apostila de números de números complexos

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Matematica

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Faculdade Metropolitana de Londrina IESB

Curso: Engenharia de Telecomunicaes

Disciplina: Clculo III - Nmeros Complexos

Professora Simone de Castro Queiroz

Londrina

2006Nmeros ComplexosINTRODUO: Para que servem os nmeros complexos? Os nmeros complexos apareceram no sculo XVI ao longo das descobertas de procedimentos gerais para resoluo de equaes algbricas de terceiro e quarto grau. No sculo XVII os complexos so usados de maneira tmida para facilitar os clculos. No sculo XVIII so mais usados na medida que se descobre que os complexos permitem a conexo de vrios resultados dispersos da Matemtica no conjunto dos nmeros reais. No entanto, nada feito para esclarecer o significado desses novos nmeros. No sculo XIX, aparece a representao geomtrica dos nmeros complexos, motivada pela necessidade em Geometria, Topografia e Fsica, de se trabalhar com o conceito de vetor no plano. Os nmeros complexos passam a ser aplicado em vrias reas do conhecimento humano, dentro e fora da Matemtica. Na eletrnica e na eletricidade, a anlise de circuitos de corrente alternada feita com a ajuda de nmeros complexos. Grandezas como a impedncia (em ohms) e a potncia aparente (em volt-ampre) so exemplo de quantidades complexas.

A impedncia o nmero complexo Z = R + jX, ou na forma polar Z = |Z|(cosf +jsenf), onde j2 = -1 , f o ngulo (argumento) de defasagem entre a tenso aplicada e a corrente no circuito, |Z| o mdulo, R a resistncia eltrica (em ohm) e X a resultante (em ohm) das reatncias indutivas e capacitivas do circuito. Na Fsica e na Engenharia usado, como nmero imaginrio, o j no lugar do i para evitar confuso com o i de corrente eltrica.

A potncia aparente (em volt-ampre) o nmero complexo P = Pr + jPx, ou, P = |P|(cosf +jsenf), onde j2 = -1 , |P| o mdulo, f o ngulo de defasagem entre a tenso e a corrente, Pr a potncia real ou ativa (em watt), Px a potncia reativa (em volt-ampre reativo). O valor do cosf (fator de potncia) importante na determinao do aproveitamento da energia que est sendo gasta. Os procedimentos (algoritmos) recursivos (iterativos ou recorrentes) no plano complexo criaram na maioria das vezes figuras invariantes por escala denominadas Fractais. Estas formas geomtricas de dimenso fracionria servem como ferramenta para: descrever as formas irregulares da superfcie da terra; modelar fenmenos, aparentemente imprevisveis ( teoria do caos ), de natureza meteorolgica, astronmica, econmica, biolgica, etc. Von Koch (1904) e Julia (1910), foram os pioneiros no nascimento dessa nova matemtica (ou ser nova arte?).

Henon (1974) estudou o sistema Xn+1 = 1 - Yn - a(Xn)2 e Yn+1 = bXn. Foi observado que, dados a, b, Xo, Yo, variando n (n = 0,1,2,3, ...) e representando o par (Xn , Yn) no plano complexo, independentemente dos valores iniciais Xo e Yo, os caminhos numricos descritos pelos pares ordenados (Xo , Yo), (X1 , Y1) , (X2 , Y2) , ... , (Xn , Yn) repetiam-se, formando hexgonos deformados. Ampliando seu conjunto de trajetrias (vrios Xo e Yo) e representando-as juntas no plano complexo, Henon produziu uma figura enigmtica que chamou de "Gingerbreadman".

Mandelbrot (1975) estudou a equao Xn+1 = (Xn)2 + Z , onde Z = a + bi, i2 = -1 e n = 1 , 2 , 3 , ... . Atravs de um programa recursivo de computador (um programa em loop), variou Z e o computador imprimiu na tela os pontos Xn+1. Constatou que, para cada valor de Z uma figura era imprimida na tela. Ampliando as figuras descobriu que continha cpias aproximadas de si mesmo (auto-semelhana).

Hubbard (1979) resolveu a equao polinomial do quarto grau x4 - 1 = 0 no computador, usando o mtodo de Newton (1711) estendido para razes complexas. Ao mapear a maneira pela qual o mtodo leva, de diferentes valores iniciais xo, a uma das quatros solues, produziu tambm geometria fractal. Os fractais permitem desenhar (ou modelar) qualquer coisa (ou fenmeno) da natureza numa tela de computador (computao grfica), tudo isto graas ao corpo dos nmeros complexos.Quantidade complexa (ou fasor) uma grandeza que pode ser representada e operada vetorialmente, pela lgebra dos nmeros complexos, no plano . Pode significar uma variao de amplitude A (ou Mdulo) e fase f (ou argumento) num movimento peridico (como acontece nos circuitos eltricos de corrente alternada). Grandeza vetorial (ou vetor) aquela que possui direo, sentido e mdulo (velocidade, deslocamento, etc). representada e operada vetorialmente no plano e no espao por uma lgebra (clculo vetorial) diferente da lgebra dos complexos.Foi atravs do uso e da compreenso dos nmeros complexos que, certos "defeitos" existentes no conjunto dos nmeros reais foram "consertados". Euler (1748) usou as sries de Maclaurin (1742),

ou seja, ex = 1 + (x/1!) + (x2/2!) + (x3/3!) + (x4/4!) + ... ,

cos x = 1 - (x2/2!) + (x4/4!) - (x6/6!) + ... ,

sen x = x - (x3/3!) + (x5/5!) - (x7/7!) + ... ,

com x = ix, para chegar a relao eix = cos x + i sen x , onde i2 = -1 , e = 2,7182 ... , conhecida como identidade de Euler. Esta equao fez a to necessria conexo entre logaritmos, funes trigonomtricas e fatoriais (os complexos conseguem ter forma exponencial, trigonomtrica ou polar). Alm dessas conquistas, a identidade de Euler deu significado aos logaritmos de nmeros negativos. Fazendo x = p, Euler obteve epi + 1 = 0, onde o nmero p = 3,1415..., implicando em Ln(-1) = pi, ou seja, os logaritmos de nmeros negativos so nmeros imaginrios puros.

Hadamard (1883), em um estudo sobre distribuio de temperatura, resolveu equaes diferenciais (funes de Bessel) usando i2 = -1. Os nmeros complexos conquistaram novos domnios para Matemtica.

Os nmeros complexos so muito teis na Aerodinmica. Joukowski (1906), utilizando transformaes geomtricas, construiu uma curva fechada no plano complexo que representa o perfil de uma asa de avio ( aeroflio de Joukowski ) e, usando o princpio de Bernoulli (1738) e a teoria das funes complexas, deduziu a frmula F = x + yi = -ieia(VkLr) que permite calcular a fora de levantamento responsvel pela sustentao do vo de um avio. Os nmeros complexos permitiram uma explicao matemtica para o vo. Da em diante o progresso aeronutico foi rpido.

1. Definies

Vimos na resoluo de uma equao do 2 grau que se o discriminante negativo, ela no admite razes reais. Por exemplo, a equao

x2 + 9 = 0

no admite razes reais. Se usarmos os mtodos que conhecemos para resolv-la, obtemos

x2 = -9

x = mas inaceitvel tal resultado para x; os nmeros negativos no tm raiz quadrada.

Para superar tal impossibilidade e poder, ento, resolver todas equaes do 2 grau, os matemticos ampliaram o sistema de nmeros, inventando os nmeros complexos.

Primeiro, eles definiram um novo nmero

i = Isso conduz a i2 = -1. Um nmero complexo ento um nmero da forma a + bi onde a e b so nmeros reais.

Para a equao acima fazemos

x = x = x = . x = 3 i

As razes da equao x2 + 9 = 0 so 3i e - 3i.DefinioUm nmero complexo uma expresso da forma

a + bi

onde a e b so nmeros reais e i2 = -1.

No nmero complexo a + bi, a a parte real e b a parte imaginria.

Exemplos5 + 3iparte real 5parte imaginria 3

parte real

parte imaginria 4

24iparte real 0parte imaginria 24

-11parte real -11parte imaginria 0

Um nmero como 24i, com parte real 0, chama-se nmero imaginrio puro. Um nmero real como -11, pode ser considerado como um nmero complexo com parte imaginria 0.

Igualdade de nmeros complexos

Os nmeros complexos a + bi e c + di so iguais se suas partes reais so iguais e suas partes imaginrias so iguais, isto :

a + bi = c + di

Exemplos

2 + 5i =

Se x e y so nmeros reais e x + yi = 8 - 6i, ento x = 8 e y = - 6.

2. Operaes bsicas com nmeros complexos

Adio e Subtrao

Adio(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)iPara adicionarmos dois nmeroscomplexos, adicionamos as partesreais e as partes imaginrias

Subtrao(a + bi) - (c + di) = (a c) + (b d)iPara subtrairmos dois nmeroscomplexos, subtramos as partesreais e as partes imaginrias

Exemplos(3 + 4i) + (- 7 + 8i) = (3 - 7) + (4 + 8) i

= - 4 + 12i

Na prtica, fazemos

(3 + 4i) + (-7 + 8i) = 3 + 4i -7 + 8i = -4 +12i(- 5 + 6i) - (4 - 2i) = (- 5 - 4) + [6 - (- 2)] i

= - 9 + 8i

Multiplicao(a + bi) . (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)iMultiplicamos nmeroscomplexos como multiplicamosbinmios, usando i2 = - 1

Exemplosa) = 6 8i + 9i 12i2 b) = 8 4i + 4i + 2i2 = 6 + i 12 . (-1) = 8 + 2 . (-1) = 6 + i + 12 = 8 2 = 18 + i = 10c) = 3i . (4) 3i . (-2i)

= - 12i + 6i2= - 12i + 6 . (-1)

= - 6 - 12i3. O conjugado e a diviso

Diviso de nmeros complexos semelhante racionalizao do denominador de uma frao com radicais. Assim, se temos o quociente nosso objetivo escrev-lo na forma a + bi. Para isso, introduziremos inicialmente o conceito de conjugado de um nmero complexo.

Complexos conjugadosO conjugado de um nmero complexo a + bi a - bi, e o conjugado de a - bi a + bi.

Os nmeros complexos a + bi e a - bi so chamados complexos conjugados.

Para um nmero complexo z, seu conjugado representado com ; ento, se z = a + bi escrevemos = a - bi.

Exemplos

O conjugado de z = 2 + 3i = 2 - 3i

O conjugado de z = 2 - i = 2 + 3i

O conjugado de z = 5i = - 5i

O conjugado de z = 10 = 10

Quando multiplicamos um nmero complexo z = a + bi pelo seu conjugado = a - bi, o resultado que se obtm um nmero real no negativo:z . = (a + bi) . (a bi)

= a