apostila de cálculo ii - alunos - 2ª edição[1].pdf
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Cálculo Diferencial e Integral II
Professores
Ana Clara da Mota
Áureo Pereira de Melo
Maria de Fátima dos Santos Monteiro Lemke
São José dos Campos
Abril – 2010
- 1 -
Aula 1
2 - Funções de várias variáveis.
Em muitas situações práticas, o valor de uma certa quantidade, depende dos valores de duas outras ou de três
outras. Então é usual representar estas relações como funções de várias variáveis.
Por exemplo, numa fábrica, uma quantidade chamada de produção (P), depende do número de homens-hora
(L) e do número de máquinas (K), usadas para produzir algum produto. A representação funcional dessa relação
e . );( KLfP =
O mesmo conceito se estende para qualquer número de variáveis.
Exemplos:
1) Volume de um cilindro
hrVc2π= , onde
r é raio
(2 variáveis)
h é altura
2) Equação de estado de um gás ideal
VnRTp = , onde p é pressão,
V é volume,
R é constante molar do gás e (3 variáveis)
T é temperatura
3) Circuito com 5 resistores em série
A corrente é função das resistências RI
54321 RRRRREI
++++= (5 variáveis)
I é corrente
E é a tensão da fonte
- 2 -
2.1 - Definição
Seja D um subconjunto (região) do espaço lR2 (plano). Chama-se função f de D toda relação que associa, a cada
par (x; y) ∈ D, um único número real, representado por f(x; y). O conjunto D é o domínio da função. Assim,
a) D é o domínio da função em lR2,
b) f é a função,
c) f(x,y) é o valor da função calculado em (x,y)
Ou seja, considere A um conjunto do espaço n-
dimensional, se a cada ponto P do conjunto A associarmos
um único elemento z, onde )(),...,,( 21 Pfxxxfz n ==
então A é domínio da função z.
2.2 – Domínio de uma Função
O domínio dessas funções segue as mesmas regras do domínio de funções de uma variável, ou seja, o domínio é
a região , tal que os valores calculados da função, para todo 2lRD ∈ Dyx ∈),( resultem em valores finitos e
reais para . ),( yxf
Se 224 yxz −−= , então ou 04 22 ≥−− yx ( ){ }4/,)( 222 ≤+∈= yxlRyxzD
Temos que representa a região limitada pela circunferência de raio 2 e centro C(0,0) 422 ≤+ yx
Sendo assim a imagem da função 224 yxz −−= é dada por { }2/)Im( ≤≤∈= zolRzz .
y
x 2
- 3 -
Aula 2
Curvas de Nível
Objetivo: Compreender o significado e a aplicação das curvas de nível.
2.1 - Gráfico de uma função de 2 variáveis
xy e )(xfy = . Já vimos que para as funções de uma variável, o gráfico é no plano
Para funções de 2 variáveis o gráfico é em e z3lR ),( yxf= . Uma função de 2 variáveis sempre gera uma
superfície no espaço lR 3
Exercícios
Esboce o gráfico das funções de duas variáveis:
a) b) f5),( =yxf yxyx 326),( +−= c) z = d) 22 yx + 221 yxz −−=
2.2 - Curvas de Nível
Seja f uma função real de duas variáveis reais. Designamos por curva de nível de valor k o
conjunto:{ }kyxflRyx =∈ ),(;),( 2
Seja k um número real. Uma curva de nível ( ) de uma função kC ),( yxfz = é o conjunto de todos os pontos
tais que ou seja, kyxf =),(
{ }kyxffDyxCk =∈= ),(/)(),(
Exemplo:
229 yxz −−=
9222 =++ yxz
909 22220 =+⇒=−−= yxyxC
819 2222
1 =+⇒=−−= yxyxC
Cada curva de nível é a projeção,sobre o plano da interseção do gráfico de f com o plano
horizontal .
kyxf =),( yx0
kz =
- 4 -
Aula 3
1) Dê o valor funcional de:
a) para yxyxf 2),( 2 += )3,2(),( =yx
b) ( )21
33),( yxyxf += para )2,1(),( =yx
2) Uma empresa que aluga carros cobra R$ 40,00 por dia e R$ 0,15 por quilômetro rodado.
a) Obtenha uma fórmula para o Custo (C) do aluguel de um carro como uma função do número de dias (d) e o
número de quilômetros (q).
b) Se , calcule e interprete o resultado. ),( qdFC = )300,5(f
3) Encontrar uma função de várias variáveis que nos dê:
a) O comprimento de uma escada apoiada como na figura abaixo:
b) O volume de água necessário para encher uma piscina redonda de x metros de raio e y metros de altura.
c) A quantidade de rodapé, em metros, necessária para se colocar numa sala retangular de largura a e
comprimento b.
d) A quantidade, em metros quadrados, de papel de parede necessária para revestir as paredes laterais de um
quarto retangular de x metros de largura, y metros de comprimento, se a altura do quarto é z metros.
e) O volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões x, y e z.
f) A distância entre dois pontos P(x,y,z) e Q(u,v,w).
g) A temperatura nos pontos de uma esfera, se ela, em qualquer ponto, é numericamente igual a distância do
ponto ao centro da esfera.
4. Determinar o domínio e o conjunto imagem das seguintes funções:
a) b) yxz −−= 3 221),( yxyxf ++=
c) )(9 22 yxz +−= d) 222 zyxew ++=
e) 222),,( zyxzyxf ++= f) 452),( −+= yxyxf
5. Determinar o domínio das seguintes funções e representar graficamente num papel sulfite erepresentar
graficamente com o auxílio do software winplot:
a) xyz = b) 22
1yx
z−
= c) 12 +
=y
xz
- 5 -
d) )4(ln 22 yxz +− = e) yx
ez =
6. Dada a função yx
yxyxf+
+=
2),( :
a) Dê o domínio.
b) Calcule . ),( yxxf Δ+
c) Calcule )0,1( −f .
d) Faça um esboço gráfico do domínio num papel sulfite e faça o esboço do gráfico com o auxílio do
software winplot.
7. Desenhar as curvas de nível kC para valores de k dados:
a) 3,2,1,0;22 = −= kyxz
b) 3,2,1,0;22 = −= kxyz
c) 5,4,3,2,1,0;21 22 = += knml
d) 2,3,4,5;),( = += kyxyxf
Aula 4
Derivadas Parciais
Objetivo: Compreender o significado e interpretação geométrica das derivadas parciais.
4.1 – Derivadas parciais de 2 variáveis
A definição de derivada parcial de uma função de duas variáveis é a mesma que a de funções de uma variável.
A única diferença, aqui é que, como se tem duas variáveis, uma delas deve ser mantida fixa enquanto se dá
acréscimo para a outra. Assim, seja a função , sua derivada em relação a x é: ),( yxf
),(),( yxfyxxff −Δ+=Δ incremento da função
xyxfyxxf
xf
Δ−Δ+
=ΔΔ ),(),(
- taxa de variação da função
),( lim
0yxf
xf
xf
xx=
∂∂
=ΔΔ
→Δ Derivada Parcial em x
Analogamente, se mantivermos agora o valor de x constante a derivada parcial em relação a y é:
),( lim
0yxf
yf
xf
yy=
∂∂
=ΔΔ
→Δ Derivada Parcial em y
Regra para determinar a Derivada Parcial de ),( yxfz =
1 – Para achar , olhe y como uma constante e diferencie com relação a x. xf ),( yxf
2 – Para achar , olhe x como uma constante e diferencie com relação a y. yf ),( yxf
- 6 -
Exemplo:
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função: 423),( yxyxf −=
Respostas:
3=∂∂
xf
38 yyf
−=∂∂
4.2. Interpretação geométrica da derivada parcial
Nas funções de uma variável, a derivada mede a inclinação da reta tangente á curva no ponto dado. Nas
funções do tipo de duas variáveis, a derivada em relação a x, mede a inclinação da reta tangente à
superfície, no ponto dado (x0, y0, z0) e numa seção paralela a y e com x constante.
),( yxf
Assim
z
x
y
α
P
z
x
y
αα
PP
( )x f , 00 ∂
∂== yxftg xα ( )
y f , 00 ∂
∂== yxftg yβ
Exemplo Aplicado:
1) Considere uma barra metálica desigualmente aquecida ao longo do eixo Ox, com extremidade esquerda na
origem e x medido em metros
x (m) 0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
u (x) (°C) 125 128 135 160 175 160
Seja u(x) a temperatura em °C no ponto x. Observamos que a temperatura cresce quando nos movemos ao
longo da barra atingindo seu máximo em x = 4, depois começa a decrescer.
Vamos calcular ( )2' u
( )x
uxuux Δ
−Δ+=
→Δ
)2()2(lim2' 0
Se fizermos 1=Δx
( )1
)2()12(2' uuu −+=
- 7 -
( ) )2()3(2' uuu −=
( ) 251351692' =−=u
Isto significa que a temperatura cresce a uma taxa de aproximadamente
25 °C por metro quando partimos de x = 2 da esquerda para direita.
2) Considere um parabolóide C , um plano 2216: yxz −−= 2=y e um ponto ) 11 ,2 ,1 (P
Vamos calcular a inclinação da reta tangente à curva C no ponto P.
2=y ) 11 ,2 ,1 (P 2216: yxzC −−=
20
216)2,()( yxxfxg −−==
12)2,()( 2 −−== xxfxg
( )0
00000
),(),(lim,
x f
0 xxyxfyxf
yxxx −
−=
∂∂
→
( )1
1112lim2,1x f 2
1 −−+−
=∂∂
→ xx
x
( ) ( )1
1lim1
1lim2,1x f 2
1
2
1 −−−
⇒−
+−=
∂∂
→→ xx
xx
xx
z
x
y
α
P
z
x
y
αα
PP
( ) ( )( ) ( )1lim1
11lim2,1x f
11+−⇒
−−+−
=∂∂
→→x
xxx
xx
( ) 22,1x f
−=∂∂
Ou simplesmente:
2=y ) 11 ,2 ,1 (P 2216: yxzC −−=
12)2,()( 2 −−== xxfxg x2x f
−=∂∂
( ) 2)1.(22,1x f
−=−=∂∂
3) Se . Ache e e interprete esses números como inclinações. 2224),( yxyxf −−= )1,1(xf )1,1(yf
( ) xyxf x 2, −= 2)1,1( −=xf
( ) xyxf y 4, −= 4)1,1( −=yf
Exercício:
1) Calcule a inclinação da reta tangente à intersecção da superfície , com o plano 324 xyyxz −= 2=y no
ponto )48,2,3(
4.3 - Derivadas Parciais de segunda ordem
Se f é uma função de duas variáveis x e y, suas derivadas são x f
∂∂
=xf e y f
∂∂
=yf . Se derivarmos essas
derivadas mais uma vez, obteremos as derivadas parciais de segunda ordem, que são representadas por:
- 8 -
( ) 2
2
2
2
x z
x f
x f
x ∂∂
=∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
== xxxx ff
( ) 2
2
2
2
y z
y f
y f
y ∂∂
=∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
== yyyy ff
( )x y
z x y
f x f
y
22
∂∂∂
=∂∂
∂=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
== xyyx ff
( )y x
z y x
f y f
x
22
∂∂∂
=∂∂
∂=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
== xyxy ff
Exemplo:
Determine as derivadas parciais de segunda ordem de . 2323 2),( yyxxyxf −+=
Resposta: 32 23),( xyxyxf x += yyxyxf y 43),( 22 −= 326),( yxyxf xx +=
46),( 2 −= yxyxf yy 26),(),( xyyxfyxf yxxy ==
Aula 5
Plano Tangente
Objetivo: Encontrar o plano tangente à uma curva num determinado ponto
Plano Tangente
O plano tangente ao gráfico da função ),( yxfz = no ponto ),, cb(a
De acordo com a figura, é natural esperar que o plano tangente contenha as retas cujos declives são as
derivadas parciais da função em relação a x e em relação a y ,
no ponto .Sendo as equações cartesianas dessas retas: ),( ba
⎩⎨⎧
−=−=
))(,(),( axbafbafzby
x
⎩⎨⎧
−=−=
))(,(),( aybafbafzay
y
A equação do plano que as contém é:
[ ] 0),())(,())(,( =−−−∂∂
+−∂∂ bafzbyba
yfaxba
xf
Exemplo:
Determine o plano tangente ao parabolóide elíptico no ponto ( . 222 yxz += )3,1,1
- 9 -
xyxf x 4),( = 4)1,1( =xf
- 10 -
yyxf y 2),( = 2)1,1( =yf
Temos a equação do plano tangente em ( : )3,1,1
)1(2)1(43 −+−=− yxz
324 −+= yxz
Aula 6
Exercícios
1. Calcular as derivadas parciais de 1a ordem:
a) b) c)25 xxyz −= 10),( 22 −+= yxyxf 352 −+= yxz
d) xyz = e) 22 3),( yyxyxf +=
2. Calcular as derivadas parciais de 1a ordem:
a) yxeyxf2
),( =
b) )cos(),( xyxyxf −=
c) yxxy xyyxf 22),( ++=
d) ( )222 ln),( yxyyxf +=
e) 222 yxaz −−=
f) 22 yxz +=
g) 22
22
yxyxz
+−
=
h) xyarctgyxg =),(
i) yxeyxz 2)( ++=
j) 22
2
2yxyxz
+=
k) 422 −+= yxez
l) xy senxyz 22 +=
m) ( ) xyxz 5ln 22 −+=
n) 122 −+= yxz
o) xyxyz −=
p) t
twtwf 1),( 2 −=
q) )ln(),( uvuvvuf −=
r) xyy xz −= 22
s) ( )2222 yxyxz +−+=
t) )( 222
yxez x +=
3. Verificar se )( yx satisfaz a equação senz + = 0=∂∂
−∂∂
yz
xz
.
Respostas
1. a) xyzxy
xz 5,25 =
∂∂
−=∂∂
b) yyfx
xf 2,2 =
∂∂
=∂∂
c) 5,2 =∂∂
=∂∂
yz
xz
d) xy
xyz
xyy
xz
2,
2=
∂∂
=∂∂
e) yxyfxy
xf 6,2 2 +=
∂∂
=∂∂
2. a) yx b) )yx exexy22 2,2 (),cos()( xyxsenxyyxxsen −−−+−
c) d)22 2,2 xxxyxyyy ++ ++ )ln(22,2 2222
3
22
2
yxyyx
yyx
xy++
+
+
e)222222
,yxa
yyxa
x−−
−
−−
− f)
2222,
yxy
yxx
+
+
g) ( ) ( )222
2
222
2 4,4yx
yxyx
xy+
−
+ h) 2222 ,
yxx
yxy
+
+−
i) j) ( ) ( ) yxyx eyxeyx 22 122,1 ++ ++ ++( ) ( )222
224
222
3
22,
24
yxyxx
yxxy
+
−
+
k) l)44 2222
2,2 −+−+ yxyx yexe xysenxyxxxysenxyyy cos22,cos22 + +
m)yxyx +
−+
1,51 n)
1,
1 2222 −+
−+ yxy
yxx
o) xxy
xyxy
y− −
2,
2 p) 2
2 1,2t
wwt +
q)v
uu
v 1,1− − r) xyxyxy − − 22 2,2
s) yyx
yxyx
x 2,22222
−+
−+
t) [ ] 22
2,12 22 xx yeyxxe ++
3. Satisfaz.
Aula 7
Objetivo: Resolver exercícios aplicados com o auxílio de diferencial
7.1 - Diferencial de uma função
- 23 -
Para uma função de uma variável , definimos o diferencial dx na variável independente, ou
seja, dx pode valer qualquer número real. O diferencial de y é definido como
)(xfy =
dxfdy (x) ' =
a)-(a)(x ' )( fafy +=
A figura mostra as relações entre o incremento xΔ
e o diferencial : dy yΔ representa a variação da altura da
curva (x) fy = e representa a variação da altura da
reta tangente quando x varia da quantidade
dy
xdx Δ= .
Utilizou-se o diferencial dy ou como uma
aproximação do incremento ou variação efetiva
df
)()( xfxxff −Δ+=Δ do valor de uma função de
uma variável, resultante de uma variação xΔ na variável independente. Assim
dfxxfxfxxff =Δ≈−Δ+=Δ )( ' )()( .
Agora será estudada a aplicação das derivadas parciais xf
∂∂ e
yf
∂∂ para aproximar o
incremento ),(),( yxfyyxxff −Δ+Δ+=Δ
dfxxfxfx =Δ
no valor de uma função de duas variáveis, que resulta
quando suas variáveis independentes variam simultaneamente. Se apenas x variasse e y permanecesse
constante poder-se-ia temporariamente considerar como uma função de x apenas. Então, como
desempenhando o papel de , a aproximação linear da equação:
),( yxf
(x) ' f),( yxf x
xff ≈−Δ+ )( ' )()=Δ ( daria xyxfyxfyxxff Δ≈−Δ+=Δ ),( ),(), x( ( I ) para a
variação de correspondente à variação f xΔ em . Analogamente, se apenas y variasse e x
permanecesse constante, então considerando temporariamente como função de y apenas obter-
se-ia
x
), y(f x
yyxfyxfyyxff Δ≈−Δ+= ),( ),(),( y
yΔ
Δ ( II ) para a variação de correspondente à
variação em
f
y .
Mas se x e y variam simultaneamente, é de se esperar que a soma das aproximações em ( I ) e ( II )
seja uma boa estimativa do incremento resultante no valor de . Nessas condições, define-se a
diferencial:
f
dyyzdx
xzyyxfxyxfdf yx ∂
∂+
∂∂
=Δ+Δ= ),(),( de uma função de duas variáveis. ),( yxf
7.2 - Interpretação Geométrica do diferencial
Essa figura mostra a interpretação geométrica do
diferencial e do incremento , representa a
variação na altura do plano tangente, ao passo que
dz zΔ dz
zΔ
representa a variação da altura da superfície )yz ,(xf=
- 24 -
quando varia de para ),( yx ),( ba ),( ybxa Δ+Δ+ .
Exemplo:
xyx + no ponto (1,1). Calcular a diferencial de f(x,y) =
xyy
2+
xf 1=
∂∂ e
yf
∂∂
xyx
2=
dydxdf21
23)1,1( +=
2) Sendo z = x2 + y2 – xy a) determinar uma boa aproximação para o acréscimo da variável dependente quando (x,y) passa de (1,1) para (1,001; 1,02) Solução:
dyyfdx
xfz )1,1()1,1(
∂∂
+∂∂
≅Δ
021,002,0).11.2(001,0).11.2( ≅−+−≅Δz b) Calcular quando as variáveis independentes sofrem a variação dada no item a. zΔSolução:
021381,0)1,1()02,1;001,1( =−=Δ ffz Podemos verificar que o erro decorrente do uso de diferenciais neste exemplo é de 0,000381. Calcule a diferencial total das funções:
a) 123 323 −+−= xyxyyxz
b) zyxyxz 232 −+=
Exercícios – Aplicações
1) O raio e a altura de um cilindro são 8 cm e 20 cm, respectivamente, com erro possível de
medida de 01,0± cm. Use diferenciais para aproximar o erro máximo no cálculo do volume do
cilindro.
- 25 -
2) Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circular reto e obtivemos 10 cm
e 25 cm, respectivamente, com possível erro nessas medidas de no máximo 0,1 cm . Utilize o diferencial
para estimar o erro máximo cometido no cálculo do volume do cone.
Aula 8
Regra da Cadeia
Objetivo: Resolver derivadas de funções compostas.
8.1 - Derivadas de funções compostas
Suponha que seja uma função diferencial de ),( yxfz = x e y , onde e são funções
diferenciáveis de
)(tgx = )(thy =
t . Então z é uma função diferenciável de t e dtdy
yf
dtdx
xf
∂∂
+∂∂
=dtdz
Generalizando:
Suponha que u seja uma função diferenciável de variáveis onde cada é uma
diferenciável de variáveis . Então é uma função de e
n nxxx ,.....,, 21 ix
,.....,m mttt ,.....,, 21 u mttt , 21
i
n
n dtdx
xu
ii xdtdx
xu
dtdu
∂∂
++∂∂
= ......21
1 dtdxu
2∂∂
+ para mi ,.....,1 2,=
Exemplos:
Se , onde e 42 3xyyxz += )2()( tsentx = )cos()( tty = , determine dtdz quando . 0=t
Solução: Da regra da cadeia vem
dtdy
yf
dtdx
xf
dtdz
∂∂
+∂∂
=
( )( ) ( )( ))(12)2cos(232 324 tsenxyxtyxydtdz
−+++=
Observe que quando temos que 0=t 0)0( == senx e 1)0cos( ==y . Portanto,
( )( ))0 + ( )(00cos(2300
−++==
sendtdz
t
) 6)0( =
2) A altura de um cone é de 14 cm e aumenta na razão de 0,03 cm/s. O raio é de 8cm e aumenta na razão de 0,04 cm/s. Determine a taxa de variação do volume em relação ao tempo. Dados:
3
.. 2 hrvconeπ
=
, cm 8 r = , cm 14 h = , 0,04.t 8 r(t) += 0,03.t 14 h(t) += e
dtdr
rv
dtdh
hv
dtdv
∂∂
+∂∂
=
3224
314.8.2
3..2)14,8( πππ
===∂
∂ hrr
v 04,0)(
=dt
tdr
- 26 -
364
364.
3.)14,8( 2 πππ
===∂
∂ rh
v 03,0)(
=dt
tdh
04,0.3
22403,0.3
64 ππ+=
dtdv
scmdtdv /.62,3 3 = π
Exercício:
Calcule a derivada das funções:
1) onde e 53),( 2 −+= yxyxf tetx =)( 3)( tty =
2) zyxzyxf 232),,( −+= onde )()( tsentx = , e tety =)( 2)( ttz =
Aula 9
Derivadas direcionais e vetor Gradiente
Objetivo: Conhecer e aplicar o vetor gradiente
9.1.Derivadas Direcionais
Definição:
A derivada direcional de em f ( )00 , yx na direção do vetor unitário é:
hhb y ), 0xfyhaxf
yxfDhu
(),(lim),( 000
000−++
=→
se esse limite existir.
Teorema: Se f é uma função diferenciável em x e y , então f te
derivada direcional na direção de qualquer versor
m
( )ba,u = e
byxfayxyxfD yh
xu ),(),(),( 0000000 f +=
→
Prova: Se definirmos uma função de uma única variável por g h
),()( 00 hbyhaxfhg ++=
Então, pela definição de derivada direcional, temos:
),(),(),(
lim)0()(lim(0) ' 000000
00hyxfD
hyxfhbyhaxf
hghgg uh
=+++
=−
=→→
( 1 )
Por outro lado, podemos escrever ),()( yxfhg = onde haxx += 0 , e pela regra da hbyy += 0
- 27 -
cadeia byxfayxfdhdy
yf
dhdx
xfhg yx ),(),()( ' +=
∂∂
+∂∂
= .
Se tomarmos , então , 0=h 0xx = 0yy = e
byxfayxfg yx ),(),()0( ' 0000 += ( 2 ).
Comparando as equações ( 1 ) e ( 2 ) vemos que:
byxfayxfyxf yx ),(),(),(D 000000u +=
Se ),(cos θθ senu = : θθ senyxfyxfyxf yx ),(cos),(),(D 000000u +=
Exercícios
1) Determine a derivada direcional , sendo f(x,y) = x3 – 3xy + 4y2 se ),(u yxfD u é o versor dado pelo
ângulo 6π . Qual será ? RESP: )2,1(u fD
213 − 33
2) Suponha que numa certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por:
. Determine a taxa de variação do potencial em na direção do
vetor
xyzxyxzyxV +−= 35),,( 2
kjiv
)5,4,3(P
rrrr−+= .
3332)5,4,3(Duf =
9.2. Vetor Gradiente
A derivada direcional pode ser escrita como o produto
escalar de dois vetores:
byxfayxfyxf yx ),(),(),(Du +=
( ) ),.(),(),,(),(Du bayxfyxfyxf yx=
( ) uyxfyxfyxf yx .),(),,(),(Du =
Definição: Se é uma função de duas variáveis f x e y é função vetorial definida por: f∇
( ) jyfi
xfyxfyxff yx
rr∂∂
+∂∂
==∇ ),(),,(
Usando a notação de vetor gradiente temos:
uyxfyxfDur).,(),( ∇=
Teorema: Suponha que seja uma função diferenciável de duas ou três variáveis. O valor máximo da f
- 28 -
derivada direcional é ),( yxfDu )(xf∇ e ocorre quando ur tem a mesma direção que o vetor
gradiente . )(xf∇
Exemplo:
Calcular o gradiente de em 222 yx +),( yxf = )1,2( −P .
jifrr
28)1,2( −=−∇ Temos que o jyxr
, yixr
24) +=f (∇
Aula 10
Exercícios Propostos
Objetivo: Fixar conteúdo através de resolução de exercícios
1) Determine a derivada direcional da função yy no ponto )1,2( − na direção do
vetor ji
xyxf 4),( 2 −= 3
rr52 +v = .
2) Numa certa região do espaço o potencial elétrico V é dado por xyzxy . Em
que direção V varia mais rapidamente em )5,4,3(P ? Qual a taxa máxima de variação em )5,4,3(P ?
xzyxV +−= 35),,( 2
3) Suponha que a temperatura num ponto ),,( zyx do espaço seja dada por
22 3280
y2,,( zyxT+1
)x+
=z+
, onde T é medida em graus Celsius e x, y e z em metros. Em que
direção no ponto )2,1,1( − a temperatura aumenta mais rapidamente?
292932 2) a) b) ( )12,6,38f∇ 30,404062 ≅ Respostas: 1)
- 29 -
3) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−∇
415,
45,
85f variação 4ºC
CURSO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
TABELA DE DEVIVADAS E INTEGRAIS – FÓRMULAS ELEMENTARES “u”, “v”, “z” e “x” são funções e “a”, “m”, e “k” são constantes
DERIVADAS INTEGRAIS )(xf )(' xf ∫ dxxf )( I
k 0 ∫ dxxfa )(. ∫ dxxfa )(.
x 1 ( ) ( )[ ]∫ + dxxvxu ( ) ( )∫ ∫+ dxxvdxxu z v u −+ ' ' ' zvu −+ ∫ duuf )(' ∫ duuf )( vu. vuvu '.'. +
mxa. 1.. −mxma ∫ duum kmum
++
+
1
1
vu
2
'.'.v
vuuv − ∫du ku +
( ){ }xuv )(''. uvu ∫ > 0u ; u
du ku +ln mu 1.'. −mumu
ua a ln.'. uau 0a ; >∫ duau ka
au
+ln
ualog euu
alog'
0a ; . >∫ dxa xm kam
a xm
+ln.
.
u sen u cos'.u ∫ duu ln kuuu +−ln.
u cos u '.senu− ∫ duuu
ln
ku +2ln.21
u tg u sec'. 2u ∫ duuu
ln.1
ku +ln ln
u cot g u cos'. 2ecu ∫ udv ∫− duvvu .
u sec u .sec'. tguu ∫ du senu ku +− cos
u cosec u cot. cos'. guecu− ∫ du cosu ksenu +
21'u
u−
∫ du u tg ku +secln usenarc
usarc co 21'u
u−
− ∫ du u cotg kusen + ln
utgarc 21
'u
u+
∫ du usec2 kutg +
uarc cotg 21
'uu
+−
∫ du ucosec2 kug +− cot
uarc sec 1.
'2 −uu
u ∫ du u tg . u sec ku + sec
1.
'2 −
−
uuu
∫uarc secco
- 30 -
du u cotg . u cosec kuec +− cos
Aula 11
Pontos críticos de uma função de várias variáveis
Objetivo: Resolver problemas de otimização
Pontos de Máximos, de Mínimos e de Sela
Uma importante aplicação do estudo de
derivadas parciais, é a otimização de funções.
Otimizar uma função significa encontrar seu
desempenho máximo ou mínimo. Como para as
funções de uma variável, quando as derivadas
primeiras forem nulas, teremos pontos extremos
que podem ser máximos ou mínimos. Para saber
de que tipo são esses pontos, teremos de utilizar
o determinante Hessiano calculado no ponto que é definido a seguir. ),( 00 yxyyyx
xyxx
ffff
yxH =),( 00
Assim, se as derivadas e forem nulas, o ponto ( é um extremo, e: xf yf ), 00 yx
1) - e então é um máximo. 0),( 00 >yxH 0),( 00 <yxf xx ),( 00 yx
2) - e então é um mínimo. 0),( 00 >yxH 0),( 00 >yxf xx ),( 00 yx
3) - então é um ponto de sela. 0),( 00 <yxH ),( 00 yx
4) - o teste é inconclusivo 0),( 00 =yxH
Os ponto P e Q são pontos de máximo, porque qualquer
deslocamento em sua vizinhança irá descer.
O ponto S é uma sela porque nos sentidos e sobe ,
mas no sentido ou desce
SP SQ
SL ST
Exemplo:
1) Encontre os pontos críticos da função xxxyyxf 33),( 32 −+=
- 31 -
Resolução:
333 22 −+=∂∂ xyxz xy
yz 6=
∂∂
⎩⎨⎧
==−+
060333 22
xyxy
Resolvendo o sistema temos que os pontos críticos dessa função são
)1,0( , , e )1,0( − )0,1( )0,1(−
2) Classifique os Ponto críticos da função do exercício anterior em máximo, mínimo e sela.
333 22 −+=∂∂ xy
xf e xy
yf 6=
∂∂
22
2
22
2
2
2
36366666
),(),(
),(),(
),( yxxyyx
yyxf
yxyxf
xyyxf
xyxf
yxH −==
∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂
=
Temos:
1. Análise do ponto )1,0(
360660
)1,0( −===H
Assim, e, então, é ponto de sela. 0)1,0( <H )1,0(
2. Análise do ponto )1,0( −
360660
)1,0( −=−
−==H
Assim, e, então, é ponto de sela. 0)1,0( <H )1,0(
Portanto (0,-1) é ponto de sela.
3. Análise do ponto )0,1(
366006
)0,1( ===H
Assim, ,devemos analisar o sinal de 0)0,1( >H 2
2 )0,1(x
f∂
∂ .
Temos 6)0,1(2
2
=∂
∂x
f
- 32 -
Como e 0)0,1( >H 0)0,1(2
2
>∂
∂x
f , concluímos que é ponto de mínimo local de )0,1( f
Portanto (0,-1) é ponto de sela.
4. Análise do ponto . )0,1(−
Temos
3660
06)0,1( =
−−
==−H
06)0,1(2
2
<−=∂
−∂x
f
Assim e 0)0,1( >−H 0)0,1(2
2
<∂
∂x
f , portanto, estamos diante de um ponto de máximo local da
função.
Concluímos, então, que os pontos críticos da função são classificados como: xxxyyxf 33),( 32 −+=
• )1,0( e )1,0( − são pontos de sela;
• )0,1( é um ponto mínimo local;
• )0,1(− é um ponto de máximo local
Aula 12
Exercícios propostos
1) Encontre os valores de máximo ou mínimo das funções:
a) b) 432 326),( yxxyyxf −−= xyyxf =),(
c) d) xyxyxf 2),( 22 −+= yxyxyxf 9831
41),( 34 −−+=
2) A temperatura em cada ponto de um painel plano é dada pela equação
. Encontre a temperatura nos pontos mais quentes e/ou mais frios da
região.
( CT °
24x +
)22 4016),( yxyxT +=
3) Encontre e classifique os pontos de máximos, mínimos ou ponto de sela das superfícies abaixo:
a) z = x2 + xy + y2+ 3x – 3y + 4
b) z = x2 + 3xy + 3y2 – 6x + 3y – 6
c) z = 5xy – 7x2 – y2 + 3x – 6y + 2
d) z = 2xy – 5x2 – 2y2 + 4x + 4y – 4
- 33 -
e) z = x2 + xy + 3x + 2y + 5
f) z = y2 + xy – 2x - 2y + 2
Resp: a) Min.(-3, 3, -5) b) Min.(15, - 8, -63) c) Máx..(-8, - 23, 59)
d) Máx..(2/3, 4/3, 0) e) Pto. Sela (-2, 1, 3) f) Pto. Sela (-2, 2)
4) Determine quais dimensões deverá ter uma caixa retangular aberta (sem tampa), de volume V dado,
a fim de que se tenha área mínima. Resp: 33 22 vyevx = =
5)Uma empresa fabrica dois itens que são vendidos em mercados separados. As quantidades q1 e q2
pedidas pelos consumidores e os preços p1 e p2 de cada item são relacionados por: P1 = 600 – 0,3 q1 e
P2 = 500 – 0,2 q 2 . Assim se o preço de qualquer item aumenta, a demanda para ele decresce. O custo
total de produção da empresa é dada por C = 16 + 1,2 q1 + 1,5 q2 + 0.2 q1 q2. Se a empresa que
maximizar seu lucro total, quanto deve produzir de cada produto? Qual será o lucro máximo?
Resp: Lucro Máx. aproximadamente R$ 433.000,00
7) Entre todos os paralelepípedos retangulares de volume V dado, calcular aquele cuja superfície total
seja menor. Resp: cubo
Aula 13
Integral Dupla
Objetivo: Resolver Integrais Duplas e aplicações dessas integrais
Definição
Considere a função z = f(x,y), numa região limitada R do plano xy.
Traçando-se retas paralelas aos eixos das abscissas e das ordenadas, temos, a soma (soma de Riemann)
dos retângulos contidos na região R é representada por , onde Δ é a área do
retângulo .
∑=
Δn
kkkk Ayxf
1),( kA
kR
Se o número de paralelas traçadas tenderem a infinito, temos:
∑=
→Δ
n
kkkkn
Ayxf10
),(lim
- 34 -
Se este limite existir ele é chamado de integral dupla de f(x,y) sobre a região R e é denotado por:
∫∫R
dAyxf ),( ou ∫∫R
dxdyyxf ),(
Interpretação geométrica da integral dupla
O produto f(xk,yk).ΔAk representa o volume de um prisma reto, cuja base é o retângulo Rk e a altura é
f(xk,yk).
A nos dá o volume do sólido delimitado superiormente por e inferiormente
pela região R e lateralmente pelo “cilindro” vertical cuja base é o contorno de R.
∫∫R
dxdyyxf ),( ),( yxfz =
Propriedades das Integrais Duplas:
a) , para todo real ∫∫∫∫ =RR
dAyxfkdAyxkf ),(),( k
b) [ ] ∫∫∫∫∫∫ +=+RRR
dAyxgdAyxfdAyxgyxf ),(),(),(),(
c) Se , para todo ),(),( yxgyxf ≥ lRyx ∈),( , então ∫∫∫∫ ≥RR
dAyxgdAyxf ),(),(
d) Se para todo pertencente à região0),( ≥yxf ),( yx R , então 0),( ≥∫∫R
dAyxf
e) Se a região R é composta de duas sub-regiões e que não têm pontos em comum, exceto
possivelmente os pontos de suas fronteiras (ver figura),
então
1R
dA
2R
∫∫∫∫∫∫ +=21
),(),((RRR
yxfdAyxfdAf ), yx
- 35 -
Aula 14
Integral Dupla – Cálculo de Volume
Objetivo: Cálculo de volume de algumas regiões
Exemplos:
1) Calcular o volume de um sólido delimitado superiormente pelo gráfico z = 4 – x - y, inferiormente
pela região R delimitada por x = 0, x = 2, y = 0 e y = x/4 + ½ e lateralmente pelo cilindro vertical cuja
base é o contorno de R
Resolução:
∫∫ −−=R
dxdyyxfV )4( ⎪⎩
⎪⎨⎧
+≤≤
≤≤=
21
410
20
xy
xR
Os valores de y variam de 1/2 até 1.
Temos, então, ( ) dxdyyxVx
∫ ∫⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=
+2
0
21
41
0
4
Vamos, primeiro, calcular a integral interna. Temos
[ ]dxAV ∫=2
0
( )∫+
−−=21
41
0
4x
dyyxA
21
41
0
2
24
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=
xyxyyA
- 36 -
221
41
21
41
21
414
2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
xxxxA
815
83
329 2 ++−= xxA
Assim o volume V é dado por
uvdxxxV4
158
1583
3292
0
2 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−= ∫
Aula 15
Exercícios
Objetivo: fixação de conteúdo através de exercícios
1) Calcular:
a) b)dxdyxyx
x∫ ∫ ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
1
0 2)1( dxydy
x
∫ ∫−
−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡3
3
9
0
2
c) , onde R é o retângulo ∫∫ +R
dxdyx )4( 60,20 ≤≤ ≤≤ yx
d) , onde R é a região delimitada y = x2 e y = 4. ∫∫ −−R
dxdyyx )8(
Resp: a) 5/24 b) 18 c) 60 d) 896/15
2) Calcular , onde: ∫∫R
dxdyyxf ),(
a) f(x,y) = x.exy R é o retângulo 10,31 ≤≤ ≤≤ yx
b) f(x,y) = x.cos(xy) R é o retângulo 2
0,20 π≤≤ ≤≤ yx
c) f(x,y) = x – 3y2 R = ( ){ } ≤≤ ≤≤ 21,20, yxyx
d) f(x,y) =y.sen(xy) R = ( ){ } ≤≤ ≤≤ πyxyx 0,21,
Resp: a) e3 – e – 2 b) π4
c) -12 d) 0
3) Determine o volume do sólido delimitado pelo parabolóide elíptico x2 + 2y2 + z = 16, os planos x = 2
e y =2 e os três planos coordenados, ou seja, 20 ≤≤ x e 20 ≤≤ y .
Resp: 48
- 37 -
4) Determine o volume do sólido que é limitado acima pelo plano z = 2x + 5y + 1 e abaixo pelo
retângulo R = ( ){ } ≤≤ ≤≤− 41,01, yxyx .
Resp: 37,5
EXERCÍCIOS: INTEGRAIS DUPLAS
1) Se ( ){ }22,11/, 2 ≤≤−≤≤−ℜ∈= yxyxD calcular o volume correspondente à função
( ) 21 xxf −= por integral dupla. Resp: ..2 vuπ 2) Calcular as integrais e ∫ ∫=
2
1
3
0
21 ydydxxI ∫ ∫=
3
0
2
1
22 ydxdyxI
Resp: I1 =221 I2 =
221
( ){ }dycbxayxD ≤≤≤≤ℜ∈= ,/, 2 Se for contínua no domínio( yxf , ) , então
( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ∫∫∫ ==
d
c
b
a
b
a
d
cD
dydxyxfdxdyyxfdAyxf ,,, .
3) Se ( ){ }21,20/, 2 ≤≤≤≤ℜ∈= yxyxD calcular a integral dupla ( )∫∫ −=D
dAyxI 23
Resp: ( ) 123 2 −=−∫∫D
dAyx
4) Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide e os planos
e , e os três planos coordenados, ou seja 16zy2x 22 =++
2=x 2=y { }20,20 ≤≤≤≤ yx
Resp: ..48 vuV =
- 38 -
5) Calcular a integral dupla ( )∫∫ −+D
dAyx4 , sabendo que o domínio é
( ){ }1,20/, 2 +≤≤≤≤ℜ∈= xyxxyxD . Resp: 7 6) Calcular a integral dupla ∫∫ −
D
dAx 24 , sabendo que o domínio é um círculo de raio igual a dois,
isto é, 2=r mas
donde
42 22222222 =+⇒+=⇒+= yxyxyxr ,222 44 xy =xy −±⇒−=
Então domínio será ( ){ }222 x4yx4,2x2/y,xD −+≤≤−−≤≤−ℜ∈=
Resp: ..3
64 vu
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DUPLAS
DENSIDADE E MASSA Seja uma lâmina colocada numa região R do plano xy e cuja densidade (em unidades de massa por unidade de área) no ponto (x, y) em R é dada por , onde é uma função contínua sobre R. ),( yxf f
A massa total da lâmina é dada por: m dAyxfmR∫∫= ),(
1) Uma lâmina tem a forma de um retângulo com dois lados consecutivos de comprimento igual a 2 cm e a 4 cm. Determine a massa da lâmina, medida em gramas, sabendo que a densidade de massa por área num ponto P é . xyyxf 3),( =Resp.: gm 48= 2) Uma lâmina tem a forma de um triângulo retângulo com dois lados de comprimento igual a 2 cm. Determine a massa da lâmina, medida em gramas, sabendo que a densidade de massa por área num ponto P é . 22 33),( yxyxf +=Resp.: gm 16= CARGA Se uma carga elétrica está distribuída sobre uma região R e a densidade de carga (em unidades de carga por unidade de área) é dada por num ponto (x, y) em R, então a carga total é dada
por:
),( yxf q
( )∫∫=R
dAyxfq ,
3) A carga é distribuída sobre uma região R delimitada pelo triângulo retângulo de vértices (2,2), (0,2) e (2,0) de modo que a densidade de carga num ponto (x, y) seja , medida em coulombs por metro quadrado (C/m2). Determine a carga total.
xyyxf 3),( =
Resp.: coulombs 10 =q
- 39 -
4) A carga é distribuída sobre uma região R delimitada pelo retângulo de vértices (3,2), (0,2), (3,0) e (0,0) de modo que a densidade de carga num ponto (x, y) seja , medida em coulombs por metro quadrado (C/m2). Determine a carga total.
yxyxf 2),( =
Resp.: coulombs 18=q MOMENTO Seja uma lâmina com a forma de uma região R do plano XY e cuja densidade de massa por área num ponto (x,y) é . Define-se momento de uma lâmina em torno do eixo como o produto de sua massa pela distância (na perpendicular) ao eixo.
),( yxf
Assim: ( )dAyxfyM x ,∫∫ ⋅= ( )dAyxfxM y ,∫∫ ⋅=
5) U ma lâmina tem a forma de um triângulo retângulo de vértices (2,4), (2,0) e (0,0). Determine a massa da lâmina, medida em gramas por centímetros quadrado (g/cm2) e o momento, sabendo que a densidade de massa por área num ponto P é . 29),( xyyxf =
Resp.: 256 e 384 == yx MM CENTRO DE MASSA Definimos o centro de massa ( yx, ) de modo que yMxm = e xMym = . O significado físico disso é que a lâmina se comporta como se toda sua massa estivesse concentrada em seu centro de massa. Assim, a lâmina permanece horizontal quando equilibrada em seu centro de massa. As coordenadas ( yx, ) do centro de massa de uma lâmina ocupando a região R e tendo função densidade são: ),( yxf
( )∫∫ ⋅==R
y dAyxfxmm
Mx ,1
( )∫∫ ⋅==R
x dAyxfymm
My ,1
ou
( )
( )∫∫∫∫ ⋅
==
R
Ry
dAyxf
dAyxfx
mM
x,
,
( )
( )∫∫∫∫ ⋅
==
R
Rx
dAyxf
dAyxfy
mMy
,
,
6) Uma lâmina tem a forma de um triângulo retângulo de vértices (2,4), (2,0) e (0,0). Determine o centro de massa, sabendo que a densidade de massa por área num ponto P é . 29),( xyyxf =
Resp.: ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==
25,
35, ponto o é massa de centro
5768 m yx
7) Uma lâmina tem a forma de um triângulo retângulo com dois lados de comprimento igual a 2 cm. Determine o centro de massa da lâmina, sabendo que a densidade de massa por área num ponto P é
. Resp.: o centro de massa é )(3),( 22 yxyxf += ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
109,
58
- 40 -
Exercícios complementares
Série - I
a) Domínio da função em 2lR
1) Achar o domínio das funções abaixo:
a) xyyxf −=),( b) yx
xyxf
−=
2),(
2
c) yx
xyxf
−=
3),(
2
b) Gráfico de uma função de duas variáveis
2) Represente graficamente as funções abaixo:
a) b) 5),( =yxf yxyxf 326),( +−=
c) d) 22 yxz += 221 yxz −−=
c) Derivadas Parciais
3) Derivar as funções abaixo:
a) b) c) 233),( yxyxf = 22),( yxyxf += 22),(yx
xyxf
+=
4) Calcular a inclinação da reta tangente à intersecção da superfície 32 com o plano
2=y no ponto
4 xyyxz −=
( )48,2,3 .
5) Calcular a inclinação da tangente à intersecção da superfície xy , com o plano
1=y no ponto
yxz 223 ++=
( )4,1,1 .
6) Achar as derivadas parciais da função ( ) x .),( 32 senyxyxf += .
7) Achar as derivadas xz
∂∂
e yz
∂∂
das funções.
a) b) c) 032 =−+ zyx 0642 23 =−− zyx 03322 =−++ xyzxyx
h) Derivadas parciais de Segunda ordem
8) Calcular as derivadas de primeira ordem das funções.
a) b) xyyxyxf 634),( 22 −+= yxeyxf 52),( +=
c) d) )n(x),( 22 ylyxf += zyxzyxf 653),,( −+=
e) f) yzxzxyzyxf 322),,( ++=zxyx
zyxf−+
=),,(
i) Derivadas de segunda ordem
9) Encontre as derivadas de segunda ordem das funções.
- 41 -
a) b)3222 34),,( zyxyxzyxf −+= ( )32 n ),,( zxylzyxf = c) yzxzxyzyxf 432),,( ++=
d)zyyx
zyxf−+
=),,( e) ( )332),,( zyxzyxf ++= f) xyzzyxf =),,(
Série - II
1. Dê o conjunto domínio e calcule as derivadas parciais:
a) x
xyyyxf 24712),( 2 ++= b) 325 158),( yxxyyxf −++=
c) y
yxyxf 1234),( 3 +++= d) 22
3),( xxt
ttxf ++=
e) 125),( 25 +++= srsrsrf f) yyxyxf 5)cos()sen(3),( 2 ++=
2. Usando a Regra da Cadeia, resolva os seguintes problemas:
a) A altura de um cone é de 14 cm e aumenta na razão de 0,03 cm/s. O raio é de 8 cm e aumenta na
razão de 0,04 cm/s. Determine a taxa de variação do volume em relação ao tempo.
b) A voltagem V de um circuito elétrico está decrescendo à medida que a bateria se descarrega. A
resistência R está aumentando devagar com o aumento de calor do resistor. Use a lei de Ohm,
RI , para achar como a corrente I está variando no momento em que R = 30 ohms e estiver
aumentando 0,15 ohms/s e V = 26 volts e estiver diminuindo 0,25 volts/s.
V ⋅=
c) A lei do gás ideal é dada pela fórmula kTPV = , onde P = pressão, V = volume,T = temperatura
e k = constante de proporcionalidade. Encontre a taxa de variação da pressão em relação ao tempo, no
instante em que o volume do gás for 400 cm3 e estiver com temperatura de 40 graus e em que o volume
aumenta à razão de 0,1 cm3/s e a temperatura diminui à razão de 0,018 graus/s.
Supor k = 10.
d) O comprimento c, a largura l e a altura h de uma caixa variam com o tempo. A certo instante as
dimensões da caixa são c = 5 m, l = 3 m e h = 10 m, onde c e l estão aumentando a uma taxa de 0,25
m/s, ao passo que h está diminuindo à taxa de 0,5 m/s. Nesse instante, determine as taxas nas quais o
volume e a área da superfície estão variando. Resp: dv = 12,5 m3/s e dA = 6 m2/s
3. Usando diferencial, resolva os seguintes problemas:
a) Determine a quantidade de estanho numa lata cilíndrica fechada com 7,5 cm de diâmetro e 15 cm
de altura se a espessura da folha de estanho for de 0,03 cm. DADO : hrv 2π=
- 42 -
b) Determine o máximo erro no cálculo da área da superfície e no cálculo de volume de uma caixa
aberta retangular com altura = 25 cm, largura = 30 cm e comprimento = 70 cm , com erro máximo de
0,3 cm em cada dimensão.
c) A potência consumida numa resistência elétrica é dada por R
VP2
= watts. Se V = 12 volts e
R = 6 ohms, determine o valor da variação da potência se V é aumentada de 0,015 volts e R é
aumentada de 0,002 ohms. Interprete o sinal do resultado: a potência é reduzida ou aumentada?
d) O período T em segundos para oscilações de um pêndulo simples que tem ρ cm de largura é dado
pela fórmula g
T ρπ2= onde g é a constante de aceleração da gravidade. Sabendo que ρ = 13 cm e
g = 9,8 cm/s2 e que foi a leitura incorreta com ρ = 12,95 cm e g = 9,85 cm/s2, encontre a variação do
período T.
e) Seja um retângulo com lados 3=x cm e 4=y cm. Determine a variação aproximada da diagonal
deste retângulo, sabendo que o lado x foi aumentado 005,0 cm e o lado y diminuído 0,004 cm.
f) A resistência de um circuito elétrico é dada por CER = ohms. Sabendo que E = 18 volts e C = 6
ampères, porém foi feita a leitura de E = 17,985 volts e C = 6,125 ampères, determinar a variação da
resistência.
4. Dadas as funções abaixo, determine o seu ponto crítico (máximo, mínimo ou sela) e classifique-o:
a) b) xyyxxyyxF 2442),( 22 +−−= yxxyxyyxF 22 379),( −+=
c) 2736183),( 22 +−+−+= xyyxyxyxF
6.a) Deseja-se construir uma caixa, retangular com tampa, cujo volume é de 2744 cm3, sendo que a
quantidade de material para a sua fabricação deve ser mínima.
b) Deseja-se construir uma caixa, retangular com tampa, de 64 cm3 de volume. O custo do material a
ser usado é de 1 u.m. por cm2 para o fundo e tampa, 4 u.m. por cm2 para um par de lados opostos e 2
u.m. por cm2 para o outro par de lados opostos. Determine as dimensões da caixa de tal maneira que o
custo seja mínimo.
c) Determine três números positivos cujo produto seja 100 e cuja soma seja mínima.
d) Deseja-se construir um tanque com a forma de um paralelepípedo para estocar 270 m3 de
combustível, gastando a menor quantidade de material em sua construção. Supondo que todas as
paredes serão feitas com o mesmo material e terão a mesma espessura, determinar as dimensões do
tanque.
e) Determine a temperatura mínima num disco de raio igual a 1 centrado na origem, sabendo que a
temperatura T em qualquer ponto (x, y) do plano é dada por 7 3),( 22 −−+= xxyyxT .
- 43 -
f) Determine a temperatura máxima num disco de raio igual a 2 centrado na origem, sabendo que a
temperatura T em qualquer ponto (x, y) do plano é dada por 82 . 2),( 22 ++−−−= yxxyyxT
g) Uma indústria produz dois produtos denotados por A e B. O lucro da indústria pela venda de x
unidades do produto A e y unidades do produto B é dado pela função
xyyxyxyxL −−−+= 22
23
2310060),( . Supondo que toda a produção da indústria seja vendida,
determinar a produção de tal modo que o lucro seja máximo.
Respostas:
Série de Exercícios - I
1) a) b)( ){ }0/, 2 ≥−∈= xylRyxD ( ){ }xylRyxD 2/, 2 ≠∈=
c) ( ){ }03/, 2 >−∈= yxlRyxD
2) a) b) c) d)
3) a)( ) 22
23
93
yxx
yxf x =
∂∂
= ( )
yxy
yxf y
323
63
=∂
∂=
b)( )
xx
yxf x 2
22
=∂+∂
= ( )
yy
yxf y 2
22
=∂+∂
=
c)( )
( )222
2222
yxxy
xyx
x
f x+
−=
∂
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+∂
= ( )222
22 2yxxy
xyx
x
f y+
−=
∂
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+∂
=
4) °57, 88
5) °69, 78
6) ( ) ( ) x s.xx .2..
. 32 coysenxxv
uvxu
xvu
xf
++=∂∂
+∂∂
=∂
∂=
∂∂
7) a) xxz
2=∂∂
e 23 yyz
=∂∂
b) c)
- 44 -
8) a) yxxf
f x 68 −=∂∂
= , xyyf
f y 66 −=∂∂
= , 82
2
=∂∂
=x
ff xx , 62
2
−=∂∂
=y
ff yy e
622
−=∂∂
∂=
∂∂∂
==xyf
yxf
ff yxxy
b) yxx e
xf
f 522 +=∂∂
= , yxy e
yf
f 525 +=∂∂
= , yxxx e
xf
f 522
2
4 +=∂∂
= , yxyy e
yf
f 522
2
25 +=∂∂
= e
yxyxxy e
xyf
yxf
ff 5222
10 +=∂∂
∂=
∂∂∂
==
c) 22
2yx
xxf
f x +=
∂∂
= , 22
2yx
yxf
f y +=
∂∂
= , ( )222
22
2
2 )(2yxxy
xf
f xx+
−=
∂∂
= , 222
22
2
2
)()(2
yxyx
yf
f yy +−
=∂∂
= e
( )222
22 4yxxy
xyf
yxf
ff yxxy+
−=
∂∂∂
=∂∂
∂==
9) a) 0 ; 8 ; 2 ; 42 2 ===+= xzxyxxx fyffyxf
233 8 ; 8 ; 68 ; 68 yzfyfzxfyzxyf yzyxyyy −==−=−=
22322 18 ; 0 ; 18 ; 69 yzffzyfyzzyf zyzxzzz −==−=−−=
b) 0 ; 0 ; 1
; 1
2 ==−== xzxyxxx ffx
fx
f
0 ; 0 ; 2
; 2
2 ==−== yzyxyyy ffy
fy
f
0 ; 0 ; 3
; 3
2 ==−== zyzxzzz ffz
fz
f
c) 3 ; 2 ; 0 ; 32 ===+= xzxyxxx fffzxf
4 ; 2 ; 0 ; 42 ===+= yzyxyyy fffzxf
4 ; 3 ; 0 ; 43 ===+= zyzxzzz fffyxf
d) ( ) ( )22
1 ;
1 ; 0 ;
1zy
fzy
ffzy
f xzxyxxx −=
−−==
−=
( )( )
( ) ( )( )
( )3232
2 ; 8
1 ;
2 ;
zyzyx
fyzy
fzyxz
fzyxz
f yzyxyyy −
−+=
−−=
−
+=
−
+−=
( )( )
( ) ( )( )
( )3232
2 ;
1 ;
2 ;
zyzyx
fzy
fzy
yxf
zyyx
f zyzxzzz −
−+=
−=
−
+=
−
+=
e) ( ) ( ) ( ) ( zyxfzyxfzyxfzyxf xzxyxxx 3218 ; 3212 ; 326 ; 323 2 ++=++=++=++= )
( ) ( ) ( ) ( zyxfzyxfzyxfzyxf yzyxyyy 3236 ; 3212 ; 3224 ; 326 2 ++=++=++=++=
- 45 -
)
( ) ( ) ( ) ( zyxfzyxfzyxfzyxf zyzxzzz 3212 ; 326 ; 3218 ; 323 2 ++=++=++=++= )
f) ( ) ( ) ( )
xyzyzy
fxyzyzz
fxyz
yzf
xyzyz
f xzxyxxx 42
; 4
2 ;
4 ;
2
222 −=
−=−==
( ) ( ) ( )xyzxzx
fxyzxzz
fxyz
xzf
xyzxz
f yzyxyyy 42
; 4
2 ;
4 ;
2
222 −=
−=−==
( ) ( ) ( )xyzxyx
fxyzxyy
fxyz
xyf
xyzxy
f zyzxzzz 42
; 4
2 ;
4 ;
2
222 −=
−=−==
Série de Exercícios - II
1. a) 23
127−
−=∂∂ xy
xf 2
5
2
2
18)(
−=
∂∂ x
xf
xyyf 724 +=
∂∂ 24
)( 2
2
=∂∂
yf
722
=∂∂
∂=
∂∂∂
xyf
yxf { }0/),( 2
)( >∈= xIRyxD f
.b) 354
2)15(51 xyx
xf
−+=∂∂ −
359
2
2
2)15(25
4)(
yxx
f−+
−=
∂∂ −
2238 yxyf
−=∂∂ yx
yf 2
2
2
6)(
−=∂∂
222
6xyxyf
yxf
−=∂∂
∂=
∂∂∂ { }2
)( ),( IRyxD f ∈=
c) 21
)34(2−
+=∂∂ x
xf 2
3
2
2
)34(4)(
−+−=
∂∂ x
xf
232
1231 −−
−=∂∂ yyyf 33
5
2
2
2492
)(−−
+−
=∂∂ yy
yf
022
=∂∂
∂=
∂∂∂
xyf
yxf
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ≠−≥∈= 0,
43/),( 2
)( yxIRyxD f
22)(
32
2
+=∂∂ −tx
xf d) tx
xf 2−=
∂∂ − x2+
136 −− +−=tf
∂∂ xt 4
2
2 f
- 46 -
18)(
−=∂∂ t
t
- 47 -
2−x 22
−=∂∂
∂=
∂∂∂
xtf
txf { }0 e 0/)( 2
)( ≠≠∈= txIRyxD f ,
e) 2425 srrf
+=∂∂ 3
2
2
100)
( r∂
rf=
∂
23
2
2
)12(2)(
−+−=
∂∂ sr
sf 2
1)
−
∂∂
sf 12(2 ++= srs
srsf
srf 2
22
=∂∂
∂=
∂∂∂
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −≥∈=
21/),( 2
) (D sIRsrf
f) )cos(3 xxf
=∂∂ )sen(3
)( x∂ 2
2
xf−=
∂
)sen(2)cos(4)(
2222
2
yyyy
f−−=
∂∂ 5)2 +
∂∂yf sen(2−= yy
022
=∂∂
∂=
∂∂∂
xyf
yxf { }2),( IRyxD ∈= )( f
2.a) π62,3=dtdv cm3/s b) 01266,0−=
dtdI ampères/s c) 0007,0−=
dtdP dinas/cm2/s
3. a) π219,4=dv cm3 b) cm3 e 1380=dv 120=dA cm2
c) watts d) dP 052,0= =dT π0102,0 segundos
4. a) b)
e) dD cm f) ohms0002,0−= 063,0=dR
⎟⎠7⎞
⎜⎝⎛ −−
9,73,1P mínimo c) mínimo
5. a) cm b)
)9,6 ,6( −P
14=== zyx 2z 4y 8 ===x cm
c) 3 100=x 3 100=y 3 100=z d) 3 103 ⋅=x m 3 103 ⋅=y m 3 103 ⋅=z m
e) 21
=x 0=y 4291 ⎞0,
2−=⎟⎜
⎝⎛T graus f) 1−=x 1=y ( ) 101 ,1 =−T
⎠ graus
g) u.m. 10=x 30=y ( ) 180030 ,10 =L