ( gru%os. Be f : G ‹ 0 e : 0 ‹ ( s#o

*omomorfismos de gru%os ent#o o mesmo se %ode di,er de of ' G ‹ (.

Dem'

Corol+r&o 1' Be f e s#o *omomorfismo in!etores Csobre!etoresD ent#o of também é*omomorfismo in!etor Csobre!etorD.

Propos&ção )' Be f : G ‹ 0 é um isomorfismos de gru%os ent#o f –1 : 0 ‹ G

também é um isomorfismo de gru%os.

Dem'

!"erc;c&os o l&/ro$ Páginas #' >@>J=> ? @ Csem fa,er o n(cleo &uando é

%edidoD J ?2?=?0?>??? e ?@


56/80

?RUPOS CÍCL(COS

De%&n&ção 11' Be!a (G, ) gru%o multi%licativo. Be a < G e m < A ent#o am < G definidoda seguinte maneira'

Be m Ç 0 ent#o a0 = e elemento neutro de < e am = am–1

a se m Ç 1.Be m < 0 ent#o am = (a–m )–1

O#S' em = e.

!"emplo' (A+, ).

Propos&ção *' Be!a (G, ) gru%o multi%licativo. Be m e n s#o n(meros inteiros e a < Gent#o'

1D am

an

= am+n

=D a–m = (am )–1

0D (am )n = amn

De%&n&ção 1)' Be!a (G, +) gru%o aditivo. Be a < G e e m < A a m < G definido daseguinte maneira'

Be m Ç 0 ent#o 0 a = e elemento neutro de < e m a = (m – 1) a + a se m Ç 1.Be m < 0 ent#o m a = –$(–m) a%

Propos&ção ,' Be!a (G, +) gru%o aditivo. Be m, n < A e a < G ent#o'1D ma + na = (m + n)a=D (–m)a = –(ma)

0D n(ma) = (nm)a

De%&n&ção 1*' Be a < G onde (G, ) é um gru%o multi%licativo. 7efine-se$a% = {am/m < A} = {a0, a1, a2, …, am, … }

onde $a% < G e $a% m Ø

Propos&ção .'1) O subcon!unto $a% é um subgru%o abeliano de G.2) Be / é um subgru%o de G ao &ual a %ertence ent#o $a% < / .O#S$ 7e =D tem-se &ue $a% é o menor subgru%o de G &ue inclui o elemento a.Dem'

5


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De%&n&ção 1,' Em gru%o multi%licativo G será c*amado de -rupo c;cl&co se %ara algumelemento a < G se verificar a igualdade $a% = G.

Nessas condi"4es o elemento a é c*amado gerador do gru%o


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D ({3, 5, 7, 9}, +) definido %ela tábua é um gru%o c+clico . 5 é o elemento

gerador. 9 também é.

?D(A5, +) é um gru%o c+clico. 3 é o elemento gerador. Mas 1 2 e 4 também s#o.

D 7evido : teorema anterior s#o subgru%o c+clicos de A0% = {0}

$1% = $–1% = A2% = –2% = {…, –6, –4, –2, 0, 2, 4, 6,… }

3% = –3% = {…, –9, –6, –3, 0, 3, 6, 9,… }

+ 3 5 7 9

3 3 5 7 9

5 5 7 9 3

7 7 9 3 5

9 9 3 5 7


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0 0 &

Teorema' )m gru%o c+clico finito de ordem n %ara o &ual a é o elemento gerador n é omenor n(mero natural tal &ue an = e

De%&n&ção 1.' A ordem de um subgru%o c+clico finito é igual ao menor n(mero natural n%ara &ual an = e (n. a = e) %ara n Ç 1.

!"emplos'1) ( +, ) gru%o multi%licativo. Bubgru%o c+clico gerado %or -1 é ($–1%, ) = ({–1, 1},

).o(–1) = o($–1%) = 2.Portanto ($–1%, ) tem ordem finita.

=D (A6, +) gru%o aditivo.

($2%, +) = ({ 0 , 2 , 4 }, +)o($ 2 %) = 3 tem ordem finita.o($ 0 %) = 1, o($ 3 %) = 2, o($ 1 %) = o($ 5 %) = 6, o($4%) = 3

0D No gru%o das %ermuta"4es (S 3, o) a ordem do elemento 2 < S 3 é 0 ondeS 3 = { f 0, f 1, f 2, 1, 2, 3}

( 2 %, o) = ({ f 0, 2, 3 }, o)

o = 1, o f 1 = o = o($ 3 %) = 2, o($ 1 %) = 3.

!"erc;c&os o l&/ro' Página *!' > ? @ a @= @> a @ J> a J@.


60/80

5a%+tulo I'

Página 1L 1>1> a =2.Página 1@' =@=J010=0?0@Página 1?2' 0J>1>>

Página 11' >@>JPágina 1=' >J?2?=?0?>???Página 1@0' >@=@@?


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CAPÍTULO . - AN!L

DATA / /

De%&n&ção 1' Be!a A m Ø munido de duas o%era"4es'( x, y) > x + y adi"#o

( x, y) > x. y

multi%lica"#o O con!unto A com as duas o%era"4es é

c*amado anel se'

1D ( A, +) é um gru%o abeliano2) Be x, y, z D C¢+)D anel dos n(meros com%le$os.D C $ n( & ), +) anel de matri,es &uadradas de ordem n com coeficientes em & = A, ,

ou¢, ou &ual&uer outro anel & .

?D CAm+D anel das classes de resto mRdulo m m > 1.

7) ( A, +, ) é um anel das fun"4es de A em A onde A = AA = { f / f : A ‹ A}.Be f , < A, define-se soma f + e %roduto f como sendo'

f + : A ‹ A e ( f + )( x) = f ( x) + ( x) 6 x < A

f : A ‹ A e ( f )( x) = f ( x) ( x) 6 x < A


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#

O


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?2

@D Be a, b


64/80

ContraGe"emplo$ ( $ n( & ), +, ).

=. Anel com un&ae

De%&n&ção ,' Be!a A um anel. Be A conta com elemento neutro %ara a multi%lica"#o isto ése e$iste um elemento 1 A D (¢, +, ) anel dos n(meros com%le$os.D (Am, +, ) anel das classes de resto mRdulo m m > 1.?D ( $ n( & ), +, ) anel de matri,es &uadradas de ordem n com coeficientes em & = A, ,

ou¢.

D ( A X , +, ) um anel com unidade.u : X ‹ A onde u( x) = 1 A é a unidade do anel A

X .

6 f


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Potnc&as em um anelDe%&n&ção ,$. Be!a A um anel com unidade. Be a


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#

>. An>&s F&n&tosDe%&n&ção 0' Be!a ( A, +, ) um anel. Be A é um con!unto finito ent#o ( A, +, ) é um

anel %&n&to.

!"emplos'

1D (Am, +, ) anel das classes de resto mRdulo m m > 1.2) ( A $ , +, ) onde $ é um con!unto finito de m elementos e A um con!unto finito de a

elementos. )nt#o A $ tem am elementos.

SU#AN9(S

De%&n&ção 2' Be!am ( A, +, ) um anel e ( um subcon!unto n#o va,io de A. 7i,-se &ue (é um subanel de A se'

1D ( é fec*ado %ara as o%era"4es &ue dotam o con!unto A da estrutura de6a, b


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Be!am A um anel com unidade e ( um subanel de A. As seguintes %ossibilidades %odemocorrer'

1' ( %ossui unidade e essa unidade é a mesma de A.!"' A subanel de .

)' ( n#o %ossui unidade mesmo A sendo um anel com unidade.!"$ 2A subanel de A.

*' ( e A s#o anéis com unidade mas as unidades s#o diferentes.

!"$ (=

a 0 1 0/a < é subanel de $ 2( ).

0 0 0 1

é unidade de $ 2( ) e

1 0é unidade de (.

0 0

Be!am A um anel e ( um subanel de A. As seguintes %ossibilidades %odem ocorrer',' Nem ( nem A %ossuem unidades.!"$ 4A subanel de 2A.

.' A n#o é um anel com unidade mas ( %ossui unidade.!"$ A = 2A ✕ A n#o %ossui unidade.

( = {0} ✕ A é subanel de A cu!a unidade é o %ar (0, 1).

!"erc;c&os o l&/ro' Página ,," ' 0?J121==2=1===0=>==?==@=J.


69/80

&& &

IOOORF(SO ! (SOORF(SO D! AN9(S

De%&n&ção 3' 7á-se o nome de *omomorfismo de um anel ( A, +, ) num anel ( B, +, ) atoda a%lica"#o'

f : A‹

B/6 x, y


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& & & & &

4) Be!am ( , +, ) e ( , +, ) ) onde a + b = a + b + 1 e a)b = a + b + ab. f : ‹ definida como f ( x) = x – 1 é um isomorfismo de ( , +, ) em ( , +, ) ).

.' Be!am ( , +, ) e ( A, +, ) onde A = {(a, a)/a < }.

f : ‹ A definida como f ( x) = ( x, x) é um isomorfismo de ( , +, ) em ( A, +, ).

0' f :A

‹ A onde f (a +b

) = a –b

. f é um isomorfismo em A .

2' Be!am (A6, +, ) e (A2 ✕ A3, +, ) f : A6 ‹ A2 ✕ A3 definida como f ( a ) = ( a , a ) é um isomorfismo de (A6, +, ) e (A2

✕ A3, +, ).

Be substituirmos as entradas das tábuas +, de A6 %elos corres%ondes elementoscorres%ondentes de A2 ✕ A3 obtém-se como resultado e$atamente as tábuas de A2 ✕ A3

A6 A2 ✕

0 ( 0 , 0

1 ( 1 , 1

2 ( 0 , 2

3 ( 1 , 0

4 ( 0 , 1

5 ( 1 , 2


71/80

ContraGe"emplo$1' f : A ‹ 2A com (A, +, ) e (2A, +, ). f ( x) = 2 x n#o é um *omomorfismo de (A,

+, ) em

(2A, +, ).

)' Be!am (A4, +, ) e (A2 ✕ A2, +, ). A4 e A2 ✕ A2 n#o s#o isomorfos.

A4 A2 ✕

0 ( 0 , 0

1 ( 1 , 1

2 ( 0 , 0

3 ( 1 , 1

Propos&ção )' Be f : A ‹ B é um *omomorfismo de anéis

ent#o' 1D f (6 A) = 6 B

=D f (–a) = – f (a)

0D f (a – b) = f (a) – f (b)

Teorema 1' Be f : A ‹ B um *omomorfismo sobre!etor de anéis e su%on*amos &ue

A %ossua unidade. )nt#o1D f (1 A) é a unidade de B e %ortanto B também é um anel com unidade.2) Be a < A é invers+vel ent#o f (a) também é e $ f (a)%–1 = f (a–1).Dem'


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ContraGe"emplo' f : A ‹ A2 com f ( x) = ( x, 0) é *omomorfismo mas n#o é sobre!etor

%ois

!m( f ) = {(n, 0)/n < A} m A2. Neste caso f (1) = (1, 0) m (1, 1).

Propos&ção *' Be f : A ‹ B um *omomorfismo de anéis e ( é um subanel de A ent#o

f ( ()é um subanel de B.

Dem'

!"emplo' f : A ‹ A2 com f ( x) = ( x, 0) é *omomorfismo ent#o !m( f ) = {(n, 0)/n < A} é

um subanel de A2.

Propos&ção ,' Be!am f : A ‹ B e f : B ‹ C *omomorfismos de anéis. )nt#o of : A‹ C

também é um *omomorfismo de anéis.Dem'


73/80

2

De%&n&ção 16' Be!am A um anel e ( um subanel de A ambos com unidade. Be 1 A = 1 (di,-se &ue ( é um subanel unitário de A.

!"emplo' ( é um subanel do anel ( , +, ). ( %ossui unidade ent#o essa unidade é amesma de ou se!a é o n(mero real 1.

Propos&ção' Be f : A ‹ B um isomorfismo de anéis. )nt#o f –1 : B ‹ A

também é um isomorfismo de anéis.Dem'


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AN!L D! (NT!?R(DAD!

De%&n&ção 11' Be!a A um anel comutativo com unidade. Be %ara esse anel vale a lei doanulamento do %roduto ou se!a se um igualdade do ti%o

ab = 6 Aem &ue a, b


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Conclusão' Em anel de integridade %ode ser definido com um anel comutativo comunidade &ue n#o %ossui divisores %rR%rios do ,ero.

!"emplo' (Am, +, ) é um anel comutativo com unidade 1 mas n#o é anel deintegridade.

!"emplo' (A, +, ) n#o %ossui divisores de ,ero.

!"erc;c&o' )ncontrar os divisores %rR%rios de ,ero do (A6, +, ).

Propos&ção ,' Em anel de classes de restos Am é um anel de integridade se e somentese m é um n(mero %rimo.

Dem'

Propos&ção .' Be!a A um anel comutativo com unidade. )nt#o A é um anel de integridadese e somente se todo elemento n#o nulo de A é regular %ara a multi%lica"#o.

Dem'


76/80

# #

#

CORPO

De%&n&ção 1)' Be!a A um anel comutativo com unidade. U ( A) é o con!unto de todos oselementos de um anel &ue tFm simétrico multi%licativo Celementos invers+veisD.

OD (¢, +, ) ‹ U (¢) = ¢+

De%&n&ção 1*' Be!a & um anel comutativo com unidade. Be U ( & ) = & + = & – {6},

ent#o W recebe o nome de corpo.

!"emplos' B#o cor%os' , e ¢. Mas A n#o é cor%o.

Outra %orma e e%&n&r ' 5or%o é todo ( & +, ) tal &ue s#o válidas'1D ( & , +) é um gru%o abeliano.=D ( & +, ) é um gru%o abeliano.0D A multi%lica"#o é distributiva em rela"#o a adi"#o.

!"emplos' B#o cor%os'1D (Am, +, ) com m %rimo.

=D , +, sendo = a + b 3 /a, b < .

ContraGe"emplo' N#o é cor%o' A , +,


77/80

Propr&eaes' Be!a ( & +, ) um cor%o. Be!am a, b, c < & 1D –(–a) = a

2) x + a = b‹ x = b – a.

3) a + b = a + c‹ b = c

>D a. 6 = 6. a = 6

D a(–b) = (–a)b = –(ab)

?D (–a)(–b) = ab

7) a(b – c) = ab – ac


78/80

Teorema )' 6odo cor%o ( & , +, ) n#o %ossui divisores de ,ero.Dem'

Propos&ção 0' 6odo cor%o é um anel de integridade.

Dem'

Propos&ção 2' 6odo anel de integridade finito é cor%o.Dem'


79/80

APBND(C! A

D!F(N(78!S

I&pEtese = Na lRgica tradicional a %ro%osi"#o %articular com%reendida como im%l+cita :tese ou inclusa nelaL na lRgica moderna fRrmula &ue figura como %ressu%osto de umadedu"#o e &ue distintamente de um a$ioma tem a%enas um caráter transitRrio. )mmatemática con!unto de dados de &ue se %arte %ara %rocurar demonstrar %or via lRgica uma%ro%osi"#o nova.

Tese = Pro%osi"#o &ue se enuncia &ue se e$%4e &ue se sustenta.A"&oma ou Postulao = Na lRgica aristotélica %onto de %artida de um racioc+nio

considerado como indemonstrável evidente.Propos&ção = %alavra utili,ada %ara designar os teoremas de uma certa teoria. uma

senten"a declarativa : &ual se %ode atribuir um valor lRgico.Teorema = Pro%osi"#o cient+fica &ue %ode ser demonstrada. ;ormula"#o fec*ada de

uma teoria &ue %ode ser obtida a %artir dos a$iomas desta teoria através de uma se&XFnciafinita de a%lica"4es das regras de dedu"#o.

Corol+r&o = 5onse&uFncia imediata de um teorema.Lema = um teorema cu!a utilidade está na %rova do %rR$imo teorema.

COND(7=O N!C!SSR(A ! SUF(C(!NT!Caso$ P ‹ , Cvale se valer P ou vale P somente se valer D

A *i%Rtese P é a condi"#o suficiente de Csuficiente %ara a validade de DL

A tese é a condi"#o necessária de P.

Caso' P ¤ , CP se e somente se D

ual&uer uma das %ro%osi"4es P e é ao mesmo tem%o necessária e suficiente %ara avalidade da outra.

P e s#o %ro%osi"4es e&uivalentes.

T(POS D! D!ONSTRA7=O1 Pr&nc&p&o a &nução.Muito (til %ara demonstrar %ro%osi"4es &ue se referem a n(meros inteiros. )le está

im%l+cito em todos os argumentos onde se di, e assim %or diante e assimsucessivamente ou etc...

aD erificar a %ro%osi"#o %ara o 1Y valor de nLbD Bu%on*a verdadeira a %ro%osi"#o %ara n &ual&uer dado.cD Mostre &ue a %ro%osi"#o é verdadeira %ara n + 1 usando bD como *i%Rtese.

=. Demonstração D&reta /ip1'e2e ‹ )e2e


80/80

0. Demonstração &n&reta~)e2e‹

~ /ip1'e2e

CProva-se a contra%ositiva da condicionalD

>. Demonstração por a

apostila de algebra.docx

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