SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ

INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS

FACULDADE DE MATEMÁTICA

LICENCIATURA EM MATEMÁTICA – MODALIDADE A DISTÂNCIA

SISTEMAS LINEARES 2X2

Denomina-se sistema linear mxn o conjunto S de m equações lineares em n

incógnitas, que pode ser representado assim:

Alguns exemplos de sistemas lineares:

Para resolver sistemas lineares devemos encontrar valores que solucionam

todas as equações envolvidas nele. Esses resultados são chamados de

conjunto solução, que é representado pela letra S.

Vejamos como exemplo a equação abaixo:

Então, o conjunto solução deste sistema é S=(3,-1). Pois substituindo x e y

pelos valores dele, encontramos as soluções que satisfazem as duas equações

ao mesmo tempo.

Como solucionar?

Para encontrar o conjunto solução de um sistema, podemos usar o método de

substituição (como foi feito no exemplo C), ou utilizando os métodos da adição

e comparação. Mas vamos nos ater ao método da adição e da substituição.

Solucionando Sistemas Lineares pelo método da adição:

Vamos usar os seguintes exemplos:

Denomina-se equação

linear, toda a equação que

pode ser escrita na forma

em destaque.

Encontramos o valor de y pelo método da adição:

A partir desta multiplicação teremos o seguinte

resultado:

Podemos substituir o resultado encontrado para y na 1ª equação do sistema

(2x-5y=11), a fim de encontrar o valor de x :

Assim, o conjunto solução do sistema é S=(3,-1)

O sistema acima é impossível, pois não existe um valor real para y que

satisfaça a equação. Assim dizemos que o conjunto solução S=Ø (vazio); ou

seja é um sistema sem solução.

Neste caso o y pode assumir qualquer valor real, logo é um sistema

indeterminado.

Interpretação gráfica de um sistema linear

Os pares ordenados que são encontrados como solução de equações lineares

determinam no gráfico uma reta. A intersecção das duas retas das equações

do sistema determinam a sua solução, caso exista. Abaixo a representação

gráfica de três sistemas resolvidos por adição:

1º)

2º)

3º)

As retas concorrentes

indicam que existe um

único par ordenado que

é solução do sistema;

portanto trata-se de um

sistema possível e

determinado (SPD).

As retas paralelas

indicam que não existe

um par ordenado que

seja solução do

sistema.(SI).

Então podemos classificar assim os sistemas:

Resumo:

Vamos exercitar!

1. Resolva cada sistema linear usando o método da adição, classifique-os

quanto ao seu número de soluções e faça a representação gráfica:

a.

b.

c.

Desafio: (UERJ-2004) um comerciante deseja totalizar a quantia de R$ 500,00

utilizando cédulas de um, cinco e dez reais, num total de 92 cédulas, de modo

que as quantidades de cédulas de um e de dez reais sejam iguais. Nesse caso,

qual a quantidade de cédulas de cinco reais que o comerciante precisará?

Sistema

Possível - com solução

Determinado -uma solução

(SPD)

Indeterminado -infinitas soluções

(SPI)Impossível - sem

solução

As retas coincidentes

indicam que existem

infinitos pares

ordenados que são

soluções do sistema;

portanto trata-se de um

sistema possível e

indeterminado (SPI).