apostila de probabilidade.pdf
TRANSCRIPT
-
7/23/2019 apostila de probabilidade.pdf
1/38
Probabilidade e Estatstica - E21Prof. Priscila Pigatto Gasparin
1
A que temperatura a gua entre em ebulio? Se largarmos uma bola, com quevelocidade ela atinge o cho?
Conhecidas certas condies, perfeitamente possvel responder a essas duas
perguntas, antes mesmo da realizao desses experimentos.
Probabilidade se refere ao estudo da aleatoriedade e incerteza, quantificao do
conhecimento de um particular evento.
Exemplo1.1 : Previso do tempo. A probabilidade de chuva em um dia 25%.
Mas o que significa os 25%, traduz a quantidade de informao que uma pessoa traz
sobre a probabilidade de chuva.
1.1 Experimento Determinstico
Em geral, um experimento ao ser observado e repetido sob um mesmo conjunto
especificado de condies, conduz invariavelmente ao mesmo resultado, ou seja,
quando os resultados podem ser previstos. . So os experimentos chamados de
determinsticos.
Exemplo 1.2: Quando seguramos uma caneta e a soltamos de uma determinada
altura, qual o resultado esperado deste experimento? A caneta ir cair.
Entretanto, existem experimentos em que no se obtm sempre o mesmo
resultado, ainda que realizado sob condies idnticas. Tais experimentos, por
apresentarem variabilidade nos resultados, so objetos de estudo da Teoria de
Probabilidade.
1.2 Experimentos aleatrios
Se medirmos a corrente em um fio fino de cobre, estaremos conduzindo um
experimento. Entretanto, em repeties dirias da medida, os resultados podero
diferir levemente, por causa de pequenas variaes em variveis que no estejam
controladas em nosso experimento, incluindo variaes nas temperaturas ambientes,
leves variaes nos medidores e pequenas impurezas na composio qumica do fio,
se diferentes localizaes forem seleciondas e se a fonte da corrente oscilar. Desta
forma, esse experimento dito ter um componente aleatrio. Em alguns casos as
1 O que Probabilidade?
-
7/23/2019 apostila de probabilidade.pdf
2/38
Probabilidade e Estatstica - E21Prof. Priscila Pigatto Gasparin
2
variaes aleatrias que experimentamos so suficientemente pequenas, relativas aos
nossos objetivos experimentais, que podem ser ignoradas.
Experimento aleatrio: Um experimento pode fornecer diferentes resultados muito
embora seja repetido toda vez da mesma maneira, chamado de um experimento
aleatrio.
Exemplo 1.3:
a) A medio de corrente em um fio de cobre o modelo para o sistema deve
simplesmente, ser a lei de Ohm. Por causa das entradas no controlveis, so
esperadas aproximaes adequadas. Entretanto, se as variaes forem
grandes, relativas ao uso intencionado do equipamento sob o estudo, podemos
necessitar estender nosso modelo para incluir a variao.
b) Jogue uma moeda quatro vezes e observe o nmero de caras obtido;
c) Uma lmpada fabricada e em seguida ensaiada. Observe a sua durao de
vida;
d) Peas so fabricadas at que 10 peas perfeitas sejam produzidas. O nmero
total de peas observado.
Caractersticas de um experimento aleatrio:
Pode se repetir vrias vezes nas mesmas condies;
Embora o resultado preciso que ocorrer no possa ser dado, um conjunto que
descreva todos os resultados possveis para o experimento poder ser
apresentado;
Quando o experimento for executado repetidamente, os resultados individuais
parecero ocorrer de uma forma acidental. Contudo, quando o experimento for
repetido um grande nmero de vezes, uma configurao definida ouregularidade surgir. esta regularidade que torna possvel construir um
modelo matemtico preciso atravs do qual se analisar o experimento.
A teoria da probabilidade surgiu para tentar medir a chance de ocorrer um
determinado resultado num experimento aleatrio.
1.3 Espao Amostral
Conjunto de todos os resultados possveis em um experimento estatstico chamado
de espao amostral e representado pelo smbolo S.
-
7/23/2019 apostila de probabilidade.pdf
3/38
Probabilidade e Estatstica - E21Prof. Priscila Pigatto Gasparin
3
Cada resultado chamado de elemento ou membro do espao amostral, ou
simplesmente um ponto amostral.
O espao amostral pode ser:
Finito: Se tem um nmero finito de elementos. S= {1, 2, 3}
Infinito Enumervel: Se tem tantos elementos quanto o conjunto dos nmeros
Naturais. S= {10, 11, 12, ...}
Infinito No enumervel: Se tem tantos elementos quanto um determinado
segmento do eixo Ox, tal como 10 x
Ento, o espao amostral S dos resultados possveis quando a moeda jogada pode
ser escrito como:
Exemplo 1.4:
a) No lanamento de uma moeda S= {cara,coroa}
b) No lanamento de um dado S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Exemplo 1.5:Considere o experimento de jogo de dados. Se estivermos interessados
no nmero que aparecer no topo, o espao amostral ser: S1= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Se estivermos interessados em saber se o nmero ser par ou mpar, o espaoamostral ser simplesmente: S2= {par, mpar}
Com este exemplo temos que mais de um espao amostral pode ser usado para
descrever os resultados de um experimento. Nesse caso, S1fornece mais informaes
que S2. Se soubermos qual elemento ocorre em S1 poderemos dizer qual resultado
ocorre em S2 . Entretanto o conhecimento do que acontece em S2 de pouca ajuda
para determinar qual elemento ocorre em S1. Em geral, desejvel usar um espao
amostral que d mais informaes relacionadas aos resultados de um experimento.
Em alguns casos, adequado listar os elementos do espao amostralsistematicamente, por meio de um diagrama de rvores.
Exemplo 1.6 : Suponha que trs itens sejam selecionados em um processo industrial.
Cada um inspecionado e classificado como defeituoso D, ou no defeituoso, N. Para
listar os elementos do espao amostral que fornece o maior nmero de informaes,
construmos o diagrama de rvore.
-
7/23/2019 apostila de probabilidade.pdf
4/38
Probabilidade e Estatstica - E21Prof. Priscila Pigatto Gasparin
4
Observao:
Os espaos amostraiscom um nmero grande ou infinito de pontos amostrais so mais
bem descritos por um enunciado ou regra. Por exemplo: Se os resultados possveis de
um experimento so o conjunto de cidades do mundo com populao acima de um
milho de habitantes, nosso espao amostral escrito como:
habitantesdemilhoumdeacimapopulaocomcidadea/xxS
1.4 Evento
Para qualquer experimento dado, podemos estar interessados na ocorrncia de certos
eventos em vez de no resultado de um elemento especfico do espao amostral. Por
exemplo, podemos estar interessados no evento A cujo resultado, quando um dado
lanado, divisvel por 3. Isso ocorrer se o resultado for um elemento do subgrupo
6,3A do espao amostral S1= {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Evento: um subconjunto de um espao amostral. Dizemos que o Evento A ocorre sequalquer um dos resultados de A ocorre.
Um evento que contenha apenas um elemento, isto , um conjunto que
consiste de um nico resultado do experimento dito evento simples ou elementar.
Em particular, dizemos que um evento A impossvel se A= e que o
prprio espao amostral o evento certeza.
Exemplo 1.7: Considere o experimento aleatrio: lanamento de dois dados, um
branco e outro vermelho. O espao amostral que descreve essa experincia :
-
7/23/2019 apostila de probabilidade.pdf
5/38
Probabilidade e Estatstica - E21Prof. Priscila Pigatto Gasparin
5
)6,6(),5,6(),4,6(),3,6(),2,6(),1,6(
)6,5(),5,5(),4,5(),3,5(),2,5(),1,5(
)6,4(),5,4(),4,4(),3,4(),2,4(),1,4(
)6,3(),5,3(),4,3(),3,3(),2,3(),1,3(
)6,2(),5,2(),4,2(),3,2(),2,2(),1,2(
)6,1(),5,1(),4,1(),3,1(),2,1(),1,1(
S
O primeiro nmero de cada par acima indica o resultado no dado branco, e o segundo
nmero indica o resultado no dado vermelho. Ou seja, (3,6) 3, no dado branco e 6
no dado vermelho.
Considere agora os seguintes eventos:
1) A: A soma dos resultados nos dois dados menor que 4
)1,2(),2,1(),1,1(A
2) B: Soma dos resultados dos dois dados menor que 1
B Neste caso, quando o evento o conjunto vazio, dizemos que o
evento impossvel.
3) C: A soma dos resultados nos dois dados igual a 12 ou menor que 12.
SC Neste caso, quando o evento o prprio espao amostral S,
dizemos que o evento certo.
1) Uma urna contm 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retira-se uma bola ao acaso e
observa-se o nmero indicado. Descrever de forma explcita os seguintes conjuntos e
dar o nmero de elementos de cada um:
a) O espao amostral S
b) O evento A: o nmero da bola mpar
c) O evento B: o nmero da bola maior que 6.
-
7/23/2019 apostila de probabilidade.pdf
6/38
Probabilidade e Estatstica - E21Prof. Priscila Pigatto Gasparin
6
2) Em um cesto h 6 bolas de vlei, sendo 3 brancas e 3 vermelhas. Desse cesto so
retiradas, sucessivamente, 3 bolas. Calcular o nmero de elementos dos seguitnes
eventos:
a) As trs bolas tm a mesma cor
b) Duas das bolas so brancas
c) As trs bolas so vermelhas
d) O nmero de bolas brancas igual ao nmero de bolas vermelhas.
-
7/23/2019 apostila de probabilidade.pdf
7/38
Probabilidade e Estatstica - E21Prof. Priscila Pigatto Gasparin
7
Considere as seguintes situaes em que os eventos so eventos simples:
Exemplos:
2.1) No lanamento de um dado, qual a probabilidade de cair 3?
Soluo:
Espao Amostral 6,5,4,3,2,1S
Evento A: Cair 3
3A A um evento simples
Portanto, a probabilidade de cair 3 de 1 em 6, ou seja,
6
1, ou ainda de 16,66...%.
Para cada um dos outros nmeros do espao amostral, a probabilidade continua a
mesma que de6
1
2.2) No lanamento de uma moeda, qual a probabilidade de sair cara?
Soluo:
Espao Amostral S={cara, coroa}
Evento B: Sair caraB={cara} B um evento simples
Neste caso, a probabilidade de sair cara de 1 em 2, ou seja,2
1, ou ainda de 50%
Observe que a probabilidade de sair coroa tambm de2
1.
2.3) Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de ser um
rei de copas?
Soluo:
Neste caso, a probabilidade de 1em 52, ou de52
1, ou ainda de aproximadamente
1,9%. Tambm neste caso,a probabilidade de ser retirada ao acaso qualquer uma das
outras 51 cartas do baralho de52
1
2.1 Enfoque Estatstico
2 Probabilidade de um evento em um Espao Amostral Finito
-
7/23/2019 apostila de probabilidade.pdf
8/38
Probabilidade e Estatstica - E21Prof. Priscila Pigatto Gasparin
8
Se repetirmos um experimento aleatrio n vezes, em certo nmero m de vezes
ocorrer o evento A: m a frequncia com que ocorre o evento A e m/n a frequncia
relativa de ocorrncia de A.
Chamamos de probabilidade do evento A, P(A), ao valor limite da frequncia
relativa m/n para uma sequncia muito grande de realizaes do experimento
)( n , ou seja,n
mEP
n lim)(
Por exemplo: Considere o experimento aleatrio de jogar uma moeda honesta e
observar o resultado que ocorre. O espao amostral THS , . Sej ao Evento
HA .A medida que forem realizados os lanamentos da moeda, notamos que a
proporo (frequncia relativa) de caras se aproxima de . O abaixo ilustra esta
situao apresentando a tendncia da frequncia relativa em se aproximar do valor ,
medida em que o nmero de lanamentos cresce.
2.2 Enfoque Clssico.
Seja um experimento aleatrio e S um espao amostral associado a .
Suponha que S seja finito e que todos os resultados de S sejam igualmente provveis.
e que a probabilidade de cada evento simples den
1. Para um evento simples A,
indicamos:)(
1)(
Sn
AP
-
7/23/2019 apostila de probabilidade.pdf
9/38
Probabilidade e Estatstica - E21Prof. Priscila Pigatto Gasparin
9
Considere um evento A de S, ou sejam SA . Ento, se sn e An so,
respectivamente, o nmero de elementos de S e o nmero de elementos de A, a
probabilidade de ocorrncia do evento A, P(A), um nmero real definido por:
)(
)()(
Sn
AnAP
Exemplo 2.4: No lanamento de dois dados, um branco e um vermelho, qual a
probabilidade da soma nos dois dados ser maior que 7?
Veja o espao Amostral S:
)6,6(),5,6(),4,6(),3,6(),2,6(),1,6(
)6,5(),5,5(),4,5(),3,5(),2,5(),1,5(
)6,4(),5,4(),4,4(),3,4(),2,4(),1,4(
)6,3(),5,3(),4,3(),3,3(),2,3(),1,3(
)6,2(),5,2(),4,2(),3,2(),2,2(),1,2(
)6,1(),5,1(),4,1(),3,1(),2,1(),1,1(
S
Como S um espao equiprovvel e n(S)= 36, a probabilidade de cada evento
simples 36
1 .
Vamos chamar de E o evento a soma nos dois dados maior que 7
)6,6(),5,6(),4,6(),3,6(),2,6(),6,5(),5,5(),4,5(),3,5(),6,4(),5,4(),4,4(),6,3(),5,3(),6,2(S
n(E)=15
A probabilidade do evento E dado por:36
15
)(
)()(
Sn
EnEP
Ainda podemos compreender que )(EP a soma das probabilidades dos 15 eventos
simples de probabilidade36
1.
36
15
36
1...
36
1
36
1)( EP
n(A): o nmero de elementos do evento A
n(S): o nmero de elementos do espao amostral S
-
7/23/2019 apostila de probabilidade.pdf
10/38
Probabilidade e Estatstica - E21Prof. Priscila Pigatto Gasparin
10
1) De um baralho com 52 cartas tiram-se, sucessivamente, sem reposio, duas
cartas. Determinar a probabilidade dos eventos:
a) As duas cartas so damas
b) As duas cartas so de ouro.
2) Considere os nmeros de trs algarismos distintos que podem ser formados
permutando-se os algarismos 2, 3 e 4. Imagine que uma dessas permutaes foi
escolhida ao acaso e considere os seguintes eventos:
A: o nmero sorteado mltiplo de 3
B: o nmero sorteado mltiplo de 5
Qual a probabilidade de ocorrer cada um desses eventos?
3) Considere um conjunto de 10 frutas em que 3 esto estragadas. Escolhendo
aleatriamente 2 frutas desse conjunto, determine a probabilidade de:
a) ambas no estarem estragadas
b) pelo menos uma estar estragada
-
7/23/2019 apostila de probabilidade.pdf
11/38
Probabilidade e Estatstica - E21Prof. Priscila Pigatto Gasparin
11
1) Unio
BA : o evento que contm todos os elemetos que pertecem a A ou B ou a ambos.
Exemplo 3.1: Seja cbaA ,, e dcbB ,, , ento dcbaBA ,,,
2) Interseco
BA : a ocorrncia do evento A e B, ou seja, o evento que contm todos os
elementos comuns a A e B.
Exemplo 3.2: Seja C o evento no qual uma pessoa selecionada aleatriamente em um
restaurante um estudante universitrio, e M o evento no qual essa pessoal do
sexo masculino. Ento MC o evento formado por todos os estudantes
universitrios do sexo masculino no restaurante.
3) Evento Complementar
3 Probabilidade: Operaes com Eventos
-
7/23/2019 apostila de probabilidade.pdf
12/38
Probabilidade e Estatstica - E21Prof. Priscila Pigatto Gasparin
12
A : So os resultados que no pertence ao evento considerado, ou seja, o eventocomplementar a NO ocorrncia do evento considerado.
Exemplo 3.3: Seja R o evento no qual uma carta vermelha selecionada de um
baralho comum com 52 cartas, e S o baralho inteiro. Ento R o evento no qual a
carta selecionada no baralho no vermelha, mas preta.
4) Evento Mutuamente Exclusivos ou Disjuntos
BA Quando A e B no possurem nenhum resultado em comum. Siginifica que
estes eventos so mutuamente exclusivos quando um acontece o outro no pode
acontecer.
Exemplo 3.4: Dado o conjunto 7,6,4,2A e conjunto 9,8,5,3B . Ento
BA , ou seja, a interseco dos conjuntos A e B vazia, no possui nenhum
elemento em comum. Estes conjuntos so disjuntos.
Em Engenharia as decises so tomadas sobre eventos complexos a partir da
probabilidade elementar conhecida. Devemos decompor os eventos complexos em
A
-
7/23/2019 apostila de probabilidade.pdf
13/38
Probabilidade e Estatstica - E21Prof. Priscila Pigatto Gasparin
13
eventos elementares por meio de operaes de probabilidade. E cada uma dessas
operaes de probabilidade est presente nos Teoremas de Probabilidade que ir
relacionar as operaes com os eventos elementares.
Teorema da Unio
Pelo Teorema da Unio temos:
Corolrio 1
A e B so mutuamente exclusivos, ento:
Quando os Eventos so mutuamente excluivos )()()()( BAPBPAPBAP
no h possibilidade de ocorrer simultaneamente. Desta forma, temos que
0)( BAP . Assim, 0)()()( BPAPBAP
Assim, podemos escrever:
Corolrio 2
Se nAAA ,...,, 21 so mutuamente exclusivos, ento
)(...)()()...( 2121 nn APAPAPAAAP
Uma coleo de eventos nAAA ,...,, 21 de um espao amostral S chamada de
partio de S se nAAA ,...,, 21 forem mutuamente exclusivos e SAAA n ...21
Corolrio 3
Se nAAA ,...,, 21 uma partio do espao amostral S, ento
1)()(...)()()...( 2121 SPAPAPAPAAAP nn
Teorema
Podemos ainda generalizar esse Teorema da Unio para mais eventos:
)()()()( BAPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPCBAP
-
7/23/2019 apostila de probabilidade.pdf
14/38
Probabilidade e Estatstica - E21Prof. Priscila Pigatto Gasparin
14
1) Em uma pesquisa sobre a preferncia em relao a dois jornais, foram consultadas
470 pessoas e o resultado foi o seguinte: 250 delas lem o jornal A, 180 lem o jornal
B e 60 lem os jornais A e B. Escolhendo um dos entrevistados ao acaso, qual a
probabilidade de qu ele seja:
a) Leitor dos jornais A e B
b) Leitor do jornal A ou do jornal B?
2) Retirando-se uma carta de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de ocorrer
um rei ou valete?
3) Pedro vai se formar em engenharia industrial no final do semestre. Depois de ser
entrevistado por duas empresas, ele avalia que a probabilidade de conseguir uma
oferta da empresa A de 0,8 e da empresa B de 0,6. Se, por outro lado, ele cr que
a probabilidade de conseguir uma oferta das duas empresas de 0,5 qual a
probabilidade de que ele consiga uma oferta pelo menos uma das empresas?
-
7/23/2019 apostila de probabilidade.pdf
15/38
Probabilidade e Estatstica - E21Prof. Priscila Pigatto Gasparin
15
Geralmente, mais difcil calcular a probabilidade de um evento ocorrer do que a
probabilidade de que ele no ocorra. Se este for o caso para algum evento A,
simplesmente determinamos )(AP primeiro e, ento usando o Teorema da Unio,
encontramos )(AP por meio da subtrao.
Teorema do Complementar
4) No lanamento simultneo de dois dados, vamos determinar a probabilidade de no
sair soma 4.
Se A e A so eventos complementares ento 1)()( APAP
4 Probabilidade: Condicional
-
7/23/2019 apostila de probabilidade.pdf
16/38
Probabilidade e Estatstica - E21Prof. Priscila Pigatto Gasparin
16
A probabilidade de um evento B ocorrer quando sabemos que algum evento A
ocorreu chamada probabilidade condicional e denotada por )|( ABP . O smbolo
)|( ABP normalmente lido como a probabilidade de que B ocorra dado que A
ocorre, ou simplesmente a probabilidade de que B ocorra dado que A j ocorreou
simplesmente a probabilidade de B dado A.
Definio: A probabilidade condicional de B dado A, denotada por )|( ABP , definida
por:
)(
)()|(
AP
BAPABP
desde que 0)( AP
Exemplo 4.1: Suponha que o espao amostral S seja a populao adulta de uma
pequena cidade a qual completou os requerimentos para o nvel universitrio.
Devemos categoriz-los de acordo com gnero e status empregatcio. Os dados so
apresentados na tabela:
Empregados Desempregados Total
Homem 460 40 500
Mulher 140 260 400
Total 600 300 900
Um desses indivduos selecionado aleatoriamente para uma turn pelo pas para
divulgar as vantagens de novas indstrias se estabelecerem na cidade. Devemos nos
preocupar com os seguintes eventos:
M: um homem escolhido
E: o escolhido est empregado
Usando o espao amostral reduzido, descobrimos que:30
23
600
460)|( EMP
Seja n(A) a denotao para o nmero de elementos em qualquer conjunto A. Usando
essa notao, podemos escrever:
)(
)(
)(/)(
)(/)(
)(
)()|(
EP
MEP
SnEn
SnMEn
En
MEnEMP
onde )( MEP e )(EP so
encontrados no espao amostral original S. Para verificar o resultado note que:
-
7/23/2019 apostila de probabilidade.pdf
17/38
Probabilidade e Estatstica - E21Prof. Priscila Pigatto Gasparin
17
3
2
900
600)( EP e
45
23
900
460)( MEP . Ento
30
23
3/2
45/23
)|( EMP
1) Numa classe com 60 alunos, 40 estudam s Matemtica, 10 estudam s Fsica e 5
estudam Matemtica e Fsica. Determinar a probabilidade de um aluno que estuda
Matemtica estudar tambm Fsica.
2) Numa caixa h os seguintes cartes:
Retirando-se dois cartes, sucessivamente, sem reposio do primeiro. Determine a
probabilidade de que os dois nmeros retirados sejam mpares.
3) Considere o processo industrial em uma indstria txtil, no qual tiras de
determinado tipo de tecido esto sendo produzidas. Essas faixas de tecido podem ter
dois tipos de defeitos, no comprimento ou na natureza de sua textura. No caso do
segundo, o processo de identificao bastante complicado . Sabe-se, de dados
histricos do processo que 10% dos tecidos falham no teste de comprimento, 5%falham no teste de textura, e somente, 0,8% falham em ambos os testes. Se uma faixa
de tecido for selecionada aleatoriamente do processo e uma rpida medio indicar
que tal faixa falhou no teste de comprimento, qual a probabilidade de que haja
defeito na textura?
-
7/23/2019 apostila de probabilidade.pdf
18/38
Probabilidade e Estatstica - E21Prof. Priscila Pigatto Gasparin
18
Considere a situao na qual temos eventos A e B e )()|( APBAP . Em
outras palavras, a ocorrncia de B no teve impacto nas chances de ocorrncia de A.
Neste caso a ocorrncia de A independente da ocorrncia de B.
Definio: Dois eventos A e B so independentes se e somente se )()|( BPABP
ou )()|( APBAP desde que as probabilidades condicionais existam. Caso contrrio
A e B sero dependentes.
5.1 REGRAS MULTIPLICATIVAS
Ento a probabilidade de que ambos A e B ocorram igual probabilidade de que A
ocorra multiplicada pela probabilidade condicional de que B ocorra, dado que A ocorre.
J que os eventos BA e AB so equivalentes, ou seja,
)|()()()( BAPBPABPBAP . Em outras palavras, no importa qual evento
atribudo a A e qual atribudo a B.
Exemplo 5.1: Suponha que temos uma caixa com 20 fusveis, dentre os quais cinco
apresentam defeito. Se dois fusveis so selecionados aleatoriamente e removidos da
caixa, sucessivamente, sem reposio do primeiro, qual a probabilidade de que
ambos apresentem defeito?
Soluo: Devemos considerar que A seja o evento no qual o primeiro fusvel
apresenta defeito e B o evento no qual o segundo apresenta defeito, ento
interpretamos BA como o evento em que A ocorre, e ento B ocorre aps A ter
ocorrido. A probabilidade de remover primeiro um fusvel defeituosos de4
1, e ento
a probabilidade de se remover o segundo com defeito do restante dos quatro fusveis
de19
4. Portanto:
19
1
19
4.4
1
19
4.
20
5)(
BAP
5 Eventos Independentes
Teorema: Se em um experimento ambos os eventos A e B podem ocorrer, ento
)|().()( ABPAPBAP desde que 0)( AP
-
7/23/2019 apostila de probabilidade.pdf
19/38
Probabilidade e Estatstica - E21Prof. Priscila Pigatto Gasparin
19
Desta forma, se o primeiro fusvel for reposto e os fusveis forem totalmente
reorganizados aps o segundo ser removido, ento a probabilidade de um fusvel
defeituoso na segunda seleo continua sendo de 4
1
, ou seja, )()|( BPABP e os
eventos A e B so independentes. Quando isso verdadeiro, podemos substituir
)(BP por )|( ABP para obter a seguinte regra multiplicativa especial:
Exemplo 5.2:Uma pequena cidade tem um caminho de bombeiros e uma ambulncia
para as emergncias. A probabilidade de que o caminho de bombeiros esteja
disponvel quando necessrio de 0,98 e a da ambulncia de 0,92. No caso de um
ferimento causado por um incndio em um prdio, determine a probabilidade de a
ambulncia e o caminho de bombeiros estarem disponveis.
Soluo: A e B representam os respectivos eventos nos quais o caminho e a
ambulncia esto disponveis. Ento: 9016,0)92,0).(98,0()()()( BPAPBAP
Exemplo 5.3:Seja uma produo de vinte peas agrcolas em que 12 so defeituosas
e 8 so perfeitas, so inspecionadas uma aps a outra. Se essas peas forem
extradas ao acaso, qual ser a probabilidade de que:
a) As duas primeiras peas sejam defeituosas
b) As duas primeiras peas sejam perfeitas
c) As duas primeiras peas inspecionadas uma seja perfeita e a outra defeituosa.
Soluo:
a) D= defeituosa
95
33
380
132
19
11.
20
12)|().()( DDPDPDDP
b) P= perfeitas
95
14
380
56
19
7.
20
8)|().()( PPPPPPPP
Teorema: Dois eventos A e B so independentes se, e somente se,
)()()( BPAPBAP . Portanto, para obter a probabilidade de que ambos os
eventos ocorrero, simplesmente determinamos o produto de suas probabilidades
individuais.
-
7/23/2019 apostila de probabilidade.pdf
20/38
Probabilidade e Estatstica - E21Prof. Priscila Pigatto Gasparin
20
c)95
48
380
96
380
96
19
12
20
8
19
8.
20
12)|().()|().( PDPPPDPPDP
1) Retirando-se duas cartas ao acaso, sem reposio, de um baralho de 52 cartas,
qual a probabilidade do naipe da primeira ser de paus e o da segunda ser de copas?
2) Se do lote de artigos em que 10 so artigos bons, 4 com defeitos menores e 2 com
defeitos graves. Se dois artigos forem escolhidos (sem reposio) ache a
probabilidade de que:
a) Ambos sejam perfeitos
b) Ambos tenham defeitos graves
c) Ao menos um seja perfeito
d) No mximo um seja perfeito
e) Exatamente um seja perfeito
f) Nenhum tenha defeitos graves
g) Nenhum deles seja perfeito
-
7/23/2019 apostila de probabilidade.pdf
21/38
Probabilidade e Estatstica - E21Prof. Priscila Pigatto Gasparin
21
Figura Partio do espao amostral S.
Exemplo: Em uma certa linha de montagem trs mquinas1
B ,2
B e3
B produzem
30%, 45% e 25% dos produtos, respectivamente. Sabe-se de experincias anteriores
que 2%, 3% e 2% dos produtos feitos por cada mquina so respectivamente
defeituosos. Agora, suponha que um produto j acabado, seja selecionado
aleatoriamente. Qual a probabilidade de que tal produto apresente algum defeito?
Soluo:
Considere os seguintes eventos:
:A o produto tem defeito
:1B o produto feito pela mquina 1B
:2B o produto feito pela mquina 2B
:3B o produto feito pela mquina 3B
Aplicandose a regra da eliminao, temos:
)|()()|()()|()()( 332211 BAPBPBAPBPBAPBPAP
6 Regra de Bayes
Teorema
Se os eventoskBBB ,...,, 21 constituem uma partio do espao amostral S, de
modo que 0)( BP para ki ,...,2,1 ento para qualquer evento de S.
k
i
ii
k
i
i BAPBPABPAP11
)|().()()(
-
7/23/2019 apostila de probabilidade.pdf
22/38
Probabilidade e Estatstica - E21Prof. Priscila Pigatto Gasparin
22
Temos que:
006,0)02,0)(3,0()|()( 11 BAPBP
0135,0)03,0)(45,0()|()( 22
BAPBP 005,0)02,0)(25,0()|()( 33 BAPBP
Ento:
0245,0)(
005,00135,0006,0)(
)|()()|()()|()()( 332211
AP
AP
BAPBPBAPBPBAPBPAP
Mas, se pedissemos )(AP , pela regra de eliminao suponha que, agora,
queremos determinar a probabilidade condicional )|( BAP , ou seja, suponha que um
produto foi selecionado aleatoriamente e apresentou defeitos. Qual a probabilidade
de que esse produto tenha sido produzido pela mquina iB ?
Questes desse tipo podem ser respondidas usando-se o seguinte Teorema,
chamado Regra de Bayes:
Pelo Exemplo 6.1 temos:
Se um produto for selecionado aleatoriamente e descobrir-se que apresenta defeitos,
qual a probabilidade de que o produto tenha sido fabricado pela mquina3
B ?
Soluo:
Usando a regra de Bayes escrevemos:
4910
0245,0005,0
005,00135,0006,0005,0)|(
)|()()|()()|()(
)|()()|(
3
332211
33
3
ABP
BAPBPBAPBPBAPBP
BAPBPABP
Teorema(Regra de Bayes):
Se os eventos kBBB ,...,, 21 constituem uma partio do espao amostral S, de
modo que 0)( iBP para ki ,...,2,1 , ento, para qualquer evento A em S, tal
que 0)( AP temos que:
)|()(
)|()(
)(
)()|(
11
i
k
i
i
rr
k
i
i
r
r
BAPBP
BAPBP
ABP
ABPABP
para ki ,...,2,1
-
7/23/2019 apostila de probabilidade.pdf
23/38
Probabilidade e Estatstica - E21Prof. Priscila Pigatto Gasparin
23
Como o produto selecionado apresentava defeitos, esse resultado sugere que ele,
provavelmente, no foi fabricado pela mquina3
B
Exemplo 6.2: Uma indstria emprega trs planos analticos para criar e desenvolver
certo produto. Devido aos custos, os trs planos so usados em momentos variados.
Na verdade, os planos 1, 2 e 3 so usados para 30%, 20% e 50% dos produtos
respectivamente. O ndice de defeitos diferente para os trs procedimentos:
01,0)|( 1 PDP 03,0)|( 2 PDP 02,0)|( 3 PDP , onde )|( jPDP a
probabilidade de um produto apresentar defeitos, dando o plano j . Se selecionarmos
um produto aleatoriamente e observarmos que ele apresenta defeitos, qual foi
provavelmente o plano usado e, em consequncia, responsvel pelo defeito?
Soluo:
Da afirmao do problema:
30,0)( 1 PP 20,0)( 2 PP 50,0)( 3 PP
Devemos determinar )|( DPP j para 3,2,1j . A regra de Bayes mostra que:
158,0019,0
003,0)|(
)02,0)(50,0()03,0)(20,0()01,0)(3,0()01,0)(30,0()|(
)|()()|()()|()(
)|()()|(
1
1
332211
111
DPP
DPP
PDPPPPDPPPPDPPP
PDPPPDPP
Da mesma forma:
316,0019,0
)20,0)(03,0()|( 2 DPP
526,0)019,0(
)50,0)(02,0()|(
3
DPP
Logo, a probabilidade condicional de um defeito, dado o plano 3, a maior dos
trs. Portanto, um produto com defeito , mais provavelmente, resultado do uso do
plano 3.
-
7/23/2019 apostila de probabilidade.pdf
24/38
Probabilidade e Estatstica - E21Prof. Priscila Pigatto Gasparin
24
1) Suponha que temos duas urnas I e II, cada urna tem duas gavetas. A urna I contm
uma moeda de ouro em uma gaveta e uma moeda de prata na outra; enquanto a urna
II contm uma moeda de ouro em cada gaveta. Uma urna escolhida ao acaso, a
seguir uma de suas gavetas aberta ao acaso. Verifica-se que a moeda encontrada
nessa gaveta ouro. Qual a probabilidade de que a moeda provenha da urna II?
-
7/23/2019 apostila de probabilidade.pdf
25/38
Probabilidade e Estatstica - E21Prof. Priscila Pigatto Gasparin
25
Definio 1:uma varivel aleatria uma funo que associa um nmero real a cada
elemento do espao amostral.
Usamos uma letra maiscula, digamos X, para denotar a varivel aleatria e sua letra
minscula correspondente, nesse caso x, para denotar um de seus valores.
Exemplo 7.1: Duas bolas so retiradas, sucessivamente, de uma urna que contm
quatro bolas vermelhas e trs pretas sem serem repostas. Os resultados possveis e
os valores y da varivel aleatria Y, onde Y o nmero de bolas vermelhas so:
Espao Amostral y
VV 2
VP 1
PV 1
PP 0
Exemplo 7.2:Considere a situao simples na qual componentes esto saindo de uma
linha de produo e so classificados como defeituosos ou no defeituosos. A varivelaleatria X definida por:
defeitoapresentarNocomponenteose,0
defeitoapresentarcomponenteose,1X
A varivel aleatria na qual 0 e 1 so escolhidos para descrever os dois valores
possveis chamada de varivel aleatria de Bernoulli.
Definio 2: Se o espao amostral contm um nmero finito de possibilidades ou uma
sequncia infinita com tantos elementos quanto so os nmeros inteiros, ele
chamado de espao amostral discreto.
Os resultados de alguns experimentos estatsticos podem no ser finitos nem
enumerveis. Esse o caso, por exemplo, quando se conduz uma investigao por
exemplo para medir a distncia que certo tipo de automvel percorrer em um teste
prescrito com cinco litros de gasolina. Ao assumir que a distncia a varivel medida
para qualquer grau de preciso, ento, claramente, temos um nmero infinito de
possveis distncias no espao amostral, que no podem ser associadas ao conjunto
dos nmeros inteiros.
7- Variveis aleatrias e Distribuio de Probabilidade
-
7/23/2019 apostila de probabilidade.pdf
26/38
Probabilidade e Estatstica - E21Prof. Priscila Pigatto Gasparin
26
Se registrassemos o tempo que uma reao qumica leva para acontecer, mais
uma vez, os valores de tempo possveis que constituem nosso espao amostral
seriam em nmero infinito e no enumerveis.
Definio 3: Se um espao amostral contm um nmero infinito de possibilidades
igual ao nmero de pontos em um segmento de linha, ele chamado de espao
amostral contnuo.
Exemplo 7.3: H certo interesse na proporo de pessoas que respondem a certa
solicitao de vendas por catlogo. Considere X esta proporo. X a varivel
aleatria que aceita todos os valores x tais que 10 x .
Exemplo 7.4:Considere X a varivel aleatria definida pelo tempo de espera, em
horas, entre motoristas flagrados por um radar de velocidade. A varivel aleatria
aceita todos os valores x nos quais 0x
Uma varivel aleatria chamada de varivel aleatria discreta se seu
conjunto de resultados possveis for enumervel. As variveis aleatrias nos exemplos
7.1 e 7.2 so variveis aleatrias discretas. Mas, se a varivel aleatria tiver comoconjunto de valores possveis um intervalo contnuo de nmeros, ento ela no ser
discreta. Quando uma varivel pode assumir valores em uma escala contnua, ela
chamada de varivel aleatria contnua.
OBSERVA O:
Distribuies de probabilidade discretas: conveniente representar todas as
probabilidades de uma varivel aleatria X por uma frmula. Tal frmula seria,
necessariamente, uma funo dos valores numricos x , denotamos esta funo por)(xf , )(xg , )(xr entre outras. Portanto, escrevemos )()( xXPxf , ou seja,
)3()3( XPf . O conjunto de pares ordenados ))(,( xfx chamada de funo de
probabilidade ou distribuio de probabilidade da varivel aleatria discreta X .
Definio 4: O conjunto de pares ordenados ))(,( xfx a funo de probabilidade,
funo massa de probabilidade ou distribuio de probabilidade da varivel discreta
X , se para cada resultado possvel x :1) 0)( xf
-
7/23/2019 apostila de probabilidade.pdf
27/38
Probabilidade e Estatstica - E21Prof. Priscila Pigatto Gasparin
27
2) 1)(xf
3) )()( xfxXP
OBSERVA O:
Distribuies de probabilidade contnuas: A distribuio de probabilidade de uma
varivel aleatria no possa ser apresentada na forma de tabela, ela pode ser
expressa como uma frmula. Tal frmula seria, necessriamente, uma funo de
valores numricos da varivel aleatria contnua X , e como tal representada pela
notao de funo )(xf . Ao lidar com variveis contnuas, f(x) usualmente chamada
de funo de densidade de probabilidade, ou simplesmente de funo de densidade
de X . J que X definida sobre um espao amostral contnuo, possvel que
)(xf tenha um nmero finito de descontinuidade. Entretanto, a maioria das funes de
densidade que tm aplicaes prticas na anlise de dados estatsticos contnua e
seus grficos assumem vrias formas. Como as reas sero usadas para representar
as probabilidades, e probabilidades so valores numricos positivos, a funo de
densidade deve estar inteiramente acima do eixo x.
A funo densidade de probabilidade construda de moda que a rea abaixo
de sua curva at o eixo x seja igual a 1, quando calculada para a amplitude de Xparaa qual )(xf foi definida. Se essa amplitude de X for um intervalo finito, sempre
possvel estender o intervalo para incluir o conjunto inteiro dos nmeros reais,
definindo-se )(xf como sendo zero em todos os pontos nas pores estendidas do
intervalo.
A probabilidade de que Xassuma um valor entre a e b igual a rea
sobreada abaixo da funo de densidade entre as ordenadas ax bx , e do
clculo integral dada por:
b
a
dxxfbXaP )()(
-
7/23/2019 apostila de probabilidade.pdf
28/38
Probabilidade e Estatstica - E21Prof. Priscila Pigatto Gasparin
28
Definio 5:A funo )(xf a funo de densidade de probabilidade para a varivel
aleatria contnua X , definida no conjunto de nmeros reais , se,
1) 0)( xf para todo x
2) 1)(
dxxf
3) b
a
dxxfbXaP )()(
Definio 6:Seja uma varivel aleatria X , discreta que assume valores no conjunto
,...,, 321 xxx . Chama-se valor mdio ou esperana matemtica de X ao valor)(XE onde:
1
)()(i
iXi xXPxXE se X uma varivel aleatria discreta;
dxxfxXE i )()( se X uma varivel aleatria contnua;
Definio 7:Chama-se varincia (ou desvio mdio quadrtico) da varivel aleatria
X (centrada na mdia) ao valor: 2 tal que 22 )]([)( XEXEXVar Assim:
1
2)()(i
ixXVar se X uma varivel aleatria discreta;
dxxfxXVar )(.)()( 2 se X uma varivel aleatria contnua;
A quantidade denominada de desvio padro.
importante observar que a varincia mede a disperso (espalhamento) dos dados
em torno da mdia e o desvio padro tambm faz isso, mas na mesma unidade de
grandeza de medida dos valores da varivel aleatria.
-
7/23/2019 apostila de probabilidade.pdf
29/38
Probabilidade e Estatstica - E21Prof. Priscila Pigatto Gasparin
29
8.1 DISTRIBUIES DE VARIVEIS ALEATRIAS DISCRETAS
8.1.1 Distribuio de Bernoulli
Uma varivel aleatria X tem uma distribuio de Bernoulli com parmetro quando
assume apenas os valores 1 e 0, com probabilidade e )1( respectivamente. O
nmero 1, em geral representa sucesso e 0 o fracasso.
Exemplos 8.1
a) Face de uma moeda: cara (sucesso) ou coroa (fracasso);b) Sexo de uma criana: Masculino (sucesso) ou feminino (fracasso);
c) Qualidade de uma pea: Perfeita (sucesso) ou defeituosa (fracasso)
Uma varivel aleatria X chamada de varivel de Bernoulli com sendo a
probabilidade de sucessose sua funo probabilidade for dada por:
xx
xx xXPxP 1)1()()( 1,0x 10
O parmetro de uma varivel de Bernoulli ser: (probabilidade de sucesso em uma
tentativa)
Observao:
Notao: );1(~ BX ;
0)( XE ;
)1()( XVar
Exemplo 8.2 Qual a esperana e a varincia da v.a
4
1,1~BX ?
8- DISTRIBUIO DE PROBABILIDADE
-
7/23/2019 apostila de probabilidade.pdf
30/38
Probabilidade e Estatstica - E21Prof. Priscila Pigatto Gasparin
30
8.1.2 Distribuio Binomial
Uma v.a Y tem distribuio binomial com parmetros n (nmero de tentativas) e
(probabilidade de sucessos em uma tentativa) quando assume valores no conjunto
n,...,3,2,1,0 e sua f.p dada pela expresso:
yny
YYy
nyYPyP
)1()()( ny ,...,1,0 10
Essa varivel corresponde ao nmero de sucessos em n provas independentes, cada
uma com distribuio do tipo Bernoulli.
Observao:
Notao: );(~ nBX ;
.)( nXE ;
)1(.)( nXVar
Exemplo 8.3 Se a probabilidade de um estabelecimento de material eltrico possuir
resistncias eltricas top de 0,4, e se pesquisarmos 5 estabelecimentos, qual a
probabilidade de:
a) Exatamente dois possurem resistncias eltricas topb) No mximo dois possurem resistncias eltricas top
c) No mnimo trs possurem resistncias eltricas top
Exemplo 8.4 Com os dados do Exemplo 8.3, calcule o nmero esperado de
estabelecimento de material eltrico com resistncias eltricas top, a varincia e o
desvio padro.
-
7/23/2019 apostila de probabilidade.pdf
31/38
Probabilidade e Estatstica - E21Prof. Priscila Pigatto Gasparin
31
8.1.3 Distribuio de Poisson
A distribuio de Poisson largamente empregada quando se deseja contar o nmero
de eventos de um certo tipo, que ocorrem em um intervalo de tempo, ou superfcie ou
volume, tais como:
1) nmero de chamadas telefnicas recebidas por uma central de emergncia durante
um intervalo pequeno;
2) Nmero de falhas de um computador em um dia de operao
3) Nmero de relatrios de acidentes enviados a um companhia de seguros em uma
semana;
4) Nmero de pacientes atendidos por planto.
Em muitos casos conhecemos o nmero de sucessos, porm se torna difcil e,
s vezes, sem sentido, determinarmos o nmero de fracassos ou o nmero total de
provas.
De modo geral, dizemos que uma v.a X tem uma distribuio de Poisson,
com parmetro 0 , se:!
)(x
exXP
x ,...2,1,0x
Observao:
Notao: )(~ PX ; (X tem distribuio de Poisson com parmetro ) )(XE ;
)(XVar ;
A mdia (esperana) e a varincia so iguais a , pois X tem distribuio de Poisson
com parmetro .
Embora a distribuio de Poisson tenha outras aplicaes, aqui ela nos proporciona uma boa
aproximao da distribuio binomial para n grande desde que p seja pequeno, caso em que
pn.
Exemplo 8.5Uma central PS recebe em mdia 5 chamadas por minuto. Supondo que
as chamadas que chegam constituam uma distribuio de Poisson, obtenha a
probabilidade de que o PS no receba chamadas durante o intervalo de um minuto.
-
7/23/2019 apostila de probabilidade.pdf
32/38
Probabilidade e Estatstica - E21Prof. Priscila Pigatto Gasparin
32
8.2 DISTRIBUIES DE VARIVEIS ALEATRIAS CONTNUAS
A varivel aleatria X uma varivel aleatria contnua, se o conjunto de
valores que X pode assumir um conjunto um intervalo da reta real, como por
exemplo: );,( X );,0[ X etc.
8.2.1 Distribuio Normal
A distribuio Normal uma das distribuies de probabilidade mais
importantes na anlise de fenmenos reais e de grande utilidade na Inferncia
Estatstica e em Amostragem.
Dizemos que uma varivel aleatria X tem distribuio normal com mdia(esperana) e varincia 2 se sua funo de probabilidade dada por:
;)(2
1exp
2
1)(
2
2
xxf x com e
02
Notao: ),(~ 2NX L-seX tem distribuio Normal com mdia e varincia
2
8.2.2 Representao Grfica da Curva Normal
Para calcularmos uma probabilidade qualquer, a partir da distribuio normal,
devemos trabalhar com intervalos, pois a distribuio contnua.
Se queremos, por exemplo )( bXaP ou )( aXP ou )( bXP devemos
procurar pelas seguintes reas respectivamente:
Note que a curva simtrica
em torno da mdia
-
7/23/2019 apostila de probabilidade.pdf
33/38
Probabilidade e Estatstica - E21Prof. Priscila Pigatto Gasparin
33
Para calcular tais reas teramos que usar o clculo de integrais. Como
complicado, esse clculo foi feito para todas as reas possveis e foi tabelado. Mas o
clculo s foi feito para a Distribuio Normal com 0Mdia e 1Varincia . Essa
Normal chamada de Normal Padro, e a varivel aleatria , em geral, representada
pela letra Z .
Pela notao anterior temos: )1,0(~ NZ l-se: Z tem distribuio Normal Padro
8.2.3 Como transformar uma Normal qualquer em Normal Padro
Se a v.a X tal que ),(~ 2NX , ento a varivel Z obtida como uma
transformao linear da v.a. X da seguinte forma:
X
Z
Dizemos que a v.a Z tem distribuio normal co mdia 0 e varincia 1: )1,0(~ NZ . A
curva normal padro tambm conhecida como normal reduzida ou normal zero-um.
A vantagem de transformarmos um curva ),( 2N em uma curva )1,0(N
est no fato de encontrarmos, na forma de tabela todas as probabilidades referentes
curva normal padro.
Na definio da v.a Z , quando fazemos )( X estamos mudando a origem
da v.a Xpara a sua mdia, e quando dividimos pelo desvio- padro de X , estamos
-
7/23/2019 apostila de probabilidade.pdf
34/38
Probabilidade e Estatstica - E21Prof. Priscila Pigatto Gasparin
34
mudando a escala, ou sejam a diferena entre a v.a X e a sua mdia passa a ser
medida em unidades do desvio- padro de X .
8.2.4 Uso da tabela da distribuio Normal Reduzida
Normalmente as tabelas sobre a curva normal padro informam apenas a rea sob a
funo (ou a probabilidade) definida por um intervalo de zero a um valor0
z qualquer
positivo.
H vrios tipos de tabelas que nos fornecem as reas (probabilidades) sob a
curva normal. O tipo mais frequente a tabela da Faixa Central, sendo justamente
dela que faremos uso. Os elementos dessa tabela esto a seguir:
A primeira coluna da tabela refere-se ao valor da abscissa de Z ,considerando-se a parte inteira de
0z , e sua primeira casa decimal;
A primeira linha da tabela refere-se segunda casa decimal do valor de0
z ;
As probabilidades so encontradas no cruzamento das linhas com as colunas.
Graficamente, a probabilidade fornecida pela tabela a seguinte:
A rea sobreada no grfico corresponde seguinte probabilidade
0
0
00 )()0(
z
dzzfzzP . Como a curva normal uma funo simtrica em relao
sua mdia: )()( 00 zfzf as probabilidades entre 0z e zero sero iguais as
probabilidades entre 0 e0
z . Isto : )0()( 000 zZPzZzP .
A rea total sob a curva vale um pois esta rea representa a soma das
probabilidades. Como a curva simtrica, cada metada vale 0,5, ou seja:
-
7/23/2019 apostila de probabilidade.pdf
35/38
Probabilidade e Estatstica - E21Prof. Priscila Pigatto Gasparin
35
Exemplos 8.1: reas Simples
-
7/23/2019 apostila de probabilidade.pdf
36/38
Probabilidade e Estatstica - E21Prof. Priscila Pigatto Gasparin
36
Exemplos 8.2:reas Duplas
Exemplos 8.3:reas Complementares
-
7/23/2019 apostila de probabilidade.pdf
37/38
Probabilidade e Estatstica - E21Prof. Priscila Pigatto Gasparin
37
Exemplos 8.4reas Intermedirias
-
7/23/2019 apostila de probabilidade.pdf
38/38
Probabilidade e Estatstica - E21Prof. Priscila Pigatto Gasparin
Exemplo 8.5: Determinao de um ponto
8.2.5 Clculo de probabilidade sob uma curva Normal Qualquer
Considere a seguinte condio ),(~ 2NX , com 0 e 12 .
Dada uma v.a. X com distribuio ),( 2N , para calcularmos uma probabilidade
referente a esta distribuio basta procedermos reduo da v.a. X para a v.a. Z . A
rea definida sob a curva normal padro ser idntica a rea definida sob a curva
),( 2N , isto , as probabilidades sero as mesmas.
Exemplo 8.6: Se )16,0;1(~ NX , ento a )8,12,0( XP ?
Soluo:
9544,04772,04772,022
4,0
18,1
4,0
12,08,12,0)8,12,0(
ZP
ZPX
PXP
1 A altura de uma determinada classe uma varivel aleatria normal com mdia 175
cm e varincia 225 cm2. Qual a probabilidade de encontrarmos alunos com altura entre
165 e 187 cm?
Para encontrar o ponto0
z que corresponda
probabilidade 395,0)0( 0 zZP vamosprocurar no meio da tabela da curva normalpadro o valor da rea exata ou o maisprximo possvel da requerida. Neste caso, oponto que d origem a esta rea 1,25. Logo
25,10 z