apostila de matemÀtica bÁsica

APOSTILA DE MATEMÀTICA

BÁSICA

Sumário

Potênciação .................................................................................................................. 1

Radiciação .................................................................................................................... 7

Fatoração ................................................................................................................... 12

Frações algébrica .................................................................................................... 20

Divisão de polinômios ............................................................................................ 28

Equações do 1º grau .............................................................................................. 35

Equações do 2º grau ............................................................................................ 40

Inequaçôes do 1º grau .......................................................................................... 47

Inequações do 1° grau ..................................................................................... 54

Referências bibliográficas ................................................................................ 60

2

Potenciação

Vamos começar com a definição de potências de números reais. O objetivo mais imediato da definição e simplificar a notação e fornecer um método para trabalhar com grandes números.

Definição 1: Seja um número real e um número natural, com 𝑛 ≥ 2. A potência de expoente 𝑛 de , denotada por , é o número. = · · ·...· 𝑛

Definição 2: Seja um número real não nulo e um número natural, com 𝑛 . A potência de expoente 𝑛 de , denotada por , é o número.

=

·

·

·...·

𝑛

Observações 1. Se é um número real qualquer escrevemos Também, no caso em que , assumimos por convenção que 2. A expressão não tem sentido matemático. É o que chamamos de uma indeterminação. 3. Note que se e 𝑛 é um número natural vale

(

)

.

4. Finalmente, na expressão os números e são chamados de base e expoente, respectivamente.

Exemplos

(

)

3

(

)

(

)

(

)

( (

)

(

) (

) (

)

Propriedades das potências

Sejam e números reais e 𝑛 números inteiros. Supondo que as potências expressas estão bem definidas então valem as seguintes propriedades:

Potencias de mesma base Para multiplicar, mantém-se a base e somam-se os expoentes, isto é:

Para dividir, mantém-se a base e subtraem-se os expoentes, isto é:

Exemplo:

Substituindo as potências por suas respectivas multiplicações:

Sabemos que:

Então:

Potências de mesmo expoente

Para multiplicar, mantém-se o expoente e multiplicam-se as bases, isto é: (

Para dividir, mantém-se o expoente e dividem-se as bases, isto é:

(

)

4

Exemplo: ( (

Potência de potência

Para calcular a potência de outra potência, mantém-se a base e multiplicam-se os expoentes, isto é:

( Exemplo:

( E agora vamos verificar a veracidade desta propriedade: (

Notação cientifica

Todo número real positivo pode ser expresso na forma , onde é um número inteiro e um número real, com . Esta maneira especial de escrever o número é denominado notação científica. Exemplo: A notação científica de 450 é e, a notação científica de 0, 042 é Exercícios resolvidos:

1.

33232

3

2

1

3

2

13

yx4

1

x

1

xy4

1

1

x

xy4

1

x

xy4

1

x

xy4

2. 622.32232

22

3

23

y.x

1

y.x

1

y.x

1

xy

1y.x

3. 912

3.33.4

3

33343

343

34b.a

1

b.a

1

b.a

1

b.a

b.a

1

Exercícios propostos

1. Determine o valor da expressão ( .

5

2. Simplificar as expressões:

(𝑛

(

3. Se , simplificar as expressões: b 13

( ( (

(

[( ] (

)

( (

( ( (

( (

4. Calcular o valor das expressões: b 9

( (

( )

( )

[( )

]

5. Se , simplifique a expressão abaixo: (

(

6. Determine o valor da expressão

[(

)

(

)

] (

)

7. Se a e b são números reais, então em que condições ( ?

8. Calcule o valor de ( ( ( ( b 3 9. Simplifique as expressões abaixo: b6

( ( (

( [( ]

6

(

)

( (

(

Gabarito

7

Radiciação

A radiciação é a operação inversa da potenciação. Vamos à definição.

Definição: Seja um número real e um número natural. O número é chamado raiz enésima de se, e somente se, . Ou seja, temos a seguinte equivalência: é raiz enésima de ⇐⇒ .

Notação

Usaremos a notação √

, para representar raízes enésimas do número .

No caso em que n = 2 e a > 0, em vez de √

, escrevemos simplesmente √ e lemos

“raiz quadrada de a”. Nesta situação, −√ é o simétrico da raiz quadrada de a e

( √ ) .

Existência

Da definição conclui-se que determinar as raízes enésimas de é o mesmo que determinar todas as soluções da equação . Vamos examinar os seguintes casos:

Primeiro caso: e 𝑛 , 𝑛

A única raiz enésima de zero é o próprio zero, ou seja:

√

Segundo caso: a > 0 e n ∈ N sendo n par

O número a possui duas raízes enésimas. Essas duas raízes são simétricas.

A raiz enésima positiva de é representada pelo símbolo√

. A raiz enésima

negativa de a, por simétrica da primeira, é representada pelo símbolo √

. Exemplo: O número 16 tem duas raízes quartas. A raiz quarta positiva de 16 é 2. A raiz quarta negativa de 16 é -2. Assim,

√

√

As raízes quartas de 16 são 2 e -2.

8

Terceiro caso: a < 0 e n ∈ N sendo n par

Neste caso não existe raiz. O que queremos dizer com isto? Simplesmente que no

conjunto dos números reais não tem sentido uma expressão como √ ou √

. Quarto caso: a ≠ 0 e n ∈ N sendo n ímpar

O número a possui exatamente uma única raiz enésima no conjunto dos números

reais. Esta raiz tem o mesmo sinal de a e é representado pelo símbolo √

.

Observação

No símbolo √

dizemos que: √ é o radical é o radicando 𝑛 é o índice da raiz

Propriedades das Raízes

Propriedade 1:(Radicais de mesmo índice) Para multiplicar, mantém-se o índice e multiplicam-se os radicados, isto é,

√

√

√

Para dividir, mantém-se o índice e dividem-se os radicando, isto é,

√

√ √

Exemplo:

√

× √

= √

= 3

Propriedade 2: (Raiz de Raiz) Para calcular uma raiz de outra raiz, mantém-se o radicando e multiplicam-se os índices, isto é,

√ √

√

Exemplo:

√√

= √

= 3

9

Propriedade 3:(Raiz de Potência) Calcular a raiz e em seguida a potência é o mesmo que calcular a potência e em seguida a raiz, isto é,

(√

)

√

Exemplo:

√ (√ )

Propriedade 4:(Alteração do índice) Multiplicar ou dividir índice e expoente por um mesmo número não altera o resultado, isto é,

√ √

Exemplo:

√ √

√

Potência de Expoente Racional

Racionalização Racionalizar o denominador de uma fração significa eliminar os radicais do denominador sem alterá-la. Exemplos:

√

√

√

√

√

√

⁄ √

Definição

a) Seja a um número real, n um número natural não nulo e

um número

racional na forma irredutível. A potência de base a e expoente racional

são

definidas por:

Exemplo:

10

√

√

√

√ √

√ √

√ √

(√ √ )

(√ √ )

(√ √ )

(√ √ )

(√ √ )


1. Escrever √

√ na forma de um único radical.

2. Escrever cada potência na forma de radical:

a) ⁄ b) ⁄ c) ⁄ d) ⁄ 3. Simplifique:

√√

√

√

√

.

4. Calcule o valor da expressão √ √ √ √ .

5. Se

e √ , encontre o valor de y em função de x.

6. Simplificar: b 34

√ √

√ √

√

√ (

√

√ √ √ ) (

√

√ √ √ )

√ √ √

√ √ √ √

√

√ √

√

√

7. Simplificar a expressão: b 35

√

√

√

√

8. Mostre que: b 38

√ √

√ √

√ √

9. Racionalizar o denominador de cada fração: b 33

√ √

√

√ √

11

𝑛

√ √

√ √

√

√

Gabarito

√

√

√

√

√

√

√

√ √

√

√ √ √

√ √

√ √ √ √ √

√

12

Fatoração

Fatorar consiste em representar determinado número de outra maneira,

utilizando a multiplicação. A fatoração ajuda a escrever um número ou uma

expressão algébrica como produto de outras expressões. Portanto, é preciso

compreender cada método de fatoração a fim de se fatorar qualquer expressão

algébrica.

Os métodos de fatoração de expressões algébricas são:

Fator comum (coloca-se o fator comum em evidência); Agrupamento de fatores comuns; Trinômio Quadrado Perfeito; Diferença de dois quadrados ( ; Soma de dois cubos ( Diferença de dois cubos (

Fatoração por fator comum

A fatoração surge como um recurso da Matemática para facilitar os cálculos

algébricos; através dela conseguimos resolver situações mais complexas. Na fatoração por fator comum em evidência, utilizamos a ideia de fazer grupos de polinômios, ao fatorar escrevemos a expressão na forma de produto de expressões mais simples. O polinômio possui forma fatorada, veja:

Podemos dizer que o monômio x é comum a todos os termos, então vamos

colocá-lo em evidência e dividir cada termo do polinômio por .

Temos: (

13

Concluímos que ( + 2) é a forma fatorada do polinômio ² + 2 . Para termos

certeza dos cálculos, podemos aplicar a distribuição na expressão ( + 2)

voltando ao polinômio ² + 2 .

Exemplo:

1. (fator comum )

(

Fatoração por agrupamento

Agrupamento é o método pelo qual simplificamos uma expressão algébrica,

agrupando os termos semelhantes (termos em comum).

Ao usarmos o método do agrupamento, necessitamos fazer uso da fatoração:

termo comum em evidência.

Observe no exemplo a seguir:

Termo comum em evidência em cada agrupamento:

( (

Colocamos novamente em evidência, pois os termos 4x e 6y possuem termos em

comum.

( (

Exemplos:

1.

( ( (

( (

(

2.

( (

( (

( (

14

Fatoração de um trinômio quadrado perfeito

Trinômio do quadrado perfeito é o 3º caso de fatoração de expressão

algébrica. Ele só pode ser utilizado quando a expressão algébrica for um trinômio

(polinômio com três monômios) e esse trinômio formar um quadrado perfeito.

Como identificar um trinômio do quadrado perfeito

Como já foi dito, nem todo trinômio pode ser representado na forma de quadrado perfeito. Agora, quando é dado um trinômio como iremos identificar que é quadrado perfeito ou não?

Para que um trinômio seja quadrado perfeito ele deve ter algumas características:

Dois termos (monômios) do trinômio devem ser quadrados.

Um termo (monômio) do trinômio deve ser o dobro das raízes quadradas

dos dois outros termos.

Veja um exemplo:

Veja se o trinômio 16x2 + 8x + 1 é um quadrado perfeito, para isso siga as regras

acima:

√ √

Dois membros do trinômio têm raízes quadradas e o dobro delas é o termo do meio, então o trinômio 16x2 + 8x + 1 é quadrado perfeito.

Então, a forma fatorada do trinômio é ² + + é ( + )², pois é a

soma das raízes ao quadrado.

Exemplos:

15

Dado o trinômio . Devemos, antes de usar as regras do quadrado perfeito, colocar o trinômio em ordem crescente de expoentes, ficando assim:

Agora, tiramos a raiz dos termos e , que serão respectivamente e . O

dobro dessas raízes será , que é igual ao termo do meio ( ), então

concluímos que o trinômio é quadrado perfeito e a forma fatorada dele é

( .

Diferença de dois quadrados

Diferença de dois quadrados é o 5º caso de fatoração. Para

compreendermos melhor como e quando utilizarmos é necessário que saibamos

que diferença na matemática é o mesmo que subtração e que quadrado é elevar

um número, letra ou termos ao quadrado.

A fatoração pela diferença de dois quadrados só poderá ser usada quando:

Tivermos uma expressão algébrica com dois monômios (sejam binômios).

Os dois monômios sejam quadrados.

A operação entre eles for de subtração.

Veja alguns exemplos de expressões algébricas que seguem esse modelo:

, a expressão algébrica tem apenas dois monômios, os dois estão ao

quadrado e entre eles há uma operação de subtração.

Como escrever a forma fatorada dessas expressões algébricas.

Dada à expressão algébrica , veja os passos que devemos tomar para

chegarmos à forma fatorada utilizando o 5º caso de fatoração.

16

√ √

A forma fatorada será ( (

Exemplos:

1. Dada a expressão algébrica , a raiz dos termos é

respectivamente e. Então, a forma fatorada é ( ( .

2. Dada a expressão algébrica

, a raiz dos termos 36 e

é

respectivamente e

. Então, a forma fatorada é: (

) (

)

Soma de dois cubos

A Soma de dois cubos é o 5º caso de fatoração de expressões algébricas, para

que entenda como e quando devemos utilizá-lo observe a sua demonstração

abaixo:

Dado dois números quaisquer e , se somarmos os dois obteremos , se

montarmos uma expressão algébrica com os dois números teremos ,

agora devemos multiplicar as duas expressões encontradas.

( ( utilize a propriedade distributiva

unir os termos semelhantes

é uma expressão algébrica de dois termos onde os dois estão

elevados ao cubo e somados.

Assim, podemos concluir que ³ + ³ é uma forma geral da soma de dois cubos

onde x e y poderão assumir qualquer valor real.

A forma fatorada de ( (

Exemplo:

17

é a soma de dois cubos.

Podemos escrever essa expressão da seguinte forma:

(3x)3 + 1 assim: x = 3x e y = 1 Agora basta usarmos a forma gral e fazermos

as substituições.

( (

( ((

( ( )

Diferença de dois cubos A Soma de dois cubos é o 7º caso de fatoração de expressões algébricas, o seu

raciocínio é o mesmo da soma de dois cubos, raciocínio esse que esclarece como e quando devemos utilizá-lo, observe a demonstração abaixo:

Dado dois números quaisquer e . Se subtrairmos ficará: , se

montarmos uma expressão algébrica com os dois números obteremos:

, assim, devemos multiplicar as duas expressões encontradas.

( ( É necessário utilizar a propriedade distributiva;

Unir os termos semelhantes; é uma expressão algébrica de dois termos, os dois estão elevados ao cubo e subtraídos. Assim, podemos concluir que é uma forma geral da soma de dois cubos onde e podem assumir qualquer valor real.

A forma fatorada de será ( (

Exemplos:

a) ( (

b) ( (

18

Exercícios proposto

1. Fatore:

a) ( (

b)

c)

2. Fatore as diferenças entre dois quadrados.

a) (

b)

3. Fatore o trinômio quadrado perfeito ( .

4. Fatore a expressão abaixo colocando a em evidência.

5. Fatore colocando o fator comum em evidência. 43 e 44 a) ( (

6. Fatore o trinômio quadrado perfeito. 50 e 52

a)

7. Fatore o trinômio.66 e 67 a)

8. Fatore as seguintes expressões.

a) ( ( b) c) ( d)

Gabarito

1. ( (

(

( (

2. ( (

19

( (

3. (

4. (

5. ( ( (

6. ( (

7. ( ( ( (

8. ( ( ( (

( ( (

( ( (

( ( ( ( (

20

Frações algébricas

Denominamos fração algébrica o quociente entre duas expressões

algébricas ( e ( , tal que:

(

( (

Simplificação de frações algébricas

Simplificar uma fração algébrica é transformá-la numa expressão mais

simples, e de menor grau.

Para simplificar uma fração algébrica é preciso fatorá-la. Por exemplo, se

quisermos simplificar a fração:

Aparentemente não fatoramos os dois termos, entretanto, houve a divisão

de ambos pelo fator comum .

Para serem desenvolvidas, algumas simplificações requerem,

primeiramente, o uso de técnicas de produtos notáveis e fatoração.

Exemplo1: diferença de dois quadrados

o numerador é a diferença de dois quadrados, portanto ( ( .

O denominador tem o fator que é comum aos dois termos, portanto

( .

Desta forma, a fração:

( (

(

(

Exemplo 2: Diferença de cubos

( (

( (

21

( (

(

Exemplo 3: Trinômio quadrado perfeito

(

( (

Exemplo 4: Quadrado perfeito

(

(

( (

( (

(

(

( (

(

( (

( (

Exemplo 5:

(

( (

( (

( (

Exemplo 6:

( (

(

Podemos também, dividir o polinômio numerador e denominador pelo

entre eles.

Exemplo 1: simplifique.

Solução:

(

22

Assim:

(

(

Exemplo 2:

Solução:

{ ( ( (

( ( (

[( ( ] (

( ( (

( ( (

(

(

Exemplo 3: escreva a fração abaixo na forma reduzida.

Solução:

(

( (

Redução de frações algébrica ao mesmo denominador

A redução de frações algébricas ao mesmo denominador é feita do mesmo

modo que com frações aritméticas, ou seja:

Extrai-se o entre as expressões algébricas que são denominadores;

Divide-se o entre as expressões algébricas que são

denominadores;

Multiplica-se o quociente assim obtido pelos respectivos numeradores.

23

Exemplo 1:

(

(

(

Solução:

[ ( ( ( ] ( (

Assim:

( ( ( ( (

( (

( ( ( (

Teremos então:

(

(

(

(

(

Exemplo 2:escreva a seguinte expressão como uma fração na forma reduzida

Solução:

Os denominadores fatorados são ( ( ( , respectivamente. O

menor denominador comum é ( ( .

(

( (

(

( (

( (

( (

( (

( ( (

( (

( (

( (

(

( (

( (

24

Simplificação de frações compostas

Às vezes uma expressão algébrica complicada precisa ser transformada

anteriormente para uma forma mais fácil de ser trabalhada. Uma fração

composta (às vezes chamada fração complexa), na qual os numeradores e

denominadores podem eles mesmos conter frações, é tal como no exemplo a

seguir. Uma maneira de simplificar uma fração composta é escrever numerador e

denominador como frações simples e, então, inverter e multiplicar. Se a fração

toma a forma de uma expressão racional, então escrevemos a expressão na forma

reduzida ou na forma mais simples.

Exemplo 7: simplificaçao de uma fração composta

(

(

( (

( (

Exemplo 8: simplificaçao de uma fração composta

(

)

(

)

( (

(


1. Simplifique:

(

25

2. Simplifique as frações compostas.

(

3. Escreva a expressão na forma reduzida.

4. Simplifique as seguintes frações algébricas:

𝑛

𝑛

5. Reduza ao mesmo denominador as frações algébricas seguintes:

26

6. Qual a forma mais simples de escrever as frações abaixo?

𝑛

𝑛

7. Simplifique as frações, supondo cada denominador diferente de zero.

(

Gabarito

(

( (

(

(

(

27

(

𝑛

(

( (

(

( (

(

( (

4

a (

3

yx

( 𝑛 )2(4

1

ba

y

zx

3

²4

28

Divisão de polinômios

Sejam dois polinômios, ( como dividendo e ( como divisor, com

( . Dividir ( por ( é determinar outros dois polinômios: o

quociente ( e o resto ( , tais que:

1º) ( ( ( ( 2º) (

Um possível esquema de divisão é apresentado a seguir:

Indicando na chave, temos: ( ( ( (

Observe que:

O grau de ( é igual à diferença dos graus de ( e de ( . O grau do resto ( para ( não nulo será sempre menor que o grau do

divisor ( . Se a divisão é exata, o resto ( é nulo, ou seja, o polinômio ( é

divisível pelo polinômio ( .

Método da chave Para dividir o polinômio ( pelo polinômio

( , adotamos um procedimento análogo ao algoritmo usado na aritmética.

1º passo: Escrevemos os polinômios dados na ordem decrescente de seus expoentes, e completamos o polinômio com termos de coeficiente zero. ( e ( . 2º passo: dividimos o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisor. Obtemos, assim, o primeiro termo do quociente. A seguir multiplicamos o termo obtido pelo divisor, e subtraímos esse produto do dividendo.

𝑛

( = ( · ( + (

𝑛

29

3º passo: caso a diferença obtida tenha grau maior ou igual ao do divisor, ela passa a ser um novo dividendo. Repetimos, então, o processo a partir do 2º passo. Logo, obtemos: quociente: (

resto: (

EXERCICIOS RESOLVIDOS

1. Na divisão de um polinômio ( pelo polinômio ( , encontramos o quociente ( e o resto ( . Determinar ( .

De acordo com enunciado, ( ( ( ( , então temos: ( ( ( , ou seja, ( 2. Obter o valor de k, de modo que ( seja divisível por

( Para que ( seja divisível por ( , o resto ( deve ser igual à zero. Logo .

30

3. Obter o polinômio ( tal que ( : ( = ( : ( , dados ( e ( . ( : ( = ( : ( ( = ( . ( : ( ( . ( = (

Efetuando a divisão pelo metodo da chave, temos: 36

(

Teorema do resto O resto da divisão de um polinômio ( por um binômio ( é o proprio valor numérico do polinômio para , que indicamos por ( . Demonstração: Seja ( o dividendo, ( o divisor, ( o quociente e o resto. De acordo com a propriedade fundamental da divisão, ( ( ( e fazendo , resulta: ( ( ( ( Logo: ( (

Exemplo: O resto da divisão do polinômio ( pelo binômio ( é dado pelo valor numérico do polinômio ( para , ou seja, para igual à raiz do binômio.

( ( ( ( Logo, o resto é (

Teorema de d`alembert Este teorema é uma consequência do terorema do resto. É enunciado da seguinte forma:

𝑛 ( ( 𝑛 ( Pelo teorema do resto, temos que ( ( . Se a divisão é exata e ( , então ( . Se ( , então ( , logo a divisão é exata.

31

Exemplo: A divisão de polinômio ( pelo binômio ( é exata, pois:

( ( (

Divisão de um polinômio ( por ( (

Sendo o polinômio ( divisível por e por com , então ( é divisível por ( ( .

Como o divisor ( ( é de grau 2, o resto será no máximo de grau 1,

assim: ( ( ( (

Como (

( ( ( ( ❶

Como (

( ( ( ( ❷

Subtraindo, membro a membro, ❷ de ❶, temos:

(

(

Como , então

Substituindo em ❷:

, então Portanto, o resto ( é identicamente nulo

( é divisível por ( ( .

32

Exemplo:

O polinômio ( é divisível por ( ( , pois

( ( , isto é ( é divisível

por (

( ( ( ( , de onde concluímos que ( é

divisível por ( .

Logo, o polinômio ( é divisível por ( ( .

Exercicios resolvidos

1. Determinar o valor de m, de modo que a divisão do polinômio

( pelo binômio tenha resto igual a 7.

Para achar o valor de , basta aplicar o teorema do resto:

( ( ( (

(

2. Obter o valor de k, para que o polinômio ( seja

divisível pelo binômio .

Para que a divisão de ( pelo binômio seja exata, devemos ter que (

(teorema de D`alembert):

( ( ( (

Exercicos propostos

1. (UFF-RJ) o resto da divisão de ( por ( é um

polinômio cujo termo independente é 8. Determine o valor do numerol real

2. Em cada caso, determine o quociente ( e o resto ( da divisao de (

por ( , sendo:

a) ( e (

b) ( e (

33

3. (UF-MG) os polinômios ( e ( dividem o

polinômio ( , em que a, b e c são numeros reais.

Determine a, b e c.

4. (UF-MT) Qual é o resto da divisão de ( ( (

( ( por ?

5. Em cada caso, ( é divisível por ( . Determine

a) ( e (

b) ( e (

6. Obtenha o quociente e o resto da divisão de ( por ( nos seguintes

casos:

a) ( e (

b) ( e (

c) ( e (

d) ( e (

7. Indique quais dos polinômios seguintes são divisíveis por

a) b)

c) d)

8. (PUC-PR) S e ( e ( , determine (

( .

9. Calcule o valor de m de modo que a divisão de ( por ( seja

exata.

10. Sendo o polinômio ( divisível por (

+3, determine o valor de

11. Dividindo por um certo polinômio ( , obtemos o

quociente e resto . Determine (

12. Determine a e b de modo que o polinômio ( seja

divisível por ( .

34

13. Determine p e q de modo que o polinômio ( seja

divisível por ( ( .

14. Obtenha y, de modo que o polinômio ( seja divisível

por (

15. (FUVEST-SP) Dividindo-se um polinômio ( por ( , obtem-se um

resto que, dividido por . Da resto 3. Ache ( .

Gabarito

1. 10

2. a) (

c) ( (

3.

4. 60

5. a)-76 b) -5

6. a) ( e (

b) ( e (

c) ( e (

d) ( e (

7. a, b e d

8.

9.

10.

11. (

12.

13.

14.

15. 3

35

Equação do 1° Grau

Denomina-se equação do 1° grau com uma incógnita, qualquer equação

que possa ser reduzida à forma , onde é a incógnita e e são números

reais, com . e são coeficientes da equação. Equações do 1° grau podem possuir mais de uma incógnita. Como exemplo, temos as equações do 1° grau com duas incógnitas, que são quaisquer equações que podem ser reduzidas a uma equação equivalente da forma , com e . Neste caso, além de e , temos também como coeficientes da equação. Utilizamos equações do 1° grau com uma incógnita na resolução de problemas tal qual o seguinte: Equação do 1° Grau é toda sentença aberta em uma variável real , que pode ser expressa na forma , onde e são números reais e . Vamos determinar o Conjunto-Solução da equação :

Portanto, o conjunto- solução de , com é V={

}.

Exemplo 1: O conjunto solução V da equação é V={ }. De fato, se, somente, .

Resolução de uma equação do 1º grau

Se a equação envolver simultaneamente denominadores e adição ou subtração, o primeiro passo será eliminar os denominadores, o que se faz mediante a aplicação da seguinte regra.

Calcula-se o m.m.c. dos denominadores; divide-se o m.m.c. encontrado por cada um

dos denominadores e multiplicam-se os resultados pelos respectivos numeradores.

Exemplo 2: A soma de quatro números inteiros e consecutivos é 38. Achar esses números. Solução: Considere os números , , e . Então:

( ( (

36

Logo, os números são: 8,9,10 e 11. Exemplo 3: a idade de uma pessoa é o dobro da de outra. Há cinco anos a soma das idades das duas pessoas era igual a idade atual da mais velha. Quais são as idades das duas pessoas? Solução: Seja a idade da pessoa mais nova. Portanto, a idade da pessoa mais velha. Usando dados de cinco anos atrás encontramos que

Logo, as idades atuais são 10 anos e 20 anos.

Exemplo 4: O perímetro de um terreno retangular é de 200m. O terreno tem de largura 28m a menos que o seu comprimento. Qual é a área deste terreno? Solução: Chamemos de o comprimento do terreno, então será a medida da sua largura. Sabemos que o perímetro de uma figura retangular é igual ao dobro da soma do seu comprimento com a sua largura. Matematicamente temos:

( Resolvendo a equação temos:

Então já temos que o comprimento do terreno é de 64m. Como de largura ele tem 28 metros a menos que isto, então ele tem 36m de largura. Como sabemos, a área do terreno será obtida multiplicando-se a medida do seu comprimento, pela medida da sua largura, portanto: A área deste terreno é de 2304m2.

Sistema de equação do 1º grau com duas incógnitas

A forma genérica de um sistema é:

{ 𝑛

𝑛 𝑛

37

Uma solução de um sistema de duas equações e duas incógnitas x e y são qualquer par ordenado (x, y) que satisfaz as duas equações.

Definição: Se , e são números reais, com e , a equação

é dita uma equação do primeiro grau com duas incógnitas. Vamos ver dois métodos para achar soluções de um sistema de duas equações com duas incógnitas.

Método da substituição Exemplo:

Determine o conjunto solução do sistema {

Solução: A partir da equação , vamos “isolar”, por exemplo a variável , istoé:

Substituindo o valor de na equação temos que

(

)

Logo,

(

Portanto, e ou { } é o conjunto solução.

Método da adição

Este método consiste em somar, membro a membro, as duas equações com o objetivo de, nesta operação, eliminar uma das incógnitas e só é vantajoso no caso de os coeficientes de uma das incógnitas serem simétricos.

Resolver o sistema {

Solução:

38

A partir da primeira equação “isolamos”, por exemplo, a variável , isto é:

Substituindo este resultado na equação em temos que

(

)

Logo,

Portanto, e ou { } é a solução do sistema de equações.


1) Resolva a equação

.

2) Determine o domínio e a raiz da equação

3. Resolva as equações:

(

)

(

)

(

)

(

)

4. Calcule o valor de x.

(

[

(

]

5. calcule os valores de x e y nos sistemas:

{

{

{

{

39

6. Dado o sistema

{

Determinar k para que os valores de x e y sejam iguais. 7. Qual o valor a atribuir ao parâmetro m para que os sistemas sejam equivalentes?

{

{

Gabarito

1. {

}

2. ⁄

3.

4. 11

5.

6.

7.

40

Equação do 2° Grau

Os números reais a, b e c são coeficientes da equação do 2º grau, sendo:

o coeficiente do quadrado da incógnita. o coeficiente da incógnita. o termo independente da incógnita.

Obs.: Repare que é fundamental na definição da equação do 2° grau. De fato, se , então é reduzida a equação que é uma equação do 1° grau (na hipótese em que ). Exemplo 1:

a) Na equação temos b) Na equação temos que , e

Raízes de uma equação do 2º grau Quando substituímos a incógnita de uma equação por um numero e encontramos uma sentença verdadeira, dizemos que esse número é raiz da equação. Se a equação for do 2º grau, ela pode ter até duas raízes diferentes. Exemplo: determinar m na equação ( ( de modo que uma de suas raízes seja 2. Como 2 dever ser a raiz da equação, temos: ( ( ( (

Resolvendo equações do 2º grau

Definição: Equação do 2° Grau é toda equação da forma , onde , e , com

41

Equação do 2º grau reduzida a forma . Considere a equação . Ela é uma equação do 2º grau incompleta. Podemos fatorar o primeiro membro dessa equação colocando x em evidencia: ( Sabemos que o produto de dois números reais é zero somente se um dos fatores for zero, então: O produto de por ( é o quando ou .

Resolvendo a equação , encontramos

Portanto, as raízes da equação são x1 e x2

Toda equação do 2º grau do tipo tem duas raízes, sendo que uma delas é nula.

Equação do 2º grau reduzida a forma (

Considere a equação Ela é uma equação do 2º grau completa. Observe que o 1º membro dessa equação é um trinômio quadrado perfeito. Então, podemos escrever: ( Uma potência é nula somente se a base for zero. Logo, devemos ter: , ou seja, Nesse caso, dizemos que a equação tem duas raízes iguais. Toda equação do 2º grau do tipo ( 𝑛 , com m e n reais, tem duas raízes reais e iguais.

Resolvendo equações do 2º grau completando quadrados Exemplo 1: Para resolver a equação , primeiro fazemos Adicionamos 6² aos dois membros da equação. Assim, temos: (

√

Para , temos x1 Para , temos x2

42

Exemplo 2: vamos resolver a equação . Nesse caso, . Por isso, dividimos todos os termos da equação por 6:

Devemos encontrar um numero que, somado aos dois membros, torne a expressão do primeiro membro um trinômio quadrado perfeito.

Elevamos

ao quadrado para obter o trinômio quadrado perfeito. Assim, temos:

(

)

(

)

(

)

√

Dessa forma obtemos:

Resolução de uma Equação do 2° Grau (Método de Baskara) Uma equação do 2° grau , onde , com , possui no máximo duas raízes. Vamos estabelecer um procedimento para encontrar essas raízes. O método de Baskara consiste em completar quadrados para isolar a incógnita . Veja como funciona passo-a-passo. 1° passo: vamos multiplicar a equação por : ( ( 2° passo: vamos somar aos dois membros da igualdade:

43

3° passo: neste ultimo passo vamos manipular algebricamente a equação obtida no passo anterior:

(

√

√

Na formula resolutiva, a expressão é chamada de discriminante, que geralmente é representada pela letra grega ( delta . Então:

Desse modo, se , podemos escrever a formula resolutiva da seguinte maneira:

√

Exemplo: resolver a equação . Temos

(

√ √ √

√

( √

√

√

√

√

Equações Incompletas 1° caso: Neste caso, a equação se torna . Portanto, a solução pode ser obtida:

√

Repare que na situação que

, a equação admite duas raízes simétricas. No

caso em que

, a equação não possui solução real.

44

Exemplo: a) Resolvendo a equação temos:

√

Dai, { √ √ },é o conjunto solução.

b) Resolvendo a equação temos:

√

Dai, , ou seja, a equação não possui solução nos números reais.

Discussão Sobre Existência As raízes da equação do 2° grau são obtidas pela fórmula

√

Portanto, Se então a equação não tem raízes reais; Se então a equação tem duas raízes reais e iguais; Se então a equação tem duas raízes reais e distintas.


1. Determine os valores de na equação ( (

de modo que ela seja do 2º grau.

2. Para que valor de n a equação ( 𝑛 𝑛 𝑛 não é do segundo

grau?

3. Coloque na forma reduzida as equações do 2º grau a seguir e classifique-as

em completa ou incompleta.

a) ( (

b) ( (

4. Calcule o valor de p na equação para que uma das

raízes seja 4.

5. Resolva as inequações.

45

( 𝑛 (𝑛

(

6. Escreva as seguintes equações na forma reduzida e encontre as raízes de

cada uma.

a) ( (

b) ( (

c) (

d) ( (

7. Determine os valores de x que verificam estas equações:

( (

(

8. Resolva as equações usando o método de completar quadrados.

a)

b) 𝑛 𝑛

Gabarito

1.

2.

3. a) completa b) completa

4. p=4

5. a) n1

e n2 b) x1 e x2

6. √ √

46

7. √

e

√

√ e √

8. a) b) 𝑛 𝑛

47

Inequações do 1º grau

Chama- se inequações do 1º grau na variável x toda inequação que se reduz a

uma das formas:

,

,

,

Em que a e b são números reais quaisquer, com .

Resolve-se uma inequação do 1º grau aplicando-se as propriedades da

desigualdade.

Exemplo 1:

Resolver a inequação ( ( em .

Solução:

( (

( 𝑛

Logo, {

⁄ }

Exemplo 2: resolver a inequação

.

Resolução:

(

(

Inequações produto

48

Sejam ( e ( funções na variável x. Resolveremos agora, expressões

denominadas inequações-produto, que são apresentadas nas formas:

( ( ,

( ( ( (

,

( (

Para resolvê-la, pesquisamos os sinais de cada função separadamente.

Estudando os sinais de ( ( , determinaremos o sinal do produto

( ( e obteremos também o conjunto solução da inequação.

Exemplo 1: resolver a inequação ( (

Dados ( e ( , estudemos o sinal de cada função.

Zero da função ( zero da função (

Como , a função é

crescente.

Como , a função é

decrescente

Colocando em um quadro os sinais de cada função e determinado o sinal do

produto ( ( temos:

Como queremos ( ( , temos:

{

}

Exemplo 2: resolver a inequação ( (

+ _

+ -2

+ _ (

+

+ ( ( _ _

-2 ⁄

(

⁄ _

49

( ( ( , analisamos o sinal de cada função.

Zero de ( Zero de ( Zero de (

Quadro de sinais

Como queremos ( ( ( , temos :

{ }

Inequação-quociente

Dadas as funções ( e ( , chama-se inequação-quociente toda inequação do

tipo:

(

(

(

(

(

(

(

(

Como a regra de sinais do quociente é igual á regra d sinais do produto,

para resolvermos uma inequação-quociente vamos proceder da mesma forma

como foi feito na resolução da inequação-produto, tomando-se agora o cuidado

de colocar ( .

Exemplo 1: resolver as inequações:

0 ( (

_ + + +

( 2 + _

_

+

( 3 + - - -

_ _ + +

( ( (

0 2 3

50

Solução: façamos ( e ( temos:

Zero de ( Zero de (

Colocando no quadro os sinais de ( e ( , obteremos o sinais de (

( ·

Logo { ⁄ }

𝑛

Solução:

(

( (

Zero de ( Zero de (

Quadro de sinais

+ _

+

⁄

+ (

+ 2 + (

(

_

_

2

(

+

⁄

+ _

+ -1/2

+ _ (

_ (

51

Logo temos que { ⁄ }

Inequação potência

Dada a função ( e o número natural 𝑛(𝑛 , chama-se inequação-potência

toda inequação do tipo:

[ ( ] [ ( ] [ ( ] [ ( ]

Vejamos alguns exemplos de resolução de inequações-potência.

Exemplo 1: resolva as inequações:

( ( ( (

Solução:

Como 𝑛 ( , então a potência ( nunca será negativa. Ela será

positiva se e nula se . Em vista disso, temos:

a) (

b) (

c) ( { }.

d) ( { }

Exemplo 2:resolver as inequações:

( (

A potência de expoente impar tem sempre o sinal da base. Então:

a) ( { }.

b) ( ⁄ {

⁄ }

+ 3 + ( (

_

-1/2 3

52


1. Determine as inequações do 1º grau em :

(

2. Resolver as inequações:

a) ( ( d) ( (

b) ( ( e) ( ( (

c) ( ( f) ( (

3. Resolva as seguintes inequações.

4. Resolva as inequações:

( (

(

5. Determine o domínio das funções:

( √( ( √


7. Determine o conjunto solução das seguintes inequações:

(

(

(

)

Gabarito

53

1. A) { ⁄ } b) {

⁄ }

2. A) { }

b) { }

c) { ⁄ }

d) { ⁄ }

e) { }

f) { ⁄

⁄ }

3. A) { ⁄

⁄ }

b) { }

c) { }

d) { }

4. a) { } b) { }

5. a) { } b) { ⁄ }

6. a) { ⁄ } b) {

⁄ }

7. a) b) c) { ⁄ }

54

Inequações do 2º grau

Seja a função do 2º grau (

Inequações do 2° grau são desigualdades que podem ser escritas nas formas:

( ( 0 ( (

Sendo a, b e números reais e

Exemplos:

1. .

Determinando as raízes da função ( , temos:

√

{

Queremos valores de x para que (

Estudando os sinais da função:

Identificando os valores de x que satisfazem a inequação, temos:

{ }

2. Resolver a inequação

55

Resolução: façamos (

Raízes:

√

{

Portanto { }.

3. Resolver a inequação

Raízes:

Como , temos que raízes reais. Logo, a parábola na intercepta o eixo

Como , temos (

Portanto

4. Resolver a inequação .

Façamos (

Raízes: {

Portanto { }

Sistemas de inequações

A resolução de um sistema de inequações pode ser feita a partir do estudo dos

sinais de uma função para cada inequação, separadamente, seguido da

determinação da intersecção dos conjuntos solução dessas inequações.

Faremos o estudo da resolução de sistemas através do exemplo:

Resolver o sistema

56

{

Determinando os zeros das funções ( e (

√

{

Queremos que ( ( .

Identificando os valores de x que satisfazem as inequações:

S1 S2 { }

Fazendo a intersecção dos conjuntos solução:

2 3

{ }

Inequação-produto

Considere f(x) e g(x) funções da variável x, chamamos de inequação-produto

desigualdades como:

( ( ( ( ( ( ( (

A resolução de uma inequação-produto pode ser feita com estudo do sinais das

funções, separadamente, identificando os valores de x que satisfazem a

inequação-produto.

Exemplo: resolva a inequação ( (

Determinando o zero das funções ( e (

S1

S = S1 S2

2

S2

57

(

√

{

Estudando os sinais das funções:

Queremos que ( (

Estudando os sinais do produto das funções:


{ }

Inequação-quociente

Considere f(x) e g(x) funções de variável x, chamamos de inequação-quociente

desigualdade como:

(

(

(

(

(

(

(

(

58

Na resolução de uma inequação-quocientes deveram lembrar que o denominador

dever ser diferente de zero e a regra de sinais é a mesma, tanto para

multiplicação com para divisão, no conjunto dos números reais.

𝑛

Determinando o zero das funções ( e (

( (

√

(

{

Estudando as funções:

(

(

Estudando os sinais do produto das funções:


59

{ }


1. Determine o conjunto solução das seguintes inequações.

a)

b)

2. Para quais valores de x tem-se:

a) ( (

b) ( (

3. Resolva os sistemas de inequações:

a) {

b) {

c) {


a)

b)

c)

d)

5. Resolva as inequações-produto:

a)( (

b) ( (

c) ( (

d) ( (

e) ( (

6. Resolva as inequações-quocientes: 274

Gabarito

1. { }

60

{ }

2. { }

{ }

3. { }

{ }

4. { }

{

}

{

}

{ }

5. {

}

{ }

{ }

{ }

{ }

6. { }

{ }

{ }

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Paulo: FTD, 2005.

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Matemática: teoria e prática. São Paulo: RIDEEL, 2003.

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BIANCHINI, Edwaldo. Matemática 9°ano. São Paulo: Moderna, 2006.

61

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apostila de matemÀtica bÁsica

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