apostila de matemática; fatorial triangulo de pascal-binomio de newton

Análise Combinatória - Fatorial e Binômio de Newton. Prof. André Gustavo

1


2

ANÁLISE COMBINATÓRIA.

Fatorial

Sendo n um número natural diferente de zero, chamamos de fatorial de n a expressão;

nnnn )1)(2....(3.2.1! .

O Fatorial é uma ferramenta muito importante na analise combinatória, por isso vamos

estudar seu conceito e aplicação, de forma que este possa auxiliá-lo mais tarde.

Matematicamente, podemos definir assim Fatorial:

0)!1(

0,1!

nsenn

nsen

Observe que com essa definição em dupla sentença, resolvemos todos os casos:

a) 0! = 1 (por definição)

b) 1! = 1.(1 – 1)! = 1. 0! = 1.1 = 1

c) 2! = 2.(2 – 1)! = 2. 1! = 2.1 = 2

d) 3! = 3.(3 – 1)! = 3. 2! = 3.2.1 = 6

e) 4! = 4.(4 – 1)! = 4. 3! = 4.3.2.1 = 24, e assim por diante.

Exemplo:

Calcule o valor de n na expressão:

)(7''4'0283

3123131!

)1)(2(1!31

!

!)1)(2(!31

!

)!2(!

2

2

convémnãonnnn

nnn

nnn

n

nnnn

n

nn

Daí podemos concluir que o conjunto solução é S = {4}


3

Coeficientes Binomiais

Sendo n e p dois números naturais quaisquer tal que pn , chamamos de coeficiente

binomial o número indicado por

p

ndefinido por;:

)!(!

!

pnp

n

p

n

; n, p IN e pn

Fazendo uma analogia com o conhecimento a cerca das frações dizemos que o número n é

o numerador e p é o denominador; lê-se “n sobre p”.

Existem três conseqüências da definição de coeficiente binomial a considerar:

I) nn

1 II) 1

0

n III) 1

n

n

Números Binomiais complementares: Dois coeficientes Binomiais são chamados

complementares quando ambos tiver o mesmo numerador, e a soma dos seus

denominadores for igual ao numerador comum, ou seja:

pn

n

p

n

Exemplo: Determine o valor de k, sabendo – se que os coeficientes binomiais

5

8

12

8

kk são complementares.

Solução:

Se os coeficientes binomiais dados são complementares, então a soma dos denominadores é

igual ao denominador, logo, 2k +1 + (-k) + 5 = 8 k + 6 = 8k = 2.

TRIÂNGULO DE PASCAL OU DE TARTAGLIA

O Triângulo de Pascal recebe esse nome, devido à forma em que os elementos estão

distribuídos, e esses elementos são os coeficientes binomiais que tem a seguinte

característica:


4

0

0

0

1

1

1

0

2

1

2

2

2

0

3

1

3

2

3

3

3

0

1n

1

1n

2

1n

1

1

n

n

0

n

1

n

2

n

1n

n

n

n

Podemos também representar o Triângulo de Pascal substituindo os coeficientes binomiais

pelos seus respectivos valores:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1


5

PROPRIEDADES DO TRIÂNGULO DE PASCAL

1ª PROPRIEDADE. Em cada linha do triângulo, o primeiro elemento vale 1, pois

qualquer que seja a linha, o primeiro elemento é INnn

,1

0.

2ª PROPRIEDADE. Em cada linha do triângulo, o último elemento vale 1, pois

qualquer que seja a linha, o último elemento é INnn

n

,1 .

3ª PROPRIEDADE. Numa linha, dois coeficientes binomiais eqüidistantes dos

extremos são iguais, isto equivale a dizer que

pn

n

p

n.

Observe no quadro:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

A partir da 3ª linha, cada elemento (com exceção do primeiro e do último) é a soma

dos elementos da linha anterior, imediatamente acima dele. Essa propriedade é

conhecida como Relação de Stifel e afirma que:

1

1

1 p

n

p

n

p

n

Vamos mostrar um exemplo e uma aplicação da Relação de Stifel numa questão do

vestibular da Faculdade Baiana.


6

Obs: Um detalhe importante no uso da Relação de Stifel é observar o valor que representa

n, p e p + 1. Na questão do vestibular da Faculdade Baiana, n = 12, p = 7 e p + 1 = 7 +1 =

8.

BINÔMIO DE NEWTON

Inicialmente vamos considerar as seguintes potências desenvolvidas:

222 2)( yxyxyx , que podemos escrever também da seguinte forma;

201102 2 yxyxyx ou

0

202 yx +

1

211 yx +

2

220 yx .

32233 33)( yxyyxxyx , que podemos escrever também da seguinte forma;

30211203 33 yxyxyxyx ou

0

303 yx +

1

312 yx +

2

33021

3

3yxyx

.

4322344 464)( yxyyxyxxyx , que podemos escrever também da

seguinte forma; 4031221304 464 yxyxyxyxyx ou

0

404 yx +

1

413 yx +

2

4403122

4

4

3

4yxyxyx

.

Generalizando a situação, podemos escrever; para INneIRyex :

nkknnnnn yn

nyx

k

nyx

nyx

nx

nyx

221

210)(

É interessante notar que os expoentes de x começam em n e decrescem de1 em 1 até

zero, enquanto os expoentes de y começam com zero e crescem até n. A esse

desenvolvimento damos o nome de Binômio de Newton.

Exemplos:

1) Efetuar o desenvolvimento de 5)( ax .


7

Solução:

5)( ax =

0

505 yx +

1

514 yx +

2

550413223

5

5

4

5

3

5yxyxyxyx

.

Observemos que:

10

5

, 5

1

5

, 10

2

20

!3!.2

!3.4.5

!3!.2

!5

2

5

, 10

!2!.3

!5

3

5

,

51

5

!1!.4

!4.5

!1!.4

!5

4

5

, 1

0

5

Substituindo os valores na expressão temos:

5)( ax = 5x + 5 yx 4 + 10 543223 510 yxyyxyx .

2) Efetuar o desenvolvimento de

6

2

1

x .

Solução:

Inicialmente, devemos observar que

66

2

1

2

1

xx .

6

0

5

1

4

2

3

3

2

4

1

5

0

6

6

2

1

6

6

2

1

5

6

2

1

4

6

2

1

3

6

2

1

2

6

2

1

1

6

2

1

0

6

2

1

x

xxxxxxx


8

Calculando cada coeficiente binomial e as potências de

2

1temos:

10

6

1

2

10

61

6

1

2

1

2

1

152

30

!4!.2

!4.5.6

!4!.2

!6

2

6

2

2

1

4

1

206

120

!3!.3

!3.4.5.6

!3!.3

!6

3

6

3

2

1

8

1

152

30

!2!.4

!4.5.6

!2!.4

!6

4

6

4

2

1

16

1

61

6

!1!.5

!5.6

!1!.5

!6

5

6

5

2

1

32

1

16

6

6

2

1

64

1

Substituindo os respectivos valores na expressão temos:

Fazendo as

operações

elementares obtemos:

TERMO GERAL DO BINÔMIO

O termo geral do Binômio de Newton é dado por:

kkn

k yxk

nT

1

O termo geral do binômio é muito útil quando queremos calcular um termo qualquer n

desse binômio.

64

1

32

16

16

115

8

120

4

115

2

16

2

14

23456

6

xxxxxxx

64

1

16

3

16

15

2

5

4

153

2

1 23456

6

xxxxxxx


9

Questões comentadas

1) Qual é o 5º termo do desenvolvimento de 5)3( x , de acordo com as potências

decrescentes de x?

Solução: Inicialmente, vamos procurar o valor de 5T . Como 451 kk . Daí:

xxxxxxT 40581.581!1!.4

!4.581

!1!.4

!581.

4

53.

4

5445

5

Portanto o 5º termo de 5)3( x é 405x.

2) Calcular o termo independente de x no desenvolvimento de

61

xx .

Solução:

k

k

kk

k

k

k

k

xk

T

xxk

T

xx

kT

26

1

6

1

6

1

6

.6

1.

6

Observe que o termo independente de x é aquele cuja potência de x é zero, ou seja, 0x .

Logo temos que:

6 – 2k = 0, e portanto k = 3.

Então temos que 4131 TTTk

206

120

1.2.3

120

!3!.3

!3.4.5.6

)!36!.(3

!6

3

64

T

3) Determine o termo médio (ou central) no desenvolvimento de 6)3( x .

Solução: Observe que se o binômio esta elevado a 6ª potência significa que o seu

desenvolvimento constará 7 termos, Lembre-se que se a quantidade de termos é ímpar,


10

então o termo central é aquele que divide a esse grupo de termos em quantidades de termos

iguais.

Exemplo:

1 2 3, o termo central é 2.

1 2 3 4 5, o termo central é 3.

1 2 3 4 5 6 7, o termo central é 4.

Feito isso, podemos voltar ao problema inicial. Como Já havíamos dito, se o binômio está

elevado a 6ª potência, então o seu desenvolvimento constará de 7 termos. Devemos então

procurar 4º termo, que é o termo central:

k + 1 = 4

k = 3

Portanto;

3

4

4

3

4

336

4

540)27.(20

)27(!3!.2

!6

)27.(3

6

)3.(3

6

xxT

xT

xT

xT

4) No desenvolvimento de 50)2( x , determinar os coeficientes do 4º e do penúltimo termo.

Solução: O termo geral é dado por

kk

k xk

T )2.(50

50

1

O 4º termo é o 4T . Como k + 1 = 4, então k = 3.

3350

4 )2.(3

50xT

)8.(

3

5047x )8.(

!47!.3

!50 47x )8.(!47!.3

!47.48.49.50 47x

474747 156800)8.(19600)8.(1.2.3

48.49.50xxx .


11

O penúltimo termo é o 50T . Como k +1 = 50, então k = 49.

4949494950

4 )2.(50)2(!1!.49

!50)2.(

49

50

xxT

Portanto os coeficientes do 4º e do penúltimo termo são 47156800x e 49)2.(50 x .

5) Existe o termo independente de x no desenvolvimento de

31

xx ?

Solução:

O termo geral é dado por kkk

k

k

k xk

xxkx

xk

T 2333

1

331.

3

.

Para que exista o termo independente é necessário que 3 – 2k = 0. Como

2

332 kk , podemos observar que k não é um número natural. Logo, não há termo

independente de x no desenvolvimento de

31

xx .

6) Qual o termo de 5x no desenvolvimento de 83x ?

Solução: O termo geral é dado por

kk

k xk

T 3.8

8

1

. Observe que o termo em 5x ocorre apenas quando 8 – k = 5, ou seja k

= 3. Daí temos que 4131 TTTk e portanto o termo em 5x é dado por:

55338

4 1512.27.563.3

8xxxT

Observações importantes;

I. No desenvolvimento de nyx temos: o número de termos no

desenvolvimento do binômio é igual ao expoente mais 1, desta forma teremos n + 1 termos.

II. A medida em que os expoentes de x vão decrescendo, os expoentes de y vão

crescendo.

III. Os coeficientes dos termos eqüidistantes dos extremos são iguais aos

coeficientes dos extremos , sendo que o maior deles se encontra no centro.

IV. A soma dos expoentes de x e y em cada termo é igual ao expoente do

binômio.

V. O coeficiente do primeiro termo é sempre igual a 1.


12

VI. Os coeficientes dos outros termos se encontram através do produto do

expoente de x com o seu coeficiente, dividindo-se este resultado pelo número de ordem do

termo.

VII. No desenvolvimento de nyx temos; os sinais de cada termo do

desenvolvimento são alternados, isto é, os termos de ordem par são negativos e os de

ordem impar são positivos.

VIII. Para obter a soma dos coeficientes de nyx , basta fazer cada letra igual a

unidade.

Exemplos:

a) A soma dos coeficientes de 6yx é:

642)11( 66 cS

b) A soma dos coeficientes de 6532 x é:

1)1()31.2( 6565 cS

De uma forma geral, no desenvolvimento de nyx , a soma dos coeficiente será

dada por n2

EXERCÍCIO COMENTADO

(UCSAL –BA) O coeficiente de terceiro termo do desenvolvimento do binômio de

nyx , segundo as potencias decrescentes de x, é igual a 60. Nessas condições, o valor

de n pertence ao conjunto:

a) {3, 4} b) {-5, 6} c) {7, 8} d) {9, 10} e) {11, 12}

Solução comentada: Em primeiro lugar devemos desenvolver o binômio dado até o

terceiro termo, pois é a partir daí que vamos identificar o valor de n. Portanto:

Pela definição temos que:

22110 2

22.

12.

02 nnnn

xn

xn

xn

x

4.

22. 21 nnn x

nnxx

Temos que 22

)1(

)!2(!2

)!2)(1(

)!2(!2

!

2

2 nnnn

n

nnn

n

nn

, que substituindo na

expressão temos:


13

2

21

242 nnn x

nnnxx Ocorre que:

060226022602

4 222

nnnn

nndividindo todos os termos da

equação por 2 temos 0302 nn e portanto o valor de n pertence ao conjunto solução

{-5, 6}.

Alternativa B.

TEORIA DOS CONJUNTOS

1. REPRESENTAÇÃO

Inicialmente vamos representar um conjunto de três formas diferentes;

NA FORMA TABULAR

Nessa forma, vamos representar o conjunto por uma letra latina maiúscula, colocando-se

seus elementos entre chaves e separados por ponto e vírgula.

A { a, e, i, o, u } B { 2; 4; 6; 8}

POR UMA PROPRIEDADE

Nessa forma, vamos representar o conjunto por uma propriedade que determine seus

elementos.

A {x / x é vogal do alfabeto latino}

B {x / x é um número par positivo menor do que 9}

OBS. A barra (/) significa “ tal que”.

POR UM DIAGRAMA DE VENN

Podemos representar conjuntos por diagramas de Venn-Euler, também conhecidos como

diagramas de Venn, consistindo de curvas simples planas fechadas. No interior de tais

diagramas representamos os elementos, e do lado de fora indicamos os nomes dos

conjuntos.


14

Exemplo: representemos o conjunto A dos números primos menores que 15 usando o

diagrama de Venn:

São válidas as seguintes relações de pertinência:

1 A ( lê – se: “ 1 pertence a A” )

15 B ( lê – se: “ 15 não pertence a B” )

2. CONJUNTOS ESPECIAIS

Existem alguns conjuntos que aparecem com freqüência em nosso estudo. Veja alguns

deles:

CONJUNTO UNIVERSO

O conjunto que possui todos os elementos com os quais se deseja trabalhar é chamado de

conjunto universo e usualmente é representado por U.

CONJUNTO UNITÁRIO

Como o próprio nome já diz, o conjunto unitário é aquele que possui um único elemento.

Exemplo: M {x / x é mês do ano com menos de 30 dias}

CONJUNTO VAZIO

O conjunto que não possui elemento algum é chamado de conjunto vazio e é representado

pela letra grega ou por chaves sem elementos entre elas.

M {x / x é dia da semana com 32 horas} M ou M { }

3. RELAÇÃO DE INCLUSÃO ( SUBCONJUNTOS)

Quando todos os elementos que pertencem a um conjunto A também pertence a um

conjunto B, diz-se que A está contido )( em B ou que A é subconjunto de B, ou ainda

que B contém A ( representa-se )AB .

Em símbolos:


15

),( BxAxxBA

Obs. O símbolo significa “ qualquer que seja” ou “para todo”.

Propriedades

1. AAA ;

2. AA ; 11

Exemplos:

Se A { 2; 3; 4 } e B { 1; 2; 3; 4; 5; 6}, então BA ..

4. IGUALDADE

Dois conjuntos A e B são iguais, se e somente se, BA e AB .

Observe a seguinte situação:

A { a; b; c } e B { b; a; c}

BA e BAAB .

A ordem dos elementos não interferem na igualdade dos conjuntos.

A repetição de um ou mais elementos em um conjunto não interfere na sua

igualdade.

5. OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS

UNIÃO )(

A união dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto

A ou ao conjunto B.

A B = { x / x A ou x B }

Representação em diagrama:


16

Exemplo: Se A = {a,e,i,o} e B = {3,4} então A B ={a, e, i, o, 3, 4}.

Propriedades:

ABBA

AAA

AA

INTERSECÇÃO )(

Dados dois conjuntos A e B chama-se intersecção de A com B o conjunto formado por todos

os elementos comuns a A e a B.

A B = { x: x A e x B }


Exemplo:

Se A = {a, e, i, o, u} e B = {b, c, a, d, u} então A B = { a,u }.

Se A = {a,e,i,o,u} e B = {1,2,3,4} então A B = Ø.

Propriedades:

ABBA

AAA

A

ABABA

DIFERENÇA

A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao

conjunto A e não pertencem ao conjunto B.


17

A - B = {x / x A e x B}


Exemplo:

Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {4, 5, 7, 8, 9} então A – B = { 1, 2, 3 } e B – A = {7, 8, 9}.

Propriedade:

ABBA

AA

AA

A

COMPLEMENTAR )( A

BC

Dados dois conjuntos, A e B, tal que BA , chama-se complementar de A em relação a B a

diferença B – A .

ABC A

B


A região colorida representa A

BC


18

Exemplo: Se A = { 2; 3; 4} e B = { 1; 2; 3; 4; 5; 6 }, então ABC A

B = {1; 5; 6 }

Propriedades:

A

AC

ACB

Obs. AAAUC A

U '

LEIS DE MORGAN

O complementar da reunião de dois conjuntos A e B é a interseção dos complementares

desses conjuntos.

(A B)c = A

c B

c

1) O complementar da reunião de uma coleção finita de conjuntos é a interseção dos

complementares desses conjuntos.

(A1 A2 ... An)c = A1

c A2

c ... An

c

2) O complementar da interseção de dois conjuntos A e B é a reunião dos complementares

desses conjuntos.

(A B)c = A

c B

c

3) O complementar da interseção de uma coleção finita de conjuntos é a reunião dos

complementares desses conjuntos.

(A1 A2 ... An)c = A1

c A2

c ... An

c

6. NÚMERO DE ELEMENTOS DA UNIÃO DE DOIS CONJUNTOS

Sejam A e B dois conjuntos e:

n(A) = número de elementos do conjunto A

n(B) = número de elementos do conjunto B

)()()()( BAnBnAnBAn

Se )( BAn , ou seja, A e B são dois conjuntos disjuntos, temos:


19

)()()( BnAnBAn

CONJUNTOS NUMÉRICOS

Conjunto é o agrupamento de elementos que possuem características semelhantes.

Os Conjuntos numéricos especificamente são compostos por números.

Divididos em:

• Conjunto dos Naturais (N),

• Conjunto dos Inteiros (Z),

• Conjunto dos Racionais (Q),

• Conjunto dos Irracionais (I),

• Conjunto dos Reais (R).

CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS ( N )

Pertencem ao conjunto dos naturais os números inteiros positivos incluindo o zero.

Representado pela letra N maiúscula. Os elementos dos conjuntos devem estar sempre entre

chaves.

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ... }

- Quando for representar o Conjunto dos Naturais não – nulos (excluindo o zero) devemos

colocar * ao lado do N.

Representado assim:

N* = {1, 2,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,11 ,12, ... }

A reticência indica que sempre é possível acrescentar mais um elemento.

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} ou N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }

Qualquer que seja o elemento de N, ele sempre tem um sucessor. Também falamos em

antecessor de um número.

• 6 é o sucessor de 5.

• 7 é o sucessor de 6.

• 19 é antecessor de 20.

• 47 é o antecessor de 48.

Como todo número natural tem um sucessor, dizemos que o conjunto N é infinito.

Quando um conjunto é finito? O conjunto dos números naturais maiores que 5 é infinito: {6, 7, 8, 9, ...}

Já o conjunto dos números naturais menores que 5 é finito: {0, 1, 2, 3, 4}

Veja mais alguns exemplos de conjuntos finitos.

• O conjunto dos alunos da classe.

http://www.brasilescola.com/matematica/numeros-naturais.htm


20

• O conjunto dos professores da escola.

• O conjunto das pessoas que formam a população brasileira.

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS ( Z )

Pertencem ao conjunto dos números inteiros os números negativos, os números positivos

e o zero. Fazendo uma comparação entre os números naturais e os inteiros percebemos que

o conjunto dos naturais está contido no conjunto dos inteiros.

N = { 0,1,2,3,4,5,6, ... }

Z = {

... , -3,-2,-1,0,1,2,3,4, ... }

N Z

O conjunto dos números inteiros é representado pela

letra Z maiúscula. Os números positivos são

representados com o sinal de (+) positivo na frente

ou com sinal nenhum (+2 ou 2), já os números

negativos são representados com o sinal de

negativo (-) na sua frente (-2).

►Os números inteiros são encontrados com freqüência em nosso cotidiano, por exemplo:

♦ Exemplo:

Um termômetro em certa cidade que marcou 10°C acima de zero durante o dia, à noite e na

manhã seguinte o termômetro passou a marcar 3°C abaixo de zero. Qual a relação dessas

temperaturas com os números inteiros?

Quando falamos acima de zero, estamos nos referindo aos números positivos e quando

falamos dos números abaixo de zero estamos referindo aos números negativos.

+10° C ------------- 10° C acima de zero

- 3° C --------------- 3° C abaixo de zero

♦ Exemplo 2:

Vamos imaginar agora que uma pessoa tem R$500,00 depositados num banco e faça

sucessivas retiradas:

• dos R$500,00 retira R$200,00 e fica com R$300,00

• dos R$300,00 retira R$200,00 e fica com R$100,00

• dos R$100,00 retira R$200,00 e fica devendo R$ 100,00

http://www.brasilescola.com/matematica/numeros-naturais.htm


21

A última retirada fez com que a pessoa ficasse devendo dinheiro ao banco. Assim:

Dever R$100,00 significa ter R$100,00 menos que zero. Essa dívida pode ser representada

por – R$100,00.

►Oposto de um número inteiro

O oposto de um número positivo é um número negativo simétrico. Por exemplo: o oposto

de + 2 é - 2; o oposto de - 3 é + 3.

►O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos:

- INTEIROS NÃO – NULOS

São os números inteiros, menos o zero.

Na sua representação devemos colocar * ao lado do Z.

Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3,...}

- INTEIROS NÃO POSITIVOS São os números negativos incluindo o zero.

Na sua representação deve ser colocado - ao lado do Z.

Z = {..., -3, -2, -1, 0}

- INTEIROS NÃO POSITIVOS E NÃO – NULOS

São os números inteiros do conjunto do Z_ excluindo o zero.

Na sua representação devemos colocar o _ e o * ao lado do Z.

*

Z = {..., -3, -2, -1}

- INTEIROS NÃO NEGATIVOS São os números positivos incluindo o zero.

Na sua representação devemos colocar o + ao lado do Z.

Z = { 0,1 ,2 ,3, 4,...}

O Conjunto Z + é igual ao Conjunto dos N

- INTEIROS NÃO NEGATIVOS E NÃO - NULOS


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São os números do conjunto Z+, excluindo o zero.

Na sua representação devemos colocar o + e o * ao lado do Z.

*

Z = {1, 2, 3, 4,...}

O Conjunto*

Z é igual ao Conjunto N*

CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS ( Q )

Os números decimais são aqueles números que podem ser escritos na forma de fração.

Podemos escrevê-los de algumas formas diferentes:

Por exemplo:

♦ Em forma de fração ordinária: ; ; e todos os seus opostos.

Esses números tem a forma b

a com a , b Z e b ≠ 0.

Dessa forma podemos dizer que N Z Q.

♦ Números decimais com finitas ordens decimais ou extensão finita:

http://www.brasilescola.com/matematica/numeros-racionais.htm


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Esses números têm a formab

a com a , b Z e b ≠ 0.

♦ Número decimal com infinitas ordens decimais ou de extensão infinita periódica. São

dízimas periódicas simples ou compostas:

As dízimas periódicas de expansão infinita, que podem ser escritas na formab

a : com a, b

Z e b ≠ 0.

► O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q maiúscula.

Q = { x =b

a, com a e b Z*}

►Outros subconjuntos de Q:

Além de N e Z, existem outros subconjuntos de Q.

Q* ---------- É o conjunto dos números racionais diferentes de zero.

Q+ ---------- É o conjunto dos números racionais positivos e o zero.

Q- ----------- É o conjunto dos números racionais negativos e o zero.

Q*+ ---------- É o conjunto dos números racionais positivos.

Q*- ----------- É o conjunto dos números racionais negativos.

► Representação Geométrica


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CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS ( I )

O número irracional é aquele que não admite a representação em forma de fração (contrário

dos números racionais) e também quando escrito na forma de decimal ele é um número

infinito e não periódico.

Exemplo

• 0,232355525447... é infinito e não é dízima periódica (pois os algarismos depois da

vírgula não repetem periodicamente), então é irracional.

• 2,102030569... não admite representação fracionária, pois não é dízima periódica.

• Se calcularmos em uma calculadora veremos que √2 , √3 , π são valores que representam

números irracionais.

A representação do conjunto dos irracionais é feita pela letra I maiúscula.

CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS

O conjunto dos números reais é uma expansão do conjunto dos números

racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas

também todos os números irracionais.

Os números reais são números usados para representar uma quantidade contínua

(incluindo o zero e os negativos). Pode-se pensar num número real como uma fração

decimal possivelmente infinita, como 3,141592(...). Os números reais têm uma

correspondência biunívoca com os pontos de uma reta.

O conjunto dos números reais é a união do conjunto dos racionais com os

irracionais.

R = Q U I

http://www.brasilescola.com/matematica/numeros-racionais.htm

http://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_racionais

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_racionais

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_inteiro

http://pt.wikipedia.org/wiki/Fra%C3%A7%C3%A3o

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_irracionais

http://pt.wikipedia.org/wiki/Zero

http://pt.wikipedia.org/wiki/Recta


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Sendo que Q ∩ I = , pois se um número é racional ele não é irracional e vice-versa.

Sabemos que N Z Q R

Além desses subconjuntos, o conjunto dos reais tem mais alguns importantes subconjuntos:

R* -------- Conjunto dos números reais não nulos.

R+ -------- Conjunto dos números reais positivos e o zero.

R*+ ------- Conjunto dos números reais positivos.

R - -------- Conjunto dos números reais negativos e o zero.

R*- -------- Conjunto dos números reais negativos menos o zero.

apostila de matemática; fatorial triangulo de pascal-binomio de newton

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