apostila uniube - cálculo integral ii

8/18/2019 Apostila Uniube - Cálculo Integral II

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Cursos de Engenharias e Tecnologias

Prof. Luís Humberto Miquelino - Cálculo Diferencial e Integral II

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Problemas de otimização

Procedimentos para resolver problemas de máximos e

mínimos em aplicações.

Passo 1: Ler o Problema quantas vezes for necessária.

Passo 2: Faça uma figura apropriada e identifique as

quantidades relevantes ao problema.

Passo 3: Obtenha uma fórmula para a quantidade a ser

maximizada ou minimizada.

Passo 4: Usando as condições dadas no problema para

eliminar variáveis, expresse a quantidade a ser

maximizada ou minimizada como função de uma

variável.

Passo 5: Encontre o intervalo de valores possíveis para

essa variável a partir das restrições físicas do problema.

Passo 6: Se aplicável, use as técnicas de derivação

para obter o máximo ou o mínimo.

Exemplo 1:

Devemos projetar um jardim de área retangular e

protegido por uma cerca. Qual é a maior área possível

de tal jardim se dispusermos de apenas 100 m lineares

de cerca?

Solução:

Sejam:x = comprimento do retângulo (m)

y = largura do retângulo (m)

A = área do retângulo (m²)

Então a área deste retângulo é dada por: A = x y

Como o perímetro do retângulo é de 100 m, as variáveis

x e y estão relacionadas pela equação;

2 2 100 2 100 2 50 x y y x y x+ = ⇒ = − ⇒ = −

Substituindo o valor de y na equação da área teremos:

2

(50 )

50

A x x

A x x

= −

= −

Como estamos trabalhando com um comprimento, x

não pode ser negativo e, como os dois lados de

comprimento x não podem ter um comprimento que

ultrapasse o perímetro de 100 m. então a variável x

deve satisfazer: 0 50 x≤ ≤ .

Assim o problema ficou reduzido a encontrar o valor (ou

valores) de x em [0, 50] para os quais A é máxima.

Como A é um polinômio em x, é contínua em [0, 50] e o

máximo ocorre ou nos extremos desse intervalo ou em

um ponto estacionário.2

50

50 2

A x x

dA x

dx

= −

= −

Igualando a derivada primeira a zero, obtemos:

50 2 0

25

x

x

− =

=

Assim, o máximo ocorre em um dos pontos:

0, 25, 50 x x x= = =

Substituindo estes valores, encontramos;

(0) 0

(25) 625

(50) 0

A m

A m

A m

=

=

=

Podemos notar que a área máxima é de 625 m², quando

x = 25 m.

Desta forma, resulta que y = 25 m, de modo que o

retângulo de perímetro 100 m com maior área é um

quadrado com lados medindo 25 m de comprimento.

yy

x

x


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2

Exemplo 2:

Um fazendeiro tem 2.400 pés de cerca e quer cercar um

campo retangular que está na margem de um rio preto.

Ele não precisa de cerca ao longo do rio. Quais são asdimensões do campo que tem maior área?

Exemplo 3:

Deve-se construir uma caixa de base retangular, com

uma folha de cartolina de 40 cm de largura e 52 cm de

comprimento, retirando-se um quadrado de cada canto

da cartolina e dobrando-se perpendicularmente os lados

resultantes. Determine o tamanho do lado do quadradoque permite construir uma caixa de volume máximo.

(Desprezar a espessura da cartolina).

ATIVIDADES DE FIXAÇÃO

1) Com uma longa folha retangular de metal, de

comprimento 3 metros e largura 30 cm, deseja-se

construir uma calha que será utilizada na reforma do

telhado de uma escola. Para formar a calha serão

realizadas dobras nas laterais da folha, conforme

mostra a figura ao lado. Determine qual deve ser a

dimensão da dobra para que a capacidade

volumétrica da calha seja máxima.

2) Um pasto retangular em uma fazenda será cercado

nos quatro lados e em seguida divido em duas partes

através de uma cerca colocada paralelamente a um

dos lados. A área total do pasto é 1.500.000 m2.

Determine as dimensões da área de pastagem de

modo que o comprimento total da cerca seja mínimo.

3) Suponha que o valor da Tensão elétrica V em um

circuito de corrente alternada varie com o tempo t

em horas, medido a partir de 12h00min, de acordo

com a expressão abaixo:

1562

5

3

23

)( ++

⋅

−= t t t

V t , onde os valores de

tensão são medidos em volt.

Determine os valores máximo e mínimo absolutos da

tensão elétrica no intervalo entre 12h00min e 17h00min

e indique o horário que ocorreram os valores máximo e

mínimo.

4) Uma área retangular em uma fazenda será cercada

por um lado com uma cerca de três fios, e nos outros

lados por uma cerca elétrica com um fio. Com 800 m

de fio à disposição, determine quais as dimensões

da maior área que poderá ser cercada e calcule o

valor dessa área.

5) Um tanque cilíndrico tem dimensões tais que sua

altura é 6,0 m menos o raio da base. Deseja-se

construir este tanque de modo que suas dimensões

proporcionem o máximo volume possível. Responda:

a) Quais devem ser as dimensões (altura e raio da

base) deste tanque?

b) Qual é o máximo volume deste tanque?

Sendo dado o volume do cilindro: h RV ⋅⋅=2

π

Adote, para simplificações de cálculo, 0,3=π


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3

6) A partir de uma folha de papelão quadrada de lado

30 cm deseja-se construir uma caixa sem tampa.

Para construir a caixa serão recortados quatro

quadrados nos cantos desta folha, conforme mostra

a figura, dobrando-se a folha nas linhas tracejadas

para formar as laterais da caixa. Encontre o valor

da dimensão x deste quadrado de modo que o

volume da caixa seja máximo.

7) Achar dois número positivos cuja soma seja 70 e

cujo produto seja o maior possível.

8) Determine o número real positivo cuja diferença

entre ele e seu quadrado seja máxima.

9) Uma indústria química vende ácido sulfúrico a

granel num valor de R$100,00 cada galão. O custo

total de produção, em reais para um dia serviço,

pode ser calculado pela função seguinte onde n

representa a quantidade de galões produzidos.

2

)( 0025,050000.100 nnC n ⋅+⋅+= .

Como engenheiro, você então é contratado para fazer

uma consultoria no setor de produção desta empresa,

com o objetivo de se maximizar o LUCRO. Para esse

trabalho você fez um levantamento da capacidade de

produção da empresa, e verificou que atualmente

podem ser produzidos, no máximo, 7.000 galões por

dia. Verificando a demanda do mercado consumidor

você adotou, para seus cálculos, que toda produção

diária de ácido sulfúrico seja vendida pelo departamento

de marketing. Ao final da consultoria, seu relatório

deveria responder ao empresário as seguintes

questões:

a) Você recomendaria ao industrial uma expansão na

capacidade de produção da fábrica? Justifique sua

resposta.

b) Quantas unidades a fábrica deve fabricar e vender

diariamente para otimizar seus lucros e qual é o

máximo lucro que a fábrica obtém com esta

quantidade produzida.

10) Em uma pesquisa laboratorial, um bioquímico

observa a variação no número de bactérias em um

meio de cultura. Ele então adiciona um bactericida

neste meio às 09h00min ( )0=t . Durante algum

tempo a população de bactérias continuoucrescendo e em seguida passou a diminuir. A

função que relaciona o número de bactérias ( ) B

que existem no meio e o tempo ( )t , medido em

horas, é dada a seguir:

10009 23 ++−= t t B

Determine em que horário a população de bactérias

atingiu seu valor máximo e calcule também a

quantidade máxima de bactérias no meio de

cultura.

11) Serão construídas seis jaulas em um zoológico

para receber novos animais, conforme

representado na figura abaixo. Para realizar esta

obra o zoológico dispõe de 300 m de gradeado.

Determine as dimensões x e y que proporcionam a

maximização da área cercada.

30 cm

3 0 c m

x x x x

x x x

x


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REFERENCIAL:

1) A dobra deve possuir 7,5 cm.

2) As medidas da área devem ser 1.500 m por 1.000

m, com a menor dimensão no lado paralelo à cerca

que divide a área.

3) O mínimo valor ocorre ao meio dia, com 15 volts, e

o máximo ocorre as 17:00 com 24,2 volts.

4) As dimensões do retângulo são 100 m no lado

paralelo à cerca de três fios por 200 m no lado

perpendicular a esse cerca, resultando numa área

total de 20.000 m2.

5)

a) tanque deve possuir A folha deve possuir raio de

4,0 m e altura de 2,0 m;

b) o volume máximo do tanque é 96 m3.

6) O recorte deve ter 5,0 cm.

7) Os números são 35 e 35.

8) O número é1

2.

9)

a) A produção da empresa deve ser expandida para

10.000 galões por dia, pois essa quantidade

produzida proporciona um lucro máximo para a

empresa.

b) O lucro máximo da empresa é de R$150.000,00

10) O número máximo de bactérias é 1108 ocorrendo

às 15h00min.

11) As dimensões devem ser x=50 m e y=37,5 m.

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