approximation de pix - l'univers de pi - the world of pi ˝ ˇ k &#*k d˘ ˝ ˇ k d˘ ˝k...
TRANSCRIPT
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�����������
������������
�
�� ���������
�
�������������� ���������������������������������������������������������������������
����� ���������� !"#$� %��&'$(')*�
��� ������ ��������
����������� ����� ���� ��������������������� �������������������������������
�
��� � �� � ���!���!������
"�� ��� ������ ������������ #�#�������
���� �������� �����
���� �������������������
���� �������������
���� ������ �������� �������
$�� ��� ������ ����������������������������%������
&�� ' ������((���(����)�( �*������ �����
���� �������� �
���� ��������
���� �� !����� ��"����� ���
���� ���� �� ��� !������ �����
��#� $������� ���
��%� & �� ����� ������
��'� ( ���� ) � �*��
+�� � ��������������� ���,���������-���� �.��� ������
/�� 0�� ������� ���
%��� +�� ���,-�.�
%��� /�0 ������� �����
%��� ������
%��� ������� �������
%�#� +�� ������
1�� (�#�� %���!���
� �
����� ���������� +"#$� %��&'$(')*�
��� � �� � ��2!���!������
,���-�.����������������/� ����� �� ���� �� ��� �0��0�� ���� ��������/� ������� ��������
��1���0��� ��������/� �2���� ���3��� ��� ����� ���������4� ���� ���/� ��� ������� 55�� -�� �6���
��3��������(������/���������6�3��������1���0�������������������������������������/������
-�� ��&!*/� ��&+*/� ��&7*/� ������&!*/� ��4� �� ���3����/� ����� �� ������� ��� 8&!�9#*/� �� ��� ���������� �� ��
�����:��� �������4����� ����;��
�
� ���
��
���
�
�� ������������0�������������-�6�� ��4� ��� ��� 3���-�� ������<�������2�����������������/� ��
����:�� ��=�� �����1/� ������� �.�� �-������4� ������ -�� ������ ���(.��� -�� ����� -��-��� ������ ��
�������/����������3����������3�����������������>�?�
�
"�� ��� ������ ������������ #�#��������
�����3���>����������02�-�/�����������������������>�>�����6�3�����4�@����6�������
-����� ����4�
�������������/�0 ������� �����1�
������������ A�����������0�������������1������������������4�������������1���������1����>�������
�����0�4�B�����>�>����-���6�1��������������������������������� ���������������
���&��4��������
��� �*4�
� � ��������������������/�����������C>C#4�
� � B����������1�����3������0�����������/����������1��������6��������4�
� � B�� �������� ����&*� ��3�2���� ��� ���� ������/� �� ��� �������� �� ��� ���� ����0�� ���
���>������'����/��������3��������>��������������3��������������'���#4�����������1����/���������
���� ����0� �6��� �������� -�� ��3�� ��� ���>�� ���� ���� '� �� #4� ���=�� -��-��� ����/� �6 ������
������-�6���������������D�#'+4�
�������������
������������� �������������������������� � � � � ������������������������������������ � � � � � � �������������������������� � � � ������������������������������������ ������ � !�"��� � � � ������������������������������������������� ������ � # $�"��� � � ���%������������������������������������� �&��� ����� � � � �����������#'���������������������� ����� �������� ���!� ��������������������������������(�������
�(�����������������
������������������������������������ ����� ������������������������������)������������������������������������� ����� )���������������������������*������&!�� � � � � ����������������������������������������������� � � � � � �������������������������� � � � � � ��������������������������+,-.+/ ����� # �"����� � � � �����������$���������������
����� ���������� E"#$� %��&'$(')*�
����������������2�������1�
������������ A��� ��� ������ ����� �� ���� ������� 1���0� ��� �� ����� �6��� ����� &����� �6��� -����� ��
��������6����������������*4�����0���������������0������������������4�B�����>�>���������-���������
������3��������-�������������������������������/������
�4�
� � �������������/�������������F�������������1�����#4�
� � %.������-��-���������������������������������&*4�
�
������������
�������������� �����������������������0�1�� � � � � �������������������������������������������������������!��������� � � � �������������������������������������� ����� �"��� � � � �������������������������������������0����� ����� �"��� � � � ��������������������0����������������1������ �2#&02#��� � � � �����������������������������13!� � � � � � ������������������������������������������������*������&!��� � � � ������������������������������������������� � � � � � ����������������������������� � � � � � �������������������������+,-.+/ ����� 4 �"����� � � � �����������$�����������
�������������������1�
������������ B�����>�>����-���� ����>��� ����� ����������������� ������ ��
�� &��4� �������
��� �*4�
�
� � ��/��������-������&*���3���������������/������-��������3����6���4�
������������
�������������� ���������������������0���� � � � � �������������������������������������������������������!����������� � � � �������������������������������������� #���� ��� � � � �������������������������������������0����� #���� ��� � � � �����������������������������������������%�� ��0�!��*��� � � � ��������������0��������������������������������������&!�� � � � � ������������������������������������������� � � � � � ��������������������������� � � � � � �������������������������+,-.+/ ����� �5�� 6 �"������ � � �����������$�����������
��������������������+�����1�
������������ ��������=����������������=�4�B�����>�>����-�6��2�������.�����>�����������-��
��������!����������������
� ��4�
������������
�������������� �������������������7�����8�� � � � � ����������������������������������8����
����� ���������� 7"#$� %��&'$(')*�
�����������������!��������� � � � �������������������������������������������������7������!����# ����� � � ����������������������������#���������������������������� !��#� ��� � � � �����*������������������������������������������������!��*���� � � � �����������!�������������������&!�� � � � � ����������������������������������������������� � � � � ����������������������������� � � � � � ��������������������������#�������������������������*��� � � � � ���������������������%���������������������������8�8&!�� � � � � ������������������������������������������� � � � � � ��������������������������� � � � � � �������������������������+,-.+/ ����� �"8�2#"����� � � � �����������$����������9�����5���5�����������������������%�������
�
���������������� ������� � � � ������������������������ ����
���
�
�
%��0�����,������ �������
,���������;�
@��� ����� �� -�� �6��� ���� ���� �� ��� -����� �����������;� ,�����0���� ����� �����:��� �� ��
��3���������-�6������-����������������������������/������ �������G� �������������������
��1���0�������:������3�������1/��.���3��������0����������������-�����������%���(,����4�
�
�
H�
����� ���������� I"#$� %��&'$(')*�
,�����0���� �������� ����� �6�>���� ��� ����� ������ ���-�� �� �/� -�� ��������� ������
�����������02���/��������������0������4�
�
$�� ��� ������ ����������������������������%������
�����>����������������1�������������3����4�B�������������������>���������6���1����
�� � ���-�� �� �6��� �� ����� �� ����� -�6��� ��� ����� ���� J(#�K� #L� ��� ����� ��� ����� 8&�*� ��
�����-����������3�����������������������4�@��������-��-�������������;�
���
������� � ������������������ ������ !"������#����������$!�%���
��&�'�(�"�!��������������
&��"!'���������)������
�!�
�!�"��#�###!�# �������*���������� ������ !"������#�������!�$!�%���
���&�'�(�"�!��������������
&��"!'���������)�����
$��%�
��%
�#
�$������"�����������+�!�!�!��(����&����+���!��$!� �������!�������� ������!����
$��� ���"��������������!���%��+���!��$!���� �&������&�� !�!������&�����&!��"����,-��� ����
"�������&�� ������(�"�!�� ����.��������"+���%�����*
&�'�����&��"���&����-/�����0���-���!�� �������
&��"!'������ !"������1� ���� ���"/"��� �����
������ "������� ���� "/"�� ���2������� 3!� �-��� �� ��� $!� &��� 4� ��� ��� �$!5��� &��� ��
������&&�"����������!�����!'��(������������ �"&���,���-����+�!����$!���� �+�� �&������ !"�����
)�������&!��"���(�"�!��,������"����,��,����� !"�����!��������������������4�����!������ ��1�
�� ��!�������&��6�!����7�
8���!��-������������!��%�������!�!�!���9�:����&&������&��!"'����&�������!�"'����;�
$!���<���!� $!5<����=�! !�������"����-�&&��1!"��!������$!�&�����&��>2��������!�"'������,!�
&���'��� �� ������8�!��""���(� ��� &����� �� ���$!� &��� &���.���� �1�2����(� &!�,�� -���� �!� ,�� �-���
�� ������!����&��� ��� ��!�� �� ���� �!��� ,-��� � ���� ���!���?������"������� ���� ������!�� ��'��
���! � �(�&!�,-��� ���������(������$!�%������&�'���8� ��������!�����!�������!������,!� �� �������
�!������ ������ �����,���������!����&������&������������������7�
�
&�� ' ������((���(����)�( �*������ �����
=�! !����!��������"����� ������!����:����!����������"��������&�� �����������!�����2���+���� ���
�����!��"���� �!"&����%�"������ ���&�� ��&������!��$!(�"�!���������,-�������-���!����,�� ��'��&��
&�����"��������
=�! !�������������"���,!���������!��������"��������� ���������� ��"�!��� ����!������8��
�����(������&��"����-���!�������� !"������-����"+���������� ����!��"���� ����.��������&�� ���������
�
�
����� ���������� M"#$� %��&'$(')*�
������������� �
A�����������&����������������������3�����������-��-���EE''����=�������������
�*/������N����&��#)�����>��#))7���'0!)*������3��������������-��������������:���>��������;�B��
�������55��;�
&
��
&�#
�
A��������������-�����������������>�������1���������������������3�������>���
#I/������������0����������������������������-���6������3�����������6������-����1��������
>���!�4�������������������-���������CE/��O��(�(�����0 ��������&>���#I*4�
�
�������������
B�>�������������������=���1��������>���#I�&������������������������/��������1��*/�
�������������������������4�
��������/�����0��0���������������1��������>��#I�(#H4�,�����������=����������1�P�������
�������55���(�����/�-���6���3�������4�
�
������� !����� ��"����� ���1�
����������������������������������/��������������9#���1��
�������;�
'��
'"&��
&�#
'��
'"&'"�
&�#
'��
'"&��
&�'
�����;�A�9#&�*C��9#&�*9 �9#&�*4��������(�������������
�
345����
'��
'"&'"�
&�#
�
���0��0����-�� ����������1��/� �� ��� ������� ��������#I�(� -�� ����� ��=�/� 3���>�������
����� ���14� ��� ������ ����� �� �������� ������� $9�� -�� �6��������� ���� ��=�� �������� 1�P�� ��
�6 ��������������4����������������������;���
����� ���������� $"#$� %��&'$(')*�
('��
'"&'"�
&�#
�
645����
'��
'"&��
&�'
�
���0�-�����/�����3�������������#I�������1������4�,0�-��������������������1��������
����4������������������������������� �9#&�*/�������������>�����1�����������4�
���/�������������������;�
'"&
'�)
&�#
�
�����������6 �����������������������������������4�
���������������6�������������,0��0��������������4�
�
��������� ����
����������������;�
'��
'"&'"�
&�#&"'
'�)
&�'
����������������EA6�9#&#*(!A6�9#&!*(EA6�9#&7*(A6�9#&I*�
�2������������>�/��6�����������������������1�������#�������0�-��A6�9#�������������
�� ���� �� QE� ����� �3�� �C+/� ���� ���/� �� ����� �1�� ��-�� �6.��� ������ �� �� ����� �1�� ���
������� ���� '� �� +� �� ��� ���������� �1�� � �� '� ��� �� �� ����� �1�� ��� ������� ���� ,� �� R� �� ���
�����������1�� ���R4�
�������3����������>�>��������6��������=������1������������������������/���2�������0����
���� �S� �6�3��� ��� R� �� �� =�� ������/� �� -�� ������ ���S� ��>�� ����� ���3��� ������� -�� +� �1���
�������4�B�������0����/������������������������4�
�
��#��$������� ���
���������������������
�
D ��;C����&�/�*�
D������/ �K�
D���D'�
�0�� �;C ��&-��&�/!*/�*�K�
���������!C'�
�0�� ��� �& T!������*K�
���� ��� �&#IU T!������*K�
����������� �!��������"#$%�
�
� ��������������� ����;��
�
#I#$C�&#I)*V�
CJ#IU&#IE*VLV�
CJ#IU&&#IV*V*VLV�
�
�3�����0�-����������������/������������
����� ���������� )"#$� %��&'$(')*�
�����K�
���� ��� �&#*K�
D�����K�
D���K�
�
���������
�
�
�
�
��&��'�����(��
�
D�1��;C����&�/�/�*�
D�������//>�K�
D>�;C��K���;CJL�K�
D����������'�����(#����
>;C��&>/�*U#IK�
�;CJ��&�*/-��&>/�*LK�
D�����K�
D ��� �&�*K�
D���K�
�
���������'���&��'�����(���"�)�%�
�
���.��-�6���������;���������������1������
����������������������0�-����������������
#I4�
�
B�����������������W������������������&�*�
�
�
�
�
�
*�!!��+�������!����
�
DA���X0 �;C����&�/5*K�
DB�����/�/,/��K�
D�������&5*YD����&�*��0�� ��� �&Z����[*��K�
D ;C'K�;CJLK�
D,;C�95K�
DR�������������&,*����#�>2�(#����
����9,JLD#7�
�0���;CJ,JL9�(#I/��&�*LK�
;C#K�
�����9,JLY'�
�0���;CJ,JL9�9#I/��&�*LK�
;C(#K�
�����;CJ,JL9�/��&�*L�
;C'K�
�����K�
D������K�
D ��� �&�*K�
D���K�
�
*�!!������������'��'�"��!,��'�+���%�
�
���.��-�6��������/�������������������
����;�
�
�
,������\�>����]�
�
�����6��2������������&�������*�
�����������������������-������0�����
���������'���#74�
�
�
�
�
�
�
�
���������������+�����������'��������
�
D%���;C����&�/�*�
DB������/�/�/RK�
D�;C'K�R;CJLK�
D�;C�U�K�
DR�������������&�*����#�>2�(#����
����9�JLD#7�
�0��R;CJ��&�JL9�/#I*/��&R*LK�
�;C-��&�JL9�/#I*K�
����R;CJ&�JL9�/��&R*LK�
�;C'K�
�����K�
D������K�
D ��� �&R*K�
D����
����������!��������������
�
�����-�������������;�
�
�
,������Z>���[�
�
�����6��2������������
�����������������������-������0�����
���������'���#74�
�
�
�
�
�
�
����� ���������� #'"#$� %��&'$(')*�
����������*-�"�%�
�
D�1��X�;C����&�/S/�*�
DB�����/A/��K�
D��;C'K�;CJLK�
DA�;C�-&'/C#44�*L�K�
DR���������'�����(#����
�;C�1�& ��&�(#(/S&***/S&*/�*K�
A;C����X0 �&A/�*K�
D������K�
DR���������������9�����
�;C�1�&#/#IT	(�*US&*/�*K�
A;C����X0 �&A/�*K�
D������K�
D ��� �&A*K�
D���K�
��������-������!�����!��������
�
�
�
�
�
,����������(#&�*�
�
�
�
,�������� �(#&�*�
�
�
�
�
�
A�������A6�&�*�
�
D�1��X�X�;C����&�/�*�
DB������/5/,/�/�K�
D�;C�1��X�&�/(D$U9#*/�*K�
D5;C�1��X�&�/(D$U9E*/�*K�
D,;C�1��X�&�/(D$U97*/�*K�
D�;C�1��X�&�/(D$U9I*/�*K�
D�;C����X0 �&����X0 �&����X0 �&%���&E/�*/(
%���&!/5**/(,*/(�*�K�
D ��� �&�*�K�
D����K�
�
�������.�����
�
�����������0�-��A�(#&�*�
�
�
�
������������������������������������
�
�
�
�
�
�
�
��%��& �� ����� ������
�����������"�
�;��� � � @�(�<(<A��������*�"!��������<"��
����������"�
�;�4� � � @��(*(�A�����<�"!��<����<�"��
������"�
�;��� � � � @�(�(4A�����*���"��
�
��'��( ���� ) � �*��
,������0�����=��������������������6����-�����������������6���������������������-��;��
�
��
���
�
�
��
��#
�
����������&#'")*/�������������������>���#'4�
�
����� ���������� ##"#$� %��&'$(')*�
+�� � ��������������� ���,���������-���� �.��� ������
�
���������� ���4����� ���������������&!*�;��
�
,������������������6���1�������3����;�&��4���� �*�
�!�
!
�
�
#
� � � !
* �
�
#�
�!�
!
�
�
#�
�!�
!
�
�
#�
�!�
!
�
�
#
� + � � !
* �
�
#�
+!�
!
�
�
#
� + � � !
* �
�
#�
�!�
!
�
�
#
� + � � !
* �
�
#�
,!�
� !
� �
�
#�
*!�
� � !
� � �
�
#�
-!�
� !
� � �
�
#�
�#!�
, � + � !
* , � � �
�
#�
��!�
� + � � � !
* , � � �
�
#�
�������BW&�#/��!/�?/�##*C � �!���
��� 4�
�������3����� ����;�
B'�&�#/��!/�?/��##*C�
� +�
� � �� � , � � � � , *
�# � �# � �� �
�������� �������� ��� ������� �6���1���4� ������/� ������� ���������3��� ������:��� �����-��
����� ��� 3�2���/� ��� ���� -�6���� �� ����� ���� ��=�� ������/� ��� ����� �������� -�� �6��������� �� ���
����� ���������� #!"#$� %��&'$(')*�
�����:�����4����� ����;�(!������&+"!*9E������&!*CH/���������&����������/��������������6��������*�;�
������&#" *9������& *CH"!4�
����������������6���������������������������4��������;��
+ � �� � , � � � � , * �# � �# �
�����������;�
�.�"�/"�0"��1"���.2���"�0�3�"�.2
�4��5���..
�
�3������������/���������������������;��
+ �� � , * �# �#
, �#
�# �#
� �#
+ +#
+
�� �#
, ,#
* *#
- -#
�# �##
�� ��# ��
�
������3����6�3��������������/��������;� , * - �# �� �
�����������;� + � �#
� �#
+ +#
+ �#�
������������������������������������6����������1���/��������3�;��
+
�� +
���
��
� � +�
�
#�
�����������EC'����7C'47������������/�1�P���������������
!"�
�
�
#
�&�!"�
&
��
&�#
�
#&
��
&�#
�
����>�����
&��
��
&�#
�
���3��������������������2��55�������������&!*4�����������������������1�����>���#I/������
�.�����=��-���������/������������0����������(�����4�
/�� 0�� ������� ���
%����+�� ���,-�.�
�
������/����������������;��
��
��
���
�
���;�
����� ���������� #+"#$� %��&'$(')*�
� �
� "�
� "� �
"��
"�� �
��
�� � �� �
�6�G�
��
��
���� ��
��
���
�
R�������;�
�
� ���
��
���
�
,�R��
%����/�0 ������� �����1�
�
�
�
�
�
�
�
�
#�
� �
���/������>��������>�>����-��3������
��
,�R��
� �
>� ���3������� �3��"
�
�/� ���� ���
��������������������>�>��������!4�
����� -�� �6�1���� ����� ����� ���
������ �6�-������ C#/� �� ����� -��
�4���&�*D&#( *4� ���/� ��� ���>�>����
-�6��� ��� ����� ��� �6��� ��� ����
��3���>����#���������� �����������>���
�!4���
'� #� �
��
����� ���������� #E"#$� %��&'$(')*�
%����������1�
����������� � ����� � ��� ����� ���� ����� �������� ��� ���� ����� �� � ��� �� ����� ���� ������ �� ����
���� ����������������������
������������������������ �� � ��
�������������>�������������������/������������6�3������;��
���;�\����6�����������3�����������������>�]�
B�������������6����������������#����^�-��������3�>������������#"�������������>�>����-��
�������3�>�����������#"�4����.�������>4������6���������/�������>�>����-������>�������3�>���
��������������#"�V4������������������>�>�������6�3���������;�
6 � �
���������������� � 667�8 � �6�3������;�\�����>��6�����������3��������������������
�^�]/������������\�����>������������������ �]4�
,��������3�������������������������/���3���;��
� � �67�8
�
����/����������1�����������������������6�������6����;��
�9�� � �
,�R��
B6�������6�������-���������;��
�
��
��#
"��
�
�������������;�����������-��;�
�
��
��#
�
A����������4����������� C#"�V�;�
"�
� � � ��
��
��#
�
A������ �/������������������������1�����!/���-��������1��������>������������������;�
: � �;�;<=>?=<
;@A
�
����� ���������� #7"#$� %��&'$(')*�
_�� ���>��;��6�������������������������3�1���4������3�������/�����>���������������
#"�V��G��������������������2����������3�����������������>�������������-4�
����������������������������3���������������>�������������-4������;��
B �
B
��#
�
�6�G�;�
: �
��
��#�
:
��#�
��
��:��
�
���������������������1�������#"�V����3�1/������������������������3���'/�����-����
����3����6���4�
R������/����������1���������/�����������������/�����>���������������3�����;��
�
��
��#
"��
�
,�R��
%����������� �������
�������� � ����������������������������������������������� ����������������� ����� �����
������������ �������������������� ���� !"#�$����� �� ����% �&����������������'��� � ���������(�����������������
B��`����!����������=���������4��B����>������������>��/����-�O���O2���-�������R�����
�0�-��������&���������������������>����������0�*���������!!�4��
,�������� �����>���������G� �����>������������1���������>����R���4�����������/����
������ �� ���>�� �� ��`���� �� ���>��� ��� �� ���� ����� ��� !�� ������/� �O��(�(�� ��� /� �� ���>�� ��
���>����������������!�4�
B�����>�>�����O�>�������.�����>������������R����3������!���������������������������
���������3���>������������>������������>�������;�
���
�� �� ��
��������0���;���������������������3�������������������-�����-�� �����>��������
����������>�������������=�����C#"!�&���>�>�����O�����*���!������������������O��0�������4�
����>����������-��������>�>�����O�>�����������������-����R�������������>�>�����O�>����
����������;�
���
� ��"����
���
��/������������������������a�����-������;��
����� ���������� #I"#$� %��&'$(')*�
�9��
���� �
� �
�����������������;��
���� �
�
���� �
�� ��
�������&�9#"!*�����-�3������������O����
�� � �
B�� ���>�>���� -�� �� ���>�� �� ���� ���� �1��� ��� ���>�� �� R���� ���� ��������� �� ����-�� ��
���>���������������3����O���4�
,����������������O��������������>�����1������/���-���O���������=���������������-���O���
����-���������� �/��������>�����>����������3����������>�����1�����������-��������3����O����
&����������>�������-���������/�1�P������0���=��������(����^*4�
����� ���������/� ����� ����� ��� �3�� b� �� ���>�� �� ���� ��3���� ��� >�����/� ��� ��
�9��� "%�
� �
�G�������������������������b(�4��������������������1����O���/�����������=��>�������3���
����������������O�����������������-���O���������������������������������O��(�(���-���&bC�*��
&��� �&b(�C'**� �3���
�
�
�4���� �>���� ����� ����� ����� ������ ��2�����-��
��������>�>�����O�>�����������������-����R����;�&����-�3���������������-��������3����6���*�
"%�
��C�
"�C�
�C�
"�C��
,����O ������������3���#�����-��������3����O���4���������3�>���������������������
� D���
��������������������������O����� ������1������4�B��������������������/����������>�>���/�
�� �O��� -����� 0������ ������������� �O���� �3�� ��� ����/� ���>�� ���� ���3��� �� ��� �����������
�������������O�������>�����1�������^��
,�R��
%�#��3� ������������������ ������
%���������6�>�����������������������������;�
�
����� ���������� #M"#$� %��&'$(')*�
�
�
�
�
�
�
������������������������������55��;�
�
�
�
�
�������;� �
�
�
�
����������������������������;��
����� ���������� #$"#$� %��&'$(')*�
�
�
�
�
�
�
,�R��
1�� (�#�� %���!���
�
0���;""ccc4�+#E4��"�� ����5����d����3��0�
0���;""��4cW���4��1�
0���;""ccc4����4�-��4��"e������"�
��B�f�g���(�/������ ������������ ����������A���/�#))M�
� %��� >������� 5���� d����3��0� �� A���� ������� -�� �6���� �������� ���� ��� ������� ���
������������������/���-������>��3������������������-������������������4�
�
�������� ���