Matemtica Financeira para o curso de Administrao

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AULAS DE

MATEMTICA FINANCEIRA

Professora: Karin Storani

Matemtica Financeira para o curso de Administrao

Professora: Karin Storani

Ementa : O conceito de jurosJuro simples, composto, real e nominalFluxo de caixaValor datadoDescontos simples e compostoSrie uniforme de pagamentosRendas e TaxasOperao de descontosSistemas de emprstimosAmortizao, DepreciaoCapitalizaoCorreo MonetriaMtodos de avaliao de investimentosTtulos comerciais

Bibliografia:Assaf Neto, A. Matemtica financeira e suas aplicaes. So Paulo: Atlas, 1997.Faro, C. Matemtica financeira. So Paulo:Atlas, 1997.Francisco, W. Matemtica financeira. So Paulo:Atlas, 1996.Silva, S. M. da et all. Matemtica para os cursos de economia, administrao e cincias contbeis. So Paulo:Atlas, 1997.

Aulas: O material das aulas ser exposto em lousa e tambm haver um material auxiliar ou qual estar disponvel para os alunos na internet (via e-mail dos alunos) ou xerox fornecido pela professora. Durante as aulas, sero realizados exerccios (em duplas ou grupos) referente a cada tpico da ementa.

Avaliao: Sero realizadas 2 provas, as quais sero marcadas em sala de aula pela professora. Tambm sero feitas listas de exerccios, as quais sero entregues para professora. Calcula-se, ento a mdia de avaliao da seguinte forma: M=(P1+P2+ML)/3

onde, P1 prova 1 P2 prova 2 ML=mdia das listas Ainda, sero realizados alguns exerccios em sala de aula, referentes a tpicos da matria j explicados. Esses exerccios, sero entregues a professora e considerados na mdia final de acordo com o critrio estabelecido pela professora, o qual ser estabelecido em sala de aula.

Se perdeu algum exerccio no ter acrscimo ou decrscimo na mdia M (Exceo para os alunos que apresentarem atestado mdico. Neste caso, o exerccio ser realizado em outra data marcada pelo professor).

PROVA SUBSTITUTIVA: O aluno que perder uma das avaliaes, ou precisar substituir uma das notas, poder fazer uma prova substitutiva. Essa prova ser marcada na 1 quinzena de dezembro em sala de aula pela professora.

Aula 2

CONCEITO GERAIS

MATEMTICA FINANCEIRA O ESTUDO DO VALOR DO DINHEIRO AO LONGO DO TEMPO

Objetivo bsico: efetuar anlises e comparaes dos vrios fluxos de entrada e sada de dinheiro de caixa verificados em diferentes momentos.

TAXA DE JUROS

A taxa de juro o coeficiente que determina o valor do juro, isto , a remunerao do fator capital utilizado durante certo perodo de tempo. As taxas de juros referem-se sempre a uma unidade de tempo (ms, trimestre, semestre, etc).

As taxas de juros podem ser representadas de duas maneiras:

TAXA PERCENTUAL: refere-se aos "centos" do capital, ou seja, o valor dos juros para cada centsima parte do capital.

Exemplo: Um capital de R$10000,00 aplicado a 35% ao ano rende juros, ao final deste perodo:

TAXA UNITRIA: centra-se na unidade de capital em certo perodo de tempo.

Considere o exemplo acima:

Exemplos:

Taxa percentualTaxa unitria

0,89%

13,6%50%54,9% 0,152

REGRA BSICA

O PRAZO DE OPERAO E A TAXA DE JUROS DEVEM NECESSARIAMENTE ESTAR EXPRESSOS NA MESMA UNIDADE DE TEMPO.

Capitalizao de Juros

Existem dois regimes de capitalizao de juros:

SIMPLES (ou linear) Admita um emprstimo de R$10000,00 pelo prazo de 5 anos, pagando-se juros simples a razo de 10% ao ano.

ANOSaldo no incio de cada anoJuros apurados para cada anoSaldo devedor ao final de cada anoCrescimento anual do saldo devedor

Incio 1 ano

Final do 2 ano

Final do 3 ano

Final do 4 ano

Final do 5 ano

COMPOSTO (ou exponencial)

O regime de capitalizao composta incorpora ao capital no somente os juros referentes a cada perodo, mas tambm os juros sobre os juros acumulados at o momento anterior.

ANOSaldo no incio de cada anoJuros apurados para cada anoSaldo devedor ao final de cada anoCrescimento anual do saldo devedor

Incio 1 ano

Final do 2 ano

Final do 3 ano

Final do 4 ano

Final do 5 ano

Abaixo temos um quadro comparativo do regimes de capitalizao simples e composto:Capitalizao SimplesCapitalizao CompostaDiferena: Composta-Simples

Juros anuais ($)Saldo devedor ($)Juros anuais ($)Saldo devedor ($)Juros anuais ($)Saldo devedor ($)

Incio 1 anoFinal do 2 anoFinal do 3 anoFinal do 4 anoFinal do 5 ano

Aula 3

Capitalizao Contnua e Descontnua

Capitalizao Contnua: fluxo monetrio distribudo ao longo do tempo e no num nico instante. Ex: faturamento de um supermercado, a formao de depreciao de um equipamento, etc.

Capitalizao Descontnua: os juros so formados somente ao final de cada perodo de capitalizao. Ex: aplicaes em CDB, caderneta de poupana.

FRMULA DE JUROS SIMPLES

J=CxIxN

Onde

J= jurosC=capitalI=taxa de jurosN=perodo de aplicao

Ex1. Um capital de R$10000,00 aplicado a taxa de 3,4% ao ms durante um trimestre. Pede-se determinar o valor dos juros acumulados neste perodo.

Resoluo em sala

Ex2. Um negociante tomou um emprstimo pagando uma taxa de juros simples de 5% ao ms durante 8 meses. Ao final deste perodo, calculou em R$ 210000,00 o total dos juros incorridos na operao. Determinar o valor do emprstimo.

EX3- Um capital de R$ 32000,00 foi aplicado num fundo de poupana por 10 meses, produzindo um rendimento financeiro de RS4300,00. Pede-se apurar a taxa de juros oferecidas por esta operao.

EX4. Uma aplicao de R$ 215000,00, rendendo uma taxa de juros de 1,4% ao ms produz, ao final de determinado perodo, juros no valor de R$18500,00. Calcular o prazo da aplicao.

Fazer os exerccios 1), 2), 3) da pgina 37 do livro.

AULA 4

1.9 MONTANTE E CAPITAL

O montante constitudo do capital mais o valor acumulado.

M=C+J

Onde deduz-se,

Exerccios:1) Uma pessoa aplica R$ 18000,00 a taxa de 2,1% ao ms durante 8 meses. Determinar o valor acumulado ao final deste perodo.

2) Uma dvida de R$ 90000,00 ir vencer em 4 meses. O credor est oferecendo um desconto de 7% ao ms caso o devedor deseje antecipar o pagamento para hoje. Calcular o valor que o devedor pagaria caso antecipasse a liquidao da dvida.

3) Uma pessoa aplicou em uma instituio financeira R$16000,00 resgatando R$ 21000,00 quatro meses depois. Calcular a taxa mensal de juros simples auferida nesta aplicao.

4) Se uma pessoa necessitar de R$ 100000,00 daqui a 10 meses, quanto dever ela depositar hoje num fundo de poupana que remunera taxa linear de 12% ao ano?

5) Determinar a taxa bimestral de juros simples que faz com que um capital triplique de valor aps 2 anos.

Fazer os exerccios da pgina (38) 4), 5) , 6) ,7) e 8).

AULA 5

TAXA PROPORCIONAL

Consideremos duas taxas de juros arbitrrias A e B, relacionadas respectivamente aos perodos X e Y, referidos unidades comum de tempo das taxas.

Essas taxas se dizem proporcionais se houver a seguinte igualdade,Assim deduz-se,

Exemplo 1: Verificar se as taxas de 5% ao trimestre e de 20% ao ano so proporcionais.

Exemplo 2: Sendo dada a taxa de juros de 24% ao ano, determinar a taxa proporcional mensal.

Exerccio 1) Calcular a taxa de juros trimestral proporcional s seguintes taxas.a) 24%aab) 36%ao binioc) 6%ao semestre

TAXA EQUIVALENTE

Duas taxas so equivalentes se, aplicado um mesmo capital s duas taxas e pelo mesmo perodo, ambas produzirem o mesmo juros.

Exemplo: Seja um capital de R$ 10000 que pode ser aplicado alternativamente taxa de 2% a.m. ou de 24% aa. Supondo um prazo de aplicao de 2 anos, verificar se as taxas so equivalentes.

Exerccios:

1) Calcular a taxa anual proporcional a: a) 7% ao ms b) 12% ao bimestre.2) Calcular a taxa de juros semestral proporcional a) 60% ao ano; b) 9% ao trimestre.3) Demonstre se 72% ao ano proporcional a 24%ao trimestre.4) Calcular o montante de um capital de R$60000,00 aplicado taxa de 2,3% ao ms pelo prazo de um ano e cinco meses.5) Um dvida de RS30000,00 a vencer dentro de um ano saldada 3 meses antes. Para a sua quitao antecipada, o credor concede um desconto de 15% ao ano. Apurar o valor da dvida a ser pago antecipadamente.

Fazer exerccio 8) pgina 38AULA 6

JURO EXATO E JURO COMERCIAL

Juro Exato: utiliza-se para seu clculo o calendrio do ano civil (365 dias)

Juro Comercial: admite o ms com 30 dias e ano com 360 dias.

Exemplo: 10% aa equivale, pelos critrios enunciados, a taxa de:

Juro Exato:

Juro Comercial:

Exerccio 1: Qual o juro exato de um capital de R$12000,00 que aplicado por 40 dias e taxa de 36%aa?

a) Calcular o juro comercial correspondente a essa aplicao.

Exerccio 2: Um capital de $5000,00 rendeu $625,00 de juro. Sabendo-se que a taxa de juros contratada foi de 30% a.a. e que a aplicao foi feita dia 18 de maro de 19X6, pergunta-se qual foi a data de vencimento, se:

a) considerou-se juro comercial;b) considerou-se juro exato.

EQUIVALNCIA FINANCEIRA

O QUE : Dois ou mais capitais representativos de uma certa data dizem-se equivalentes quando, a uma certa taxa de juros, produzimos resultados iguais na data comum.

PARA QUE SERVE: frequente a necessidade de antecipar ou prorrogar ttulos por outro ou por vrios. Podemos tambm ter vrios ttulos que queremos substituir por um nico ou por vrios.

DEFINICES:

DATA FOCAL: a data que se considera como base de comparao dos valores referidos a datas diferentes.Por exemplo, $120,00 vencveis daqui a um ano e $100,00, hoje, so equivalentes a uma taxa de juros simples de 20% aa?

Exerccio 1: Determinar se $438080,00 vencveis daqui a 8 meses equivalente a se receber hoje $296000,00, admitindo uma taxa de juros simples de 6% ao ms.

Exerccio 2: Admita que A deve a B os seguintes pagamentos: $50000,00 hoje a 4 meses. $80000,00 de hoje a 8 meses.Suponha que A esteja avaliando um novo esquema de pagamento, em substituio ao original. A proposta de A a de pagar $10000,00 hoje, $30000,00 de hoje a 6 meses, e o restante ao final do ano.Sabe-se que B exige uma taxa de 2,0%ao ms. Esta taxa a que consegue obter normalmente em suas aplicaes de capital. Pede-se apurar o saldo a ser pago.

Exerccio 3) Uma pessoa aplicou em uma instituio financeira $18000,00, resgatando $21456,00 quatro meses depois. Calcular a taxa mensal de juros simples auferida nesta aplicao.

Exerccio 4)Se uma pessoa necessitar de $100000,00 daqui a 10 meses, quanto dever ela depositar hoje num fundo de poupana que remunera taxa linear de 12%aa.

Exerccio 5) Determinar a taxa bimestral de juros simples que faz com que um capital triplique de valor aps 2 anos.

Exerccio 6) Um ttulo com valor nominal de $7200,00 vence em 120 dias. Para uma taxa de juros simples de 31,2% ao ano, pede-se calcular o valor deste ttulo:a) hoje;b) dois meses antes do vencimento;c) um ms aps o seu vencimento.

Exerccio 7) Um pessoa deve dois ttulos no valor de $250000,00 e $560000,00 cada. O primeiro ttulo vence de hoje a 2 meses, e o segundo um ms aps. O devedor deseja propor a substituio destas duas obrigaes por um nico pagamento ao final do 5O ms. Considerando 9% ao ms a taxa corrente de juros simples, determinar o valor deste pagamento nico.

Exerccio 8) Uma pessoa tm os seguintes compromissos financeiros:

$350000,00 vencveis no fim de 3 meses;$ 650000,00 vencveis no fim de 5 meses;Para o resgate dessas dvidas o devedor pretende utilizar suas reservas financeiras aplicando-as em uma conta de poupana que rende 66% ao ano de juros simples. Pede-se determinar o valor do capital que deve ser aplicado nesta poupana de forma que possam ser sacados os valores devidos em suas respectivas datas de vencimento sem deixar saldo no final na conta.

Exerccio 9) Uma dvida no valor de $4800000,00 vence daqui a 6 meses. O devedor pretende resgatar a dvida pagando $480000.00 hoje, $1400000,00 de hoje a dois meses e o restante um ms aps a data de vencimento. Sendo o momento deste ltimo pagamento definido como a data focal da operao, e sabendo-se ainda que de 102% ao ano a taxa linear de juros adotada nesta operao, determinar o montante do pagamento.

1 Lista de Exerccios de Matemtica FinanceiraCurso: Matemtica ComputacionalProfessora: Karin Storani

1)Calcular o juro simples referente a um capital de R$10000, aplicado conforme hipteses a seguir.Taxa de juros Prazoa) 15%aa 1 anob) 17%aa 4 anosc) 21% aa 5 mesesd) 30,8%aa 5 anos e meio

2) Que montante receber um aplicador que tenha investido R$ 5000,00, se as hipteses de taxa de aplicao e respectivos prazos forem:Taxa de juros Prazoa)18%aa 6 mesesb)31,8%aa 2 anos e 7 mesesc)42%aa 4 anos e 3 meses

3) Determinar a taxa de juros anual proporcional, dadas as seguintes taxas.a) 3% ao trimestreb) 27% ao quadrimestrec) 5% am

4)Qual a taxa de juros anual cobrada em cada um dos casos abaixo, se uma pessoa aplicou o capital de $10000,00 e recebeu:

Montante Prazosa)1470,00 2 anosb)1178,00 10 mesesc) 12987,00 1 ano e 4 meses

6) Quanto tempo deve ficar aplicado um capital para que as hipteses abaixo sejam verdadeiras?

Capital inicial Montante Taxa de jurosa)$567,00 867,00 32%aab)8900,00 97000,00 16,5%aa

7) Uma loja vende um televisor por $2800,00 a vista. A prazo, vende por $3180,00, sendo 450,00 de entrada e o restante por um ano. Qual a taxa de juros anual cobrada?

8) Quanto tempo deve permanecer aplicado um capital para que o juro seja igual a 6 vezes o capital, se a taxa de juros for de 41% a.a?

9) Uma pessoa aplicou $12000,00 no mercado financeiro aps 6 anos recebeu o montante de 32000,00. Que taxa equivalente semestral recebeu?

10) Joo emprestou de Carlos $20000,00 para pag-lo aps 2 anos. A taxa ajustada foi de 30% aa. Quanto Carlos poderia aceitar, se 6 meses antes do vencimento da dvida Joo quisesse resgat-la e se nesta poca o dinheiro valesse 25%aa?

11) Em quanto tempo quintuplica um capital aplicado taxa simples de 8% aa?

12) Uma aplicao de $15000,00 efetuada pelo prazo de 3 meses taxa de juros simples de 26% aa. Que outra quantia deve ser aplicada por 2 meses taxa linear de 18% ao ano para se obter o mesmo rendimento financeiro?

13) Uma dvida composta de 3 pagamentos no valor de $2800,00, $4200,00 e $$7000,00 vencveis em 60, 90 e 120 dias, respectivamente. Sabe-se ainda que a taxa de juros simples de mercado de 4,5% ao ms. Determinar o valor da dvida se o devedor liquidar os pagamentos.

14)Um poupador com certo volume de capital deseja diversificar suas aplicaes no mercado financeiro. Para tanto, aplica 60% do capital numa alternativa de investimento que paga 34,2% ao ano de juros simples pelo prazo de 60 dias. A outra parte invertida numa conta de poupana por 30 dias, sendo remunerada pela taxa linear de 3,1% ao ms. O total dos rendimentos auferidos pelo aplicador atinge $1562,40. Pede-se calcular o valor de todo o capital investido.

15) Uma pessoa contrai um emprstimo de $75000,00 taxa linear de 3,3% ao ms. Em determinada data liquida este emprstimo pelo montante de $92325,00 e contrai nova dvida no valor de $40000,00 pagando uma taxa de juros simples mais baixa. Este ltimo emprstimo resgatado 10 meses depois pelo montante de $49600,00.Pede-se calcular:a) o prazo do primeiro emprstimo e o valor dos juros pagos;b) a taxa simples de juros mensal e anual cobrada no segundo emprstimo.

16) Um emprstimo de $42000,00 foi tomado por determinado prazo a uma taxa linear de 7% ao ms. Em determinado momento resgata este emprstimo e contrai outro no valor de $200000,00 pagando 5% de juros simples ao ms por certo prazo. Aps dois anos de ter contrado o primeiro emprstimo, o devedor liquida sua dvida remanescente. O total de juros pagos nos dois emprstimos tomados atinge $180000,00 Pede-se calcular os prazos referentes a cada um dos emprstimos.

17) Qual o valor nominal (ou capital) e a data de vencimento de cada um dos compromissos abaixo, considerando-se juros comerciais:a)$2800 a 30% a.a. por 222 dias.b)$1100 a 27% a.a. por 135 dias.

AULA 7

JUROS COMPOSTOS

JURO E MONTANTE

No regime de juros compostos, os juros so capitalizados, e como no s o capital rende juros mas estes so devidos tambm sobre os juros formados anteriormente, temos o nome de juros compostos.

DIFERENAS ENTRE OS REGIMES DE CAPITALIZAO

EXEMPLO: Seja um capital de $1000,00 aplicado taxa de 20% a.a. por um perodo de 4 anos a juros simples e compostos.

nJuros SimplesJuros Compostos

Juro por perodoMontanteJuro por perodoMontante

11000x0.2=20012001000x0.2=2001200

21000x0.2=20014001200x0.2=2401440

31000x0.2=20016001440x0.2=2881728

41000x0.2=20018001728x0.2=3462074

Fazer um nico grfico dos dois regimes de capitalizao:

MONTANTE

Recalculemos o montante de $2074,00 obtido no exemplo anterior:

Entretanto, pode-se obter a frmula do montante susbtituindo, no exemplo anterior, os resultados j achados:

Pode-se generalizar o raciocnio anterior para se obter o montante ao final de n perodos taxa i de juros:

Exemplo 1: Uma pessoa toma $1000,00 emprestado a juros de 2% a.m. pelo prazo de 10 meses com capitalizao composta. Qual o montante a ser devolvido?

Exemplo 2: Se uma pessoa deseja obter $ 27500,00 dentro de um ano, quanto dever ela depositar hoje numa alternativa de poupana que rende 1,7% de juros compostos ao ms?

AULA 8

CLCULO DO JURO

Calculemos os juros , perodo a perodo, do exemplo de juros compostos dado no quadro 1:

Para n perodos podemos inferir que:

Assim, temos:

Exemplo1: Qual o juro pago no caso do emprstimo de $1000,00 taxa de juros compostos de 2% a.m. e pelo prazo de 10 meses?

Exemplo 2: Determinar o juro pago de um emprstimo de $88000,00 pelo prazo de 5 meses taxa composta de 4,5% ao ms.

Exemplo 3: Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicao de $40000,00 que produz um montante de $43894,63 ao final de um quadrimestre.

Exemplo 4: Qual o resgate de uma aplicao de $12000,00 em um ttulo pelo prazo de 8 meses taxa de juros composta de 3,5% a.m.?

Exemplo 5: Uma aplicao de $22000,00 efetuada em uma certa data produz, taxa composta de juros de 2,4% ao ms, um montante de $26596,40 em certa data futura. Calcular o prazo da operao.

AULA 9

VALOR ATUAL E VALOR NOMINAL

O montante de um capital (C) aplicado na data zero, taxa de juros compostos (i), aps n perodos, conforme j vimos, ser dado por:

O valor atual, corresponde ao valor da aplicao em uma data inferior do vencimento.

Assim,

VP=

Ou

M=

Obs: O valor atual pode ser calculado em qualquer data focal inferior do montante, no precisando ser necessariamente a data zero.

Exemplo 1: Por quanto devo comprar um ttulo, daqui a 5 meses, com valor nominal de $1131,40, se a taxa de juros compostos corrente for de 2,5 %?

Exemplo 2:Uma pessoa possui um letra de cmbio que vence daqui a 1 ano, com valor presente de $1344,89. Foi lhe proposta a troca daquele ttulo por outro, vencvel daqui a 3 meses e no valor de $1080,00. Sabendo-se que a taxa corrente de mercado de 2,5% a.m., pergunta-se a troca proposta vantajosa?

Exemplo 3: Pode-se desejar calcular quanto ser pago por um emprstimo de $20000,00 vencvel de hoje a 14 meses ao se antecipar por 5 meses a data de seu pagamento. Sabe-se que o credor est disposto a atualizar a dvida taxa composta de 2,5% ao ms.

Exemplo 4: Admita um emprstimo que envolve os seguintes pagamentos: $15000,00 de hoje a 2 meses; $40000,00 de hoje a 5 meses; $50000,00 de hoje a 6 meses e $70000,00 de hoje a 8 meses.

AULA 10

TAXAS EQUIVALENTES

Sejam as taxas:

i= referente a um intervalo de tempo p. iq=correspondente a um intervalo de tempo igual q

Aps 1 perodo, taxa i:

Aplicando o mesmo capital C por q perodos, a taxa iq, tem-se:

Para que as taxas sejam equivalentes, devemos ter:

Portanto:

Elevando-se os dois membros a 1/q:

Exemplo 1: Dada a taxa de juros de 9,2727% ao trimestre, determinar a a taxa de juros compostos equivalente mensal.

Exemplo2: Se um capital de $1000,00 puder ser aplicado s taxas de juros compostos de 10% ao ano ou de 33,1% ao trinio, determinar a melhor aplicao.

Exemplo 3: Explicar a melhor opo: aplicar um capital de $60000,00 taxa de juros compostos de 9,9% ao semestre ou taxa de 20,78% ao ano.

Exemplo 4: Demonstrar se a taxa de juros de 11,8387% ao trimestre equivalente taxa de 20,4999% para cinco meses. Calcular tambm a equivalente mensal composta dessas taxas.

TAXA DE JUROS: TAXA NOMINAL, TAXA EFETIVA E TAXA EQUIVALENTE

TAXA EFETIVA

A taxa efetiva de juros a taxa apurada durante todo o prazo n, ou seja, uma nica vez no perodo a que se refere a taxa.Exemplos: 12% a.m. capitalizados mensalmente 20% a.a capitalizados anualmenteTAXA NOMINAL

Quando os juros so capitalizados mais de uma vez no perodo a que se refere a taxa, ou seja so incorporados ao capital inicial mais de uma vez no perodo, a taxa dita nominal.Exemplos: 18% a.a capitalizados mensalmente 5% a.m. capitalizados diariamenteA taxa nominal muito utilizada no mercado, entretanto seu valor no usado nos clculos por no representar a taxa efetiva.A taxa nominal ocorre por juros proporcionais simples.Exemplo: Imaginemos uma quantia de $10000,00 aplicada por um perodo de 1 ano, rendendo juros de 10% a.a e sendo o perodo de capitalizao igual a 1 ano. Aps o prazo de 1 ano, teremos:10000+10% de 10000=10000+1000=11000

Como a taxa de juros anual e o perodo de capitalizao tambm anual dizemos que a taxa nominal coincide com a taxa efetiva.

Poderia acontecer que a quantia de $10000,00, aplicada por um perodo de 1 ano, rendesse juros de 10% ao ano e que o perodo de capitalizao fosse igual a 1 semestre. Nesse caso, os juros anuais de 10% seriam apenas nominais e no efetivos. No perodo de capitalizao, de um semestre, a taxa :I=10%/2=5%a.s.

Aps 1 semestre, teremos:

$10000,00+5% de $10000=10000+500=10500

Os $10500 rendero novamente o 2 semestre juros de 5% e ento:

$10500 +5% de 10500=1050+525=11025

Comparando-se os $11000 anteriores com os $11025, notamos que a quantia inicial sofreu, aps 1 ano, uma valorizao de 10% no 1 caso e 10,25% no 2 caso. Os 10,25% vem a ser a taxa efetiva de juros.

$10000 para se tornar $11025 em um ano, a taxa de 10,25%.

Vimos, portanto, que neste caso, a taxa nominal de juros anuais igual a 10% e a taxa efetiva de 10,25% a.a.

EQUIVALNCIA ENTRE TAXA EFETIVA E TAXA NOMINAL

A taxa efetiva ao ano, ser equivalente taxa nominal j, se ambas resultarem no mesmo montante a partir do mesmo capital inicial ou principal. Esta equivalncia pode ser calculada assim:

Onde : =taxa efetiva ao ano; j=taxa nominal; k=No. de capitalizaes no periodo da taxa nominal; m=No. de unidades de tempo da taxa nominal por ano.

Exemplos: 1) Calcular o montante resultante de um investimento de $1200,00 aplicado por 3 anos a juros nominais de 16% a.a. capitalizados mensalmente.2) Calcular o valor de resgate para um capital de $200,00 aplicado pelos prazos e taxas nominais seguintes:a) 27 dias a 9% ao ms capitalizados diariamente.b) 6 meses a 28% a.a. capitalizados mensalmente.c) 7 meses a 28% a.a. capitalizados trimestralmente

TAXAS EQUIVALENTES

Duas taxas so ditas equivalentes quando aplicadas ao mesmo capital durante um mesmo prazo, produzem o mesmo montante.Uma aplicao de $1000 aplicada pelo prazo de um ano for aplicado taxa efetiva de 42,576% a.a. por um perodo de 1 ano, ou taxa efetiva de 3% a.m durante 12 meses, o montante ser o mesmo, pois essas taxas so equivalentes.

Considerando-se o ano comercial (360 dias), a seguinte identidade nos permite relacionar algumas taxas efetivas:-

Exemplos:1) Determinar as seguintes equivalncias entre taxas efetivas:a) taxa bimestral equivalente taxa semestral de 35%b) taxa semestral equivalente taxa mensal de 5%c) taxa diria equivalente taxa trimestral de 90%d) taxa anual equivalente taxa diria de 0,5%e) taxa bimestral equivalente taxa de 35% em 45 dias.

EXEMPLOS:1. Um emprstimo no valor de $11000,00 efetuado pelo prazo de um ano taxa nominal (linear) de juros de 32% ao ano, capitalizados trimestralmente. Pede-se determinar o montante e o custo efetivo do emprstimo.

2. A caderneta de Poupana paga juros anuais de 6% com capitalizao mensal base de 0,5%. Calcular a rentabilidade efetiva desta aplicao financeira.

3. Sendo de 24% a.a. a taxa nominal de juros cobrada por uma instituio, calcular o custo efetivo anual, admitindo-se que o perodo de capitalizao dos juros seja:a)mensal;b)trimestral;c)semestral.

4. Uma aplicao financeira promete pagar 42% ao ano de juros. Sendo de um ms o prazo de aplicao, pede-se determinar a sua rentabilidade efetiva considerando os juros de 42% a.a. como:a) Taxa nominalb) Taxa Efetiva

AULA 12

O FRACIONAMENTO DO PRAZO E A EQUIVALNCIA FINANCEIRA EM JUROS COMPOSTOS

IMPORTANTE: O prazo de uma operao pode ser fracionado (desmembrado) no regime de juros compostos sem que isso leve a alterar os resultados de valor presente e futuros calculados.

Assim,

O prazo do expoente ( do prazo n) pode ser fracionado de forma que a soma dos superodos seja igual ao perodo inteiro.

EXEMPLOS: 1) Calcular o montante de um capital de $30000,00 aplicado a 14% ao ano, pelo prazo de um ano, tendo os seguintes perodos de capitalizao:

a)12 mesesb) 6 mesesc) 4 meses

Para cada perodo de capitalizao pode-se tambm utilizar a respectiva taxa equivalente composta:

2) Uma empresa deve $180000,00 a um banco sendo o vencimento definido em 3 meses contados de hoje. Prevendo dificuldades de caixa no perodo, a empresa negocia com o banco a substituio deste compromisso por dois outros valores iguais nos meses 5 e 6 contados de hoje. Sendo de 3,6% ao ms a taxa de juros, pede-se calcular o valor dos pagamentos propostos sendo a data focal.a) hoje;b) de hoje a 3 meses;c) de hoje a 5 meses.

3) Um ttulo vence daqui a 4 meses apresentado um valor nominal ( resgate) de $407164,90. proposta a troca por outro valor nominal de $480000,00 vencvel daqui a 8 meses. Sendo de 5% a rentabilidade exigida pelo aplicador, pede-se avaliar se a troca vantajosa.

2 Lista de Exerccios de Matemtica FinanceiraCurso: Matemtica ComputacionalProfessora: Karin Storani

1) Calcular o montante de uma aplicao de $10000,00 sob as hipteses:Taxa Prazoa) 20%a.a 5 anos R:$24883,2b)5%a.s. 3 anos e meioR:$14071,00c) 2,5%a.m. 1 anoR:13448,89

2) Qual o juro auferido de um capital de $1500,00 aplicado segundo as hipteses abaixo:

Taxa Prazoa) 10%a.a 10 anosR:2390,61b)8%a.t. 18 mesesR:880,31c) 1 % a.semana 2 mesesR:124,29

3)Se eu quiser comprar um carro no valor de $60000,00, quanto devo aplicar hoje para que daqui a 2 anos possua tal valor? Considerar as seguintes taxas de aplicao:a)2,5% a.m.R:33172,52b)10% a.s.R:40980,81c)20%a.a.R:41666,67

4)Quanto deve ser aplicado hoje para que se aufiram $10000,00 de juros ao fim de 5 anos, se a taxa de juros for de :a) 4%a.t.R:8395,44b) 20%a.q.R:694,11c) 30%a.a.R:3686,05

5) Qual taxa de juros mensal recebida por um investidor que aplica $1000,00 e resgata os montantes, segundo as hiptese abaixo:

a)$1076,89-3 mesesR:2,5%a.m.b)1125,51-4 mesesR:3:a.m.c)1340,10-6 mesesr:5%a.m.

6) Uma pessoa aplicou $15000,00 e aps um ano recebeu $18728,87 de juros. Qual foi a taxa de juros mensal paga pela financeira onde o dinheiro foi aplicado?R:7%a.m.7) Qual a taxa de juros mensal paga por uma instituio financeira onde o aplicador recebeu, aps 2 anos, o montante de $45666,7 sendo $25666,57 referente a juros?R:3,5%a.m.8) Um investidor aplicou $25000,00 em uma instituio que paga 3% a.m. Aps certo perodo de tempo, ele recebeu $35644,02, estando neste valor includos os juros creditados e o capital investido. Quanto tempo ficou o dinheiro aplicado?R:12 meses9) Um apartamento vendido, vista, por $220000,00. Caso o comprador opte por pagar em uma nica parcela aps certo perodo de tempo, o vendedor exige $61618,59 como juros, pois quer ganhar 2,5% a.m. Qual o prazo de financiamento na hiptese acima? R:10 meses.10) Calcular a taxa equivalente anual dadas as seguintes taxas por perodo:

a)1% a.m. R:12,68%a.ab)2%a.t. R:8,24%a.ac)5%a.q. R:15,76%a.ad)10%a.s R:21%a.a

11)Calcular as taxas equivalentes a 20% a.a., conforme solicitado abaixo:a)taxa semestral R:9,54%a.mb)taxa quadrimestral R:6,27%a.sc) taxa trimestral R:4,66%a.td) taxa mensal R:1,53%a.m

12)Um corretor de ttulos prope a seu cliente uma aplicao cuja rentabilidade de 40% a.a. Se o investidor souber de outra alternativa onde possa ganhar 9%a.t., qual dever ser a sua escolha ? R: a Segunda proposta.

13)Ao resgatar um ttulo, aps 6 meses da aplicao, o investidor recebeu $25083,86. Tendo sido informado de que este montante inclua $3083,86 referentes aos juros creditados, deseja-se saber que taxa anual de juros ganhou? R:30%a.a.

AULA 13

CONVENO LINEAR E CONVENO EXPONENCIAL PARA PERODOS NO INTEIROS

Para ilustrar o uso da conveno linear, vamos considerar o seguinte exemplo:Exemplo: Considere o caso da capitalizao descontnua (os juros so formados somente ao final de cada perodo de capitalizao) e a taxa de juros de uma aplicao de 10 % ao ano e prazo de aplicao de 1 ano e 8 meses. Sendo anual o perodo de capitalizao dos juros, o prazo inteiro 1 ano e o fracionrio 8 meses.Se considerarmos o regime de capitalizao descontnua, no poderia haver a incorrncia de juros no intervalo de tempo fracionrio, somente ao final de um perodo completo. Como na prtica raro a formao de juros em intervalos de tempos inferiores a um perodo inteiro, passa-se a adotar duas convenes: linear e exponencial.

CONVENO LINEAR

A CONVENO LINEAR ADMITE A FORMAO DE JUROS COMPOSTOS PARA A PARTE INTEIRA DO PRAZO E DE JUROS SIMPLES PARA A PARTE FRACIONRIA.

A EXPRESSO DE CLCULO DO MONTANTE NA CONVENO LINEAR A SEGUINTE:

Onde, m/k=parte fracionria

Exemplo 1: Seja o capital de $10000,00 emprestado taxa de 18% ao ano pelo prazo de 4 anos e 9 meses. Calcular o montante deste emprstimo pela conveno linear.

CONVENO EXPONENCIAL

A conveno exponencial adota o regime de capitalizao para todo o perodo, ou seja, utiliza capitalizao composta tanto para a parte inteira como para a fracionria.

A EXPRESSO BSICA DE CLCULO A SEGUINTE:

EXEMPLO 2: Considere o exemplo anterior, mas vamos utilizar a conveno exponencial:

EXEMPLO 3: Uma pessoa aplicou um capital pelo prazo de 2 anos e 5 meses taxa de 18% ao ano. Determinar o valor da aplicao sabendo-se que o montante produzido ao final do perodo atinge $24800,00. Resolver o problema utilizando as convenes linear e exponencial.

INTRODUO A TAXA INTERNA DE RETORNO

A taxa interna de retorno serve para calcular:

A taxa de retorno (rentabilidade) de uma aplicao

Custo de um emprstimo/financiamento

A Taxa interna de retorno (IRR) a taxa que iguala, numa nica data, os fluxos de entrada e sada de caixa produzidos por uma operao financeira (aplicao ou captao).

EXEMPLO 1: Admita uma aplicao de $360000,00 que produz um montante de 387680,60 ao final de 3 meses. A taxa de juros que iguala a entrada de caixa no ms 3 com a sada de caixa na data zero a IRR, dada por:

EXEMPLO2: Para um emprstimo de $11500,00, um banco exige o pagamento de duas prestaes mensais e consecutivas de $6000,00 cada. Determinar o custo de operao.

CAPITALIZAO CONTNUA

A capitalizao contnua uma forma de capitalizao infinitamente grande, que ocorre a cada instante infinitesimal.Alguns exemplos de aplicaes prticas de capitalizao contnua: receitas de vendas de um supermercado, depreciaes de ativos fixos, rentabilidade de um ttulo cotado no mercado etc.

A FORMULAO DA CAPITALIZAO CONTNUA APRESENTA-SE DA FORMA SEGUINTE:

Exemplo: Considerando de 4,5% a valorizao de uma ao em determinado ms, apurar a taxa de juro instantnea.

EXERCCIOS:1)Calcular a taxa mensal de juros de uma aplicao de $6600,00 que produz um montante de $7385,81 ao final de 7 meses.

2)Em quanto tempo duplica um capital que cresce taxa de juros compostos de 2,2% ao ms?

3) Uma pessoa deve a um banco dois ttulos com valores de resgate de $4000,00 e $9000,00 vencveis, respectivamente, em 5 meses e 7 meses. Desejando antecipar a liquidao de toda a dvida para o momento atual (data zero), pede-se determinar o valor a pagar considerando-se uma taxa de juros de 1,9% ao ms.

4) Verificar se as taxas de juros de 13,789318% t. e 25,177214% para 7 meses so equivalentes.

5) Calcular a taxa efetiva anual ( ou capitalizar para um ano) s seguintes taxas:a) 2,5%a.m.b) 4%a.b.c) 6%a.t.d) 10%a.s

Aula 16DESCONTOS

A operao de se liquidar um ttulo antes de seu vencimento envolve geralmente uma recompensa, ou um desconto pelo pagamento antecipado.

DESCONTO SIMPLES

1 DESCONTO RACIONAL OU "POR DENTRO"

Definio: o desconto obtido pela diferena entre o valor nominal e o valor atual de um compromisso que seja saldado n perodos antes do seu vencimento.

Desconto: a quantia a ser abatida do valor nominal e o desconto.Valor Descontado: a diferena entre o valor nominal e o desconto.

Desconto = Valor Nominal - Valor Descontado

Assim, temos:

Onde,

VN=valor nominali=taxa simples de jurosn=prazo de antecipao

O valor descontado, conforme definio apresentada, obtido pela seguinte expresso:

EXEMPLOS:

1) Seja um ttulo de valor nominal de $4000,00 vencvel em um ano, que est sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o desconto e o valor descontado desta operao.

2) Uma pessoa pretende saldar um ttulo de $5500,00, 3 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente de 40% a.a., qual o desconto e quanto vai obter?

3) Determinar a taxa mensal de desconto racional de um ttulo negociado 60 dias antes de seu vencimento, sendo seu valor de resgate iguala $26000,00 e valor atual na data do desconto de $24436,10.

2 DESCONTO BANCRIO (ou Comercial, ou "por fora")

O desconto bancrio incide sobre o valor nominal (valor de resgate) do ttulo, proporciona maior volume de encargos financeiros efetivo nas operaes.

UTILIZAO: amplamente adotada pelo mercado, notadamente em operaes de crdito bancrio e comercial a curto prazo:

O desconto "por fora" definido por:

VN=valor nominald=taxa de desconto peridica "por fora" contratada na operaon=prazo de antecipao definido para o desconto.h=taxa de despesas administrativasO valor descontado "por fora", aplicando-se a definio, obtido:

Onde,VN=valor nominald=taxa de desconto peridica "por fora" contratada na operaon=prazo de antecipao definido para o desconto.h=taxa de despesas administrativas

EXEMPLOS:

1)Seja um ttulo de valor nominal de $4000,00 vencvel em um ano, que est sendo liquidado antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa de desconto adotada, pede-se calcular o desconto e o valor descontado desta operao.

2) Determinar a taxa de desconto "por fora" de um ttulo negociado 60 dias antes de seu vencimento, sendo seu valor de resgate igual a $26000,00 e valor atual na data do desconto de $24436,10.

4) Um ttulo foi descontado no Banco X, que cobra 2% como despesa administrativas. Sabendo-se que o ttulo foi descontado 3 meses antes de seu vencimento e que a taxa corrente em desconto comercial de 40% a.a., qual o desconto bancrio? Quanto recebeu o proprietrio?

3A. LISTA DE EXERCCIOS DE MATEMTICA FINANCEIRAPROFESSORA: KARIN STORANICURSO: MATEMTICA COMPUTACIONAL

1) Uma duplicata de $18000,00 foi descontada num banco 2 meses antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2,5% a.m..

a) Obtenha o desconto.b) Obtenha o valor lquido recebido pela empresa.c) Obtenha o fluxo de caixa da operao do ponto de vista do banco.

2) Uma nota promissria de $12000,00 foi descontada num banco 42 dias antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2% a.m..a) Qual o desconto?b) Qual o valor lquido recebido pela empresa, sabendo-se que o banco cobrou uma taxa de servio de 0,5% do valor da promissria, pago no dia que a empresa a descontou?

3)Um ttulo governamental com valor de face de $100000,00 foi adquirido 70 dias antes do vencimento com desconto comercial simples, sendo a taxa igual a 25% a.a.a) Qual o preo da aquisio?b) Qual a taxa efetiva de juros no perodo proporcionada pela aplicao?

4)Um fundo de investimento adquiriu por $48800,00 um ttulo governamental com valor de face de $50000,00. Sabendo-se que o prazo de vencimento do ttulo era de 49 dias, calcule:a) taxa efetiva de juros no perodo;b) taxa efetiva mensal de juros no simples

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