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NMEROS COMPLEXOS

1. Introduo

Os nmeros complexos podem ser representados por um ponto em um plano referido a um sistema de eixos cartesianos, denominado plano complexo.

Eixo horizontal eixo Real (+ a -)

Eixo vertical eixo Imaginrio (+j a j)

Este ponto tambm determina um raio vetor a partir da origem. Qualquer nmero real de zero a pode ser representado por um ponto no eixo real.

Eixos real e imaginrio do plano complexo

No plano complexo o eixo horizontal ou real representa todos os nmeros positivos direita do eixo imaginrio e todos os negativos esquerda do mesmo. Todos os nmeros imaginrios positivos so representados acima do eixo real e todos os nmeros imaginrios negativos, abaixo dele.

Para representar nmeros complexos em um plano so utilizadas duas formas: forma retangular, representada por um ponto no plano, e forma polar, representada por um raio vetor que parte da origem at um determinado ponto.

a) Forma Retangular: = + , onde a letra C foi escolhida a partir da palavra complexo.

Forma retangular de um nmero complexo

O nmero j usado para denotar a parte imaginria e corresponde a X = 0 e Y= 1

Nota: antes da introduo dos nmeros complexos acreditava-se que os nmeros que no pertenciam ao eixo dos nmeros reais no existissem, motivo pelo qual o eixo vertical foi denominado de eixo imaginrio.

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Exemplos: representar os seguintes nmeros complexos no plano complexo:

a) = +

b) =

c) =

3 b) Forma Polar: =

onde a letra Z foi escolhida a partir da seqncia X, Y, Z, e representa apenas o mdulo (magnitude) do nmero

(vetor) e o o ngulo (argumento) formado entre Z e o eixo real positivo, medido sempre no sentido anti-horrio.

Forma polar de um nmero complexo

O sinal negativo em frente ao nmero complexo na forma polar mostrado na figura a seguir. Observar que o resultado um nmero complexo oposto ao nmero complexo com sinal positivo.

= = +

Efeito de um sinal negativo sobre a forma polar

O ngulo medido no sentido horrio a partir do eixo real positivo deve ser associado a um sinal negativo.

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Exemplos: representar os seguintes nmeros complexos no plano complexo:

a) =

b) =

c) = ,

= , = , + = ,

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2. Converso entre as duas formas

Relao entre as duas formas

Nota: Teorema de PITGORAS:

= + ; e de forma anloga, tem-se: = +

a) Da forma Retangular para Polar: = + =

b) Da forma Polar para Retangular: = =

6 Exemplos:

a) converter o nmero complexo a seguir para a forma polar: = +

Portanto:

= ,

b) converter o nmero complexo a seguir para a forma retangular:

=

Portanto:

= , + ,

c) converter o nmero complexo a seguir para a forma polar: = +

Portanto:

= ,,

=

= ,

= ,

= () + ()= =

= = ., = ,

= = ., = ,

= , + ,

Se um ngulo de um nmero complexo estiver no segundo, terceiro ou quarto quadrante, deve-se tomar cuidado ao associ-lo ao vetor.

=

= ,

= , = ,

= ,,

= () + ()= = ,

7 d) converter o nmero complexo a seguir para a forma retangular:

= +

Portanto:

= , + ,

3. Complexo Conjugado

O conjugado ou complexo conjugado de um nmero complexo obtido simplesmente trocando-se o sinal da parte imaginria (forma retangular), ou o sinal do ngulo (forma polar).

a) Forma retangular: o conjugado complexo de:

= + =

b) Forma polar: o conjugado complexo de:

= =

= = .,

= ,

= = = .,

= ,

= , + ,

= = ( )

8 4. Operaes matemticas com nmeros complexos

Primeiramente, interessante efetuar algumas definies para que, posteriormente, poa definir os critrios das quatro operaes bsicas com nmeros complexos: adio, subtrao, multiplicao e diviso.

Sabe-se que, por definio:

= ; sendo X = 0 e Y = 1 ; ou Z = 1 e = 90. Logo:

= ; e

= . = =

= . = . =

=

4.1. Adio

Para adicionar dois nmeros complexos basta adicionar as partes reais e imaginrias separadamente.

= e =

Ento: + =

Exemplo - efetuar as seguintes operaes com nmeros complexos:

a) Adicionar: = + e = +

Soluo:

+ = + + +

+ = +

Ou de outra forma:

+

+

+

+

9 b) Adicionar: = + e = +

Soluo:

+ = + +

+ = +

Ou de outra forma:

4.2. Subtrao

Na subtrao, as partes reais e imaginrias tambm so consideradas separadamente.

= e =

Ento: = +

Exemplo - efetuar as seguintes operaes com nmeros complexos:

a) Subtrair: = + e = +

Soluo:

= +

= +

Ou de outra forma:

+

+

+

+

+

+

-

+

10 b) Subtrair: = + e = +

Soluo:

= +

=

Ou de outra forma:

+

+

A adio e a subtrao no podem ser realizadas na forma polar, a menos que os nmeros complexos

tenham o mesmo ngulo , ou sua diferena seja um mltiplo de 180. Utilizar somente a forma retangular.

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4.3. Multiplicao

Para multiplicar dois nmeros complexos basta multiplicar os mdulos e somar algebricamente os ngulos.

= e =

Ento: . = . +

Exemplo - efetuar as seguintes operaes com nmeros complexos:

a) Multiplicar: = e =

Soluo:

. = . +

. =

b) Multiplicar: = e = +

Soluo:

. = . +

. =

4.4. Diviso

Na forma polar, a diviso realizada simplesmente dividindo o mdulo do numerador pelo mdulo do denominador e subtraindo os respectivos ngulos.

= e =

Ento:

=

Exemplo - efetuar as seguintes operaes com nmeros complexos:

a) Dividir: = e =

Soluo:

=

= ,

12 Dividir: = e =

Soluo:

=

= ,

Para dividir um nmero complexo na forma retangular por um nmero real, tanto a parte real quanto a imaginria tm de ser dividida por esse nmero.

+

=

+

= +

Ou, ento:

,

=

,

+

= , +

Para se efetuar a multiplicao e a diviso deve-se dar preferncia para o uso da forma retangular.