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Apostila de
Matemática
Contendo teoria e
117 questões gabaritadas
Apostila de Matemática
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Sumário
Capítulo 1- Divisão Proporcional
Divisão Proporcional............................................................................ 01
Testes de aprendizagem:..................................................................... 03
Gabarito............................................................................................... 04
Capítulo 2 - Regras de três
Regras de três ................................................................................... 07
Testes de aprendizagem:................................................................... 07
Gabarito ............................................................................................ 11
Mínimo múltiplo comum (MMC):..................................................... 11
Maximo divisor comum (MDC)......................................................... 12
Testes de Aprendizagem................................................................... 14
Gabarito............................................................................................ 16
Capítulo 3- Equação do 1º grau, equação do 2º grau e problemas
Equação do 1º grau.......................................................................... 17
Testes de aprendizagem................................................................... 18
Gabarito............................................................................................ 22
Equação do 2° grau........................................................................... 25
Testes de aprendizagem................................................................... 27
Gabarito............................................................................................ 29
Capítulo 4- Funções de 1° e 2° graus. Exponenciais e logaritmos
Função do 1°grau............................................................................ 30
Função do 2°grau............................................................................ 31
Função exponencial........................................................................ 35
Função logarítmica.......................................................................... 36
Capítulo 5- Progressão Aritmética e progressão geométrica
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Progressão aritmética.................................................................... 38
Progressão Geométrica................................................................. 39
Testes de aprendizagem............................................................... 40
Gabarito........................................................................................ 41
Capítulo 6- Análise Combinatória e Probabilidade
Análise Combinatória.................................................................. 41
Probabilidade............................................................................... 48
Testes de aprendizagem............................................................... 49
Gabarito........................................................................................ 50
Capítulo 7- Matriz, Determinante, Sistema Linear
Teoria das Matrizes...................................................................... 50
Teoria dos Determinantes............................................................ 55
Testes de aprendizagem.............................................................. 60
Gabarito....................................................................................... 61
Capítulo 8- Sistema de Medida e Problemas
Medidas de comprimento.......................................................... 61
Medidas de Área......................................................................... 62
Medidas de Volume.................................................................... 62
Medida de capacidade................................................................ 62
Medidas de Massa....................................................................... 63
Testes de aprendizagem.............................................................. 63
Gabarito....................................................................................... 64
Capítulo 9- Juros Simples e compostos
Fator de aumento e de diminuição............................................... 64
Ganho ou perda real..................................................................... 64
Juros Simples................................................................................. 64
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Juros Compostos........................................................................... 65
Testes de aprendizagem............................................................... 68
Gabarito........................................................................................ 70
Capítulo 10- Geometria Básica:Plana e Espacial
Geometria Plana......................................................................... 70
Geometria espacial..................................................................... 77
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ATENÇÃO
Dúvidas sobre as questões constantes desta apostila favor entrar em contato para que possamos ajudá-lo;
Divisão proporcional e cálculos básicos
1. Divisão Proporcional
1.1. Grandezas diretamente proporcionais:
Duas grandezas são chamadas diretamente proporcionais quando,
aumentando-se ou diminuindo-se uma delas, a outra aumenta ou
diminui na mesma proporção.
Exemplo: Duas grandezas a e b foram divididas, respectivamente,
em partes diretamente proporcionais a 3 e 4 na razão 1,2. O valor
de ba 23 + é:
A) 6,0 B) 8,2 C) 8,4 D) 14,4 E) 20,4
SOLUÇÃO: 2,13
=a
6,332,1 =⋅=⇒ a 2,14
=b
8,442,1 =⋅=⇒ b
Para calcular o valor de ba 23 + , basta substituir a e b pelos valores
acima, logo, teremos: ( ) ( ) 4,206,98,108,426,3323 =+=⋅+⋅=+ ba
ALTERNATIVA: E
Quando for mencionado apenas grandezas Proporcionais, será
interpretado como Grandezas diretamente Proporcionais.
1.2. Grandezas inversamente Proporcionais: quando,
aumentando-se uma delas, a outra diminui na mesma proporção
ou, diminuindo-se uma delas, a outra aumenta na mesma
proporção
Exemplo: (FCC/TRT 5ª R/2003) Três funcionários, A, B e C, decidiram dividir entre si
a tarefa de conferir o preenchimento de 420 formulários. A divisão deverá ser feita na
razão inversa de seus respectivos tempos de serviço no tribunal. Se A, B e C trabalham
no Tribunal há 3,5 e 6 anos, respectivamente, o numero de formulários que B deverá
conferir é
a)100 b)120 c)200 d)240 e)250
DICA PARA SOLUÇÃO:
Como o teste fala em divisão inversa, invertemos os tempos de trabalho: 6
1,
5
1,
3
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2
Observar que 420 representa uma soma do total a ser preenchido pelos 3
funcionários.
Logo, iremos fazer a soma dos inversos dos tempos, ou seja:
10
7
30
21
30
5610
6
1
5
1
3
1==
++=++
Dividimos a soma pela soma, ou seja: 6007
10420
10
7420 =⋅=÷
Multiplicando-se 600 por 5
1que represente a parte de B obtemos para resultado 120.
Alternativa correta: B
1.3. Grandezas diretamente e inversamente Proporcionais ao
mesmo tempo: Multiplicam-se os valores das partes diretamente
proporcionais pelos inversos dos valores correspondentes as partes
inversamente proporcionais
Exemplo:
Dividir o número 246 em partes diretamente proporcionais aos números 2, 3, 5 e ao mesmo
tempo em partes inversamente proporcionais aos números �� , �� � ���
SOLUÇÃO: Multiplicam-se 2, 3, 5 pelos inversos de �� , �� � ���
2. 4 =8
3. 8 = 24
5. 10=50 Somando-se os produtos, teremos: 8 + 24 + 50 = 82
246 ÷ 82 = 3
Para obter-se o resultado, multiplica-se 3 por 8, 24 e 50, ou seja:
3. 8=24
2. 24=72
3.50=150 Resultados: 24, 72 e 150
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Testes de aprendizagem:
1) (COSEAC/MDA/2009) Um lucro de R$ 360.000,00 foi calculado, após o término de uma
sociedade, e terá de ser dividido entre os três sócios, que tiveram as seguintes partições:
sócio A capital de R$20.000,00 e participação de 3 anos; sócio B capital de R$15.000,00 e
participação de 2 anos; sócio C capital de R$30.000,00 e participação de1 ano e meio. A
parte desse lucro que caberá ao sócio majoritário, nessa divisão, é de:
a)R$40.000,00 b)R$80.000,00 c)R$120.000,00 d)R$160.000,00 e)R$200.000,00
2) (Instituto Cidade/ Instituto de Botânica/2009) A sucessão (3,9, a) é diretamente
proporcional à sucessão (4, b, 16). Então podemos afirmar que:
a)a=2b b) a=b/2 c) a=b d) a-b=1
3)(NCE/INFRAERO/2004) Pedro gasta 1/5 de seu salário liquido com transporte e 3/10
com moradia. Ainda sobram R$ 243,00 para suas outras despesas. O salário líquido de
Pedro, em reais, é igual a:
a) 258,00 b)312,00 c)338,00 d)412,00 e) 486,00
4) (FCC/TRF 5ª R/2003) Dois funcionários receberam a incumbência de catalogar 153
documentos e os dividiram entre si, na razão inversa de suas respectivas idades: 32 e 40
anos. O número de documentos catalogados pelo mais jovem foi
a)87 b)85 c)70 d)68 e)65
5) (Instituto cidades/ Instituto de Botânica/2009) Dividindo-se o número 204 em partes
diretamente proporcionais aos números 4 e ¼, a menor das partes será:
a)8 b)12 c)16 d)34
6) TRT/BA - Técnico Judiciário-2003.
Três funcionários, A, B e C, decidiram dividir entre si a tarefa de conferir o
preenchimento de 420 formulários. A divisão deverá ser feita na razão inversa de seus
respectivos tempos de serviço no Tribunal. Se A, B e C trabalham no Tribunal há 3, 5 e 6
anos, respectivamente, o número de formulários que B deverá conferir é
a)100 b)120 c)200 d)240 e)250
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7)TRT/ES- Técnica Judiciário-2004
Certo dia, dois técnicos judiciários protocolaram todos os documentos de um lote. Eles
dividiram o total de documentos entre si na razão inversa se seus respectivos tempos
de serviço na repartição: 6 anos e 14 anos. Se o que trabalha há 6 anos protocolou 42
documentos, o total existente inicialmente no lote era
a)60. b)78. c)82. d)96. e)140.
8)TRT/RS- Técnico Judiciário-2006
Uma certa mistura contém álcool e gasolina na razão de 1 para 5,
respectivamente.Quantos centímetros cúbicos de gasolina há em 162 litros dessa
mistura?
a)135.000 b)32.400 c)1.350. d)324. e)135.
9)TRT/PE- Auxiliar Judiciário-2006.
Certo dia, três auxiliares judiciários protocolaram 153 documentos e, curiosamente, foi
observado que as quantidades que cada um havia protocolado eram inversamente
proporcionais às suas respectivas idades. Se um deles tinha 24 anos, o outro 30 anos e
o terceiro, 32 anos, então o número de documentos protocolados pelo mais velho era
a)35. b)42. c)45. d)52. e)60
10) TRE/PE- Técnico Judiciário-2004
Certo dia, um técnico judiciário constatou que, de cada 8 pessoas que atendera, 5 eram
do sexo feminino. Se, nesse dia, ele atendeu a 96 pessoas, quantas eram do sexo
masculino?
a) 30 b) 32 c) 34 d) 36 e) 38
GABARITO
1-D 2-C 3-E 4 - B 5 - B 6 - B 7 - A 8-A 9-C 10-D
Divisibilidade
Através da divisibilidade podemos verificar se um número é divisível
por outro sem necessidade de efetuarmos os cálculos
Divisibilidade por 2: Um número natural é divisível por 2 quando
ele for par.
Ex: 2008, 120, 13564 são pares,logo, divisível por 2.
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Divisibilidade por 3: um número é divisível por 3 quando a soma
dos valores absolutos dos algarismos que formam o número for
divisível por 3.
Ex: 2142 é divisível por 3, pois 2 + 1 + 4 + 2 = 9, que é divisível por 3.
Divisibilidade por 4: um número é divisível por 4 quando termina
em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos
da direita for divisível por 4.
ex: 4600 termina em 00 e 3916 termina em 16, logo, são divisíveis
por 4
Divisibilidade por 5: um número natural é divisível por 5 quando ele
termina em 0 ou 5.
ex: 8370 termina em 0 e 24675 termina em 5, logo, são divisíveis
por 5.
Divisibilidade por 9: um número é divisível por 9 quando a soma
dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9.
Ex: 18351 é divisível por 9, pois 1 + 8 + 3 + 5 + 1 = 18, que é divisível
por 9.
2.3 Números Primos: Chamam-se números primos os números que
admitem apenas dois divisores: ele mesmo e a unidade. O número
1 não é primo e o número 2 é o único número primo e par que
existe
Exemplos de alguns números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,
29,.......
Obs.: Quando o número não é primo é chamado COMPOSTO
Exemplos de Decomposição em fatores primos
Cálculo da quantidade de divisores positivos de um Número
Obs: A quantidade de diversos positivos de um número N é
calculada de a seguinte forma:
a) decompõe-se o número dado em seus fatores primos.
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b) soma-se o valor 1 aos expoentes e após, multiplicam-se os
resultados
Ex: calcule a quantidade de divisores positivos do número 360.
Fazendo-se a decomposição de 360 em fatores primos, obtém-se:
5.3.236023
= Somando-se 1 a cada expoente ficamos com:
( ) ( ) ( ) 24111213 =+⋅+⋅+
Logo, 360 têm 24 divisores positivos. Se quisermos saber a
quantidade total de divisores positivos e negativos basta multiplicar
24 por 2, ou seja: 24 . 2 = 48
2.4. Dízima Periódica: é um número decimal não exato e periódico,
apresenta uma parte decimal que sempre se repete chamada de
período. Toda Dízima periódica é um número racional, ou seja,
pode ser representada por uma fração chamada de fração geratriz
da dízima periódica. Uma dízima periódica pode ser formada por
três partes: parte inteira, a parte não periódica e o período
Exemplos:
a) 5, 4377777777... = parte inteira = 5, parte não periódica = 43,
período = 7
b) 0, 44444444.......= parte inteira = 0, parte não periódica = não
possui, período = 4
Para calcularmos a fração geratriz, devemos adicionar a parte
decimal à parte inteira. A parte decimal será transformada em uma
fração cujo numerador é o período da dízima e o denominador é um
número formado por tantos noves quantos são os algarismos do
período.
Ex.: 0, 434343..... = 99
43
Se a dizima possuir uma parte não periódica, devemos adicionar à
parte inteira uma fração cujo numerador é formado pela parte não
periódica, seguida de um período, menos a parte não periódica, e
cujo denominador é formado de tantos noves quantos são os
algarismos do período de tantos zeros quantos são os algarismos da
parte não periódica.
Ex.:
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7
90
129
90
3990
90
39901
90
391
90
4431....43333,1 =
+=
+⋅==
−=
9900
11398
9900
14989900
9900
149899001
9900
14981
9900
1515131......15131313,1 =
+=
+⋅==
−=
2.5. Algarismo e Números: no sistema numérico decimal, base 10,
usamos os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9. O número é formado
por algarismos dispostos em uma determinada posição,
caminhando da direita para a esquerda.
Regras de três, MMC e MDC
1. Regras de três é um processo prático para resolver problemas
que envolvam duas ou mais grandezas podendo ser direta ou
inversa. Uma regra de três é classificada em simples ou
composta.
Duas grandezas são ditas diretas quando variam no mesmo
sentido, se uma aumenta a outra também aumenta e se uma
diminui a outra também diminui.
Duas grandezas são ditas inversas quando variam em sentidos
contrários, se uma aumenta a outra diminui e se uma diminui a
outra aumenta.
1.1. Regras de três simples: é a regra de três que relaciona duas
grandezas, representada por 2 colunas.
2.2. Regras de três compostas: é a regra de três que relaciona mais
de duas grandezas, representada por mais de 2 colunas.
Testes de aprendizagem
1) TRE/AC – técnica de controle-2003
Uma impressora trabalhando continuamente emite todos os boletos de pagamento de
uma empresa em 3 horas. Havendo um aumento de 50% no total de boletos a serem
emitidos, três impressoras, iguais à primeira, trabalhando juntas poderão realizar o
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trabalho em 1 hora e
a)30min b)35min c)40min d)45min e)50min
2)Prefeitura de santos-2003
Uma impressora opera em duas velocidades, podendo imprimir três mil páginas por
hora ou 1.800 páginas por hora. Se na velocidade mais alta essa máquina executou
certo serviço em 5h 40min, então em quanto tempo o mesmo serviço seria executado
na velocidade mais baixa?
a)8h 18 min. b)8h 42 min. c)9 h 6 min. d)9h 30 min. e)9h 54 min.
3) Prefeitura de santos-2003
Supondo que 20 fiscais do cppss, trabalhando 8 horas por dia, levam 25 dias para
executar uma determinado tipo de fiscalização. O esperado é que o número de fiscais
necessário para executar a mesma tarefa em 10 dias, trabalhando 10h/d, seja?
a) 18. b)24. c)32. d)36. e)40.
4) Prefeitura de santos-2003
Suponhamos que a planta da cidade de Santos tenha sido desenhada na escala
1:80.000, o que significa que as medidas reais são iguais a 80.000 vezes as medidas
correspondentes a planta. Assim, uma medida de 4,5 cm na planta corresponde a
quantos quilômetros de medida real?
a) 0,36. b)3,6. c )36. d)360. e)3.600.
5) TRE/AM- Técnico judiciário-2003
Se os 13,56 litros de água no interior de uma bebedouro estão ocupando os 2/3 de sua
capacidade, quantos metros cúbicos de água faltam para encher esse bebedouro?
a) 0,968. b)0,678. c)0,0968. d)0,0678. e)0,00678.
6)TRT/BA- Técnica Judiciário-2003
uma máquina copiadora produz 1.500 cópias iguais em 30min de funcionamento outra
máquina, com rendimento correspondente a 80% do da primeira, produziria 1.200
dessa cópias?
a) 30. b)35. c )40. d)42. e)45.
7)TRT/MS- Técnica Judiciário-2003
Considere que a carência de um seguro-saúde é inversamente proporcional ao valor
da franquia a diretamente proporcional à idade do segurado. Se o tempo de carência
para um segurado de 20 anos, com uma franquia de R$ 1.000,00 é 2 meses, o tempo
da carência para um segurado de 60 anos com uma franquia de 1.500,00 é
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a) 4 meses. b)4 meses e meio. c)5 meses. d)5 meses e meio. e)6 meses.
8)TRT-MS -Técnica Judiciário-2003
Uma indústria tem 34 máquinas. Sabe-se que 18 dessas máquinas têm, todas, a
mesma eficiência e executam certo serviço em 10 horas de funcionamento contínuo.
Se as máquinas restantes têm 50% a mais de eficiência que as primeiras, funcionando
ininterruptamente, executariam o mesmo serviço em
a)7h 15 min . b)7h 30min. c)7h 45 min. d)8h 20min. e)8h 40min.
9) TRT-PI -Técnica Judiciário-2004
Dos x reais que foram divididos entre três pessoas, sabe-se que: a primeira recebeu
2/3 de x,diminuídos de R$ 600,00; a segunda, 1/4 de x; e a terceira, a metade de x,
diminuída de R$ 4.000,00. Nessas condições, o valor de x é
a)10.080. b)11.000. c)11.040. d)11.160. e)11.200.
10) TRT-PI -Técnica Judiciário-2004
Franco e Jade foram incumbidos de digitar as laudas de um texto. Sabe-se que ambos
digitaram suas partes com velocidades constantes e que a velocidade de Franco era de
80% da de Jade. Nessas condições, se Jade gastou 10min par digitar 3 laudas, o tempo
gasto por Franco para digitar 24 laudas foi
a)1h 15min. b)1h20min. c)1h30min. d)1h40min. e)2h.
11) TRT-ES -Técnica Judiciário-2004
Um técnico judiciário foi incumbido de arquivar os processos de um lote e observou
que, em média, gastava 1min 15 s para arquivar três processos. Se ele cumpriu essa
tarefa trabalhando ininterruptamente por 1h 17 min 30 s, o número de processos do
lote era
a)126. b)153. c)186. d)192. e )201.
12) TRT-ES -Técnica Judiciário-2004
Todas as páginas de um texto foram digitados por dois técnicos judiciários. Se,
trabalhando ininterruptamente, um deles levou 2 horas e 30 minutos para digitar 2/3
do total das páginas, em quanto tempo o outro deve ter digitado as páginas restantes,
se a sua capacidade operacional é de 80% da capacidade do primeiro?
a)1h 23min 30s. b)1h 33min 45s. c)1h35min 15s.
d)1h45min 30s. e)1h 48 min 45s.
13) TRT-SP- Técnica Judiciário-2004
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Uma máquina é capaz de imprimir 4.500 cópias em 5 horas de trabalho ininterrupto.
Outra máquina, com capacidade operacional de 80% da primeira imprimiria 3.600
cópias em
a)4h. b)4h 30min. c)4h45min. d)5h. e)5h 30 min.
14) TRT-PE- Técnica Judiciário-2004
Uma máquina corta 15 metros de papel por minuto. Usando-se outra máquina, com
60 % da capacidade operacional da primeira, é possível cortar 18 m do mesmo tipo de
papel em
a) 1min 20s. b)1min 30s. c)2min. d)2 min 15s. e)2 min 25s.
15) TRT-11ª Região - Técnica Judiciário-2005
Na oficina de determinada empresa há um certo número de aparelhos elétricos a
serem reparados. Incumbidos de realizar a tarefa, dois técnicos dividiram o total de
aparelhos entre si, na razão inversa de seus respectivos tempos de serviço na
empresa: 8 anos e 12 anos. Assim, se a um deles coube 9 aparelhos, o total reparado
foi
a)21. b)20. c)18. d)15. e)12.
16) TRF-1ª Região – Auxiliar Judiciário-2006
Uma máquina tem um jogo de duas rodas dentada para transmissão de movimentos:
uma com 45 dentes e outra com 15 dentes. A cada 3 voltas completas da roda maior,
quantas voltas completas dá a menor?
a)6. b)9. c)12. d)15. e)18.
17) TRT-RS - Técnico Judiciário-2006
Considere que uma máquina específica seja capaz de montar um livro de 400 páginas
em 5 minutos de funcionamento ininterrupto. Assim, outra máquina, com 50% de
capacidade operacional da primeira, montaria um livro de 200 páginas após funcionar
ininterruptamente por um período de
a)2min 30s. b)5min. c)6min 15s. d)7min. e)7min 30s.
18) TRT-RS – Analista Judiciário-2006.
Dois analistas judiciários devem emitir pareceres sobre 66 pedidos de
desarquivamento de processos. Eles decidiram dividir os pedidos entre si, em
quantidade que são, ao mesmo tempo, diretamente proporcionais às suas respectivas
idades e inversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço no
tribunal regional do trabalho. Se um deles tem 32 anos e trabalha há 4 anos no
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tribunal, enquanto o outro tem 48 anos e lá trabalha há 16 anos, o número de
pareceres que o mais jovem deverá emitir é
a)18. b)24. c)32. d)36. e)48.
19) TRT-PE – Analista Judiciário-2006.
Uma máquina gastou 27 minutos para tirar cópias das páginas de um documento. Se o
mesmo serviço tivesse sido executado por outra máquina, cuja capacidade operacional
fosse igual a ¾ da capacidade da primeira então teriam sido gastos
a)36min. b)30min 40 s. c)30min . d)27min30 s. e)20min 15s.
d)600. e)800.
20) TRF-4ª Região – Auxiliar Judiciário-2007.
Sabe-se que 10 máquinas, todas com a mesma capacidade operacional, são capazes de montar
100 aparelhos em 10 dias, se funcionarem ininterruptamente 10 horas por dia. Nessas
condições, o número de aparelhos que poderiam ser montados por 20 daquelas máquinas, em
20 dias de trabalho e 20 horas por dia de funcionamento ininterrupto, é
a)100. b)200. c)400. d)600. e)800.
GABARITO
2. Mínimo múltiplo comum (MMC): dois ou mais números inteiros
sempre possuem múltiplos comuns entre si e dentre eles
destacamos o menor múltiplo comum, também chamado de
mínimo múltiplo comum.
2.1. Cálculos de MMC: para calcular o MMC iremos proceder da
seguinte forma:
2.1.1. Fatoração dos números
1. °) fatorar os números, ou seja, transformá-los como produto de
seus fatores primos.
2.°) o MMC será o produto dos fatores primos comuns e não
1.A 2.D 3.E 4.B 5.E 6.A 7.A 8.B 9.C 10.D 11.C 12.B 13.D 14.C 15.D 16.B 17.B 18.E 19.A 20.E
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comuns, elevados aos maiores expoentes.
ex: MMC (180,72)
180=2.3.5 72=2�.3 MMC (180,72)=2�.3.5=360
2.1.2. Processo de Decomposição simultânea
Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo,
para tanto, traçamos uma reta vertifical, onde ficarão os divisores
simultâneos.
Ex.: MMC (24, 32,48)
24, 32, 48 2
12, 16, 24 2
6, 8, 12 2
3, 4, 6 2
3, 2, 3 2
3, 1, 3 3
1, 1, 1 1
MMC (24,32,48)=2�.3�=96.
2.2. Problemas envolvendo MMC: quando temos problemas cujos
fenômenos acontecem periodicamente e em um determinado
momento eles estão juntos, para se calcular quando é que eles
voltarão a se encontrar utilizaremos o MMC.
Ex: Um cometa passa perto da terra de 20 em 20 anos e outro
cometa de 50 em 50 anos. Se hoje eles passaram juntos perto da
terra, daqui a quantos anos esse fenômeno voltará acontecer?
Tempo de encontro: MMC (20,50) = 100 anos.
3. Maximo divisor comum (MDC): dois ou mais números inteiros
sempre possuem divisores comuns entre si e dentre eles
destacamos o maior divisor comum, também chamado de máximo
divisor comum.
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3.1. Cálculo do MDC
A) Fatoração dos Números
1. Fatoram-se os números, ou seja, calculamos os produto de seus
fatores primos.
2. O MDC será o produto dos fatores primos comuns elevados aos
menores expoentes.
ex: MDC (180,72)
180= 2.3.5 72=2�.3 MMC(180,72)=2.3=36.
B) Regras das divisões sucessivas
1. Dividimos o número maior pelo menor.
2. Como não deu resto zero, dividimos o divisor pelo resto da
divisão anterior.
3. Prosseguimos com as divisões sucessivas ate obter resto zero.
EX: MDC (160, 64)
1) 160: 64 dá resto 32.
2) 64: 32 dá resto zero, logo, MDC (160,64) = 32.
Obs.: Se o MDC entre dois números for igual a 1, então esses
números são ditos primos entre si.
Ex: MDC (9 , 4 )=1, logo, 4 e 9 são primos entre si, o que não
quer dizer que 4 e 9 sejam números primos.
3.2. Problemas Envolvendo MDC: normalmente são
problemas em que determinados valores serão divididos ao
mesmo tempo por um número que é o maior possível.
Ex: (TRE/AM/2003) Um auxiliar de enfermagem pretende
usar a menor quantidade possível de gavetas para acomodar
120 frascos de um tipo de medicamento, 150 frascos de outro
tipo e 225 frascos de um terceiro tipo. Se ele colocar a mesma
quantidade de frascos em todas as gavetas, e medicamentos
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de um único tipo em cada uma delas, quantas gavetas deverá
usar?
a)33
b)48
c)75
d)99
e)165
Solução
Se ele for utilizar a menor quantidade de gavetas significa que
a quantidade de medicamento será maior e como a
quantidade de medicamentos será a mesma, então esta
quantidade será o maior valor que divide 120, 150 e 225 ao
mesmo tempo, ou seja, será o MDC (120, 150, 225) = 15. Para
calcularmos a quantidade de gavetas façamos as divisões
120:15=8, 150:15=10 e 225:15=15, assim sendo, temos 33.
Opção A.
4. Relação entre o MMC e MDC de dois números
MMC (a, b). MDC (a, b) = a.b
Testes de Aprendizagem
1)(VUNESP/CESP SP/2009) Três representantes de indústrias farmacêuticas
visitam regularmente clínicas médicas. O primeiro retorna a uma determinada
clínica a cada 40 dias; o segundo, a cada 50 dias, e o terceiro, a cada 60 dias.
Se os três representantes se encontrarem nessa clínica num certo dia, então
eles irão se encontrar novamente na mesma clínica a cada
a)630 dias. b) 600 dias. c)540 dias. d)360 dias. e)300 dias
2)(FCC/TRT 21ª R/2003) Três funcionários fazem plantões nas seções em que
trabalham: um a cada 10 dias, o outro a cada 15 dias, e o terceiro a cada 20
dias, inclusive aos sábados, domingos e feriados. Se no dia 18/05/02 o três
estiveram de plantão, a próxima data em que houve coincidência no dia de
seus plantões foi
a)18/11/02 b)17/09/02 c)18/08/02 d)17/07/02 e)18/06/12
3) (FCC/TRF 5ª R/2003) No almoxarifado de certa empresa havia dois tipos de
canetas esferográficas: 224 com tinta azul e 160 com tinta vermelha. Um
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funcionário foi incumbido de empacotar todas essas canetas de modo que
cada pacote contenha apenas canetas com tinta de uma mesma cor. Se todos
os pacotes devem conter igual número de canetas, a menor quantidade de
pacote que ele poderá obter é
a)8 b)10 c)12 d)14 e)16
4) (FCC/TRT 5ª R/2003) uma enfermeira recebeu um lote de medicamentos
com 132 comprimidos de analgésico e 156 comprimidos de antibióticos.
Deverá distribuí-los em recipientes iguais, contendo, cada um, a maior
quantidade possível de um único tipo de medicamento. Considerando que
todos os recipientes deverão receber a mesma quantidade de medicamentos,
o número de recipientes necessários para essa distribuição é
a)24 b)16 c)12 d)8 e)4
5)(PUC PR/COPEL/ 2010)Dois navios de cruzeiro saem do porto de Santos: o
primeiro de 14 em 14 dias e o segundo de 24 em 24 dias.Se os dois navios
saírem do porto num mesmo dia, o tempo para tornarem a sair novamente no
mesmo dia é:
a)120 dias b)168 dias c)125 dias d)48 dias e)96 dias
6)(VUNESP/CETESB/2009) Quatro luminosos acendem suas lâmpadas em
intervalos regulares. O primeiro a cada 10 segundos, o segundo a cada 12
segundos, o terceiro a cada 15 segundos e o quarto a cada 30 segundos. Se, às
5 h 25 min, os quatro acenderem ao mesmo tempo, os luminosos voltarão a
acender todos juntos, novamente, às
a)6 h 25 min. b)6h 16 min. c)6h 06 min. d)5 h 26 min. e)5 h 35 min.
7) (CESGRANRIO/DECEA/2009) Carlos está doente e seu médico mandou que
ele tomasse dois remédios diferentes durante uma semana. Um deles deve
ser tomado de 5 em 5 horas e o outro, de 8 em 8 horas. Às 6h da manhã de 2ª
feira, Carlos tomou os dois remédios ao mesmo tempo. Seguindo
corretamente a prescrição do médico, em que dia e em que horário ele
tomará, de novo, os dois remédios juntos?
a) 2ª feira, às 23 h. b) 3ª feira, às 6 h. c)3ª feira, às 22
h. d) 4ª feira, às 11h. e)4ª feira, às 12 h.
8) (CESGRANRIO/TRANSPETRO /2006) Luiz vai de bicicleta de casa até sua
escola em 20 minutos, percorrendo ao todo 4 km. Se, pedalando no mesmo
ritmo, ele leva 1h 10 min para ir de sua casa até a casa de sua avó, a distância,
em km, entre as duas casas é de:
a)14 b)16 c) 18 d)20 e)22
9)(NCE/arquivo Nacional/2006) /Maria e Ana se encontram de três em três
dias, Maria e Joana se encontram de cinco em 5 dias e Maria e Carla se
encontram de dez em dez dias. Hoje, as quatro amigas se encontraram. A
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próxima vez que todas irão se encontrar novamente será daqui a:
a) 15 dias b) 18 dias c)28 dias d)30dias e) 50dias
10)(FAPEU/TRE SC/2002) três trabalhadores foram admitidos em uma
repartição pública, em cargos diferentes, no ano de 1992, e terão direito à
licença- premia, respectivamente, a cada 24, 32 e 36 meses trabalhados.
Assinale, abaixo, o ano em que os 3 trabalhadores poderão gozar da licença-
premia, simultaneamente.
a)2084 b)2024 c)2016 d)1994
GABARITO
1-B 2-D 3- C 4- A 5-B 6-D 7-C 8-B 9-D 10-C
5. Questões envolvendo torneiras e ralos
A) Consideremos 2 torneiras enchendo um tanque ao mesmo tempo.
Para calcular o tempo que as 2 torneiras levam para encher o tanque
multiplicam-se os tempos e divide-se o resultado pelos mesmos.
Sejam as torneiras A e B.
BA
BAt
+
⋅=
Ex 1: Uma torneira enche um tanque em 6 horas. Outra
torneira o enche em 4 horas. Abrindo-se as 2 torneiras
simultaneamente, em quanto tempo o tanque ficará cheio
Solução: horas 4,210
24
46
46==
+
⋅=t - 2 horas e 24 minutos
B) Consideremos agora uma torneira enchendo um tanque e
uma válvula esvaziando. Nesse caso multiplicam-se os
tempos e divide-se o resultado pela diferença entre eles.
Ex 2: Uma torneira enche um tanque em 6 horas e uma
válvula o esvazia em 2 horas. Mantendo-se a torneira e a
válvula abertas em quanto tempo o tanque ficará cheio?
Solução: 122
24
46
46==
−
⋅=t horas.
C) Sejam 2 torneiras enchendo um tanque simultâneamente
e um ralo esvaziando. Iremos, para realizar esse cálculo de
forma rápida utilizar três palavras: inverte, soma e inverte.
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Observe o exemplo abaixo
Ex 3: Uma torneira enche um tanque em 2h, outra torneira
enche o mesmo tanque em 3 h e um ralo esvazia o tanque
em 6 h. Abrindo-se as torneiras e o ralo no mesmo instante,
em quanto tempo o tanque ficará cheio?
Solução: Tempos parcial: 2h, 3 h e 6h
Inicialmente invertem-se os tempos dados: 6
1,
3
1,
2
1
Somam-se e subtraem-se respectivamente os valores acima
3
2
6
4
6
123
6
1
3
1
2
1==
−+=−+
Para chegar ao resultado, inverte-se o resultado. O inverso de
3
2 é
2
3. Logo, o tempo necessário para o tanque ficar cheio é
igual a 2
3hora = 1 hora e 30 minutos
Equação do 1º grau, equação do 2º grau e problemas
1. Equação do 1º grau
É toda a equação que se apresenta na forma 0=+ bax
com a 0≠
Exemplos
a) 23
66351131153 =⇒=⇒=⇒−=⇒=+ xxxxx
b) (TRT/BA- Técnico Judiciário-2003) -
Qual a idade de atual de uma pessoa, se daqui a 8 anos ela terá exatamente o
triplo da idade que tinha há 8 anos?
a) 15 anos. b) 16 anos. c) 24 anos. d) 30 anos. e) 32 anos.
Idade atual: x
Daqui a 8 anos a idade será x + 8
Há 8 anos atrás sua idade será representada por x – 8
( ) 1623232482438838 =⇒=⇒−=+⇒−=+⇒−=+ xxxxxxxx
Alternativa Correta: B
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18
Testes de aprendizagem
1)Prefeitura de Santos-2003
Certo mês, três técnicos protocolaram um total de 1.557 documentos, sendo
que o primeiro protocolou 609 deles. Se a diferença entre os números de
documentos protocolados pelos outros dois técnicos é 94, o menor desses
dois números é
a) 521 b)par. c) multiplico de 3.
d)o triplo de 142. e) a terça parte de 1.281.
2) Prefeitura de Santos-2003
Num determinado ano, do total de processos de solicitação de pensões
arquivados por um técnico auxiliar administrativo, sabe-se que 2/5 foram
arquivados no primeiro quadrimestre e 3 /8 no segundo quadrimestre. Se os
36 processos restantes foram arquivados no terceiro quadrimestre, o total de
processos era
a) 156. b)160. c)168. d)170. e) 176.
3) Prefeitura de Santos-2003
Certo dia, 3 técnicos administrativos atenderam um total de 130 pessoas. O
primeiro atendeu 8 pessoas a mais do que o segundo e este, 5 a menos do que
o terceiro. O número de pessoas atendidas pelo
a) primeiro foi 45. b) primeiro foi 47. c) segundo foi 37.
d) segundo foi 38. e) terceiro foi 42.
4) TRT/BA- Técnico Judiciário-2003
O primeiro andar de um prédio vai ser reformado e os funcionários que lá
trabalham serão removidos. Se 1/3 do total dos funcionários deverá ir para o
segundo andar, 2/5 do total para o terceiro andar e os 28 restantes para o
quarto andar, o número de funcionários que serão removidos é
a) 50. b)84. c)105. d)120. e) 150.
5) TRT/BA- Técnico Judiciário-2003
Qual a idade atual de uma pessoa se daqui a 8 anos ela terá exatamente o
triplo da idade que tinha há 8 anos?
a) 15 anos. b) 16 anos. c) 24 anos. d) 30 anos. e) 32 anos.
6) TRT/RN- Técnico Judiciário-2003
Um determinado serviço é realizado por uma única maquina em 12h de
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19
funcionamento ininterrupto, e em 15 h, por uma outra máquina, nas mesmas
condições. Se funcionarem simultaneamente, em quanto tempo realizarão
esse mesmo serviço?
a)3h. b)9h. c)25h. d)4h 50min. e)6h 40min.
7) TRF/4ª Região- Auxiliar Judiciário- 2004.
Certo dia, no início do expediente de uma Repartição Pública, dois
funcionários X e Y receberam, cada um, uma dada quantidade de impressos.
Então, X cedeu a Y tantos impressos quanto Y tinha e, logo em seguida, Y
cedeu a X tantos impressos quanto X tinha. Se, após as duas transações,
ambos ficaram com 32 impressos, então, inicialmente, o número de impressos
de X era
a) 24. b) 32. c) 40. d) 48. e) 52.
8) TRT/23ª Região- Técnico Judiciário- 2004.
A figura indica um quadrado de 3 linhas e 3 colunas contendo três símbolos
diferentes:
Sabe-se que:
- cada símbolo representa um número;
- a soma dos correspondentes números representados na 1ª linha é 16;
- a soma dos correspondente números representados na 3ª coluna é 18;
- a soma de todos os correspondentes números no quadrado é 39.
Nas condições dadas, o valor numérico do símbolo ⨀é
a) 8. b) 6. c) 5. d) 3. e)2.
9) TRT/23ª Região- Técnico Judiciário- 2004.
Em uma eleição em que concorreram os candidatos A, B e C, cada eleitor
recebeu uma cédula com o nome de cada candidato e deveria atribuir o
numero 1 à sua primeira escolha, o numero 2 à sua segunda escolha, e o
numero 3 à terceira escolha. Ao final da eleição, sabe-se que todos os eleitores
votaram corretamente, e que a soma dos números atribuídos a cada candidato
foi:
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20
-22 para A;
-18 para B;
-20 para C.
Em tais condições, o número de pessoas que votou nessa eleição é igual a
a) 6. b) 5. c) 10. d) 12. e) 15.
10) TRT/PI- Técnico Judiciário-2004
Dos X reais que foram divididos entre três pessoas, sabe-se que: a primeira
recebeu 2/3 de X, diminuídos de R$ 600,00; a segunda, 1/4 de X; e a terceira, a
metade de X, diminuída de R$ 4.000,00. Nessas condições, o valor de X é
a) 10.080. b) 11.000. c) 11.040. d) 11.160. e) 11.200.
11) TRT/ES- Técnico Judiciário-2004
No almoxarifado de certa empresa há 16 prateleiras, todas ocupados com dois
tipos de impressos, A e B, que totalizam 2.610 unidades. Se algumas das
prateleiras contêm, cada uma, 150 unidades de impressos, unicamente do tipo
A, e cada uma das restantes contêm 180 impressos, somente do tipo B, a
diferença positiva entre os números de impressos de cada tipo é
a) 65. b) 80. c) 85. d) 90. e) 120.
12) TRT/SP- Técnico Judiciário-2004.
No almoxarifado de uma empresa há canetas e borrachas num total de 305
unidades. Se o número de canetas é igual ao triplo do número de borrachas
diminuído de 35 unidades. O número de canetas é
a) 160. b) 190. c) 200. d) 220. e) 250.
13) TRT/4ª Região- Técnico Judiciário- 2004.
Hoje, dois técnicos judiciários, Marilza e Ricardo, receberam 600 e 480
processos para arquivar, respectivamente. Se Marilza arquivar 20 processos
por dia e Ricardo arquivar 12 por dia, a partir de quantos dias, contados de
hoje, Marilza terá menos processos para arquivar do que Ricardo?
a) 12. b) 14. c) 16. d) 18. e) 20.
14) TRE/PE- Técnico Judiciário-2004.
Alguns processos a serem arquivados foram distribuídos a três técnicos
judiciários, A, B e C, do seguinte modo: B recebeu o triplo de A e C recebeu a
metade de B. Se a diferença entre a maior e a menor quantidade de processos
distribuídos era de 48 unidades, o total de processos era
a) 132. b) 148. c) 156. d) 168. e) 176.
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21
15) TRE/PE- Técnico Judiciário-2004.
Pretende-se dividir a quantia de R$ 2.500,00 em duas partes tais que a soma
da terça parte da primeira com o triplo da segunda seja igual a R$ 2.700,00. A
diferença positiva entre os valores das duas partes é de
a) R$ 700,00. b) R$ 800,00. c) R$ 900,00
d) R$ 1.000,00. e) R$ 1.100,00
16) TRT/11ª Região- Técnico Judiciário- 2005.
No esquema seguinte têm-se indicadas as operações que devem ser
sucessivamente efetuadas, a partir de um numero X, a fim de obter- se como
resultado final o número 12.
X→ adicionar 39 →dividir por 4 → subtrair 12 →multiplicar por 3 → 12
É verdade que o número X é
a) primo. b) par. c) divisível por 3.
d) múltiplo de 7. e) quadrado perfeito.
17) TRT/11ª Região- Técnico Judiciário- 2005.
Na figura abaixo tem-se um quadrado mágico, ou seja, um quadrado em que
os três números dispostos na celas de cada linha, coluna ou diagonal têm a
mesma soma.
X 9/2 -2,5
Y 1/2 Z
7/2 T 1,5
Nessas condições, os números X, Y, Z e T devem ser tais que
a)X< Y<Z<T. b)T<Y<X<Z. c)T<X<Z<Y.
d)Z<T<X<Y. e)Z<Y<X<T.
18) TRT/11ª Região- Técnico Judiciário- 2005.
Pretendendo incentivar seu filho a estudar Matemática, um pai lhe propôs 25
problemas, prometendo pagar R$1,00 por problema resolvido corretamente e
R$ 0,25 de multa por problema que apresentasse solução
errada.Curiosamente, após o filho resolver todos os problemas, foi observado
que nenhum devia nada ao outro. Se x é o número de problemas que
representaram solução errada, então
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22
a) x>18. b) 12<x<18. c) 8<x<12. d) 4<x<8. e) 0<x<4.
19) TRF/1ª Região- Auxiliar Judiciário- 2006.
Um auxiliar Judiciário foi incumbido de encadernar um certo número de
livros. Sabe-se que, no primeiro dia de execução da tarefa ele encadernou da
metade do total de livros e, no segundo, a terça parte dos livros restantes.
Se no terceiro dia ele encadernou os últimos 12 livros, então o total inicial era
a)32. b)36 c)38. d)40. e)42.
GABARITO
1.2. Inequação do 1º grau: é toda inequação que pode ser
reduzida a uma das seguintes formas: a. x + b > 0, a. x +b ≥ 0,
a. x + b < 0 e a . x + b ≤ 0.
Obs.: Quando multiplicamos ambos os membros da
desigualdade por um número negativo, inverte-se o sentido
da desigualdade.
Ex: Resolver a inequação 2(2x-1)-3(4x-2)≥3 em U= IR.
2(2x-1)-3(4x-2)≥3 4X-2-12X+6≥3 = 4X-12X≥3+2-6
-8X≥-1 (multiplicando por -1) 8x≤1 = x≤1/8
Podemos representar a solução de uma inequação do 1º grau
por meio da reta real.
Ex: x ≥ 3 ou [3, + ∞) ou [ 3, + ∞[, note que temos o sinal de
igual, logo, a ¨bola¨ é fechada.
3
Ex.:x > 3 ou (3, + ∞) ou ]3, + ∞ [, note que não temos o sinal
1 -e 2- b 3-b 4- c 5 -b 6- e 7-c 8-e 9-c 10-c 11-d 12-d 13-c 14-a 15-e 16-e 17-b 18-a 19-b
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23
de igual,logo, a “bola” é aberta.
3
Ex.: x ≤ 3 ou (- ∞, 3] ou] -∞, 3]
Ex.: x < 3 ou (- ∞, 3) ou] -∞, 3[
3
Ex.: 1 ≤ x ≤ 2 ou [1,2]
1 2
Ex.: 1 < x ≤ 2 ou (1,2] ou] 1, 2]
1 2
Ex.: 1 ≤ x < 2 ou [1,2) ou [1,2 [
1 2
Ex.: 1 < x < 2 ou (1,2) ou ] 1,2[
1 2
3
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Ex.:x > 3 ou (3, + ∞) ou ]3, + ∞ [, note que não temos o sinal
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24
1.3 Sistema do 1º Grau: É um sistema formado por duas
equações do 1º grau. De uma forma geral os problemas
envolvem duas equações e duas variáveis, sendo expressas na
forma:���. � + ��. � = ���. � + �. � = �
Existem basicamente dois métodos para resolvermos
sistemas do 1º grau a duas variáveis:
1.º) Método de Adição:
Este método consiste em adicionarmos as duas equações
membro a membro, observando que nesta operação
deveremos eliminar uma variável.
Ex: � � + � = 92. � − � = 3 adicionando membro a membro as duas
equações eliminamos o y
3. x = 12 x = 4, substituindo este valor em qualquer das duas
equações encontramos o valor x.
Vamos substituir na 1º equação, 4 + y = 9, o y por 5, logo, a
solução desse sistema é o par ordenado (4,5), ou seja, S=
{(4,5)}.
Ex: �3. � + 2. � = 13� + 3. � = 9 neste caso iremos multiplicar a 1ª
equação por 3 e a 2ª por -2, eliminando o y.
�3. � + 2. � = 13. (3)� + 3. � = 9. (−2) � 9. � + 6. � = 39−2. � − 6. � = −18 somando
membro a membro iremos eliminar o y.
7. x = 21 x = 3, substituindo em
qualquer equação calculamos o y.
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25
Vamos substituir na 2º equação original, 3 + 3. y= 9 por 2,
logo, a solução será S= {(3,2)}.
2.°) Método das substituição:
Este método consiste em isolar uma incógnita numa equação
e substituí-la na outra equação do sistema dado, recaindo-se
numa equação do 1° grau com uma única incógnita.
Ex:� 2� + � = 62. � + 3. � = 2 iremos isolar o y da 1ª equação, y = 6 - 2.x,
e substituir no y da 2ª equação.
2 . x + 3. (6 – 2. x) =2 2. X +18 - 6. x = 2 -4.x = - 16. (-1)
4. x =16
x=4, substituindo este valor em y=6-2.x, calculamos y, logo,
y=6 -2.(4)=-2, logo, S={(4, -2)}.
1.4. Sistema de inequação do 1° grau: Resolvemos cada uma
das inequações e calculamos a intersecção das soluções.
2. Equação do 2° grau
2.1. É toda equação da forma, ou redutível a, a.x2 +b.x+c=0,
com a, b, e c reais e a ≠ 0, . Toda equação do 2° grau possui
duas raízes (�� e �) que são calculados pela formula de
Báskara:
� = !"±$"%!�.&.'.& = !"±√∆.& em que ∆= �-4.a.c é o discriminante.
2.2. Discussão da existência das Raízes: dependendo do
discriminante ∆ podemos ter raízes reais ou complexas.
Vejamos as condições:
1.) ∆ > 0: teremos duas raízes reais e desiguais ��≠�. 2.) ∆ =0: teremos duas raízes reais e iguais (uma raiz
dupla) ��=�. 3.) ∆ <0: teremos duas raízes complexas ou imaginárias, ou
seja, as raízes não serão reais.
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2.3. Soma e Produto das Raízes: seja a.x2 +b.x+c=0 de
raízes ��e �, Logo:
S: a
bxx −=+
21 P:
a
cxx =⋅
21
Podemos montar uma equação de 2° grau conhecendo
apenas a soma e o produto de suas raízes.
X2 - S. x + P = 0
2.4. Equação do 2° grau incompleta: três casos a
considerar:
1.) a. x2 + b. x + c = 0, se b=0 teremos a. x2 + c = 0 e x
=a
c−±
2.) a. x2 + b. x + c = 0, se c = 0, teremos a. x2 + b. x = 0
poderemos colocar x em evidência x. (a. x + b) = 0, logo
teremos x = 0 ou a.x+ b=0 que dá x= - a
b. Note que neste
caso uma raízes é nula (igual a zero).
3.)a . x2 + b. x + c = 0, se b = 0 e c = 0, teremos a . x2 = 0 e as
duas raízes serão nulas.
2.5. Equação biquadrada: é toda a equação que se
apresenta na forma a.x4+b.x2 +c=0 que, após a mudança
de variável y= x2, se transforma na equação do 2º grau
a.y2 + b.y +c =0. A equação biquadrada possui quatro
raízes.
2.6. Sistema do 2º grau: ocorre quando temos pelo menos
um termo do segundo grau em alguma das equações do
sistema. Neste caso, quando isolamos uma variável e
substituímos na outra equação, teremos uma equação do
segundo grau.
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2.7. Inequação do 2º grau: é toda inequação que pode ser
reduzida a uma das seguintes formas:
a.x2 + b.x+c >0, a.x2 +b.x+c 0≥ , a.x2+b.x+c 0< e
a.x2 + b.x +c 0≤
Para resolvermos uma inequação do 2º grau iremos
proceder da seguinte forma:
1) O coeficiente a, que multiplica o�, terá que ser sempre
positivo, se não for, multiplique a inequação toda por (-1),
lembrando que inverter a desigualdade.
2) calcular as raízes como se fosse equação, se houver o
sinal de igual na inequação,as raízes terão “bola fechada”,
se não houver o sinal de igual, as raízes terão “bola
aberta”.
3) se o sinal da desigualdade for maior, a solução estará
fora das raízes, se o sinal da desigualdade for o menor, a
solução estará dentro das raízes.
Testes de aprendizagem
1) Prefeitura de Santos-2003.
Em certo momento, o número P de pessoas que se encontravam em uma fila
para atendimento era tal, que se do seu quadrado subtraíssemos seu triplo,
obteríamos 648. É verdade que
a) P+1=28. b)P+9=321 c)P-8=35. d)2P=64. e) 3P=90
2) TER/AM- Técnico Judiciário-2003
Alguns técnicos judiciários decidiram dividir igualmente entre si as 300 páginas
de um texto a ser digitado. Entretanto, um deles foi designado para outra
atividade e, assim, coube a cada um dos outros digitar 15 páginas a mais que o
combinado. O número de páginas que cada técnico digitou foi
a) 80. b)75. c)72. d)65. e) 60.
3) TRT/BA- Técnico Judiciário-2003
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Numa reunião, o número de mulheres presentes excede o número de homens
em 20 unidades. Se o produto do número de mulheres pelo de homens é 156,
o total de pessoas presentes nessa reunião é
a) 24. b)28. c)30. d)32. e) 36.
4) TRF/4ª Região – Auxiliar Judiciário- 2004.
Um grupo de pessoas fretou um avião de 150 lugares para uma excursão. A
empresa locadora exigiu que cada pessoa pagasse R$600,00 e mais um
adicional de R$50,00 referente a cada lugar vago. Se esse fretamento rendeu à
empresa R$ 328.050,00, o número de pessoas que participou de excursão foi
a) 81. b)85. c)90. d)92. e) 97.
5)TRT/ES- Técnico Judiciário-2004
Todos os 840 litros do interior de um tanque devem ser colocados, em
quantidades iguais, em alguns recipientes. Sabe-se que, se forem usados X
recipientes, cada um deles receberá Y litros de água; entretanto, se forem
usados X-6 recipientes, cada um deles ficará com Y + 16 litros. Nessas
condições, o valor de X é
a) 21. b)36. c)48. d)56. e) 78.
6) TRT/SP- Técnico Judiciário-2004.
Alguns técnicos judiciários combinaram dividir igualmente entre si 108
processos a serem arquivados. Entretanto, no dia em que o trabalho seria
realizado, dois técnicos faltaram ao serviço e, assim, coube a cada um dos
outros arquivar 9 processos a mais que o inicialmente previsto. O número de
processos que cada técnicos arquivou foi
a) 16. b)18. c)721. d)25. e) 27.
7) TRE/PE- Técnico Judiciário-2004.
Alguns técnicos judiciários combinaram dividir igualmente entre si a tarefa de
digitar as 245 páginas de um texto. Entretanto, no dia da divisão, o grupo foi
acrescido de mais dois técnicos e, assim, coube a cada membro do novo grupo
digitar 14 páginas a menos do que inicialmente previsto. O número de técnicos
que cumpriu a tarefa era
a) 7. b)6. c)5. d)4. e) 3.
8) TRT/ 11ª Região – Técnico Judiciário-2005.
Um técnico administrativo foi incumbido de arquivar 120 processos em X
caixas, nas quais todos os processos deveriam ser distribuídos em quantidades
iguais. Entretanto, ao executar a tarefa, ele usou apenas X - 3 caixas e, com
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29
isso, cada caixa ficou com 9 processos a mais que o previsto inicialmente.
Nessas condições, o número de processos colocados em cada caixa foi
a) 24. b)22. c)21. d)17. e) 15.
9) TRT/RS– Técnico Judiciário-2006.
Dois técnicos judiciários receberam, cada um, uma mesma quantidade de
processos para arquivar e, ao final do trabalho, anotaram os respectivos
tempos, em horas, que gastaram na execução da tarefa. Se a soma e o
produto dos dois tempos anotados eram numericamente iguais a 15 e 54,
respectivamente, então quantas horas um deles gastou a mais que o outro
para arquivar o seu total de processos?
a) 3. b)4. c)5. d)6. e) 7
GABARITO
1-A 2-B 3-D 4- A 5-A 6- E 7-A 8-A 9-A
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Funções de 1° e 2° graus. Exponenciais e logaritmos
1.Função do 1° grau: Dados os números reais a e b, com a
≠ 0, chama-se função do 1º grau (ou função afim) a
função: f: IR → IR definida por y= f(x)=a.x+b
o coeficiente a é chamado de coeficiente angular e o b de
coeficiente linear.
1.1 Gráfico da função do 1° Grau: é uma reta e pode ser
crescente (a> 0) ou decrescente (a< 0)
Função crescente a > 0 Função decrescente a < 0
y y
x x
1.2 Raiz e sinal da função do 1° grau: para calcularmos a
raiz da função f(x) = a.x+b, basta fazermos f(x)=0 ou y = 0,
logo, a.x+b=0 → �� = −� → � = - �� que é o ponto onde o
gráfico intercepta o eixo x. Aparte do gráfico que estiver
abaixo do eixo x terá sinal, do y ou f(x), negativo (sinal de
menos), e a parte que estiver acima do eixo x terá sinal, do
y ou f(x), positivo (sinal de mais). Considere as figuras
abaixo
Na primeira figura a função é crescente a > 0 e na segunda
figura a função é decrescente a < 0.
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2. Função do 2°grau: dados os números reais a, b e c, com
a ≠ 0, chama-se função de 2° grau (ou função quadrática)
a função: f: IR →IR definida por y= f (x) = a . x2 + b . x + c.
2.1. Gráfico da Função do 2° grau: o gráfico da função
f(x)=a. �+b.x+c é uma curva chamada PARÁBOLA, que
possui concavidade para cima (a > 0), ou concavidade para
baixo (a < 0).
a > 0 a < 0
y y
x x
2.2. Vértice da Parábola: é o ponto que nos dará o
máximo (a < 0) ou o mínimo (a> 0), ou seja, teremos o
vértice de máximo, �� , e vértice de mínimo, �í�.
�Á
O vértice da parábola também é representado pelas suas
+ +
- -
��
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coordenadas x e y,
V=(x,y), ou pelas fórmulas x= - �.� y = - ∆�.� ∆= �- 4.a.c.
A coordenada x do vértice é o ponto médio das raízes.
Estas fórmulas podem ser usadas tanto para vértice de
máximo quanto para o de mínimo.
2.3. Raízes e sinais de uma função do 2° grau: para
calcularmos as raízes da função f(x)= a.� + b.x + c, basta
fazermos f(x)= 0 ou y= 0 e resolvermos a equação a.�+
b.x+c=0.
Dependendo do discriminante, ∆, teremos raízes reais ou
complexas, e dependendo do a teremos concavidade para
cima ou para baixo. Em cada um desses casos teremos os
sinais da função. A parte do gráfico que estiver abaixo do
eixo x terá sinal, do y ou f(x), negativo (sinal de menos), e a
parte que estiver acima do eixo x terá sinal, do y ou f(x),
positivo (sinal de mais). Vejamos então:
∆> 0:�� ≠� → corta o eixo x em dois pontos distintos
que são as raízes.
a > 0 a < 0
y y
v
x x
v
∆= 0:�� =� → corta o eixo x em um ponto,então as
duas raízes são iguais.
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a > 0 a< 0
y y
V x
x
v
∆ < 0: não temos raízes reais, não corta o eixo x, as raízes
são complexas.
a > 0 a < 0
y y
x
v x v
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Obs: os sinais de + e de – são sinais da função, ou seja, de
y ou f( x ), e não de valores de x, podemos ter um valor de
x negativo resultando um de y positivo, ou um valor de x
positivo resultando um de y negativo.
2.4. Montagem da função f(x)= a.��+b.x+c: podemos
montar uma função do 2º grau basicamente de duas
formas:
1.)calculando os coeficientes a, b e c: para isso teremos
que conhecer três pontos pertencentes à parábola
substituindo estes valores e resolvendo o sistema que
resultará.
Ex: monte a função f(x)= a.�+b.x+c, sabendo que os
pontos (1, -1), (-1, - 3) e (2, 6) pertencem à parábola.
Vamos substituir cada um dos pontos (1,-1), (-1,-3) e (2,6)
na função (x)=a.�+b.x+c,
(1,-1) → a+b+c= -1
(-1, - 3) → a-b+c=-3
(2,6) → 4.a+2.b+c+6, resolvendo este sistema
encontramos a=2, b= 1 e c =- 4.
Logo, a função será f(x) = 2.�+x – 4.
2.) Se tivermos as duas raízes �� e � podemos montar a
função da seguinte forma:
f(x)= a.(x-��).(x-�) em que a é o coeficiente de �, a poderá
ser calculado com um ponto qualquer da parábola.
3. Função exponencial
É toda função da forma y= f(x) = �� com b ∈ IR, b > 0 e b ≠
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1. Se b > 1. A função será crescente e se 0 < b< 1 a função
será decrescente. Note que b não pode ser negativo, nem
zero e nem um.
3.1. Propriedade das potências
a) yxyx aaa +=⋅ b)
� �! = ��"#� ≠ 0 c)(��)#=��.#
d)(a.b)�=��. �� e)%��&�
=� � b≠ 0 f) �"�=
��'
a≠ 0
Obs: √�)'= �
*' n≥ 2
3.2. Gráfico da função exponencial
Nunca toca o eixo x
y y
1 x 1 x
0 0
função crescente b > 1 função decrescente 0 < b < 1
3.3 Equação exponencial
É toda equação cuja variável esteja no expoente, para
resolvê-la basta utilizarmos as propriedades das potências
representando a equação como uma igualdade entre
potências de mesma base, cujos expoentes serão iguais,
��= �#, logo, x=y, b>0 e b≠1.
3.4. Inequação exponencial
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Teremos dois casos:
1.)b>1: a desigualdade entre os expoentes é a mesma
desigualdade entre as bases.
��> �-, logo, x> y, por exemplo.
2.)0 < b<1: a desigualdade entre os expoentes é o inverso
da desigualdade entre as potencias.
��> �-, logo, x< y, por exemplo.
4. Função logarítmica
É toda função da forma y= f(x)=./0� x com b ∈ IR, b > 0 e b
≠1, x>0.
se b> 1, a função será crescente, e se 0< b<1, a função será
decrescente. Note que b não pode ser negativo, nem zero
e nem um. Lembrando que x é chamado de logaritmando.
4.1. Gráfico da função logarítmica
Nunca toca o eixo y, é assíntota ao eixo y.
y y
1
x 1 x
função decrescente 0 < b < 1 função crescente b > 1
4.2. Equação logarítmica
É toda equação cuja variável está no logaritmando e pode
ser reduzida à seguinte forma:./0� x= ./0� y em que x= y.
Também podemos resolver uma equação logarítmica
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utilizando a relação entre o logaritmo e a exponencial, que
é ./0� A= x ↔��=A, e as propriedade do logaritmo.
4.3 Inequação logarítmica
Teremos dois casos:
1.) b > 1: a desigualdade entre os expoentes é a mesma
desigualdade entre as bases.
./0� x > ./0� y, logo x > y, por exemplo.
2.) 0 < b<1: a desigualdade entre os expoentes é o inverso
da desigualdade entre as potências.
./0� x > ./0� y, logo x < y, por exemplo.
4.4. Propriedades do Logaritmo
1.) ./0� (A.B)= ./0� A+ ./0� B
2.) ./0� (A.B)= ./0� A+ ./0� B
3.) ./0� 2�= n ../0� A
4.) ./0� √2'=./0� 23
5.)mudança de base: ./0� A= 4567�4567�
mudamos para a base
c.
4.5 sistema de logaritmos
Existem os logaritmos decimais, cuja base é o número 10,
e os logaritmos neperianos, cuja base é o número
irracional e, sendo e= 2,71828.... Os logaritmos decimais
podem ser representados por ./0�8 A = log A, e os
logaritmos neperianos, por ./09 A= In A.
ATENÇÃO!!! Em questões envolvendo equações e
inequações logarítmicas, temos que levar em
consideração a validade do logaritmando.
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Progressão Aritmética e progressão
geométrica
1. Progressão aritmética (PA)
É uma seqüência em que cada termo, a partir do 2 o , é a soma do
termo anterior com uma constante r, esta constante é chamada de
razão da progressão aritmética. A razão do PA pode ser calculada
subtraindo qualquer termo, exceto o 1º, do termo anterior. Podemos
representar os termos de uma PA com n termos da seguinte forma:
( )1 2 3 1, , ,... , .n na a a a a
− �
Se a razão da PA for positiva, r > 0, a PA é crescente, mas se a razão for
negativa, r < 0, a PA será decrescente.
1.1. Termo Geral da PA
Podemos calcular qualquer termo PA, conhecendo o primeiro termo 1
a
e a razão r, pela relação do termo geral, que é:
na =
1a + (n-1). r
1.2. Soma dos termos de uma PA finita
considere os n termos de uma PA finita,
(���, ��, ��… , ��, ��,podemos calcular a soma dos termos pela
relação: =�������.�
1.3. Características
1.) Podemos escrever três termos consecutivos em PA da seguinte
forma: (x - r, x, x + r).
2.) Se três termos (a, b, c) estão em PA, então o do meio é média
aritmética dos outros dois, ou seja, b= 2
a c+.
2. Progressão Geométrica (PG)
É uma seqüência em que cada termo, a partir do 2º , é o produto do
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39
termo anterior com uma constante q. Esta constante é chamada de
razão da progressão geométrica.
A razão da PG pode ser calculada dividindo-se qualquer termo, exceto
o 1º , pelo termo anterior. Podemos representar os termos de uma PG
com n termos da seguinte forma: ( )1 2 3 1, , ,... , .n na a a a a
−
Se a razão da PG for q> 1, a PG será crescente, mas se a razão for
0< q< 1, a PG será decrescente, e se a razão for q < 0, a PG será dita
alternada ou oscilante.
2.1 Termo Geral da PG
Podemos calcular qualquer termo da PG, conhecendo o primeiro termo ��e a razão q, pela relação do termo geral, que é:
na =
1a .��
2.2 Soma dos termos de uma PG finita
considere os n termos de uma PG finita ( )1 2 3 1, , ,... , .n na a a a a
−podemos
calcular a soma dos termos pela relação:
�=���������
2.3. Soma dos termos de uma PG infinita
Se tivermos uma PG infinita ���, ��, ��,...) cuja razão está entre -1 e +1,
-1 <q< + 1 (note que a razão pode ser negativa), então podemos calcular a
soma dos termos desta PG infinita com a relação:
s= ����
2.4 Características:
1.) podemos escrever três termos em PG da seguinte forma: (��, x, x. q)
2.)Se três termos (a, b, c) estão em PG, o do meio é média geométrica
entre os outros dois, ou seja, �� = a.c, note que podemos ter a razão
negativa.
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40
Testes de aprendizagem
1)(CESGRANRIO/PETROBRAS 2010) Devido ao calor, o consumo de energia de certa
residência vem aumentando 10% ao mês, desde setembro de 2009, chegando a
732,05 kWh, em janeiro de 2010. Qual foi, em kWh, o consumo de energia dessa
residência, em outubro de 2009?
a)500 b)525 c) 533 d)550 e)566
2) (CESGRANRIO/PETROBRAS 2010) A série alternada, apresentada a seguir, converge
absolutamente. 12 − 14 + 18 − 116 + 132 −⋯
Seu valor é:
a)1/2 b)1/3 c)1/4 d)1/5 e)1/6
3) (CESGRANRIO/PETROBRAS 2010) Qual é o número que deve ser somado aos
números 1, 5 e 7 pra que os resultados dessa somas, nessa ordem, formem três
termos de uma progressão geométrica?
a)-9 b)-5 c)-1 d)1 e)9
4)(ZAMBINI/CODASP/2010) Um ciclista percorreu 75 km no primeiro dia, no segundo
dia percorreu 5 quilômetros a mais que o primeiro; no terceiro dia, 5 quilômetros a
mais que no segundo e assim por diante. Quantos quilômetros percorreu esse ciclista
ao final de 12 dias?
a)1 230 b)1 005 c)780 d)205 e)130
5)(AOCP/INES RJ/2009) Uma progressão aritmética é tal que a soma dos seus 15
primeiros termos é 1095. Sabendo-se que o quinto termo dessa progressão é 46,
temos que a razão é
a) um número maior que 15. b) um número par. c) um quadrado perfeito
d)um número primo e) um número menor que 5.
6)(CESGRANRIO/BNDES /2008) Uma seqüência de números (��, ��,��,…) é tal que a
soma dos n primeiros termos é dada pela expressão. �=3!�+n O valor do 51º termo é
a)300 b) 301 c)302 d)303 e)304
7)(CESGRANRIO/EPE /2007) Considere a soma dos n primeiros termos da progressão
aritmética 1,1 +1,4+1,7+2,0+2,3+...+ �=278. É correto afirmar que n é um número:
a) primo. b)ímpar. c) múltiplo de 3. d) múltiplo de 5. e) múltiplo de 7.
8)(FUNRIO/INVEST RIO/2010) Calcule a soma da série infinita e assinale a opção
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correspondente.
2 – 1 + 1 / 2 – 1 / 4 + 1 / 8 -...
a)0 b)-1 c)1 d)3/4 e)4/3
9) (CESGRANRIO/EPE/2009) O valor da soma infinita 2 – 1 + 1 / 2 – 1 / 4 + 1 / 8 -1 /
16... é:
a)4 b)2 c)11/8 d)4/3 e)2/3
GABARITO
1-D 2-B 3-A 4-A 5-C 6-E 7-D 8-E 9-D
Análise Combinatória e Probabilidade
Análise Combinatória: estuda a formação e a contagem dos agrupamentos (Arranjos,
Combinações e Permutações)
1.) Evento Maior: é a mais importante e a mais fácil de identificar, pois é a pergunta da
questão, o que a questão está pedindo para se calcular.
2.) Evento Menor: é toda o que forma ou compõe o evento maior.
3.) A Disposição: realmente é o que temos à nossa disposição, o mais
importante é perceber que o “A Disposição” está ligado com o Evento
Menor.
Vamos identificar nos exemplos abaixo as três partes.
Ex: Uma senha é formada por duas letras seguidas por três algarismos.
Quantas senhas podemos formar com 26 letras e 10 algarismos?
A questão pede para se calcular a quantidade de senhas, note que em
uma senha a ordem dos elementos é importante, logo, se trata de um
arranjo, pois, no arranjo, a ordem é importante. Estas senhas são
formadas por duas letras seguidas por três algarismos. Temos à nossa
disposição 26 letras e 10 algarismos.
Maior: senha (arranjo)
Menor: 2 letras e 3 algarismos
Disposição: 26 letras e 10 algarismos
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42
Ex: Uma clínica possui 5 médicos, 7 enfermeiros e 10 técnicos. Quantos
plantões compostos por 2 médicos, 3 enfermeiros e 5 técnicos podem
formar?
A questão pede para se calcular a quantidade de plantões, em um plantão
a ordem dos elementos não é importante, logo, se trata de uma
combinação, pois na combinação a ordem dos elementos não é
importante. Os plantões serão compostos por 2 médicos, 3 enfermeiros e
5 técnicos. Temos à nossa disposição 5 médicos, 7 enfermeiros e 10
técnicos.
Maior: plantões (combinação)
Menor: 2 médicos, 3 enfermeiros e 5 técnicos
Disposição: 5 médicos, 7 enfermeiros e 10 técnicos
Juntamente com as três partes, o Principio Multiplicativo é muito
importante.
Daremos uma definição não técnica, mas você irá entender.
Princípio multiplicativo: iremos multiplicar os valores do evento menor,
os quais serão calculados de uma forma se for arranjo e de outra forma se
for combinação.
Propriedade: sempre que usarmos o “e” poderemos multiplicar e sempre
que usarmos o “ou” poderemos adicionar.
Vamos estudar as características de cada um deles.
1.1 Arranjo: é um agrupamento em que a ordem dos seus elementos é
importante, ou seja, se você mudar algum elemento de posição, teremos
um novo agrupamento. Existem palavras e expressões que no dão a dica
do arranjo.
DICA: senha, código, fila, placa de carro e moto, número de telefone e
identidade, números ordinais (primeiro, segundo,... penúltimo, ultimo),
um após o outro.
Essas palavras, de uma forma geral, aparecem no Evento Maior.
Para calcularmos a quantidade de arranjo simples, existe a formula: �"= !�"�! ATENÇÃO!!! Nos arranjos poderemos repetir os elementos ou não, se o
problema nada disser então os elementos poderão ser repetidos, mas se o
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43
problema disser que os elementos são distintos, então os elementos não
poderão se repetir. Agora, cuidado, o único “distintos” importante é
aquele ligado ao Evento Menor.
Ex: 01: Uma senha é formada por duas letras seguidas por três algarismos.
Quantos senhas podemos formar com 26 letras e 10 algarismos?
Solução
Como vimos anteriormente, podemos escrever da seguinte forma:
Maior: senha (arranjo)
Menor: 2 letras e 3 algarismos
Disposição: 26 letras e 10 algarismos
Vamos imaginar que o Evento Maior seja uma “bandeja” e dentro dela
tenhamos o Evento Menor, ora o Evento Menor é formado por 5
elemento, logo, colocaremos5 “tracinhos” dentro da “bandeja”, os dois
primeiros para letras e os outros três para algarismos.
⟨ % % & & &⟩, note que nada foi dito se podemos ou não repetir, logo,
poderemos repetir.
como temos 26 letras e 10 algarismos à nossa disposição ⟨�(% �(% �)& �)& �)& ⟩, pelo
princípio multiplicativo iremos multiplicar os valores do Evento
Menor,logo, 26.26.10.10.10= 676000 senhas.
Ex. 02: (MRE 1999) Para entrar na sala da diretoria de uma empresa é
preciso abrir dois cadeados. Cada cadeado é aberto por meio de uma
senha. Cada senha é constituída por 3 algarismos distintos. Nessas
condições, o número máximo de tentativas para abrir os cadeados é
a) 518 400 A
b) 1 440
c) 720
d) 120
e) 54
Solução
A questão pede para calcular a quantidade máxima de tentativas para
abrir os cadeados, mas essas tentativas estão ligadas à quantidade de
senhas de um e à quantidade de senhas do outro, logo, teremos uma
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“bandeja” com os três algarismos de um cadeado e os três do outro
cadeado. Cuidado, pois aparece distinto ligado ao Evento Menor e este
distinto é importante.
Maior: Senhas (arranjo)
Menor: 3 algarismos distintos e 3 algarismos distintos
Disposição: 10 algarismos
⟨& & & . & & &⟩ logo, ⟨�)& *& +& . �)& *& +&⟩ 10. 9. 8. 10. 9. 8 = 518400 tentativas.
Ex. 03: Um código é formado por duas letras distintas seguidas por dois
algarismos iguais. Quantos códigos podemos formar?
Solução
MUITA ATENÇÃO!!! Já vimos que os elementos podem se repetir ou
podem ser distintos, mas existe uma terceira opção que é quando são
iguais, vejamos: considere 26 letras e temos no arranjo 2 letras iguais,
para a primeira letra temos 26 opções, destas, iremos escolher 1 para
colocar no arranjo, como as duas são iguais para a segunda letra apenas 1
opção, logo, temos 26.1. E se tivermos 3 letras iguais? Vamos usar o
mesmo raciocínio, para a primeira letra temos 26 opções, para a segunda
letra 1, l opção e para a terceira letra 1 opção, logo, 26.1.1.
Maior: código(arranjo)
Menor: 2 letras distintas e 2 algarismos iguais
Disposição: 26 letras, 10 algarismos
⟨�(% . �,% . �)& . �&⟩ 26. 25. 10. 1= 6500.
1.2 Combinação: é um agrupamento em que a ordem dos seus elementos
não é importante, ou seja, se você mudar algum elemento de posição,
teremos o mesmo agrupamento. Existem palavras e expressões que nos
dão a dica da combinação.
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DICA: combinação, plantão, conjunto, grupo, equipe.
Essas palavras, de uma forma geral, aparecem no Evento Maior.
para calcularmos a quantidade de combinação simples temos a fórmula -"= !"!.�"�! , o ponto de exclamação representa fatorial, assim 5!= 5.4.3.2.1=
120.
Mas não se preocupe, pois o n não fórmula representa o “A Disposição” e
o p representa o “Evento Menor”, vamos utilizar a “bandeja” só que os
valores serão calculados com a fórmula.
ATENÇÃO: Combinações Complementares: duas combinações são ditas
complementares se forem iguais -"=-. e se p+ m= n.
Ex. 01: sejam 4 médicos, 5 enfermeiros e 7 técnicos. Quantos plantões
distintos podem formar com 2 médicos, 3 enfermeiros e 3 técnicos?
Solução
Maior: plantões (combinação)
Menor: 2M, 3 E, 3 T
Disposição: 4 M, 5E, 7 T
⟨�/ �0 �1⟩ de 4 médicos vamos escolher 2, de 5 enfermeiros vamos escolher
3 e de 7 técnicos vamos escolher 3, logo, ⟨ 234�/ 256�0 276�1⟩. Para casa combinação
utilizaremos a fórmula, mas podemos tomar um caminho mais curto,
vejamos:-9� pela fórmula o 4 ficaria com o fatorial no numerador, mas
façamos o seguinte, numerador teremos o produto dos dois primeiros
números do 4!, Pelo fato de termos o 2 na combinação, e no denominador
teremos o 2 com o fatorial 2 !. Ficamos então com:
-9�=9.��! = 9.��.� = 6. O mesmo para a outra combinação
-,�=,.9.��! = ,.9.��.�.�= 10 e o mesmo para a outra -:�= :.(.,�! = :.(.,�.�.�=35.
Pelo princípio multiplicativo iremos multiplicar os valores do Evento
Menor, logo, 6. 10. 35= 210 plantões.
Muita Atenção!!! Princípio aditivo, e a dica de que a questão será
resolvida com Princípio aditivo é quando aparecer o “ou” no Evento
Menor. Vejamos no exemplo abaixo:
Ex.: (TRE/ MG/ 2008) Se, no departamento de recursos humanos de uma
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empresa em que trabalhem 5 homens e 4 mulheres, for preciso formar,
com essa equipe, comissões de 4 pessoas com pelo menos 2 homens, a
qualidade de comissões diferentes que poderão ser formadas será
a) Superior ou igual a 200.
b) Superior ou igual a 170 e inferior a 200
c) Superior ou igual a 140 e inferior a 170
d) Superior ou igual a 110 e inferior a 140
e) Inferior a 110
Solução
percebe a expressão “comissões de pessoas com pelo menos 2
homens”, 4 pessoas é o Evento Menor e no Evento Menor temos
pelo menos 2 homens, de 4 pessoas ter pelo 2 homens significa: (2H
e 2 M) ou (3H e 1M) ou (4H),ou seja, temos um “ou” no Evento
Menor, teremos três “bandejas”cujos valores, após calculados,
serão adicionados.
Maior: comissões (combinação)
Menor: (2H e 2 M) ou (3H e 1M) ou (4H),
Disposição: 5H, 4M
⟨254�; . 234�/⟩ → ,.9�.� . 9.��.�= 60
⟨256�; . 23��/⟩ → ,.9.��.�.� . 9�= 40
⟨2539;⟩ → ,.9.�.�9.�.�.�= 5
logo, teremos 60+40+5= 105.opção E.
1.3. Permutação: nada mais é do que a mudança de posição dos
elementos de um agrupamento, em que a ordem seja importante,
ou seja, a permutação é um arranjo. Na permutação nós não iremos
calcular a quantidade de agrupamento e sim a quantidade de
formas de mudarmos os elementos de um dado agrupamento de
posição. Quando permutamos letras também podemos usar a
palavra anagrama.
Teremos três tipos de permutação.
1.) Permutação simples: neste caso todos os elementos serão
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distintos, diferentes. A quantidade de permutação simples de n
elementos distintos será: P(n) = n!.
Ex. 01: Quantos anagramas possui a palavra CINEMA?
Temos seis elementos, letras, distintas, logo, P(6)= 6 != 6. 5. 4. 3.2.
1= 720.
Cuidado!!! Em algumas questões ele se refere a elementos que
ficarão juntos, então iremos proceder da seguinte forma:
1.) iremos imaginar os elementos que ficarão juntos de um
“saquinho”. Este “saquinho” fará o papel de um elemento.
2.) dentre do “saquinho” iremos calcular depois.
Ex. 02: em quantos anagramas da palavra CINEMA as vogais ficam
juntas?
Iremos colocar as vogais dentro do “saquinho” e as consoantes
ficarão fora.
[I E A] C N M, como o “saquinho” faz papel de um elemento,
teremos, juntamente com vogais, 4 elementos. Permutando esses 4
elementos, 4!, garantimos que as vogais fiquem juntas, mas dentro
do “saquinho” podemos permutar as vogais 3!Logo, o total de
anagramas será o produto 4!. 3!, abrindo os fatoriais teremos 4. 3.
2. 1. 3. 2. 1= 144 anagramas.
2) Permutação com repetição: existem elementos que se repetem,
vamos calcular da seguinte forma:
“fatorial do total de elementos dividido pelo produto dos fatoriais
das quantidades de repetições”.
Ex. 01: Em quantos anagramas possui a palavra ARARAS? (!�!.�! = (.,.9.�.�.��.�.�.�.� = 60,note que o 3! Veio do A que se repete 3 vezes e o 2
veio do R que se repete 2 vezes.
Ex. 02: Em quantos anagramas da palavra PARALELO as letras P, A,
R, A ficam juntas?
Aqui podemos utilizar o mesmo raciocínio do “saquinho” da
permutação simples.
[PARA] LELO, o saquinho” faz papel de um elemento, teremos 5
elementos dos quais o L se repete duas vezes, logo, ,!�!= ,.9.�.�.��.� = 60.
Dentro do “saquinho” temos 4 elementos dos quais o A se repete
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duas vezes, logo, 9!�!= 9.�.�.��.� = 12 .No total teremos 60.12= 720
anagramas.
3) Permutação Circular: neste caso consideremos os elementos
distintos. Para calcularmos as permutações circulares procederemos
da seguinte forma: “ iremos fixar um elemento e permutar os
restantes”, a permutação circular de n elementos distintos será
PC(n)=(n-1)!. Existem algumas expressões que nos dão a dica da
permutação circular.
DICA: em volta de, em torno de, ao redor de.
2. Probabilidade:
Definição Clássica de Probabilidade: Dado um experimento
aleatório, sendo S o seu espaço amostral, vamos admitir que todos
os elementos de S tenham a mesma chance de acontecer, ou seja,
que S é um conjunto equiprovável.
P(A)= ú.@ABC@2�DBDE�FBAáF@HD�B@F@IB&ú.@ABC@2�DBD"BDDíF@HD 0 ≤ P (A)≤ 1
Evento Complementar: O complemento de um evento A é,
portanto, o evento contendo todos os resultados no espaço
amostral S que não pertencem a A: P(A)= 1- P(A).
2.1 Teorema da Soma (Probabilidade ou “ou”): dados dois eventos
A e B, a probabilidade de pelo menos um deles ocorrer é igual à
soma das probabilidade de cada um menos a probabilidade de
ambos acorrerem simultaneamente,ou seja:
P(A ou B)= P( A U B)= P (A) +P (B) – P (A∩B)
Se A e B forem mutuamente exclusivos, teremos P(A B)= ø.Assim,
P(A U B)= P(A )+P(B).
Obs.: P(A U B U C)= P (A)+P(B)+P(C)-P(A B)-P (A C)- P(B C)+ P
(A B C)
2.2. Probabilidade condicional: Existem situações em que a
chance de um particular evento acontecer depende do resultado
de outro evento. A probabilidade condicional de A, dado que
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ocorreu B, pode ser determinada dividindo-se o número de
elementos de ambos os eventos A e B pelo número de evento de
B (note que haverá uma redução do espaço amostral) como se
mostra a seguir:
P�L|N�= �&∩O��O� n (B) passa a ser o novo espaço amostral.
2.3 Eventos Independentes (probabilidade do “e”): suponha
que dois eventos A e B ocorrem independentes um outro no
sentido de que a ocorrência ou não de um deles ao tenha
nenhuma influencia na ocorrência ou na não ocorrência do
outro. Nessas condições
P(A e B) = P(A B) = P(A). P(B)
2.4. Se os elementos forem retirados simultaneamente, a ordem
dos elementos não é importante, se os elementos forem
retirados um após o outro, a ordem dos elementos é
importante.
Testes de aprendizagem
1)(ESAF/MPOG/2010) Beatriz é fisioterapeuta e iniciou em sua clinica um
programa de reabilitação para 10 pacientes. Para obter melhores resultados
neste programa, Beatriz precisa distribuir esses 10 pacientes em três salas
diferentes, de modo que na sala 1 fiquem 4 pacientes, na sala 2 fiquem 3
pacientes e na sala 3 fiquem, também, 3 pacientes. Assim, o número de
diferentes maneiras que Beatriz pode distribuir seus pacientes, nas três
diferentes salas, igual a:
a)2.440 b)5.600 c)4.200 d)24.000 e)42.000
2)(PC SP/Escrivão/2009) Oito cavalos distintos disputam uma corrida. Quantas
são as possibilidades de chegada para os três primeiros lugares?
a)56 b)112 c)336 d)452 e)512
3)(PC SP/Escrivão /2009) Lança-se uma moeda 4 vezes consecutivas. Quantas
seqüências de resultados são possíveis?
a)04 b)08 c)16 d)32 e)64
4)(ESAF/MRE/2002)Chico, caio e caco vão ao teatro com suas amigas
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Biba e Beti, e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número
de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que
Chico e Beti fiquem sempre juntos, um ao lado do outro, é igual a:
a)16 b)24 c)32 d)46 e)48
5)(FEPESE/AFRE SC/2010) Sejam dois eventos, A e B, mutuamente exclusivos. A
probabilidade de ocorrência de A vale 0,2. A probabilidade de ocorrência de B
vale 0,4. Quanto vale a probabilidade de ocorrência do evento A união B?
a)0,08 b)0,4 c)0,48 d)0,52 e)0,6
6)(FGV/ICMS RJ/2010) Se A e B são eventos independentes com probabilidade
P[A]=0,4 e P[B]=0,5 então P[A B) é igual a:
a)0,2. b)0,4. c)0,5. d)0,7. e)0,9.
7)(ESAF/ANA/2009) Uma urna possui 5 bolas azuis, 4 vermelhas, 4 amarelas e 2
verdes. Tirando-se simultaneamente 3 bolas, qual o valor mais próximo da
probabilidade de que as 3 bolas sejam da mesma cor?
a)11,53 % b)4,24% c)4,50% d)5,15% e)3,96%
8)(CESPE/BASA/2010)Considerando que o anagrama da palavra ALARME seja
uma permutação de letras dessa palavra, tendo ou não significado na linguagem
comum, a quantidade de anagramas distintos dessa palavra que começam por
vogal é 360.
certo ( ) errado( )
9)(CESGRANRIO/PETROBRAS/2010) A vitrine de uma determinada loja possui 5
lugares para colocação de manequins. Considerando que a loja possui 5
manequins, em quantas formas diferentes eles podem ser arrumados?
a)120 b)100 c)50 d)25 e)15
10)(AOCP/INES RJ/2009) Quantos são os anagramas da palavra cola?
a)4 b)12 c)24 d)36 e)48
GABARITO
1-C 2- C 3-C 4-E 5-E 6-D 7-E 8 - 9- A 10-C
Matriz, Determinante, Sistema Linear e Números Complexos
1. Teoria das Matrizes: uma matriz é uma tabela de números dispostos
segundo linhas (i) e colunas (j). Os números são os elementos da matriz e
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cada elemento é representado pela linha (i) e coluna (j) em que esteja de
forma genérica cada elemento é representado por �HP. As matrizes podem
ser representadas por parênteses ou colchetes.
Ex.: A=Q1 −20 3 R e B S1 30 −22 −5U , ou também c= S-�� -�� -��-�� -�� -��-�� -�� -��U
Note que a matriz A possui 2 linhas e 2 colunas, a matriz B possui 3 linhas
e 2 colunas e a matriz C, 3 linhas e 3 colunas, podemos definir a ordem de
uma matriz que é dada pelo número de linhas e colunas. Logo, a matriz A
é de ordem dois por dois, 2x2, a matriz B é de ordem três por dois, 3 x 2, e
a matriz C é de ordem 3 por 3, 3 x 3. Quando a matriz possuir o número de
linhas igual ao número de colunas dizendo que a matriz é quadrada, a
matriz A é quadrada de ordem 2 ou de segunda ordem. No caso da matriz
quadrada podemos definir a diagonal da matriz. Considere a matriz.
A=S1 −2 −10 4 13 2 5 U
a Diagonal principal é formada pelos elementos (1, 4, 5) e a diagonal
secundária é formada pelos elementos (-1, 4, 3).
obs.: para a diagonal principal iremos associar um sinal de + e para a
secundária um sinal de -. A aplicação será vista no cálculo dos
determinantes.
1.1. Adição e subtração e matrizes: só podemos adicionar e subtrair
matrizes se forem de mesma ordem, portanto, iremos adicionar e subtrair
os termos correspondentes.
vejamos abaixo:
Q 2 3−4 5R+Q1 −23 2 R= Q 2 + 1 3 + �−2−4 + 3 5 + 2 R= Q 3 1−1 7R
Diagonal secundária (-) Diagonal principal (+)
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S 1 0−3 45 8U-S4 −33 15 9 U=S1 − 40 − �−3�−3 − 34 − 15 − 58 − 9 U=S−33−630 − 1U
1.2. Multiplicação de matriz por uma constante: iremos multiplicar a
constante por todos os elementos da matriz.
8. X2 − 1 �9015−462Y= X8.28. �−1�8. �98.08.18.58. �−4�8.68.2Y=S 16 − 820840−324816U
1.3 Produto de Matrizes: existe Para se multiplicar matrizes, o número de
colunas da primeira matriz tem que ser igual ao número de linhas da
segunda matriz, ou seja, LZ�[. N[�\]^_`a , note que a matriz resultante é de ordem P x Q.
Obs.: o produto de matrizes não é comutativo, ou seja, geralmente A. B
não representa B . A.
Para calcularmos a matriz resultante do produto de duas matrizes C= A .B,
note que C é a ordem 2, iremos preceder da seguinte forma:
c= b2 34 5c.b3 42 1c= d �2.3 + 3. 2� �2.4 + 3.1�4.3 + 5.2� �4.4 + 5.1e os elementos de C são obtidos multiplicando-se ordenadamente os
elementos da linha de A pelos elementos da coluna de B e , em seguida,
adicionando-se esses produtos. -��= 2.3+3.2=12 -��= 2.4+3.1=11
-��= 4.3+5.2=22 -��= 4.4+5.1= 21, logo, a matriz C será c=b12 1122 21c Vamos a mais um exemplo, neste caso matriz A é de ordem 3x 2 e a
matriz B é de ordem 2 x 3, veja que a matriz C será de ordem 3 x 3,
também podemos chamar de ordem 3 ou 3.ª ordem por ser quadrada.
C=S1 23 45 6U.b2 8 73 5 9c=X�1.2 + 2.3� �1.8 + 2.5� �1.7 + 2.9��3.2 + 4.3� �3.8 + 4.5� �3.7 + 4.9��5.2 + 6.3� �5.8 + 6.5� �5.7 + 6.9�Y=
S 8 18 2518 44 5728 70 89U
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-��= 1.2+2.3=8 -��= 1.8+2.5=18 -��= 1.7+2.9=25 -��=3.2+4.3=18 -��=3.8+4.5=44 -��= 3.7+4.9=57
-��=5.2+6.3=28 -��= 5.8+6.5=70 -��= 5.7+6.9=89
1.4. Igualdades de matrizes: duas matrizes de mesma ordem
são iguais quando os seus elementos correspondentes são
iguais.
Ex: calcule x+y+z, f 1 g − 3 0−2 8 42 h + 2 3i=f1 2 0j + 1 8 42 4 3i.
Como as matrizes são de mesma ordem, os seus elementos
correspondentes serão iguais, logo:
X-3=2 x=5, +2=4 z= 2 e y+1=8 y= 7. Com isso, x+y+z=14.
1.5 Montagem de uma matriz: existem questões em que se
fornece a lei deformação da matriz em função de i e j, do
seu elemento geral �HP . Para montarmos a matriz
procederemos da seguinte forma:
Ex.01: Monte a matriz A, de ordem 2 x 3, definida por �HP = k + l. A matriz A possui 2 linhas e 3 colunas, e é representada por
Ab��� ������ ���������c, basta calcularmos os elementos utilizando a lei de
formação, então: ���=1+1=2 ���=1+2=3 ���=1+3=4 ���=2+1=3 ���=2+2=4 ���= 2+3=5, logo,
A: b2 3 43 4 5c . Ex. 02: monte a matriz S, de 3ª. ordem, definida por �HP=
m 2. k, k > lk − l, k = l.k + l, k < l
A matriz S é de 3ª. ordem, ou seja, possui 3 linhas e 3 colunas, é
quadrada,
s=f���������������������������i.
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note que na lei de formação usaremos 2. i se i>j, i+ j se i = j e i- j
se i < j. Vemos lá: ���=1-1=0 ���=1+2=3 ���=1+3=4 ���=2.2=4 ���=2-2=0 ���=2+3=5
���=2.3=6 ���=2.3=6 ���=3-3=0, logo, s=f046306450i.
1.6. Tipos de Matrizes
a) matriz identidade: é a matriz quadrada que possui os
elementos de sua diagonal principal iguais a 1 e os demais
elementos iguais a 0. A matriz identidade de ordem n é
representada o por p.
p�=f 10 001 000 1i Matriz identidade de ordem 3.
b) Matriz transposta: seja uma matriz A de ordem n x m, a sua
matriz transposta L1 é obtida trocando a linha pela coluna, ou
seja, 1ª. Linha de A será a 1ª coluna de L1, mantendo-se a ordem
dos elementos tanto da matriz a quanto da matriz a quanto da
matriz L1, ou seja, o 1º elemento da 1ª linha será o 1º elemento
da 1ª coluna; o 2º elemento da 1º linha será o 2º elemento da 1º
coluna..., e assim procedendo para todas as linhas de A obtendo
as colunas de L1 . Ex: Considerando a matriz A= f 12030 − 1724016i, monte a sua
transposta.
A 1ª linha de A será a 1ª coluna de L1 e assim sucessivamente,
logo,
L1 = q1 0 42 −1 003 72 16r.
c) Matriz Inversa: para que uma matriz tenha uma inversa ela
terá que ser quadrada, por exemplo, uma matriz L� é a matriz
inversa de A se e somente se A. L�=L�. A=I, ou seja, o produto
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da matriz pela sua inversa tem que ser a matriz identidade.
Ex.: A=Q1 32 7R e L�= Q 7 −3−2 1 R, pois Q1 32 7R.Q 7 −3−2 1 R=Q1 00 1R,
2. Teoria dos Determinantes: só poderemos calcular
determinante de matrizes quadradas, o determinante é um
número real associado à matriz. Note que poderemos ter
matrizes quadradas diferentes com o mesmo determinante.
Basicamente iremos calcular determinantes de matrizes
quadradas de 2ª e 3ª ordens, ou seja, matrizes 2x2 e 3x3. O
determinante da matriz A será representado por det (A) ou por
meio de duas barras nos colchetes ou parênteses.
Ex: seja a matriz A= Q1 32 7R o seu determinante será det (A) =
s1 32 7s.
2.1. Determinantes de uma matriz 2 x 2:será calculado
subtraindo o produto dos elementos da diagonal principal pelo
produto dos elementos da diagonal secundária, ou seja, ao
produto dos elementos da diagonal principal associamos o sinal
de + e ao produto dos elementos da diagonal secundaria
associamos o sinal de -.
Ex: det(A)= s1 32 7s= + 1. 7- 3. 2= + 7- 6 = 1.
2.2. Determinantes de uma matriz 3 x 3 ( Regra de Sarrus):
iremos utilizar o seguinte método: após a 3ª. Coluna iremos
repetir as duas primeiras colunas, ficando com um total de 5
colunas. Teremos, então, três diagonais principais e três
diagonais secundárias. Ao produto dos elementos de cada
diagonal principal associamos o sinal de + e ao produto dos
elementos de cada diagonal secundária associamos o sinal de -,
somando os resultados. Vejamos um exemplo para você
+ -
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entender melhor.
Ex: det(A)= t1 222 11132t det(A) = u1 222 11
132u 122211
det(A)= +1 .1. 2 + 2. 3. 2+ 1. 2. 1- 2. 2. 2-1. 3. 1- 1. 1. 2= + 2+ 12 +
2- 8- 3- 2= + 16-13= 3.
2.3. Teorema de Laplace: é utilizado para se calcular o
determinante de matrizes de ordem superior a 3, mas pode ser
usado para ordem 3 e 2. Em outras questões poderemos calcular
o determinante utilizando as propriedades dos determinantes
que veremos depois. Para a utilização do teorema de Laplace
teremos que saber o que é um “Menor Complementar” e um
“Cofator”.
a) Menor Complementar: seja uma matriz quadrada A de ordem
n ≥ 2 e seja �HP um elemento qualquer de A. O Menor
Complementar do elemento �HP, representado por vHP, é o
determinante da matriz formada suprimindo a linha i e coluna j
de A.
Ex.: Considere a matriz A=f122021343i, calcule o Menor
Complementar de ��� e de ���. Bem, o ��� está ligado com o v��, vamos suprimir a 2ª linha e a 1ª
coluna, o ��� está ligado com o v��, vamos suprimir a 3ª. Linha e a
2ª coluna.
v��= t1 0 32 2 42 1 3t= s0 31 3s= + 0. 3- 3. 1= -3 v��= t1 0 32 2 42 1 3t= s1 32 4s= +1.
4 – 3.2 = -2
b) Cofator (Complemento Algébrico): seja uma matriz quadrada
A de ordem n≥ 2 e seja �HP um elemento qualquer de A. O
Cofator do elemento �HP, representado por LHP, será �−1�HwP. vHP. Ex: considere a matriz A=f122
021343i, calcule o Cofator de ��� e de
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���. Basta calcularmos o ���xy��� utilizando os resultados anteriores.
Com isso, L��= (-1��w�.(-3)= (−1��.(-3)=(-1).(-3)=3 e L��=(-1��w�.(-2)=(−1�,. (-2) =2.
Agora podemos enunciar o Teorema de Laplace: “o
determinante de uma matriz A, de ordem n ≥ 2, é a soma dos
produtos dos elementos de qualquer fila (linha ou coluna)
pelos seus respectivos Cofatores”. Iremos escolher qualquer
linha ou coluna e somar os produtos dos elementos escolhidos
pelos respectivos Cofatores. Vamos a um exemplo.
det(A)= z32 15 0 − 22145 36 −14−4 − 6z vamos escolher a 1ª linha e calcular os
cofatores
det(A) = 3. (−1��w�. u523 − 1 146 − 4 −6u+ 1. (-1��w�.u224 − 1 145 − 4 −6u+ 0. (-1��w�. u2543 1456 −6u+ (-2). (-1��w9 .u2543 2−156 −4u= 3. (188) – 1. (121) + 2. (61)
= 565
2.4. Propriedades dos Determinantes: serão muito úteis para
calcularmos certos determinantes.
a) Sejam A matriz quadrada de ordem n e sua matriz transposta L1, logo, det ({|) = det (A).
Ex: u1221 1321 2u=3 e u1221 2113 2u=3
b) Sejam A uma matriz quadrada e L� a sua inversa, logo,
det (A). det(L��= 1. Note que ambos os determinantes são
diferentes de zero, neste não precisaremos calcular a matriz
inversa para calcular o determinante.
Costumamos dizer que “o determinante da inversa é o inverso
do determinante”.
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Ex.: Seja A= f122021343i, calcule det ({}).
det(A) u1022 3421 3u=-4 e det(A). det({})=1, logo (-4). det({})= 1 e
det({})= -}~ .
c) Teorema de Binet: sejam A e B duas matrizes quadradas de
mesma ordem n, então det(A.B)= det(A). det(B).
d)Se os elementos de uma fila (linha ou coluna), de uma matriz
quadrada, forem todos nulos, então o determinante dessa
matriz vale zero.
det(A)= z 1−2 13 020131 −12 0205 z= 0 det(B)= z 1−2 13 024130 −10 1200 z= 0
e) Se duas filas (linhas ou coluna) paralelas forem iguais ou
proporcionais, o determinante será zero.
det(A)= z 1−2 13 024131 −11 1202 z= 0 A 1ª linha é igual à 4ª linha.
det(B)= z 1−2 13 024631 −11 1 − 202 z= 0 A 4ª coluna é o dobro da 2ª
coluna, ou seja, é proporcional.
f) Se trocarmos sua filas ( linha ou colunas) paralelas de posição,
o determinantes trocará de sinal.
u1022 3421 3u= - 4 logo u2122 3410 3u= + 4 trocamos a 1ª e a 3ª linhas de
posição.
g)Se multiplicarmos todos os elementos de uma fila por uma
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constante, o determinante ficará multiplicado pela constante.
u2122 3410 3u= + 4 logo u2144 3810 3u= 2.4= 8, pois multiplicamos a
2ªlinha por 2.
h) De uma forma geral, se multiplicarmos todos os elementos de
uma matriz A, de ordem n, por uma constante k, teremos det (k.
A)= �. det(A).
i)Se abaixo ou cima ou abaixo e acima da diagonal principal os
elementos forem todos nulos, o determinantes será o produto
dos elementos da diagonal principal.
z20 34 011300 00 3205 z= 2. 4. 3. 5=120
z21 04 000032 76 3065 z=2.4.3.5=120
z20 04 000000 00 3005 z= 2 .4. 3.5= 120
3. Sistema Linear: é o conjunto de equações lineares.
Basicamente iremos trabalhar com sistemas com duas equações e duas
variáreis e com três equações e três variáveis e estaremos preocupados
com a resolução e com a discussão.
Discutir um sistema significa saber que condições ele deve satisfazer para
que seja possível determinado, possível indeterminado ou impossível
(I)� ��.�w��.�]2���. g + ��.�]24 (II) m��. g + ��. j + -�. h = ����. g + ��.j + -�. h = ����. g + ��. j + -�. h = ��
3.1. Resolução de um sistema linear: resolver um sistema
significa calcular o valor de suas variáveis, no sistema (I)
calcularemos o par (x, y) e no sistema (II) calcularemos o trio (x,
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y, z), para isso iremos preceder como foi visto anteriormente ou
poderemos utilizar a Regra de Cramer no caso de Sistema
Possível e Determinado, que veremos mais adiante.
3.2. Representação matricial de um sistema: podemos
representar da seguinte forma:
� ��.�w��.�]2���. g + ��.�]24 → Q�1 �1�2 �2R.QgjR=Q-�-�R
m��.����. .g +g +g +��.��.��.j +j +j +-�.-�.-�.h = ��h =h = ���� → f
�� �� -��� �� -��� �� -�i . �gjh�=f
������i
Testes de aprendizagem
1)(ESAF/ATA/2009) Seja uma matriz quadrada 4 por 4. Se multiplicarmos os
elementos da segunda linha da matriz por 2 e dividirmos os elementos da terceira
linha da matriz por -3, o determinante da matriz fica:
a) multiplicado por -1. b) multiplicado por -16/81. c) multiplicado por 2/3.
d) multiplicado por 16/81. e) multiplicado por -2/3.
2)(CESPE/MS/2008) Se a matriz quadrada A= (�HP) tem dimensão 3 x 3 e é tal que �HP=1, se i j e �HP=i-j, se i >j, então o determinante de A é um número
estritamente positivo.
certo( ) errado ( )
3)(CESGRANRIO/ TRANSPETRO/2008)
m2. � + 3. � − 5. � = 1� − 2. � + 3. � = 23. � + � − �. � = �
A respeito do sistema linear acima, em que p e q são números reais, e correto
afirmar que
a) se p 2, não possui solução.
b) se p 2, possui infinitas soluções.
c) se p 2, possui uma única solução.
d) se p 2 e q 3, não possui solução.
e) se p 2 e q 3, não possui solução.
4)(ESAF/AFC/2001) A matriz S=�HP, de terceira ordem, é a matriz resultante da
soma das matrizes A= (�HP) e B (�HP). Sabendo-se que ��HP)=k�+ l� e que( �HP)=2.i.j,
então: a soma dos elementos ��� e ��� é igual a:
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a) 12 b)14 c)16 d)24 e)32
5)(NCE/EMGEPRON/2003) O sistema linear formado pelas duas equações 2x+5y=1
e x-2y=5 tem como solução:
a) x=3 e y=-1; b)x=4 e y = 0; c)x=5 e y =1; d)x=6 e y=2; e)x=7 e y=3.
6)(ESAF/ANA/2009) O determinante da matriz f 2�4 + �1�2 + �
0--i é
a) 2bc+ c-a b)2b-c c)a+b+c d)6+a+b+c e)0
7) )(ESAF/APOFP/2009)O determinante de uma matriz 3 x3 é igual a x. Se
multiplicarmos os três elementos da 1ª linha por 2 e os três elementos da 2ª
coluna por -1, o determinante será:
a) −g� b)-2x c)4g� d)g� e)−2g�
8)(CESPE/MS/2008)Se uma matriz quadrada A=��HP) tem dimensão 3 x3 e é tal que �HP=1, se i j e a �HP=i – j, se i > j, então o determinante de A é um número
estritamente positivo.
certo ( ) errado ( )
9) (CESGRANRIO/ PETROBRAS/2010) Sejam z e w dois números complexos não
reais. Se z é o conjugado de w e z= 2-3i, efetuando-se a operação z- w, o resultado
encontrado será
a) -6i b)-4 c)-2 d)+4 e)+6i
10)(CESGRANRIO/BNDES/2009) Para que o sistema linear �5. g − 6. j = 1�. g + 4. j = � possua
infinitas soluções,os valores de a e b devem ser tais que a/b valha
a) - 5 b)-2 c)0 d)2 e)5
GABARITO
1 - E 2-ERRADO
3-D 4-E 5-A 6-E 7-E 8-ERRADO
9-A 10-E
Sistema de Medida e Problemas
1. Medidas de comprimento: a medida básica é o metro (m), mas temos os
múltiplos e submúltiplos. Para irmos de uma unidade maior para uma menor
devemos multiplicar por 10 e para irmos de uma unidade menor para uma maior
devemos dividir por 10, veja abaixo.
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x10 x10 x10 x10 x10 x10
km hm dam m dm cm mm
:10 :10 :10 :10 :10 :10
2. Medidas de Área: a medida básica é o ��. Para irmos de uma unidade maior
para uma menor devemos multiplicar por 10� e para irmos de uma unidade menor
para uma maior devemos dividir por 10�, veja abaixo.
x10� x10� x 10� x10� x 10� x10�
k�� h�� d�� �� d�� c�� m��
:10� :10� :10� :10� :10� :10�
3. Medidas de Volume: a medida básica é ��. Para irmos de uma unidade maior
para uma menor devemos multiplicar por 10� e para irmos de uma unidade menor
para uma maior devemos dividir por 10�, veja abaixo.
x10� x10� x10� x10� x10� x10�
k�� h�� d��� �� d�� c�� m��
:10� :10� :10� :10� :10� :10�
4. Medida de capacidade: a medida básica é o litro (I). Para irmos de uma unidade
maior para uma menor devemos multiplicar por 10 e para irmos de uma unidade
menor para uma maior devemos dividir por 10, veja abaixo.
x10 x10 x10 x10 x10 x10
kl hl dal l dl cl ml
:10 :10 :10 :10 :10 :10
obs.: Existe como relacionarmos medidas de volume com as de capacidade, basta
usarmos a relação 1 d��= 1 l e 1 ��= 1000 l.
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5. Medidas de Massa: a medida básica é o grama (g). Para irmos de uma unidade
maior para uma menor devemos multiplicar por 10 e para irmos de uma unidade
menor para uma maior devemos dividir por 10, veja abaixo.
x10 x10 x10 x10 x10 x10
kg hg dag g dg cg mg
:10 :10 :10 :10 :10 :10
Testes de Aprendizagem
1)(NCE/Eletrobras/2005) Para encher completamente com água uma caixa d água
com dimensões internas de 1m x1mx1m, utilizando uma garrafa de meio litro, a
quantidade necessária de garrafas cheias de água é:
a)500; b)1.000; c)1.500; d)2.000; e)5.000.
2)(NCE/SEFAZ AM/2005) Mediu-se a capacidade de um recipiente cujas
dimensões foram dadas em centímetros e obteve-se como resposta 538 c��.Essa
medida é expressa em litros como:
a)0,538 b)5,38 c)53,8 d)538 e)5380
3)(ESAF/TJ CE/2002)Quantos c�� existem em 10 litros?
a)10 b)100 c)1.000 d)10.000 e)100.000
4)(ESAF/TJ CE/2002) Se uma solução contém 2mg/ml de uma substância
dissolvida, quanto da substância existe em um litro da solução?
a)200 mg b)2 g c)20g d)200g e)2kg
5)(CESGRANRIO/PETROBRAS/2010) Certa empresa criou um receptor de TV digital
para carros. O aparelho tem a forma de um paralelepípedo reto retângulo de
dimensões 5 mm, 90 mm e 74 mm. Qual é, em m��, o volume desse aparelho?
a)1.690 b)3.300 c)16.900 d)33.300 e)33.800
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6)(UNISUL/SCC SC/2010) Uma empresa de distribuição de bebidas tem que
distribuir 7000 litros de um refrigerante em latinhas com capacidade de 350 ml.
Assinale a alternativa que melhor expressa a quantidade de latas necessárias para
fazer a distribuição desse refrigerante.
a)10.000 latas b)15.000 latas c)35.000latas
d)20.000 latas e)25.000 latas
7)(VUNESP/TJ SP/2009) O tanque de combustível de um veículos contém 10,006 �� de gás. Nessas condições, é correto dizer que o tanque contém 10 �� mais x
c�� de gás, em que x é igual a.
a)6. b)60. c)600. d)6 000. e)60 000.
8)(CESPE/FINEP/ 2009) Se uma fazenda de área igual a 1,04 k�� for vendida por
R$ 46.800.000, então o preço de cada metro quadrado dessa fazenda custará, em
media,
a)R$4,50 . b)R$ 45,00. c)R$450,00.
d)R$4.500,00. e)R$45.000,00.
9)(FCC/TRT 4ª R/2006) Sabe-se que enchendo 72 garrafas, cada uma com
capacidade de 0,80l, é possível engarrafar todo líquido de um reservatório. Se o
volume de cada garrafa fosse 900c��, o número de garrafas utilizadas seria
a)640. b)90. c)86. d)64. e)48.
10)(NCE/ELETROBRAS/2007) Em janeiro de 2007, Claudia gastou 12 �� de gás.
Sabendo-se que 1d��corresponde a 1L, o volume de gás consumido por Claudia
em janeiro de 2007, em litros, foi:
a)1,2. b)12. c)120. d)1.200. e)12.000.
GABARITO
1-D 2-A 3-D 4-B 5-D 6-D 7-D 8-B 9-D 10-E
Juros Simples e compostos
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3. Juros Simples
3.1. Juro é o resultado de uma aplicação financeira. A palavra juro esta relacionada
a palavra rendimento.O juro é proporcional ao capital aplicado (C), ao prazo de
aplicação (n) e à taxa de juros de aplicação (i, expresso de forma decimal), mas
cuidado, a taxa de juros (i) e o prazo de aplicação (n) têm que estar na mesma
unidade. Se não estiverem, você terá que transformá-los para a mesma unidade.
Nos juros simples (capitalização simples) podemos fazer essa transformação
diretamente, por exemplo, se tivermos 3% ao mês para transformarmos para
semestre, teremos que multiplicar por 6, logo, 6.3%=18% ao semestre.
J = C . i. n
3.2. Montante: é a soma do capital aplicado com o juro obtido.
(M=C+J). Se substituirmos a expressão dos juros no montante teremos:
M=c + j e J=c.i.n M=c+ c. i.n. Colocando C em evidência teremo:
M= C . (1 + i. n).
O fator (1+i.n) é chamado de fator de acumulação de capital no regime simples.
3.3. Juros Diários: temos dois tipos de juros diários.
a) Juro Exato: é obtido quando o prazo está expresso em dias e quando é adotada
a convenção de ano civil (365 ou 366 dias).
b) Juro Comercial (ordinário): é obtido quando o prazo está expresso em dias e
quando é adotada a convenção do ano comercial (360 dias).
4. Juros Compostos: neste caso iremos multiplicar o capital pelo fator de aumento
(1+i) tantas vezes quantas forem o prazo de aplicação, logo, teremos:
M=C. (1+ i�
Note que ainda vale a relação do montante M=C+J para calcularmos os juros, ou
seja, se tivermos o capital e o montante poderemos calcular os juros. Podemos
obter uma relação dos juros compostos, que será J=C.��1 + k� − 1�.
Representação Gráfica:
O montante dos juros simples M=C. (1+ i. n) é representado por uma reta e o
montante dos juros compostos M=C. �1 + k� é representado por uma
exponencial. Note que quando o prazo (tempo) é igual a 1 os montantes são iguais
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Montante (M)
composto �� Simples
tempo
1
Perceba que se o prazo for menor do que 1 é mais vantajoso o regime simples, mas se for
maior do que 1 é mais vantajoso o regime composto.
O fator �1 + k� é chamado de fator de acumulação de capital no regime composto. Os valores
desse fator estão representados na tabela ao final do livro, mas abaixo temos uma parte para
você conhecer.
n/i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 1,060000 1,070000 1,080000 2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 1,123600 1,144900 1,166400 3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 1,191016 1,225043 1,259712 4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506 1,262476 1,310796 1,360488 5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281 1,338225 1,402552 1,469329 6 1,061520 1,126162 1,194052 1,265319 1,340095 1,418519 1,500730 1,586874 7 1,072135 1,148685 1,229873 1,315931 1,407100 1,503630 1,605781 1,713824 8 1,082856 1,171659 1,266770 1,368569 1,477455 1,593848 1,718186 1,850930 9 1,093685 1,195092 1,304773 1,423311 1,551328 1,689478 1,838459 1,999004 10 1,101622 1,218994 1,343916 1,480244 1,628894 1,790847 1,967151 2,158925 11 1,115668 1,243374 1,384233 1,539454 1,710339 1,898298 2,104852 2,331639 12 1,126825 1,268242 1,425760 1,601032 1,795856 2,012196 2,252191 2,518170
Por exemplo, se você for calcular o fator para a taxa de i= 6 % e um prazo de n=10,
basta observar na tabela e encontrar 1, 790847.
4.1. Estudo das taxas no regime Composto: temos a taxa nominal cuja unidade é
diferente da unidade do prazo, ou seja, não é a taxa que usaremos, por isso
teremos que transformar para a taxa efetiva cuja unidade é igual à unidade do
prazo. A taxa nominal será uma taxa seguida da palavra capitalização ou
capitalizado e, neste caso, mesmo estando na capitalização composta, iremos
transformar para a taxa efetiva como “se fosse capitalização simples”.
Ex: 4% ao bimestre com capitalização semestral, isto significa que 4% ao bimestre
é a taxa nominal que terá que ser transformada para semestre, taxa efetiva, como
“se fosse capitalização simples”. Sabemos que 1 semestre possui 3
bimestres,logo, 3 . 4%=12% ao semestre.
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Você deve estar se perguntando: “mas e se não tivermos a palavra capitalização
ou capitalizado no regime composto? Se formos transformar 4% ao bimestre em
semestre”?Neste caso, iremos utilizar taxas equivalentes, mas não se preocupe,
vou mostrar passo a passo como calcular.
Ex. 01: 4% ao bimestre equivale a que taxa anual?
1ºPasso: a palavra equivale será representada pelo sinal de igual, logo, 4% ao
bimestre= i ao ano
2ºPasso: note que temos duas unidades de tempo, o bimestre e o ano.
Vamos transformar sempre para a menor unidade, ou seja, o ano será
representado por 6 bimestres, lembrando que ao bimestre representa 1 bimestre,
ou seja, 4% 1 bimestre= i 6 bimestres
3ºPasso: iremos utilizar parênteses no 1º e no 2º membros da igualdade da
seguinte forma: o expoente dos parênteses do 1º membro será o número (6) do 2º
membro e o expoente dos parênteses do 2º membro será o número (1 )do 1º
membro e dentro dos parênteses 1 +,
(1+�( =(1+��
a taxa do 1º membro (4%) ficará nos parênteses do 1º membro na forma decimal e
a taxa do 2º membro (i) ficará nos parênteses do 2º membro, logo,
(1+0,04�( =(1+k�� →(1,04�(=(1+k��
Procurando na tabela i= 4% e n= 6 encontramos 1,265319, com isso, (1+i)=
1,265319 i= 1,265319- 1 = 0,265319= 26,5319% ao ano.
Ex. 02: 31,08% ao ano equivale a que taxa trimestral?
1ºPasso: 31,08% ao ano= i ao trimestre
2ºPasso: 31,08% 4 trimestre= i 1 trimestre
3ºPasso: (1+0,3108��=(1+k�9 →(1,3108��=(1+k�9
Na tabela procure, para n=4, o valor 1,3108, ou aproximado,e com isso encontre a
taxa, que será de 7% ao trimestre
n/i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8%
1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 1,060000 1,070000 1,080000 2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 1,123600 1,144900 1,166400
3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 1,191016 1,225043 1,259712
4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506 1,262476 1,310796 1,360488
5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281 1,338225 1,402552 1,469329
6 1,061520 1,126162 1,194052 1,265319 1,340095 1,418519 1,500730 1,586874
7 1,072135 1,148685 1,229873 1,315931 1,407100 1,503630 1,605781 1,713824
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8 1,082856 1,171659 1,266770 1,368569 1,477455 1,593848 1,718186 1,850930
9 1,093685 1,195092 1,304773 1,423311 1,551328 1,689478 1,838459 1,999004
10 1,101622 1,218994 1,343916 1,480244 1,628894 1,790847 1,967151 2,158925
11 1,115668 1,243374 1,384233 1,539454 1,710339 1,898298 2,104852 2,331639
12 1,126825 1,268242 1,425760 1,601032 1,795856 2,012196 2,252191 2,518170
MUITO CUIDADO!!! Existem questões que utilizam o “capitalizado”e a
“equivalência” juntos, você primeiro fará o “capitalizado” e depois “taxas
equivalente”.
Ex: que taxa anual equivale à taxa de 2% ao bimestre, capitalizado quadrimestral
mente?
1ºPasso: i ao ano= 2% ao bimestre, capitalizado quadrimestralmente
i ao ano= 4% ao quadrimestre
2ºPasso: i 3 quadrimestres= 4% 1 quadrimestre
3ºPasso: (1+i��=(1+0,04�� →(1+ i��=(1,04��
Na tabela para n= 3 e i= 4 % teremos 1,124864, com isso, (1+i)=1,124864.
i=1,124864-1=0,124864=12,4864% ao ano.
Testes de aprendizagem
1)TRT/BA- Técnico Judiciário-2003
Um capital de R$ 750,00 esteve aplicado a juro simples, produzido, ao fim de um
trimestre, o montante de R$ 851,25. A taxa anual de juro dessa aplicação foi
A) 48%. B)50%. C) 54%. D)56 %. E)63%.
2)TER/AM- Técnico Judiciário-2003
Um capital foi aplicado a juros simples e , ao final de 3 anos e 4 meses, teve o seu
valor triplicado. A taxa mensal dessa aplicação foi de
A)2,5%. B)4%. C)5%. D)6%. E)7,5%.
3)TRT/PI - Técnico – Judiciário-2004.
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Num mesmo dia, são aplicados a juros simples:2/5 de um capital a 2,5% ao mês e
o restante, a 18% ao ano. Se, decorridos 2 anos e 8 meses da aplicação, obtém-se
um juro total de R$ 7.600,00, o capital inicial era
A)R$ 12.500,00. B)R$ 12.750,00. C)R$ 14.000,00.
D)R$14.500,00. E)R$14.750,00.
4)TRT/SP- Técnico Judiciário-2004.
Uma pessoa tem R$ 20.000,00 para aplicar a juro simples. Se aplica R$ 5.000,00 à
taxa mensal de 2,5 %, e R$7.000,00 à taxa mensal de 1,8%, então, para obter um
juro anual de R$ 4.932,00, deve aplicar o restante à taxa mensal de
A)2 %. B) 2,1 %. C)2,4 %. D)2,5 %. E)2,8 %.
5)TRT/RS - Técnico Judiciário-2006.
Uma pessoa tem R$ 2.000,00 para investir. Se aplicar ¾ dessa quantia a juro
simples, à taxa mensal de 5%, então, para obter um rendimento mensal de
R$90,00, deverá investir o restante à taxa mensal de
A)1% B)2% C)3% D)4% E)5%
6) (VUNESP/FUNDAÇÃO CASA/2010) Um capital foi aplicado no sistema de juros
simples durante 20 meses, e o montante recebido ao final da aplicação foi igual a
5/4 do capital inicial. A taxa anual de juros simples dessa aplicação foi
A)15%. B)18%. C)20%. D)22%. E)25%.
7)(CESCRANRIO/ELETRONUCLEAR 2010 ) Uma mercadoria sofreu dois descontos
sucessivos de 30 % cada, passando a custar R$ 392,00. Qual era, em reais, o preço
dessa mercadoria antes dos descontos?
A)600,00 B)662,00 C)700,00 D)774,00 E)800,00
8)(BIORIO/ TRENSURB/2010) Edmilson obteve um empréstimo de R$5.000,00 com
uma taxa de juros (compostos) mensal de 2%. Se ele quitar o empréstimo
decorridos dois meses deverá pagar a seguinte quantia:
A)R$ 5.100,00; B)R$ 5.200,00; C) R$ 5.202,00;
D)R$ 5.220,00; E)R$ 5.222,00.
9)(FCC/INFRAERO/2009) Uma parte de um capital de R$ 18 000,00 foi aplicada a
juros simples à taxa de 6 % a.a. durante 5 anos e rendeu os mesmos juros que a
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outra parte, que foi também investida a juros simples a 12% a.a. por 2 anos. A
diferença ente a maior e a menor das aplicações foi de
A)R$1 900,00. B)R$1 880,00. C) R$ 2 200,00.
D)R$1 980,00. E)R$2 000,00.
10)(CESGRANRIO/Banco do Brasil/2010) Um investimento obteve variação
nominal de 15,5 % ao ano. Nesse mesmo período, a taxa de inflação foi de 5%. A
taxa de juros real para esse investimento foi
A)0,5%. B)5,0%. C)5,5%. D)10,0%. E)10,5%.
GABARITO
1-C 2-C 3-A 4-A 5-C 6-A 7-E 8-C 9-E 10-D
Geometria Básica:
Plana e Espacial
1. Geometria Plana
1.1 Ângulo: é a região limitada por duas semiretas de mesma origem. Seja ɑ o valor do
ângulo.
A
o ɑ
B
Se yB< ɑ < 90), o ângulo será agudo, ɑ = 90),o ângulo será reto,90) < ɑ <180), o ângulo
será obtuso, e ɑ = 180),o ângulo será raso.
a) Ângulos Complementares: dois ângulos são complementares quando a soma for 90),
se x for um ângulo, então o seu complemento será90) – x.
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b) Ângulos Suplementares: dois ângulos são suplementares quando a soma for 180), se
x for um ângulo, então o seu suplemento será 180) - x.
c) Ângulos Replementares: dois ângulos são replementares quando a soma for 360), se
x for um ângulo, então o seu suplemento será 360)- x.
d) Ângulos Alternos Internos são iguais, os Alternos Externos também são iguais, os
Colaterais Internos são suplementares, os Colaterais Externos são iguais e os
Correspondentes também são iguais.
1.2. Polígonos Convexos: Considere um polígono convexo com n lados.
a) Soma dos Ângulos:
Internos: �H = 180). (n-2) Externos: @= 360)
b) Números de Diagonais: D = .����
c) Polígono Regular: é todo polígono que possui todos os lados iguais (eqüilátero) e todos os
ângulos iguais (eqüiângulo). Neste caso poderemos calcular o valor do ângulo interno e do
ângulo externo.
LH = ���°.���4�� L@= 6��°�
Obs.: A soma do ângulo interno com o ângulo externo, relativos ao mesmo vértice, vale 180 .
1.3. Triângulo: a soma dos ângulos internos vale 180 , vejamos alguns tipos de triângulos.
a) Triângulo Isósceles: possui dois lados iguais e os ângulos formados com a base também são
iguais, ou seja, AB = AC, Então o ângulo B é igual ao ângulo C.
B c
b) Triângulo Retângulo: possui um ângulo reto e o lado oposto a este ângulo reto é chamado
de hipotenusa e os outros lados são chamados de catetos, os outros dois ângulos são agudos,
cuja soma vale 90 . No triângulo retângulo temos o teorema de Pitágoras, que diz que “o
quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”.
A
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a b
ɑ + β=���, ¡= ¢¡+�¡ (Teorema de Pitágoras)
ATENÇÃO! Triângulo Retângulo Pitagórico é todo Triângulo retângulo cujos lados são
proporcionais a (3 ,4,5) ou (5,12,13)ou (7,24,25). Lembramos que o maior lado sempre é a
hipotenusa.
c) Triângulo Eqüilátero: possui todos os lados iguais e todos os ângulos internos iguais a 60 .
a a
h
a h=�.√��
d) Semelhança de Triângulos: se dois Triângulos são semelhantes, então a razão entre os
lados homólogos (lados opostos ao mesmo ângulo) e a razão entre as alturas são sempre
iguais e iguais à constante de semelhança. Seja ∆ ABC ~∆L`N`§`,
ATENÇÃO!!! Se traçarmos uma reta paralela ao lado de um triângulo, essa reta irá determinar
um triângulo menor semelhante ao triângulo maior.
Seja o ∆ABC e MN paralelo a BC, logo, o ∆L¨©será semelhante ao ∆ ABC.
β
ɑ
c
h
A
b c
a c B
A`
c`
B` a`
C`
b`
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Obs.: a razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes vale a constante de semelhança ao
quadro (��).
e) Relação Métrica no Triângulo Retângulo:
ℎ�=m.n b.c= a.h
��=a.m �� =�� + -�
-�=a.n
| |
a é a hipotenusa, b e c são catetos, h é a hipotenusa relativa à hipotenusa, m é a projeção do
cateto b sobre a hipotenusa e n é a projeção do cateto c sobre a hipotenusa.
F) Relação Trigonométrica no Triângulo Retângulo:
sen ɑ= ��, cos ɑ=
2� e tg ɑ = �2
- O seno (sen) de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa.
-O cosseno (cos) de um ângulo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.
-A Tangente (tg) de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.
Obs.: Pincipais Ângulos
sen 30 = �4 sen 45°= √�� sen 60 =
√��
N
C B
M
A
h c
n
b
m .
.
a
a b
c ɑ .
Apostila de Matemática Cesgranrio
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cos 30° √�� cos 45° =√�� cos 60°= ��
Tg 30 = √�� tg 45°= 1 Tg 60°= √3
MUITO CUIDADO!!!Quando um triângulo retângulo possui ângulos agudos de 30 e 60 , o
lado oposto ao ângulo de 30 vale metade da hiponetusa e o lado oposto ao ângulo
de 60 vale a metade da hipotenusa vezes √3. Este triângulo é chamado de triângulo
Egípcio.
1.4. Perímetro e Áreas: seja A a área e P o Perímetro.
a) TRIÂNGULO:
A.1)
A=�.«� P= a +b + c
A.2) TRIÂNGULO EQUILÁTERO:
a
60) 2. a
a. √3 30)
a c
b
h
h a
a
a
.
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h= �.√�� A=
�4.√�9 P= a+a +a=3.a
B) QUADRILÁTEROS: a soma dos ângulos inteiros vale 360 .
Obs.: (Teorema de Pitot): Se um quadrilátero é circunscrito a um círculo, então a soma dos
lados opostos é igual. No quadrilátero abaixo temos AB + CD = AD + BC.
b.1) Retângulo: os lados opostos são iguais e paralelos, e todos os ângulos internos são de
90 .
A= b. h P=2.b+2.h
b.2) Quadrado: Todos os lados são iguais e D é a sua diagonal.
D = a . √¡ A= ¡ P = a + a + a + a = 4. a.
C
B
A D
h
b
.
. .
.
diagonal 45)
45)
a
a .
.
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b.3) Paralelogramo: Possui os lados opostos paralelos e iguais, e os ângulos opostos são
iguais:
A= b. h P=2.a+2.b
b.4) Trapézio: Possui dois lados oposto paralelos (b eB) chamados de bases.
A=��wO�.«� P= a+b+c+B
b.5) Losango: todos os lados são iguais, possui duas diagonais perpendiculares.
A= C.C´� P= soma dos lados
c) Círculo: a linha curva fechada, que vemos abaixo, é chamada de circunferência, esta
circunferência limita uma região chamada de círculo, logo, de circunferência calculamos
comprimento e da região calculamos área.
- Comprimento da Circunferência: C = 2 . . r
- Área do Círculo: A = . ®�
Obs.: PI (π) é um número irracional e vale aproximadamente =3, 141592…
Na prática, se não for dado o valor de π, deve-se utilizar 3,14.
h a
B
b
c
b
a h
.
d
d`
o
r
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- Propriedade: Traçando por um ponto exterior ao círculo duas tangentes, os segmentos
determinados são iguais, logo, RS = RP. Os raios serão perpendiculares nos pontos de
tangências P e S.
d)Hexágono Regular: todos os lados são iguais. Um hexágono regular pode ser dividido em
seis triângulos eqüiláteros.
A-6. ¡.√¯~ =
¯ ¡.√¯¡ P= 6.a
2. Geometria espacial: vamos calcular áreas e volumes.
2.1. Prismas: sólidos geométricos que possuem as bases paralelas iguais; arestas laterais iguais
e paralelas e que ligam as duas bases, na figura abaixo como a base é um hexágono, o prisma é
chamado hexagonal. A área e o volume são dados por:
{°{|±²{° = ³´{µ±. h {|¶|{° = {°{|±²{° + 2 . {´{µ± V= {´{µ± . h
A) Paralelepípedo: unindo os vértices A e B, temos a diagonal (D) do paralelepípedo.
o
R
P
S
a
a
a
a
a
a
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{°{|. = 2. (a.b+a.c) {|¶|{° = 2. (a.b+a.c+b.c)
V= a.b.c D=· ¡ + ¢¡ + �¡
Obs.: a, b, c são as dimensões do paralelepípedo.
b) Cubo: é um paralelepípedo em que todas as dimensões sãoiguais a a. Se ligarmos os
vértices A e B temos a diagonal (D) do cubo. Logo:
{°{|. = 4. ¡ {|¶|{°] 6. ¡ V= ¯ D√¯
2.2. Cilindro: as bases são círculos paralelos. {°{|.= 2 . ¸. R h {|¶|{° = 2 . ¸ . R. (h+ R) V= ¸. ²¡. h
Obs.: um cilindro é dito equilátero se h = 2. R.
2.3. Cone: também possui um vértice e sua base é um círculo, calculemos o seu
volume: v = ¹.º4.;� , podemos calcular o volume do tronco »1=
¹.C� .(¼� + ¼. ® + ®��, R é
o raio da base maior, r o raio da base menor e d é a altura do tronco. Existe uma
relação entre a altura H do cone, o raio R da base e sua geratriz g, que é ½¡= ¾¡ + ²¡.
c
B b
a
A
h
R
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PROPRIEDADE: Se traçarmos um plano paralelo à base, dividiremos o cone maior em
um cone menor e em um tronco de cone. A razão entre o volume do cone maior
(».�HBA) e do cone menor (».@BA) é igual á constante de semelhança ao cubo. A
constante de semelhança vale a razão entre as alturas e os raios das bases.
¿.�HBA¿.@BA = �� K = ÀÁ = Âà »IAB2B = ».�HBA - ».@BA, outra
forma de calcular »IAB2B .
ATENÇÃO!!! O mesmo raciocínio vale para a pirâmide.
2.4 Pirâmides: possui um vértice e sua base é um polígono. No caso abaixo temos uma
pirâmide hexagonal, o seu volume e o volume do seu tronco são:
V = &ÄÅÆÇ.«�
»I = È6 . (B + b +√N. � ), B é a área da base maior, b a área da base menor e d a altura do tronco.
2.5. Esfera: A = 4 .¸ . ¼� V =9.¹.º6�
H
d
h g
H
R
r
g
R
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