apostila de matemÁtica - impacto
TRANSCRIPT
Frente 1 Frente 2 Frente 3 Frente 4
4 16 26 34
18 28 366
10 20 28 38
12 22 30 40
14 24 32 40
Teoria dosConjuntos
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
PontoReta e Plano
Matriz: conceito, igualdade e operações
Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo
Perímetro e área de figuras planas
Matriz: operações e aplicações
Operaçõescom Conjuntos
ConjuntosNuméricos
Arcos - Ângulos e comprimento de arcos
Perímetro e área de figuras planas
Determinantes: conceito e resolução
NúmerosComplexos
Relações trigométricas fundamentais naCircunferência
Polígonos regularesno cotidiano
Sistemas Lineares (conceito e classificação)
Operações entreNúmeros Complexos
Relações trigométricas - IdentidadesTrigonométricas
Congruências e semelhanças de figuras planas
Sistemas Lineares (conceito e classificação)
Fich
a 1
Fich
a 2
Fich
a 3
Fich
a 4
Fich
a 5
4 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br
Intuitivamente, associamos à idéia de conjunto as de grupo, coleção ou clas-se e, à idéia de elemento, os objetos ou “coisas” que constituem o conjunto. Vamos aqui começar a visualizar esses elementos que constituem conjuntos,
observando situações que estão presentes em nosso dia-a-dia.
Teoria dos
CONJUNTOS2. Nomeando
1. Diagrama
O qUe é Um CONJUNTO?
n Representamos um conjunto por uma letra maiúscula e nomeamos seus elementos entre chaves.
Exemplo:
V= {a, e, i, o, u}
n Não existe uma definição de conjunto, mas existe uma idéia de que está associada à coleção de objetos, reunião ou grupo de pessoas,etc.
Como é que se representa um conjunto?Um conjunto pode ser representado de várias maneiras, entre as quais três são mais usuais:
Representamos um conjunto por diagramas (cur-vas fechadas) e no seu interior colocamos seus ele-mentos.
3. Propriedade característica
n Representamos um conjunto por meio de uma propriedade caracte-rística de seus elementos, sem no-meá-los
Exemplo:
V= {vogais do alfabeto}
ou
V= {x/x é vogal}
n A maneira de representar um conjunto não é importante. O que importa é que fique evidente o con-junto e os elementos que queremos representar.
n A propósito, entre um elemento x qualquer e um conjunto A qualquer existem duas e somente duas possi-bilidades de relacioná-los.
1ª PossibilidadeO elemento x é um dos elementos que constitui o conjunto A. Usando símbolos:
X ∈ A → X pertence a A
2ª PossibilidadeO elemento x não é um dos elemen-tos que constitui o conjunto A. Usan-do símbolos:
X ∉ A → X não pertence a A
Sendo o conjunto M:
podemos dizer que :
4 ∈ M
5 ∉ M
dó D
V
fásol
lá
ré
misí
Conjunto de carros
Conjunto de casas
Conjunto de árvores
Conjunto de pessoas
a
ue
o
i
n Um conjunto qualquer é forma-do por elementos. Da mesma for-ma que conjuntos, elementos são entes matemáticos primitivos, por-tanto sem definição.
4, 7, 9,11, 13
M
FrenteFicha
01
01
www.portalimpacto.com.br 5n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br
4. Conjunto vazio
5. Subconjunto1. Você viu que entre um elemento qualquer e um conjunto qualquer existem apenas duas possibilidades de relacioná-los. Analo-gamente, entre dois conjuntos quaisquer, também existem apenas duas maneiras de relacioná-los:2. Consideremos o conjunto B formado pelos membros da Seleção Brasileira de Futsal. Com os elementos de B, podemos for-mar o conjunto H, de todos jogadores da Seleção, e o conjunto M, de toda a comissão técnica. 3. Dizemos que os conjuntos H e M são Subconjuntos de B.4. Se um subconjunto T de pessoas possui como elemento pelo menos uma pessoa que não seja membro da Seleção Brasileira, dizemos que T não é subconjunto de B.
n Como representar um conjunto vazio, ou seja, um conjunto que não possui elementos?
∅ ou { }
Cuidado: {∅} ≠ ∅
n Um conjunto, embora seja associado a uma coleção de objetos, às vezes não possui elementos.n Observe aqui a quantidade de pessoas que estão dentro da piscina...
A B
U
6. Conjunto Universo
n O conjunto Universo de um estudo é aquele ao qual pertencem todos os elemen-tos desse estudo. Graficamente, o Universo será representado por um retângulo envol-vendo os outros conjuntos.
Indicamos esses fatos por:
H ⊂ B (lê-se: “H está contido em B”)M ⊂ B (lê-se: “M está contido em B”)
T ⊄ B (lê-se: “T não está contido em B”)
Propriedades importantes:P1. O conjunto vazio é subconjunto de qual-quer conjunto. P2. Todo conjunto é subconjunto de si mesmo.
A ⊂ B e B ⊂ A então A = B
+ +
6 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br
2. A = {a, b, c, d} B = {c, d, e, f}
Resp. A - B = {a, b}
3. A = {2, 4, 6, 8, 10} B = {2, 4, 6}
Resp. A - B = {8, 10}
D ados os conjuntos A e B, quais-quer, chama-se união ou reu-nião de A com B, ao conjunto
formado pelos elementos que perten-cem ao conjunto A ou ao conjunto B.Indica-se por A ∪ B e lê-se “A união B”
Operações com
C O N J U N TO S
Portanto:
Exemplos:
A ∪ B = {x / x ∈ A ou x ∈ B}
Utilizando diagramas temos:
Observe nos diagramas a seguir que, se B ⊂ A, então A ∪ B = A
Note nos diagramas como ficará a união de dois conjuntos disjuntos:
a) Sendo A = {0, 2, 4} e B = {0, 2, 6, 8}, então: A ∪ B = {0, 2, 4, 6, 8}
b) Sendo A = {0, 2} e B = {0, 2, 6, 8}, en-tão: A ∪ B = {0, 2, 6, 8}
c) Sendo A = {1, 3, 5} e B = {2, 4, 6}, en-tão: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Intersecção entre conjuntos
Diferença entre conjuntos
União entre conjutos
n Dados dois conjuntos A e B, chama-mos Diferença A – B ao conjunto forma-do pelos elementos de que pertencem a A e não pertencem a B.
A - B = { x / x ∈ A e x ∉B}
Os conjuntos A e B, vamos efetuar a di-ferença A - B. A região assinalada nos diagramas representa a diferença.
1. A = {1, 2, 3, 4} B = {7, 8, 9}
Resp. A - B = A
A B
AB
A
8 9
7
1 3
2
4B
A
a e
b f
B
c
d
A
8
6
42
10B
Intersecção n Dados dois conjuntos A e B chama-se Intersecção entre A e B ao conjunto formado pelos elementos comuns entre A e B, isto é, pelos elementos que per-tencem ao conjunto A e ao conjunto B.
A ∩ B = { x / x ∈ A e x ∈ B}
n Diagramas de Venn representativos da intersecção entre A e B:
A B
A B
A B
B A
Observação: Dois conjuntos são disjuntos quando não possuem ele-mentos comuns, isto é, A ∩ B = ∅.
FrenteFicha
01
02
www.portalimpacto.com.br 7n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br
4. A = {8, -8, 6, -6} B = Ø Resp. A - B = A
Complementar
Quando dois conjuntos A e B são tais que A ⊂ B, dá-se o nome de comple-mentar de A em B à diferença B – A. Observe o diagrama. A região assinala-da representa o complementar de A em B, que indicamos por
A ⊂ B ⇒ = B - A
Operações com intervalos
Considere os conjuntos A e B e analise cada uma das operações:
1. União ou reunião:
2. Interseção:
3. Diferença:
a
a
c
b
d
dA B
a
c
c
b
d
bA B
a
a
c
b
d
cA - B
+ +BA
A
- 8
- 8
6
6
Observação:
quando nos referimos ao complementar de um conjunto A em relação ao Universo U, utilizamos simplesmente o símbolo A’ ou A.
Intervalos
Podemos representar o conjunto dos números reais as-sociando cada número x ∈ R a um ponto de uma reta r. Assim, se convencionarmos uma origem O, associando a ela o zero, e adotarmos um sentido positivo para esta reta, teremos aquela que denominamos por Reta Real.
23-2 -1 20 1 2
p q p q
Intervalo fechado à direita
Números reais maiores que p e me-nores ou iguais a q.
Intervalo:] p, q] Conjunto: {x ∈ IR p < x ≤ q}
Intervalo fechado à esquerda
Números reais maiores ou iguais p e menores que q.
Intervalo: [p, q[Conjunto: {x ∈ IR p ≤ x < q}
p q p q
Exemplos:
1. A = {23, 24} B = {21, 22, 23, 24, 25} 2. A = {x / x é par positivo} B = {x / x é inteiro positivo}
= {1, 3, 5, 7, 9,...}
Chamamos de intervalo qualquer subconjunto contí-nuo de IR. Dados p e q reais (p < q), podemos definir os intervalos:
Intervalo fechado
Números reais maiores ou iguais a p ou menores ou iguais a q.
Intervalo: [p, q]Conjunto: {x ∈ IR p ≤ x ≤ q}
Intervalo aberto
Números reais maiores que p e me-nores que q.
Intervalo: ]p, q[Conjunto: {x ∈ IR p < x < q}
A∩B
8 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br
É toda relação estabelecida entre conjuntos. Para isso utilizaremos os símbolos de inclusão.
⊂ Está Contido⊄ Não Está Contido⊃ Contém⊃ Não Contém
Relação de
INCLUSÃO
Observação:
é importante não esquecer que a Relação de Inclusão só será utilizada para relacionar Conjunto com Conjunto.
Exemplo:
No exemplo dado temos:
Exemplo:
Contextualizando com a Geografia
Considerando os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5}, temos:
Então, observe que nesse caso, todos os elementos do conjunto A também pertencem ao conjunto B. Logo, dizemos que A está contido em B, ou A é subconjunto de B, ou A é parte de B.
Indicamos que A está contido em B da seguinte maneira: A ⊂ B.
Se A ⊂ B, podemos também dizer que B contém A e indicar: B ⊃ A.
Considerando os conjuntos A = {a, b, c} e B = {a, b, m, n}, obser-vamos que nem todos os elemen-tos de A pertencem a B.
Amazônia LegalAmazonas, Acre, Rondônia, Roraima, Amapá, Pará, Tocantins, maranhão e
mato Grosso
Região NorteAmazonas, Acre, Rondônia, Roraima,
Amapá, Pará, Tocantins
Nesse caso, dizemos que A não está contido em B e indica-mos: A ⊄ B.
Também podemos dizer que B não contém A e indicar: B ⊃ A
Todo conjunto é subconjunto de si mesmo, isto é: A ⊂ A. E o Conjunto Vazio é subconjunto de qualquer con-junto, isto é, Ø ⊂ A, qualquer que seja o conjunto A.
Conjuntos Iguais
Dados dois conjuntos quaisquer A e B, dizemos que A é igual a B, se, e somente se A ⊂ B e B ⊂ A, ou seja, quando possuem os mesmos elementos, independentemente da maneira que apareçam escritos no conjunto.
Notação:
A = B
Lê-se: o conjunto A é igual ao Conjunto B.
Conjuntos das partes de um conjunto
Consideremos o conjunto A = {3, 5, 7}, vamos formar todos os seus possíveis subconjuntos:
Sem elementos Ø conjunto vazio
Com um elemento {3}, {5}, {7}
Com dois elementos
{3, 5}, {3, 7}, {5,7}
Com três elementos {3, 5, 7}
Denominamos conjunto das par-tes de um conjunto A, não-vazio, ao conjunto P(A) formado por todos os subconjuntos do conjunto A.
P(A) = {Ø, {3}, {5}, {7}, {3, 5}, {3, 7}, {5, 7}, {3, 5, 7}}
B A.1 .2 .4
.5.3
FrenteFicha
01
2.1
www.portalimpacto.com.br 9n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br
+ +
Exemplos:
Operações com conjuntos
É importante observar que esses subconjuntos do conjun-to A são elementos do conjun-to P(A). Então é correto afirmar que {3} ∈P(A) e não {3} ⊂ P(A).
Observação:
O número de elementos do conjunto das partes de um conjunto de n elementos é dado por 2n. então:
n[P(A)] = 2n
1. Determine quantos elementos tem o conjunto das partes de A, sabendo que A tem 4 elementos.
Resolução:
n[P(A)] = 2n ⇒ n[P(A)] = 24
portanto n[P(A)] = 16 elementos
2. Determine o conjunto das par-tes do conjunto B = {1 , 3}.
Resolução: Não possua elementos ∅Possua um elemento {1}, {3}Possua dois elementos {1, 3}
P(B) = {∅, {1}, {3}, {1,3}}
3. Determine quantos elementos tem o conjunto das partes de B, sabendo que B tem 2 elementos.
Resolução:n[P(B)] = 2n ⇒ n[P(B)] = 22
portanto n[P(B)] = 4 elementos
Comentários:
Aplicações no dia-a-dia
n Vejamos então, como seria para se obter o número de elementos da união de dois conjuntos.
n Vamos imaginar então dois grupos de executivos de uma empresa, que chamaremos de “A” e “B”. Uma parte desses execu-tivos estão defendendo a proposta A, outra parte a proposta B e um número deles que acham que ambas as propostas são boas. O diagrama a seguir representa esta situação, na forma de dois conjuntos A e B, e a união A ∪ B pode ser representada pela figura toda.
Sérgio José Rita Ruy João Beto
10 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br
N úmero é um ente matemático utilizado para descrever quantidades ou medidas. Os números estão presentes em nosso dia-a-dia de maneira direta ou indireta. Nos jornais, revistas, televisão e até mesmo na música os números estão pre-sentes. É difícil imaginar um mundo sem números, pois se os números não existissem voltaríamos no tempo.
Neste Capítulo estudaremos a classificação dos números bem como os intervalos reais.
Conjuntos
NUméRICOS
COnjUnTO DOS núMEROS nATURAIS
COnjUnTO DOS núMEROS InTEIROS
COnjUnTO DOS núMEROS RACIOnAIS (Q)
É formado por números utilizados na contagem e ordenação de elementos.
n = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} N* = {1, 2, 3, 4, 5, ...} é o conjunto dos números naturais não-nulos.
É uma expansão do conjunto dos números naturais. Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...}
NPara excluir os números positivos de um conjunto utilizamos o símbolo – (menos) e para excluir os negativos, utilizamos o + (mais). Deste modo:Z* = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5,...} é o conjunto dos números inteiros não-nulos.Z+ = {0,1, 2, 3, 4, 5,...} é o conjunto dos números inteiros não-negativos.Z- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} é o conjunto dos números inteiros não-positivos.Z*
+ = {1, 2, 3, 4, 5,...} é o conjunto dos números inteiros positivos.Z*
- = {..., -5, -4, -3, -2, -1} é o conjunto dos números inteiros negativos.
É formado pelos números que possuem representação fracionária com numerador e denominador inteiros (denominador não-nulo).
De modo análogo ao proposto para o conjunto dos números inteiros, temos Q*, Q+, Q-, Q*+ e Q*
- Os números que apresentam representação fracionária e, portanto são números racionais são:
A) números inteirosTodo número inteiro possui representação fracionária, veja os exemplos:
a) 5 10 155
1 2 3 , portanto -5 ∈Q.
b) 0 0 0
01 2 3
, portanto 0 ∈Q.
c) 7 14 217
1 2 3 , portanto 7 ∈ Q.
z z
FrenteFicha
01
03
www.portalimpacto.com.br 11n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br
B) Frações próprias, impróprias e números mistosObserve os exemplos:
3 4 1a)
5 2 3, , 3 Q
C) números decimais exatosNúmero decimal exato é aquele que apresenta um número finito de casas (ordens) decimais. Observe os exemplos:
D) Dízimas periódicas simples e compostasDízimas são números decimais que apresentam infinitas casas (ordens) decimais. São chamadas periódicas quan-do, após a vírgula, apresentam repetição de um número infinitas vezes. Este número é chamado período. Observe alguns exemplos:
, portanto. Esta dízima é chamada periódi-
ca simples, pois imediatamente após a vírgula percebemos a presença do período 2.
, portanto. Esta dízima é chamada periódica
composta, pois após a vírgula percebemos a presença do número 3 (pré-período) antes do período 2.
COnjUnTO DOS núMEROS IRRACIOnAIS (R - Q) OU I.
COnjUnTO DOS núMEROS REAIS (R)
núMEROS COMPLEXOS (C)
a) 0,20 =
b) 1,35 =
, portanto 0,2 ∈ Q
, portanto 1,35 ∈ Q
=
=
210
135100
15
2720
a) 0,222... = 29
b) 0,322... = 2920
Números irracionais são as dízimas não-periódicas, isto é, são números decimais que apresentam infinitas casas deci-mais, porém não possuem período. São números que não resultam da divisão entre dois números inteiros.
Os números irracionais mais famosos são:a) O PI.π = 3,14159265358979323846264338322795...
b) O número de Euler. e = 2,78281828459045235360287471352
Podemos obter números irracionais extraindo raízes não-exatas como segue:c)
d)
Chama-se número real a qualquer número racional ou irracional. Deste modo podemos dizer que o conjunto dos números reais é a união entre o conjunto dos nú-meros racionais e o conjunto dos números irracionais. R = Q ∪ IDe modo análogo ao proposto para os conjuntos dos números racionais, temos R*, R+, R-, R
*+ e R*
- .
O conjunto dos números comple-xos é uma expansão do conjunto dos números reais e foi criado com o surgimento da unidade imaginá-
ria i cujo valor é -1. Esta unidade imaginária solucionou problemas como o cálculo de raízes quadra-das de números negativos, veja: -9 = 9 . (-1) = 9 . -1 = 3.i
2 = 1,4142135623730950488016887242097...
2 = 1,7099759466766969893531088725439...3
Q
R Z n R - Q
ORIgEM DOS núMEROS COMPLEXOS
Os números complexos apareceram no século XVI ao longo das descobertas de procedimen-tos gerais para resolução de equações algébri-cas de terceiro e quarto grau.
+ +
12 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br
Números
COmPLeXOS
Nenhum número multiplicado por si mesmo pode dar um número negativo. Assim, a raiz quadrada de um núme-ro negativo é uma operação impossível. Como lidar com esses números, já que não existem? Cardano em 1539 deparou-se com eles ao tentar resolver equações algébricas. Apareceram como raízes de equações e por isso foram chamados de números. Cardano resolveu o impasse lidando com eles como se fossem números reais. mas quem
desvendou o mistério foi Gauss, criando uma unidade imaginária i cujo quadrado seria -1 e dando aos números uma estrutura algébrica. Como resultado dessa descoberta fundamental os números complexos preencheram todos os vazios. Tornaram-se os números por excelência, contendo em si todos os demais. os números “escondem” as suas identidades, somente revelando o que realmente são, quando utilizados. Quer dizer, o exato significado de um número depende do contexto em que está inserido.
1. INTRODUÇÃO
Resolva, em C, a equação do 2º grau.
UNIDADe ImAGINÁRIA (i)
2
2
2
a 1x 4x 5 0 b 4
c 5
b 4.a.c4.1.5( 4)
16 204
=− + = = −
=
∆ = −−
∆ = −
bx2a
( 4) 4x2.1
4 4x2
=
=
± −=
− − ± −
O conjunto dos números complexos é formado por todos os números da forma z = a + b . i, veja:
C = {z | z = a + bi}, com a, b ∈ R e
Onde:a é a parte real de
z → a = Re(z)
b é a parte imaginária de
z → b = Im(z)
exemplo:
1. Identifique a parte real e a imaginária de cada número complexo a seguir:
a) z1 = -3 + 2i é chamado imaginário
Solução:a) = Re(z1) = -3b) = Im (z1) = 2
b) z3 = 7i é chamado imaginário puro
Solução:a) = Re(z3) = 0b) = Im (z3) = 7
c) z4 = 5 é chamado real
Solução:a) = Re(z4) = 5b) = Im (z4) = 0
O número i é chamado unidade imaginária e:
2i =
Cálculo de
-1 ou i = -1
-4
-4 = 4 . (-1) = 4 . -1 = 2 . i
4 2ix2
2.(2 i)x2
x 2 i V {2 i, 2 i}
±=
±=
= ± ⇒ = + −
i 1= −
2. CONJUNTO DOS COmPLeXOS
Observações:
a) se b = 0, então z é realb) se b ≠ 0 , então z é imaginárioc) se a = 0 e b ≠ 0, então z é imaginário
purod) todo número real é um complexo em
que b = 0, portanto R ⊂ C .e) dizemos que a + bi é a forma algébri-
ca do número complexo zf) podemos representar um número
complexo z = a + bi, pelo par ordena-do z = (a, b) , veja:
z1 = 3 - 2i → z1 = (3, -2)
z2 = 5i → z2 = (0, 5)
z3 = 4 → z3 = (4, 0)
+ +
FrenteFicha
01
04
www.portalimpacto.com.br 13n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br
Dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, são iguais se, e somente se, suas partes reais e imaginárias são iguais respectivamente.
exemplo:Determine os valores de x e y em cada caso, de modo que os números complexos z = 3x +yi e w = 9 - 4i sejam iguais.
Solução:
Portanto para que se tenha a igualdade proposta devemos ter x = 3 .
1 2z z a c e b da bi c di
= = =+ = +
3x 9 e y 49x3
x 3
=
=
= = −
Dado um número complexo z = a + bi, chama-se conjugado de z, ao complexo
exemplo:Determine o conjugado de cada número complexo a seguir:
a) z1 - 5 + 2i b)
Solução: Solução:
Observação: um complexo e seu conjugado possuem partes imaginárias simétricas
z a bi= −
34z i3
=
1z 5 2i3
4z i
3
5.1 Multiplicação de um Real por um Complexo5.2 Adição entre Complexos5.3 Subtração entre Complexos5.4 Multiplicação entre Complexos
exemplo:Dados os complexos z1 = 1 - 2i e z2 = -4 + i, determine:
a) 3 . z1 b) - 2 . z2
Solução: Solução:3. z1 = 3 . (1 - 2i) = 3 - 6i -2. z2 = -2 . (-4 + i) = 8 - 2i
Observações:
a) Dado um número complexo z = a + bi, chama-se OPOSTO de z ao complexo -z = -a - bi.
exemplo:a) z1 + z2Dados os complexos z1 = 4 - 6i, z2 = 2 + 3i, z3 = -5 + i e z4 = 7i, determine:
Solução: z1 + z2 = 4 - 6i + 2 + 3i = 6 - 3i b) z1 - z2
Solução: z1 - z2 = 4 - 6i - (2 + 3i) = 4 - 6i - 2 - 3i = 2 - 9i c) z1 . z2
Solução:z1 . z2 = (4 - 6i) . (2 + 3i) = 8 + 12i - 12i - 18i2 = 8 + 18z1 . z2 = 26
A trigometria e os números complexos
É mais fácil trabalhar com uma função exponencial do que com um cosseno. Então o truque todo é representar nos-sas funções oscilatórias como a parte real de certas funções complexas. Ago-ra uma força assim, F = F0 - cosωt, pode ser escrita como a parte real de um nú-mero complexo F = F0eiωt, pois eiωt = cosωt + isenωt
3. IGUALDADe eNTRe COmPLeXOS
4. CONJUGADO De Um COmPLeXO
5. OPeRAÇõeS eNTRe COmPLeXOS + +
14 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br
Operações entre números
COmPLeXOSDIvISÃO eNTRe COmPLeXOS
n Para efetuar a divisão por um número complexo multiplicamos o numerador (dividendo) e o denomi-nador (divisor) pelo conjugado do denominador.
Observação:a) O produto entre o complexo z = a + bi e seu conju-
gado é igual ao real a2 + b2.
Se z = 2 + 3i, então
exemplo:n Dados os complexos:z1 = 4 – 6i, z2 = 2 + 3i e z3 = 3 + i, determine:
a)
Solução:
b)
Solução:
POTêNCIAS De in Veja algumas potências de i:
n Por isto podemos afirmar que para n ≥ 4 tem-se in = ir, onde r é o resto da divisão de n por 4.
exemplo:n Calcule as seguintes potências de i:
a) i91
Solução:i91 = i3 = -i
z a bi= -
1
2
zz
2z3z
91 4 -3- 22
O primeiro a constatar a natureza estranha desses números foi Girolamo Car-dano, (1501-1576), Cardano publicou um tratado de ál-gebra intitulado Ars Magna, onde apresentou exemplos de números complexos que chamou de “ficticios”.
A representação geométri-ca dos números complexos foi proposta por vários au-tores, sendo o mais cita-do Jean Robert Argand, guarda-livros suíço, que a descreveu em 1806
Um pouco de História+ +
FrenteFicha
01
05
www.portalimpacto.com.br 15n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br
RePReSeNTAÇÃO GRÁFICA De COmPLeXOS
n Seja o número complexo z = a + bi escrito na forma de par ordenado z = (a, b). Podemos representar z graficamente no chamado PLANO De ARGAND-GAUSS, como segue:
Onde:XOY é o Plano de Argand-GaussOX é o eixo RealOY é o eixo ImaginárioO ponto P é denominado Afixo ou Imagem
GeOméTRICA De z
n A distância de O até P é chamado Módulo de z indicado por |z|
n O ângulo θ é chamado Argumento ou Direção de z indicado por arg(z)
móDULO De Um COmPLeXO
n O módulo de um número complexo z = a + bi, é
dado por .
exemplo:
n Calcule o módulo de cada complexo a seguir:a) Z1 = 4 + 3i Solução:
b) Z3 = -4 - i
Solução:
Observações:
a) O módulo de um número complexo é o “tamanho” da “seta” que o representa graficamente.
b) O módulo de um número complexo é sempre um número real positivo.
2 24 3 16 9 25 5
Mas foi somente em 1831 que o grande matemáti-co alemão Carl Friedrich Gauss, (1777-1855), expôs a teoria completa relativa a esses números. Por isso, o plano complexo é muitas vezes chamado de plano Argand-Gauss.
2 24 3
+ +
16 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br
Relações métricas no triângulo
ReTÂNGULO1. TRIÂNGULO ReTÂNGULO
2. ReLAÇõeS méTRICAS NO TRIÂNGULO ReTÂNGULO
eXemPLO (1)
n É aquele que possui um ângulo reto (90º). Dizemos que o triângulo a seguir é retângulo em A, veja:
BC
c
A
b
m n
a
h
Onde:
a é a hipotenusa (maior lado);b e c são os catetos (formam o ângulo reto);h é a altura relativa à hipotenusa;m é a projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa;n é a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa.
n No triângulo retângulo ABC são válidas as seguintes relações métricas (entre as medidas mencionadas acima):
ReLAÇÃO 01 - Teorema de Pitágoras: O quadrado da hipo-tenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
a2 = b2 + c2
ReLAÇÃO 02 - O produto entre a hipotenusa e a altura rela-tiva à hipotenusa é igual ao produto entre os catetos.
a . h = b . c
ReLAÇÃO 03 - O quadrado de um cateto é igual ao produto entre a hipotenusa e a projeção ortogonal do
cateto sobre a hipotenusa.
b2 = a . m c2 = a . n
ReLAÇÃO 04 - O quadrado da altura relativa à hipotenu-sa é igual ao produto entre as projeções ortogonais dos catetos.
h2 = m . n ReLAÇÃO 05 - A hipotenusa é igual à soma das projeções ortogonais dos catetos.
a = m + n
1. Determine as medidas a, h, m e n no triângulo retân-gulo ABC a seguir:
ReSOLUÇÃO:
BC
4
A
3
a
h
n No triângulo retângulo ABC a seguir, calcule a me-diada da projeção ortogonal do cateto AC sobre a hipo-tenusa.
eXemPLO (2)
CB
A
3
H5
12
FrenteFicha
02
01
www.portalimpacto.com.br 17n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br
Onde:
a é a hipotenusa (maior lado);b e c são os catetos (formam o ângulo reto);B e C são ângulos agudos complementares, isto é, B + C = 90º;
3. PROPRIeDADeS
1. TRIÂNGULO ReTÂNGULO
2. RAzõeS TRIGONOméTRICAS NO TRIÂNGULO ReTÂNGULO
n É aquele que possui um ângulo reto (90º). Dizemos que o triângulo a seguir é retângulo em A, veja:
n No triângulo retângulo ABC são válidas as seguintes relações trigonométricas (entre os elementos menciona-das acima):
RAzÃO 01 - Seno do ângulo B: é a razão entre o cateto oposto ao ângulo B e a hipotenusa.
RAzÃO 02 - Cosseno do ângulo B: é a razão entre o cateto adjacente ao ângulo B e a hipotenusa.
RAzÃO 03 - Tangente do ângulo B: é a razão entre o cate-to oposto e o cateto adjacente ao ângulo B.
De modo análogo podemos definir as razões seno, cosseno e tangente do ângulo agudo C.
CA
B
a
b
c
n Observe os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos agudos B:
Para dois ângulos complementares B e C são válidas as seguintes pro-priedades:
Propriedade 01: O seno de um ângulo é igual ao cosseno de seu com-plementar.
senB = cos C ou sen C = cos B
Propriedade 02: A tangente de um ângulo é igual ao inverso da tan-gente de seu complementar.
n Os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos 30º, 45º e 60º são mostrados na tabela a seguir:
4. TABeLA
5. eXemPLO (3)
(UEPA) O mastro CD de um navio é preso verticalmente por cabos de aço fixo na proa (A) e na popa (B), conforme mostra a figura
a seguir. Se o cabo BC mede 10 3 m então,
a altura do mastro é:
AB
C
30ºD
18 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br
Resolução do exemplo 01.De acordo com a lei dos senos,
Dessa forma:
Relações trigonométricas no triângulo
ReTÂNGULOA LeI DOS SeNOS e DOS COSSeNOS
n As leis (Lei dos senos e Lei dos cossenos) constituem-se numa importante ferramenta matemática para o cálculo de me-didas de lados e ângulos de triângulos quaisquer, isto é, de triângulos de “forma” arbitrária.
Lei dos senos
n Para utilizarmos a lei dos senos no cálculo da medida de um ou dois lados de um triangulo, precisamos conhecer pelo me-nos um dos lados e o valor dos senos dos ângulos opostos aos lados desconhecidos.
Vejamos: Dado o triangulo qualquer ABC abaixo,
A
c
a
b
A
C
B
B
C
30º
45º6
a
Pela lei dos senos, temos:
a
sen A
b
sen B
c
sen C= =
A igualdade das razões entre cada um dos lados de um triângulo e o seno do respectivo ângulo oposto é chamada de lei dos senos.
exemplo 1No triangulo abaixo determinar a medida do lado a do triangulo abaixo.
FrenteFicha
02
02
www.portalimpacto.com.br 19n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br
LeI DOS COSSeNOS
A
C
B
b
c
aA
C
B
n Para utilizarmos a lei dos cossenos no cálculo da medida de um lado de um triangulo, precisamos conhecer pelo menos o cosseno de um dos ângulos e o valor de dois dos lados do triangulo.
Vejamos: n Dado o triangulo qualquer ABC abaixo,
n Pela lei dos cossenos, temos:
ACos.c.b.2cba 222 −+=
Ou ainda:
Dependendo das informações contidas em uma situação problema, poderemos montar uma das 3 relações para utilizar.
A Lei dos cossenos e as medições
“Um determinado engenheiro precisa fazer a medi-ções de um terreno ou de ruas na forma triangular. Um dos lados mede 40 metros, outro mede 50 me-tros e o ângulo formado por este dois lados é de 60°. Para encontrar o valor do terceiro lado é necessário fazer uma nova medição ou podemos simplesmente usar a lei dos cossenos.
ACos.c.b.2cba 222 −+=
CCos.b.a.2bac 222 −+=
+ +
50m
40m
60º
B A
C
x
20 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br
ARCOSÂngulos e comprimento de arcos
1. ARCOS e ÂNGULOS
2. UNIDADeS De meDIDA De ARCOS (e ÂNGULOS)
3. ÂNGULOS NOTÁveIS
n Observe a circunferência λ de centro O e raio R a seguir:
B
A
R
OR
sentido padrão
n As semi-retas OA e OB determinam o ângulo central α e o arco AB .n O ângulo central α é formado pelas semi-retas OA e OB e possui vértice no centro O da circunferência λ.n O arco AB é a parte da circunferência λ limitada pelos pontos A e B inclusive.n O ângulo central α e o arco AB possuem a mesma medida, isto é, med α = AB.Note que os arcos AB e BA são diferentes.
n Uma circunferência possui 360º e dividindo-a em 4 (quatro) partes iguais como mostram as figuras a seguir, temos:
A E
B
C
D
AB = 90º
B
C
D
A E
AC = 180º
A E
B
C
D
AD = 270º
A E
B
C
D
AE = 360º
n Outra unidade de medida de ar-cos e ângulos é o radiano cujo com-primento é igual ao de um raio da circunferência.
n Portanto, se o raio da circunferência mede 5 cm então o comprimento de um arco de 1 radiano é igual a 5 cm.n Uma circunferência possui aproximadamente 6,28 radianos (rad), pois é a quan-tidade de raios que podemos colocar na mesma, veja:
B
A
R
O R
1 radiano = 1 raio R
RR
R
R
R
0,28.R
1. circunferência = 6,28 rad1. circunferência = 2.3,14 rad1 circunferência = 2.π rad ou 1 circunferência = 360º,ou , ou ainda, e dividindo ambos os membros por 2, obtemos a relação de transformação de graus para radianos e vice-versa:
180 - π rad
Graus 0º 30º 45º 60º 90º
Radianos 0 rad
n Os ângulos a seguir são muito utilizados em trigonometria, por isto é muito útil conhecer suas respectivas medidas em radianos.
FrenteFicha
02
03
www.portalimpacto.com.br 21n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br
4. COmPRImeNTO De ARCO 5. COmPRImeNTO DA CIRCUNFeRêNCIA 6. ARCOS CôNGRUOS
7. CICLO TRIGONOméTRICO
n Seja uma circunferência λ de raio R e o arco AB determinado pelo ân-gulo central α. O comprimento l do arco AB pode ser calculado por:
n O comprimento C de uma circun-ferência λ de raio R equivale ao com-primento do arco AB determinado pelo ângulo central α = 360º = 2π rad
n Dois arcos α e β são côngru-os quando possuem as mesmas extremidades no ciclo trigono-métrico diferenciando-se apenas por um número k de voltas k ∈ N, isto é:
β = α + 360º . k
β = α + 2 . k . π
Esta é a expressão geral dos arcos côngruos.
n O ciclo trigonométrico é formado por uma circunferência de raio unitário R = 1 e um sistema de eixos ortogonais utili-zado para representar arcos AB
B
A
R
OR
C
A B
OR
l = α . Rx
Substituindo l = C e α = 2π rad em l = α . R, obtemos: C = 2.π . R
Onde:n l é o comprimento do arco deter-minado por ;n R é o raio da circunferência;n α é o ângulo central que deter-mina o arco;n O comprimento l e o raio R de-vem ter a mesma unidade.
Onde:n C é o comprimento da circunferência;n R é o raio da circunferência;n π ≅ 3,14,n O comprimento C e o raio R devem ter a mesma unidade.
Onde:n O ponto A é a origem de marcação dos arcos;n O sentido horário indica que o arco é negativo, assim como o anti-horário indica arcos positivos;n Os arcos podem apresentar mais de uma volta;n O ponto (extremidade) B dos arcos pode localizar-se em um eixo ou quadrante;
3045
60
150135
120
300º240315º225
330210
0º360
180
90
270
0 A
Dado um arco β qualquer, cha-ma-se primeira determinação positiva de β ao arco α côngruo de β que é maior que 0º (0 rad) e menor que 360º (2π rad).
Um pouco da história da Trigonometria.
O significado da palavra Trigonometria é a medida do triângulo. Dentre os principais precursores da Trigonometria na antiguidade destacam-se: Hiparco de Nicéia (por volta de 180 a 125 a.C. - pode ser considerado o pai da Trigonometria), Menelau de Alexandria (100 a.C.), e Ptolomeu (séc. II d.C.). Dentre todas as obras deixadas por esses gênios a mais influente, significativa e elegante foi sem dúvida a Syntaxis mathematica, uma obra composta de 13 livros escrita por Ptolomeu e que mais tarde ficou conhe-cida entre os árabes como o Almajesto
+ +
22 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br
n Para determinarmos o seno, cosseno e tangente de um arco x no ciclo trigonométrico é necessário conhecer os seguintes eixos:n O eixo dos senos é o eixo vertical que passa pelo centro O da circunferência trigonométrica e o eixo dos cossenos é o eixo horizontal que passa pelo mesmo ponto.n O eixo das tangentes também é vertical, porém passa pelo ponto A da circun-ferência, isto é, o eixo é tangente à circunferência no ponto A.
Onde:n x é um arco cuja origem é o ponto A e a extremidade é o ponto P;n A abscissa do ponto P é chamada cosseno de x e é indicada por cos x;n A ordenada do ponto P é chamada seno de x e é indicada por sen x;n Prolongando-se o segmento OP obtém-se a tangente de x, indicada por tgx.
Relações trigométricas fundamentais na
CIRCUNFeRêNCIA1. SeNO, COSSeNO e TANGeNTe De Um ARCO NO CICLO TRIGONOméTRICO
2. CRITéRIOS De POSITIvIDADe
x
A
1
1
P
– 1
– 1
tg
sen
coscos x
sen x
tg x
x
O
n Analisaremos os sinais do seno, cosseno e tangente de arcos nos quatro quadrantes do ciclo trigonométrico em busca de critérios de positividade.
x
A x
x
A
P
cos(–)
x
O
sen(+)
tg(–)
x
A
P
cos(–)x
O
sen(–)
tg(+)
x
A
P
cos(+)x
O
sen(–)
tg(–)
1º qUADRANTesen x > 0 (positivo)cos x > 0 (positivo)tg x > 0 (positiva)
3º qUADRANTesen x < 0 (negativo)cos x < 0 (negativo)tg x > 0 (positiva)
4º qUADRANTesen x < 0 (negativo)cos x > 0 (positivo)tg x < 0 (negativa)
2º qUADRANTesen x > 0 (positivo)cos x < 0 (negativo)tg x < 0 (negativa)
FrenteFicha
02
04
www.portalimpacto.com.br 23n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br
n essa análise pode ser resumida no seguinte esquema:
S
T
U
C
U: todos são positivos;S: o seno é positivo;T: a tangente é positiva;C: o cosseno é positivo.
grave a frase: USA SemPRe A TUA CABeÇA
x
A
1
1
P
– 1
– 1
tgsen
cos
cos 45º
sen 45º
tg 45º
x
O
0,7
2
�
0,7
2
�
1
20,7
2
20,7
2
exemplo:
Lembre-se que:
3. vALOReS mÁXImOS e mÍNImOS
n Seja x um arco qualquer.Os valores de seno e cosseno de x são no mínimo -1 e no máximo 1.
n A tangente de x pode assumir qualquer valor real, porém não existem as tangentes de 90º, 270º e seus côngruos.
tg x ∈ R90º
A
P
90º
O
tg
270º
A
P
270ºO
tg
90º
A
P
90º
O
tg
270º
A
P
270ºO
tg
A tangente de um arco x existe para todo x diferente de 90º, de 270º e de seus côngruos.em símbolos:
0º 90º 180º 270º 360ºsen 0 1 0 -1 0cos 1 0 -1 0 1
tg 0 não existe 0 não
existe 0
Observe a tabela de valores a seguir:
Trigonometria
A palavra Trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ân-gulos) e metron (medir). Daí vem seu significado mais amplo: medida dos Tri-ângulos, assim através do estudo da Trigonometria podemos calcular as medidas dos elementos do triângulo (lados e ângulos).Com o uso de triângulos semelhantes podemos calcular distâncias inacessíveis, como a altura de uma torre, a altura de uma pirâmide, distância entre duas ilhas, o raio da terra, largura de um rio, entre outras.
+ +
equador
N
S
P2
P1
∆λ
φ1
φ2
24 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br
FrenteFicha
02
05Relações trigométricas - Identidades
TRIGONOméTRICAS1. ReLAÇõeS TRIGONOméTRICAS.
2. ReLAÇÃO FUNDAmeNTAL DA TRIGONOmeTRIA
3. ReLAÇÃO AUXILIAR (1) 4. ReLAÇÃO AUXILIAR (2)
n A secante de um arco x (sec x) é o inverso do cosseno deste mesmo arco e vice-versa.
, com cos x ≠ 0
, com sec x ≠ 0
n A soma dos quadrados do seno e cosseno de um arco qualquer é igual a 1 (um).
sen2x + cos2 x = 1
n A soma entre o quadrado da cotangente de um arco x e a unidade é igual ao quadrado da cossecante do mesmo arco.
cotg2x + 1 = cossec2 x
n A soma entre o quadrado da tangente de um arco x e a unidade é igual ao quadrado da secante do mesmo arco.
tg2x + 1 = sec2x
n Dividindo Ambos os membros da relação fundamental da trigonometria sen2x + cos2x = 1 por cos2x, temos:
n Dividindo Ambos os membros da relação fundamental da trigonometria sen2x + cos2x = 1 por sen2x, temos:
n A cossecante de um arco x (cossec x) é o inverso do seno deste mesmo arco e vice-versa.
, com sen x ≠ 0
, com sec x ≠ 0
n A cotangente de um arco x (cotg x) é o inverso da tangente deste mesmo arco e vice-versa..
, com tg x ≠ 0
, com cot x ≠ 0
Observações:
a) A secante possui o mesmo sinal do cosseno;b) A cossecante possui o mesmo sinal do seno;c) A cotangente possui o mesmo sinal da tangente.
S
T
U
C
U: todos são positivos;S: o seno é positivo;T: a tangente é positiva;C: o cosseno é positivo.
grave a frase: USA SemPRe A TUA CABeÇA
x
– 1
cosx
senx 1
www.portalimpacto.com.br 25n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br
Observação: 5. IDeNTIDADeS TRIGONOméTRICAS
n A tangente de um arco x é igual a quociente entre o seno e o cosseno deste mesmo arco.
, com cosx ≠ 0
n A cotangente de um arco x é igual ao quociente entre o cosseno e o seno deste mesmo arco.
, com senx ≠ 0
exemplo:
(UNEB) Se x pertence ao intervalo
e tgx = 2 , então cosx vale:
a) d)
b) e)
c)
ReSOLUÇÃO:n Como x é um arco do primeiro qua-drante todas as razões trigonométri-cas são positivas.
n Calculamos o cosseno de x pela relação:
ALTeRNATIvA (D)
n Calculamos a secante de x pela Re-lação Auxiliar 1:
n Identidades Trigonométricas são igualdades envolvendo as razões trigonométri-cas, que são verificadas para todo arco x que podem ser atribuídos a tais razões:
exemplo:
(UCDB) Para todo x ∈ R tal que , k ∈ Z, expressão cos2x . tg2x + 1 é igual a:
a) d) 2 senx
b) 1 + cosx e) senx + cosx
c) 1
ReSOLUÇÃO:
Como tg2x + 1 = sec2x, temos: cos2x . tg2x + 1 = cos2x . sec2x = cos2x .
ALTeRNATIvA (C)
engenharia
Trigonometria é um instrumento potente de cálculo, que além de seu uso na Matemática, também é usado no estudo de fenômenos fí-sicos, eletricidade, Mecânica, Música, Topo-grafia, Engenharia entre outro.
+ +
26 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br
PONTOReta e Plano
1. NOÇõeS PRImITIvAS
2. POSIÇõeS ReLATIvAS eNTRe
3. ÂNGULOS eNTRe
n As noções primitivas em geometria são o ponto, a reta e o plano conhecidas intuitivamente.
n Duas retas
DUAS ReTAS
n Ângulo AOB cuja medida é α;n O ponto O é o vértice;n As semi-retas OA e OB são os lados;
ReTA e PLANO
DOIS PLANOS
n Ângulo Diedro ou Diedro é o ân-gulo formado entre dois planos como mostra a figura.
TeODOLITO
O teodolito é um instrumento óptico de medida utilizado na topografia e na agrimensura para realizar medidas de ângulos ver-ticais e horizontais
n Reta e plano
n Dois planos
plano
αA
ponto
r
reta
r s r ≡s rsA
Reta Contidano Plano
Reta Secanteao Pl ano
Reta Paralelaao Plano
AA
r r
B
Secantes ouConcorrente
Paralelos Coincidentes
r
r
s OA
B
A
r
+ +
Diedro
ângulo de elevação
posição do sol
Horizonte = 0º
Norte = 0º
ângulo horizontal
FrenteFicha
03
01
www.portalimpacto.com.br 27n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br
4. eSTUDO DOS ÂNGULOS
4.1. UNIDADe De meDIDA
n O grau é de uma circunferência.
Observações:a) Uma circunferência possui 360º;b) Um grau possui 60 minutos (60’);c) Um minuto possui 60 segundos (60’’).
4.2. TIPOS De ÂNGULOS.
4.3. BISSeTRIz De Um ÂNGULO
n É a semi-reta que divide o ângulo ao meio.
4.6. ÂNGULOS FORmADOS POR DUAS PARALeLAS COR-TADAS POR UmA TRANSveRSAL.
4.4. ÂNGULO OPOSTO PeLO véRTICe
n Dois ângulos são opostos pelo vértice (OPv) quando seus lados são semi-retas opostas.
4.5. CLASSIFICAÇÃO
n Ângulos complementares: dois ângulos α e β são comple-mentares se a soma entre eles é igual a 90º.
α + β = 90º
n Ângulos suplementares: dois ângulos α e β são sumple-mentares se a soma entre eles é igual a 180º.
α + β = 180º
Obs: Ângulos OPV possuem a mesma medida.
α = β
O transferidor é utiliza-do para medir ângulos.
1º = 60’1’ = 60’’1º = 3600’’
A semi-reta OM é a bissetriz do ângulo α
α e β são ân-gulos opostos pelo vértice.
Reto90º =
Agudo0º 90º< <
Obtuso90º 180º< <
Raso ou de Meia Volta180º =
Cheio ou de Uma Volta360º=
2
20
M
0
g
cdb
a
s
r
t
h
e f
r / /sn É a semi-reta que divide o ângulo ao meio.
n Ângulos correspon-dentes são aqueles que ocupam a mesma po-sição um em cada uma das paralelas.
n Ângulos cola-terais são aqueles que se localizam do mesmo lado da transversal.
n Ângulos alter-nos são aqueles que se localizam em lados diferen-tes da transversal. Possuem a mesma medida.
Ângulos Correspondentes(possuem a mesma medida)
a e eb e fc e gd e h
Ângulos Colaterais(são suplementares)
Internos
Externos
c e fd e ea e hb e g
Ângulos Alternos(possuem a mesmamedida)
Internos
Externos
e e cd e fa e gb e h
28 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br
PeRÍmeTROe área de figuras planas
1. PeRÍmeTRO
2. ÁReA De Um POLÍGONO
3. ReTÂNGULO
4. qUADRADO
6. TRIÂNGULOS CASOS eSPeCIAIS
5. TRIÂNGULO
7. TRIÂNGULO eqUILÁTeRO
n Perímetro de um polígono é a soma de seus lados.
n Área é o número real positivo que representa a superfície ocupada pelo polígono.
n Paralelogramo
n O perímetro do contorno in-terno desta TV em que em sua largura temos 80 cm e em sua al-tura temos 60 cm é de 280 cm.
80cm
60cm
b
h A = b . h
b
h
A = b . h
P = 2 . (b + h)
A = l2
P = 4 . l
l
l
ll
b
h
l
l
l
A = p . (p - a) . (p - b) . (p - c)
a
c
b
A =b . h
2
Onde p =a + b + c
2
A =b . c . senα
2
c
α
b
Onde A =l2 . 3
4
P = 3 . l
FrenteFicha
0302-03
www.portalimpacto.com.br 29n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br
Aplicações no Caderno de Exercícios
A = π . (R2 - r2)
8. LOSANGO 9. TRAPézIO
10. CÍRCULO
Dd
OR
A = π . R2
onde π = 3,14
C = 2. π . Ronde π = 3,14
A = (B + b) . h2
b
B
hA = D . d2
11. SeTOR CIRCULAR
SeTOR CIRCULAR
αR l
A = α . π . R2
360ºα em graus
onde l é o comprimento
do arcoA = l . R
2
Or
R
Perímetro do pescoço é mais preciso que ImC para detectar
obesidade, diz pesquisa.
A medida do perímetro do pescoço está ajudando médicos a prever risco de obesidade, apneia do sono e hipertensão tanto em adultos quanto em crianças. Um trabalho publicado na re-vista “Pediatrics” comprovou a ligação entre um pescoço mais largo e ocorrência de complicações por excesso de peso. Os médicos argumentam que a medida do pescoço é mais precisa que o conhecido Índice de Massa Corporal (IMC), usa-do para classificar peso normal, sobrepeso e obesidade
+ +
30 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br
POLÍGONOSregulares no cotidiano
1. POLÍGONOS
2. POLÍGONOS ReGULAReS e NOmeNCLATURA
5. POLÍGONO ReGULAR INSCRITO
3. SOMA DOS ângULOS InTERnOS
4. ângULO InTERnO
n É mais comum do que se imagi-na encontramos polígonos regula-res no cotidiano, por exemplo:
n É todo polígono que possui lados e ângulos congruentes entre si. O nome de um polígono regular será dado de acor-do com seu número de lados.
n Todo polígono regular é inscritível, isto é, pode ser inscrito em uma circunferência. Na figura a seguir temos um triangulo, um quadrado e um hexágono regular de lado l inscrito em uma circunferência de raio R. Observe que a circunferência passa por to-dos os vértices do polígono.
n A soma dos ângulos internos de um po-lígono regular de n lados é dada por:
Si = (n − 2).180º
n A medida de um ângulo interno de um polígono regular de n lados é dada por:
As abelhas utilizam-se do he-xágono regular nas colméias.
Alguns modelos de bolas de futebol também apresen-tam figuras base-adas em polígo-nos regulares.
Triângulo equiláteron = 3
Quadradon = 4
Pentágono Regularn = 5
Exágono Regularn = 6
Heptágono Regularn = 7
Octógono Regularn = 8
Eneágono Regularn = 9
Decágono Regularn = 10
Undecágono Regularn = 11
Dodecágono Regularn = 12
Pentadecágono Regularn = 15
Icoságono Regularn = 20
Ai = =Si
n(n - 2) . 180º
n
FrenteFicha
03
04
www.portalimpacto.com.br 31n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br
4. POLÍGONO ReGULAR CIRCUNSCRITO
n Polígono circunscrito a uma circunferência é o que possui seus lados tangentes à circunferência. Ao mesmo tempo, dizemos que esta circunferência está inscrita no polígono.
+ + Polígonos na vida cotidiana
Andando pelas ruas de qualquer cidade do mundo podemos ver uma grande quantidade de formas que nos lembram os polígonos; uma placa de trânsito, um semáforo ou uma faixa de pedestres. Também em casa vemos numerosas formas poligonais nos objetos que nos cercam: nos móveis, nos utensílios de cozinha, nos pisos, nos formatos dos azulejos.
32 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br
CONGRUêNCIAS e semelhanças de figuras planas
1. SemeLHANÇAS
2. PROPRIeDADeS 3. CONGRUêNCIA
n Dois polígonos são semelhantes quando tem os ângulos internos correspondentes de mesma medida e os lados correspondentes proporcionais.
n A razão entre os perímetros de dois polígonos semelhantes é igual à constante de proporciona-lidade k.
n Dois polígonos semelhantes são ditos congruentes quando a constante de proporcionalidade é igual a 1 (k = 1) , isto é, seus ângulos e lados corres-pondentes são congruentes.
n Se os polígonos ABCD e A’B’C’D’ são congruentes, escrevemos:
ABCD ≡ A’B’D’C’.
n Os ângulos correspondentes são congruentes:
A ≡ A’ , B ≡ B’ , C ≡ C’ e D ≡ D’
n Os lados correspondentes são congruentes:
AB ≡ A ‘B’ , BC ≡ B’C’ , CD ≡ C’D’ e DA ≡ D’ A ‘
n A razão entre as áreas de dois polígonos semelhantes é igual ao quadrado da constante de propor-cionalidade k.
ABCD ~ A’B’D’C’ (lê-se “polígonos ABCD é semelhante ao polígono A’B’D’C’ “)
n Os ângulos correspondentes são congruentes:
A ≡ A’ , B ≡ B’ , C ≡ C’ e D ≡ D’
n Os lados correspondentes são proporcionais:
Onde k é uma constante de proporcionalidade chamada de razão de semelhança.
A
B
CD
A
B
CD
A’
B’
C’D’
A’
B’
C’D’
k= == =ABA’B’
BCB’C’
CDC’D’
DAD’A’
k==AB + BC + CD + DA
A’B’ + B’C’+ C’D’ +D’A’PP’
k2=ÁReAÁReA’
FrenteFicha
03
05
www.portalimpacto.com.br 33n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br
+ +
Igual ao originalNa produção de um filme, na gravação de uma novela ou até mesmo na hora de fotografar, captura-se uma imagem seme-lhante à do ambiente natura.
34 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br
mATRIzConceito, igualdade e operações
eSTUDO De mATRIzeSESTUDO DE MATRIZES
Matriz Quadrada: ■ É toda matriz, onde o número de linhas é igual ao número de colunas. Exemplo:
A = 2x2
2102
matriz quadrada de ordem 2.
B =
3x3247086351
matriz quadrada de ordem 3.
Em uma matriz quadrada de ordem n, os elementos aij, onde i = j formam a diagonal principal e os elementos aij, onde i + j = n + 1 formam a diagonal secundária.
A =
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaaaaaaaaaaaaaa
Obs.: Diagonal principal: a11, a22, a33, a44 i = j Diagonal secundária: a14, a23, a32, a41 i + j = 4
+ 1 Traço de uma matriz: é a soma dos elementos
da diagonal principal. Matriz Diagonal ■ É toda matriz quadrada A = (aij)n x m, onde aij = 0 para todo i j. Exemplo:
A =
4x45000030000100002
B =
3x3300020000
Matriz Escalar ■ É toda matriz diagonal onde os elementos da diagonal principal são iguais. Exemplo:
A =
3x3200020002
B =
3x3000000000
Matriz Identidade: ■ É toda matriz escalar, onde os elementos da diagonal principal são iguais a 1.
In =
nxn1...000
0...1000...0100...001
Matriz Linha: ■ É toda matriz da forma A = (aij)1 x n, onde A = (a11 a12 a13 ... a1n)1 x n Exemplo: A = (2 1 4)1 x 3 Matriz Coluna: ■ São matrizes que apresentam uma coluna, onde A = (aij)n x 1. Exemplo:
1xn1n
21
11
a
aa
A
1x46542
B
Diagonal principal Diagonal secundária
FrenteFicha
04
01
www.portalimpacto.com.br 35n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br
OPeRAÇõeS COm mATRIzeS+ +
Matriz Nula: ■ São matrizes onde todos os seus elementos são iguais a zero.
nxm0...000
0...0000...0000...000
A
Matriz simétrica: São matrizes quadradas onde cada elemento aij = aji. Exemplo:
A =
3x3236354642
B =
3x3726235651
Matriz Anti-simétrica: ■ São matrizes quadradas onde aij = - aji. Exemplo:
A = 053502
320
Matriz Transposta: ■ Seja uma matriz A = (aij)p x q, chama-se transposta de A e representa-se por At, a matriz At = (aij)q x p, que se obtém trocando linhas por colunas. Exemplo:
A = 4x2
t
2x4
41310242
A
4012
3412
B =
3x4
t
4x3 1094935121803
B10918
93204513
OPERAÇÕES COM MATRIZES ADIÇÃO:
A NOKIA fabricante de aparelhos celulares, pesquisou dois modelos vendidos nos três primeiros meses do ano, pela Amazônia Celular e Vivo, os resultados obtidos foram os seguintes:
A = 3x2
503545402030
e B = 3x2
483540451535
A matriz A descreve o desempenho da Amazônia
Celular onde cada elemento aij é o número de unidades vendidas, sendo i o modelo e j o mês.
A matriz B, mostra o desempenho da Vivo, sendo bij o número de unidades vendidas, sendo i o modelo e j o mês.
O desempenho de vendas das duas lojas pode ser representado por uma matriz C2x3, no qual cada elemento cij é igual a soma de seus elementos correspondentes.
C = 503545402030
+483540451535
C = 987085853565
485035354045454015203530
Definição: Dada uma matriz A = (aij)n x m e B = (bij)n x m, chama-se soma de A + B, a matriz C = (cij)n x m, tal que: cij = aij + bij . Exemplo: 1. Dada as matrizes
A =
2x3124012
e B =
2x3012413
, determine a
matriz C, tal que C = A + B.
C = 124012
+ 012413
= 011224401132
C =
2x3116425
Matriz Nula: ■ São matrizes onde todos os seus elementos são iguais a zero.
nxm0...000
0...0000...0000...000
A
Matriz simétrica: São matrizes quadradas onde cada elemento aij = aji. Exemplo:
A =
3x3236354642
B =
3x3726235651
Matriz Anti-simétrica: ■ São matrizes quadradas onde aij = - aji. Exemplo:
A = 053502
320
Matriz Transposta: ■ Seja uma matriz A = (aij)p x q, chama-se transposta de A e representa-se por At, a matriz At = (aij)q x p, que se obtém trocando linhas por colunas. Exemplo:
A = 4x2
t
2x4
41310242
A
4012
3412
B =
3x4
t
4x3 1094935121803
B10918
93204513
OPERAÇÕES COM MATRIZES ADIÇÃO:
A NOKIA fabricante de aparelhos celulares, pesquisou dois modelos vendidos nos três primeiros meses do ano, pela Amazônia Celular e Vivo, os resultados obtidos foram os seguintes:
A = 3x2
503545402030
e B = 3x2
483540451535
A matriz A descreve o desempenho da Amazônia
Celular onde cada elemento aij é o número de unidades vendidas, sendo i o modelo e j o mês.
A matriz B, mostra o desempenho da Vivo, sendo bij o número de unidades vendidas, sendo i o modelo e j o mês.
O desempenho de vendas das duas lojas pode ser representado por uma matriz C2x3, no qual cada elemento cij é igual a soma de seus elementos correspondentes.
C = 503545402030
+483540451535
C = 987085853565
485035354045454015203530
Definição: Dada uma matriz A = (aij)n x m e B = (bij)n x m, chama-se soma de A + B, a matriz C = (cij)n x m, tal que: cij = aij + bij . Exemplo: 1. Dada as matrizes
A =
2x3124012
e B =
2x3012413
, determine a
matriz C, tal que C = A + B.
C = 124012
+ 012413
= 011224401132
C =
2x3116425
n ADIÇÃO
36 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br
mATRIzOperações e aplicações
PROPRIeDADeS DA ADIÇÃO DA mATRIz
SUBTRAÇÃO
mULTIPLICAÇÃO De Um NúmeRO POR UmA mATRIz
Propriedades da adição da Matriz ■ Considere as matrizes A, B e C de mesma ordem, então são válidas as propriedades a seguir: Comutativa: A + B = B + A Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) Elemento Neutro: A + 0 = 0 + A = A, onde 0 é a matriz nula do mesmo tipo da matriz A. Elemento Oposto: para toda matriz A existe a matriz A' tal que A + A' = A' + A = 0, onde 0 é a matriz nula
do mesmo tipo de A e A'. Obs.: a oposta de A, indicaremos por (-A), tal que A' = (-A).
A =
3x33x3354130412
A354130412
Subtração ■ Para analisar a subtração de matrizes, basta tomarmos como exemplo, as matrizes que utilizamos como exemplo na adição.
A =
3x2503545402030 e B =
3x2483540451535 .
A – B = A + (–B), onde (–B) oposta de B. Solução:
■ Podemos observar que a marca 1 o melhor desempenho foi da Vivo, já a marca 2 o melhor desempenho foi da Amazônia Celular. ■ Definição: A diferença entre duas matrizes de mesma ordem é dada pela soma da primeira com a oposta da segunda, ou seja, A - B = A + (-B). Multiplicação de um número por uma Matriz ■ A multiplicação de um número k por uma matriz A = (aij)m x n é uma matriz B = k . A e bij = k . aij. Exemplo:
1. dada a matriz A =
3x3412054312
, determine a matriz B = 3 . A.
B = 3 . 412054312
=
3x3123601512936
483540451535
503545402030
BA
205555
485035354045454015203530
BA
Propriedades da adição da Matriz ■ Considere as matrizes A, B e C de mesma ordem, então são válidas as propriedades a seguir: Comutativa: A + B = B + A Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) Elemento Neutro: A + 0 = 0 + A = A, onde 0 é a matriz nula do mesmo tipo da matriz A. Elemento Oposto: para toda matriz A existe a matriz A' tal que A + A' = A' + A = 0, onde 0 é a matriz nula
do mesmo tipo de A e A'. Obs.: a oposta de A, indicaremos por (-A), tal que A' = (-A).
A =
3x33x3354130412
A354130412
Subtração ■ Para analisar a subtração de matrizes, basta tomarmos como exemplo, as matrizes que utilizamos como exemplo na adição.
A =
3x2503545402030 e B =
3x2483540451535 .
A – B = A + (–B), onde (–B) oposta de B. Solução:
■ Podemos observar que a marca 1 o melhor desempenho foi da Vivo, já a marca 2 o melhor desempenho foi da Amazônia Celular. ■ Definição: A diferença entre duas matrizes de mesma ordem é dada pela soma da primeira com a oposta da segunda, ou seja, A - B = A + (-B). Multiplicação de um número por uma Matriz ■ A multiplicação de um número k por uma matriz A = (aij)m x n é uma matriz B = k . A e bij = k . aij. Exemplo:
1. dada a matriz A =
3x3412054312
, determine a matriz B = 3 . A.
B = 3 . 412054312
=
3x3123601512936
483540451535
503545402030
BA
205555
485035354045454015203530
BA
n Podemos observar que a marca 1 o melhor desem-penho foi da Vivo, já a marca 2 o melhor desempenho foi da Amazônia Celular.
■ Definição: A diferença entre duas matrizes de mes-ma ordem é dada pela soma da primeira com a oposta da segunda, ou seja, A - B = A + (-B).
Propriedades da adição da Matriz ■ Considere as matrizes A, B e C de mesma ordem, então são válidas as propriedades a seguir: Comutativa: A + B = B + A Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) Elemento Neutro: A + 0 = 0 + A = A, onde 0 é a matriz nula do mesmo tipo da matriz A. Elemento Oposto: para toda matriz A existe a matriz A' tal que A + A' = A' + A = 0, onde 0 é a matriz nula
do mesmo tipo de A e A'. Obs.: a oposta de A, indicaremos por (-A), tal que A' = (-A).
A =
3x33x3354130412
A354130412
Subtração ■ Para analisar a subtração de matrizes, basta tomarmos como exemplo, as matrizes que utilizamos como exemplo na adição.
A =
3x2503545402030 e B =
3x2483540451535 .
A – B = A + (–B), onde (–B) oposta de B. Solução:
■ Podemos observar que a marca 1 o melhor desempenho foi da Vivo, já a marca 2 o melhor desempenho foi da Amazônia Celular. ■ Definição: A diferença entre duas matrizes de mesma ordem é dada pela soma da primeira com a oposta da segunda, ou seja, A - B = A + (-B). Multiplicação de um número por uma Matriz ■ A multiplicação de um número k por uma matriz A = (aij)m x n é uma matriz B = k . A e bij = k . aij. Exemplo:
1. dada a matriz A =
3x3412054312
, determine a matriz B = 3 . A.
B = 3 . 412054312
=
3x3123601512936
483540451535
503545402030
BA
205555
485035354045454015203530
BA
FrenteFicha
04
02
www.portalimpacto.com.br 37n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br
Multiplicação de Matrizes
Para multiplicarmos duas matrizes é necessário que o número de colunas da primeira seja igual ao número de linhas da segunda. A ordem da matriz resultante é dada pelo número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda.
A = (aij)m x k C = A . B C = (cij)m x n B = (bij)k x n
Propriedades da Multiplicação de Matrizes Associativa: sendo A, B e C matrizes m x n, n x k e k x p, respectivamente, então: A.(B.C) = (A.B).C. Distributiva à direita: sendo A, B e C matrizes m x n, n x k e k x p, respectivamente, então: (A + B).C = A.C +
B.C. Distributiva à esquerda: sendo A, B e C matrizes m x n, n x k e k x p, respectivamente, então: A.(B.C) = A.B
+ A.C Sendo A e B matrizes m x n e n x k, respectivamente, então: (A.B)t = Bt . At
Obs.: A multiplicação de matrizes não obedece a propriedade comutativa, no entanto existem matrizes que são comutáveis. Matriz Inversa
Seja a matriz A quadrada de ordem n chama-se inversa de A e representa-se por A-1, a matriz que obedece a propriedade A . A-1 = A-1 . A = In, onde In é a matriz identidade. Exemplo:
Determine a inversa da matriz A = 2x243
12 .
Obs.: Quando uma matriz não admite inversa é chamada matriz singular.
mULTIPLICAÇÃO De mATRIzeS
PROPRIeDADeS DA mULTIPLICAÇÃO De mATRIzeS
mATRIz INveRSA
+ +
n Obs.: Quando uma matriz não admite inversa é cha-mada matriz singular.
Multiplicação de Matrizes
Para multiplicarmos duas matrizes é necessário que o número de colunas da primeira seja igual ao número de linhas da segunda. A ordem da matriz resultante é dada pelo número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda.
A = (aij)m x k C = A . B C = (cij)m x n B = (bij)k x n
Propriedades da Multiplicação de Matrizes Associativa: sendo A, B e C matrizes m x n, n x k e k x p, respectivamente, então: A.(B.C) = (A.B).C. Distributiva à direita: sendo A, B e C matrizes m x n, n x k e k x p, respectivamente, então: (A + B).C = A.C +
B.C. Distributiva à esquerda: sendo A, B e C matrizes m x n, n x k e k x p, respectivamente, então: A.(B.C) = A.B
+ A.C Sendo A e B matrizes m x n e n x k, respectivamente, então: (A.B)t = Bt . At
Obs.: A multiplicação de matrizes não obedece a propriedade comutativa, no entanto existem matrizes que são comutáveis. Matriz Inversa
Seja a matriz A quadrada de ordem n chama-se inversa de A e representa-se por A-1, a matriz que obedece a propriedade A . A-1 = A-1 . A = In, onde In é a matriz identidade. Exemplo:
Determine a inversa da matriz A = 2x243
12 .
Obs.: Quando uma matriz não admite inversa é chamada matriz singular.
Multiplicação de Matrizes
Para multiplicarmos duas matrizes é necessário que o número de colunas da primeira seja igual ao número de linhas da segunda. A ordem da matriz resultante é dada pelo número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda.
A = (aij)m x k C = A . B C = (cij)m x n B = (bij)k x n
Propriedades da Multiplicação de Matrizes Associativa: sendo A, B e C matrizes m x n, n x k e k x p, respectivamente, então: A.(B.C) = (A.B).C. Distributiva à direita: sendo A, B e C matrizes m x n, n x k e k x p, respectivamente, então: (A + B).C = A.C +
B.C. Distributiva à esquerda: sendo A, B e C matrizes m x n, n x k e k x p, respectivamente, então: A.(B.C) = A.B
+ A.C Sendo A e B matrizes m x n e n x k, respectivamente, então: (A.B)t = Bt . At
Obs.: A multiplicação de matrizes não obedece a propriedade comutativa, no entanto existem matrizes que são comutáveis. Matriz Inversa
Seja a matriz A quadrada de ordem n chama-se inversa de A e representa-se por A-1, a matriz que obedece a propriedade A . A-1 = A-1 . A = In, onde In é a matriz identidade. Exemplo:
Determine a inversa da matriz A = 2x243
12 .
Obs.: Quando uma matriz não admite inversa é chamada matriz singular.
Contribuições das matrizes para a educaçãon Na educação como um todo as matrizes também estão presentes. No que diz res-peito à organização da Escola elas se fazem presentes através de quadros compara-tivos de desempenho escolar, assim como tabelas que visam alcançar determinados objetivos pedagógicos.n As matrizes tornam-se material obrigatório de consulta e/ou instrumento de me-dição de desempenho da instituição escolar.n No contato cotidiano com a informática, o aluno também se confrontará com as matrizes, e daí a importância de incentivar o contato e o entendimento desta matéria, pois a informática faz parte da realidade do aluno na atualidade.
38 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br
DeTeRmINANTeSConceito e Resolução
DeTeRmINANTeS
DETERMINANTE É todo número gerado pela diferença entre o produto das diagonais.
nn3n2n1n
n3333231
n2232221
n1131211
a...aaa
a...aaaa...aaaa...aaa
A
CÁLCULO DOS DETERMINANTES
1º caso: Determinante de 1ª Ordem A = (a11) detA = a11
2º caso: Determinante de 2ª Ordem
2221
1211
aaaa
A
Regra de Crammer: O determinante de uma matriz quadrada de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.
det2221
1211
aaaa
A 21122211 aaaaAdet
3º caso: Determinante de 3ª Ordem Regra de Sarrus: Essa regra só é valida para determinantes de ordem 3.
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A
Menor Complementar: Chama-se menor complementar de uma matriz A de ordem n 2 de um elemento aij, ao valor ij, correspondente ao determinante da Matriz que se obtém eliminando a linha i e a coluna j onde se encontra o elemento aij.
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A
O menor complementar
3232
232211 aa
aa 11 = a22 . a32 - a23 . a32
2321
131132 aa
aa 11 = a11 . a23 - a13 . a21
Exemplo:
1. Dada a matriz 341
423312
A , calcule:
a) 4123
13 b) 34
3121
13 = 12 - ( -2) 21 = -3 - 12 13 = 14 21 = -15 Cofator ou complementar algébrico: Chama-se cofator do elemento aij de uma matriz A de ordem n 2, ao elemento Aij que se obtém multiplicando o fator (-1)i + j pelo menor complementar ij.
nn3n2n1n
n3333231
n2232221
n1131211
a...aaa
a...aaaa...aaaa...aaa
A
Aij = (-1)i + j . ij A11 = (-1)1 + 1 . 11 A23 = (-1)2 + 3 . 23
A11 = 11 A23 = - 23 Regra de Laplace: Seja uma matriz A de ordem n 2, o determinante da matriz A é dado pela soma do produto de uma de suas filas pelo seus respectivos cofatores.
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A
detA = a11 . A11 + a12 . A12 + a13 . A13 detA = a11.(-1)1+1. 11 + a12.(-1)1+2 . 12 + a13.(-1)1+3. 13 detA = a11 . 11 - a12 . 12 + a13 . 13
3331
232112
3332
232211 aa
aa.a
aaaa
.aAdet + 3231
222113 aa
aa.a
O Determinante de uma Matriz A pode ser denotado por detA.
FrenteFicha
04
03
www.portalimpacto.com.br 39n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br
Exemplo: 1. Calcule o determinante das matrizes abaixo:
a) 113241
231A
detA = a11 . A11 + a12 . A12 + a13 . A13 detA = a11.(-1)1+1. 11 + a12.(-1)1 + 2. 12 + a13.(-1)1 + 3 . 13 detA = a11 . 11 - a12 . 12 + a13 . 13
detA = 1.
1124 3.
1321 + 2.
1341
detA = 4 ( 2) 3.[1 ( 6)] + 2.(1 12) detA = 4 + 2 3.7 + 2.( 10) detA = 6 21 22 detA = 37
Propriedades de Determinantes: P1 - Se uma fila de uma matriz (linha ou coluna) for nula, então seu determinante é igual a zero.
0Adet112000431
A
Exemplo: Determine o valor de x na equação:
0
120463035101124x2 2
P2 - Se duas fileiras, horizontais ou verticais, de uma matriz forem iguais ou proporcionais, então seu determinante é nulo.
231142231
A
P3 - Permutando-se duas linhas ou duas colunas de uma matriz, o seu determinante muda de sinal.
3412
A
Permuta 1ª linha com a 2ª linha
1234
B
P4 - Se os elementos que estão acima e/ou abaixo da diagonal principal forem nulos, então o determinante é dado pelo produto dos elementos da diagonal principal.
2123040100320001
A
P5 - Fazendo a combinação linear de duas linhas ou duas colunas de uma matriz, seu determinante não altera.
4123
A
1ª linha menos a 2ª linha
4122
B
P6 - Multiplicando-se uma fila de uma matriz por uma constante, então o determinante dessa matriz fica multiplicado por essa constante.
8321
A
multiplicar a 1ª linha por 2:
8342
B
P7- Multiplicando-se uma Matriz quadrada por uma constante k, seu determinante obedece a seguinte relação: det(k.A) = kn . detA,
Amatrazdaordemntetanconsk
P8- detAt = detA P9- det(A.B) = detA . detB
P10- Adet1Adet 1 detA . detA 1 = 1
Obs.: Uma matriz só admite inversa, quando seu determinante for diferente de zero.
1ªL = 3ªL detA = 0
detA = 6 4 detA = 2
detB = 4 6 detB = 2 detB = detA
detA = 1 . 3 . 4 . 2 detA = 24
detA = 12 2 detA = 10
detB = 8 ( 2) detB = 10 detB = detA
detA = 8 6 detA = 2
detB = 16 12 detA = 4
PROPRIeDADeS DeTeRmINANTeS
+ +
40 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br
SISTemASLineares (conceito e classificação)
SISTemAS LINeAReS
EQUAÇÃO LINEAR É toda equação da forma a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b, onde x1 x2 ... xn Ex.: x + 2y + z 4w = 9 SISTEMA LINEAR É todo sistema formado por duas ou mais equações lineares.
mnmn33m22m11m
2nn2323222121
1nn1313212111
bxa...xaxaxa
bxa...xaxaxabxa...xaxaxa
Sistema Linear Quadrado: É quando o número de equações é igual ao número de variáveis.
nnnn33n22n11n
2nn2323222121
1nn1313212111
bxa...xaxaxa
bxa...xaxaxabxa...xaxaxa
Equação Matricial da Forma A.X = B A - matriz dos coeficientes X - matriz das variáveis B - matriz dos termos independentes
nn3n2n1n
n3333231
n2232221
n1131211
a...aaa
a...aaaa...aaaa...aaa
A
,
n
3
2
1
x
xxx
X
e
n
3
2
1
b
bbb
B
nn3n2n1n
n3333231
n2232221
n1131211
a...aaa
a...aaaa...aaaa...aaa
.
n
3
2
1
x
xxx
=
n
3
2
1
b
bbb
CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR Possível: quando apresentar solução. Determinado: quando apresenta uma única solução. Indeterminado: quando apresenta infinitas soluções. Impossível: quando não apresenta solução.
DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR Det A 0 - Sistema possível e determinado. Quando Det A = 0 Exemplo: 1- Determine o valor de k, de modo que o sistema seja possível e determinado.
011131211k
2zyx4z3yx2
3zykx
k + 3 + 2 ( 1 3k + 2) 0 k + 3k + 5 1 0 4k 4 k 1
2- Discuta o sistema: 5zyx3
1z2y2x3pzyx2
0113221
p12 p = 1
153211
132y
115221
113x
detx = 0 p 1 - Sistema possível e determinado dety = 2 18 + 5 ( 3 20 + 3) dety = 15 + 20 dety = 5 dety 0 detx = 0 Sistema impossível
1- detx1 = detx2 = detx3 = ... = detxn = 0, Sistema Possível e indeterminado. 2- Pelo menos um dos determinantes das variáveis seja diferente de zero o sistema é impossível.
FrenteFicha
0404-05
www.portalimpacto.com.br 41n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br
SISTEMA HOMOGÊNEO É todo sistema onde os termos independentes são nulos. O sistema homogêneo é sempre possível, pois apresenta no mínimo a solução trivial.
0xa...xaxaxa
0xa...xaxaxa0xa...xaxaxa
nnn33n22n11n
nn2323222121
nn1313212111
x1 = x2 = ... = xn = 0
Solução trivial: S = {(0, 0, 0, ..., 0)} Det A 0 - possível e determinado e a solução é trivial. Det A = 0 - possível e indeterminado. Exemplo: Determine o valor de m, de modo que o sistema apresente apenas a solução trivial.
1111m2
321
0zyx0zmyx20z3y2x
m + 2 + 6 (3m 1 5) 0 m 3m + 8 + 5 0
2m 13
213m
SISTEMAS LINEARES NÃO QUADRADOS 1º) Se o número de equações maior que o número de variáveis. O sistema é possível e determinado ou impossível. Exemplo:
14y2x30yx26yx
3x + 2y = 14 3 . 2 + 2 . 4 = 14 6 + 8 = 14
Possível e determinado
2yx33yx4yx2
Det A = 0
0yx26yx
3x = 6 x = 2
x + y = 6 y = 6 2 y = 4
2yx33yx
4x = 5
45x
x + y = 3
453y
47y
144
17
1447
410
1474
452
4yx2
Substituindo em I
SISTemAS HOmOGêNeOS
ReGRA De CRAmeR
Dado um sistema:
1º Calcula-se o detA2º Calcula-se o determinante das variáveis, substituindo-se os seus coeficientes pelos termos independentes.3º Cada variável é a razão entre seu determinante e o determinante dos coeficientes.
SISTemAS LINeAReS NÃO qUADRADOS
+ +
nnnn33n22n11n
2nn2323222121
1nn1313212111
bxa...xaxaxa
bxa...xaxaxabxa...xaxaxa
Adetxdetx;
Adetxdetx;
Adetxdetx 3
32
21
1