apostila_matlab

Noes Bsicas de Programao

em MATLAB

Alex Jenaro Becker

Daiane Medianeira Ilha da Silva

Francisco Helmuth Soares Dias

Luclia Kowalski Pinheiro

Santa Maria, Outubro de 2010

Noes Bsicas de Programao em MATLAB

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APRESENTAO

Este trabalho trata-se da Apostila do Minicurso Noes Bsicas de

Programao em MATLAB, elaborado e ministrado pelos bolsistas do PET

Matemtica da UFSM: Daiane Medianeira Ilha da Silva e Francisco Helmuth

Soares Dias, e pelos colaboradores Alex Jenaro Becker e Luclia Kowalski

Pinheiro.

A Apostila traz noes bsicas do software matemtico MATLAB :

Ambiente de trabalho, comandos bsicos, funes bsicas,

manipulao de matrizes;

comandos para clculo de limites, derivadas e integrais, clculo

de zeros de funes;

comandos para plotagem de grficos bidimensionais e

tridimensionais,

Noes bsicas de programao em MATLAB.

Nossa inteno com a proposta do Minicurso, no cobrir todos os

tpicos do MATLAB, at por que isso seria praticamente impossvel, pois

nossos conhecimentos so restritos se comparados amplitude e s

abrangentes possibilidades de utilizao do mesmo. Alm do mais a carga

horria seria insuficiente.

Pretende-se, com o Minicurso e a Apostila incentivar e motivar o estudo

da ferramenta MATLAB, a partir das noes bsicas que apresentaremos.

Boa aprendizagem!


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SUMRIO

1. INTRODUO.............................................................................................................................4 1.1 O ambiente MATLAB............................................................................................................5

2. COMANDOS BSICOS.................................................................................................................6 2.1 Operaes Bsicas...............................................................................................................6 2.1.1 Comandos para utilizao de Funes:...............................................................7 2.2 Comandos de ajuda...8 2.2.1 O comando help.................................................................................................8 2.2.2 O comando lookfor.............................................................................................9

3. MANIPULAO DE MATRIZES...................................................................................................10 3.1 Matrizes elementares........................................................................................................10 3.2 Operaes com matrizes....................................................................................................10

4. ZEROS DE FUNES...................................................................................................................12 5. MXIMOS E MNIMOS DE FUNES.................................................................................................12 6. CLCULO ............................................................................................................................................13

6.1 Construindo funes com variveis simblicas.................................................................13 6.2 Limites ..............................................................................................................................13 6.2.1 Limite lateral esquerda...................................................................................14 6.2.2 Limite lateral direita.......................................................................................14 6.3 Derivadas............................................................................................................................14 6.4 Integrao.........................................................................................................................14 6.4.1 Integrais Indefinidas..........................................................................................14 6.4.2 Integrais Definidas.............................................................................................15

7. PLOTANDO GRFICOS NO MATLAB..........................................................................................15 7.1 O comando plot ...............................................................................................................16 7.1.1 Comando subplot.............................................................................................22 7.2 Comando fplot...................................................................................................................23 7.3 Coordenadas Polares.........................................................................................................24 7.4 Curvas Paramtricas..........................................................................................................25 7.5 Diagramas Bidimensionais.................................................................................................26

8. ALGORITMOS...........................................................................................................................31 8.1 Representao de Algoritmos..........................................................................................32 8.1.1 Linguagem Natural..........................................................................................33 8.1.2 Fluxograma Convencional...............................................................................33 8.1.3 Pseudo-Cdigo.................................................................................................35

9. M-FILES: CRIANDO SEUS PRPRIOS PROGRAMAS E FUNES..................................................36 9.1 Sada de dados - Comando format....................................................................................39 9.2 Sada de dados - Funo Disp............................................................................................40 9.3 Sada de dados - Sada fprintf............................................................................................40 9.4 Sada de dados - Interao com o usurio atravs do comando input..............................42 9.5 Sada de dados - Operadores lgicos................................................................................43

10. CONDICIONAIS E LAOS.........................................................................................................44 10.1 A estrutura condicional if-end.........................................................................................44 10.2 A estrutura condicional if-else-end..................................................................................45 10.3 A estrutura condicional if-elseif-else-end........................................................................45 10.4 O lao for.........................................................................................................................47 10.5 O lao while.....................................................................................................................51 10.6 O comando break............................................................................................................54 10.7 O comando switch...........................................................................................................56

11. VETORIZAO........................................................................................................................57 12. RESERVA DE ESPAO PARA VARIVEIS...................................................................................58 13. CAIXAS DE DILOGOS.............................................................................................................58 14.MTODOS NUMRICOS...........................................................................................................61

14.1 Bisseo............................................................................................................................61 14.2 Newton.............................................................................................................................63 14.3 Secante.............................................................................................................................65


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O MATLAB (do ingls Matrix Laboratory) um software de computao

numrica de anlise e visualizao de dados. Embora seu nome signifique Laboratrio

de Matrizes, seus propsitos atualmente so bem mais amplos. Ele nasceu como um

programa para operaes matemticas sobre matrizes, mas ao longo dos anos

transformou-se em um sistema computacional bastante til e flexvel.

Seu ambiente de trabalho fcil de ser utilizado, pois os problemas e solues

so escritos em linguagem matemtica e no na linguagem de programao

tradicional, como muitos outros softwares utilizam.

Assim o MATLAB uma ferramenta e uma linguagem de programao de alto

nvel, e tem como principais funes: construo de grficos e compilao de funes,

manipulao de funes especficas de clculo e variveis simblicas.

Alm disso, o MATLAB possui uma grande quantidade de bibliotecas auxiliares

(Toolboxes) que otimizam o tempo gasto para realizar tarefas, uma vez que, o

usurio poder utilizar muitas funes j definidas, poupando o tempo de cri-las. Por

outro lado, infelizmente, os programas feitos so difceis de serem executados num

ambiente fora do MATLAB.

1. INTRODUO


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O primeiro passo para iniciarmos nosso estudo do MATLAB nos

familiarizarmos com a interface do programa.

a) Command Window: Local onde as operaes podem ser diretamente feitas.

b) Workspace: espao destinado s variveis que esto salvas na memria, onde

possvel visualizar o nome, valor e classe da mesma.

c) Command History: Lista de comandos realizados, organizados por data de execuo,

permitindo o comando ser realizado novamente com duplo clique.

Podemos tambm utilizar M-files, na barra de Menus acessando a guia

File>New>M-file, caso se deseje criar procedimentos de forma que estes fiquem salvos

em arquivo. O MATLAB gera a seguinte janela:

1.1 O ambiente MATLAB


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Os arquivos salvos so gerados na extenso nomedoarquivo.m. que so

compilados utilizando-se a Command Window como espao de comunicao de dados,

de entrada e sada, entre o programa e o usurio.

Pode-se tambm chamar um M-file, escolhendo-se em Current Directory a

pasta em que o mesmo est localizado. Depois de escolhido o diretrio, digite na

Command Window o nome do arquivo, e ento a programao salva ser compilada.

Operao Smbolo Exemplo

Adio + 5 + 3

Subtrao - 23 - 12

Multiplicao * 3,14 * 0,85

2. COMANDOS BSICOS

2.1 Operaes Bsicas


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As operaes so realizadas da esquerda para a direita calculando-as conforme

a ordem:

Diviso / ou \ 56/8=8\56

Potenciao ^ 5^2=25

Comando Descrio

abs(x) Valor absoluto ou mdulo de um nmero complexo

acos(x) Arco cosseno

acosh(x) Arco cosseno hiperblico

angle(x) ngulo de um nmero complexo

asin(x) Arco seno

asinh(x) Arco seno hiperblico

atan(x) Arco tangent

atan2(x,y) Arco tangente em quatro quadrantes

atanh(x) Arco tangente hiperblica

ceil(x) Arredondar para inteiro na direo de mais infinito

conj(x) Conjugado complex

cos(x) Cosseno

cosh(x) Cosseno hiperblico

2.1.1 Comandos para utilizao de Funes:

1 Potenciao;

2 Multiplicao e diviso;

3 Adio e subtrao.


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Comando help a maneira mais simples de se conseguir ajuda caso voc saiba

exatamente o tpico a respeito do qual voc necessita de informaes. Por exemplo:

exp(x) Exponencial

fix(x) Arredonda para inteiro na direo de zero

floor(x) Arredondar para inteiro na direo de menos infinito

imag(x) Parte imaginria de um nmero complexo

log(x) Logaritmo natural

log10(x) Logaritmo na base 10

real(x) Parte real de um nmero complexo

rem(x,y) Resto da diviso de x por y

round(x) Arredondar para o prximo nmero inteiro

sign(x) Funo sinal: retorna o sinal de um argumento.

EX: sign(1.2)=1 e sign(-1.2)=-1, sign(0)=0 sin(x) Seno

sinh(x) Seno hiperblico

sqrt(x) Raiz quadrada

tan(x) Tangente

tanh(x) Tangente hiperblica

2.2 Comandos de ajuda

2.2.1 O comando help


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O comando help funciona muito bem se voc sabe exatamente o tpico sobre o qual

necessita de ajuda. J que isso no sempre o caso, o help pode tambm lev-lo ao

tpico exato que deseja digitando help, sem especificao do tpico.

Embora o comando help permita-lhe conseguir ajuda, ele pode no ser a

maneira mais conveniente, a menos que voc saiba o tpico exato sobre o qual

necessita de informaes.

Para isso, o comando lookfor fornece ajuda fazendo uma busca em toda

primeira linha dos tpicos de ajuda e retornando aqueles que contm as palavras-

chave que voc especificou. O mais importante que a palavra-chave no precisa ser

um comando MATLAB. Por exemplo:

2.2.2 O comando lookfor


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O MATLAB trabalha essencialmente com um tipo de objeto: uma matriz

numrica retangular podendo conter elementos complexos. Observa-se que um

escalar uma matriz de dimenso 1x1 e que um vetor uma matriz que possui

somente uma linha ou uma coluna.

O mtodo mais fcil de introduzir pequenas matrizes no MATLAB utilizando uma lista

explcita. Os elementos de cada linha da matriz so separados por espaos em branco

ou vrgulas e as colunas separadas por ponto e vrgula, colocando-se colchetes em

volta do grupo de elementos que formam a matriz com o objetivo de limit-la.

Tipo de Matriz Comando

Matriz Identidade eye(n)

Matriz Nula zeros(m,n)

Matriz com todos os

elementos iguais a 1

ones(m,n)

Matriz Aleatria rand(m,n)

Operao Comando

Transposta de uma matriz A At

3. MANIPULAO DE MATRIZES

3.1 Matrizes elementares

3.2 Operaes com matrizes


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Uma boa aplicao do MATLAB suas funes matriciais. Dentre as mais

usadas podemos citar:

COMANDO DESCRIO

eig Autovalores e Autovetores;

chol Fatorizao de Cholesky;

svd Decomposio em fator singular;

inv Inversa;

lu Fatorizao triangular LU;

qr Fatorizao ortogonal QR;

hess Forma de Hessenberg;

schur Decomposio de Schur;

expm Matriz Exponencial;

sqrtm Matriz de raiz quadrada;

poly Polinmio caracterstico;

det Determinante;

size Tamanho;

norm Norma 1, Norma 2, Norma F, Norma Infinita;

cond Nmero de condio na norma 2;

rank Nmero de linhas linearmente independentes;

triu(A) Gera uma matriz com os elementos acima da diagonal principal de

A e zera os elementos que esto abaixo; tril(A) Gera uma matriz com os elementos abaixo da diagonal principal de

A e zera os elementos que esto acima;

diag(A) Fornece os elementos da diagonal;

Multiplicao por um escalar k K*A

Multiplicao de duas matrizes A e B A.*B

Quadrado e uma Matriz A A.^2

Soma de duas matrizes A e B A+B


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diag(diag(a)) Gera uma matriz com os elementos da diagonal principal de A e

com zeros nas outras posies;

flipud(A) Coloca a matriz A de cabea para baixo;

fliplr(A) Coloca a matriz da esquerda para a direita;

rot90(A) Roda a matriz em sentido anti-horrio;

reshape(A,m,n) Retorna uma matriz m por n, cujos elementos so tomados coluna

por coluna de A.

O MATLAB encontra zeros de funes usando o comando fzero. A funo, da

qual deseja-se encontrar os zeros, deve ser ento escrita:

com chute inicial.

Tomemos como exemplo a funo ( ) ( ):

4. ZEROS DE FUNES

5. MXIMOS E MNIMOS DE FUNES

Para encontrar o mnimo de uma funo usa-se o comando fminbnd.


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Em alguns casos precisamos utilizar uma varivel simblica, chamemos , para

definir como sendo qualquer varivel do domnio, isto , uma varivel contnua. Para

isso temos o comando syms. Vejamos:

6. CLCULO

6.1 Construindo funes com variveis simblicas

Ou para mais de uma varivel:

6.2 Limites

Para calcularmos ( ) utilizamos o comando ( ( ) ).


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6.2.1 Limite lateral esquerda

Para calcular o limite lateral esquerda utiliza-se o comando

( ( ) ).

6.2.2 Limite lateral direita

Para calcular o limite lateral direita utiliza-se o comando

( ( ) ).

6.3 Derivadas

Para calcularmos derivadas utiliza-se o comando ( ( ) ), onde

indica a ordem da derivao.

6.4 Integrao

Para calcular integrais indefinidas ( ) utiliza-se o comando ( ( ) ).

6.4.1 Integrais Indefinidas


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Grficos constituem um recurso visual poderoso para a interpretao de dados.

O MATLAB dispe de um grande nmero de facilidades grficas, usadas para plotar

(gerar desenho de grficos) atravs de funes e comandos. possvel obter grficos

bidimensionais ou tridimensionais com qualquer tipo de escala e coordenada.

Alguns comandos freqentes para plotar grficos bidimensionais so:

Comando Descrio

plot Plotar linear

loglog Grfico em escala logartmica

semilogx Grfico em escala semi-logartmica (eixo x).

semilogy Grfico em escala semi-logartmica (eixo y).

fill Desenhar polgono 2D.

polar Grfico em coordenadas polar

bar Grfico de barras

stem Grfico de seqncia discreta

Para calcular integrais definidas ( )

utiliza-se o comando ( ( ) ).

6.3.1 Integrais Definidas

7. PLOTANDO GRFICOS NO MATLAB


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stairs Grfico em degrau

hist Histograma.

rose Histograma em ngulo

compass Grfico em forma de bssola.

feather Grfico em forma de pena.

fplot Grfico da funo

comet

Grfico com trajetria de cometa.

O comando plot o comando mais comum para plotagem de dados

bidimensionais.

Exemplo:

Plotar a funo x2+1

Podemos utilizar alguns comandos para melhorar a aparncia de nosso grfico:

title (inclui um ttulo ao grfico), xlabel (permite que o eixo das abscissas do grfico

seja identificado), ylabel (permite que o eixo das abscissas do grfico seja

identificado).

7.1 O comando plot

x= -10:0.5:10;

y=x.^2+1;

plot(x,y);

title(Grafico da funo x^2=1)

xlabel(x)

ylabel(x)


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Como resultado o MATLAB nos retorna a uma janela denominada Figure No. 1

com o seguinte grfico:

possvel desenhar mais que uma funo no mesmo grfico. Existem dois

modos: um atravs do comando plot, e outro atravs do comando hold

Por exemplo, podemos gerar no mesmo grfico as funes sen(x), cos(x) e

sen(2x).

x= 0:PI/100:6*pi;

y1=sin(x);

y2=cos(x);

y3=sin(2*x);

plot(x,y1,x,y2,x,y3);

title(Grafico das funes sem(x),cos(x),sem(2x))

xlabel(x)

ylabel(x)


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Gerando o seguinte grfico:

Com o comando hold, para plotar as funes sen(x) e cos(x), utiliza-se a

seguinte sntese:

Alm de ttulos e designao dos eixos (funes title, xlabel e ylabel) podemos

definir outras propriedades grficas como legendas, cores e estilos de linhas, estilos

de marcadores, incluir grade.

x= 0:PI/100:6*pi;

y1=sin(x);

y2=cos(x);

hold on

plot(x,y1);

plot(x,y2);

hold off


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A cor e o estilo da linha e o tipo de marcador para pontos de dados na linha

podem ser selecionado pelo uso de uma cadeia de caracteres de atributos aps os

vetores x e y na funo plot.

Na tabela a seguir vemos os principais valores para os atributos cores,

marcadores e estilos de linha.

Cor Marcadores Estilo de Linha

y amarelo . Ponto - Slido

m rosa(magenta) o Crculo : Pontilhado

c azul (ciano) x X -. Ponto-trao

r vermelho + Mais -- Tracejado

g verde * Asterisco

b azul s Quadrado

w branco v Tringulo para baixo

k preto ^ Tringulo para cima

P Pentgono

Com o comando grid podemos adicionar linhas de grade no desenho do

grfico: grid on (para incluir) e grid off ( para remover).

Legendas podem ser criadas por meio da funo legend, utilizando a seguinte

estrutura:

legend('texto1', 'texto2,...,posio)

Onde na posio podem ser atrbuidos os seguintes valores de

posicionamento da legenda:


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Valor Significado

0 Escolha automtica da melhor posio (mnimo conflito com os dados)

1 Canto superior direito

2 Canto superior esquerdo

3 Canto inferior esquerdo

4 Canto superior direito

-1 direita do desenho

Alm do ttulo, possvel adicionar qualquer outro texto em algum lugar

especfico do grfico plotado atravs do comando text, com a seguinte sntese:

Onde x, y so as coordenadas nas quais desejamos que o texto aparea.

Com a mesma finalidade pode ser utilizado o comando gtext, com a diferena

de com este a posio do texto escolhida atravs do mouse. Tem a sntese:

O Comando axis

possvel controlar as propores e a aparncia dos eixos horizontal e vertical

dos grficos gerados pelo MATLAB atravs do comando axis.

Alguns modos principais de configurao desse comando seguem na tabela a

seguir:

text (x,y, 'texto desejado')

gtext( 'texto desejado')


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Comandos Descrio

axis ([xmin xmax ymin ymax]) Define os valores mximos e mnimos dos eixos

usando os valores dados no vetor de linha.

axis square Torna quadrado o quadro dos eixos.

axis equal Ajusta os incrementos de eixos para que sejam

iguais nos dois eixos.

axis normal Cancela o efeito dos dois comandos anteriores

axis off Desliga todos os nomes de eixos, grades e

marcadores. No altera o ttulo nem os nomes

colocados pelos comandos text e gtext.

axis on Liga nomes de eixos, marcadores e grade.

LineWidth, MarkerSize, MarkerEdgeColor, MarkerFaceColor

So propriedades do comando plot, atravs das quais podemos ajustar a cor, o

estilo e o tipo de marcador para uma linha.

LineWidth: Especifica em pontos a espessura de cada linha.

MarkerSize: Especifica em pontos o tamanho do marcador.

MarkerEdgeColor: Especifica a cor do marcador ou da borda de marcadores

preenchidos.

MarkerFaceColor: Especifica a cor interna dos marcadores preenchidos.

A estrutura de utilizao das propriedades a seguinte:

plot(x,y, 'nome da propriedade,valor,.)


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possvel colocar mais de um conjunto de eixos em uma mesma figura, criando

assim mltiplos diagramas. Os subdiagramas so criados pelo comando subplot:

Onde m denota o nmero linhas e n o nmero de colunas que se deseja dividir

a janela grfica; p indica qual das subdivises vai receber o grfico desejado.

Exemplo:

Plotar as funes sen(x) e cos(x), com x= -pi: pi/20 : pi, na mesma janela mas

em grficos separados, utilizando o comando subplot para dividir a janela em dois

subgrficos.

7.1.1 Comando subplot

subplot(2,1,1)

x=-pi:pi/20:pi;

y= sin(x);

plot(x,y)

title('Subdiagrama 1');

subplot(2,1,2);

x=-pi:pi/20:pi;

y= cos(x);

plot(x,y)

title('Subdiagrama 2');

subplot(m,n,p)


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Alm do comando plot podemos graficar uma funo atravs do comando

fplot. Basicamente, voc deve fornecer como primeiro argumento a funo que

pretende usar entre apstrofes e como segundo, o intervalo sobre o qual a funo ser

graficada.

Exemplo:

fplot(sin(x),[ -pi, pi])

fplot(x^2+3, [ -1, 2])

fplot(sin(x),[ -pi, pi])

7.2 Comando fplot


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O MATLAB tem uma funo chamada polar que se destina ao desenho de dados

usando coordenadas polares. Sua forma bsica :

Exemplo:

Cardiide

A Cardiide pode ser expressa atravs de coordenadas polares:

)cos1(2 r

Utilizando o comando polar, plote a Cardiide.

7.3 Coordenadas Polares

polar(theta,r)

theta = 0:pi/50:2*pi;

r=2*(1+cos(theta));

polar(theta,r,'r-');

title('Cardioide em Coordenadas Polares');


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A forma paramtrica de uma curva plana pode ser descrita atravs do seguinte

par de funes:

x = f(t)

y =g (t)

a,ya

cu b,yb

Exemplo:

Crculo

7.4 Curvas Paramtricas

t = -6*pi:pi/100:6*pi;

x = cos(t);

y = sin(t);

plot(x,y);

axis square


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Alm dos grficos bidimensionais o MATLAB possui comandos que possibilitam

outras formas de representao de dados tais como: grficos de barras, grficos do

tipo pizza, grficos de haste, diagramas de radar, entre outros.

Abaixo listamos alguns dos mais utilizados, sua sntese e descrio:

Funo Descrio

bar(x,y) Cria um diagrama de barras verticais, sendo x o rtulo de cada

barra e y a altura da barra.

barh(x,y) Cria um diagrama de barras horizontais, sendo x o rtulo de cada

barra e y o comprimento horizontal da barra.

compass(x,y) Cria um diagrama polar, com uma seta saindo da origem em

direo a cada ponto (x,y).

7.5 Diagramas Bidimensionais


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Grficos de Barras

um grfico no qual cada ponto representado por uma barra vertical ou

horizontal.

Tem a seguinte sntese:

bar(x,y), para barras verticais

barh(x,y) para barras horizontais.

O vetor x representa o rtulo ou posio da barra, e o vetor y representa a

altura ou comprimento da barra.

Exemplo:

Barras verticais

pie(x,y)

pie(x,explode)

Cria um diagrama de pizza. Determina a porcentagem da pizza

inteira que corresponde a cada valor de x, e representa pedaos

de pizza desse tamanho.

A matriz opcional explode controla se os pedaos individuais so

separados ou no do restante da pizza.

stairs Cria um diagrama de pares, com cada degrau da escada

centralizado em um ponto (x,y)

hist Cria um histograma de um conjunto de dados.

x = [1 2 3 4 5 6];

y = [5 4 6 7 2 5];

barh(x,y);

axis([0 10 0 7]);

title(Grafico de barras horizontais);


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Da mesma forma podemos utilizar os comando barh, compass e stairs para

gerar outras formas de diagramas.

Grfico Pizza

um grfico representado por fatias de pizza de tamanhos variados. Cria-se

um vetor x com os dados a serem representados. Por exemplo, x=[1 2 3 4], ento x(1)

10% da pizza, x(2) 20%, e assim por diante.

Podemos ainda acrescentar o vetor explode, que um vetor lgico que recebe

1 ou 0, e cada elemento associado a um elemento do vetor x. Sendo que 1 significa

que a fatia da pizza correspondente desenhada um pouco separada da pizza, e 0 a

fatia permanece em sua posio normal.

Exemplo:

Construir um grfico do tipo Pizza, onde as fatias representam 32%, 20%,

20%, 12%, 16%. Separe a fatia maior das demais fatias. Utilize tambm o comando

legend.

x = [32 16 12 20 20];

explode= [1 0 0 0 0];

pie(x,explode);

title('Exemplo de grafico de Pizza');

legend('Um','Dois','Tres','Quatro','Cinco',4);


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Histogramas

Um histograma um diagrama que mostra a distribuio de valores em um

conjunto de dados. Para criar um histograma, a faixa de valores em um conjunto de

dados dividida em grupos regularmente espaados, e o nmero de valores de dados

que caem em cada grupo determinado. A contagem resultante pode ser

representada em um diagrama como funo do nmero do grupo.

Algumas das snteses para gerar histogramas so:

hist(y), cria um histograma com 10 grupos igualmente espaados.

hist(y,n), cria um histograma com n grupos igualmente espaados.


30

Exemplo:

Esse exemplo cria um conjunto de dados com 10.000 valores aleatrios

gaussianos e gera um histograma dos dados usando 15 grupos igualmente espaados.

y = randn(1000,1);

hist (y,15);


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O significado da palavra ALGORITMO muito similar ao de uma receita,

procedimento, tcnica, rotina. Um algoritmo um conjunto finito de regras que

fornece uma seqncia de operaes para resolver um problema especfico. Segundo

o dicionrio do prof. Aurlio um algoritmo um: "Processo de clculo, ou de resoluo

de um grupo de problemas semelhantes, em que se estipulam, com generalidade e

sem restries, regras formais para a obteno de resultado ou de soluo de

problema." Um algoritmo tem cinco caractersticas importantes:

Finitude:

Um algoritmo deve sempre terminar aps um nmero finito de passos.

Definio:

Cada passo de um algoritmo deve ser precisamente definido. As aes devem

ser definidas rigorosamente e sem ambiguidades.

Entradas:

Um algoritmo deve ter zero ou mais entradas, isto quantidades que so lhe

so fornecidas antes do algoritmo iniciar.

Sadas:

Um algoritmo deve ter uma ou mais sadas, isto quantidades que tem uma

relao especfica com as entradas.

Efetividade:

Um algoritmo deve ser efetivo. Isto significa que todas as operaes devem ser

suficientemente bsicas de modo que possam ser em princpio executadas com

preciso em um tempo finito por um humano usando papel e lpis.

Para mostrar um exemplo de algoritmo considere o seguinte problema:

8. ALGORITMOS


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Dispomos de duas vasilhas com capacidades de 9 e 4 litros respectivamente. As

vasilhas no tem nenhum tipo de marcao, de modo que no possvel ter medidas

como metade ou um tero. Mostre uma seqncia de passos, que usando as vasilhas

de 9 e 4 litros encha uma terceira vasilha de medida desconhecida com seis litros de

gua.

Uma possvel soluo :

As formas mais comuns de representao de algoritmos so as seguintes:

8.1 Representao de Algoritmos

1. Encha a vasilha de 9 litros;

2. Usando a vasilha de 9 litros, encha a vasilha de 4 litros;

3. Despeje o que sobrou na vasilha de 9 litros (5 litros) na terceira

vasilha. Observe que falta um litro para completar os seis litros;

4. Esvazie a vasilha de 4 litros;

5. Torne a encher a vasilha de 9 litros;

6. Usando a vasilha de 9 litros encha a vasilha de 4 litros;

7. Esvazie a de 4 litros;

8. Usando o que restou na vasilha de 9 litros (5 litros), encha

novamente a vasilha de quatro litros;

9. Despeje o que sobrou na vasilha de 9 litros (1 litro) na terceira

vasilha, que agora tem 6 litros.


33

Os algoritmos so expressos diretamente em linguagem natural, como no exemplo

anterior. Para considerar um algoritmo que inclua decises vamos estudar um

algoritmo que nos ajude a decidir o que fazer em um domingo. Um possvel algoritmo

poderia ser o seguinte:

Esta um representao grfica que emprega formas geomtricas

padronizadas para indicar as diversas aes e decises que devem ser executadas para

resolver o problema.

8.1.1 Linguagem Natural

Algoritmo de domingo. o Acordar. o Tomar o caf. o Se estiver sol vou praia seno leio o jornal. o Almoar. o Ir ao cinema. o Fazer uma refeio. o Ir dormir.

Final do domingo.

8.1.2 Fluxograma Convencional


34


35

Criar programas de computador , em geral, um trabalho difcil e cansativo,

pois envolve muito a arte de pensar logicamente. Por haver muitas linguagens distintas

de programao (tais como C, Pascal, Fortran, dentre outras), h uma linguagem

Universal, adotada por muitos programadores para que seus cdigos sejam

entendidos por programadores que conheam qualquer linguagem.. Os cdigos assim

escritos so chamados de pseudo-cdigos. O pseudo-cdigo escrito mo livre, ou

seja, em linguagem comum, como no exemplo a seguir:

Fazer um algoritmo que pergunte que horas so e escreva uma frase de cumprimento

segundo a hora inserida pelo usurio.

8.1.3 Pseudo-Cdigo

Algoritmo: Cumprimento Variveis: hora: Numrico Incio algoritmo Escreva Que horas so? Ler hora Se 6


36

Uma maneira simples de se fazer um programa em MATLAB criar um arquivo

texto com a lista de comandos desejados. Um programa escrito assim chamado

script e toda vez que for chamado efetua a lista de comandos como se eles fossem

entrados sequencialmente via teclado. Por exemplo, para se calcular a distncia entre

dois pontos p e q em R podemos gerar um script com os comandos apropriados e

cham-lo sempre que o clculo tenha que ser efetuado.

Esse arquivo pode ser criado com qualquer editor de texto e deve ter extenso

.m (M-Files). Por exemplo, o script acima poderia estar no arquivo distancia_p_q.m.

Para cham-lo basta entrar com o nome do arquivo na janela de comandos (Command

Window):

Os arquivos script so teis quando se deseja efetuar uma sequncia de

comandos com muita freqncia. Como no exemplo anterior, os scripts se utilizam dos

dados presentes na memria (workspace) para efetuar os comandos.

Uma alternativa aos arquivos script so os arquivos tipo function, que admitem

parmetros de entrada, retornam valores e possuem variveis locais (no afetam o

workspace). Essas caractersticas fazem com que programas escritos nesse formato

atuem exatamente como os comandos nativos do MATLAB. So, portanto, uma forma

de ampliar a linguagem e um dos pontos chaves do MATLAB.

A palavra funo no MATLAB tem um significado diferente daquele que tem na Matemtica. Aqui funo um comando, que pode ter alguns argumentos de entrada e alguns de sada.

9. M-Files: criando seus prprios programas e funes

temp = (p(1)-q(1))^2+(p(2)-q(2))^2+(p(3)-q(3))^2 distancia = sqrt(temp)

>> p=[1 0 0]; temp =

>> q=[0 1 0]; 2 >> distancia_p_q distancia =

1.44142


37

EXEMPLO:

Salienta-se que essa funo determina a distncia entre dois vetores quaisquer,

independentemente do nmero de componentes dos mesmos (desde que ambos vetores sejam de mesma dimenso).

O arquivo tipo function tambm tem que ter extenso .m e deve ter o mesmo nome usado na definio da funo, no exemplo anterior o nome do arquivo deve ser calcula_distancia.m. Usamos o Command Window para executar essa funo.

A seguir, tem-se uma lista com alguns comandos de programao para o

controle de fluxo, bem como comandos de programao geral e interfaces com o usurio.

Break Interrompe a execuo de laos FOR e WHILE equivalente ao BREAK

do C

clc, home Limpa a tela (janela de comandos)

Clear Limpa as variveis da memria do MATLAB

continue Interrompe o fluxo do programa e recomea um loop FOR ou WHILE,

j na iterao seguinte. S faz sentido dentro de um FOR ou WHILE

Display Exibe o nome do contedo de uma varivel

Disp Exibe o contedo de uma varivel, sem mostrar o seu nome

IF Condiciona execuo de comandos

function distancia=calcula_distancia(x,y) % Calcula a distancia euclidiana entre os pontos x e y (vetores do Rn) diferena=x-y; distancia=sqrt (diferena*transpose (diferenca)); Exemplo 1: Exemplo 2: >> p=[1 0 0]; distancia=calcula_distancia([3 4], [0 0]) >> q=[0 1 0]; distancia= >> d=calcula_distancia(p,q) 5 Ou: >> d=calcula_distancia([1 0 0], [0 1 0]) d= 1.4142


38

Else Usado com o comando IF

Elseif Usado com o comando IF

End Usado para terminar a execuo dos comandos IF, FOR, WHILE

Error mostra mensagem e aborta a execuo da funo

errordlg Criar uma caixa de dilogo sem erro

Eval Excuta uma expresso MATLAB definida atravs de uma string

Feval Executa uma funo especificada por uma string

For Repete comandos por um nmero de vezes especificado

Fprintf Grava dados em arquivo formatado

Fscanf L dados de arquivo formatado

function Define m-file tipo FUNCTION (funo)

Global Define variveis globais

Helpdlg Mostra uma caixa de dilogo de ajuda (HELP)

Input Permite requisitar (com prompt) fornecimento de dados pelo teclado

keyboard Suspende a execuo de uma rotina e permite que o usurio entre e

execute novos comandos pelo teclado; a rotina continuada aps o

usurio digitar return

Lasterr ltima mensagem de erro emitida pelo MATLAB

Menu Gera um menu de escolhas para entrada do usurio

margchk Verifica nmero de argumento da entrada

Pause Pausa na execuo de um programa at ser pressionada uma tecla

pause(n) Pausa na execuo de um programa de n segundos

questdlg Cria uma caixa de dilogo de perguntas

Rbbox Caixa para seleo de regio em grfico

Return Causa a sada imediata de uma funo

Sprintf Grava dados formatados em uma nica string


39

switch e

case

um teste para mltiplos casos

uigetfile Caixa de dilogo para obter o nome de um arquivo existente

uiputfile Caixa de dilogo para especificar o nome de um novo arquivo

warndlg Cria uma caixa de dilogo para advertncias

While Repete comandos enquanto condio especificada for verdadeira

O modo como os nmeros aparecero por padro na tela (salvo excees comandadas pelo usurio) imposto pelo comando format. A tabele abaixo indica alguns dos formatos suportados:

COMANDO RESULTADO EXEMPLO: e*

Format short 4 dgitos depois de

vrgula

23.2134

Format long 14 dgitos depois da

vrgula

23.21340435736339

Format short e 5 dgitos com

exponencial

2.321e+001

Format long e 15 dgitos com

exponencial

2.321340435736330e+001

Format short g 5 dgitos totais

23.213

Format long g 15 dgitos totais

23.2134043573634

Format hex Formato hexadecimal

4037361aaffb31c

9.1 Sada de dados - Comando format


40

Format bank Valores bancrios

23.21

Format rat Aproximao por

racionais

3807/164

Format + Exibe comente o sinal +

O comando disp mostra o valor de variveis, assim como se pode us-lo para combinar frases com variveis alfanumricas. Para que isso acontea, interessante combinar o comando disp com o comando num2str ou int2str que convertem valores numricos em valores alfanumricos. O comando num2str converte qualquer nmero (ou matriz) em uma cadeia de caracteres, mantendo o formato dos elementos, j o comando int2str converte primeiro os valores em inteiros, para s ento transform-los em caracteres.

EXEMPLO: Mostrar o valor de e.

O comando fprintf um dos mtodos mais simples de sada de dados. Com ele possvel combinar frases com variveis numricas de dimenso 1, ou seja, um escalar ou um elemento da matriz. Vejamos como ele funciona com o seguinte exmplo:

9.2 Sada de dados - Funo disp

frase = *O valor de e^13 :num2str(exp(13))+;

Disp(frase)

9.3 Sada de dados - Sada fprintf


41

EXEMPLO: Atribuir dois valores s variveis x e y e mostr-las junto com uma frase qualquer:

Acima, o que est entre aspas aparecer para o usurio, os itens onde aparece

%d sero substitudos pelas variveis, respeitando-se a ordem em que aparecem. Ainda, %d significa que s aparecer a parte inteira de x e y. Existem, ainda, os seguintes comandos:

%d Exibe o valor como inteiro

%e Exibe o valor no formato exponencial

%f Exibe o valor em ponto flutuante

%g Escolhe o mais curto entre ponto flutuante e

exponencial

Ainda, se colocarmos \n dentro das aspas temos uma mudana de linha.

EXEMPLO: Escrever uma saudao ao usurio:

x=1;

y=7;

fprintf(O x vale %d, enquanto y vale %d,x,y)

fprintf( Ol.\n Obrigado por freqentar o

minicurso do MATLAB.\n Esperamos que

seja bastante til.)


42

Falamos bastante at aqui em variveis e sadas de dados, porm necessrio

que dados possam ser inserido por usurios (que no seja o programador) e que

possamos trocar nossas variveis sem alterar o cdigo do programa. Por exemplo, para

calcular as razes de um polinmio necessrio que o programa conhea o polinmio.

Mas, para cada polinmio diferente teremos que mudar o cdigo-fonte do programa?

Esse problema resolvido pelo comando input. A cada vez que o programa for

rodado ele mesmo pedir as variveis, logo no ser necessrio mudar o cdigo

original do programa e haver uma maior interao entre o programa e o usurio (no

necessariamente um programador). Ainda dentro do comando input podemos colocar

uma frase identificando que varivel deve ser inserida. Vejamos como funciona atravs

do seguinte exemplo:

EXEMPLO: Pedir que o usurio entre com os coeficientes de um polinmio do

segundo grau ax2+bx+c:

9.4 Sada de dados - Interao com o usurio atravs do comando input

disp(Este programa ler valores para os coeficientes a, b e c de um polinmio

do segundo grau. )

a=input(Insira o valor de a: );

b=input(Insira o valor de b: );

c=input(Insira o valor de c: );

fprintf(O polinmio definido pelo usurio %dx^2 + %dx + %d,a,b,c)


43

EXEMPLO: Fazer com que o usurio calcule as razes de um polinmio de segundo

grau:

s vezes necessrio colocar mais de um comando ao mesmo parmetro

(principalmente no lao if que ser visto posteriormente), para isso existem os

comando lgicos dados na seguinte tabela:

& E lgico

| OU lgico

xor OU exclusivo lgico

~ NO lgico

9.5 Sada de dados - Operadores lgicos

disp(Este programa ir calculara as razes de um polinmio de segundo grau. )

a=input(Entre com o primeiro coeficiente :);

b=input(Entre com o segundo coeficiente :);

c=input(Entre com o terceiro coeficiente :);

delta = b^2 - 4*a*c;

x1=(-b + sqrt(delta))/(2*a);

x2=(-b - sqrt(delta))/(2*a);

fprintf('As razes so: %d e %d',x1,x2)


44

Uma estrutura condicional permite a escolha do grupo de comandos a serem

executados quando uma dada condio for satisfeita ou no, possibilitando desta

forma alterar o fluxo natural de comandos. Esta condio representada por uma

expresso lgica.

A estrutura de repetio (ou lao) faz com que uma sequncia de comandos

seja executada repetidamente at que uma dada condio de interrupo seja

satisfeita.

A estrutura condicional mais simples do MATLAB :

Se o resultado da expresso lgica for verdadeiro ento a lista de

ser executada. Se o resultado for falso, os no sero

executados.

EXEMPLO: Fazer um programa que pea um nmero ao usurio e retorne o

valor da raiz quadrada desse nmero.

]

10. Condicionais e laos

10.1 A estrutura condicional if-end

if

end

a=input('Digite um valor para o qual se queira saber a raiz quadrada:');

if (a>=0)

Raizquadrada=sqrt(a)

end


45

No caso de haver duas alternativas, uma outra estrutura condicional deve ser

usada:

Se a expresso lgica for verdadeira ento a lista

ser executada. Se for falsa ento ser executada a lista .

EXEMPLO: Faa um programa que leia o ano de nascimento de uma pessoa e o ano

atual e diga a idade da pessoa. O programa deve verificar se o ano de nascimento

vlido ou no.

Quando houver mais de duas alternativas, a estrutura vista anteriormente if-

else-end torna-se:

if else end

an=input('Digite o ano de nascimento da pessoa:');

aa=input('Digite o ano atual:');

if ((an2010))

fprintf('Ano de nascimento invalido.');

else I=aa-an;

fprintf('A idade da pessoa eh %d anos.',I);

end

10.2 A estrutura condicional if-else-end

10.3 A estrutura condicional if-elseif-else-end


46

A lista ser executada se a for verdadeira, j a lista

ser executada se a for verdadeira e assim para as outras

condies. Se nenhuma das condies for verdadeira ento ser

executada.

Quando a primeira for satisfeita e os executados, a

estrutura if-elseif-else-end ser abandonada, ou seja, o controle do processamento

ser transferido para o comando imediatamente aps o end.

EXEMPLO: Faa um programa tal que o usurio insira um valor para a varivel x e em

seguida mostre se x maior, menor ou igual a zero.

if

elseif

elseif

.

.

.

else

end

x=input('Digite um valor para x:');

if x


47

EXEMPLO: Faa um programa que permita calcular os valores para a funo:

f(x) = {

EXEMPLO: Faa um programa que verifique se um nmero dado pelo usurio

positivo, se sim determinar se o mesmo par ou mpar:

A estrutura for permite que um grupo de comandos seja repetido um nmero

especfico de vezes definido pelo programador. Atravs do for, podemos criar uma

variao de elementos, o que nos d a vantagem de economizar tempo. Sua sintaxe :

function a=program1(x)

x=input('Digite um valor x para o qual se deseja avaliar a funao:');

if x=-1)&(x


48

Acima, varivel a varivel-de-controle que recebe o valor de cada coluna do vetor

e, para cada contedo que receba, executa o corpo do for. Assim, o nmero

de repeties da lista igual ao nmero de elementos no vetor

. A varivel-de-controle no pode ser redefinida dentro da estrutura for.

O lao for o controlador de fluxo mais simples e usado na programao

MATLAB. Analisando o seguinte exemplo:

pode-se notar que o lao for dividido em trs partes:

A primeira parte (i=1) realizada uma vez, antes de o lao ser inicializado.

A segunda parte o teste ou condio que controla o lao, (i


49

Observao: Veja que aqui ocupa muito espao se usarmos o comando input 15

vezes.

EXEMPLO: Faa um programa que pergunte ao usurio quantas linhas e quantas

colunas ele quer que uma matriz A tenha. Em seguida, pedir que ele insira cada valor

da matriz. Alm disto, verificar quantos elementos menores que zero tem nesta

matriz.

EXEMPLO: Faa um programa que diga todas as possibilidades de que, no lanamento

de dois dados, a soma dos valores de cada dado seja igual a 7.

l=input('Digite um valor para o numero de linhas da matriz A:');

c=input('Digite um valor para o numero de colunas da matriz A:');

A=zeros(l,c);

b=0;

for i=1:l

for j=1:c

fprintf('Insira o numero (%d,%d):',i,j);

A(i,j)=input('');

if A(i,j)


50

EXEMPLO: Faa um programa que plote uma funo retangular f(n) tal que 0


51

EXEMPLO: Faa um programa que construa duas matrizes A e B dadas pela lei Aij=i+j e

Bij=i-j e calcule a soma das duas.

O lao while, ao contrrio do for, repete um grupo de comandos um nmero

indefinido de vezes, at obtermos uma resposta satisfatria ou at que o usurio

mande interromper o programa. Sua sintaxe :

Enquanto a expresso lgica for verdadeira a lista ser

repetida.

No lao while apenas a condio testada. Por exemplo, na expresso:

while

end

a = 1; b = 15;

while a


52

A condio a


53

EXEMPLO: Faa um programa que leia um nmero e calcule o seu fatorial. O

programa deve exibir um erro caso o nmero seja negativo.

i=1;

prod=1;

n=input('Digite um valor n para o qual se deseja saber o fatorial:');

if n


54

EXEMPLO: Faa um programa que plote o grfico da funo y=a*x2+b*x+c, no

intervalo xv - 5< x


55

transfere a execuo para o comando imediatamente seguinte ao end . Em repeties

aninhadas, o break interrompe a execuo apenas da estrutura mais interna.

Uma repetio com condio de interrupo no interior pode ter a forma:

A estrutura while executada indefinidamente a princpio, pois a condio do

while sempre verdadeira. Contudo, quando a do if for satisfeita o

comando break ser executado causando a interrupo da repetio while.

EXEMPLO: Faa um programa que calcule a mdia de no mximo 5 nmeros usando o

comando break.

while 1

if

break

end

end

acumulador = 0;

n = 0;

while n


56

O comando switch executa certas afirmaes baseando-se no valor de uma

varivel ou expresso. usado quando se tem opes de escolha. Sua forma bsica :

Apenas um CASE executado e a seqncia de execuo do programa

prossegue aps o END. Se nenhum dos CASEs concordar com a expresso do switch,

ento o caso OTHERWISE executado (se existir). Apenas as instrues entre o CASE

concordante e o prximo CASE, OTHERWISE ou END so executadas. Por exemplo, se o

primeiro caso for verdadeiro os outros casos no so executados.

EXEMPLO: Faa um programa que leia um dos nmeros -1, 0 ou 1 e diga se

negativo, positivo, zero ou nenhum dos outros casos.

10.7 O comando switch

switch

case

case

...

otherwise

end

var=input('Entre com um dos valores:-1, 0 ou 1 ==> ');

switch var

case 1

disp('Nmero um negativo')

case 0

disp('Zero')

case 1

disp('Nmero um positivo')

otherwise

disp('outro valor')

end


57

EXEMPLO:

O MATLAB um software desenvolvido para trabalhar com matrizes. Quando

se est construindo uma rotina de clculo e se deseja utilizar uma ferramenta de loop,

onde o objetivo calcular uma expresso diversas vezes, muito mais eficiente

trabalhar utilizando o conceito de operaes matriciais ou vetoriais.

Para demonstrar o que queremos dizer, vamos apresentar uma rotina simples,

implementada de dois modos, onde se evidencia a diferena de eficincia entre uma

implementao utilizando loops sua verso vetorial.

x=1;

for k=1:100

clc

y(k)=log10(x);

x=x+0.01;

y(k);

pause(1);

end

x:1:0.01:100;

y=log10(x);

TEMPO COMPUTACIONAL

0.1900

0.0600

var=input('Entre com um valor ==> ');

switch var

case 1

disp('1')

case {2,3,4}

disp('2 ou 3 ou 4')

case 5

disp('5')

otherwise

disp('outro valor')

end

11. Vetorizao


58

Utilizando a forma vetorizada, para este exemplo, tem-se uma reduo de 70%

no tempo computacional.

A reserva de espao em memria para as variveis faz-se simplesmente

preenchendo a varivel a ser utilizada com zeros, de forma a que a sua dimenso no

volte a ser alterada.

As caixas de dilogos possibilitam a construo de programas com interface

mais amigvel. Por exemplo, ao invs de utilizarmos a funo input podemos usar a

funo inputdlg (entrada de dados com caixa de dilogos), a qual tambm permite que

se insira dados atravs do teclado.

12. Reserva de espao para variveis

13. Caixa de Dilogos


59

EXEMPLO 1: Faa um programa que calcule o fatorial de qualquer nmero.

OBS: Neste programa aparecer uma janela onde o usurio ir informar o nmero o qual

deseja calcular o fatorial.

i=1;

prod=1;

b={'Digite o nmero o qual deseja calcular seu fatorial'};

Numero=inputdlg(b)

n=str2num(char(Numero(1)));

if n


60

EXEMPLO 2: Faa um programa tal que o usurio insira a largura e o comprimento de

um retngulo e logo aps calcule e escreva sua rea.

OBS: Depois de digitado o algortmo, se colocarmos o programa

para rodar, aparecer a seguinte janela, onde o usurio ir informar

a largura e o comprimento do retngulo.

aviso={'Entre com a largura:' ,'Entre com o comprimento:'}

titulo='REA DE UM RETNGULO';

resposta=inputdlg(aviso,titulo);

larg=str2num(char(resposta(1)));

comp=str2num(char(resposta(2)));

disp(' **************')

disp(' * REA *')

disp(' **************')

area=larg*comp;

disp(area)


61

A idia central destes mtodos partir de uma aproximao inicial para a raiz e

em seguida refinar essa aproximao atravs de um processo iterativo.

Para facilitar a utilizao do programa para encontrar raiz atravs de mtodos

numricos, deve-se criar arquivo na janela M-FIRE, para seguinte utilizao no

Command Window do MatLab.

Descrio: Seja f(x) contnua no intervalo [a, b] e f(a) . f(b) < 0.

Dividindo o intervalo [a, b] ao meio, obtm-se x, havendo dois subintervalos, [a, xo]

*xo, b+, a ser considerados. Se f(xo) = 0, ento = xo (raiz encontrada), caso contrrio,

a raiz estar no subintervalo onde a funo tem sinais opostos nos pontos extremos,

ou seja, se f(a). f(xo) < 0 , ento, (a, xo); seno f(a) . f(xo) > 0 e (xo, b). O novo

intervalo [a1, b1 + que contm dividido ao meio e obtm-se o ponto x1. O processo

se repete at que obtenha uma aproximao para a raiz exata , com a tolerncia

desejada.

14. Mtodos Numricos

14.1 Mtodo da Bisseo


62

Algortmo:

EXEMPLO 1: Calcule a raiz positiva para f(x) = com 0,00001.

ao=input('Digite o 1 valor do intervalo: ');

bo=input('Digite o 2 valor do intervalo: ');

Ep=input('Insira o valor para o erro: ');

if f(bo)*f(ao) > 0,

disp('No tem raiz nesse intervalo')

else

while (bo-ao) > Ep,

x=(ao+bo)/2;

if f(x)*f(ao) > 0,

ao=x;

else

bo=x;

end;

end;

y =(ao+bo)/2;

disp('A raiz ')

disp(y);

end

>> f = inline('x^2-5');

>> bissec

Digite o 1 valor do intervalo: 0


Insira o valor para o erro: 0.00001

A raiz

2.2361


63

OBS: bissec o arquivo anteriormente digitado na extenso M-FIRE.

EXEMPLO 2: Calcule a raiz aproximada para f(x) = para 0,01 e com o intervalo inicial [0,3].

DESCRIO: Seja f(x) uma funo contnua no intervalo [a, b] e o seu nico zero neste

intervalo; as derivadas f(x) (f(x)0) e f(x) devem tambm ser contnuas. Encontra-se

uma aproximao x0 para a raiz e feita uma expanso em srie de Taylor para

f(x)=0. condio suficiente para a convergncia do Mtodo de Newton que: f(x) e

f(x) sejam no nulas e preservem o sinal em (a, b) e x0 seja tal que f(x0). f(x0) > 0.

14.2 Mtodo de Newton

>> f = inline('x*log(x)');

>> bissec




A raiz

0.0029


64

Algortmo:

EXEMPLO 1: Achar a raiz de f(x) = , com 0,0001 e x0 = -2.

Neste, utilizamos o arquivo newton, digitado na extenso M-FIRE.

>> f = inline ('x^3-5*x^2+x+3');

>> g = inline ('3*x^2-10*x+1');

>> newton

Digite o valor de xo: -2


A raiz

-0.6458

xo=input('Digite o valor de xo: ');

E=input('Insira o valor para o erro: ');

x1=xo-f(xo)/g(xo);

while (x1-xo)>E

xo=x1;

x1=xo-f(xo)/g(xo);

end

disp('A raiz ');

disp(x1)


65

EXEMPLO 2: Encontre a raiz de ( ) , pelo mtodo de Newton,

com . Sabe-se que *1,2+.

DESCRIO: muito semelhante ao Mtodo de Newton, mas substitui o clculo das

derivadas pelo clculo de uma razo incremental.

Geometricamente, corresponde a substituir o papel da tangente, no mtodo de

Newton, por uma secante (de onde vem o nome). Isto significa que vamos precisar

sempre de dois pontos para determinar, o que implica que tenhamos que considerar

duas iteradas iniciais, que designamos por x0 e x1. condio suficiente para a

convergncia do Mtodo da Secante que: f(x) e f(x) sejam no nulas e preservem o

sinal em (a, b), e f(x0 ) .f ''(x0) > 0 e tambm f(x1) .f ''(x1) > 0 para qualquer x0 e x1 em

(a, b).

14.3 Mtodo da Secante

>> f = inline('2*x^3+log(x)-5');

>> g = inline('6*x^2+(1/x)');

>> newton

Digite o valor de xo: 2


A raiz

1.5227


66

Algortmo:

EXEMPLO 1: Considerando ( ) ; x0 = 1 e x1 = 2. Encontre a raiz da ( )

com 0,001.

>> f = inline('x^2+x-6');

>> secante


Digite o valor de x1: 2


A raiz :

2

xo=input('Digite o valor de xo: ');

x1=input('Digite o valor de x1: ');

E=input('Insira o valor para o erro: ');

while (x1-xo)>E

x2=x1-((f(x1)*(x1-xo))/(f(x1)-f(xo)));

xo=x1;

x1=x2;

end

disp('A raiz : ');

disp(x2);


67

EXEMPLO 2: Considerando ( ) ; x0 = 0 e x1 = 1. Encontre a raiz da

( ) com 5 x .

>> f = inline('x^3-9*x+3');

>> secante


Digite o valor de x1: 1


A raiz :

0.3750


68

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

PET MATEMTICA UFSM; Noes Bsicas de Utilizao e Programao em MATLAB. Santa Maria, 2008. CHAPMAN, S.J.; Programao em MATLAB para engenheiros. Traduo tcnica: Flvio Soares Correa da Silva, So Paulo, Thomson Learning, 2006. FALCO, M. I; Iniciao ao MATLAB. Universidade do Minho, 2001, Disponvel em: https://repositorium.sdum.uminho.pt/handle/1822/1480 HANSELMAN, D; LITTLEFIELD, B; MATLAB Verso Estudante Guia do Usurio Verso 4. MAKRON Books do Brasil. So Paulo, 1997. PET ENGENHARIA ELTRICA UFSM; Introduo ao MATLAB. Santa Maria, 2007. Disponvel em: http://w3.ufsm.br/petee/ PORTUGAL, R.; MATLAB para leigos e desinteressados: uma introduo simples com exemplos banais. Disponvel em: www.ime.unicamp.br/~cheti/intmatlab.pdf

apostila_matlab

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