applications de la proportionnalité - académie de grenoble · passée de 19,6% à 5,5%, en france...
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Applications de la
proportionnalité
G.Martiel-2014
Longueur du cercle
1) Expérimentation
- Mesure du diamètre
- Mesure du périmètre
Tableau des résultats
G.Martiel-2014
Longueur du cercle2) Questions à poser aux élèves:
Si le diamètre est de 16 cm , quel sera
le périmètre ?
Si le périmètre est de 60 cm, quel est le
diamètre?
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Réponses possibles:
Faire un graphique pour voir
Supposer un proportionnalité et regarder si la
linéarité est vérifiée, puis déduire.
Une expérience
G.Martiel-2014
Une expérience
• Par deux ou trois:
Prendre une petite boîte.
Prendre une ficelle qui mesure:
le périmètre de la petite boîte + 1 mètre
Faire un cercle avec cette ficelle autour de la
boîte.
Quelle est la distance entre l’extérieur de la
boîte et la ficelle?
G.Martiel-2014
Une expérience
• Par deux ou trois:
Prendre une petite boîte.
Prendre une ficelle qui mesure:
le périmètre de la petite boîte + 1 mètre
Faire un cercle avec cette ficelle autour de la boîte.
A quelle distance de la boîte se situe ce cercle.
Mise en commun.
Constatation.
Pourquoi?
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En poussant l’idée à l’extrême• Vous prenez une balle de ping pong, dont le diamètre
fait 4 centimètres.
A l'aide d'une ficelle, vous vous en faites exactement le
tour. Vous ajoutez un mètre à votre bout de ficelle, et
vous écartez le tout pour former un nouveau cercle
parfait centré sur votre balle.
schéma
• De quelle distance la ficelle s'écarte-t-elle de la balle ?
G.Martiel-2014
En poussant l’idée à l’extrême
2/ Imaginons maintenant que vous puissiez faire le tour de la Terre à l'équateur avec une ficelle. On suppose que la Terre est parfaitement ronde le long de la ligne d'équateur, et on prendra un diamètre de 12 756 km. Vous ajoutez un mètre à votre ficelle, vous écartez le tout pour que ça fasse un cercle parfait centré sur la terre.
De quelle distance votre ficelle s'écarte-t-elle de la surface de la Terre ?
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La boîte à problème
• Dans cette bande de papier: 30 cm X 10 cm,
Construire une boîte à crayons cylindrique de hauteur 10 cm .(sans couvercle ).
pas de couvercle
fond
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La boîte à problème
• Dans cette bande de papier: 30 cm X 10 cm,
Construire la plus grande boîte à crayons cylindrique de hauteur 10 cm, possible (sans couvercle ).
pas de couvercle
fond
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La boîte à problème
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La boîte à problème
1) Faire des essais et constater que l’on a échoué:
Rayon 5 cm; on ne peut fermer la boîte.
Rayon plus petit et corps obtenu en faisant rouler le disque: il reste de la place.
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La boîte à problème
2) Arriver à la conclusion L+D=30
L D
3) Besoin de calculer L en fonction de D
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La boîte à problème
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La boîte à problème
Si les élèves ne connaissent pas la longueur du cercle
- On mesure sur différents cylindres (boîtes de conserve), le diamètre et le rayon. Attention aux mesures de diamètres,
c’est l’occasion de rappeler que c’est la plus grande corde.
- On fait un tableau. Puis on le reconnait comme tableau de proportionnalité.
- Le professeur introduit π et la longueur du cercle .
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La boîte à problème
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La boîte à problème
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La boîte à problème
Si les élèves connaissent la longueur du cercle:
- On constate que D+ π D doit être égal à 30.
- On fait des tableaux
D L=π D D+L conclusion
10 31 41 Trop grand
5 15,5 20,5 Trop petit
7 22 29 Trop petit
… … … ….
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La boîte à problème
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La boîte à problème
- Résolution
- Par tâtonnement
- Par graphique: on trace D en abscisse et D+L
en ordonnée.
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La boîte à problème
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Monter une séquence sur la
proportionnalité pour votre classe
Plan de séquence;
Choix des problèmes et activités;
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Agrandissement et réduction de
figures planes
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Agrandies? Réduites?
Extraits des documents d’application Cycle 3
« Géométrie »
• Les mots « agrandir » et « réduire» ont, en géométrie, un sens particulier (différent de celui qu’ils ont souvent dans le langage courant) : ils impliquent la conservation
- des angles, - du parallélisme,- de la perpendicularité, - des milieux - la proportionnalité des longueurs des côtés qui se
correspondent.
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La puzzle de Brousseau
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Le puzzle de Brousseau
1) Reconstituer un puzzle à partir des 6 pièces
distribuées
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Le puzzle de Brousseau
2) Fabriquer un autre puzzle, plus grand, tel que
le côté qui mesure 4 cm sur celui-ci doit mesurer 7 cm sur le nouveau puzzle.
Chaque personne agrandit une ou deux pièces.
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Le puzzle de Brousseau
3) Reconstituer un puzzle à partir des 6 pièces
construites
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Le puzzle de Brousseau
Agrandir le puzzle : 4cm 7 cm
Ancien puzzle (en cm) 4 2 6 1 5 7 9
Nouveau puzzle (en cm) 7 3,5 10,5 1,75 8,75 12,25 15,75
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Le puzzle de Brousseau
• D’après vous:
- Utilité didactique du puzzle de Brousseau?
- Quelles procédures erronées amène-t-il ?
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Le puzzle de Brousseau
• Essayer un puzzle en ajoutant 3
• Essayer un puzzle en faisant « fois 2 , puis
moins 1 »
• Que se passe-t-il lors de la reconstitution du
puzzle
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Le puzzle de Brousseau
• Un peu complexe pour des élèves de l’école
élémentaire.
• D’autres manuels ont proposé des variantes.
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Le puzzle de Brousseau
• Variante dans EURO-MATHS CM2
• 4cm 6 cm
2 cm 6 cm
2cm
8 cm
4cm
6 cm
2cm2cmG.Martiel-2014
Le puzzle de Brousseau
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Vous devez faire un agrandissement de votre puzzle de manière à ce que.
4 cm sur le petit puzzle correspondent à 6cm sur le puzzle agrandi.
Variante ERMEL CM2
4cm 6 cm
A 4 cm 4 cm
B 2 cm 6 cm
C 2 cm 4 cm
D 6 cm 10 cm
E 4 cm 16 cm
Le puzzle
• Erreur possible des élèves avec le puzzle
d’Euro-Maths ou celui d’ERMEL.
Ajouter 2 à chaque dimension.
Fabriquer les pièces de l’un de ces puzzle en
ajoutant 2.
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G.Martiel-2014
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Agrandissement réduction
Trace écrite
Quand on réduit ou quand on agrandit une figure, les
longueurs de la nouvelle figure sont proportionnelles
aux longueurs du modèle
Exemple: la longueur LM du modèle était de 4cm, sa longueur dans le
nouveau modèle est de 6cm
La longueur AD du modèle mesure 8cm donc sa longueur dans le nouveau
modèle est de 12 cm
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Agrandissement réduction
Exercices de reconnaissance
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Agrandissement réduction
exercices avec agrandissement donné
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Agrandissement réduction
Exercice de réinvestissement
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Sources
• Petit Phare CM2 de chez Hachette Education (pour les traces écrites et exercices)
• CAP MATH CM1 et CM2 Hatier (exercices et bilans)
• Euro maths CM2 Hatier (pour les agrandissements de figures)
• Diagonale CM2 Nathan (pour les pourcentages)
Echelles
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Echelles
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Grossissement : 25.000 X
Une bactérie: grossissement
Introduction par une situation concrète
• Faire mesurer la longueur et la largeur de la
classe, la largeur des fenêtres et de la ou les
portes ainsi que leur emplacement par rapport au
tour de la classe (ne pas introduire, dans un
premier temps, les tables et les armoires).
• Puis demander aux élèves de faire, à main levée,
une représentation du plan de la classe en
plaçant les portes et fenêtres et en y notant les
mesures prises réellement.
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Introduction par une situation concrète
• Se mettre d’accord ensuite sur une échelle simple: 1 mètre est représenté par 1 cm. On peut aussi dire: 1/100
• Faire ensuite calculer les mesures sur le plan que devront avoir les différents éléments mesurés.
• Faire un plan de la classe : la salle, les fenêtres, les portes, à l’échelle choisie.
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G.Martiel-2014
Echelles
G.Martiel-2014
Echelles
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Echelles
Trace écrite:
Sur une carte à l’échelle, les longueurs sur la
carte sont proportionnelles aux longueurs
réelles.
Exemple:
Sur une carte à l’échelle, une longueur réelle de 4 km est
représentée par 2 cm
Une longueur de 2 km est donc représentée par 1 cm.
Une longueur de 1 km est représentée par 0,5cm
Echelles
Observe cette voiture.
• Sur cette représentation ; la voiture a-t-elle la même taille qu’une voiture réelle ?
• Que signifie « échelle 1/43 » ?
• Peux-tu établir un lien entre les mesures des longueurs de la représentation et les mesures des longueurs de la voiture réelle ?
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Echelle : 1/43
Echelles
• Sur cette représentation ; la coccinelle a-t-elle la même taille qu’une coccinelle réelle ?
• Que signifie « échelle 7/1 » ?
• Peux-tu établir un lien entre les mesures des longueurs de la représentation et les mesures des longueurs d’une coccinelle réelle ?
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Echelle : 7/1
Echelles
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Echelles
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L’échelle est le rapport entre les mesures sur le
plan d’un objet et ses mesures réelles, exprimées
dans la même unité.
1/43 signifie que 1cm sur le papier représente 43
cm en réalité
1/200 000 signifie que 1 cm sur le papier
représente 200 000 cm=2 km en réalité.
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Echelles
Exercices.
1) Sur une carte à l’échelle, une distance réelle de 4 km est représentée par une longueur de 2cm. Par quelle longueur est représentée une longueur réelle de 5,6 km?
2) Sur une carte à l’échelle, une longueur réelle de 150 km est représentée par une longueur de 6 cm. Quelle longueur réelle est représentée par une longueur de 8,4 cm sur la carte?
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Echelles
Exercices.
3) Par quelle mesure représentera-t-on à l’échelle 1/1 500 un bâtiment qui a une hauteur dans la réalité 210 m ?
4) Quelle est la mesure réelle d’une distance représentée sur le plan par un segment de 3,8 cm si l’échelle est 1/1200 ?
5) Un monument a une hauteur réelle de 60 m et sur un plan a une hauteur de 2 cm. Quelle est l’échelle utilisée ?
Ne pas oublier les échelles dans les
graphiques
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Dessins gradués
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Pourcentages
G.Martiel-2014
Un exercice du CRPE
Le 1er juillet 2009, la TVA dans la restauration est
passée de 19,6% à 5,5%, en France métropolitaine.
Au 30 juin 2009, un restaurateur d’une ville de
France, proposait un menu « dégustation » à ses
clients pour un prix de 35€.
Au 1er juillet 2009, ce même restaurateur indique
qu’il passe le prix de son menu « dégustation » de
35€ à 33 € en raison de la baisse de la TVA.
A t-il répercuté la baisse de la TVA?
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Un exercice du CRPE
Le 1er juillet 2009, la TVA dans la restauration est passée de 19,6% à 5,5%, en France métropolitaine.
Au 30 juin 2009, un restaurateur d’une ville de France, proposait un menu « dégustation » à ses clients pour un prix de 35€.
Au 1er juillet 2009, ce même restaurateur indique qu’il passe le prix de son menu « dégustation » de 35€ à 33 € en raison de la baisse de la TVA.
S’il avait répercuté la baisse de la TVA, quel serait le prix du menu « dégustation »?
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G.Martiel-2014
Difficultés des élèves
• Les notions n’utilisent qu’une seule grandeur: euros du prix et euros de la réduction. Cela rend plus difficile les raisonnements de proportionnalité sur les pourcentages et les échelles.
• La connaissance des nombres, des multiples de nombres comme 20, 25 est essentielle et peut être une difficulté
• Les calculs sont souvent avec des nombres qui ne sont pas entiers: les élèves ne sont pas très à l’aise sur les décimaux.
Quels types d’exercices dans les
manuels ?
Sur les pourcentages.
Relever les différents types de
questions.
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Pourcentages
Attention :
1) Bien passer par la compréhension de la
signification, avant de calculer.
2) Les manuels scolaires, passent trop vite à des
augmentations et des diminutions de
pourcentages, avec peu de calculs du
pourcentage d’une quantité.
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Pourcentages:
introduction pour les élèves
Fiche Harry-Potter : à faire
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Pourcentages
Objectif: comprendre l’utilité du pourcentage pour
comparer des proportions
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Comparaisons
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Comparaisons
Résolution pour Ron:
Miel 25 g
Potion 200g 100g
Pour 100g de potion, deux fois mois que pour 200g. Donc 12,5g de miel.
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Pourcentages, liens avec les fractions
Lien entre certains pourcentages et les fractions:
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Pourcentages
Trace écrite: il y a 18 grammes de miel pour 100g de potion d’HP.
On dit qu’il y a « 18 pour cent » de miel dans la potion.
On l’écrit: 18%
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Pourcentages : autre comparaison
Autre exercice: Il y a 25 élèves dans la classe A dont 14 filles.
Dans la classe B il y a 20 élèves et 13 filles.
Dans quelle classe la proportion de filles est-elle la plus
grande?
Résolution: On ramène à 100 pour comparer.
14 filles pour 25 enfants donc pour 100 enfants 4 fois plus de
filles, c’est-à-dire 14x4=56 filles. Il y a 56% de filles dans la
classe A
13 filles pour 20 élèves donc pour 100 élèves 5 fois plus donc
13x5= 65 élèves. Il y a 65% de filles dans la classe B.
On a utilisé la linéarité multiplicative
La proportion de files est plus grande dans la classe B.
Comparaisons
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Comparaisons
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Fiches de l’EN
• http://www.banqoutils.education.gouv.fr/fic/C3MIGRT09.pdf
• http://www.banqoutils.education.gouv.fr/fic/C3MIGST01.pdf
• http://www.banqoutils.education.gouv.fr/fic/C3MRXCL02.pdf
Faire ces fiches d’exercices et en déduire un plan pour
l’enseignement des pourcentages.
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Pourcentages
Plan d’enseignement:
1) Des exercices de comparaison où l’on doit se ramener à 100 pour comparer.
2) Des exercices de compréhension d’un pourcentage. Lien avec demi, quart …
3) Des calculs d’un pourcentage d’une quantité.
4) Des calculs de montant de l’augmentation ou de la diminution.
5) Des calculs de montant augmenté ou diminué.
6) Des calculs du pourcentage quand on a une proportion.
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Pourcentages
Objectif: pratiquer la recherche d’un pourcentage
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Pourcentages
Objectif:
appliquer un pourcentage, en utilisant la proportionnalité
Exercice d’introduction: dans l’école, il y a 200 élèves et
68% des élèves aiment les aventures de Harry Potter.
Combien d ’élèves aiment les aventures d’Harry Potter?Résolution:
Aiment HP
68
sur 100 200
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Pourcentages
Pour appliquer un pourcentage, on utilise la proportionnalité
Trace écrite: 68% des élèves aiment HP signifie que
sur 100 élèves, 68 aiment HP
sur 200 élèves, 2 fois plus donc 136 aiment HP.
sur 50 élèves , 2 fois moins donc 34 aiment HP
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Pourcentages
Objectif: appliquer un pourcentage,exercices d’entraînement
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Pourcentages
Prix 100 25 20 35 10 180
Remise 20 5 4 5+2 2 20+4+4+4+4
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Pourcentages
Quantité 100 1litre 5kg 100g
En plus 25 0,25litre
25:20 25g
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Pourcentages
Objectif : Résoudre des problèmes plus complexes avec augmentation ou diminution
d’un certain pourcentage
Vitesses
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Un exercice de CRPE
• Un cycliste monte un col à une vitesse de
15km/h et le descend par le même chemin à
une vitesse de 30km/h.
• Quelle est sa vitesse moyenne?
G.Martiel-2014
Un exercice de CRPE• Un cycliste monte un col à une vitesse de 15km/h et le descend par
le même chemin à une vitesse de 30km/h.
• Quelle est sa vitesse moyenne?
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Montée du col
Distance (en km) 15 d
Temps (en h) 1 d/15
Descente du col
Distance (en km) 30 d
Temps (en h) 1 d/30
Trajet total
Distance (en km) 2d 2 20
Temps (en h) d/15 + d/30 1/15+1/30=3/30=1/10 1
: d X 10
Quelques travaux d’élèves
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Travaux d’élèvesPetit X N°90 Arnaud Simard
Un train roule à la vitesse de 120 km par heure. Combien de kilomètres le train parcourt-il en 2heures et demie?
Peut-on trouver la réponse?
Si NON, pourquoi? Si OUI, quelle est la réponse?
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Travaux d’élèvesPetit X N°90 Arnaud Simard
Un train roule à la vitesse de 120 km par heure. Combien de kilomètres le train parcourt-il en 2heures et demie?
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Vitesse moyenne pas comprise.
Travaux d’élèvesPetit X N°90 Arnaud Simard
Un train roule à la vitesse de 120 km par heure. Combien de kilomètres le train parcourt-il en 2heures et demie?
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Retour à l’unité sans le dire.
Travaux d’élèvesPetit X N°90 Arnaud Simard
Un train roule à la vitesse de 120 km par heure. Combien de kilomètres le train parcourt-il en 2heures et demie?
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Linéarité sans le dire.
Travaux d’élèvesPetit X N°90 Arnaud Simard
Un train roule à la vitesse de 120 km par heure. Combien de kilomètres le train parcourt-il en 2heures et demie?
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Coefficient de proportionnalité
Travaux d’élèvesPetit X N°90 Arnaud Simard
Un train roule à la vitesse de 120 km par heure. Combien de kilomètres le train parcourt-il en 2heures et demie?
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Retour à l’unité sans le dire.
Travaux d’élèvesPetit X N°90 Arnaud Simard
Un train roule à la vitesse de 120 km par heure. Combien de kilomètres le train parcourt-il en 2heures et demie?
G.Martiel-2014
Linéarité.
Travaux d’élèvesPetit X N°90 Arnaud Simard
Un train roule à la vitesse de 120 km par heure. Combien de kilomètres le train parcourt-il en 2heures et demie?
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2 heures et demie transformé en 2,30h.
Difficultés des élèves
• Des difficultés relatives au fait qu'il faut supposer une vitesse uniforme fictive;
• Des difficultés de gestion des unités de longueur et de durée;
• Des erreurs concernant le traitement des vitesses comme s’il s’agissait de nombres ordinaires. Les vitesses sont donc ajoutées et divisées pour calculer une vitesse moyenne par exemple.
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Aides à apporter
• Revenir au sens: vitesse moyenne et Km par
heure, ou mètre par seconde.
• Faire du calcul mental concernant les durées.
Les élèves doivent pouvoir dire sans hésiter
que 30 min c’est une demi heure, 15 min un
quart d’heure, 20 min un tiers d’heure, 10 min
un sixième d’heure.
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Progression
• Regarder la progression de TFM.
• En dégager un plan général.
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Vitesses moyennes
Objectif: prendre conscience que les problèmes de vitesses se
ramènent à des problèmes de proportionnalité
Introduction
Un camion roule sur autoroute a une vitesse constante. En 30
minutes, il parcourt 52 km de distance.
1) Combien parcourt-il en 1 heure? Comment appelle-t-on ce
nombre?
2) Quelle distance ce camion va-t-il parcourir en 2 h 30
minutes?
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Vitesses moyennes
Trace écrite:
Si la vitesse est constante, la distance parcourue est proportionnelle à
la durée du trajet.
Exemple: un cycliste roule a la vitesse moyenne de 20 km par heure.
Il parcourt 20 km en 1 heure.
Il parcourt donc, 40 km en 2 heures et 10 km en une demi-heure.
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Vitesses moyennes
Quelques exercices.
1) Escargot parcourt 4m en 10 minutes.
Quelle distance va-t-il parcourir en:
a) 5 min? b)15 min? c) 45 min?
Quelle est sa vitesse moyenne en mètres par heure?
2) Un lapin parcourt 300m en 4 min.
Quelle est sa vitesse en mètres par minute?
Quelle distance parcourt-il en 15min?
3) Une tortue parcourt 15 m en 3 min. Quelle est sa vitesse en km par heure?
Tâches complexes
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Tâche complexe 1
Le bouchon LEMA
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Tâche complexe 2
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A vous
• Monter une séquence sur (au choix):
• la multiplication (CE2)
• la division (CE2)
• la proportionnalité
• Les agrandissements de figure et les échelles
• Les vitesses et les pourcentages
Ou
• Une situation complexe à mettre en place sur ces thèmes
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Fin
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