apostila-topografia-ufpr

5/28/2018 Apostila-Topografia-UFPR

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Luis Augusto Koenig VeigaMaria Aparecida Z. Zanetti

Pedro Luis Faggion

FUNDAMENTOS DETOPOGRAFIA

2007


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TOPOGRAFIA

Luis A. K. Veiga / M a ria A . Z. Za ne tt i /Ped ro L. Fa g g io n

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Sumrio

Sumrio........................................................................................................................................iLista de Figuras ..........................................................................................................................v

Lista de Tabelas.........................................................................................................................ix1 INTRODUO TOPOGRAFIA1.1 Introduo.............................................................................................................................11.2 Sistemas de Coordenadas .....................................................................................................31.2.1 Sistemas de Coordenadas Cartesianas ...............................................................................31.2.2 Sistemas de Coordenadas Esfricas...................................................................................51.3 Superfcies de Referncia .....................................................................................................51.3.1 Modelo Esfrico ................................................................................................................51.3.2 Modelo Elipsoidal .............................................................................................................61.3.3 Modelo Geoidal .................................................................................................................7

1.3.4 Modelo Plano.....................................................................................................................81.3.4.1 Efeito da Curvatura na Distncia e Altimetria..............................................................101.4 Classificao dos Erros de Observao..............................................................................121.4.1 Erros Grosseiros ..............................................................................................................131.4.2 Erros Sistemticos ...........................................................................................................131.4.3 Erros Acidentais ou Aleatrios........................................................................................131.4.3.1 Peculiaridade dos Erros Acidentais ..............................................................................141.4.1 Preciso e Acurcia .........................................................................................................142 REVISO MATEMTICA..................................................................................................152.1 Unidades de Medida ...........................................................................................................152.1.1 Medida de Comprimento (Metro) ...................................................................................15

2.1.2 Medida Angular (Sexagesimal, Centesimal e Radianos) ................................................152.1.2.1 Radiano.........................................................................................................................152.1.2.2 Unidade Sexagesimal ...................................................................................................162.1.2.3 Unidade Decimal ..........................................................................................................162.1.2.4 Exerccios .....................................................................................................................162.2 Reviso de Trigonometria Plana.........................................................................................182.2.1 Relaes Trigonomtricas no Tringulo Retngulo ........................................................182.2.2 Teorema de Pitgoras ......................................................................................................182.3 Exerccios ...........................................................................................................................192.4 Relaes Mtricas com o Tringulo Retngulo..................................................................212.5 Exerccio.............................................................................................................................22

2.6 Tringulo Qualquer ............................................................................................................232.6.1 Lei Dos Senos..................................................................................................................232.6.2 Lei Dos Cossenos ............................................................................................................232.7 Exerccio.............................................................................................................................233 ESCALAS .............................................................................................................................253.1 Principais Escalas e suas Aplicaes..................................................................................263.2 Exerccio.............................................................................................................................273.3 Erro de Graficismo (Eg) .....................................................................................................283.4 A Escala Grfica .................................................................................................................294 NORMALIZAO...............................................................................................................31

4.1 Introduo...........................................................................................................................314.2 NBR 13133 Execuo de Levantamentos Topogrficos.................................................324.3 NBR 14166 Rede de Referncia Cadastral Municipal Procedimento..........................33


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TOPOGRAFIA


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5 MEDIO DE DISTNCIAS .............................................................................................345.1 Medida Direta de Distncias...............................................................................................345.1.1 Trena de Fibra de Vidro ..................................................................................................345.1.2 Piquetes............................................................................................................................355.1.3 Estacas Testemunhas.......................................................................................................355.1.4 Balizas .............................................................................................................................355.1.5 Nvel de Cantoneira.........................................................................................................365.2 Cuidados na Medida Direta de Distncias..........................................................................365.3 Mtodos de Medida com Trena ..........................................................................................375.3.1 Lance nico.....................................................................................................................375.3.2 Vrios Lances - Pontos Visveis......................................................................................375.4 Erros na Medida Direta de Distncias ................................................................................385.5 Medidas Indiretas de Distncias.........................................................................................395.5.1 Taqueometria ou Estadimetria.........................................................................................395.5.1.1 Formulrio Utilizado ....................................................................................................405.5.2 Medio Eletrnica de Distncias ...................................................................................42

5.5.2.1 Correes Ambientais das distncias obtidas com MED.............................................465.6 Exemplos da obteno da correo ...................................................................................486 MEDIO DE DIREES..................................................................................................516.1 ngulos Horizontais e Verticais.........................................................................................516.2 Medida Eletrnica de Direes...........................................................................................546.2.1 Introduo........................................................................................................................546.2.2 Teodolito..........................................................................................................................546.2.2.1 Sistema de Eixos...........................................................................................................556.2.2.2 Crculos Graduados (Limbos) ......................................................................................566.2.2.3 Luneta de Visada ..........................................................................................................566.2.2.4 Nveis............................................................................................................................56

6.2.3 Princpio da Leitura Eletrnica de Direes....................................................................566.2.4 Sensor Eletrnico de Inclinao ......................................................................................576.3 Estaes Totais ...................................................................................................................596.4 Mtodos de Medida Angular ..............................................................................................606.4.1 Aparelho no Orientado...................................................................................................606.4.2 Aparelho Orientado pelo Norte Verdadeiro ou Geogrfico ............................................606.4.3 Aparelho Orientado pela Bssola ....................................................................................606.4.4 Aparelho Orientado na R ...............................................................................................606.4.5 Aparelho Orientado na Vante ..........................................................................................616.4.6 Deflexo ..........................................................................................................................616.5 Tcnicas de Medio de Direes Horizontais...................................................................61

6.5.1 Simples ............................................................................................................................616.5.2 Pares Conjugados (PD E PI)............................................................................................626.5.3 Medidas com Reiteraes................................................................................................636.5.4 Medidas com Repetio ..................................................................................................646.6 Procedimento de Medida em Campo utilizando um Teodolito..........................................686.6.1 Instalao do Equipamento..............................................................................................686.6.2 Focalizao da Luneta. ....................................................................................................756.6.3 Leitura da Direo ...........................................................................................................766.7 ngulos Verticais................................................................................................................767 ORIENTAO .....................................................................................................................777.1 Norte Magntico e Geogrfico ...........................................................................................777.2 Azimute e Rumo.................................................................................................................787.2.1 Azimute ...........................................................................................................................78


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TOPOGRAFIA


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7.2.2 Rumo ...............................................................................................................................787.2.3 Converso entre Rumo e Azimute...................................................................................797.2.4 Exerccios ........................................................................................................................807.3 Declinao Magntica ........................................................................................................837.3.1 Clculo da Declinao Magntica ...................................................................................837.3.2 Exemplos .........................................................................................................................847.3.3 Clculo da Declinao Magntica utilizando Programa Computacional ........................877.3.4 Transformao de Norte Magntico em Geogrfico e Vice-Versa .................................887.4 Bssolas..............................................................................................................................897.4.1 Inverso dos Pontos E e W da Bssola ....................................................................907.4.2 Utilizao da Bssola ......................................................................................................907.4.3 Exerccio..........................................................................................................................907.5 Mtodos de Determinao do Norte Verdadeiro ................................................................917.6 Exerccio.............................................................................................................................918 LEVANTAMENTO TOPOGRFICO - PLANIMETRIA...................................................928.1 Introduo...........................................................................................................................92

8.2 Clculo de Coordenadas na Planimetria.............................................................................939 TCNICAS DE LEVANTAMENTO PLANIMTRICO ....................................................959.1 Levantamento e Clculo de Poligonais Fechadas...............................................................999.1.1 Levantamento da Poligonal .............................................................................................999.1.2 Clculo da Poligonal......................................................................................................1019.1.2.1 Verificao do Erro de Fechamento Angular .............................................................1029.1.2.2 Clculo dos Azimutes.................................................................................................1039.1.2.3 Clculo das Coordenadas Parciais ..............................................................................1049.1.2.4 Verificao do Erro de Fechamento Linear................................................................1049.1.2.5 Correo do Erro Linear. ............................................................................................1069.1.2.6 Resumo do Clculo da Poligonal Fechada .................................................................106

9.2 Poligonal Enquadrada.......................................................................................................1109.2.1 Exemplo.........................................................................................................................1119.3 Irradiao..........................................................................................................................11810 CLCULO DE REAS....................................................................................................12110.1 Processo Grfico.............................................................................................................12110.2 Processo Computacional. ...............................................................................................12110.3 Processo Mecnico. ........................................................................................................12110.4 Processos Analticos. ......................................................................................................12211 MEMORIAL DESCRITIVO.............................................................................................12812 NIVELAMENTO..............................................................................................................13012.1 Introduo.......................................................................................................................130

12.2 Levantamento Topogrfico Altimtrico .........................................................................13312.2.1 Nivelamento Geomtrico............................................................................................13612.2.1.1 Nveis........................................................................................................................13612.2.1.2 Miras.........................................................................................................................13712.2.2 Mtodos de Nivelamento Geomtrico........................................................................13912.2.2.1 Visadas Iguais...........................................................................................................13912.2.2.2 Mtodo das Visadas Extremas..................................................................................15312.2.2.3 Mtodo das Visadas Eqidistantes. ..........................................................................16012.2.2.4 Mtodo das Visadas Recprocas..............................................................................16112.2.3 Nivelamento Trigonomtrico ......................................................................................16212.2.3.1 Nivelamento Trigonomtrico para Lances Curtos....................................................16212.2.3.2 Nivelamento Trigonomtrico para Lances Longos ..................................................16313 INTRODUO AO DESENHO TOPOGRFICO ASSISTIDO POR


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TOPOGRAFIA


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COMPUTADOR....................................................................................................................16513.1 Introduo.......................................................................................................................16513.2 Desenho Tcnico ............................................................................................................16914 TERMOS TCNICOS UTILIZADOS EM INSTRUMENTAO TOPOGRFICA EGEODSICA..........................................................................................................................17315 REPRESENTAO DO RELEVO..................................................................................17715.1 Introduo.......................................................................................................................17715.2 Mtodos Para a Interpolao e Traado das Curvas de Nvel. .......................................18315.2.1 Mtodo Grfico ...........................................................................................................18316 Bibliografia........................................................................................................................191


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Lista de Figuras

Figura 1.1 - Desenho representando o resultado de um levantamento planialtimtrico.............2Figura 1.2 - Sistema de coordenadas cartesianas. ......................................................................3

Figura 1.3 - Representao de pontos no sistema de coordenadas cartesianas. .........................4Figura 1.4 - Sistema de coordenadas cartesianas, dextrgiro e levgiro....................................4Figura 1.5 - Sistema de coordenadas esfricas...........................................................................5Figura 1.6 - Terra esfrica - Coordenadas astronmicas............................................................6Figura 1.7 - Elipside de revoluo............................................................................................6Figura 1.8 - Coordenadas elipsidicas........................................................................................7Figura 1.9 - Superfcie fsica da Terra, elipside e geide. ........................................................7Figura 1.10 - Vertical. ................................................................................................................8Figura 1.11 - Plano em Topografia.............................................................................................9Figura 1.12 - Eixos definidos por uma direo notvel............................................................10Figura 1.13 - Efeito da curvatura para a distncia. ...................................................................10

Figura 1.14 - Efeito da curvatura na altimetria.........................................................................11Figura 1.15 - Preciso e acurcia..............................................................................................14Figura 2.1 - Representao de um arco de ngulo....................................................................15Figura 2.2 - Tringulo retngulo .............................................................................................18Figura 3.1 - Quadrado 2u x 2u..................................................................................................26Figura 4.1 - Logotipo ANBT e ISO..........................................................................................31Figura 5.1 - Modelos de Trenas................................................................................................34Figura 5.2 - Representao da implantao de um piquete e estaca testemunha. ....................35Figura 5.3 - Exemplos de balizas. ............................................................................................36Figura 5.4 - Nvel de cantoneira. ..............................................................................................36Figura 5.5 - Medida de distncia em lance nico. ....................................................................37

Figura 5.6 - Exemplo de medida direta de distncia com trena. ..............................................37Figura 5.7 - Medida de distncia em vrios lances. .................................................................38Figura 5.8 - Falta de verticalidade da baliza.............................................................................39Figura 5.9 - Exemplo de um teodolito. .....................................................................................39Figura 5.10 - Mira estadimtrica. .............................................................................................40Figura 5.11 - Determinao da distncia utilizando estadimetria. ...........................................41Figura 5.12 - Princpio de medida de um MED. ......................................................................42Figura 5.13 - Representao da funo trigonomtrica envolvida em um sistema decoordenadas polares e retangulares. ........................................................................................43Figura 5.14 - Dois sinais senoidais com a mesma amplitude e fases diferentes. . ...................44Figura 5.15 - Modelo de prisma de reflexo total. . .................................................................45Figura 5.16 - Alvo de reflexo atravs de superfcie espelhada. .............................................45Figura 5.17 - Alvo de reflexo difusa.......................................................................................46Figura 5.18 - baco utilizado para a obteno da correo ambiental.....................................48Figura 5.19 - baco utilizado para a obteno da correo ambiental.....................................49Figura 6.1 - Leitura de direes e clculo do ngulo................................................................51Figura 6.2 - ngulo horizontal. ................................................................................................51Figura 6.3 - Pontaria para leitura de direes horizontais. ......................................................52Figura 6.4 - ngulo vertical. ....................................................................................................52Figura 6.5 - ngulo zenital.......................................................................................................53Figura 6.6 - ngulos horizontal e zenital. ................................................................................53

Figura 6.7 - Indicao da preciso de um teodolito. ................................................................55Figura 6.8 - Teodolito...............................................................................................................55Figura 6.9 - Modelo de limbo incremental. ..............................................................................57


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TOPOGRAFIA


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Figura 6.10 - Sistema de codificao absoluto.........................................................................57Figura 6.11 - Esquema do sensor de inclinao. ......................................................................58Figura 6.12 - Detalhe do sensor de inclinao..........................................................................58Figura 6.13 - Estao Total. .....................................................................................................59Figura 6.14 - ngulo .............................................................................................................60Figura 6.15 - Aparelho no orientado.......................................................................................60Figura 6.16 - Aparelho orientado na estao r. .......................................................................61Figura 6.17 - Aparelho orientado na estao vante. .................................................................61Figura 6.18 - Deflexo..............................................................................................................61Figura 6.19 - Leitura por pares conjugados..............................................................................62Figura 6.20 - Leituras utilizando o mtodo de reiterao posio I. .....................................63Figura 6.21 - Leituras utilizando o mtodo de reiterao posio II. ....................................63Figura 6.22 - Leituras utilizando o mtodo de reiterao posio III....................................64Figura 6.23 - Medida com repetio.........................................................................................65Figura 6.24 - Direes medidas com o mtodo de repetio....................................................66Figura 6.25 - Direes medidas com o mtodo de repetio, segundo exemplo. ....................66

Figura 6.26 - Exemplificando o mtodo de repetio. .............................................................67Figura 6.27 - Marco de concreto. .............................................................................................68Figura 6.28 - Chapa metlica com a indicao do ponto topogrfico. .....................................69Figura 6.29 - Disposio dos equipamentos enquanto no utilizados......................................69Figura 6.30 - Movimento de extenso das pernas do trip.......................................................69Figura 6.31 - Cravando o trip no solo. ....................................................................................70Figura 6.32 - Cuidados a serem seguidos na instalao do trip..............................................70Figura 6.33 - Retirando o instrumento da caixa. ......................................................................70Figura 6.34 - Fixando o equipamento ao trip..........................................................................71Figura 6.35 - Eixo principal do equipamento passando pelo ponto. ........................................71Figura 6.36 - Nveis esfrico, tubular e digital. ........................................................................72

Figura 6.37 - Posicionando o prumo sobre o ponto..................................................................72Figura 6.38 - Ajustando o nvel de bolha utilizando os movimentos de extenso do trip......72Figura 6.39 - Calagem da bolha do nvel esfrico. ...................................................................73Figura 6.40 - Nvel alinhado a dois calantes. ...........................................................................73Figura 6.41 - Movimentao dos dois calantes ao mesmo tempo, em sentidos opostos..........73Figura 6.42 - Alinhamento do nvel ortogonalmente linha inicial.........................................74Figura 6.43 - Calagem da bolha atuando no parafuso ortogonal a linha inicial.......................74Figura 6.44 - Retculos focalizados. .........................................................................................75Figura 7.1 - Campo magntico ao redor da Terra.....................................................................77Figura 7.2 - Representao do azimute. ...................................................................................78Figura 7.3 - Representao do rumo.........................................................................................78

Figura 7.4 - Representao do rumo em funo do azimute. ...................................................79Figura 7.5 - Representao da declinao magntica...............................................................83Figura 7.6 - Exemplo de apresentao de um mapa de declinao magntica com asrespectivas legendas. ................................................................................................................86Figura 7.7 - Tela principal do programa ELEMAG. ................................................................87Figura 7.8 - Resultados de Curitiba. .........................................................................................87Figura 7.9 - Resultados de Foz do Iguau. ...............................................................................88Figura 7.10 - Transformao de azimute e rumo magntico para verdadeiro e vice-versa......89Figura 7.11 - Teodolito TC100 com bssola. ...........................................................................89Figura 8.1 - Diferentes formas de materializao de pontos. ...................................................92Figura 8.2 - Monografia de ponto topogrfico. ........................................................................93Figura 8.3 - Representao da projeo da distncia D em X (X) e em Y (Y). .................93Figura 8.4 - Representao de uma poligonal e suas respectivas projees.............................94


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TOPOGRAFIA


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Figura 9.1 - Levantamento de uma poligonal...........................................................................95Figura 9.2 - Poligonal fechada..................................................................................................96Figura 9.3 - Poligonal enquadrada............................................................................................96Figura 9.4 - Poligonal aberta. ...................................................................................................96Figura 9.5 - Dois pontos com coordenadas conhecidas e vinculadas ao SGB comuns a

poligonal. ..................................................................................................................................97Figura 9.6 - Pontos com coordenadas conhecidas entre pontos da poligonal. .........................97Figura 9.7 - Um vrtice de apoio pertencente a poligonal e observao a um segundovrtice. ......................................................................................................................................97Figura 9.8 - Norte geogrfico e um ponto com coordenadas conhecidas.................................98Figura 9.9 - Transporte de coordenadas utilizando uma poligonal de apoio............................98Figura 9.10 - Problema de Pothnot. ........................................................................................98Figura 9.11 - Eixo Y orientado segundo um alinhamento de meio fio. ...................................99Figura 9.12 - ngulos externos e internos de uma poligonal fechada. ....................................99Figura 9.13 - ngulos de deflexo de uma poligonal fechada. ..............................................100Figura 9.14 - Estao r e vante. ............................................................................................100

Figura 9.15 - Medida do ngulo horizontal. ...........................................................................101Figura 9.16 - Clculo das coordenadas...................................................................................101Figura 9.17 - Pontaria em baliza prxima ao equipamento e longe. ......................................103Figura 9.18 - Clculo do azimute. ..........................................................................................103Figura 9.19 - Erro Planimtrico..............................................................................................104Figura 9.20 - Decomposio do erro planimtrico. ................................................................104Figura 9.21 - Desenho da poligonal........................................................................................110Figura 9.22 - Desenho da poligonal enquadrada. ...................................................................111Figura 9.23 - Configurao da poligonal levantada no Centro Politcnico............................113Figura 9.24 - Mtodo de Irradiao. .......................................................................................118Figura 9.25 - Levantamento por irradiao. ...........................................................................119

Figura 9.26 - Exemplo de caderneta de campo de levantamento de detalhes. .......................119Figura 9.27 - Croqui ...............................................................................................................120Figura 10.1 - Clculo de rea por mtodos grficos: quadriculado e figuras geomtricasequivalentes. ...........................................................................................................................121Figura 10.2 - Planmetro digital..............................................................................................122Figura 10.3 - Clculo de reas ................................................................................................123Figura 10.4 - Clculo da rea de um trapzio.........................................................................123Figura 10.5 - Trapzio 22 1 1...............................................................................................124Figura 10.6 - Forma de multiplicao dos valores. ................................................................126Figura 12.1 - Cota e altitude. ..................................................................................................130Figura 12.2 - Rede Altimtrica Brasileira.. ............................................................................132

Figura 12.3 - Referncia de nvel - RN 2053-D. ....................................................................132Figura 12.4 - Amostragem de pontos altimtricos e representao do relevo........................135Figura 12.5 - Eixos do nvel. ..................................................................................................136Figura 12.6 - Diferentes modelos de miras.............................................................................137Figura 12.7 - Conveno para a indicao do metro para a mira utilizada. ...........................138Figura 12.8 - Mira e leituras ...................................................................................................138Figura 12.9 - Nivelamento geomtrico mtodo das visadas iguais. ....................................140Figura 12.10 - Nvel a igual distncia entre os pontos. ..........................................................140Figura 12.11 - Nvel em duas alturas diferentes. ....................................................................141Figura 12.12 - Erro de colimao e curvatura terrestre. .........................................................141Figura 12.13 - Lance...............................................................................................................142Figura 12.14 - Seo...............................................................................................................142Figura 12.15 - Rede, circuito e linha de nivelamento.............................................................143


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Figura 12.16 - Nivelamento simples e composto. ..................................................................143Figura 12.17 - Leituras efetuadas e distncia calculada.........................................................144Figura 12.18 - Caderneta modelo G4 de nivelamento geomtrico.........................................145Figura 12.19 - Preenchimento da caderneta. ..........................................................................145Figura 12.20 - Rotacionando a mira durante o nivelamento composto..................................147Figura 13.1 - Croqui e desenho final. .....................................................................................165Figura 13.2 - Exemplos de convenes topogrficas.. ...........................................................167Figura 13.3 - Diferentes formas de indicao do norte. .........................................................167Figura 13.4 - Diferentes representaes para uma mesma rea .............................................168Figura 13.5 - Diviso do desenho em camadas. .....................................................................168Figura 13.6 - Camadas auxiliares. ..........................................................................................169Figura 13.7 - Folhas na horizontal e vertical. .........................................................................169Figura 13.8 - Espaos para desenho, texto e legenda.. ...........................................................170Figura 13.9 - Exemplo de legenda..........................................................................................171Figura 13.10 - Exemplo de quadriculado. ..............................................................................172Figura 15.1 - Diferentes formas de representao do relevo..................................................177

Figura 15.2 - Pontos cotados. .................................................................................................177Figura 15.3 - Interseo de um plano vertical com o relevo ..................................................178Figura 15.4 - Perfil. ................................................................................................................178Figura 15.5 - Interseo do plano horizontal com a superfcie fsica.....................................179Figura 15.6 - Elevao e depresso. ......................................................................................180Figura 15.7 - Curvas mestras e secundrias ...........................................................................180Figura 15.8 - Curvas de nvel lisas.....................................................................................181Figura 15.9 - Erro na representao das curvas: cruzamento................................................181Figura 15.10 - Erro na representao das curvas: encontro de curvas. .................................181Figura 15.11 - Representao de relevos com diferentes inclinaes. ...................................182Figura 15.12 - Representao tridimensional do relevo e curvas de nvel. ............................182

Figura 15.13 - Representao a partir dos pontos obtidos em campo. ...................................183Figura 15.14 - Interpolao da cota de um ponto. ..................................................................183Figura 15.15 - Diagrama de linhas paralelas. .........................................................................184Figura 15.16 - Interpolao das curvas empregando diagrama de linhas paralelas. .............184Figura 15.17 - Traado de uma reta r com comprimento igual ao desnvel entre os pontosA e B.......................................................................................................................................185Figura 15.18 - Retas paralelas ao segmento AB. ..................................................................185Figura 15.19 - Exemplo de interpolao numrica. ...............................................................186Figura 15.20 - Resultado da interpolao numrica para o segmento AB. ............................186Figura 15.21 - Interpolao e desenho das curvas em uma clula da malha quadrada. .........187Figura 15.22 - Ambigidade na representao em uma clula da malha quadrada. ..............187

Figura 15.23 - Malha triangular..............................................................................................188Figura 15.24 - Triangulao. ..................................................................................................188


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TOPOGRAFIA


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Lista de Tabelas

Tabela 1.1 - Efeito da curvatura para diferentes distncias......................................................11Tabela 1.2 - Efeito da curvatura na altimetria ..........................................................................12Tabela 2.1 - Prefixos.................................................................................................................15Tabela 3.1 - Principais escalas e suas aplicaes .....................................................................27

Tabela 3.2 - Representao da preciso da escala. ...................................................................29Tabela 5.1 - Preciso das trenas. ..............................................................................................37Tabela 6.1 - Classificao dos teodolitos. ................................................................................54Tabela 7.1 - Valor da frao do ano. ........................................................................................84Tabela 9.1 - Poligonal topogrfica enquadrada......................................................................112Tabela 9.2 - Coordenadas dos pontos de partida e de chegada obtidas em levantamentoanterior....................................................................................................................................112Tabela 13.1 - Formatos da srie A..........................................................................................170Tabela 15.1 - Escala e eqidistncia.......................................................................................179


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TOPOGRAFIA


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1.1 - INTRODUO

O homem sempre necessitou conhecer o meio em que vive, por questes desobrevivncia, orientao, segurana, guerras, navegao, construo, etc. No princpio arepresentao do espao baseava-se na observao e descrio do meio. Cabe salientar quealguns historiadores dizem que o homem j fazia mapas antes mesmo de desenvolver aescrita. Com o tempo surgiram tcnicas e equipamentos de medio que facilitaram aobteno de dados para posterior representao. A Topografia foi uma das ferramentasutilizadas para realizar estas medies.

Etimologicamente a palavra TOPOS, em grego, significa lugar e GRAPHENdescrio, assim, de uma forma bastante simples, Topografia significa descrio do lugar. A

seguir so apresentadas algumas de suas definies:

A Topografia tem por objetivo o estudo dos instrumentos e mtodosutilizados para obter a representao grfica de uma poro do terrenosobre uma superfcie plana DOUBEK (1989)

A Topografia tem por finalidade determinar o contorno, dimenso eposio relativa de uma poro limitada da superfcie terrestre, semlevar em conta a curvatura resultante da esfericidade terrestreESPARTEL (1987).

O objetivo principal efetuar o levantamento (executar medies de ngulos,distncias e desnveis) que permita representar uma poro da superfcie terrestre em umaescala adequada. s operaes efetuadas em campo, com o objetivo de coletar dados para a

posterior representao, denomina-se de levantamento topogrfico.

A Topografia pode ser entendida como parte da Geodsia, cincia que tem por objetivodeterminar a forma e dimenses da Terra.

Na Topografia trabalha-se com medidas (lineares e angulares) realizadas sobre asuperfcie da Terra e a partir destas medidas so calculados reas, volumes, coordenadas, etc.Alm disto, estas grandezas podero ser representadas de forma grfica atravs de mapas ou

plantas. Para tanto necessrio um slido conhecimento sobre instrumentao, tcnicas demedio, mtodos de clculo e estimativa de preciso (KAHMEN; FAIG, 1988).

De acordo com BRINKER;WOLF (1977), o trabalho prtico da Topografia pode serdividido em cinco etapas:

1) Tomada de deciso, onde se relacionam os mtodos de levantamento,equipamentos, posies ou pontos a serem levantados, etc.

2) Trabalho de campo ou aquisio de dados: fazer as medies e gravar os dados.3) Clculos ou processamento: elaborao dos clculos baseados nas medidas obtidas

para a determinao de coordenadas, volumes, etc.4) Mapeamento ou representao: produzir o mapa ou carta a partir dos dados medidos

e calculados.

01 - INTRODUO TOPOGRAFIA


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TOPOGRAFIA


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5) Locao.

De acordo com a NBR 13133 (ABNT, 1991, p. 3), Norma Brasileira para execuo deLevantamento Topogrfico, o levantamento topogrfico definido por:

Conjunto de mtodos e processos que, atravs de medies dengulos horizontais e verticais, de distncias horizontais, verticais einclinadas, com instrumental adequado exatido pretendida,

primordialmente, implanta e materializa pontos de apoio no terreno,determinando suas coordenadas topogrficas. A estes pontos serelacionam os pontos de detalhe visando a sua exata representao

planimtrica numa escala pr-determinada e sua representaoaltimtrica por intermdio de curvas de nvel, com eqidistnciatambm pr-determinada e/ou pontos cotados.

Classicamente a Topografia dividida em Topometria e Topologia.

A Topologia tem por objetivo o estudo das formas exteriores do terreno e das leis queregem o seu modelado.

A Topometria estuda os processos clssicos de medio de distncias, ngulos edesnveis, cujo objetivo a determinao de posies relativas de pontos. Pode ser divididaem planimetria e altimetria.

Tradicionalmente o levantamento topogrfico pode ser divido em duas partes: olevantamento planimtrico, onde se procura determinar a posio planimtrica dos pontos(coordenadas X e Y) e o levantamento altimtrico, onde o objetivo determinar a cota ou

altitude de um ponto (coordenada Z). A realizao simultnea dos dois levantamentos dorigem ao chamado levantamento planialtimtrico. A figura 1.1 ilustra o resultado de umlevantamento planialtimtrico de uma rea.

Figura 1.1 Desenho representando o resultado de um levantamento planialtimtrico.


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TOPOGRAFIA


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A Topografia a base para diversos trabalhos de engenharia, onde o conhecimento dasformas e dimenses do terreno importante. Alguns exemplos de aplicao:

projetos e execuo de estradas; grandes obras de engenharia, como pontes, portos, viadutos, tneis, etc.;

locao de obras; trabalhos de terraplenagem; monitoramento de estruturas; planejamento urbano; irrigao e drenagem; reflorestamentos; etc.

Em diversos trabalhos a Topografia est presente na etapa de planejamento e projeto,fornecendo informaes sobre o terreno; na execuo e acompanhamento da obra, realizandolocaes e fazendo verificaes mtricas; e finalmente no monitoramento da obra aps a sua

execuo, para determinar, por exemplo, deslocamentos de estruturas.

1.2 - SISTEMAS DE COORDENADAS

Um dos principais objetivos da Topografia a determinao de coordenadas relativasde pontos. Para tanto, necessrio que estas sejam expressas em um sistema de coordenadas.So utilizados basicamente dois tipos de sistemas para definio unvoca da posiotridimensional de pontos: sistemas de coordenadas cartesianas e sistemas de coordenadasesfricas.

1.2.1 - SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS

Quando se posiciona um ponto nada mais est se fazendo do que atribuindocoordenadas ao mesmo. Estas coordenadas por sua vez devero estar referenciadas a umsistema de coordenadas. Existem diversos sistemas de coordenadas, alguns amplamenteempregados em disciplinas como geometria e trigonometria, por exemplo. Estes sistemasnormalmente representam um ponto no espao bidimensional ou tridimensional.

No espao bidimensional, um sistema bastante utilizado o sistema de coordenadasretangulares ou cartesiano. Este um sistema de eixos ortogonais no plano, constitudo deduas retas orientadas X e Y, perpendiculares entre si (figura 1.2). A origem deste sistema o

cruzamento dos eixos X e Y.

Figura 1.2 - Sistema de coordenadas cartesianas.

X

Y

Origem


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Um ponto definido neste sistema atravs de uma coordenada denominada abscissa(coordenada X) e outra denominada ordenada (coordenada Y). Um dos smbolos P(x,y) ouP=(x,y) so utilizados para denominar um ponto P com abscissa x e ordenada y.

Na figura 1.3 apresentado um sistema de coordenadas, cujas coordenadas da origemso O (0,0). Nele esto representados os pontos A(10,10), B(15,25) e C(20,-15).

Figura 1.3 - Representao de pontos no sistema de coordenadas cartesianas.

Um sistema de coordenadas cartesianas retangulares no espao tridimensional caracterizado por um conjunto de trs retas (X, Y, Z) denominadas de eixos coordenados,mutuamente perpendiculares, as quais se interceptam em um nico ponto, denominado de

origem. A posio de um ponto neste sistema de coordenadas definida pelas coordenadascartesianas retangulares (x,y,z) de acordo com a figura 1.4.

Figura 1.4 Sistema de coordenadas cartesianas, dextrgiro e levgiro.

Conforme a posio da direo positiva dos eixos, um sistema de coordenadascartesianas pode ser dextrgiro ou levgiro (GEMAEL, 1981, no paginado). Um sistemadextrgiro aquele onde um observador situado no semi-eixo OZ v o semi-eixo OXcoincidir com o semi-eixo OY atravs de um giro de 90no sentido anti-horrio. Um sistema

xy

zO

P(x,y,z)

X

Z

Y

x

y

zO

Q(x,y,z)

Y

Z

X

30

20

10

-1010 20 30

-20

B

A

C

X

Y

O


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levgiro aquele em que o semi-eixo OX coincide com o semi-eixo OY atravs de um giro de90no sentido horrio (figura 1.4).

1.2.2 - SISTEMAS DE COORDENADAS ESFRICAS

Um ponto do espao tridimensional pode ser determinado de forma unvoca, conformea figura 1.5, pelo afastamento r entre a origem do sistema e o ponto R considerado, pelongulo formado entre o segmento OR e a projeo ortogonal deste sobre o plano xy e pelongulo que a projeo do segmento OR sobre o plano xy forma com o semi-eixo OX. Ascoordenadas esfricas de um ponto R so dadas por (r, , ). A figura 1.5 ilustra este sistemade coordenadas.

Supe-se o sistema de coordenadas esfricas sobreposto a um sistema de coordenadascartesianas (TORGE, 1980, p.16). Assim, o ponto R, determinado pelo terno cartesiano(x, y, z) pode ser expresso pelas coordenadas esfricas (r, , ), sendo o relacionamento entreos dois sistemas obtido pelo vetor posicional:

=

sen

sencos

coscos

r

z

y

x

(1.1)

Figura 1.5 Sistema de coordenadas esfricas.

1.3 - SUPERFCIES DE REFERNCIA

Devido s irregularidades da superfcie terrestre, utilizam-se modelos para a suarepresentao, mais simples, regulares e geomtricos e que mais se aproximam da forma real

para efetuar os clculos. Cada um destes modelos tem a sua aplicao, e quanto maiscomplexa a figura empregada para a representao da Terra, mais complexos sero osclculos sobre esta superfcie.

1.3.1 - MODELO ESFRICO

Em diversas aplicaes a Terra pode ser considerada uma esfera, como no caso daAstronomia. Um ponto pode ser localizado sobre esta esfera atravs de sua latitude e

O

R (r, , )r

Z

Y

X


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longitude. Tratando-se de Astronomia, estas coordenadas so denominadas de latitude elongitude astronmicas. A figura 1.6 ilustra estas coordenadas.

- Latitude Astronmica (): o arco de meridiano contado desde o equador at oponto considerado, sendo, por conveno, positiva no hemisfrio Norte e negativa nohemisfrio Sul.

- Longitude Astronmica (): o arco de equador contado desde o meridiano deorigem (Greenwich) at o meridiano do ponto considerado. Por conveno a longitude variade 0 a +180 no sentido leste de Greenwich e de 0 a -180 por oeste de Greenwich.

Figura 1.6 Terra esfrica - coordenadas astronmicas.

1.3.2 - MODELO ELIPSOIDAL

A Geodsia adota como modelo o elipside de revoluo (figura 1.7). O elipside derevoluo ou biaxial a figura geomtrica gerada pela rotao de uma semi-elipse (geratriz)

em torno de um de seus eixos (eixo de revoluo); se este eixo for o menor tem-se umelipside achatado. Mais de 70 diferentes elipsides de revoluo so utilizados em trabalhosde Geodsia no mundo.

Um elipside de revoluo fica definido por meio de dois parmetros, os semi-eixos a(maior) e b (menor). Em Geodsia tradicional considerar como parmetros o semi-eixomaior ae o achatamento f, expresso pela equao (1.2).

a

baf

= (1.2)

a: semi-eixo maior da elipseb: semi-eixo menor da elipse

Figura 1.7 - Elipside de revoluo.

a a

a

b

PS

G

P

QQ

PN


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As coordenadas geodsicas elipsidicas de um ponto sobre o elipside ficam assimdefinidas (figura 1.8):

Latitude Geodsica ( ): ngulo que a normal forma com sua projeo no plano doequador, sendo positiva para o Norte e negativa para o Sul.

Longitude Geodsica ( ): ngulo diedro formado pelo meridiano geodsico deGreenwich (origem) e do ponto P, sendo positivo para Leste e negativo para Oeste.

A normal uma reta ortogonal ao elipside que passa pelo ponto P na superfcie fsica.

Figura 1.8 - Coordenadas Elipsidicas.

No Brasil, o atual Sistema Geodsico Brasileiro (SIRGAS2000 - SIstema de

Referncia Geocntrico para as AmricaS) adota o elipside de revoluo GRS80 (GlobalReference System 1980), cujos semi-eixo maior e achatamento so:

a = 6.378.137,000 mf = 1/298,257222101

1.3.3 - MODELO GEOIDAL

O modelo geoidal o que mais se aproxima da forma da Terra. definidoteoricamente como sendo o nvel mdio dos mares em repouso, prolongado atravs doscontinentes. No uma superfcie regular e de difcil tratamento matemtico. Na figura 1.9so representados de forma esquemtica a superfcie fsica da Terra, o elipside e o geide.

Figura 1.9 - Superfcie fsica da Terra, elipside e geide.

SuperfcieFsica

Geide

Elipside

Q

G

P

P

h

h = altitudegeomtrica (PP )

normal


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O geide uma superfcie equipotencial do campo da gravidade ou superfcie denvel, sendo utilizado como referncia para as altitudes ortomtricas (distncia contada sobrea vertical, do geide at a superfcie fsica) no ponto considerado.

As linhas de fora ou linhas verticais (em ingls plumb line) so perpendiculares aessas superfcies equipotenciais e materializadas, por exemplo, pelo fio de prumo de umteodolito nivelado, no ponto considerado. A reta tangente linha de fora em um ponto (emingls direction of plumb line) simboliza a direo do vetor gravidade neste ponto, etambm chamada de vertical. A figura 1.10 ilustra este conceito.

Figura 1.10 - Vertical.

1.3.4 - MODELO PLANO

Considera a poro da Terra em estudo com sendo plana. a simplificao utilizadapela Topografia. Esta aproximao vlida dentro de certos limites e facilita bastante osclculos topogrficos. Face aos erros decorrentes destas simplificaes, este plano tem suasdimenses limitadas. Tem-se adotado como limite para este plano na prtica a dimenso de 20a 30 km. A NRB 13133 (Execuo de Levantamento Topogrfico) admite um plano com ataproximadamente 80 km.

Segundo a NBR 13133, as caractersticas do sistema de projeo utilizado emTopografia so:

a) as projetantes so ortogonais superfcie de projeo, significando estar o centro deprojeo localizado no infinito.

b) a superfcie de projeo um plano normal a vertical do lugar no ponto da superfcieterrestre considerado como origem do levantamento, sendo seu referencial altimetrico oreferido datum vertical brasileiro.

c) as deformaes mximas inerentes desconsiderao da curvatura terrestre e a refraoatmosfrica tm as seguintes aproximadas:

l (mm) = - 0,001 l3(km)

Linha de foraou linha vertical

P

g : direo do vetor gravidade do ponto P(vertical)

Superfcie equipotencial ou

superfcie de nvel S

Superfcie equipotencial ousuperfcie de nvel S

.

.P


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h (mm) = +78,1 l2(km)h(mm) = +67 l2(km)

onde:

l = deformao planimetrica devida a curvatura da Terra, em mm.h = deformao altimtrica devida a curvatura da Terra, em mm.h = deformao altimtrica devida ao efeito conjunto da curvatura da Terra e darefrao atmosfrica, em mm.l = distncia considerada no terreno, em km.

d) o plano de projeo tem a sua dimenso mxima limitada a 80 km, a partir da origem, demaneira que o erro relativo, decorrente da desconsiderao da curvatura terrestre, noultrapasse 1:35000 nesta dimenso e 1:15000 nas imediaes da extremidade destadimenso.

e) a localizao planimtrica dos pontos, medidos no terreno e projetados no plano de

projeo, se d por intermdio de um sistema de coordenadas cartesianas, cuja origemcoincide com a do levantamento topogrfico;

f) o eixo das ordenadas a referncia azimutal, que, dependendo das particularidades dolevantamento, pode estar orientado para o norte geogrfico, para o norte magntico ou

para uma direo notvel do terreno, julgada como importante.

Uma vez que a Topografia busca representar um conjunto de pontos no plano necessrio estabelecer um sistema de coordenadas cartesianas para a representao dosmesmos. Este sistema pode ser caracterizado da seguinte forma:

Eixo Z: materializado pela vertical do lugar (linha materializada pelo fio de prumo);

Eixo Y: definido pela meridiana (linha norte-sul magntica ou verdadeira);Eixo X: sistema dextrgiro (formando 90 na direo leste).

A figura 1.11 ilustra este plano.

Figura 1.11 - Plano em Topografia.

PN

PS

Eixo Y

Eixo X

Eixo Z

Plano de Projeo9090


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Em alguns casos, o eixo Y pode ser definido por uma direo notvel do terreno, como

o alinhamento de uma rua, por exemplo (figura 1.12).

Figura 1.12 - Eixos definidos por uma direo notvel.

1.3.4.1- EFEITO DA CURVATURA NA DISTNCIA E ALTIMETRIA

A seguir demonstrado o efeito da curvatura nas distncias e na altimetria. Na figura1.13 tem-se que S o valor de uma distncia considerada sobre a Terra esfrica e S a

projeo desta distncia sobre o plano topogrfico.

Figura 1.13 - Efeito da curvatura para a distncia.

A diferena entre Se S ser dada por:

S = S S (1.3)

Calculando S e Se substituindo na equao (1.3) tem-se:

S = R tg (1.4)

SA

S

B

B

R

R

R: raio aproximado da Terra (6370 km)

Eixo X

Eixo Y


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S = R (1.5)

S = R tg- R (1.6)

S = R (tg ) (1.7)Desenvolvendo tg em srie e utilizando somente os dois primeiros termos:

(1.8)

(1.9)

onde = S/R, logo:

(1.10)

(1.11)

A tabela 1.1 apresenta valores de erros absolutos e relativos para um conjunto dedistncias.

Tabela 1.1 - Efeito da curvatura para diferentes distncias.

S (km) s1 0,008 mm10 8,2 mm25 12,8 cm50 1,03 m70 2,81 m

Analisando agora o efeito da curvatura na altimetria, de acordo com a figura 1.11.

Figura 1.14 - Efeito da curvatura na altimetria.

K+++=152 5

3

3tg

+=

3RS

3

3RS

3=

R3

SS2

3=

SA

S

B

B

RR

R: raio aproximado da Terra (6370 km)h: diferena de nvel entre os pontos B e B,este ltimo projeo de B no plano topogrfico.

h


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Atravs da figura 1.11 possvel perceber que:

hR

R

+=cos (1.12)

Isolando h na equao anterior:

= 1

cos

1

Rh (1.13)

De acordo com CINTRA (1996), desenvolvendo em srie 1/cos e considerando que:

R

S= (1.14)

tem-se:

2

2Rh

= (1.15)

R2S2h

= (1.16)

A tabela 1.2 apresenta o efeito da curvatura na altimetria para diferentes distncias.

Tabela 1.2 - Efeito da curvatura na altimetria.

S h100m 0,8 mm500m 20 mm1 km 78 mm

10 km 7,8 m70 km 381,6 m

Como pode ser observado atravs das tabelas 1.1 e 1.2, o efeito da curvatura maiorna altimetria do que na planimetria. Durante os levantamentos altimtricos alguns cuidadosso tomados para minimizar este efeito, com ser visto nos captulos posteriores.

1.4 - CLASSIFICAO DOS ERROS DE OBSERVAO

Para representar a superfcie da Terra so efetuadas medidas de grandezas comodirees, distncias e desnveis. Estas observaes inevitavelmente estaro afetadas por erros.As fontes de erro podero ser:

Condies ambientais:causados pelas variaes das condies ambientais, comovento, temperatura, etc. Exemplo: variao do comprimento de uma trena com a variao da

temperatura. Instrumentais: causados por problemas como a imperfeio na construo deequipamento ou ajuste do mesmo. A maior parte dos erros instrumentais pode ser reduzida


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adotando tcnicas de verificao/retificao, calibrao e classificao, alm de tcnicasparticulares de observao.

Pessoais: causados por falhas humanas, como falta de ateno ao executar umamedio, cansao, etc.

Os erros, causados por estes trs elementos apresentados anteriormente, podero serclassificados em: Erros grosseiros Erros sistemticos Erros aleatrios

1.4.1 - ERROS GROSSEIROS

Causados por engano na medio, leitura errada nos instrumentos, identificao dealvo, etc., normalmente relacionados com a desateno do observador ou uma falha noequipamento. Cabe ao observador cercar-se de cuidados para evitar a sua ocorrncia oudetectar a sua presena. A repetio de leituras uma forma de evitar erros grosseiros.

Alguns exemplos de erros grosseiros:

anotar 196 ao invs de 169; engano na contagem de lances durante a medio de uma distncia com trena.

1.4.2 - ERROS SISTEMTICOS

So aqueles erros cuja magnitude e sinal algbrico podem ser determinados, seguindoleis matemticas ou fsicas. Pelo fato de serem produzidos por causas conhecidas podem ser

evitados atravs de tcnicas particulares de observao ou mesmo eliminados mediante aaplicao de frmulas especficas. So erros que se acumulam ao longo do trabalho.

Exemplo de erros sistemticos, que podem ser corrigidos atravs de frmulasespecficas:

efeito da temperatura e presso na medio de distncias com medidor eletrnico dedistncia;

correo do efeito de dilatao de uma trena em funo da temperatura.

Um exemplo clssico apresentado na literatura, referente a diferentes formas de

eliminar e ou minimizar erros sistemticos o posicionamento do nvel a igual distncia entreas miras durante o nivelamento geomtrico pelo mtodo das visadas iguais, o que proporcionaa minimizao do efeito da curvatura terrestre no nivelamento e falta de paralelismo entre alinha de visada e eixo do nvel tubular.

1.4.3 - ERROS ACIDENTAIS OU ALEATRIOS

So aqueles que permanecem aps os erros anteriores terem sido eliminados. So errosque no seguem nenhum tipo de lei e ora ocorrem num sentido ora noutro, tendendo a seneutralizar quando o nmero de observaes grande.


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De acordo com GEMAEL (1991, p.63), quando o tamanho de uma amostra elevado,os erros acidentais apresentam uma distribuio de freqncia que muito se aproxima dadistribuio normal.

1.4.3.1- PECULIARIDADE DOS ERROS ACIDENTAIS

Erros pequenos ocorrem mais freqentemente do que os grandes, sendo maisprovveis;

Erros positivos e negativos do mesmo tamanho acontecem com igual freqncia, ouso igualmente provveis;

A mdia dos resduos aproximadamente nula; Aumentando o nmero de observaes, aumenta a probabilidade de se chegar prximo

ao valor real.

Exemplo de erros acidentais:

Inclinao da baliza na hora de realizar a medida; Erro de pontaria na leitura de direes horizontais.

1.4.4 - PRECISO E ACURCIA

A preciso est ligada a repetibilidade de medidas sucessivas feitas em condiessemelhantes, estando vinculada somente a efeitos aleatrios.

A acurcia expressa o grau de aderncia das observaes em relao ao seu valorverdadeiro, estando vinculada a efeitos aleatrios e sistemticos. A figura 1.15 ilustra estesconceitos.

Figura 1.15 - Preciso e acurcia.

O seguinte exemplo pode ajudar a compreender a diferena entre eles: um jogador defutebol est treinando cobranas de pnalti. Ele chuta a bola 10 vezes e nas 10 vezes acerta atrave do lado direito do goleiro. Este jogador foi extremamente preciso. Seus resultados noapresentaram nenhuma variao em torno do valor que se repetiu 10 vezes. Em compensaosua acurcia foi nula. Ele no conseguiu acertar o gol, verdadeiro valor, nenhuma vez.


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Neste captulo realizada uma reviso de unidades e trigonometria, necessria para oestudo dos prximos temas a serem abordados.

2.1 - UNIDADES DE MEDIDA

2.1.1 - MEDIDA DE COMPRIMENTO (METRO)

A origem do metro ocorreu em 1791 quando a Academia de Cincias de Paris odefiniu como unidade padro de comprimento. Sua dimenso era representada por1/10.000.000 de um arco de meridiano da Terra.

Em 1983, a Conferncia Geral de Pesos e Medidas estabeleceu a definio atual do

metro como a distncia percorrida pela luz no vcuo durante o intervalo de tempo de1/299.792.458 s.

O metro uma unidade bsica para a representao de medidas de comprimento nosistema internacional (SI).

Tabela 2.1 -Prefixos.

NomeValor

NumricoSmbolo Nome

ValorNumrico

Smbolo

Deca 101 da deci 10-1 d

Hecto 102

H centi 10-2

cKilo 103 K mili 10-3 m

Mega 106 M micro 10-6

Giga 109 G nano 10-9 n

Tera 1012 T pico 10-12 p

2.1.2 - Medida Angular (Sexagesimal, Centesimal e Radianos)

2.1.2.1 - RADIANOUm radiano o ngulo central que subentende um arco de circunferncia de

comprimento igual ao raio da mesma. uma unidade suplementar do SI para ngulos planos.

2R 360 arco = R = raio (2.1)

Raio

Raio

Arco

Figura 2.1 - Representao de um arco de ngulo.

02 - REVISO MATEMTICA


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2.1.2.2 - UNIDADE SEXAGESIMAL

Grau

1 grau = 1/360 da circunferncia

grau 1 = (/180) rad

minuto 1 = 1/60=(/10800) rad

segundos 1 = 1/3600=(/648000) rad

2.1.2.3 - UNIDADE DECIMAL

Grado

1 grado =1/400 da circunferncia

Um grado dividido em 100 e cada minuto tem 100.

2.1.2.4 EXERCCIOS:

1) Transformao de ngulos:Transforme os seguintes ngulos em graus, minutos e segundos para graus e fraes

decimais de grau.

a) 32 28 59 = 32 = 32, 48305556

b) 17 34 18,3 = 17 = 17,57175

c) 125 59 57 = 125 = 125,9991667

d)

2) Soma e subtrao de ngulos:

3020 + 2052 = 51122841 + 3939 = 68204230 2040 = 2150

2.1) Utilizando a calculadora:

30,20DEG= 30,3333333+

20,52DEG= 20,86666667=

51,20000 2ndF DEG = 51 12

2.2) Sem a utilizao de calculadora:

51 12

=0928

3020'2052'5072'

+

3020'2052'-

2980'2052'0928'

-


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OBS: comum, utilizando a calculadora, obter resultados com vrias casas decimais,neste caso, recomenda-se o arredondamento. Por exemplo:

3020'2052'-

30,3333333320,8666666609,46666666

-

09 27 59,999999 = 09 28

J para a transformao de graus decimais para graus, minutos e segundos, necessrio manter um mnimo de 6 casas decimais para obter o dcimo do segundo comsegurana.

3) Clculo de funes trigonomtricas utilizando uma calculadora

Ao aplicar as funes trigonomtricas (seno, cosseno e tangente), com umacalculadora, o ngulo deve estar em graus e fraes de grausou radianos, sendo que nesteltimo caso, a calculadora deve estar configurada para radianos. Por exemplo:

Para o ngulo 22 09 04, calcular o valor do seno, cosseno e tangente:

1) transformar para graus decimais ou radianos:

22 09 04 = 22,1511111= 0.386609821864rad

2) aplicar a funo trigonomtrica desejada:

sen(22,1511111) = sen(0.386609821864 rad) = 0,377050629cos(22,1511111) = cos(0.386609821864 rad) = 0,926192648

tg(22,1511111) = tg(0.386609821864 rad) = 0,407097411

Ao aplicar-se a funo sem a transformao do ngulo pode-se incorrer em erros nosclculos futuros, como possvel observar no exemplo a seguir:

Para o ngulo citado acima: = 22 09 04

Calculando-se o valor da funo seno sem converter o valor do ngulo, obtm-se:

sen 22,0904 = 0,376069016

J transformando-o para graus decimais obtm-se:

sen 22,1511111 = 0,377050629

Considerando uma distncia de 300m, entre um vrtice de uma poligonal e um pontode detalhe qualquer, pode-se observar a seguinte diferena no valor de x calculado.

x = 300 . sen 22,0904 = 300 . 0,376069016 x = 112,821m

x = 300 . sen 22,15111110= 300 . 0,377050629 x = 113,115m


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Logo, uma diferena de 29,4 cm.

2.2 - REVISO DE TRIGONOMETRIA PLANA

A trigonometria teve origem na Grcia, em virtude dos estudos das relaes mtricasentre os lados e os ngulos de um tringulo, provavelmente com o objetivo de resolverproblemas de navegao, Agrimensura e Astronomia.

2.2.1 - RELAES TRIGONOMTRICAS NO TRINGULO RETNGULO

A soma dos ngulos internos de um tringulo igual a 180. A partir da figura 2.2podem ser estabelecidas as seguintes relaes:

Figura 2.2 Tringulo retngulo

Seno

sen =)(

)(

aHipotenusa

cOpostoCateto

Cosseno

cos =)(

)(

aHipotenusa

bAdjacenteCateto

Tangente

tg =)(

)(

bAdjecenteCateto

cOpostoCateto

2.2.2 - TEOREMA DE PITGORAS

O quadrado do comprimento da hipotenusa igual a soma dos quadrados doscomprimentos dos catetos.

a

A

B

Cb

c


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a2= b2+ c2 (2.2)

2.3 - EXERCCIOS

1) No tringulo abaixo, determinar as relaes solicitadas.

a = 2m

mA

B

Cb= 3

c = 1m

sen =2

1

2

1=

m

m cos =

2

1

2

1=

m

m

cos =2

3

2

3=

m

m sen =

2

3

2

3=

m

m

tg =3

1

3

1=

m

m tg = 3

1

3=

m

m

Obs.: importante lembrar que as funes trigonomtricas so adimensionais, ou seja, paraqualquer unidade que esteja sendo utilizada, elas sempre se simplificaro, como pode ser vistono exemplo acima.

2) Um observador na margem de um rio v o topo de uma torre na outra margem segundoum ngulo de 56 0000. Afastando-se de 20,00 m, o mesmo observador v a mesma torresegundo um ngulo de 35 0000. Calcule a largura do rio (CEFET, 1984).

A

BC D

56 00'00"

35 00'00"

h

d 20,00 m


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20

3) Para determinar a largura de um rio, um topgrafo mediu, a partir de uma base de 20,00mde comprimento os ngulos A e B, conforme figura. Calcule valor de h.

6200'00"

7400'00"A

B

P

M

h

ab


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2.4 - RELAES MTRICAS COM O TRINGULO RETNGULO

Para um tringulo retngulo ABC pode-se estabelecer algumas relaes entre asmedidas de seus elementos:

Onde:

b, c: catetos;

h: altura relativa hipotenusa;

A

B C

b

a

c

nm H

h


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a: hipotenusa;

m, n: projees ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.

As seguintes relaes mtricas podem ser definidas:

a) O quadrado de um cateto igual ao produto da hipotenusa pela projeo dessecateto sobre a hipotenusa.

b2= a . n

c2= a . m

b) O produto dos catetos igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa hipotenusa.

b . c = a . h

c) O quadrado da altura igual ao produto das projees dos catetos sobre ahipotenusa.

h2= m . n

d) O quadrado da hipotenusa igual a soma dos quadrados dos catetos.

a2= b2+ c2 (Teorema de Pitgoras)

2.5 - EXERCCIO

A partir da primeira relao mtrica, deduzir o Teorema de Pitgoras.

b2= a . n

c2= a . m

b2+ c2= a . m + a . n

b2+ c2= a . (m + n)

como: (m + n) = a , ento

b2+ c2= a . (a) ou

b2+ c2= a2


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23

2.6 - TRINGULO QUALQUER

2.6.1 - LEI DOS SENOS

Num tringulo qualquer a razo entre cada lado e o seno do ngulo oposto constante e igual ao dimetro da circunferncia circunscrita.

A

B C

b

a

c

senC

c

senB

b

senA

a== (2.3)

2.6.2 - LEI DOS COSSENOS

Num tringulo qualquer, o quadrado da medida de um lado igual soma dosquadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidas dos dois lados

pelo cosseno do ngulo que eles formam.

a2= b2+ c22.b.c. cos A (2.4)

2.7 - EXERCCIO

Um topgrafo, a partir dos pontos A e B, distantes de 20m, realiza a medio dos nguloshorizontais a duas balizas colocadas em D e C, com o auxlio de um teodolito. Calcule adistncia entre as balizas (CEFET, 1984).

A B

CD

6000'00"

4000'00" 3000'00"

8500'00"

20,00 m

DC = ?


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comum em levantamentos topogrficos a necessidade de representar no papel uma

certa poro da superfcie terrestre. Para que isto seja possvel, teremos que representar asfeies levantadas em uma escala adequada para os fins do projeto. De forma simples,podemos definir escala com sendo a relao entre o valor de uma distncia medida nodesenho e sua correspondente no terreno. A NBR 8196 (Emprego de escalas em desenhotcnico: procedimentos) define escala como sendo a relao da dimenso linear de umelemento e/ou um objeto apresentado no desenho original para a dimenso real do mesmoe/ou do prprio objeto.

Normalmente so empregados trs tipos de notao para a representao da escala:

E =1

M

E =d

D

d

D=

1

M

onde:

M = denominador da escala;

d = distncia no desenho;D = distncia no terreno.

Por exemplo, se uma feio representada no desenho com um centmetro decomprimento e sabe-se que seu comprimento no terreno de 100 metros, ento a escala derepresentao utilizada de 1:10.000. Ao utilizar a frmula (3.2) para o clculo da escaladeve-se ter o cuidado de transformar as distncias para a mesma unidade. Por exemplo:

d = 5 cm000.10

1

000.50

5

5,0

5===

cm

cm

km

cmE

D = 0,5 km

As escalas podem ser de reduo (1:n), ampliao (n:1) ou naturais (1:1). EmTopografia as escalas empregadas normalmente so: 1:250, 1:200, 1:500 e 1:1000.Logicamente que no algo rgido e estes valores dependero do objetivo do desenho.

Uma escala dita grande quando apresenta o denominador pequeno (por exemplo,1:100, 1:200, 1:50, etc.). J uma escala pequena possui o denominador grande (1:10.000,1:500.000, etc.).

O valor da escala adimensional, ou seja, no tem dimenso (unidade). Escrever1:200 significa que uma unidade no desenho equivale a 200 unidades no terreno. Assim, 1 cmno desenho corresponde a 200 cm no terreno ou 1 milmetro do desenho corresponde a 200

03 - ESCALAS

(3.1)

(3.2)

(3.3)


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milmetros no terreno. Como as medidas no desenho so realizadas com uma rgua, comumestabelecer esta relao em centmetros:

Desenho Terreno1 cm 200 cm1 cm 2 m

1 cm 0,002 km comum medir-se uma rea em um desenho e calcular-se sua correspondente no

terreno. Isto pode ser feito da seguinte forma: Imagina-se um desenho na escala 1:50.Utilizando esta escala faz-se um desenho de um quadrado de 2 x 2 unidades (u), no interessaqual esta unidade. A figura 3.1 apresenta este desenho.

A rea do quadrado no desenho (Ad) ser:

Ad = 2u . 2u Ad = 4 u2 (3.4)

Figura 3.1 Quadrado 2u x 2u

A rea do quadrado no terreno (At) ser ento:

At = (50 . 2u) . (50 . 2u)

At = (2 . 2) . (50 . 50) u2

At = 4u2 . (50 . 50) (3.5)

Substituindo a equao (3.4) na (3.5) e lembrando que M=50 o denominador daescala, a rea do terreno, em funo da rea medida no desenho e da escala dada pelaequao (3.6).

2MAdAt = (3.6)

3.1 - PRINCIPAIS ESCALAS E SUAS APLICAES

A seguir encontra-se uma tabela com as principais escalas utilizadas por engenheirose as suas respectivas aplicaes.

2u

2u


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Tabela 3.1 Principais escalas e suas aplicaes

Aplicao Escala

Detalhes de terrenos urbanos 1:50

Planta de pequenos lotes e edifcios 1:100 e 1:200

Planta de arruamentos e loteamentos urbanos 1:500 e 1:1000

Planta de propriedades rurais1:10001:20001:5000

Planta cadastral de cidades e grandespropriedades rurais ou industriais

1:50001:10 0001:25 000

Cartas de municpios1:50 0001:100 000

Mapas de estados, pases, continentes ,etc. 1:200 000 a1:10 000 000

3.2 - EXERCCIO

1) Qual das escalas maior 1:1. 000.000 ou 1:1000?

2) Qual das escalas menor 1:10 ou 1:1000?

3) Determinar o comprimento de um rio onde a escala do desenho de 1:18000 e o rio foirepresentado por uma linha com 17,5 cm de comprimento.

E= 1:18 000

d = 17,5 cmD

dE=

D

cm5,17

000.18

1=

D = 17,5. 18 000D = 315 000 cm ou 3150 m

4) Determinar qual a escala de uma carta sabendo-se que distncias homlogas na carta e noterreno so, respectivamente, 225 mm e 4,5 km.

5) Com qual comprimento uma estrada de 2500 m ser representada na escala 1:10000?


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6)Calcular o comprimento no desenho de uma rua com 30 m de comprimento nas escalasabaixo.

Escala Comprimento

1:100

1:200

1:250

1:500

1:1000

7) Um lote urbano tem a forma de um retngulo, sendo que o seu comprimento duas vezes

maior que a sua altura e sua rea de 16.722,54 m2. Calcular os comprimentos dos lados seesta rea fosse representada na escala 1:10560. (Adaptado de Irvine s.d.)

8) As dimenses de um terreno foram medidas em uma carta e os valores obtidos foram: 250mm de comprimento por 175 mm de largura. Sabendo-se que a escala do desenho de1:2000, qual a rea do terreno em m2?

9) Se a avaliao de uma rea resultou em 2575 cm2para uma escala de 1:500, a quantos

metros quadrados corresponder a rea no terreno?

3.3 - ERRO DE GRAFICISMO (eg)

O erro de graficismo (eg) uma funo da acuidade visual, habilidade manual equalidade do equipamento de desenho. De acordo com a NBR 13133 (Execuo deLevantamentos Topogrficos), o erro de graficismo admissvel na elaborao do desenho

topogrfico para lanamento de pontos e traados de linhas de 0,2 mm e equivale a duasvezes a acuidade visual.


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Em funo deste valor possvel definir o valor da preciso da escala(pe), ou seja,o menor valor representvel em verdadeira grandeza, em uma escala.

pe= eg . M (3.7)

A tabela a seguir, ilustra o valor da preciso da escala (pe)para diferentes escalas.

Tabela 3.2 Representao da preciso da escala.

Escala p.e.

1:10.000 2m

1:2000 40cm

1:1000 20cm

1:500 10cm

1:250 5cm

Em casos onde necessrio representar elementos com dimenses menores que asestabelecidas pela preciso da escala, podem ser utilizados smbolos. A figura 3.2 apresentaexemplos de smbolos empregados em levantamentos topogrficos.

3.4 - A ESCALA GRFICA

A escala grfica utilizada para facilitar a leitura de um mapa, consistindo-se em umsegmento de reta dividido de modo a mostrar graficamente a relao entre as dimenses deum objeto no desenho e no terreno. Segundo JOLY (1996) um baco formado por uma linhagraduada dividida em partes iguais, cada uma delas representando a unidade de comprimentoescolhida para o terreno ou um dos seus mltiplos.

Para a construo de uma escala grfica a primeira coisa a fazer conhecer a escalado mapa. Por exemplo, seja um mapa na escala 1:4000. Deseja-se desenhar um retngulo nomapa que corresponda a 100 metros no terreno. Aplicando os conhecimentos mostradosanteriormente deve-se desenhar um retngulo com 2,5 centmetros de comprimento:

D

d

M=

1

000.104000

1 d= d = 2,5cm

Luminria TelefonePblico

rvore

Figura 3.2 Smbolos utilizados para representar feies.

pe


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30

100 m

25 mm

Isto j seria uma escala grfica, embora bastante simples. comum desenhar-se maisque um segmento (retngulo), bem como indicar qual o comprimento no terreno que estesegmento representa, conforme mostra a figura a seguir.

0 m 100 m 200 m 300 m

No caso anterior determinou-se que a escala grfica seria graduada de 100 em 100metros. Tambm possvel definir o tamanho do retngulo no desenho, como por exemplo, 1centmetro.

? m

1 cm

0m 40 m 80 m 120m

1:4000 1cm = 40 m

Existe tambm uma parte denominada de talo, que consiste em intervalos menores,conforme mostra a figura abaixo.

Uma forma para apresentao final da escala grfica apresentada a seguir.

0 100

metros

Escala 1:4000

1cm = 40m

200 30050100

0 m 100 m 200 m 300 m50 m100 m

talo


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4.1 - INTRODUO

A Associao Brasileira de Normas Tcnicas (ABNT) o rgo responsvel pelanormalizao tcnica no pas, tendo sido fundada em 1940 para fornecer a base necessria aodesenvolvimento tecnolgico brasileiro. A normalizao o processo de estabelecer e aplicarregras a fim de abordar ordenadamente uma atividade especfica e com a participao detodos os interessados e, em particular, de promover a otimizao da economia, levando emconsiderao as condies funcionais e as exigncias de segurana. Os objetivos danormalizao so (ABNT, 2003):

Economia: proporcionar a reduo da crescente variedade de produtos e procedimentos; C

apostila-topografia-ufpr

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