apoyos elasticos

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APOYOS ELASTICOS ARROYO AYALA JHONATAN CARLOS ELERA JOSE LUIS PARIAHUACHE PUELLES CHRISTIAN ANALISIS ESTRUCTURAL II 1 2 k F 1 1 F 2 2

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Matriz de rigidez para apoyos elasticos

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Page 1: APOYOS ELASTICOS

APOYOS ELASTICOS

ARROYO AYALA JHONATANCARLOS ELERA JOSE LUIS

PARIAHUACHE PUELLES CHRISTIAN

ANALISIS ESTRUCTURAL II

1

2k

F11

F22

Page 2: APOYOS ELASTICOS

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN RESORTE ELÁSTICO EN COORDENADAS

LOCALES

1

2k

F11

F22

δ1 y δ2 representan los desplazamientos nodales en la dirección de dichas fuerzas y la k es la constante del resorte.Por definición, la matriz de rigidez será del tipo mostrado en la expresión siguiente:

__________ (1.1)

Matriz de Rigidez en coordenadas locales

Page 3: APOYOS ELASTICOS

Caso aPara

1

2k

Fx1

1'

2k

Fx1

Fx2

Page 4: APOYOS ELASTICOS

Caso bPara

Fx2

2

2'

Fx1

Page 5: APOYOS ELASTICOS

Matriz de rigidez de cualquier resorte en coordenadas locales será:

Page 6: APOYOS ELASTICOS

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN RESORTE ELÁSTICO EN COORDENADAS GLOBALES

2

1

Matriz de Rigidez en coordenadas globales

Page 7: APOYOS ELASTICOS

Fx2U=1

k11

k21

Para obtener la primera columna:

Page 8: APOYOS ELASTICOS

Para obtener la segunda columna:

Fy2

V=1

k12

k22

Page 9: APOYOS ELASTICOS

Matriz de rigidez de cualquier resorte en coordenadas globales será:

Page 10: APOYOS ELASTICOS

ENSAMBLAJE DE RESORTES

1 2 3

F11

F22 F33ka kb

y

representan los desplazamientos nodales en la dirección de dichas fuerzas,

y

son las constante de los resortes.

La matriz de rigidez será

Page 11: APOYOS ELASTICOS

Caso a

Haciendo

ka kb

ka kb

F1 F2

Pero:

Page 12: APOYOS ELASTICOS

Caso b

Haciendo

Pero:

ka kb

ka kb

F1 F2

F3

Page 13: APOYOS ELASTICOS

Caso c

Haciendo

Pero:

ka kb

F2 F3

Page 14: APOYOS ELASTICOS

La matriz de rigidez del conjunto es :

Page 15: APOYOS ELASTICOS

OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ POR SUPERPOSICIÓN

1 2 3

ka kb

1 2 3

ka kb

2= +

Page 16: APOYOS ELASTICOS

La matriz de rigidez del conjunto es

Page 17: APOYOS ELASTICOS

ESTRUCTURAS CON APOYOS ELASTICOS DEFORMABLES Y DESPLAZAMIENTOS EN LOS APOYOS

Las estructuras utilizadas en edificación pueden estar desplantadas sobre suelos deformables. En estos casos, la hipótesis de que sus apoyos están totalmente restringidos (empotramientos) es bastante cuestionable, y dependiendo de las rigideces relativas del suelo y de la cimentación con respecto a la estructura, en muchos casos se requerirán análisis más detallados donde se considere la posibilidad de que se deforme el suelo y/o la cimentación, que se presenten desplazamientos súbitos en el suelo y/o que exista una interacción entre el suelo, la cimentación y la estructura, sobre todo ante solicitaciones dinámicas (interacción suelo – estructura).

Page 18: APOYOS ELASTICOS

Interacción Suelo-Estructura

Se supondrá que la zapata (de concreto armado) es rígida en comparación con el suelo, el cual a su vez se adoptará como un material elástico con coeficiente de sub rasante (o módulo de Balasto) igual a "". El valor "" se obtiene al ensayar el suelo a compresión, empleando un plato estándar y se define como la presión (σ) necesaria de aplicar para producir un desplazamiento (a la altura del nivel de cimentación NC) unitario: .

Page 19: APOYOS ELASTICOS

La rigidez que ofrece el suelo al tratar de impedir la rotación (θ) de la zapata, se calcula como el momento (M) que proviene del eje de la columna, placa o muro de albañilería dividido entre esa rotación, obteniéndose . Dicha restricción se representa mediante un resorte helicoidal cuya constante es = , donde es el momento de inercia de la zapata. A continuación se deduce el valor , trabajando con una rotación unitaria, para esta deducción se ha supuesto que el suelo siempre trabaja a compresión, por el efecto combinado del momento y de la carga axial que baja por la columna.

Page 20: APOYOS ELASTICOS

De existir problemas por asentamiento diferencial, el efecto del suelo puede reemplazarse por un resorte vertical, cuya constante es , donde Az es el área en planta de la zapata, resorte que a su vez puede ser reemplazado por una barra equivalente que presente una rigidez axial igual a Kv, y una rigidez al giro igual a , tal como se muestra a continuación.

Page 21: APOYOS ELASTICOS

Cuando el suelo es de muy baja calidad se recurre a los pilotes de punta, hincados sobre un estrato firme, pero, si el estrato blando es muy profundo se utilizan pilotes que trabajan por fricción del suelo. Los pilotes de punta trabajan principalmente a carga axial, restringiendo la rotación de la zapata, efecto que se modela empleando un resorte helicoidal cuya constante es donde es el área axial del pilote.

Page 22: APOYOS ELASTICOS

Las estructuras utilizadas en edificación pueden estar desplantadas sobre suelos deformables. En estos casos, la hipótesis de que sus apoyos están totalmente restringidos (empotramientos) es bastante cuestionable, y dependiendo de las rigideces relativas del suelo y de la cimentación con respecto a la estructura, en muchos casos se requerirán análisis más detallados donde se considere la posibilidad de que se deforme el suelo y/o la cimentación, que se presenten desplazamientos súbitos en el suelo y/o que exista una interacción entre el suelo, la cimentación y la estructura, sobre todo ante solicitaciones dinámicas (interacción suelo-estructura).

DESPLAZAMIENTOS EN LOS APOYOS

Page 23: APOYOS ELASTICOS

INCLUSION DE DESPLAZAMIENTOS EN LOS APOYOS

Hasta el momento, nuestra formulación matricial con el método de las rigideces considera que las estructuras se encuentran soportadas en apoyos indeformables y que no se pueden desplazar o mover, por lo que la solución global del sistema está dada por:

cuando se considera que los apoyos tienen libertad de movimiento, la solución global del sistema está dada por el siguiente sistema de ecuaciones:

Page 24: APOYOS ELASTICOS

Donde {F} = {Fe} es el vector de fuerzas externas aplicadas en la estructura, {H} = {Fs} es el vector de fuerzas o reacciones en los apoyos, {u} = {ue} es el vector de desplazamientos en la estructura, {us} es el vector de desplazamientos en los apoyos, [K] = [Kee] es la matriz de rigidez asociada a los grados de libertad de la estructura exclusivamente, [Kss] es la matriz de rigidez asociada a los grados de libertad de los apoyos exclusivamente, y [KeS] y [Kse] son las matrices de rigidez del acoplamiento que existe entre los grados de libertad de la superestructura y los apoyos. El sistema se puede reescribir convenientemente como:

Page 25: APOYOS ELASTICOS

Si, en cambio, existen desplazamientos en los apoyos, estos deben considerarse. Supongamos que una estructura dada experimenta desplazamientos en los apoyos, de manera que {us} ≠ 0

INCLUSION DE APOYOS ELASTICOS DEFORMABLES

Las estructuras utilizadas en edificación pueden estar desplantadas sobre suelos deformables. Una de las maneras más sencillas de tomar en cuenta la deformabilidad del suelo es representarlo por medio de apoyos deformables, los cuales son en realidad resortes,cuyas constantes de rigidez dependen tanto del suelo como de la cimentación que se emplee.

Page 26: APOYOS ELASTICOS

Representación de la rigidez del suelo por medio de resortes elásticos

Page 27: APOYOS ELASTICOS

VIGAS SOBRE APOYOS ELASTICOSEn muchas estructuras la cimentación se apoya sobre suelos deformables que para fines prácticos pueden considerarse elásticos. Este es el caso de las denominadas zapatas corridas y contratrabes de cajones de cimentación, entre otras opciones de cimentación, se puede idealizar esta como una viga apoyada sobre soportes elásticos uniformemente distribuidos, como se ilustra en la figura:

Idealización de una viga desplantada sobre un suelo deformable

Page 28: APOYOS ELASTICOS

Los esfuerzos en la viga sobre soportes elásticos están relacionados con su propia deformación mientras que la distribución de presiones en la cimentación depende de la rigidez relativa entre el cimiento y el medio elástico que lo circunda.

El problema ha sido estudiado por muchos autores,que supone que el suelo se adhiere completamente a la viga, es decir que en todo momento existe contacto entre el suelo y la viga. En muchos casos esta premisa no se cumple, ya que en ocasiones el contacto entre el suelo y el cimiento se pierde en ciertas zonas como consecuencia de alguna condición de carga, como puede ser el caso de una carga normal de una gran magnitud excéntricamente aplicada sobre el cimiento, o ante cargas dinámicas alternadas, como puede ser la acción de un sismo.

En esta sección se presenta un método donde la cimentación se idealiza como una viga, pero además se permite la separación (perdida de contacto) entre el suelo y la cimentación cuando se desarrollan fuerzas normales de tensión sobre el cimiento, y la dimensión de las zonas donde se pierde el contacto se resuelve mediante un proceso iterativo.

VIGAS SOBRE APOYOS ELASTICOS

Page 29: APOYOS ELASTICOS

La ecuación diferencial del equilibrio de una viga sobre soportes elásticos está dada por:

Donde es la rigidez de flexión de la viga, es la fuerza axial de tensión, es el módulo de Winkler, es un segundo parámetro de la cimentación y es la carga normalmente aplicada sobre la cimentación.

Cuando se aplica una carga lineal normal q(x) en la superficie superior de la cimentación, esta se flexiona, de manera que la cimentación resiste esta acción con una reacción lineal p(x)

Page 30: APOYOS ELASTICOS

El modelo clásico supone que la cimentación responde exclusivamente con una reacción p(x) normal a la viga, por lo que esta reacción es directamente proporcional a la deformación de la viga, es decir:

En este modelo se supone que se tiene una línea de resortes elásticos uniformemente distribuidos, entre los cuales no existe interacción, por lo que no representa adecuadamente las características de algunas cimentaciones que son utilizadas en la práctica.

Por ello, varios autores han propuesto mejoras al modelo clásico adicionando un segundo parámetro que permite modelar la interacción entre los resortes, donde se precisa que, para fines prácticos todos los modelos son matemáticamente equivalentes y solo difieren en la definición del parámetro . Para todos estos modelos se tiene que:

Page 31: APOYOS ELASTICOS

Idealización del elemento viga bidimensional sobre apoyos elásticos

La matriz de rigidez del en coordenadas locales está dada por:

Donde es la matriz de rigidez convencional de un elemento viga, es la matriz de rigidez geométrica que involucra a la carga axial , es la matriz de rigidez asociada al segundo parámetro de la cimentación y es la matriz de rigidez de la cimentación de Winkler.

Page 32: APOYOS ELASTICOS