appendice a (matrici)

Appendice A. Elementi di Algebra Matriciale .................................................................................... 1 1.1 Definizioni ........................................................................................................................... 1

1.1.1 Matrice quadrata ......................................................................................................... 1 1.1.2 Matrice diagonale ........................................................................................................ 1 1.1.3 Matrice triangolare....................................................................................................... 2 1.1.4 Matrice riga e matrice colonna .................................................................................... 2 1.1.5 Matrice simmetrica e emisimmetrica ........................................................................... 2

1.2 Operazioni elementari su matrici ........................................................................................ 3 1.2.1 Uguaglianza ................................................................................................................ 3 1.2.2 Moltiplicazione per uno scalare ................................................................................... 3 1.2.3 Somma ........................................................................................................................ 3 1.2.4 Differenza .................................................................................................................... 4 1.2.5 Trasposta .................................................................................................................... 4 1.2.6 Decomposizione di una matrice quadrata nella somma di una matrice simmetrica ed una emisimmetrica..................................................................................................................... 4 1.2.7 Prodotto di matrici ....................................................................................................... 5

- Trasposta di prodotto ...................................................................................................... 7 - Prodotto di vettori ............................................................................................................ 7

1.2.8 Determinante di una matrice quadrata ........................................................................ 8 - Matrice di dimensione 2 .................................................................................................. 8 - Matrice di dimensione 3 .................................................................................................. 8 - Matrici diagonali e triangolari .......................................................................................... 9 - Propriet ......................................................................................................................... 9 - Esempi ............................................................................................................................ 9

1.2.9 Matrice singolare ....................................................................................................... 10 1.2.10 Minori di una matrice-................................................................................................ 10 1.2.11 Matrice inversa .......................................................................................................... 10

- Esempio ........................................................................................................................ 11 1.3 Sottomatrici....................................................................................................................... 13

1.3.1 Partizione di matrice.................................................................................................. 13 1.3.2 Operazioni su matrici partizionate ............................................................................. 13

- Somma.......................................................................................................................... 13 - Prodotto ........................................................................................................................ 14 - Prodotto di una matrice per un vettore Forma quadratica ........................................ 14 - Prodotto di una matrice per la sua trasposta ................................................................ 15

_________________________________________ Fondamenti di Statica prof.ssa Monica Pasca appendice_A

Appendice A. Elementi di Algebra Matriciale

1.1 Definizioni

Si definisce matrice un insieme di elementi, numerici ma non solo, ordinati secondo righe e colonne. Ciascun elemento della matrice individuato dalla posizione che assume nella riga e nella colonna di appartenenza, attraverso 2 indici; ad esempio, lelemento rappresenta un elemento appartenente alla riga i e alla colonna j della matrice che si indica con la lettera maiuscola in grassetto, A, o sottolineata A

ija

. Detto m il numero di righe e n il numero di colonne, la matrice A si dir di dimensioni (m x n).

Si indica come segue:

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

a a a aa a a aa a a a

=

A

1.1.1 Matrice quadrata

Se m = n, la matrice si definisce quadrata di ordine (n x n).

Gli elementi caratterizzati da indici uguali definiscono la diagonale principale della matrice A.

iia

La somma degli elementi appartenenti alla diagonale principale detta traccia della matrice A

1

n

iji

tr a=

= A

1.1.2 Matrice diagonale

In una matrice quadrata, se tutti gli elementi fuori diagonale principale sono nulli ( 0ija = per ), la matrice si dice diagonale. i j

11

22

0 0 00 00 0 00 0 0 nn

aa

a

=

A!"

Data una matrice diagonale, se risulta a i1ii = , con 0ija = per (ovvero i j ij ija = dove ij il simbolo di Kronecker), essa detta matrice identit o matrice unit di ordine n e si indica con I.

Una matrice i cui elementi sono tutti identicamente nulli

_________________________________________ Fondamenti di Statica prof.ssa Monica Pasca appendice_A 1/16

0 1, , 1,ija i m j= = = ,n

si dice matrice nulla di dimensioni (m x n) e si indica con O.

1.1.3 Matrice triangolare

Si definisce matrice triangolare alta una matrice quadrata i cui elementi posti al di sotto della diagonale principale sono tutti nulli. Viceversa, si dice triangolare bassa se sono uguali a zero tutti gli elementi al di sopra della diagonale principale.

11 12 13 14

22 23 24

33 34

44

00 00 0 0

a a a aa a a

a aa

11

21 22

31 32 33

41 42 43 44

0 0 00 0

0

aa aa a aa a a a

triangolare alta triangolare bassa

1.1.4 Matrice riga e matrice colonna

Per m = 1, A (1 x n) detta matrice riga. Per n = 1, A (m x 1) detta matrice riga o vettore colonna. Il termine vettore, cui in generale

viene associato una lettera minuscola in grassetto v o con sottolineatura v, sta ad indicare una matrice colonna. Tale nomenclatura si associa alla circostanza che un vettore geometrico v$ pu essere rappresentato ordinando per righe le sue componenti secondo gli assi coordinati

x x y y z zv v e v e v e= + +$ $ $ $

viene rappresentato anche come

x

y

z

vvv

=

v

1.1.5 Matrice simmetrica e emisimmetrica

Si definisce matrice simmetrica una matrice quadrata i cui elementi fuori diagonale risultano uguali

,ji ija a i j=

Si definisce matrice emisimmetrica (o antisimmetrica) una matrice quadrata i cui elementi fuori diagonale risultano opposti

,ji ija a i j=

Gli elementi appartenenti alla diagonale principali sono tutti nulli.


1.2 Operazioni elementari su matrici

1.2.1 Uguaglianza

Date due matrici A e B, queste si dicono uguali se e solo se sono dello stesso ordine (m x n) e risulta

1, , 1, ,ij ija b i m j= = = n

Loperazione di uguaglianza gode delle seguenti propriet:

Propriet transitiva

Se A = B e B = A, segue A = C

1.2.2 Moltiplicazione per uno scalare

Data una matrice A, si definisce prodotto di A per uno scalare , la matrice =B dello stesso ordine (m x n), i cui elementi risultano

A

n1, , 1, ,ij ijb a i m j= = =

Per 1 = , B definisce la matrice opposta della matrice A. = A

n

1.2.3 Somma

Date due matrici A e B, dello stesso ordine (m x n) , si definisce somma delle due matrici la matrice C = A + B, i cui elementi sono definiti come somma dei corrispondenti elementi di A e di B, ovvero

1, , 1, ,ij ij ijc a b i m j= + = =

La somma di matrici definita pertanto solo per matrici di uguali dimensioni.

Loperazione di somma gode delle seguenti propriet, analoghe a quelle di cui gode la somma di scalari:

Propriet commutativa

+ = +A B B A ovvero, in termini di elementi delle matrici

1, , 1, ,ij ij ij ija b b a i m j+ = + = = n

Propriet associativa

( ) ( )+ + = + + = + +A B C A B C A B C Propriet associativa, rispetto al prodotto per uno scalare

( ) + = +A B A B Propriet distributiva, rispetto al prodotto per uno scalare

( ) + = +A B A B


Loperazione di somma possiede inoltre lelemento neutro che costituito dalla matrice nulla O di dimensioni (m x n) opportune.

1.2.4 Differenza

Date due matrici A e B, dello stesso ordine (m x n) , si definisce differenza la somma di A e dellopposta di B, ovvero

( )1= = + C A B A B i cui elementi risultano pertanto

1, , 1, ,ij ij ijc a b i m j= = = n

n

1.2.5 Trasposta

Data una matrice A di dimensioni (m x n) , si definisce matrice trasposta di A e si indica con , la matrice di ordine (n x m) che si ottiene scambiando le righe con le colonne,ovvero

ove

TA=B TA

1, , 1, ,ij jib a i m j= = =

Esempio:

2 13 0

5 4

2 3 51 0 4

Si osservi che loperazione di trasposizione di una matrice trasposta riconduce alla matrice di partenza

( )TT =A A Nel caso di matrice simmetrica risulta T =A A

j, in quanto, per definizione di matrice

simmetrica risulta ,ji ija a i=

Nel caso di matrice emisimmetrica risulta invece T = A A .

1.2.6 Decomposizione di una matrice quadrata nella somma di una matrice simmetrica ed una emisimmetrica

Data una matrice quadrata A di ordine (n x n), la si pu sempre scrivere come somma di una matrice simmetrica ed una emisimmetrica cos definite:

Sym =S A ( )12ij ij jis a a= +

Skew =E A ( )12ij ij jie a a= e tali che risulti


S + E = A

Al fine di verificare la validit di tale affermazione si scriva:

( ) ( )1 12 2ij ij ij ji ij ji ijs e a a a a a+ = + + =

( ) ( )1 12 2ij ij ji ji ij jis a a a a= + = + = s

( ) ( )1 12 2ij ij ji ji ij jie a a a a= = = e

)

.Le matrici S ed E si dicono rispettivamente parte simmetrica di A e parte emisimmetrica di A.

1.2.7 Prodotto di matrici

Date una matrici A di dimensione ( xA Am n ed una matrice B di dimensione , si definisce prodotto delle due matrici, la matrice

( xB Bm n )= BC A i cui elementi sono dati dalla somma dei

prodotti degli elementi della i-esima riga per i corrispondenti elementi delle j-esima colonna

1

An

ij ih hjh

c a=

= b

Stante la definizione stessa, il prodotto di due matrici definito se e solo se il numero di colonne della prima matrice eguaglia il numero di righe della seconda, ovvero A Bn m= .

La matrice prodotto sar di dimensioni ( x )A Bm n

Si osservi pertanto che le dimensioni della matrice prodotto si possono individuare dalle dimensioni esterne, avendo scritto

=A B C ( x ) ( x )A A B Bm n m n dove A Bn m=

Esempio:

1 50 21 1

=

A 3 4 0 51 2 1 2

=

B

(3x 2) (2 x 4)

=A B C (3x 2) (2 x 4) (3x 4)

Sviluppando ciascun prodotto:

11 11 11 12 21 1 3 5 ( 1) 2c a b a b= + = + = 12 11 12 12 22 1 4 5 2 14c a b a b= + = + =

13 11 13 12 23 1 0 5 1 5c a b a b= + = + = 14 11 14 12 24 1 5 5 ( 2) 5c a b a b= + = + =


21 21 11 22 21 0 3 2 ( 1) 2c a b a b= + = + = 22 21 12 22 22 0 4 2 2 4c a b a b= + = + =

23 21 13 22 23 0 0 2 1 2c a b a b= + = + = 24 21 14 22 24 0 5 2 ( 2) 4c a b a b= + = + =

31 31 11 32 21 1 3 1 ( 1) 4c a b a b= + = + = 32 31 12 32 22 1 4 1 2 2c a b a b= + = + =

33 31 13 32 23 1 0 1 1 1c a b a b= + = + = 44 41 14 42 24 1 5 1 ( 2) 7c a b a b= + = + =

si ottiene:

2 14 5 52 4 2 44 2 1 7

=

C

Date due matrici qualsiasi, il prodotto tra matrici non in genere definito, a meno che non risulti A Bn m= .

Il prodotto tra matrici non gode della propriet commutativa, anzi, in genere, dato il prodotto , non risulta nemmeno definito, in quanto, mentre lesistenza del prodotto implica

la relazione A B B A A B

A Bn m= , nulla detto di un eventuale legame tra e Bn Am , ed in genere risulta B An m

Infatti implica A B ( x ) ( xA A B Bm n m n=

)% &

mentre implica B A ( x ) ( xB B A Am n m n=

)% &

Anche qualora risultasse e pertanto esistesse Bn m= A B A , in generale sar , addirittura in dimensioni.

A B B A

Esempio:

1 0 13 1 4

=

A

1 32 23 1

=

B

(2 x 3) (3x 2)

2 2

17 15

=

A B10 3 118 2 66 1 1

=

B A

(2 x 2) (3x 3)

Esempio:

1 12 3

=

A

0 12 1

=

B

(2 x 2) (2 x 2)


2 26 1

=

A B2 30 5

=

B A

(2 x 2) (2 x 2)

A B B A

Risulta pertanto rilevante lordine in cui viene operato il prodotto e pertanto si parla di pre-moltiplicare o post-moltiplicare per individuare la posizione della matrice per la quale si vuole moltiplicare una matrice data.

Se risulta le matrici si dicono permutabili. Questo accade solo se le matrici sono quadrate e per casi particolari, quale il caso di matrici entrambi diagonali (il cui prodotto ancora una matrice diagonale i cui elementi sono in particolare i prodotti degli elementi lungo le corrispondenti diagonali principali, e

= A B B A

ii ii iic a b= 0ijc i j= ), la moltiplicazione di una generica matrice quadrata ( x per una matrice identit (ovviamente di ordine n, altrimenti il prodotto non sarebbe definito) e per una matrice nulla, anchessa di ordine .

)n n( x )n n

La matrice identit XX e la matrice nulla O costituiscono lelemento neutro e lo zero per loperazione di moltiplicazione.

nI nn

Il prodotto tra matrici gode delle seguenti propriet:

propriet distributiva rispetto alla somma

( )+ = + A B C A C B C

( ) + = + A B C A B A C propriet associativa rispetto alla somma

( ) + = + A C B C A B C

( ) + = +A B A C A B C propriet distributiva

( ) = A B C A B C propriet associativa

( ) = A B C A B C

- Trasposta di prodotto

Loperazione di trasposta di un prodotto di matrice fornisce

( )T T T = A B B A

- Prodotto di vettori

Un caso interessante il prodotto tra 2 vettori che si definisce come prodotto del trasposto del primo per il secondo


T T= =c a b a b

Si osservi che il risultato uno scalare e la precedente espressione corrisponde alla scrittura in termini matriciali del prodotto scalare di due vettori.

Se si indica con il vettore contenente le componenti del versore della retta r, si pu scrivere la componente di v secondo r come

rn

rvre$

$

T Tr r rv = =v n n v

avendo in precedenza scritto

r r rv v e e v= = $ $ $ $

1.2.8 Determinante di una matrice quadrata

Ad ogni matrice quadrata A possibile associare una quantit scalare (un numero), che viene indicato con oppure con det A A , determinata come

1det A

n

ij ijj

a=

= A

(dove i indica aver scelto la i esima riga per lo sviluppo del determinante), somma dei prodotti degli elementi della i esima riga (o j-esima colonna) per i corrispondenti completamenti

algebrici . ija

Aij

Il complemento algebrico dellelemento dato dal determinante di ordine n-1 della matrice, che chiameremo , ottenuta eliminando la riga i-esima e la colonna j-esima individuate

dallelemento , moltiplicato per

Aij ija

ijA

ija ( 1)i j+ , ovvero per + 1 se la somma degli indici pari e per (-1)

se la somma degli indici dispari:

( )i+jA -1 det ij ij= A

- Matrice di dimensione 2

Un caso particolare di calcolo di determinante si ha per n = 2. In tal caso, il determinante si calcola sommando il prodotto degli elementi posti sulla diagonale principale meno il prodotto dei due rimanenti elementi:

11 12

21 22

a aa a

=

A 11 22 12 21det a a a a= A

- Matrice di dimensione 3

Nel caso di matrice di dimensione 3,

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

=

A


il determinante pu essere calcolato sommando i prodotti delle diagonali a 3 elementi che si ottengono da sinistra a destra, immaginando di affiancare alla matrice A, le prime due colonne della matrice stessa e sottraendo i prodotti che si ottengono considerando le diagonali da destra a sinistra (regola di Sarrus)

11 12 13 11 12

21 22 23 21 22

31 32 33 31 321

a a a a aa a a a aa a a a a

=

A

11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33det a a a a a a a a a a a a a a a a a a= + + A

- Matrici diagonali e triangolari

Il determinante di una matrice diagonale o di una matrice triangolare (alta o bassa) dato dal prodotto degli elementi appartenenti alla diagonale principale.

- Propriet

Il determinante gode delle seguenti propriet:

Se A ha due righe (o colonne) uguali, oppure una riga (o colonna) di zero, allora det 0=A . Il determinante della somma di due matrici uguale alla somma dei determinanti:

det ( ) det ( ) det ( )+ = +A B A B

Se la matrice ottenuta da A scambiando di posto due colonne o due righe, allora 'Adet ' det=A A

Il determinante di una matrice trasposta uguale al determinante della matrice di partenza

Il determinante di una matrice trasposta uguale al determinante della matrice di partenza Tdet det=A A

Il determinante non cambia se in A sommiamo ad una riga (o ad una colonna) una combinazione lineari delle altre righe (o colonne)

Il determinante del prodotto di due matrici uguale al prodotto dei determinanti:

det ( ) det ( ) det ( ) = A B A B

Il determinante del prodotto di una matrice in cui una riga moltiplicata per uno scalare uguale al prodotto dello scalare per il determinante della matrice

11 1 11 1

1 1

1 1

det det

n n

i in i

m mn m

a a a

a a a

a a a

=

! !! ! ! ! ! !

! !! ! ! ! ! !

! !

in

mn

a

a

a

- Esempi

Matrice di dimensione 2


1 23 1

=

A det 1 ( 1) 2 3 7= = A

Matrice di dimensione 3

2 3 11 0 4

5 1 2

=

A

Questo determinante pu essere calcolato o attraverso la regola di Sarrus

det 2 0 ( 2) 3 4 5 1 ( 1) 1 1 0 5 2 4 1 3 ( 1) 2 45= + + =A

o attraverso la sua definizione

0 4 1 4 1 0det 2 3 1 2 (0 4) 3 (2 20) 1 ( 1 0) 45

1 2 5 2 5 1

= + = + =

A

In questo secondo caso, poteva risultare pi conveniente scegliere di sviluppare secondo la 2a riga invece che secondo la 1a, evitando cos il calcolo di un minore in quanto moltiplicato per 0:

3 1 2 1 2 3det ( 1) 0 4 1 ( 6 1) 4 (2 15) 45

1 2 5 2 5 1= + = =

A

1.2.9 Matrice singolare

Una matrice si dice singolare se ha determinante nullo

det 0=A

1.2.10 Minori di una matrice-

Si definiscono minori di ordine p di una matrice A di generiche dimensioni (m x n) i determinanti delle matrici di ordine min( , )p m n che possibile estrarre dalla matrice A.

Un minore si dice principale se estratto sulla diagonale principale.

Si definisce rango di una matrice lordine pi elevato in corrispondenza del quale la matrice possiede almeno un minore non nullo.

Una matrice non singolare di ordine n si dice avere rango massimo pari ad n. Una matrice quadrata si dice definita positiva se det e risultano maggiori di zero tutti i

minori principali. 0>A

1.2.11 Matrice inversa

Si definisce inversa di una matrice quadrata A, e si indica con 1A quella matrice tale che moltiplicata per la matrice di partenza fornisce la matrice identit.

1 1 = =A A A A I

Si osservi che una matrice quadrata e la sua inversa sono permutabili. A


La matrice inversa data pertanto da

111

1

1

n

n n

AA

A A

n

=

A AA

A A

!

' " '

!

con gli elementi ij della matrice inversa sono definiti dalla seguente relazione

detji

ij

A =

A

dove gli elementi sono i complementi algebrici dellelemento ( )i+jA -1 det ij ij= A ij .

Si osservi che la matrice inversa definita se solo se la matrice A quadrata e non singolare. Linversa di una matrice diagonale ancora una matrice diagonale i cui elementi sono gli

inversi dei corrispondenti elementi :

detii

iiA =

A

Linversa di una matrice triangolare alta (o bassa) data da una matrice triangolare alta (o bassa) data da una matrice triangolare bassa (o alta) i cui elementi sono gli inversi degli elementi della diagonale principale della matrice data.

Risulta inoltre

Linversa di una matrice inversa fornisce la matrice di partenza

( ) 11 =A A La inversa di un prodotto di due matrici pari al prodotto delle matrici inverse scambiate di

posto

( ) 1 1 1 = A B B A La inversa di una trasposta pari alla trasposta dellinversa

( ) ( )1 TT 1 = =A A -TA Una matrice tale che la trasposta sia uguale allinversa si dice ortogonale

T =A A I T 1=A A

- Esempio

Calcolare la matrice inversa di


1 23 1

=

A

Si calcoli il determinante di : A det 1 ( 1) 2 ( 3) 5= =A

Poich tale determinante risulta diverso da zero possibile calcolare la matrice inversa.

Determiniamo i complementi algebrici:

( )( ) ( )( )1 1 1 111 11 221 det 1A a+ += = = A 1

3

2

1

( )( ) ( )( )1 2 1 212 12 211 det 1A a+ += = =A

( )( ) ( )( )2 1 2 121 21 121 det 1A a+ += = = A

( )( ) ( )( )2 2 2 222 22 111 det 1A a+ += = =A

Conseguentemente gli elementi della matrice inversa risultano

1111

1det 5

A = = A

2112

2det 5

A = = A

1221

3det 5

A = =A

2222

1det 5

A = =A

La matrice inversa risulta pertanto

1

1 25 5

3 15 5

=

A

Per verifica sviluppiamo il prodotto

1

1 21 2 1 05 53 1 3 1 0 1

5 5

= =

A A


1.3 Sottomatrici Data una matrice A di dimensioni (m x n), si dice sottomatrice di dimensioni (r x s), una

matrice ottenuta da quella di partenza estraendo gli elementi appartenenti contemporaneamente alle r righe ed s colonne di A.

Ad esempio, se dalla matrice A estraiamo gli elementi appartenenti contemporaneamente alla 1a e 3 a riga ed alla 2a e 4 a colonna otteniamo la matrice B

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

51 52 53 54

a a a aa a a aa a a aa a a aa a a a

=

A 12 1432 34

a aB

a a

=

1.3.1 Partizione di matrice

Data una matrice A di dimensioni (m x n), si definisce partizione la suddivisione della matrice data in sottomatrici, o come si usa dire a blocchi. Le sottomatrici vengono indicate con la medesima simbologia delle matrici, cui vengono apposti indici di riga e colonna ad indicare la posizione della sottomatrice allinterno della matrice di partenza.

11 1 1, 1 1

21 2

1 , 1

1.1 1, 1, 1 1,

1 , 1

s s n

s

r rs r s

r r s r s

m ms m s

a a aa a

a a aa a a a

a a a

+

+

+ + + +

+

=

A

!! !' '

' ' '!! !!! !

' ' '!! !

,

,

r n

r n

m n

a

a

a

+

'

'

}}

( (

11 12

21 22

righe

righe

colonne colonne

r

m r

s n s

=

A AA

A A

1.3.2 Operazioni su matrici partizionate

- Somma

Sia data la somma di due matrici C = A + B. Data A partizionata secondo r righe ed s colonne, la somma delle due matrici, per definizione di somma, delle medesime dimensioni pu essere scritta come

11 11 12 12

21 21 22 22

+ + + = + +

A B A BA B

A B A B

dove B stata partizionata in sottomatrici delle medesime dimensioni delle sottomatrici di A. La somma pertanto definita considerando le singole sottomatrici alla stregua di elementi.


- Prodotto

Analogamente pu essere scritto il prodotto di due matrici A e B di dimensioni opportune, (mA x nA) ed (mB x nB) con nA = mB, ove, una volta definita la partizione su A , la matrice B venga partizionata opportunamente

( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( )

11 12 11 12

A B

A A B B 21 22 21 22

A A A A A B

x x x x x x

x x x x

r s r n s s q s n qm n m n

m r s m r n s n s q n s n q

= =

A A B BA B

A A B B

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( )( )

11 11 12 21 11 12 12 22

B

A B21 11 22 21 21 21 22 22

A A B

x x x

x x

r q r n qm n

m r q m r n q

+ + = = + +

A B A B A B A BC

A B A B A B A B

Il prodotto in termini di sottomatrici si scrive formalmente considerando le singole sottomatrici quali elementi della matrice stessa.

- Prodotto di una matrice per un vettore Forma quadratica

Data una matrice A (m x n) ed un vettore x (n x 1), il prodotto A x un vettore y di ordine m, i cui elementi si esprimono come:

1

n

i ijj

y a=

= jx 1, ,i m=

Se A una matrice quadrata (n x n), e c un secondo vettore, anchesso di ordine n il prodotto c A fornisce uno scalare T x

T

1 1

n n

i ij ji j

c a x= =

= c A x

In generale, , in quanto T Tc A x x Ac

( ) ( )T TT T T= = =x Ac x Ac Ac x c A xT e pertanto c A , se e solo se , ovvero se la matrice A simmetrica. T T=x x Ac T=A A

In particolare si definisce forma quadratica il prodotto T=F x A x

ovvero, il polimonio omogeneo



i j( )11 1

, ,n n

n iji j

x x a= =

= F x x

La matrice A viene detta matrice della forma quadratica.

- Prodotto di una matrice per la sua trasposta

Data una matrice A di dimensioni (m x n), il prodotto una matrice quadrata simmetrica. Infatti risulta

TA A

( ) ( )T TT T T= =A A A A A AT

Appendice A. Elementi di Algebra MatricialeDefinizioniMatrice quadrataMatrice diagonaleMatrice triangolareMatrice riga e matrice colonnaMatrice simmetrica e emisimmetrica

Operazioni elementari su matriciUguaglianzaMoltiplicazione per uno scalareSommaDifferenzaTraspostaDecomposizione di una matrice quadrata nella somma di una matrice simmetrica ed una emisimmetricaProdotto di matriciDeterminante di una matrice quadrataMatrice singolareMinori di una matrice-Matrice inversa

SottomatriciPartizione di matriceOperazioni su matrici partizionate

appendice a (matrici)

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