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Carlo Greco

Precorso di Analisi Matematica

Indice

1. Teoria degli insiemi ed elementi di logica …… pag. 4

1. Nozioni introduttive sugli insiemi …… pag. 4

2. Proposizioni e predicati …… pag. 5

3. Quantificatori …… pag. 6

4. Esercizi …… pag. 8

5. Operazioni tra insiemi …… pag. 10


7. Funzioni tra insiemi …… pag. 14

8. Funzioni ingettive e surgettive …… pag. 16

9. Funzioni composte e restrizioni …… pag. 19


11. Relazioni tra insiemi …… pag. 23

12. Insiemi finiti, infiniti e numerabili …… pag. 25


2. Insiemi numerici …… pag. 29

1. L'insieme dei numeri reali …… pag. 29

2. Intervalli …… pag. 32

3. L'insieme dei numeri complessi …… pag. 33

1. Generalità sui numeri complessi …… pag. 33

2. I numeri complessi in forma algebrica …… pag. 36


4. I numeri complessi in forma trigonometrica …… pag. 39


3. Disequazioni razionali e irrazionali …… pag. 45

1. Generalità sulle disequazioni …… pag. 45

2. Richiami su rette, parabole e funzione potenza n -esima …… pag. 46

1. Rette …… pag. 46

2. Parabole …… pag. 47

3. Funzione potenza n -esima …… pag. 48

3. Disequazioni di primo e secondo grado …… pag. 49


5. Disequazioni di grado superiore al secondo …… pag. 52

1. Caso generale: polinomi fattorizzati …… pag. 52

2. Caso generale: decomposizione in fattori …… pag. 54

3. Le biquadratiche …… pag. 58

4. Disequazioni del tipo xn < k, xn £ k, xn > k, xn ³ k. …… pag. 59

6. Disequazioni razionali fratte …… pag. 61

7. Sistemi di disequazioni …… pag. 64

8. Disequazioni irrazionali …… pag. 66

1. Disequazioni del tipo A@xDn< B@xD oppure A@xDn

£ B@xD …… pag. 67

2. Disequazioni del tipo A@xDn> B@xD oppure A@xDn

³ B@xD …… pag. 71

4. Disequazioni esponenziali e logaritmiche …… pag. 75

1. Richiami su funzione esponenziale e logaritmi …… pag. 75

1. Funzione esponenziale …… pag. 75

2. Funzione logaritmo …… pag. 76

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2. Funzione logaritmo …… pag. 76

2. Disequazioni esponenziali …… pag. 78

3. Disequazioni logaritmiche …… pag. 81

5. Disequazioni trigonometriche …… pag. 84

1. Richiami sulle funzioni trigonometriche …… pag. 84

1. Le funzioni seno, coseno e tangente …… pag. 85

2. Funzione "inversa" del seno ed equazioni del tipo Sin@xD = k …… pag. 89

3. Funzione "inversa" del coseno ed equazioni del tipo Cos@xD = k …… pag. 91

4. Funzione "inversa" della tangente ed equazioni del tipo Tan@xD = k …… pag. 93

2. Disequazioni trigonometriche …… pag. 95

1. Disequazioni trigonometriche elementari …… pag. 95

2. Disequazioni contenenti una sola funzione trigonometrica incognita …… pag. 100

3. Disequazioni di secondo grado in seno e coseno …… pag. 101

4. Disequazioni lineari in seno e coseno …… pag. 102

3. Disequazioni con le funzioni trigonometriche inverse …… pag. 104

6. Disequazioni varie …… pag. 106

1. Disequazioni col valore assoluto …… pag. 106

2. Alcune disequazioni trascendenti …… pag. 109

3. Disequazioni varie e calcolo del dominio di definizione di una funzione …… pag. 111

7. Indici …… pag. 117

8. Appendice …… pag. 123

Avvertenza sulle notazioni usate in questo testo

In questi appunti di Analisi Matematica le notazioni adoperate sono leggermente diverse da quelle standard; la ragione èdovuta essenzialmente al programma con cui sono stati compilati. Ad esempio si usa la notazione f @xD per indicare le

funzioni, adoperando quindi le parentesi quadre, invece della notazione più usata che è f HxL. Anche i nomi delle funzioni

elementari sono leggermente diversi da quelli standard: il logaritmo in base ã, ad esempio, viene indicato con Log@xD,mentre di solito si indica con log x.

Particolare attenzione dovrà essere usata per le potenze delle funzioni elementari; ad esempio, per indicare il quadrato

del logaritmo di x usiamo il simbolo Log@xD2 invece della notazione consueta log2 x. Bisogna dunque prestare attenzione

a non confondere Log@xD2 con LogAx2E, che, con le consuete notazioni si scriverebbe invece logIx2M.Al termine di queste dispense si trova un elenco in cui sono indicate tutte le principali differenze rispetto alle notazioniconsuete. E' opportuno consultare spesso questo elenco, in modo da non avere nessun dubbio sull'interpretazione deisimboli.

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1. Teoria degli insiemi ed elementi di logica

Lo scopo di questo capitolo è di presentare alcune nozioni della teoria degli insiemi. All'interno di tale teoria si definisce,

tra l'altro, la nozione fondamentale di funzione (o applicazione) tra insiemi, e le nozioni di codominio di una funzione,

di funzione ingettiva o surgettiva. Tutte le nozioni introdotte in questo capitolo ci accompagneranno per l'intera duratadel corso. Oltre a rappresentare un utile linguaggio, la teoria degli insiemi ha permesso di ottenere anche alcuni risultatiinteressanti sia dal punto di vista matematico, che, più in generale, dal punto di vista culturale. Ad esempio, è statopossibile trattare con rigore il concetto di insieme infinito, e ciò ha portato, tra l'altro, alla sorprendente scoperta cheesistono diversi tipi di insiemi infiniti, che possono essere ordinati tra loro in modo crescente.

1.1. Nozioni introduttive sugli insiemi

Nell'ambito della teoria degli insiemi, la nozione stessa di insieme si assume come primitiva, ossia come nozione nondefinibile in termini di concetti più semplici. Possiamo tuttavia chiarirne meglio il significato osservando che essa èsinonimo di collezione, aggregato di oggetti che la nostra mente pensa come un'unica totalità.

Ha dunque senso parlare dell'insieme dei cittadini italiani, o dell'insieme dei numeri naturali pari, e così via.

Gli oggetti che compongono un insieme si dicono elementi dell'insieme. Gli insiemi si denotano, di solito, con le lettere

maiuscole, i loro elementi con le minuscole. Se A è un insieme, la scrittura a Î A (che si legge: a appartiene all'insiemeA) indica che a è un elemento di A.Analogamente, la scrittura a Ï A (che si legge: a non appartiene all'insieme A) indica che a non è un elemento di A.Indicheremo nel seguito con i simboli N, Z, Q, R, e C, rispettivamente gli insiemi: degli interi naturali, degli interirelativi, dei numeri razionali, dei numeri reali, dei numeri complessi.Le scritture 3 Î Q, -2 Ï N significano rispettivamente che 3 è un numero razionale, e che -2 non è un intero naturale.

Talvolta un insieme può essere denotato mediante l'elencazione dei suoi elementi. In tal caso gli elementi che locompongono si scrivono tra parentesi graffe, separati da virgole. Ad esempio l'insieme A delle vocali può essere indicatonel modo seguente:

A = 8a, e, i, o, u<. Analogamente, l'insieme B dei divisori di 6 è:

B = 81, 2, 3, 6<.Talvolta, anche se in modo impreciso, scriveremo:

N = 81, 2, 3, º<,Z = 8º - 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, º<

oppure, ancora:

P = 82, 4, 6, 8, º<In tali elencazioni incomplete, i puntini sostituiscono gli infiniti elementi mancanti.

Per ragioni di comodità, è opportuno introdurre la nozione di insieme vuoto; esso è l'insieme privo di elementi, e siindica con Æ.Ad esempio, l'insieme degli interi naturali pari minori di 1 è vuoto, l'insieme dei numeri reali il cui quadrato è -1 è vuoto.

Diamo ora le seguenti definizioni.

Definizione 1.1.0 - 1. (Insiemi uguali)Due insiemi A e B si dicono uguali se ogni elemento di A è anche elemento di B e viceversa. In tal caso si scrive

A = B.

Questa nozione è indipendente dall'ordine col quale sono elencati gli elementi dei due insiemi. Ad esempio83, 2, 1< = 81, 2, 3<.

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Questa nozione è indipendente dall'ordine col quale sono elencati gli elementi dei due insiemi. Ad esempio83, 2, 1< = 81, 2, 3<.Definizione 1.1.0 - 2. (Sottoinsieme di un insieme)Se A e B sono insiemi, si dice che A è un sottoinsieme di B, e si scrive A Ì B, se ogni elemento di A è anche elemento

di B. Se ciò non accade, si scrive A Ë B (si legge A non contenuto in B).

Ad esempio, N Ì Z perché ogni intero naturale è anche intero relativo, mentre 81, 2, 3< Ë 82, 3, 4, 5< perché l'elemento 1del primo insieme non è elemento del secondo.L'insieme vuoto, essendo privo di elementi, si può considerare un sottoinsieme di qualsiasi insieme. Ad esempio,Æ Ì 81, 2, 3, 6<, nonché Æ Ì Æ.Ovviamente A = B se e solo se A Ì B ed anche B Ì A.

Se risulta A Ì B e A ¹ B, si dice che A è un sottoinsieme proprio di B. Ciò significa che ogni elemento di A è ancheun elemento di B, e che vi è almeno un elemento di B che non appartiene ad A.

Osserviamo che può capitare di dover considerare insiemi costituiti da un solo elemento. Ad esempio l'insieme deinumeri pari minori di 3 è l'insieme 82<. L'insieme 82< è diverso dal numero 2. Ad esempio si deve scrivere 2 Î N, 82< Ì N,mentre 82< Ï N in quanto gli elementi di N sono numeri e non insiemi.

Può capitare, talvolta, di dover considerare tutti i sottoinsiemi di un dato insieme E. Ad esempio, se E = 81, 2, 3<, tutti isottoinsiemi di E sono:

Æ , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}.

Si noti che tra i sottoinsiemi di E figura anche Æ e l'insieme E stesso. L'insieme di tutti i sottoinsiemi di E si denota con il

simbolo P HEL, e si chama anche insieme delle parti di E. Ad esempio, per l'insieme E considerato prima,

P HEL = 8 Æ , 81<, 82<, 83<, 81, 2<, 81, 3<, 82, 3<, 81, 2, 3<<.

1.2. Proposizioni e predicati

Prima di proseguire con la teoria degli insiemi, è opportuno premettere alcune nozioni e alcuni simboli logici.

Una proposizione è un qualsiasi enunciato suscettibile di essere vero o falso. Ad esempio:"Socrate è un uomo''"Oggi piove''"3 è un numero pari''.

Se p è una proposizione, indichiamo con Ø p (non p) la sua negazione: Ø p è dunque la proposizione che è vera se p è

falsa, ed è falsa se p è vera.

Le proposizioni possono essere unite tra loro mediante i connettivi logici. Ad esempio, se p e q sono proposizioni, si

indica con p ì q la proposizione che è vera se e solo se sono vere sia p che q. Si indica con p ê q la proposizione che è

vera se e solo se almeno una delle due proposizioni p e q è vera.

Ad esempio, se:p = "oggi piove"

q = "è domenica"

la proposizione p ì q significa: "oggi piove ed è domenica", mentre la proposizione p ê q significa: "oggi piove

oppure è domenica".Il significato delle due proposizioni composte p ì q e p ê q può essere definito mediante le cosiddette tabelle di

verità:

p q p ß qVero Vero VeroVero Falso FalsoFalso Vero FalsoFalso Falso Falso

p q p Þ qVero Vero VeroVero Falso VeroFalso Vero VeroFalso Falso Falso

I connetivi ß e Þ, insieme con la negazione Ø di una proposizione, consentono di formare molte proposizioni "composte"interessanti. Una delle più importanti tra queste, è la proposizione p Þ q.

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I connetivi ß e Þ, insieme con la negazione Ø di una proposizione, consentono di formare molte proposizioni "composte"interessanti. Una delle più importanti tra queste, è la proposizione p Þ q.

Essa è definita nel modo seguente:

p Þ q =def . HØ pL ê q

La corrispondente tabella di verità, è la seguente:

p q p Þ qVero Vero VeroVero Falso FalsoFalso Vero VeroFalso Falso Vero

Come si vede, la proposizione p Þ q è falsa solo se p è vera e q è falsa, mentre è vera in tutti gli altri casi.

La maggior parte dei ragionamenti matematici (teoremi) ha la seguente struttura: se p è vera, e p Þ q, allora anche q è

vera.La proposizione p si dice ipotesi del teorema, la proposizione q si dice tesi. Si dice anche, talvolta, che il verificarsi di p

è condizione sufficiente per il verificarsi di q. Vedremo nel seguito molti esempi di ragionamenti di questo tipo.

La scrittura p � q (p equivale a q) significa che p è vera se e solo se q è vera. Ovviamente, scrivere p � q è la stessa

cosa che scrivere p Þ q e q Þ p. Si dice, in tal caso, che il verificarsi di p è condizione necessaria e sufficiente per il

verificarsi di q. Il simbolo � si chiama doppia implicazione.

Osserviamo infine che, talvolta, per dimostrare che p Þ q, si procede dimostrando che Ø q Þ Ø p. In altri termini, la

negazione della tesi comporta la negazione dell'ipotesi. Tale procedimento si dice "riduzione all'assurdo'' o

"dimostrazione per assurdo''.

Per dare un esempio di questo procedimento, dimostriamo il seguente teorema.

Teorema 1.2.0 - 1. (Irrazionalità di 2 )

Se m ed n sono numeri interi primi tra loro, allora m2

n2¹ 2.

Il significato di tale teorema è che non esiste nessun numero razionale (cioè del tipo m

n), il cui quadrato sia uguale a 2. In

altri termini, 2 è un numero irrazionale.

Dimostrazione. In questo teorema l'ipotesi, che chiamiamo p, è la proposizione: "m ed n sono numeri interi primi tra

loro", mentre la tesi, che chiamiamo q, è che m2

n2¹ 2. Per dimostrare che p Þ q, facciamo vedere, ragionando per

assurdo, che Ø q Þ Ø p.

Supponiamo dunque che m2

n2= 2 (questa è la negazione di q); allora m2 = 2 n2, cioé m2 é pari. Ma allora anche m é pari,

quindi m = 2 k. Essendo m2 = 2 n2, si ha 4 k2 = 2 n2, cioé 2 k2 = n2, pertanto anche n2, e quindi n, é pari.Abbiamo dunque ottenuto che m ed n sono pari, quindi non sono primi tra loro, che è appunto la proposizione Ø p. à

Introduciamo ora la nozione di predicato. Un predicato è un enunciato contenente una o più variabili. Esempi:p@xD = "x è un uomo'';

p@x, yD = "x < y".

Un predicato si trasforma in proposizione fissando il valore delle variabili. Al contrario delle proposizioni, i predicati nonhanno un valore di verità; ad esempio, il predicato "x è un uomo'' non è né vero né falso. Ovviamente, quando si fissa ilvalore di x, tale predicato si trasforma in proposizione, e, come tale, è vero oppure falso.

1.3. Quantificatori

Se p@xD è un predicato, esso si può trasformare in una proposizione dotata di un preciso valore di verità facendolo

precedere dalla parola "ogni'' oppure dalla parola "esiste''.In effetti in matematica si usano spesso proposizioni nelle quali compare la parola "ogni'' oppure la parola "esiste''. Adesempio: "ogni numero pari è divisibile per 2''; "esiste in R una soluzione dell'equazione 2 x = 5''. Tali proposizioni si

possono indicare simbolicamente usando la nozione di predicato e i simboli ", $ che si leggono, rispettivamente, perogni ed esiste. Il simbolo " si chiama quantificatore universale; il simbolo $ si chiama quantificatore esistenziale.

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In effetti in matematica si usano spesso proposizioni nelle quali compare la parola "ogni'' oppure la parola "esiste''. Adesempio: "ogni numero pari è divisibile per 2''; "esiste in R una soluzione dell'equazione 2 x = 5''. Tali proposizioni si

possono indicare simbolicamente usando la nozione di predicato e i simboli ", $ che si leggono, rispettivamente, perogni ed esiste. Il simbolo " si chiama quantificatore universale; il simbolo $ si chiama quantificatore esistenziale.Ad esempio, se P è l'insieme dei numeri pari, e p@xD è il predicato "x è divisibile per 2'', allora la scrittura:

1.3.0 - 1" x Î P : p[x]

si legge: per ogni x appartenente all'insieme P, p@xD è vero, ed equivale, appunto, alla frase "ogni numero pari è divisibile

per 2''.Analogamente, se R è l'insieme dei numeri reali, e p@xD ="2 x = 5'', la scrittura

1.3.0 - 2 $ x Î R : p[x]

si legge: esiste un x appartenente ad R tale che p@xD è vero, ed equivale a "esiste in R una soluzione dell'equazione

2 x = 5''.

Si noti che la 1.3.0 - 1 e la 1.3.0 - 2 hanno effettivamente un preciso valore di verità (sono entrambe vere), al contrario

dei predicati p@xD presi isolatamente.

E' particolarmente importante, per il seguito, saper fare la negazione di una frase contenente un quantificatore. Lanegazione della proposizione "ogni uomo é mortale'' é "esiste un uomo che non é mortale''. Più in generale, la negazionedella proposizione

" x Î A : p@xD è $ x Î A ' ' Ø [email protected] simboli:

Ø H" x Î A : p@xDL � $ x Î A ' ' Ø [email protected], la negazione della proposizione "esiste un uomo alto più di due metri'' è "ogni uomo non è alto più di duemetri''.Dunque, in generale:

Ø H$ x Î A ' ' p@xDL � " x Î A : Ø [email protected], la negazione di una proposizione che inizia con il quantificatore ", inizia con il quantificatore $ e viceversa.

Il simbolo $ ¤ significa esiste uno ed un solo. Ad esempio, la frase "esiste una ed una sola soluzione reale dell'equazione2 x3 = 5'' può essere scritta simbolicamente:

$ x Î R ' ' 2 x3 = 5.

Chiaramente, mentre la proposizione: $ x Î R ' ' x2 = 1 è vera, in quanto il simbolo $ non richiede l'unicità, laproposizione $ x Î R ' ' x2 = 1 è falsa dato che x = ±1.

Terminiamo osservando che i predicati p@xD sono utili per definire sottoinsiemi di un insieme mediante proprietà di cui

godono i loro elementi.Se A é un insieme, e p@xD un predicato che ha senso (cioé é vero o falso) per ogni elemento x di A, con la scrittura

B = 8x Î A p@xD< (che si legge B é uguale all'insieme degli x appartenenti ad A tali che p@xD é vero), si individua quel

sottoinsieme B i cui elementi godono della proprietà espressa dal predicato [email protected] esempio: 8x Î N 1 £ x < 5< individua il sottoinsieme 81, 2, 3, 4< di N.

Cogliamo l'occasione per introdurre i simboli che useremo in seguito per denotare gli intervalli di R; siano a Î R eb Î R con a < b. Allora:

D a, bD = 8x Î R a < x £ b<;D a, b@= 8x Î R a < x < b<;@a, b@= 8x Î R a £ x < b<;@a, bD = 8x Î R a £ x £ b<.

Poniamo poi:

@a, +¥@= 8x Î R a £ x<;

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@a, +¥@= 8x Î R a £ x<;D a, +¥@= 8x Î R a < x<;D - ¥, aD = 8x Î R x £ a<;D - ¥, a@= 8x Î R x < a<.

Si noti che non sono corretti simboli del tipo @a, + ¥D. Infatti la parentesi quadra rivolta verso l'interno starebbe adindicare che +¥ appartiene all'intervallo, il che non é vero dato che +¥ non é un numero. Infine, porremo:

R+ =D 0, +¥@, R- =D - ¥, 0@.

1.4. Esercizi

Esercizio 1.4.0 - 1. Elencare gli elementi dei seguenti insiemi:1°) L'insieme degli interi naturali pari maggiori di 5 e minori di 20;2°) L'insieme dei sottoinsiemi dell'insieme A = 8b, 3<.3°) L'insieme dei sottoinsiemi propri di A = 8a, 4, 1<.Esercizio 1.4.0 - 2. Elencare l'insieme delle parti dei seguenti insiemi:

A = 8a, 2<; A = 8c<; A = 81, b, c<.Soluzione:

A = 1 2 3 a b c

A = Æ

PHAL = 8Æ<

Esercizio 1.4.0 - 3. Elencare l'insieme P HP HALL per i seguenti insiemi:

A = 81<; A = 82, a<.Soluzione:

A = 1 2 a

A = Æ

PHPHALL = 8Æ, 8Æ<<

Esercizio 1.4.0 - 4. Costruire le tabelle di verità delle proposizioni HØ pL ì q e p ê HØ qL.Soluzione:

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Proposizione Nessuna HØpLßq pÞHØqL

p qVero VeroVero FalsoFalso VeroFalso Falso

Esercizio 1.4.0 - 5.

Nel teorema 1.2.0 - 1 sulla irrazionalità di 2 , invece di dimostrare l'implicazione p Þ q, abbiamo dimostrato

l'implicazione Ø q Þ Ø p. Verificare che, in effetti, la tabella di verità della proposizione Ø q Þ Ø p coincide con la

tabella precedente.Soluzione:

Proposizione Nessuna p Þ q Øq Þ Øp


Esercizio 1.4.0 - 6. Verificare, costruendo le tabelle di verità, che:1°) Ø H p ì qL = HØ pL ê HØ qL;2°) p ì H p ê qL = p;

3°) la proposizione H p Þ qL ì Hq Þ pL è vera se e solo se p e q sono o entrambe vere o entrambe false.

Soluzione:

Domanda Nessuna 1°L 2°L 3°L


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Esercizio 1.4.0 - 7. Scrivere, adoperando i quantificatori, le proposizioni:

1°) "l'equazione 1

x= x ha una soluzione reale",

2°) "ogni numero intero minore di 10 è pari"3°) "esiste un numero reale minore di tutti gli interi naturali"4°) "per ogni numero reale x esiste un numero reale maggiore di x"5°) "è maggiore o uguale a zero ogni numero reale il cui quadrato sia maggiore o uguale a zero"e dire se tali proposizioni sono vere o false.Soluzione:

Domanda Nessuna 1°L 2°L 3°L 4°L 5°L

Esercizio 1.4.0 - 8. Scrivere, prima a parole e poi con i quantificatori, le negazioni delle 5 proposizioni precedenti.

Esercizio 1.4.0 - 9. Elencare esplicitamente gli elementi dei seguenti insiemi:1°) 8m Î Z 1 £ m < 10 ed m è divisibile per 3<;2°) 9x Î R

1

xÎ N , e 1

x< 5=;

1.5. Operazioni tra insiemi

Definizione 1.5.0 - 1. (Unione di insiemi)Siano A e B sottoinsiemi dello stesso insieme E. Si dice unione di A e B, e si denota con A Ü B, l'insieme

A Ü B = 8 x Î E x Î A oppure x Î B<.L'unione di A e di B è dunque quell'insieme che contiene quegli elementi di E che appartengono ad A, a B, oppure adentrambe.Ad esempio, se A = 81, 2, 3, 4, 5<, B = 83, 4, 6, 7<, allora A Ü B = 81, 2, 3, 4, 5, 6, 7<. Infatti, gli elementi 1, 2,5 appartengono all'unione in quanto sono elementi di A, gli elementi 6 e 7 appartengono all'unione in quanto elementi diB, e infine anche gli elementi 3 e 4 appartengono all'unione in quanto sono contemporaneamente elementi di A e di B.

Definizione 1.5.0 - 2. (Intersezione di insiemi)Siano A e B sottoinsiemi dello stesso insieme E. Si dice intersezione di A e B, e si denota con A Ý B, l'insieme

A Ý B = 8x Î E x Î A e x Î B<.L'intersezione di A e di B é dunque l'insieme degli elementi di E che appartengono "contemporaneamente'' ai dueinsiemi. Ad esempio, nel caso dei due insiemi A = 81, 2, 3, 4, 5<, B = 83, 4, 6, 7< considerati prima, si haA Ý B = 83, 4<.Definizione 1.5.0 - 3. (Complementare di un insieme)Sia A sottoinsieme di un insieme E. Si dice complementare di A in E, e si denota con E \ A, oppure con CE HAL, l'insieme

E \ A = CEHAL = 8 x Î E x Ï A<.Dunque il complementare di A in E è costituito da quegli elementi di E che non appartengono ad A. Ad esempio, seE = 81, 2, 3, 4, 5, 6<, ed A = 82, 4, 6<, allora E \ A = 81, 3, 5<.Il significato delle operazioni tra insiemi può essere facilmente compreso osservando i seguenti disegni, detti grafici diVenn.

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A

A Ü B

B

E

A

AÝ B

B

E

A

CEHAL

E

Indicheremo spesso, nel seguito, con R* il complementare, in R, di zero:

R* = R \ 80<.Analogo significato avranno i simboli Z*, Q*, ecc. ecc..

L'unione e l'intersezione di insiemi godono di varie proprietà; ad esempio vale la proprietà commutativa per l'unione el'intersezione, vale una proprietà distributiva dell'intersezione rispetto all'unione e viceversa, ecc. ecc..Si noti anche che é possibile definire l'unione e l'intersezione di più di due insiemi.

Siano ora E ed F due insiemi, e siano a Î E e b Î F. L'insieme 88a<, 8a, b<< si dice coppia ordinata, e si indica con ilsimbolo Ha, bL.a si dice prima coordinata, e b si dice seconda coordinata della coppia Ha, bL. Chiaramente Ha, bL ¹ Hb, aL, eccettuato ilcaso in cui a = b.

Si noti anche che gli insiemi E ed F non devono essere necessariamente distinti. Ciò premesso, diamo la seguentedefinizione.

Definizione 1.5.0 - 4. (Prodotto cartesiano di insiemi)Si dice prodotto cartesiano di E per F, e si indica con E ´ F, l'insieme di tutte le coppie ordinate Ha, bL aventi come

prima coordinata un elemento di E, e come seconda coordinata un elemento di F. In simboli:E ´ F = 8 Ha, bL a Î E, b Î F< .

Ad esempio, se E = 81, 2, 3<, F = 8a, b<, si ha:

E ´ F = 8 H1, aL, H2, aL, H3, aL, H1, bL, H2, bL, H3, bL<.In modo analogo si definisce la nozione di terna ordinata e, più in generale, la nozione di ennupla ordinata.Corrispondentemente si definisce il prodotto cartesiano di tre o, più in generale, di n insiemi.Il prodotto cartesiano, ad esempio dei due insiemi E = 81, 2, 3<, ed F = 8a, b< considerati prima, può essere rappresentatograficamente nel modo seguente:

1 2 3x

a

b

y

Cogliamo l'occasione per ricordare che l'insieme R può essere rappresentato graficamente su una retta orientata; ilprodotto cartesiano di R per R si indica brevemente con R2, e si rappresenta graficamente su un piano, munito, adesempio, di assi cartesiani ortogonali, l'asse delle ascisse e quello delle ordinate.

Esempio 1.5.0 - 1. Rappresentare graficamente il prodotto cartesiano dell'insieme E = 82< ÜD 3, 4D per l'insieme F =D 1, [email protected] i due insiemi E ed F rispettivamente sull'asse delle ascisse e sull'asse delle ordinate:

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1 2 3 4x

1

2

y

I cerchietti vuoti indicano che gli estremi corrispondenti non appartengono all'intervallo, mentre i cerchietti pieniindicano il contrario.Il prodotto cartesiano E ´ F è allora costituito dal segmento aperto 82< ´D 1, 2@, e dal quadrato, dotato di un solo lato,D 3, 4D ´D 1, 2@. Precisamente E ´ F è costituito dall'unione di questi due oggetti. Pertanto si disegna nel piano cartesianonel modo seguente:

1 2 3 4x

1

2

y

1.6. Esercizi

Esercizio 1.6.0 - 1. Siano A = 81, 2, a, b, c<, B = 81, 3, b, c<; elencare gli elementi di A Ý B, A Ü B, di B \ A e di A \B.

Esercizio 1.6.0 - 2. Siano A e B due insiemi tali che A Ì B; dire chi sono gli insiemi: A Ý B, A Ü B e A \B.

L'unione e l'intersezione di insiemi godono di diverse proprietà, alcune delle quali simili a quelle di cui godono

l'addizione e la moltiplicazione tra numeri. Ad esempio, l'unione è associativa, cioé:

A Ü HB Ü CL = HA Ü BL Ü C,

ed è distributiva rispetto all'intersezione:

A Ü HB Ý CL = HA Ü BL Ý HA Ü CL.

A, B e C A BÝC AÜHBÝCL

A

B

C

A, B e C AÜB AÜC HAÜBLÝHAÜCL

A

B

C

Infatti, nella figura precedente è mostrato l'insieme che si ottiene facendo l'unione di A con B Ý C; è evidente che,facendo l'intersezione dei due insiemi A Ü B ed A Ü C, si ottiene lo stesso insieme.


Carlo Greco :


Settembre 2009


Procedendo in modo analogo, verificare mediante i diagrammi di Venn, le seguenti proprietà:1°) A Ý HB Ü CL = HA Ý BL Ü HA Ý CL (distributività dell'intersezione rispetto all'unione);2°) CE HA Ü BL = CE HAL Ý CE HBL.3°) CE HA Ý BL = CE HAL Ü CE HBL (leggi di De Morgan).

Molte proprietà delle operazioni tra insiemi possono essere verificate, oltre che con i diagrammi di Venn, anche mediantel'uso dei connettivi logici e delle tavole di verità per le proposizioni.Ad esempio, supponiamo che i tre sottoinsiemi A, B e C dello stesso insieme E siano definiti mediante le tre predicatiAHxL, BHxL e CHxL nel modo seguente:

A = 8x Î E AHxL<;B = 8x Î E BHxL<;C = 8x Î E CHxL<.

Allora l'intersezione, ad esempio, di A e B, sarà definita mediante il predicato AHxL ì BHxL, il complementare di A in Emediante il predicato Ø AHxL, eccetera, nel modo seguente:

A Ý B = 8x Î E AHxL ì BHxL<; CE HAL = 8x Î E Ø AHxL<.Pertanto, per dimostrare, ad esempio, che CE HA Ü BL = CE HAL Ý CE HBL, basta dimostrare che:

Ø HAHxL ê BHxLL � HØ AHxLL ì HØ BHxLL,e questo può essere fatto mediante le tavole di verità:

AHxL BHxL ØHAHxLÞBHxLL HØAHxLLßHØBHxLLVero Vero Falso FalsoVero Falso Falso FalsoFalso Vero Falso FalsoFalso Falso Vero Vero

Esercizio 1.6.0 - 4. Adoperando il metodo delle tavole di verità, dimostrare che A Ý HB Ü CL = HA Ý BL Ü HA Ý CL, e cheCE HA Ý BL = CE HAL Ü CE HBL.Soluzione.

Reset CE HAÝBL = CE HALÜCE HBL AÝHBÜCL = HAÝBLÜHAÝCL

Esercizio 1.6.0 - 5. Elencare gli elementi del prodotto cartesiano di A = 8-2, 0<, e di B = 80, 1, 2<, e rappresentare graficamente A´ B nelpiano cartesiano.Fare poi la stessa cosa per B´ A. Il prodotto cartesiano è commutativo?

Esercizio 1.6.0 - 6. A cosa è uguale il prodotto cartesiano di A´ HB Ü CL? e di A´ HB Ý CL?E' possibile definire il concetto di terna ordinata, e di prodotto cartesiano di tre insiemi. Ad esempio, se A = 81, 2<,B = 8a, b<, C = 8x, y, z<, il prodotto cartesiano di A´ B´C è il seguente:

A´B´C = 8H1, a, xL, H1, a, yL, H1, a, zL, H1, b, xL, H1, b, yL, H1, b, zL, H2, a, xL, H2, a, yL, H2, a, zL, H2, b, xL, H2, b, yL, H2, b, zL<.Chiaramente tale prodotto cartesiano non è rappresentabile nel piano, ma solo nello spazio.

Carlo Greco :


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1

2

a

bx

y

z

Esercizio 1.6.0 - 7. Definire il prodotto cartesiano di 4 insiemi, e, più in generale, il prodotto cartesiano di n insiemi, dando vari esempi inproposito.

1.7. Funzioni tra insiemi

Consideriamo il seguente grafico "a frecce'':

4 4

3

11

5

2

1

3

2

Figura 1

E F

Le frecce tra l'insieme E ed F definiscono una corrispondenza che associa agli elementi 1, 2, 3, 4 di E rispettivamente glielementi 5, 1, 1, 4 di F. Tale legge gode di due importanti proprietà:1°) anzitutto, ad ogni elemento di E corrisponde un elemento di F , cioé non ci sono elementi di E dai quali non partauna freccia verso F;2°) inoltre, ad un elemento di E è associato un unico elemento di F, cioé nessuna freccia si "biforca'' verso due o piùelementi di F.La corrispondenza tra E ed F stabilita dal grafico precedente, si dice funzione di E in F, secondo la seguente definizione.

Definizione 1.7.0 - 1. (Funzione tra insiemi)Siano E ed F due insiemi. Si dice funzione di E in F, e si denota con f : E ® F una legge che associa ad ogni elemento

di E uno ed un solo elemento di F.

Si noti che, ad esempio, la legge definita dal seguente grafico:

Carlo Greco :


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4 4

3

1

3

2

1

5

2

1

3

2

E F

non è una funzione, in quanto all'elemento 3 di E sono associati i due elementi 1 e 2 di F.Anche la legge definita dal grafico seguente:

3

11

5

2

1

3

2

44E F

non è una funzione, in quanto all'elemento 4 di E non è associato alcun elemento di F.

L'insieme E si dice insieme di partenza per f , mentre F si dice insieme di arrivo. Inoltre, se indichiamo con x un

generico elemento dell'insieme E l'elemento di F che corrisponde ad x viene indicato con f @xD.Solitamente se E ed F sono insiemi numerici, la legge f é espressa mediante simboli di operazioni matematiche da

eseguire su x.Ad esempio si può considerare la funzione f : N ® Z che ad ogni intero naturale x associa il numero relativo

f @xD = 2 x - 7. L'espressione 2 x - 7 rappresenta il complesso delle operazioni matematiche (moltiplicare per due e

sottrarre sette) simboleggiate dalla lettera f (il "nome'' della funzione). Volendo, la funzione f può essere rappresentata

con il grafico:

0 -7

1 -5

2 -3

3 -1

4 1E Fº

º

º

º

f

Ovviamente, se cambiano le operazioni da eseguire su x, cambia la funzione, ed essa sarà indicata con un simbolodiverso. Ad esempio g@xD = 10 - x2. Diamo ora la seguente definizione.

Carlo Greco :


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Ovviamente, se cambiano le operazioni da eseguire su x, cambia la funzione, ed essa sarà indicata con un simbolodiverso. Ad esempio g@xD = 10 - x2. Diamo ora la seguente definizione.

Definizione 1.7.0 - 2. (Grafico di una funzione tra insiemi)Siano E ed F due insiemi, e sia f : E ® F una funzione di E in F. Si dice grafico della funzione f , l'insieme

G f = 8Hx, yL Î E ´ F x Î E, y = f @xD<.Dunque il grafico di f : E ® F ottiene considerando tutte quelle coppie del prodotto cartesiano di E per F del tipo

Hx, f @xDL, al variare di x in E.

Ad esempio, se f è la funzione della Figura 1, si ha

G f = 8 H1, 5L, H2, 1L, H3, 1L, H4, 4L<.Naturalmente G f Ì E ´ F. Così come E ´ F può essere rappresentato mediante un insieme di punti nel piano, così anche

G f può essere rappresentato allo stesso modo.

Ad esempio, sempre per la funzione della Figura 1, il prodotto cartesiano di E per F è costituito da tutte le coppieindicate nella figura sottostante, mentre il sottoinsieme che costituisce il grafico di f , è formato dalle coppie indicate con

un punto rosso:

H1, 1L

H1, 2L

H1, 3L

H1, 4L

H1, 5L

H2, 1L

H2, 2L

H2, 3L

H2, 4L

H2, 5L

H3, 1L

H3, 2L

H3, 3L

H3, 4L

H3, 5L

H4, 1L

H4, 2L

H4, 3L

H4, 4L

H4, 5L

1 2 3 4x

1

2

3

4

5

y

1.8. Funzioni ingettive e surgettive

Sia ancora f : E ® F una funzione di E in F.

Definizione 1.8.0 - 1. (Codominio)Si dice codominio di f : E ® F l'insieme di tutti gli elementi y di F per i quali esiste un x appartenente ad E tale che

y = f @xD.In altri termini il codominio di f é l'insieme di tutti gli elementi di F che corrispondono a qualche elemento di E.

Esempio 1.8.0 - 1. Se f è la funzione della Figura 1 precedente, l'elemento y = 5 di F è nel codominio di f in quanto esiste l'elemento

x = 1 di E tale che f @1D = 5. Analogamente per y = 1 esiste l'elemento x = 2 di E tale che f @2D = 1, anzi, in questo

caso di elementi x tali che f @xD = 1 ve ne sono due, cioè x = 2 e x = 3, perché anche f @3D = 1. Infine, essendo

f @4D = 4, anche 4 è nel codominio di f . In definitiva, il codominio di f è l'insieme 81, 4, 5<.Esempio 1.8.0 - 2. Sia f : N ® Z così definita: f @xD = x - 7. Dando ad x i valori 1, 2, 3, 4, ecc., i valori corrispondenti di f @xD sono

8-6, -5, -4, -3, º<, pertanto il codominio di f è costituito da tutti gli interi relativi maggiori o uguali a -6.

Il codominio di f : E ® F si indica con f @ED. In simboli la definizione si può esprimere nel modo seguente:

f @ED = 8y Î F $ x Î E ' ' f @xD = y<, oppure: f @ED = 8 f @xD x Î E<.Si noti che f @ED è sempre un sottoinsieme di F, ma, in generale non coincide con F. Ad esempio, ancora per la funzione

di Figura 1, si ha f @ED = 81, 4, 5<, mentre F = 81, 2, 3, 4, 5<.

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Si noti che f @ED è sempre un sottoinsieme di F, ma, in generale non coincide con F. Ad esempio, ancora per la funzione

di Figura 1, si ha f @ED = 81, 4, 5<, mentre F = 81, 2, 3, 4, 5<.Definizione 1.8.0 - 2. (Funzione surgettiva)Una funzione f : E ® F si dice surgettiva se risulta f @ED = F.

In altri termini una funzione si dice surgettiva se il suo codominio coincide con l'insieme di arrivo della funzione. Lefunzioni considerate negli esempi precedenti, non sono surgettive. Vedremo invece tra poco esempi di funzioni surgettive.Vediamo ora in che modo é possibile, in pratica, determinare il codominio di una funzione. Se si vuole determinare ilcodominio di f : E ® F, si fissa un y Î F, e si vede se l'equazione f @xD = y, nell'incognita x, è risolubile. Tale equazione

potrà essere risolubile, ad esempio, solo per alcuni valori di y, e, in tal caso, tali valori di y costituiscono il codominio di

f .

Esempio 1.8.0 - 3. Sia f : R ® R la funzione così definita: f @xD = x2. Per determinarne il codominio, fissiamo y Î R, e cerchiamo di

risolvere l'equazione f @xD = y, cioè x2 = y. Dobbiamo allora imporre che sia y ³ 0 (perché con y < 0 l'equazione x2 = y

non sarebbe risolubile) e, in tal caso, otteniamo le due soluzioni x = ± y . Dunque il codominio di f è @0, +¥ @, cioè

f @RD = @0, +¥@.Esempio 1.8.0 - 4.

Sia ora f : R ® R la funzione definita nel modo seguente: f @xD =1

x2+1. Per determinarne il codominio, fissiamo

nuovamente y Î R, e cerchiamo di risolvere l'equazione f @xD = y, cioè 1

x2+1= y. Dobbiamo anzitutto imporre che sia

y ¹ 0, e allora, passando ai reciproci, otteniamo x2 + 1 =1

y, da cui x2 =

1-y

y. Per ricavare x si deve ora imporre che sia

1-y

y³ 0, cioè

y-1

y£ 0, il che accade per y ÎD 0, 1D. Si noti che quest'ultima condizione su y comprende anche la

condizione y ¹ 0 trovata prima.

Dunque, se y ÎD 0, 1D, si ottengono le due soluzioni x = ±1-y

y. Dunque f @RD =D 0, 1D.

Definizione 1.8.0 - 3. (Funzione ingettiva)Una funzione f : E ® F si dice ingettiva se verifica la seguente condizione:

" x1, x2 Î E, x1 ¹ x2 : f @x1D ¹ f @x2D.In altri termini, una funzione é ingettiva se, ad elementi distinti di E corrispondono elementi distinti di F.

Esempio 1.8.0 - 5. La funzione definita dal seguente grafico:

1 2 3 4x

1

2

3

4

5

y

è ingettiva in quanto ad elementi distinti di E corrispondono appunto elementi distinti di F (non è invece surgettiva).

Si noti che una funzione è non ingettiva se non verifica la condizione

1.8.0 - 1" x1, x2 Î E, x1 ¹ x2 : f @x1D ¹ f @x2Ddella definizione precedente. Poiché la tale condizione inizia con un quantificatore universale, la sua negazione è:

Carlo Greco :


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1.8.0 - 2$ x1, x2 Î E, x1 ¹ x2 ' ' f @x1D = f @x2D .

In altri termini, una funzione f non è ingettiva se esistono almeno due elementi distinti x1 e x2 di E ai quali la funzione f

fa corrispondere lo stesso elemento di E.

Esempio 1.8.0 - 6. La funzione definita dal seguente grafico:

1 2 3 4x

1

2

3

4

5

y

non è ingettiva in quanto ai due elementi di E distinti: x1 = 2 e x2 = 3 corrisponde lo stesso elemento y = 2 di F .

Osserviamo che la 1.8.0 - 1 può essere espressa anche nel modo seguente:

1.8.0 - 3" y Î f @ED : $ x Î E ' ' f @xD = y

ossia, a parole: per ogni y nel codominio di f , esiste uno ed un solo x in E tale che f @xD = y, e questa é, appunto la

condizione di ingettività 1.8.0 - 1, solo espressa con parole diverse.

La 1.8.0 - 3 suggerisce un modo pratico per studiare l'ingettività di una funzione: basta infatti fissare un y nel codominio

di f (che supponiamo di aver già calcolato) e vedere se l'equazione f @xD = y é risolubile univocamente oppure no. Nel

primo caso la funzione é ingettiva, altrimenti no.

Esempio 1.8.0 - 7. Sia f : R ® R la funzione f @xD = x2. Sappiamo da un esempio precedente, che il suo codominio è f @RD = @0, +¥@. Sia

y Î @0, +¥@; l'equazione f @xD = y ammette le due soluzioni x1�2 = ± y , pertanto la funzione f non è ingettiva.

Esempio 1.8.0 - 8.

La funzione f : R ® R tale che f @xD =1

x2+1 ha come codominio l'intervallo D 0, 1D, come sappiamo ancora da un esempio

precedente. Se y ÎD 0, 1D, l'equazione f @xD = y ammette le due soluzioni x1�2 = ±1-y

y, e pertanto non è ingettiva.

Osserviamo ora che é possibile contemporaneamente determinare il codominio di una funzione, e vedere se é ingettiva onon ingettiva. Basta infatti procedere come nell'esempio seguente.

Esempio 1.8.0 - 9.

Sia f :D 0, +¥@ ® R la funzione così definita: f @xD =1

x. Per determinarne il codominio e verificare se è ingettiva o no,

fissiamo y in R, e risolviamo l'equazione 1

x= y. Dobbiamo imporre anzitutto y ¹ 0, e poi si ha x =

1

y. Ora dobbiamo

imporre che sia 1

y> 0, cioè y > 0, e si ottiene x =

1

y2. La condizione y > 0 che abbiamo ottenuto significa che il

codominio di f è D 0, +¥@. Il fatto che, se y ÎD 0, +¥@ si ottiene solo la soluzione x =1

y2, significa che la funzione è

ingettiva.

Esempio 1.8.0 - 10.

Sia f : R \ 81< ® R la funzione così definita: f @xD =1

x3-1. Fissiamo y Î R; si ha:

1

x3-1= y �

y¹0x3 - 1 =

1

y� x3 =

1

y+ 1 =

1+y

y� x =

1+y

y3 .

Carlo Greco :


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1

x3-1= y �

y¹0x3 - 1 =

1

y� x3 =

1

y+ 1 =

1+y

y� x =

1+y

y3 .

Dunque il codominio di f è R � 80<, ed f è ingettiva.

Osserviamo ora che, se f é ingettiva, risolvendo l'equazione f @xD = y, si determina x in funzione di y. Si ottiene dunque

una nuova funzione che associa ad ogni elemento y del codominio di f , un unico elemento x di E. Tale nuova funzione

si dice inversa di f , e si indica col simbolo f -1.

Esempio 1.8.0 - 11.

Abbiamo visto che la funzione f :D 0, +¥@ ® R tale che f @xD =1

x è ingettiva e il suo codominio è D 0, +¥@. Abbiamo

anche visto che, se y ÎD 0, +¥@, dall'equazione f @xD = y si ottiene la soluzione (unica) x =1

y2. Questa espressione

definisce x in funzione di y e, pertanto, è la funzione inversa di f , cioè f -1@yD =1

y2.

Esempio 1.8.0 - 12.

Analogamente, la funzione inversa di f : R \ 81< ® R tale che f @xD =1

x3-1, è la funzione f -1@yD =

y+1

y3 , definita per

y Î R \ 80<.Ciò premesso, diamo ora in modo più preciso la definizione di funzione inversa.

Definizione 1.8.0 - 4. (Funzione inversa)Sia f : E ® F una funzione ingettiva. Si dice inversa di f , e si denota con f -1, la funzione f -1 : f @ED ® E che associa

ad ogni elemento y Î f @ED, quell'unico x Î E tale che f @xD = y.

Si noti infine che, in pratica, la variabile che compare nell'espressione di f -1 viene indicata ancora con x invece che con

y. Ad esempio, si può dire che l'inversa della funzione f @xD =1

x è la funzione f -1@xD =

1

x2, oppure che l'inversa della

funzione f @xD =1

x3-1 è la funzione f -1@xD =

x+1

x3 .

Osservazione. Osserviamo che, per definizione stessa di funzione inversa, si ha:

" x Î E : f -1@ f @xDD = x, e " y Î f @ED : f A f -1@yDE = y.

Terminiamo con un'ultima definizione.

Definizione 1.8.0 - 5. (Funzione bigettiva)Una funzione f : E ® F si dice bigettiva se è ingettiva e surgettiva.

Ad esempio, la funzione f : R ® R tale che f @xD = x3 è ingettiva e surgettiva (come è facile verificare), pertanto è

bigettiva.

1.9. Funzioni composte e restrizioni

Diamo la seguente definizione.

Definizione 1.9.0 - 1. (Funzione composta)Siano f : E ® F e g : G ® H due funzioni, con F Ì G. Si dice funzione composta da f e da g, e si indica con g ë f , la

funzione g ë f : E ® H tale che per ogni x Î E, si ha Hg ë f L@xD = g@ f @xDD.Dunque g ë f é una nuova funzione di E in H che si ottiene associando ad un generico elemento x di E, prima l'elemento

f @xD, e poi associando a questo elemento f @xD l'elemento g@ f @xDD di H .

Esempio 1.9.0 - 1. Siano f : E ® F e g : G ® H le funzioni definite dai seguenti grafici a frecce:

Carlo Greco :


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1

2

3

4

0

1

2

3

4

1

2

3

E GF

H

La funzione composta g ë f : E ® H è allora quella definita dal seguente grafico a frecce:

1

2

3

4

2

3

4

1

2

3

EF

H

Dall'esempio precedente dovrebbe essere chiaro il motivo per il quale, nella definizione di funzione composta ènecessario supporre F Ì G. Ad esempio, nella situazione seguente

1

2

3

4

0

1

2

3

4

1

2

3

7

E G

F

H

nella quale non si ha più F Ì G (perché 7 appartiene ad F ma non più a G), all'elemento x = 1 di E non è possibileassociare alcun elemento di H .

Esempio 1.9.0 - 2.

Siano f : R ® R e g : R ® R tali che f @xD = x2 + 1, g@xD =1

x2+1. Allora Hg ë f L : R ® R è la funzione così ottenuta:

Hg ë f L@xD = g@ f @xDD = gAx2 + 1E =1

Ix2+1M2+1

= 1

x4+2 x2+2,

cioé:

Hg ë f L@xD =1

x4+2 x2+2.

Esempio 1.9.0 - 3.

Sia f : R ® R tale che f @xD = x2, e g : @0, +¥@ ® R tale che g@xD = x . Allora g ë f : R ® R è la funzione così ottenuta:

Hg ë f L@xD = g@ f @xDD = gAx2E = x2 = x , cioè Hg ë f L@xD = x .

Osserviamo anche che, in generale, la composizione di applicazioni non è commutativa, cioè, in generale, g ë f ¹ f ë g.

Ad esempio, nel caso delle funzioni f : R ® R e g : R ® R tali che f @xD = x2 + 1, g@xD =1

x2+1, si ha:

Hg ë f L@xD =1

x4+2 x2+2

mentre:

Carlo Greco :


Settembre 2009

H f ë gL@xD = f @g@xDD = f B 1

x2+1F = J 1

x2+1N2

+ 1 =x4+2 x2+2

I1+x2M2,

cioé:

H f ë gL@xD =x4+2 x2+2

I1+x2M2.

E' anche possibile definire la composizione di tre o più applicazioni. Ad esempio, se f @xD = 2 x - 1, g@xD = x2, ed

h@xD = 3 x - 1, allora

Hhë g ë f L@xD = h@g@ f @xDDD = h@g@2 x - 1DD = hAH2 x - 1L2E =

= 3 H2 x - 1L2 - 1 = 12 x2 - 12 x + 2

Sia ora f : E ® F una funzione di E in F. Può essere opportuno, talvolta, considerare tale funzione non su "tutto''

l'insieme E, ma solo su una parte A di esso. Questo perché, ad esempio, la funzione può godere di particolari proprietà suun sottoinsieme A opportuno di E. Si viene così a definire una nuova funzione f : A ® F che differisce dalla precedente

solo per l'insieme di partenza, che non è più tutto E. Diamo quindi la seguente definizione.

Definizione 1.9.0 - 2. (Restrizione di una funzione tra insiemi)Sia f : E ® F una funzione di E in F. Se A è un sottoinsieme di E, si dice restrizione di f ad A, e si indica con f A la

funzione f A : A ® F tale che f A@xD = f @xD.Esempio 1.9.0 - 4.

Consideriamo la funzione f : R ® R tale che f @xD =1

x2+1. Sappiamo che f @RD =D 0, 1D, e che non è ingettiva in quanto,

se y ÎD 0, 1D, l'equazione y = f @xD ammette le due soluzioni x1�2 = ±1-y

y.

Ora, possiamo considerare, ad esempio, la restrizione di f all'intervallo A = @0, +¥@. Questa nuova funzione f @0,+¥@differisce da f solo per l'insieme di partenza, non essendo altro che la funzione f @xD =

1

x2+1 considerata per valori x ³ 0.

Si noti che, tuttavia, f @0,+¥@ gode di proprietà diverse da f , ad esempio, pur avendo lo stesso codominio di f (come si

controlla subito), è ingettiva, al contrario di f , infatti risolvendo l'equazione f @0,+¥@@xD = y si ottengono ancora le due

soluzioni x1�2 = ±1-y

y, ma, questa volta, la soluzione negativa deve essere scartata, quindi l'equazione f @0,+¥@@xD = y

ammette una sola soluzione.

1.10. Esercizi

Esercizio 1.10.0 - 1. Dire se le seguenti funzioni sono ingettive, surgettive; calcolarne il codominio e, se possibile, la funzione inversa.1°) f : R ® R così definita: f @xD = 5 x + 2;

2°) f : R ® R così definita: f @xD = x2 + 5;

3°) f : R ® R così definita: f @xD = 1 - x2;

4°) f : N ® R così definita: f @xD =x

2;

5°) f : @0, +¥@ ® R così definita: f @xD = x + 1 ;

6°) f : Z ® N così definita: f @xD = x2 + 1.

Carlo Greco :


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Esercizio 1.10.0 - 2. Per ciascuna delle funzioni f @xD e g@xD sotto indicate, calcolare le due funzioni composte g ë f e f ë g:

1°) f @xD = x + 1; g@xD =1

x;

2°) f @xD = x2; g@xD =x

x+1;

3°) f @xD =2

x-1; g@xD =

1

x;

4°) f @xD = x -1

x; g@xD = x +

1

x.

Carlo Greco :


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1.11. Relazioni tra insiemi

La nozione di funzione tra insiemi è un caso particolare di un altro concetto importante, quello di relazione tra elementidi due insiemi, al quale vogliamo brevemente accennare in questa sezione.Se E ed F sono due insiemi, una relazione tra gli elementi di E e quelli di F è semplicemente un sottoinsieme delprodotto cartesiano di E per F, secondo la seguente definizione.

Definizione 1.11.0 - 1. (Relazione tra due insiemi)Se E ed F sono due insiemi, si dice relazione tra gli elementi di E e quelli di F, qualsiasi sottoinsieme R di E ´ F; in

particolare, un sottoinsieme di E ´ E si dice relazione in E. Se Ha, bL Î R , si scrive anche a R b.

Dunque, se ad esempio E = 81, 2, 3<, ed F = 8a, b, c, d<, una relazione tra E ed F è, ad esempio, l'insieme:

R = 8H2, cL, H2, aL, H1, aL<.In particolare, se E ed F sono insiemi, e f : E ® F è una funzione di E in F, il suo grafico G f :

G f = 8Hx, f @xDL x Î E<è una particolare relazione tra E ed F, che si dice relazione funzionale.

Altri tipi importanti di relazioni in un insieme sono le relazioni d'ordine e quelle di equivalenza.

Definizione 1.11.0 - 2. (Relazione d'ordine)Se E è un insieme, ed R è una relazione in E, si dice che R è una relazione d'ordine se sono soddisfatte le seguentiproprietà per ogni a, b, c Î E:1°) a R a (riflessiva)2°) se a R b e b R a, allora a = b (antisimmetrica)

3°) se a R b e b R c, allora a R c (transitiva)

Esempio 1.11.0 - 1. Ad esempio, consideriamo l'insieme N degli interi naturali, consideriamo il prodotto cartesiano di N´N, e il sottoinsiemeR costituito dalle coppie "sopra la bisettrice del primo quadrante".

1 2 3 4 5 6 7 8 9x

123456789

y

La relazione R è riflessiva, antisimmetrica e transitiva, e non è altro che la consueta relazione £; infattiHa, bL Î R � a £ b.

Esempio 1.11.0 - 2. Se E è un insieme qualsiasi, la relazione di inclusione in PHEL è una relazione d'ordine nell'insieme delle parti di E.

Esempio 1.11.0 - 3. La relazione < non è una relazione d'ordine perché non soddisfa la proprietà riflessiva.

Diamo ora la definizione di relazione di equivalenza.

Definizione 1.11.0 - 3. (Relazione di equivalenza)Se E è un insieme, ed R è una relazione in E, si dice che R è una relazione di equivalenza se sono soddisfatte le

seguenti proprietà per ogni a, b, c Î E:1°) a R a (riflessiva)

2°) se a R b allora b R a (simmetrica)

3°) se a R b e b R c, allora a R c (transitiva)

Carlo Greco :


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1°) a R a (riflessiva)

2°) se a R b allora b R a (simmetrica)3°) se a R b e b R c, allora a R c (transitiva)

Esempio 1.11.0 - 4. L'esempio più ovvio di relazione di equivalenza è l'uguaglianza, che ovviamente verifica le tre proprietà riflessiva,simmetrica e transitiva.

Esempio 1.11.0 - 5. Se E è un insieme di persone, la relazione a R b � a è nato lo stesso anno di b, è di equivalenza.

Esempio 1.11.0 - 6. Se E è l'insieme delle rette del piano, la relazione a R b � la retta a è parallela alla retta b, è di equivalenza.

Ad una relazione di equivalenza in un insieme sono associati gli importanti concetti di classe di equivalenza e di

insieme quoziente.

Definizione 1.11.0 - 4. (Classe di equivalenza)Se E è un insieme, R è una relazione di equivalenza in E, e a Î E, si dice classe di equivalenza di a l'insieme8b Î E a R b<; esso si indica con R HaL.

Esempio 1.11.0 - 7. Se E è un insieme di persone, abbiamo visto che la relazione a R b � a è nato lo stesso anno di b, è di equivalenza. Ora,se a Î E, la classe di equivalenza di a non è altro che l'insieme di tutte le persone dell'insieme E nate nello stesso anno dia.

Esempio 1.11.0 - 8. Se E è l'insieme delle rette del piano, ed R è la relazione di parallellismo tra rette, e se a è una retta data, la sua classe diequivalenza è costituita da tutte le rette del piano parallele a quella data.E' facile verificare che ogni classe di equivalenza RHaL non è vuota perché contiene almeno l'elemento a (grazie allaproprietà riflessiva); due classi di equivalenza distinte sono disgiunte (se avessero un elemento comune coinciderebberoper la proprietà transitiva) e infine ogni elemento di E appartiene ad una ed una sola classe di equivalenza. Si dice che

l'insieme delle classi di equivalenza costituisce una partizione di E.

aRHaL

bRHbL

cRHcL

dRHdL

L'insieme di tutte queste classi di equivalenza, viene chiamato insieme quoziente.

Definizione 1.11.0 - 5. (Insieme quoziente)Se E è un insieme ed R è una relazione di equivalenza in E, si dice insieme quoziente, e si indica con E � R , l'insiemedelle classi di equivalenza degli elementi di E.

La definizione di insieme quoziente ricalca il processo mentale dell'astrazione: consiste nell'aggregare insieme elementiche si considerano tra loro equivalenti perché hanno in comune una certa caratteristica. Ad esempio, se E è l'insiemedelle rette del piano, ed R è la relazione (di equivalenza) di parallellismo, per ogni retta a, la classe RHaL contiene tutte lerette parallele ad a, e l'insieme di tutte le classi RHaL può essere pensato come l'insieme di tutte le direzioni del piano,dando così luogo al concetto astratto di direzione.Un altro esempio è il seguente.

Carlo Greco :


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Esempio 1.11.0 - 9. Introduciamo in R2 la seguente relazione:

se P1 = Hx1, y1L e P2 = Hx2, y2L, poniamo P1 R P2 � x1 - y1 = x2 - y2.

E' facile verificare che tale relazione è di equivalenza.

Infatti, è chiaro che P1 R P1, infatti x1 - y1 = x1 - y1; se poi P1 R P2, si ha banalmente anche P2 R P1; e infine, se

P1 R P2 e P2 R P3, allora si ha x1 - y1 = x2 - y2 = x3 - y3, e quindi P1 R P3.

Ora, se P1 = Hx1, y1L è un punto di R2 fissato, posto d = x1 - y1, l'insieme di tutti i punti equivalenti a quello dato è

l'insieme di tutti i punti P = Hx, yL tali che x - y = d , cioé y = x - d .

La classe RHP1L è dunque la retta passante per P1 e parallela alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.

L'insieme quoziente R2 � R è l'insieme di tutte le rette parallele a tale bisettrice.

1.12. Insiemi finiti, infiniti e numerabili

In questa sezione vedremo come è possibile precisare la nozione di insieme infinito. Iniziamo con l'osservare che ilconcetto di funzione bigettiva fornisce un modo semplice e naturale di confrontare tra loro gli insiemi. Diamo infatti laseguente definizione.

Definizione 1.12.0 - 1. (Insiemi equipotenti)Due insiemi E ed F si dicono equipotenti se esiste una funzione bigettiva f : E ® F di E in F.

E' molto facile verificare che la relazione di equipotenza gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva, cioé: E èovviamente equipotente a se stesso, inoltre se E è equipotente ad F, anche F è equipotente ad E, e infine se E èequipotente ad F, ed F è equipotente a G, allora F è anche equipotente a G. Si tratta dunque di una relazione diequivalenza.Ciò premesso, diamo la seguente definizione.

Definizione 1.12.0 - 2. (Insieme infinito) Un insieme E si dice infinito se è equipotente ad una sua parte propria. In caso contrario, si dice finito.

Esempio 1.12.0 - 1. L'insieme N degli interi naturali è infinito. Infatti, sia P l'insieme dei numeri pari, e consideriamo la funzione f : N ® P

così definita: f @nD = 2 n. Tale funzione associa ad ogni intero naturale n il numero (pari) 2 n. E' molto facile verificare

che tale funzione è una bigezione di N in P, pertanto N è equipotente a P, e poiché P è un sottoinsieme proprio di N, ciòdimostra che N è infinito.Volendo si potrebbe rappresentare la funzione f mediante lo schema seguente:

1.12.0 - 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 º

� � � � � � � � � »

2 4 6 8 10 12 14 16 18 º

Si potrebbe invece dimostrare che, se k Î N, l'insieme 8n Î N 1 £ n £ k<, cioè l'insieme dei numeri interi naturali minorio uguali a k, è un insieme finito perché (a prescindere dalle nostre conoscenze intuitive) non è equipotente ad alcuna suaparte propria.Tale affermazione si dimostra (per induzione su k), facendo vedere che non esiste alcuna funzione bigettiva di8n Î N 1 £ n £ k< in un suo sottoinsieme proprio.Possiamo ora pensare di fissare la nostra attenzione su tutti gli insiemi equipotenti ad N. Tali insiemi si dicono

numerabili secondo la seguente definizione.

Definizione 1.12.0 - 3. (Insiemi numerabili) Un insieme E si dice numerabile se è equipotente ad N .

Carlo Greco :


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Esempio 1.12.0 - 2. L'insieme P dei numeri pari è equipotente ad N, pertanto P è numerabile. Lo schema (0.0.0) dovrebbe mettere ben in luce

la sostanza della definizione di insieme numerabile: in sostanza un insieme E è numerabile se i suoi elementi possonoessere disposti in "successione''. Ovviamente gli elementi di P possono essere disposti secondo la "successione''2, 4, 6, 8, 10, ….

Esempio 1.12.0 - 3. L'insieme Z degli interi relativi è numerabile. Ciò potrebbe sembrare strano, perché disponendo gli elementi di Zsecondo la relazione d'ordine naturale di R si ottiene una successione priva di elemento iniziale:…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …. Tuttavia, cambiando la disposizione degli elementi si ottiene, ad esempio, lasuccessione: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, …, che mostra come Z sia effettivamente numerabile. L'espressione matematicadella corrispondenza

1 2 3 4 5 6 7 8 9 º

� � � � � � � � � »

0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4 º

è la seguente:

f[n]=

1-n

2se n è dispari

n

2se n è pari

(dimostrare, per esercizio, che tale funzione f : N ® Z è effettivamente una bigezione).

Esempio 1.12.0 - 4. L'insieme Q degli interi relativi è numerabile. Ciò può sembrare ancora più strano, in quanto Q è denso in R, quindi nonsi vede, inizialmente, come è possibile disporre gli elementi di Q in successione. Gli elementi di Q, a parte lo zero, sono

del tipo m

n, dove m è un intero relativo non nullo, e n è un intero naturale. Possiamo allora disporre gli elementi di Q nella

seguente tabella:

1

1-

1

1

2

1-

2

1

3

1-

3

1

4

1-

4

1

5

1º

1

2-

1

2

2

2-

2

2

3

2-

3

2

4

2-

4

2

5

2º

1

3-

1

3

2

3-

2

3

3

3-

3

3

4

3-

4

3

5

3º

1

4-

1

4

2

4-

2

4

3

4-

3

4

4

4-

4

4

5

4º

1

5-

1

5

2

5-

2

5

3

5-

3

5

4

5-

4

5

5

5º

º º º º º º º º º º

Osserviamo ora che nella tabella precedente compaiono certamente tutti gli elementi di Q, tranne lo zero, e anzicompaiono più di una volta in quanto molte delle frazioni della tabella non sono ridotte ai minimi termini. Se troviamo unmodo di disporre le frazioni della tabella in successione, avremo dimostrato la numerabilità di Q.Ovviamente non è possibile procedere riga dopo riga in quanto ogni riga è formata da infiniti elementi. Usiamo perciò unprocedimento "diagonale'', prendendo quindi le frazioni nel modo seguente:

Carlo Greco :


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1

1-

1

1

2

1-

2

1

3

1-

3

1

4

1-

4

1

5

1º

1

2-

1

2

2

2-

2

2

3

2-

3

2

4

2-

4

2

5

2º

1

3-

1

3

2

3-

2

3

3

3-

3

3

4

3-

4

3

5

3º

1

4-

1

4

2

4-

2

4

3

4-

3

4

4

4-

4

4

5

4º

1

5-

1

5

2

5-

2

5

3

5-

3

5

4

5-

4

5

5

5º

º º º º º º º º º º

Si ottiene così la successione:

1

1, - 1

1, 1

2, 1

3, - 1

2, 2

1, - 2

1, 2

2, - 1

3, 1

4, 1

5, - 1

4, 2

3, - 2

2, 3

1, 3

2, º º

ossia, aggiungendo lo zero ed eliminando i numeri razionali ripetuti:

0, 1, -1,1

2,

1

3, -

1

2, 2, -2, -

1

3,

1

4,

1

5, -

1

4,

2

3, 3,

3

2, º º

Siamo dunque riusciti a disporre tutti i numeri razionali in successione, e questo dimostra la numerabilità di Q. (Adifferenza di quanto fatto negli esempi precedenti, non diamo l'espressione matematica della bigezione f : N ® Q che

abbiamo costruito, essendo questa piuttosto complicata).

Vediamo ora come è possibile stabilire un "confronto'' tra insiemi, anche infiniti. Vogliamo infatti definire un criterio perstabilire se un certo insieme E è più o meno "numeroso'' di un altro insieme F. Gli esempi precedenti fanno comprendereche il fatto che sia, ad esempio, E Ì F, non vuol dir nulla. Ad esempio, sia Z che Q contengono entrambe propriamentel'insieme N, tuttavia sono equipotenti ad N.Diamo allora la seguente definizione.

Definizione 1.12.0 - 4. (Potenza minore)Si dice che E ha potenza minore di F se esiste una funzione ingettiva di E in F, ma non esiste alcuna funzione bigettiva

di E in F. Si scrive, in tal caso, E < F .

Esempio 1.12.0 - 5. E' chiaro che, se E ed F sono entrambe insiemi finiti, E < F � E ha meno elementi di F. E' anche chiaro che, seE è finito, e F è infinito, allora si ha sempre E < F .Si può dimostrare il seguente teorema.

Teorema 1.12.0 - 1. (Potenza dell'insieme delle parti)Se E è un insieme, si ha E < P HEL .

Dimostrazione. Dobbiamo dimostrare che esiste una funzione ingettiva di E in P HEL, ma non esiste alcuna funzionebigettiva di E in P HEL.In effetti, consideriamo la funzione f : E ® P HEL che associa ad ogni a Î E, l'elemento f @aD = 8a< di P HEL. E' immediato

che tale funzione è ingettiva.Per dimostrare invece che non esiste alcuna funzione bigettiva di E in P HEL, ragioniamo per assurdo, e supponiamoviceversa che f : E ® P HEL sia una funzione bigettiva di E in P HEL, e consideriamo il seguente sottoinsieme di E:

E0 = 8a Î E a Ï f @aD<.Poiché f è, in particolare, surgettiva, esisterà a0 Î E tale che f @a0D = E0; si possono presentare i seguenti due casi.

1°) caso: a0 Ï E0; ma allora dovrà essere a0 Î f @a0D = E0, e questo è assurdo.

2°) caso: a0 Î E0; ma allora, per definizione stessa di E0, si avrà a0 Ï f @a0D = E0, e anche questo è assurdo.

In tutti i casi si ottiene un assurdo, dovuto ad aver supposto all'inizio l'esistenza di una bigezione di E in P HEL, pertantotale bigezione non esiste. à

Carlo Greco :


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In tutti i casi si ottiene un assurdo, dovuto ad aver supposto all'inizio l'esistenza di una bigezione di E in P HEL, pertantotale bigezione non esiste. àIl teorema precedente afferma dunque che ogni insieme ha potenza inferiore a quella dell'insieme di tutti i suoisottoinsiemi. Tale teorema vale per qualsiasi insieme, anche infinito. In particolare, applicandolo all'insieme N, si ha che

N < P HNL . Dunque l'insieme delle parti di N è un insieme infinito ma non numerabile: è quindi essenzialmente più"numeroso'' di N stesso.Si potrebbe dimostrare che P HNL è equipotente ad R, e pertanto si dice che P HNL ha la potenza del continuo.Riapplicando il teorema precedente all'insieme delle parti di P HNL, si ottiene un nuovo insieme P HP HNLL di potenzasuperiore a quella di P HNL (e quindi di potenza superiore a quella di R), e così via.

1.13. Esercizi

Esercizio 1.13.0 - 1. Sia E un insieme qualsiasi, e si consideri la relazione R in P HEL così definita:

se A, B Î P HEL, si pone A R B se e solo se A Ý B ¹ Æ.

Stabilire se R gode di qualcuna delle seguenti proprietà: riflessiva, simmetrica, antisimmetrica, transitiva.

Esercizio 1.13.0 - 2. Siano E ed F insiemi qualsiasi, sia f : E ® F una funzione di E in F, e si consideri la relazione R in E così definita:

se a, b Î E, si pone a R b se e solo se f @aD = f @bD.Dimostrare che R è una relazione di equivalenza. Chi sono le classi di equivalenza?

Esercizio 1.13.0 - 3. Dimostrare che, se E è numerabile, allora anche E ´ E è numerabile.

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2. Insiemi numerici

2.1. L'insieme dei numeri reali

Nel capitolo precedente sono stati esposti i primi elementi della teoria degli insiemi. In questo capitolo ci occupiamo, più

in particolare, di insiemi numerici. Come abbiamo già anticipato, indichiamo con N l'insieme degli interi naturali:

N = 81, 2, 3, º<.In N vengono introdotte le operazioni di addizione e di moltiplicazione, e la relazione d'ordine £; dal punto di vistamatematico, è opportuno poter risolvere il maggior numero possibile di equazioni nell'insieme numerico che si considera.In N è possibile risolvere equazioni del tipo a + x = b (dove a e b sono interi naturali dati e x rappresenta l'incognita) solo

nel caso in cui risulta b > a; per poter risolvere tali equazioni anche nel caso b £ a, si introduce l'insieme Z degli interirelativi:

Z = 8º - 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, º<.Tale insieme può essere considerato come un ampliamento di N, cioé N Ì Z, ed esso eredita pure le due operazioni diaddizione e di moltiplicazione già presenti in N, ed anche la relazione £.Ora, nell'ambito dell'insieme Z, tutte le equazioni del tipo a + x = b (dove a, b Î Z sono assegnati, e x è l'incognita)sono risolubili; tuttavia vi è un altro tipo di equazioni che non sono sempre risolubili, e precisamente quelle del tipon x = m, dove m ed n sono interi relativi assegnati qualsiasi. Infatti, affinché tale equazione sia risolvibile nell'ambitodegli interi, m dev'essere un multiplo di n: ad esempio, l'equazione 3 x = 5 non è risolubile, mentre l'equazione 3 x = 6 loè.Per ovviare a tale inconveniente si è indotti ad ampliare ulteriormente l'insieme dei numeri interi relativi introducendo i

numeri razionali, cioé i numeri della forma m

n, dove m è un intero relativo ed n un intero naturale. Tale insieme si indica

con Q:

Q = 9 m

nm Î Z, n Î N= .

Identificando le frazioni del tipo m

1 con il numeratore m, l'insieme Z può essere considerato un sottoinsieme di Q: Z Ì Q,

ossia, equivalentemente, Q può essere considerato un ampliamento di Z. L'insieme Q eredita, a sua volta, le dueoperazioni di addizione e di moltiplicazione già presenti su Z, nonché la relazione d'ordine £.In Q si possono risolvere sia le equazioni del tipo a + x = b, sia quelle del tipo n x = m.

I numeri razionali possono essere rappresentati, mediante l'algoritmo euclideo della divisione, come allineamentidecimali (con segno) finiti o periodici, questi ultimi con un eventuale antiperiodo; ad esempio:

13

4= 3.25 Hdecimale finitoL

-51

50= -1.02 Hdecimale finitoL

34

9= 3.7777777777 ºº = 3. 7

- Hdecimale periodico, con periodo 7 e nessun antiperiodoL4324

825= 5.24121212121212121212 ºº = 5.24 12

-- Hdecimale periodico con periodo 12 e antiperiodo 24L.Ricordiamo che la frazione generatrice di un numero decimale periodico della forma n.aappp (dove n rappresenta la

parte intera, aa un antiperiodo di due cifre, e ppp un periodo di tre cifre, è data dalla formula:

Carlo Greco :

Precorso di Analisi Matematica2. Insiemi numerici 29

Settembre 2009

Ricordiamo che la frazione generatrice di un numero decimale periodico della forma n.aappp (dove n rappresenta la

parte intera, aa un antiperiodo di due cifre, e ppp un periodo di tre cifre, è data dalla formula:

naappp - naa

99 900.

Ad esempio, la frazione generatrice del numero 21.788 13--

, che ha un antiperiodo di tre cifre, ed un periodo di due cifre,si ottiene nel modo seguente:

2 178 813 - 21 788

99 000=

86 281

3960.

La giustificazione di questa regola sarà data in seguito, nel capitolo sulle serie.

Le osservazioni precedenti mostrano che ad ogni numero razionale corrisponde un allineamento decimale finito operiodico, ed ad ogni allineamento decimale finito o periodico corrisponde un numero razionale. Tale corrispondenza èanche biunivoca, a patto di identificare un allineamento decimale periodico di periodo nove, con un allineamento

decimale finito come, ad esempio: 23.45 9 = 23.46 ecc. ecc..L'insieme Q non è ancora sufficiente per le esigenze della matematica: manca infatti ancora la possibilità di risolvere, adesempio, la semplice equazione x2 - 2 = 0. E' infatti possibile dimostrare che non esiste alcun numero razionale il cui

quadrato sia uguale a 2 (cfr. Teorema (0.0.1)). Più in generale, non è sempre possibile risolvere in Q equazioni del tipo

xn = q, dove n è un intero naturale e q è un numero razionale positivo.

Questo ulteriore incoveniente porta alla necessità di ampliare ancora l'insieme Q, e ad introdurre, infine, l'insieme R deinumeri reali.I numeri reali possono essere introdotti come l'insieme di tutti i possibili allineamenti decimali (con segno), finiti,

periodici e aperiodici. Ovviamente Q Ì R, e in R si introducono, al solito, le due operazioni di addizione e dimoltiplicazione, e la relazione d'ordine £.Nell'ambito dei numeri reali, è possibile risolvere l'equazione x2 - 2 = 0: si dimostra infatti che essa ammette, come

unica soluzione positiva, il numero reale identificato dal seguente allineamento decimale aperiodico:

cifre 3

2 = 1.41

che si indica, convenzionalmente, con il simbolo 2 (radice quadrata di 2).Non solo, ma, una volta introdotto l'insieme R, è possibile dimostrare che, in esso, è possibile risolvere, più in generale,anche le equazioni del tipo xn = q, dove n è un intero naturale e q è un numero razionale positivo. Esse ammettono

un'unica soluzione positiva, che si indica convenzionalmente con qn , e si dice radice ennesima di q.

E' ora venuto il momento di rammentare le principali proprietà delle due operazioni e della relazione £ presenti su R.Esse sono le seguenti:1) Proprietà dell'addizione:- associatività: a + Hb + cL = Ha + bL + c;- commutatività: a + b = b + a;- esistenza dell'elemento neutro 0: 0 + a = a;- esistenza dell'opposto: a + H-aL = 0. 2) Proprietà della moltiplicazione:- associatività: aHb cL = Ha bL c;- commutatività: a b = b a;- esistenza dell'elemento neutro 1: 1 a = a;- esistenza del reciproco: aIa-1M = 1.

3) Proprietà che collegano addizione a moltiplicazione:- distributività: aHb + cL = a b + a c.

4) Proprietà della relazione d'ordine £:

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4) Proprietà della relazione d'ordine £:- riflessività: a £ a;- asimmetria: se a £ b e b £ a, allora a = b;- transitività: se a £ b e b £ c, allora a £ c;- dicotomia: si ha a £ b oppure b £ a.5) Proprietà che collegano la relazione £ con l'addizione e la moltiplicazione:- compatibilità con l'addizione: se a £ b, allora a + c £ b + c;- compatibilità con la moltiplicazione: se a £ b e se 0 £ c, allora a c £ b c.

Le precedenti proprietà 1) - 5) sono valide sia in R che in Q. La successiva proprietà di completezza è valida, invece,solo in R. Per enunciarla, premettiamo una definizione.

Definizione 2.1.0 - 1. (Insiemi separati)Due sottoinsiemi A e B di R si dicono separati se per ogni a Î A ed ogni b Î B, si ha a £ b.

Dunque gli insiemi A e B si dicono separati se ogni elemento del primo insieme è minore o al più uguale ad ognielemento del secondo insieme.Si noti che la nozione di insiemi separati è diversa da quella di insiemi disgiunti.Ad esempio, gli insiemi:

A = 8x Î R 1 £ x £ 2, oppure x = 6< e B = 8x Î R 7.5 £ x<sono separati, mentre gli insiemi:

A = 8x Î R 1 £ x £ 2, oppure x = 6< e B = 8x Î R 3 £ x < 5<non lo sono (ma sono disgiunti).

In R vale la seguente:

6) Proprietà di completezza:- se A e B sono due sottoinsiemi separati di R, esiste un c Î R tale che, per ogni a Î A ed ogni b Î B, si abbia a £ c £ b.

Insomma, tra due insiemi separati si trova sempre (almeno) un numero reale c, maggiore di ogni numero nel primo

insieme e minore di ogni numero nel secondo insieme. Un tale numero c si dice elemento di separazione tra A e B.Può accadere che tale elemento di separazione sia unico, come accade, ad esempio, per i due insiemi separati:

A = 8x Î R 1 £ x £ 2< e B = 8x Î R 2 £ x £ 3<,che ammettono, come unico elemento di separazione, il numero c = 2. In tal caso (cioé se l'elemento di separazione è

unico) i due insiemi A e B si dicono contigui. In altri casi vi possono essere infiniti elementi di separazione, come per gliinsiemi:

A = 8x Î R 1 £ x £ 2< e B = 8x Î R 3 £ x £ 4<,che ammettono, come elementi di separazione, tutti i numeri reali compresi tra 2 e 3.

Osservazione. La proprietà di completezza di R non è una proprietà banale, e distingue R da Q. Per comprenderlo, bastaconsiderare l'esempio dei due seguenti sottoinsiemi di Q:

A = 9q Î Q 0 £ q, e q2 < 2= e B = 9q Î Q 0 £ q, e 2 < q2= ;

l'insieme A è costituito dai numeri razionali in cui quadrato è minore di 2, mentre B è costituito dai numeri razionali il cuiquadrato è maggiore di 2; i due insiemi sono separati, ma non ammettono alcun elemento di separazione in Q.

Ammettono invece, come elemento di separazione, 2 , che però è un elemento di R, e non di Q.

Si intuisce che proprio la proprietà di completezza consente di definire la radice n -esima xn

di un generico numeroreale positivo x. Come vedremo in seguito, grazie ad essa è possibile definire altre funzioni elementari come la funzioneesponenziale, il logaritmo, ecc. ecc.. Terminiamo questa sezione sottolineando che tutte le proprietà e le regole di uso corrente sui numeri reali discendono

(cioé si possono dimostrare partendo) dalle proprietà 1) - 6) sopra enunciate.Ad esempio, la regola secondo cui il prodotto di un numero positivo per uno negativo è negativo ("più per meno fa

meno"), si enuncia formalmente nel modo seguente:

se 0 £ a e b £ 0, allora a b £ 0.

Tale regola non compare esplicitamente tra quelle enunciate sopra, tuttavia si potrebbe facilmente dimostrare a partiresolo da esse.

Carlo Greco :


Settembre 2009

Tale regola non compare esplicitamente tra quelle enunciate sopra, tuttavia si potrebbe facilmente dimostrare a partiresolo da esse.

Esercizio 2.1.0 - 1. Determinare le frazioni generatrici dei seguenti numeri decimali periodici.

Numero Soluzione Reset

Esercizio 2.1.0 - 2. Dire quali delle seguenti coppie di insiemi è separata, e, per ciascuna coppia di insiemi separati, individuare l'insiemedegli elementi di separazione.

A =D - ¥, 2D; B =D 2, 5D;A = @1, 2D Ü @5, 6D; B =D 3, 4@;

A =D - ¥, 2D Ü 86<; B = 85< ÜD 8, +¥@;A = 91 -

1

nn Î N= ; B = 8q Î Q 0 < q < 1< .

2.2. Intervalli

Ricordiamo ancora una volta le notazioni che useremo per indicare particolari sottoinsiemi di R, che vengono detti

intervalli di R.Ad esempio, se a e b sono due numeri reali, si pone:

D a, bD = 8x Î R a < x £ b<,cioé si indica con il simbolo D a, bD il sottoinsieme di R costituito da tutti i numeri reali che sono strettamente maggiori di

a e minori o uguali di b. Tale insieme si dice intervallo di estremi a, b, semiaperto a sinistra.In modo analogo, si pone:

D a, b @= 8x Î R a < x < b< (intervallo di estremi a, b, aperto);

@a, b @= 8x Î R a £ x < b< (intervallo di estremi a, b, semiaperto a destra);

@a, bD = 8x Î R a £ x £ b< (intervallo di estremi a, b, chiuso).

Si pone poi:

@a, +¥ @= 8x Î R a £ x< (intervallo di estremi a, +¥, chiuso);

D a, +¥@= 8x Î R a < x< (intervallo di estremi a, +¥, aperto);

D - ¥, aD = 8x Î R x £ a< (intervallo di estremi -¥, a, chiuso);

D - ¥, a @= 8x Î R x < a< (intervallo di estremi -¥, a, aperto).

Si noti che non sono corretti simboli del tipo @a, + ¥D. Infatti la parentesi quadra rivolta verso l'interno starebbe adindicare che +¥ appartiene all'intervallo, il che non é vero dato che +¥ non é certo un numero reale.Infine, porremo in seguito:

R+ =D 0, +¥@, R- =D - ¥, 0@ .

Osservazione. E' opportuno osservare esplicitamente che, sebbene gli intervalli siano i più comuni sottoinsiemi di R cheavremo modo di considerare nel seguito, esistono molti altri tipi di sottoinsiemi di R, e tante definizioni che abbiamodato e che daremo, devono pensarsi (a meno di esplicito avviso) riferite a generici sottoinsiemi di R, che non sononecessariamente intervalli.

Carlo Greco :


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Osservazione. E' opportuno osservare esplicitamente che, sebbene gli intervalli siano i più comuni sottoinsiemi di R cheavremo modo di considerare nel seguito, esistono molti altri tipi di sottoinsiemi di R, e tante definizioni che abbiamodato e che daremo, devono pensarsi (a meno di esplicito avviso) riferite a generici sottoinsiemi di R, che non sononecessariamente intervalli.A titolo di esempio, indichiamo i seguenti due sottoinsiemi di R, che non sono certamente intervalli:

1) l'insieme A = 9 1

nn Î N= dei reciproci dei numeri interi naturali;

2) l'insieme A = 8q Î Q 0 £ q £ 1< dei numeri razionali compresi tra zero e uno.

2.3. L'insieme dei numeri complessi

In questa sezione vedremo in che modo possono essere definiti i numeri complessi, a cosa servono, e quali sono le loroprincipali proprietà.

2.3.1. Generalità sui numeri complessi

Come abbiamo già visto nella sezione sugli insiemi numerici, la necessità di ampliare sempre più l'insieme N degli interinaturali fino ad arrivare all'insieme R dei numeri reali, deriva dalla necessità di risolvere le equazioni. Ricordiamobrevemente quanto abbiamo già esposto.Poiché in N non è sempre risolubile l'equazione n + x = m (è risolubile solo se m > n), si introducono i numeri relativi:nell'insieme Z tale equazione è sempre risolubile, ed ha x = m - n come soluzione.D'altra parte, in Z non è sempre risolubile l'equazione a x + b = 0, il che porta ad introdurre l'insieme dei numerirazionali Q.Anche l'insieme Q non è sufficientemente ampio per le esigenze della matematica: un'equazione di secondo grado comex2 - 2 = 0 non è risolubile in Q, dato che non esiste alcun numero razionale il cui quadrato sia uguale a 2; ciò portaall'introduzione dell'insieme dei numeri reali R. In tale insieme l'equazione x2 - 2 = 0 ha come soluzioni i due numeri

irrazionali x1�2 = ± 2 .

La costruzione degli insiemi Z, Q, R, può essere vista come costruzione di successivi ampliamenti dell'insieme N degliinteri naturali, volendo con questo significare che sussiste la seguente catena di inclusioni: N Ì Z Ì Q Ì R.Arrivati a questo punto, ci accorgiamo immediatamente che neanche R è sufficientemente ampio per tutto quello che sidesidererebbe fare.Ad esempio, la semplicissima equazione di secondo grado x2 + 1 = 0 non è risolubile in R, infatti non esiste alcunnumero reale il cui quadrato sia uguale a -1.Questo inconveniente è aggravato dal fatto che l'equazione precedente non è l'unica equazione di secondo grado a nonessere risolubile in R.Infatti, anche l'equazione, leggermente più generale, x2 + k = 0 non è risolubile se k > 0.

Ancora più in generale, consideriamo la generica equazione di secondo grado a x2 + b x + c = 0 (ovviamente con a ¹ 0) evediamo con quale procedimento è possibile ricavare x: il metodo che si usa solitamente è quello del "completamento delquadrato''. Si scrive cioé:

a x2 + b x + c = aIx2 +b

ax +

c

aM = aJJx2 + 2 b

2 ax + J b

2 aN2N - J b

2 aN2

+c

aN = aJJx +

b

2 aN2

-b2-4 ac

4 a2N = aJJx +

b

2 aN2

+-D

4 a2N

avendo indicato con D la quantità b2 - 4 a c (il discriminante dell'equazione). Dunque l'equazione data diventa:

Jx +b

2 aN2

+-D

4 a2= 0.

Ora, se il discriminante D = b2 - 4 a c è positivo o nullo, è possibile ricavare x dall'equazione precedente, ottenendo ledue soluzioni

2.3.1 - 1x1�2 =-b ± b2 - 4 ac

2 a

ma, se D < 0, lo stesso passaggio non è possibile dato che, in R, non esiste un numero il cui quadrato sia negativo. Inconclusione, abbiamo ottenuto il seguente risultato:

le uniche equazioni di secondo grado risolubili in R sono quelle con discriminante positivo o nullo.

Carlo Greco :


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le uniche equazioni di secondo grado risolubili in R sono quelle con discriminante positivo o nullo.

Per ovviare a questo inconveniente, consideriamo nuovamente l'equazione x2 + 1 = 0, e osserviamo che, volendolarisolvere "formalmente'', possiamo scrivere:

x2 + 1 = 0 � x2 = -1 � x = ± -1 .

Al simbolo -1 , che a questo punto non sappiamo ancora bene cosa sia, ma che vorremmo considerare come "un

nuovo numero'', diamo il nome di unità immaginaria, e indichiamolo con ä: ä = -1 . Questo nuovo numero gode dellaproprietà che ä2 = -1, che lo rende appunto soluzione di x2 + 1 = 0. Possiamo allora dire che le soluzioni dell'equazionex2 + 1 = 0 sono x1�2 = ± ä.

Esaminiamo ora l'equazione più generale x2 + k = 0, con k > 0.

Se ammettiamo che il nuovo numero ä possa essere moltiplicato per un numero reale, e che per esso valgano le consueteregole aritmetiche (ad esempio la proprietà commutativa del prodotto, ecc. ecc.), possiamo dire che anche l'equazione

x2 + k = 0, con k > 0, ammette le soluzioni x1�2 = ± ä k . Infatti

J± ä k N2= ä2 k = -k

Ammettiamo ora che l'unità immaginaria ä possa non solo essere moltiplicata, ma anche sommata ad un numero reale,

dando così luogo a "numeri'' della forma a + ä b, per i quali valgano tutte le consuete regole aritmetiche; la formula 2.3.1

- 1 ha allora senso anche nel caso in cui D < 0, solo che, in questo caso, le soluzioni x1�2 si scrivono adoperando l'unità

immaginaria ä, nel modo seguente:

x1�2 =-b

2 a± ä

-D

2 a.

Ammettiamo che due numeri complessi a + ä b e a¢ + ä b¢ possano essere sommati tra loro in modo naturale:

2.3.1 - 2(a + I b) + (a' + I b') = (a + a') + I (b + b')

e anche moltiplicati tra loro come se fossero numeri reali, con la sola regola aggiuntiva che ä2 = -1:

2.3.1 - 3(a + I b) (a' + I b') = (a a' - b b') + I (a b' + a' b).

Adoperando le due formule precedenti, possiamo verificare, a titolo di esercizio, ed anche per "toccare con mano'' quantoaffermato, che effettivamente i numeri x1�2 sono soluzioni dell'equazione a x2 + b x + c = 0.

Si ha:

Hx1�2L2 = K -b

2 a± ä

-D

2 aO2

=b2

4 a2± 2 -b ä -D

4 a2+ ä2 -D

4 a2=

b2

4 a2± 2 -b ä -D

4 a2+

D

4 a2=

b2+D

4 a2± ä

-b -D

2 a2=

b2-2 ac

2 a2± ä

-b -D

2 a,

quindi, sostituendo nell'equazione:

aK b2-2 a c

2 a2± ä

-b -D

2 a2O + bK -b

2 a± ä

-D

2 aO + c =

b2-2 a c

2 a± -

äb -D

2 a+

-b2

2 a± ä

b -D

2 a+ c =

=b2-2 a c¡ä b -D -b2±ä b -D

2 a+ c = 0.

I "numeri'' della forma a + ä b vengono chiamati numeri complessi. In conclusione abbiamo ottenuto che:

le equazioni di secondo grado con discriminante negativo, hanno, formalmente, due soluzioni complesse, che sonodate dalla formula :

x1�2 =-b

2 a± ä

-D

2 a.

L'utilità dei numeri complessi non è limitata alla risoluzione delle equazioni di secondo grado: si può infatti dimostrareanche le equazioni di grado superiore al secondo sono risolubili mediante i numeri complessi, senza bisogno di introdurrealtri tipi di numeri.Arrivati a questo punto, è necessario capire meglio cosa sono questi numeri complessi, in modo che essi abbiano pienodiritto di cittadinanza in matematica.

Carlo Greco :


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Arrivati a questo punto, è necessario capire meglio cosa sono questi numeri complessi, in modo che essi abbiano pienodiritto di cittadinanza in matematica.Quando sono stati introdotti i vari ampliamenti di N, ciascun nuovo tipo di numero è stato definito a partire dal tipoprecedente: ad esempio, un numero reale è stato definito come elemento di separazione tra due insiemi contigui dinumeri razionali, ecc. ecc.. Analogamente, sembra naturale cercare di definire un numero complesso mediante numerireali.Poichè i numeri complessi sono della forma a + ä b, è naturale pensare di definire a + ä b mediante la coppia ordinata dinumeri reali Ha, bL.In particolare, essendo ä = ä ×1 + 0, l'unità immaginaria si identifica con la coppia H0, 1L:

ä º (0, 1).

In questo modo, l'insieme dei numeri complessi viene ad essere definito come il prodotto cartesiano di R per se stesso.Tale prodotto cartesiano verrà indicato con C.Affinché gli elementi di C possano essere chiamati effettivamente numeri, è ora necessario introdurre "ufficialmente''opportune operazioni di addizione e moltiplicazione tra i numeri complessi, cioé tra coppie di numeri reali.

Per fare ciò, prendiamo spunto dalle 2.3.1 - 2 e 2.3.1 - 3, e definiamo un'operazione di somma in C nel modo seguente:

2.3.1 - 4(a, b) + (a', b') = (a + a', b + b')

2.3.1 - 5(a, b) (a', b') = (a a' - b b', a b' + a' b)

Si può dimostrare che queste operazioni godono delle stesse proprietà di cui godono l'addizione e la moltiplicazione in R,ad esempio vale la proprietà commutativa, associativa, ecc. ecc..In particolare, lo zero per l'addizione è la coppia H0, 0L, l'opposto di Ha, bL è la coppia H-a, -bL, e il reciproco di unacoppia Ha, bL ¹ H0, 0L è la coppia:

J a

a2+b2, -b

a2+b2N.

L'insieme C, munito delle due operazioni sopra definite, è quello che si chiama il campo dei numeri complessi.Resta ora da spiegare come si può recuperare la consueta notazione a + ä b, più naturale dal punto di vista dei calcoli.

A tale scopo, osserviamo che un numero reale a, potendosi scrivere nella forma a = a + ä ×0, può essere identificato conla coppia Ha, 0L; indichiamo per un momento con a

` tale coppia:

a`

= Ha, 0L.Prendiamo ora un b Î R, e proviamo ad eseguire il prodotto di ä per b

`. Si ha:

ä b`

= H0, 1L Hb, 0L = H0, bL;(abbiamo applicato, ovviamente, la 2.3.1 - 3). Si ha allora, applicando la 2.3.1 - 2:

Ha, bL = Ha, 0L + H0, bL = a`

+ ä b`.

Dunque una coppia ordinata Ha, bL può essere scritta nella forma a`

+ ä b`:

Ha, bL = a`

+ ä b`.

Il secondo membro di tale espressione non ha più nessun carattere incerto o misterioso: è infatti semplicemente la sommadi due coppie ordinate di numeri reali.

Ovviamente, di solito si scrive semplicemente a + ä b invece che a`

+ ä b` in quanto si identifica il numero reale a con la

coppia a`

= Ha, 0L che lo rappresenta.Resta così chiarito perché un numero complesso, che è una coppia ordinata Ha, bL, possa essere tranquillamente indicatocon la notazione a + ä b.Tale notazione si dice forma algebrica dei numeri complessi.

Osserviamo anche, che, se identifichiamo ogni numero reale a con il numero complesso a`, abbiamo che un numero reale

può essere considerato come un particolare numero complesso, pertanto l'insieme dei numeri reali può essere consideratoun sottoinsieme di C: R Ì C, ossia C è un ampliamento di R.Terminiamo questa introduzione ai numeri complessi con un'ultima osservazione particolarmente importante.

L'insieme R dei numeri reali è munito, come sappiamo, di una relazione d'ordine. Essa ha, tra l'altro, la proprietà che, se

x è un numero reale, il numero x2 è positivo (i quadrati sono positivi). E' chiaro che in C non può esistere un'analogarelazione d'ordine, infatti, in caso contrario, il numero ä2 dovrebbe essere positivo, dato che è un quadrato. Ma ciò èassurdo in quanto ä2 = -1 < 0! questa contraddizione si spiega con il fatto che in C è impossibile introdurre una relazioned'ordine che goda delle stesse proprietà di quella di R, e che ne sia, per questo motivo, una naturale estensione.

Carlo Greco :


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L'insieme R dei numeri reali è munito, come sappiamo, di una relazione d'ordine. Essa ha, tra l'altro, la proprietà che, se

x è un numero reale, il numero x2 è positivo (i quadrati sono positivi). E' chiaro che in C non può esistere un'analogarelazione d'ordine, infatti, in caso contrario, il numero ä2 dovrebbe essere positivo, dato che è un quadrato. Ma ciò èassurdo in quanto ä2 = -1 < 0! questa contraddizione si spiega con il fatto che in C è impossibile introdurre una relazioned'ordine che goda delle stesse proprietà di quella di R, e che ne sia, per questo motivo, una naturale estensione.Di conseguenza, non ha alcun senso considerare disequazioni in C, come ad esempio x2 - 5 > ä o simili: le disequazionihanno senso solo ed esclusivamente nel campo reale!

2.3.2. I numeri complessi in forma algebrica

Diamo la seguente definizione.

Definizione 2.3.2 - 1. (Parte reale e parte immaginaria)Se z = a + ä b è un numero complesso, i numeri reali a e b si dicono, rispettivamente, parte reale e parte immaginariadi z, e si indicano, rispettivamente, con Re@zD e con Im@zD.

Ad esempio, se z = 2 - 4 ä, la parte reale di z è 2, mentre la sua parte immaginaria è -4. Poiché l'insieme C si identificacon R2, esso può essere rappresentato geometricamente da un piano cartesiano. Il numero complesso z si identifica con ilpunto di ascissa Re@zD e ordinata Im@zD. Tale piano cartesiano, pensato come rappresentazione geometrica di C, si chiama piano di Gauss. Ovviamente duenumeri complessi z e z ' coincidono se e solo se Re@zD = Re@z¢D e Im@zD = Im@z¢D. Un numero complesso z tale che

Re@zD = 0, si dice immaginario puro.

Ad esempio, 2 ä, -3 ä, ecc. ecc. sono immaginari puri. Ovviamente anche l'unità immaginaria ä è un immaginario puro.Nel piano di Gauss, i numeri reali sono rappresentati sull'asse delle ascisse, mentre gli immaginari puri sono

rappresentati sull'asse delle ordinate. Per questo motivo, nel piano di Gauss l'asse delle ascisse viene anche detto assereale, e quello delle ordinate viene detto anche asse immaginario.

Definizione 2.3.2 - 2. (Complesso coniugato)Se z = a + ä b è un numero complesso, il numero a - ä b si dice complesso coniugato di z e si indica con z: z = a - ä b.

Ad esempio, se z = 5 - 2 ä, allora z = 5 + 2 ä, ecc. ecc..

Dal punto di vista geometrico, il coniugato di un numero complesso z è il simmetrico di z rispetto all'asse reale.

z

z

x

y

Ovviamente il coniugato di un numero reale è il numero reale stesso. Si dimostra poi il seguente teorema.

Teorema 2.3.2 - 1. (Proprietà del coniugato di un numero complesso)Se z e w sono due numeri complessi, si ha:

1°) z=

= z;

2°) z + z = 2 Re@zD;3°) z - z = 2 Im@zD;4°) w + z = w + z;5°) z w = z w.

Dimostrazione. Verifichiamo, a titolo di esempio, solo l'ultima proprietà: poniamo z = a + ä b e w = c + ä d; si ha allora:

z w = Ha + ä bL Hc + ä dL = Ha c - b dL + äHa d + b cL = Ha c - b dL - äHa d + b cL.D'altra parte, si ha anche:

z w = Ha + ä bL Hc + ä dL = Ha - ä bL Hc - ä dL = Ha c - b dL - äHa d + b cL.da cui l'uguaglianza dei primi membri. à

Diamo ora la seguente definizione.

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Diamo ora la seguente definizione.

Definizione 2.3.2 - 3. (Modulo di un numero complesso)

Se z = a + ä b, si dice modulo di z il numero (reale) a2 + b2 . Esso si indica con z :

z = a2 + b2 .

Dal punto di vista geometrico, il modulo di z rappresenta la distanza di z dall'origine degli assi:

z = a + ä b

a

b

a2 + b2

x

y

Si ha dunque, ad esempio:

1 - ä = 1 + 1 = 2 ; 2 + 3 ä = 4 + 9 = 13 ;

3 - 4 ä = 3 + 16 = 5.

Se a è un numero reale, il suo valore assoluto coincide col modulo di a considerato come numero complesso.Ovviamente ä = 1, e per un numero immaginario puro ä b si ha ä b = b .Il seguente teorema riassume le principali proprietà del modulo.

Teorema 2.3.2 - 2. (Proprietà del modulo di un numero complesso)Se z e z¢ sono due numeri complessi, si ha:1°) z ³ 0;

2°) z = 0 � z = 0;3°) z = -z|;

4°) z z ' = z ÈÈ z ' ;

5°) z + z ' £ z + z ' (disuguaglianza triangolare);

6°) z = z-

;

7°) z z-

= z 2.

Tutte le proprietà precedenti, tranne forse la disuguaglianza triangolare, sono di immediata verifica. In particolare,dall'ultima di esse si deduce che, a differenza di quanto accade in R, non è affatto vero che z 2 = z2.L'ultima proprietà del teorema precedente è utile per il calcolo del reciproco di un numero complesso. Infatti:

1

a+ä b=

a-ä b

Ha+ä bL Ha-ä bL =a-ä b

a2+ b2=

a

a2+ b2-

b

a2+ b2ä.

In particolare, osserviamo che:

1

ä= -ä.

2.3.3. Esercizi

Esercizio 2.3.3 - 1. Di ciascuno dei numeri complessi:

3 + 2 ä, ä

2- 3, 2 - 2 ä, 2 ä, -7, -3 ä, ä - 2,

calcolare parte reale, parte immaginaria, coniugato e modulo.

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z =

Soluzione Reset

Esercizio 2.3.3 - 2. Calcolare il reciproco di ciascuno dei seguenti numeri complessi:

1 + ä, 2 - 3 ä, 2 ä

5- 3, -4 ä, -5 ä, 2 ä +

1

3.

z =

Soluzione Reset

Esercizio 2.3.3 - 3. Calcolare (cioé mettere nella forma a + ä b) i seguenti numeri complessi:

H3 ä - 5L + H2 - 5 äL, Hä + 2L - 2 ä, H4 - 8 äL ä, Hä - 1L Hä + 2L, 3 H7 + 2 äL,1

3H3 + 9 äL, Hä - 1L ä, ä

2 ä+1, 3 ä-1

2 ä+3, 1

äH2 + äL -

1+ä

1-ä.

z =

Soluzione Reset

Esercizio 2.3.3 - 4. Determinare i numeri complessi z tali che:

1°) z-

= 2 ä z + 1;

2°) ä Re@zD = z-

+ 2;

3°) ä Im@zD = z-

+ 1;4°) z2 = ä z 2;5°) z2 = z 2.

Soluzione. Troviamo, ad esempio, tutti i numeri complessi z che soddisfano l'equazione: ä Im@zD = z-

+ 1. A tale scopo,scriviamo z in forma algebrica: z = a + ä b; la condizione richiesta si scrive nel modo seguente: ä b = a - ä b + 1, cioé:ä b = a + 1 - ä b. Ricordando che due numeri complessi sono uguali se e solo se hanno ordinatamente uguali la parte realee quella immaginaria, ricaviamo il sistema:

b = -b

a + 1 = 0

da cui, ovviamente, a = -1, b = 0. Pertanto esiste una sola soluzione della nostra equazione, che è il numero reale z = -1.

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da cui, ovviamente, a = -1, b = 0. Pertanto esiste una sola soluzione della nostra equazione, che è il numero reale z = -1.

In modo analogo si risolvono gli altri quesiti.

2.3.4. I numeri complessi in forma trigonometrica

Abbiamo già visto che il numero complesso z = a + ä b può essere identificato col punto P = Ha, bL del piano cartesiano.

Se poniamo Ρ = z = a2 + b2 , e se indichiamo con Θ l'angolo che la semiretta OP forma col semiasse positivo delle x

(supponendo che sia z ¹ 0), si ha immediatamente:

a = Ρ Cos@ΘD, b = Ρ Sin@ΘD,per cui z = a + ä b = Ρ Cos@ΘD + ä Ρ Sin@ΘD = Ρ HCos@ΘD + ä Sin@ΘDL. In definitiva,

z = ΡHCos@ΘD + ä Sin@ΘDL.L'espressione precedente si chiama forma trigonometrica del numero complesso z. Un numero Θ, soluzione del sistema:

Cos@ΘD =a

Ρ

Sin@ΘD =b

Ρ

si dice argomento del numero complesso z, e si indica, di solito, con [email protected] 2.3.4 - 1. Calcolare il modulo e l'argomento del numero complesso z = 1 + ä.

Per quanto riguarda il modulo si ha subito: Ρ = 1 + 1 = 2 ; per calcolarne l'argomento, risolviamo il sistema:

Cos@ΘD =1

2

Sin@ΘD =1

2

Esso è soddisfatto per Θ =Π

4, ma anche per tutti gli altri valori Θ =

Π

4+ 2 k Π, con k Î Z. Questi numeri sono gli infiniti

argomenti di z; scelto uno qualunque di essi, ad esempio Θ =Π

4, possiamo scrivere z = 2 ICosA Π

4E + ä SinA Π

4EM.

Tra gli infiniti argomenti di un numero complesso non nullo, uno ed uno solo appartiene all'intervallo D -Π, ΠD, ed esso si

dice argomento principale di z, e si indica con [email protected]°) Non ha senso considerare l'argomento di z = 0, dato che esso è, evidentemente, indeterminato.

2°) L'argomento principale di un numero reale strettamente positivo è Θ = 0.

3°) L'argomento principale di un numero reale strettamente negativo è Θ = Π.

4°) I numeri immaginari puri hanno argomento uguale a ± Π

2 a seconda che la loro parte immaginaria sia strettamente

positiva o strettamente negativa.Osservazione. Se un certo numero Θ soddisfa il sistema:

Cos@ΘD =a

Ρ

Sin@ΘD =b

Ρ

esso soddisfa anche l'equazione Tan@ΘD =b

a (almeno se a ¹ 0, cioé se z non è un immaginario puro). Il viceversa, invece,

non è vero: le soluzioni dell'equazione Tan@ΘD =b

a, cioé Θ = ArcTanA b

aE + k Π, differiscono tra loro di multipli di Π: quelle

che si ottengono prendendo k pari sono dunque diametralmente opposte a quelle con k dispari; tale incertezza può essererisolta tenendo conto del quadrante in cui si trova z, come si vede nei seguenti esempi.

Esempio 2.3.4 - 2. Calcolare il modulo e l'argomento del numero complesso z = -1 - ä.

Si ha: Ρ = 1 + 1 = 2 ; per calcolare l'argomento, risolviamo il sistema:

Cos@ΘD = -1

2

Sin@ΘD = -1

2

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Cos@ΘD = -1

2

Sin@ΘD = -1

2

Esso è soddisfatto per Θ =5 Π

4+ 2 k Π, con k Î Z. L'argomento principale, cioé quello che appartiene all'intervallo

D -Π, ΠD, è Θ =5 Π

4.

Avremmo potuto anche risolvere l'equazione Tan@ΘD =-1

-1= 1, da cui Θ =

Π

4+ k Π; tenendo presente che z si deve trovare

nel terzo quadrante, si deve prendere k dispari, da cui Θ =5 Π

4+ 2 k Π, che è il risultato di prima.

Esempio 2.3.4 - 3. Calcolare il modulo e l'argomento del numero complesso z = 1 - ä.

Si ha: Ρ = 1 + 1 = 2 ; per calcolare l'argomento, risolviamo l'equazione Tan@ΘD =-1

1= -1, da cui Θ = -

Π

4+ k Π,

quindi, poiché z si trova nel quarto quadrante, si deve prendere k pari, da cui Θ = -Π

4+ 2 k Π.

Dati i due numeri complessi in forma trigonometrica z = Ρ HCos@ΘD + ä Sin@ΘDL, e z ' = Ρ ' HCos@Θ 'D + ä Sin@Θ 'DL, è facile

determinare la forma trigonometrica del prodotto z z¢. Si ha infatti il seguente teorema.

Teorema 2.3.4 - 1. (Moltiplicazione di due numeri complessi in forma trigonometrica)Se z = Ρ HCos@Θ D + ä Sin@Θ DL e z ' = Ρ ' HCos@Θ 'D + ä Sin@Θ 'DL sono due numeri complessi in forma trigonometrica si ha:

z z ' = Ρ Ρ ' HCos@Θ + Θ 'D + ä Sin@Θ + Θ 'DL.In altri termini, il prodotto di due numeri complessi ha per modulo il prodotto dei moduli, e per argomento la somma

degli argomenti.

Dimostrazione. Ricordando le formule di addizione e sottrazione,

Cos@Θ + Θ 'D = Cos@ΘD Cos@Θ 'D - Sin@ΘD Sin@Θ 'DSin@Θ + Θ 'D = Sin@ΘD Cos@Θ 'D + Cos@ΘD Sin@Θ 'D

si ha:

Ρ Ρ ' HCos@Θ + Θ 'D + ä Sin@Θ + Θ 'DL =

= Ρ Ρ ' HHCos@ΘD Cos@Θ 'D - Sin@ΘD Sin@Θ 'DL + ä HSin@ΘD Cos@Θ 'D + Cos@ΘD Sin@Θ 'DLL;d'altra parte,

z z ' = Ρ Ρ ' HCos@ΘD + ä Sin@ΘDL HCos@Θ 'D + ä Sin@Θ 'DL =

= Ρ Ρ ' HHCos@ΘD Cos@Θ 'D - Sin@ΘD Sin@Θ 'DL + ä HSin@ΘD Cos@Θ 'D + Cos@ΘD Sin@Θ 'DLL,da cui l'asserto. à

Il seguente teorema di de Moivre riguarda la forma trigonometrica di zk , con k Î Z.

Teorema 2.3.4 - 2. (Formula di de Moivre)Se z = Ρ HCos@Θ D + ä Sin@Θ DL è un numero complesso in forma trigonometrica, per ogni k Î Z , si ha:

zk = Ρ kHCos@k Θ D + ä Sin@k Θ DL.Dimostrazione. Se k = 0 oppure k = 1 l'asserto è ovvio; se k ³ 2, Il teorema è una ovvia conseguenza del teoremaprecedente; infatti zk non è altro che il prodotto di z per se stesso k volte, quindi il suo modulo sarà Ρk , e il suo argomento

sarà k Θ; pertanto la formula di de Moivre è già dimostrata per gli interi positivi.Supponiamo ora che sia k £ -1 e z = ΡHCos@ΘD + ä Sin@ΘDL un numero complesso in questo caso diverso da zero (quindi

con Ρ ¹ 0); si ha allora:

1

z=

z

z 2=

ΡHCos@ΘD-ä Sin@ΘDLΡ2

= Ρ-1HCos@-ΘD + ä Sin@-ΘDL,pertanto:

zk = I 1

zM-k

= IΡ-1HCos@-ΘD + ä Sin@-ΘDLM-k=H*L

ΡkHCos@k ΘD + ä Sin@k ΘDL,cioé:

Carlo Greco :


Settembre 2009

cioé:

zk = ΡkHCos@k ΘD + ä Sin@k ΘDL,e così la tesi è dimostrata anche in questo caso (l'uguaglianza indicata con H*L è stata ottenuta elevando il numerocomplesso Ρ-1HCos@-ΘD + ä Sin@-ΘDL alla potenza -k, che è un numero intero positivo, e applicando la formula di de

Moivre già dimostrata in questa situazione). à

Esempio 2.3.4 - 4.

Calcolare J1 + 3 äN11.

Grazie alla formula precedente, il calcolo è semplice; calcoliamo anzitutto il modulo e l'argomento di z = ä 3 + 1: si ha

Ρ = 1 + 3 = 2, e Tan@ΘD = 3 , da cui Θ =Π

3+ 2 k Π. Applicando la formula di de Moivre, si ha:

J1 + 3 äN11= 211 ICosA 11 Π

3E + ä SinA 11 Π

3EM.

Non resta ora che osservare che ovviamente 11 Π

3=

12 Π

3-

Π

3= 4 Π -

Π

3, quindi:

J1 + 3 äN11= 211 ICosA 11 Π

3E + ä SinA 11 Π

3EM = 211 ICosA-

Π

3E + ä SinA-

Π

3EM =

= 211 K 1

2- ä

3

2O = 210 J1 - ä 3 N.

Esempio 2.3.4 - 5.

Calcolare J1 + 3 äN-3.

Si ha ancora Ρ = 2, e Θ =Π

3+ 2 k Π, pertanto:

J1 + 3 äN-3= 2-3 ICosA-

3 Π

3E + ä SinA-

3 Π

3EM = 2-3 HCos@-ΠD + ä Sin@-ΠDL =

= 2-3 HCos@-ΠD + ä Sin@-ΠDL = 2-3 HCos@ΠD - ä Sin@ΠDL = -2-3.

Diamo ora la definizione di radice n -esima di un numero complesso.

Definizione 2.3.4 - 1. (Radice n -esima di un numero complesso)Se z è un numero complesso, ed n è un numero intero naturale, si dice radice n-esima di z ogni numero complesso w

tale che wn = z.

Il teorema seguente mostra che, dato un numero complesso z non nullo, esistono esattamente n radici n -esime di zdistinte, e fornisce la formula per calcolarle.

Teorema 2.3.4 - 3. (Radici n-esime di un numero complesso) Se z = Ρ HCos@Θ D + ä Sin@Θ DL è un numero complesso non nullo in forma trigonometrica, ed n è un intero naturale,

esistono n e solo n radici n-esime distinte di z, ed esse sono date dalla formula:

wk = Ρn ICosA Θ +2 kΠ

nE + ä SinA Θ +2 kΠ

nEM, con k = 0, 1, º, n - 1.

Dunque le n radici n -esime di z hanno tutte come modulo Ρn , quindi si trovano tutte sulla circonferenza di centro 0 e

raggio, uguale, appunto, a Ρn . Inoltre, la prima di esse, cioé w0, ha argomento uguale a Θ

n; le successive si ottengono

aggiungendo multipli di 2 Π

n, fino a ritornare alla prima di esse.

In definitiva, le n radici n -esime di z si trovano ai vertici di un poligono regolare di n lati, inscritto nella circonferenza di

centro 0 e raggio Ρn .

Carlo Greco :


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n 5

z ä + 3

w0

w1

w2

w3

w4

x

y

Radici n-esime di z = 3 + ä

Esempio 2.3.4 - 6.

Calcolare le radici quarte del numero complesso z = 3 + ä.

Dobbiamo anzitutto calcolare modulo e argomento: si ha Ρ = 2, Θ =Π

6, da cui:

wk = 24

CosB Π

6+2 k Π

4F + ä SinB Π

6+2 k Π

4F , con k = 0, 1, 2, 3.

Elencando esplicitamente tali radici, abbiamo:

w0 = 24 ICosA Π

24E + ä SinA Π

24EM;

w1 = 24 ICosA Π

24+

Π

2E + ä SinA Π

24+

Π

2EM = 2

4 ICosA 13 Π

24E + ä SinA 13 Π

24EM;

w2 = 24 ICosA Π

24+ ΠE + ä SinA Π

24+ ΠEM = -w0;

w3 = 24 ICosA Π

24+

3 Π

2E + äSinA Π

24+

3 Π

2EM = -w1.

Nel piano complesso abbiamo la seguente situazione:

Carlo Greco :


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w0

w1

w2

w3

x

y

Radici quarte di z = ä + 3

Esempio 2.3.4 - 7. Calcolare le radici seste, nel campo complesso, di z = 1.

Ogni numero reale può essere considerato numero complesso; nel nostro caso il modulo di z è uguale, ovviamente, aduno, e l'argomento è uguale a zero. Applicando la formula di de Moivre, si ha:

wk = CosA 2 k Π

6E + ä SinA 2 k Π

6E, con k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Elencando esplicitamente tali radici, abbiamo:

w0 = Cos@0D + ä Sin@0D = 1,

w1 = CosA 2 Π

6E + ä SinA 2 Π

6E = CosA Π

3E + ä SinA Π

3E =

1

2+ ä

3

2,

w2 = CosA 4 Π

6E + ä SinA 4 Π

6E = CosA 2 Π

3E + ä SinA 2 Π

3E = -

1

2+ ä

3

2,

w3 = CosA 6 Π

6E + ä SinA 6 Π

6E = Cos@ΠD + ä Sin@ΠD = -1 + ä 0 = -1,

w4 = CosA 8 Π

6E + ä SinA 8 Π

6E = CosA 4 Π

3E + ä SinA 4 Π

3E = -

1

2- ä

3

2,

w5 = CosA 10 Π

6E + ä SinA 10 Π

6E = CosA 5 Π

3E + ä SinA 5 Π

3E =

1

2- ä

3

2.

Nel piano complesso abbiamo la seguente situazione:

w0

w1w2

w3

w4 w5

x

yRadici quinte di z = 1

2.3.5. Esercizi

Carlo Greco :


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2.3.5.

Esercizi

Esercizio 2.3.5 - 1. Utilizzando la formula di de Moivre, calcolare le seguenti potenze di numeri complessi:

H1 + äL4, H1 - äL-3, J3 - 3 äN-122, J1 + 3 äN6

, ä10.

z =

Soluzione Reset

Esercizio 2.3.5 - 2. Utilizzando il teorema sulle radici n -esime di un numero complesso, calcolare le seguenti radici:

1 + ä4

, 1 - ä3

, 3 - 3 ä6

, 1 + 3 ä , ä5

, -13

.

z =

Soluzione Reset

Esercizio 2.3.5 - 3. Dire se sono corrette le seguenti due uguaglianze:

H1 + äL36

= 1 + ä ; -13

= -1.

Carlo Greco :


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3. Disequazioni razionali e irrazionali

Nel presente capitolo richiameremo i metodi per la risoluzione delle disequazioni razionali, razionali fratte e irrazionali.Le disequazioni sono un argomento di fondamentale importanza per il nostro corso, dato che, senza di esse, nonpotremmo, ad esempio, calcolare il dominio di definizione di una funzione o studiarne la monotonia attraverso la derivataprima, come vedremo meglio in seguito.Nei successivi capitoli, dopo aver richiamato le definizioni e le principali proprietà delle altre funzioni elementari, comel'esponenziale, il logaritmo, le funzioni trigonometriche e le funzioni trigonometriche inverse, vedremo come si risolvonoalcuni tipi di disequazioni che coinvolgono queste funzioni.

3.1. Generalità sulle disequazioni

Una disequazione è un'espressione del tipo f @xD > 0, oppure f @xD £ 0, ecc. ecc.; ad esempio, l'espressione

3.1.0 - 1x Ix - x2M - 1 < 0

è una disequazione.

Una disequazione può essere riguardata come un predicato, nel senso che è un'espressione contenente una variabile, eche non è, di per se, né vera, né falsa. Ovviamente essa diventa vera o falsa quando alla variabile x si attribuiscono

determinati valori. Ad esempio, se nella 3.1.0 - 1 poniamo x = 0, il primo membro vale -1, quindi la 3.1.0 - 1 diventa

-1 < 0, che è un'espressione vera.Una disequazione, come ogni predicato, può anche essere priva di significato (cioé né vera né falsa) per alcuni valori di

x. Ad esempio, la 3.1.0 - 1 non ha senso per x negativo, dato che nel campo reale non esiste x per x < 0.

Risolvere una disequazione significa determinare l'insieme dei valori di x che la rendono vera. Tale insieme è l'insiemedelle soluzioni della disequazione data.In generale, per risolvere una disequazione, si cerca di trasformarla in altre mediante le operazioni quali ladecomposizione in fattori, elevamento a potenza ecc. ecc., fino ad arrivare ad una disequazione più facilmente risolubile.Supponiamo ad esempio, di voler risolvere la disequazione 4 x + 3 £ 0. Chiaramente possiamo portare 3 al secondomembro e poi dividere per 4:

4 x + 3 £ 0 � 4 x £ -3 � x £ -3

4.

I due segni di equivalenza � stanno ad indicare che le disequazioni sono "equivalenti'', cioé hanno esattamente lestesse soluzioni.Il principale problema nella risoluzione delle disequazioni consiste esattamente nell'eseguire delle trasformazioni sulladisequazione di partenza che, da un lato, la rendano più semplice, e, dall'altro, non facciano perdere soluzioni oacquistarne altre "false''.Consideriamo la disequazione x2 < x. Potremmo pensare di risolverla semplificando nel modo seguente:

3.1.0 - 2x2 £ x � x £ 1.

Tale equivalenza, tuttavia, è errata, infatti la disequazione x2 £ x si riconduce alla disequazione di secondo gradox2 - x £ 0, che è soddisfatta per valori interni all'intervallo delle radici (come vedremo meglio in seguito), cioé per0 £ x £ 1.In questo caso l'errore è dovuto al fatto che non è possibile dividere entrambe i membri della disequazione x2 £ x per xconservandone il verso, in quanto, essendo x una variabile e non un numero prefissato, x può assumere valori negativi.

Tale errore ha portato, in questo caso, ad acquistare l'intervallo D -¥, 0@ di soluzioni false.

La 3.1.0 - 2 è quindi errata, mentre si potrebbe invece scrivere x2 £ x Þ x £ 1, vale a dire, se un numero x verifica la

disequazione x2 £ x, allora verifica anche la x £ 1, mentre non vale il viceversa.

Carlo Greco :

Precorso di Analisi Matematica3. Disequazioni razionali e irrazionali 45

Settembre 2009

La 3.1.0 - 2 è quindi errata, mentre si potrebbe invece scrivere x2 £ x Þ x £ 1, vale a dire, se un numero x verifica la

disequazione x2 £ x, allora verifica anche la x £ 1, mentre non vale il viceversa.Osserviamo che alla disequazione f @xD > 0 (ad esempio), si può dare un'ovvia interpretazione grafica: se sappiamo

tracciare il grafico di f @xD, l'insieme S delle soluzioni di tale disequazione è tale che il grafico di f ristretto ad S si trova

tutto al di sopra dell'asse x.Più in generale, risolvere una disequazione della forma f @xD > g@xD, o altre analoghe, equivale a determinare l'insieme S

dei valori di x tali che il grafico di f S sia tutto al di sopra di quello di g S.

Osservando il grafico seguente:

1x

y

ci convinciamo facilmente del fatto che la disequazione x2 £ x è soddisfatta in S = @0, 1D. Infatti in tale intervallo ilgrafico della parabola f @xD = x2 è al di sotto di quello della retta y = x, e anzi la tocca solo per x = 0 e per x = 1.

Purtroppo, non sempre è facile tracciare il grafico delle funzioni coinvolte in una data disequazione; viceversa si usanoproprio le disequazioni per studiare il grafico delle funzioni.Alle volte è necessario studiare sistemi di disequazioni. Ad esempio, risolvere il sistema

f[x] < 0

g[x] > 0

significa risolvere le singole disequazioni f @xD < 0 e g@xD > 0, determinandone i rispettivi insiemi X1 e X2 di soluzioni.

L'insieme delle soluzioni del sistema dato sarà poi S = X1 Ý X2, cioé l'intersezione degli insiemi X1 ed X2. Dunque lesoluzioni del sistema sono quei valori di x che risolvono entrambe le disequazioni.A volte può capitare che una singola disequazione sia equivalente ad uno o più sistemi di disequazioni, come vedremo inseguito.

3.2. Richiami su rette, parabole e funzione potenza n -esima

Nel corso di Analisi richiameremo un modo abbastanza ampio l'argomento delle funzioni elementari, tuttavia perrisolvere le disequazioni, è opportuno ricordare fin d'ora almeno le proprietà più semplici e i grafici delle funzionicoinvolte.In questa sezione parleremo brevemente di rette, parabole e della funzione potenza n -esima.

3.2.1. Rette

Com'è noto, la funzione

f @xD = a x + b (con a e b numeri reali)

ha come grafico, nel piano cartesiano, una retta. Il numero a si dice coefficiente angolare della retta, e ne determinal'inclinazione rispetto all'asse x. Più precisamente, a non è altro che la tangente trigonometrica dell'angolo che la rettaforma col semiasse positivo delle x, mentre b è l'ordinata dell'intersezione della retta con l'asse y.

Carlo Greco :


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Coeff. angolare 1

Inters. asse y 0

x

y

y = x

a = Tan@ΑD = 1

bΑ

3.2.2. Parabole

La funzione

f @xD = a x2 + b x + c (con a, b e c numeri reali, a ¹ 0)

ha come grafico una parabola, con vertice nel punto di ascissa x0 = -b

2 a. A seconda che il primo coefficiente a (non

nullo) sia maggiore o minore di zero, la parabola ha la concavità rivolta verso l'alto o il basso.

Ricordiamo che si chiama discriminante del trinomio a x2 + b x + c, il numero D = b2 - 4 a c; una parabola intersecal'asse x se e solo se le radici dell'equazione di secondo grado a x2 + b x + c = 0 sono reali, cioé se e solo se ildiscriminante è positivo o nullo.Le varie situazioni sono rappresentate nello schema seguente.

Carlo Greco :


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a

b

c

x

y

a x2+b x+c = 0a > 0, concavità verso l'alto

D < 0 Radici complesse coniugate

3.2.3. Funzione potenza n -esima

La funzione

f @xD = xn (con n intero naturale)

si dice funzione potenza n -esima. Naturalmente per n = 0 la funzione potenza n -esima si riduce ad essere la funzionecostante a costante valore uno; per n = 1 non è altro che una retta (la bisettrice del primo e del terzo quadrante).

Per gli altri valori di n, il grafico è quello illustrato nella animazione seguente.

n 1

-1 1x

-1

1

yf @xD = x

3.3. Disequazioni di primo e secondo grado

Carlo Greco :


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3.3.

Disequazioni di primo e secondo grado

Una disequazione di primo grado è del tipo

a x + b £ 0, a x + b ³ 0, a x + b < 0, a x + b > 0.

Esempio 3.3.0 - 1. Risolvere la disequazione -5 x + 3 £ 0.

Si ha

-5 x + 3 £ 0 � 3 £ 5 x � 3 �5 £ x.

Dunque l'insieme S delle sue soluzioni è S = @3 �5, +¥ @.Una disequazione di secondo grado è del tipo

a x2 + b x + c £ 0, a x2 + b x + c ³ 0, a x2 + b x + c < 0 , a x2 + b x + c > 0.

L'espressione a x2 + b x + c prende il nome di trinomio di secondo grado e i numeri a, b, c, si dicono coefficienti deltrinomio.Risolvere una disequazione di secondo grado significa, in definitiva, studiare il segno di tale trinomio. Per fare ciò, si

decompone, se è possibile, il trinomio in fattori di primo grado (o lineari), e si applica la regola dei segni.Come sappiamo, le radici dell'equazione a x2 + b x + c = 0 sono date dalla formula

x1�2 =-b± b2-4 a c

2 a,

dove D º b2 - 4 a c è il discriminante dell'equazione.Com'è noto, si hanno i seguenti tre casi.

1°) caso: D > 0. Allora si hanno due radici reali e distinte x1 e x2, e si ha la seguente decomposizione in fattori deltrinomio:

a x2 + b x + c = a Hx - x1L Hx - x2L.2°) caso: D = 0. Si hanno allora due radici reali coincidenti: x1 = x2 = x0 = -

a b

2, e allora si ha:

a x2 + b x + c = a Hx - x0L2.

3°) caso: D < 0. In questo caso le radici del trinomio sono complesse coniugate. Corrispondentemente il trinomio non è più decomponibile in fattori lineari. Dette Α ± ä Β le due radici complesse

coniugate, si vede facilmente che:

a x2 + b x + c = a IHx - ΑL2 + Β2M.Corrispondentemente, per lo studio del segno, si hanno pure tre casi.

1°) caso. Supponiamo che D > 0, per cui si ha: a x2 + b x + c = a Hx - x1L Hx - x2L. Supponiamo, per semplicità, che ilprimo coefficiente a del trinomio sia strettamente positivo: a > 0. Allora il segno di a x2 + b x + c dipenderà solo dalsegno dei due fattori Hx - x1L e Hx - x2L.Per studiare il segno del prodotto di questi due fattori, usiamo il seguente metodo: segniamo le soluzioni delledisequazioni x - x1 ³ 0 e x - x2 ³ 0 su due rette orizzontali parallele come nel seguente disegno:

x-x1 ³ 0x1

x-x2 ³ 0x2

Le zone tratteggiate indicano che la corrispondente disequazione non è soddisfatta, mentre la linea continua indica ivalori che soddisfano la corrispondente disequazione.Il punto pieno sulla prima linea indica che la disequazione x - x1 ³ 0 è soddisfatta anche per il valore x = x1, eanalogamente per l'altra disequazione.

Carlo Greco :


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Il punto pieno sulla prima linea indica che la disequazione x - x1 ³ 0 è soddisfatta anche per il valore x = x1, eanalogamente per l'altra disequazione.Possiamo ora studiare facilmente il segno di a x2 + b x + c. Infatti, i due tratteggi sovrapposti indicano che entrambe ifattori x - x1 e x - x2 sono negativi, il che accade per x £ x1, e il primo di essi, cioé x - x1 si annulla per x = x1, mentreper x1 < x < x2 il primo fattore è strettamente positivo, mentre il secondo è strettamente negativo, ecc. ecc..In conclusione, applicando la regola dei segni, si ha che:

a x2 + b x + c

> 0 per x < x1 e per x2 < x

< 0 per x1 < x < x2

= 0 per x = x1 e per x = x2

Dal punto di vista grafico, la funzione f @xD = a x2 + b x + c rappresenta, come abbiamo ricordato, una parabola con la

concavità rivolta verso l'alto, dato che stiamo supponendo a > 0. La conclusione della precedente discussione può essereillustrata dal seguente disegno:

x1 x2

x

y

2°) caso: supponiamo D = 0, per cui

a x2 + b x + c = a Hx - x0L2.

In questo caso, il fattore Hx - x0L2 è sempre strettamente positivo, e si annulla solo per x = x0 = -a b

2. Di conseguenza

(sempre supponendo a > 0) si ha a x2 + b x + c ³ 0 per ogni x Î R, ed anche a x2 + b x + c > 0 per x ¹ -a b

2.

Il corrispondente grafico è il seguente:

x0

x

y

3°) caso: supponiamo D < 0, per cui

a x2 + b x + c = a IHx - ΑL2 + Β2M.In questo caso, il fattore Hx - ΑL2 + Β2 è sempre strettamente positivo, per ogni valore di x Î R. Dal punto di vista

grafico, ciò significa che la parabola f @xD = a x2 + b x + c è tutta al di sopra dell'asse delle x:

Carlo Greco :


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x

y

Riassumiamo la precedente discussione nella seguente animazione.

a

b

c

disequazione a x2+b x+c > 0 a x

2+b x+c ³ 0 a x2+b x+c < 0 a x

2+b x+c £ 0

x

y

a x2+b x+c > 0

a > 0 D < 0

Sempre

Esercizio 3.3.0 - 1. Risolvere la disequazione 3 x + 10 - x2 ³ 0.

Svolgimento. Si ha: 3 x + 10 - x2 ³ 0 � x2 - 3 x - 10 £ 0.

Poiché x1�2 =3± 9+40

2=

3±7

2, si ha x1 = -2, x2 = 5, e quindi la disequazione data è soddisfatta per x Î @-2, 5D (estremi

inclusi).

Esercizio 3.3.0 - 2. Risolvere la disequazione 9 + x2 - 6 x > 0.

Svolgimento. Si ha: 9 + x2 - 6 x > 0 � x2 - 6 x + 9 > 0. Poiché x1�2 =3± 9-9

1= 3, cioé l'equazione ha due radici

coincidenti, la disequazione data è soddisfatta per ogni x Î R diverso da x = 3, in quanto per x = 3 il primo membro della

disequazione si annulla, e non è strettamente positivo. Osservazione. Ricordiamo che, se il secondo coefficiente b dell'equazione a x2 + b x + c = 0 è facilmente divisibile per

due, è conveniente applicare, per il calcolo delle radici, la formula ridotta:

x1�2 =-b1± b1

2-a c

a

dove b1 è uguale alla metà del secondo coefficiente, e la quantità che compare sotto radice è uguale ad un quarto del

discriminante: D

4= b1

2 - a c. Questa è la formula che abbiamo applicato nell'esercizio precedente.

Osservazione (particolarmente importante). Alcune disequazioni di secondo grado possono avere nulli alcunicoefficienti, e presentarsi in forma tale da trarre in errore.

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Osservazione (particolarmente importante). Alcune disequazioni di secondo grado possono avere nulli alcunicoefficienti, e presentarsi in forma tale da trarre in errore.Ad esempio, la disequazione x2 > 0 è una disequazione di secondo grado con D = 0 e con x0 = 0 come radice doppia,pertanto è soddisfatta per ogni x Î R, con x ¹ 0.Sarebbe invece un grave errore scrivere x2 > 0 � x > 0, ritenendo di poter semplicemente estrarre la radice quadrata dientrambe i membri.Un altro caso simile a questo è rappresentato dalla disequazione x £ x2 o altre analoghe. Si ha infatti

x £ x2 � x2 - x ³ 0,

e poiché x2 - x = 0 per x1 = 0 e per x2 = 1, la disequazione data è soddisfatta per x £ 0 e per 1 £ x.

Anche in questo caso, sarebbe un grave errore scrivere semplicemente x £ x2 � 1 £ x, perdendo "metà'' delle soluzioni.

3.4. Esercizi

Esercizio 3.4.0 - 1. Risolvere le seguenti disequazioni di secondo grado.

Disequazione

Soluzione Reset

Esercizio 3.4.0 - 2. E' data la disequazione a x2 + b x + c £ 0. Dire qual'è il segno del primo coefficiente a e del discriminante D = b2 - 4 a cnei seguenti casi:1°) La disequazione è soddisfatta per ogni x Î R;

2°) è soddisfatta per x Î @2, 5D;3°) è soddisfatta per x £ -4 e per 7 £ x;4°) non è mai soddisfatta.

Esercizio 3.4.0 - 3. Scrivere una disequazione di secondo grado che sia soddisfatta:1°) solo per x = 10;2°) per ogni x;

3°) mai;

4°) per 1 < x < 2;

5°) per x £ 1 e per 2 £ x.

3.5. Disequazioni di grado superiore al secondo

I principi che ci hanno consentito lo studio della disequazione di secondo grado, si applicano anche allo studio didisequazioni di grado superiore al secondo. Il metodo che si adopera in tal caso consiste infatti nel fattorizzare ladisequazione data in fattori lineari o quadratici, o di cui, comunque, si sa studiare il segno, e poi, per risolvere ladisequazione data, si applica la regola dei segni.

3.5.1. Caso generale: polinomi fattorizzati

Iniziamo a considerare il caso in cui la disequazione data si presenta già "fattorizzata''.

Esempio 3.5.1 - 1.

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Settembre 2009

Esempio 3.5.1 - 1.

Risolvere la disequazione Hx + 2L Hx + 5L Hx - 3L £ 0.

Svolgimento. In questo caso, il primo membro della disequazione è prodotto di tre fattori lineari, di cui possiamobenissimo conoscere il segno. La situazione è illustrata dal seguente grafico:

x+2 ³ 0 -2

x+5 ³ 0 -5

x-3 ³ 0 3

Notiamo che a fianco delle rette orizzontali compaiono tre disequazioni col segno ³, anche se nella disequazione data viè il segno £. Applichiamo ora la regola dei segni, ottenendo il quadro completo del segno di Hx + 2L Hx + 5L Hx - 3L. Ora,poiché la nostra disequazione richiede che sia Hx + 2L Hx + 5L Hx - 3L £ 0, possiamo dire che essa è soddisfatta nell'insiemeS =D - ¥ , -5D Ü @-2, 3D:

x+2 ³ 0 -2

x+5 ³ 0 -5

x-3 ³ 0 3

Hx+2L Hx+5L Hx-3L £ 0 -5 -2 3

Osservazione. Non sempre è necessario svolgere esplicitamente tutto il ragionamento precedente. Ad esempio, perrisolvere la disequazione

I4 x4 + 2 x2 + 1M I1 - x2M > 0,

basta osservare che, ovviamente, il primo fattore 4 x4 + 2 x2 + 1 è sempre strettamente positivo, per cui possiamoscrivere:

I4 x4 + 2 x2 + 1M I1 - x2M > 0 � 1 - x2 > 0 � x2 - 1 < 0,

e l'ultima disequazione è soddisfatta per x ÎD - 1, 1@, pertanto l'insieme delle soluzioni della disequazione data è:S =D - 1, [email protected] 3.5.1 - 2. Risolvere la disequazione Ix2 + 1M I1 - x2M Hx - 3L Ix2 - 3 x + 2M < 0.

Svolgimento. Diamo anzitutto un'occhiata alla disequazione che vogliamo risolvere. Essa si presenta come il prodotto diquattro fattori, tutti di secondo grado. E' evidente che il primo di essi, cioé x2 + 1 è strettamente positivo, pertanto nonconta niente per il segno, e può essere trascurato.Inoltre, essendo la diseguaglianza stretta, dovremo escludere i valori che annullano i singoli fattori.

Lo studio del segno del fattore 1 - x2 è immediato:

1 - x2 > 0 � x2 - 1 < 0 � -1 < x < 1.

Anche lo studio del segno di x - 3 è ovvio.

Risolviamo ora la disequazione x2 - 3 x + 2 > 0; si ha: x1�2 =3± 9-8

2, quindi x1 = 1, x2 = 2. Di conseguenza

x2 - 3 x + 2 > 0 � x < 1 oppure 2 < x.

In definitiva si ha la seguente situazione (trascurando il primo fattore sempre positivo):

1-x2 > 0 -1 1

x-3 > 0 3

x2-3x+2 > 0 1 2

I cerchietti vuoti indicano che i corrispondenti valori non soddisfano la relazione scritta a sinistra della retta su cui sitrovano. Si ha dunque HS =D - 1, 1@ Ü D 1, 2@ Ü D 3, +¥ @:

Carlo Greco :


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1-x2 > 0 -1 1

x-3 > 0 3

x2-3x+2 > 0 1 2

Hx2+1L H1-x2L Hx-3L Hx2-3 x+2L < 0 -1 1 2 3

Notiamo che il valore x = 1 è escluso, in quanto annulla il primo membro della disequazione.

Esempio 3.5.1 - 3.

Risolvere la disequazione x H1 - xL2 Hx + 2L > 0.

Svolgimento. La disequazione si presenta come prodotto di tre fattori. Di questi, il fattore H1 - xL2 è maggiore o uguale azero, dato che si annulla se e solo se x = 1.Invece di studiare il segno dei due fattori x e x + 2 separatamente, può essere più pratico osservare chex Hx + 2L = x2 + 2 x > 0 per x < -2 e per x > 0. Dunque:

H1 - xL2 > 01

x Hx+2L > 0 -2 0

x H1-xL2 Hx+2L > 0 -2 0 1

Pertanto S =D - ¥ , -2@ Ü D 0, 1@ Ü D 1, +¥ @.Esercizio 3.5.1 - 1. Risolvere le seguenti disequazioni:

Disequazione

Soluzione Reset

Esercizio 3.5.1 - 2. Scrivere una disequazione che sia soddisfatta nell'insieme S = @0, 1D Ü @2, 3D.Svolgimento. Il polinomio x Hx - 1L Hx - 2L Hx - 3L si annulla proprio nei quattro punti 0, 1, 2, 3. Provare a studiarne ilsegno...

Esercizio 3.5.1 - 3. Scrivere una disequazione che sia soddisfatta negli insiemi:

1°) S =D - ¥ , 3D Ü @4, 5D;2°) S =D - ¥, 3D, con x ¹ 1;

3°) S =D 2, 3@ Ü D 5, +¥@.Esercizio 3.5.1 - 4. Dire quali delle seguenti disequazioni possono essere risolte "a vista'', cioé senza svolgere nessun calcolo:

1°) 3 x4 + 2 x2 + 1 < 0;

2°) x10 + 2 x3 - x > 0;

3°) x2 Ix3 + x2 + 1M < 0;

4°) Hx - 5L4 Hx - 4L ³ 0.

3.5.2. Caso generale: decomposizione in fattori

Purtroppo, non sempre un polinomio si presenta già decomposto in fattori, ed è quindi importante ricordare i metodinecessari per effettuare una tale decomposizione.Ricordiamo che, se è nota una radice x1 di un polinomio p@xD di grado n, allora si ha la decomposizione

p@xD = Hx - x1L q@xD,

Carlo Greco :


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p@xD = Hx - x1L q@xD,dove q@xD è un polinomio di grado n - 1. Se poi si riesce a trovare una radice x2 di q@xD, intanto essa sarà anche radice di

p@xD, e si ha la decomposizione

p@xD = Hx - x1L Hx - x2L r@xD,dove r@xD è di grado n - 2, e così via.

Naturalmente il problema consiste proprio nel trovare le radici del polinomio p@xD. Questo, per polinomi di grado

maggiore di due, può essere molto difficile. Anzi, per polinomi di grado maggiore o uguale a cinque, non esiste (e non

può esistere) alcuna formula risolutiva generale.Esiste però un caso, abbastanza frequente, in cui è possibile trovare facilmente le radici di un dato polinomio,

indipendentemente dal grado, ed è il caso in cui il polinomio ammette radici razionali.Scriviamo il generico polinomio p@xD nella forma:

p@xD = an xn + an-1 xn-1 + a1 x + º + a0.

Il primo coefficiente an si suppone diverso da zero, in modo che p@xD sia un polinomio di grado n. L'ultimo coefficiente

a0 (che può essere, eventualmente, nullo) si dice termine noto. Si ha il seguente risultato.

Teorema 3.5.2 - 1. (Radici intere)Se il polinomio p@xD è a coefficienti interi (relativi), e il primo coefficiente an è uguale ad uno, le eventuali radici intere

relative del polinomio p@xD si trovano tra i divisori del termine noto a0.

Dimostrazione. Supponiamo che p Î Z sia una radice del polinomio:

an xn + an-1 xn-1 + º + a1 x + a0,

i cui coeffieienti an, º, a0 si suppongono interi relativi. Si ha allora:

an pn + an-1 pn-1 + º + a1 p + a0 = 0,

e quindi:

a0 = -Ian pn + an-1 pn-1 + º + a1 pM.Mettendo p in evidenza, si ha:

a0 = -Ian pn-1 + an-1 pn-2 + º + a1M p.

Poiché il numero tra parentesi è un intero relativo, a0 è un multiplo di p, cioé p è un divisore di a0. à

Il significato del teorema appena dimostrato è il seguente: non è detto, ovviamente, che un dato polinomio (a coefficientiinteri) abbia radici intere, però, se ne ha una, questa è certamente tra i divisori del termine noto. Ad esempio, l'equazione

di secondo grado x2 - 2 = 0 ammette le soluzioni x1�2 = ± 2 . D'altra parte, i divisori del termine noto a0 = -2 sono:

± 1, ± 2, e nessuna di queste è radice del polinomio.

Esercizio 3.5.2 - 1. Determinare le eventuali radici intere del polinomio p@xD = x3 + 3 x2 + 4 x + 2.

Svolgimento. Il polinomio è a coefficienti interi, e il primo coefficiente è uguale ad 1, pertanto è applicabile il teoremaprecedente. I divisori del termine noto, cioé di 2 sono i quattro numeri: ±1, ±2. Sostituendo nel polinomio p@xDotteniamo:

p@1D = 10, p@-1D = 0, p@2D = 30, p@-2D = -2.

Pertanto p@xD possiede la sola radice intera x = -1.

Esercizio 3.5.2 - 2. Determinare le eventuali radici intere del polinomio p@xD = x4 - 2 x3 - 2 x2 + 5 x - 2.

Svolgimento. Il teorema precedente è applicabile, i divisori del termine noto sono ancora i quattro numeri ±1, ±2, esostituendoli in p@xD si trova:

p@1D = 0, p@-1D = 4, p@2D = 0, p@-2D = 12,

pertanto p@xD possiede le due radici intere x = 1 e x = 2.

Carlo Greco :


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pertanto p@xD possiede le due radici intere x = 1 e x = 2.

Vediamo ora un caso leggermente più generale, in cui il primo coefficiente del polinomio p@xD non è più necessariamente

uguale ad uno.

Teorema 3.5.2 - 2. (Radici razionali)

Se il polinomio p@xD è a coefficienti interi (relativi), le sue eventuali radici razionali sono della forma p

q, dove p è un

divisore del termine noto a0, e q è un divisore del primo coefficiente an.

Dimostrazione. Supponiamo che p

q sia una radice razionale del polinomio (a coefficienti interi)

an xn + an-1 xn-1 + a1 x + º + a0.

Possiamo supporre p

q ridotto ai minimi termini, cosicché p e q non hanno divisori comuni. Sostituendo nel polinomio

abbiamo:

an

pn

qn+ an-1

pn-1

qn-1+ º + a1

p

q+ a0 = 0,

pertanto, moltiplicando per qn:

3.5.2 - 1an pn + an-1 pn-1 q + º + a1 p qn-1 + a0 qn = 0,

da cui:

a0 qn = -Ian pn + an-1 pn-1 q + º + a1 p qn-1M = -Ian pn-1 + an-1 pn-2 q + º + a1 qn-1M p,

il che dimostra che p è un divisore di a0 qn. Ora, poiché stiamo supponendo che p non sia divisore di q, p non può essere

neanche divisore di qn, pertanto p è un divisore di a0.

Per dimostrare che q è un divisore del primo coefficiente an, si ragiona in modo analogo; infatti, sempre dalla 3.5.2 - 1, si

ha:

an pn = -Ian-1 pn-1 + a1 p qn-2 + º + a0 qn-1M q,

quindi q è un divisore di an pn; non potendo esserlo di pn, è necessariamente divisore di an. à

Osservazione. Il teorema precedente, sulle radici intere, è un caso particolare di questo, infatti se an = 1, gli unici

divisori di an sono ±1, quindi le frazioni del tipo a

b si riducono ai soli divisori del termine noto.

Esercizio 3.5.2 - 3. Determinare le eventuali radici razionali del polinomio p@xD = 8 x3 - 56 x2 - 2 x + 14.

Svolgimento. Il polinomio è a coefficienti interi. Per semplificare i calcoli, in questo caso possiamo dividerepreliminarmente per 2, ottenendo il polinomio p1@xD = 4 x3 - 28 x2 - x + 7, che ha le stesse radici.

Scriviamo ora i divisori del termine noto che è 7: ± 1, ± 7.

Scriviamo ora i divisori del primo coefficiente, che è 4: otteniamo ±1, ±2, ±4.

Formiamo ora tutte le frazioni del tipo p

q; otteniamo i seguenti numeri razionali:

± 1, ± 1

2, ± 1

4, ±7, ± 7

2, ± 7

4.

Tra essi vanno ricercate, mediante sostituzione in p1@xD le radici razionali. Sostituendo questi 6 valori in p1@xD, otteniamo

che solo x1 =1

2, x2 = -

1

2 e x3 = 7 sono radici. Poiché il polinomio è di terzo grado, abbiamo trovato tutte le sue radici.


Determinare le eventuali radici razionali del polinomio p@xD =3

4x3 - 2 x2 +

1

2.

Svolgimento. Questa volta il polinomio non è a coefficienti interi. Possiamo però moltiplicare per 4 ottenendop1@xD = 3 x3 - 8 x2 + 2, che ha le stesse radici.

Divisori di 2: ±1, ±2.

Divisori di 3: ±1, ±3.

Eventuali radici razionali: ±1, ± 1

3, ±2, ± 2

3. Sostituendo in p1@xD otteniamo:

Carlo Greco :


Settembre 2009

p1@±1D = ¡ 3 p1@±1

3D = ±

11

9p1@±2D = ¡ 6 p1@±

2

3D = ¡

2

3

Pertanto il polinomio non ammette radici razionali.

Osservazione. Come si è visto, un polinomio a coefficienti razionali può essere ricondotto ad uno a coefficienti interi.Esempi di polinomi a coefficienti non razionali sono i seguenti:

x3 - 2 x + 1 = 0, Π x2 - 2 = 0, x3 - 3 x + Log@2D = 0.

Ad essi non è applicabile il teorema precedente.

Se è nota una qualsiasi radice x1, razionale o non razionale di p@xD, è possibile ottenere una decomposizione del tipo

p@xD = Hx - x1L q@xD, di grande utilità per la risoluzione delle disequazioni, utilizzando la regola di Ruffini.

Ricordiamo tale procedimento nei seguenti esercizi.

Esercizio 3.5.2 - 5. Applicare la regola di Ruffini per il polinomio p@xD = x3 + 3 x2 + 4 x + 2.

Svolgimento. Il polinomio p@xD = x3 + 3 x2 + 4 x + 2 ammette x1 = -1 come radice, come sappiamo da un esercizio

precedente. Formiamo la tabella:

1 3 4 2-1 -1 -2 -2

1 2 2 0

Nella prima riga compaiono i coefficienti del polinomio p@xD (senza dimenticare gli eventuali coefficienti nulli). Il

numero più a sinistra (-1 in questo caso) è la radice nota.Si procede poi "abbassando'' il primo coefficiente del polinomio, moltiplicandolo per la radice e scrivendolo nella

seconda riga sotto il secondo coefficiente di p@xD. Sommando via via i numeri della prima e della seconda riga si forma

la terza riga 1, 2, 2, 0. L'ultimo numero della terza riga dev'essere sempre 0, altrimenti x1 non è radice, o vi è qualchealtro errore nei conti.La terza riga fornisce i coefficienti del polinomio q@xD, il cui grado è sempre inferiore di una unità rispetto a quello di

p@xD. Nel nostro caso q@xD = x2 + 2 x + 2, pertanto

x3 + 3 x2 + 4 x + 2 = Hx + 1L Ix2 + 2 x + 2Mè la decomposizione cercata.

Ciò premesso, possiamo svolgere i seguenti esercizi.

Esercizio 3.5.2 - 6. Risolvere la disequazione x3 + 3 x2 + 4 x + 2 < 0.

Svolgimento. Come si è visto, x3 + 3 x2 + 4 x + 2 = Hx + 1L Ix2 + 2 x + 2M. Studiamo il segno del fattore di secondo grado

x2 + 2 x + 2. Le sue radici sono: x1�2 =-1± 1-2

1= -1 ± ä, pertanto essendo D < 0, si ha x2 + 2 x + 2 > 0 sempre. Il

segno di Hx + 1L Ix2 + 2 x + 2M dipende dunque solo da quello di x + 1, pertanto la disequazione data è soddisfatta per

x + 1 < 0, cioé per x ÎD - ¥ , -1@. Esercizio 3.5.2 - 7. Risolvere la disequazione x4 - 2 x3 - 2 x2 + 5 x - 2 £ 0.

Svolgimento. Il polinomio a primo membro è di quarto grado, e possiede le due radici x1 = 1 e x2 = 2. Dividendo colmetodo di Ruffini per x - 1, si ha:

1 -2 -2 5 -21 -1 1 3 -2

1 -1 -3 2 0

pertanto x4 - 2 x3 - 2 x2 + 5 x - 2 = Hx - 1L Ix3 - x2 - 3 x + 2M. Poiché conosciamo un'altra radice, e cioé x2 = 2,

possiamo ulteriormente dividere il polinomio x3 - x2 - 3 x + 2 per x - 2, infatti:

Carlo Greco :


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1 -1 -3 22 -1 -1 1

1 1 -1 0

e quindi

x4 - 2 x3 - 2 x2 + 5 x - 2 =

Hx - 1L Ix3 - x2 - 3 x + 2M = Hx - 1L Hx - 2L Ix2 + x - 1M = Ix2 - 3 x + 2M Ix2 + x - 1M.Studiamo ora il segno dei due fattori di secondo grado x2 - 3 x + 2 e x2 + x - 1. Del primo conosciamo già le radici.

Per il secondo abbiamo x1�2 =-1± 1+4

2, pertanto x2 + x - 1 ³ 0 per x £

-1- 5

2 e per -1+ 5

2£ x.

In conclusione, abbiamo il seguente schema:

x2-3 x+2 ³ 01 2

x2 + x - 1 ³ 0

1

2-1 - 5

1

2-1 + 5

x4-2 x3-2 x2+5 x-2 £ 0 1 21

2-1 - 5

1

2-1 + 5

Dunque la nostra disequazione x4 - 2 x3 - 2 x2 + 5 x - 2 £ 0 (col segno £) è soddisfatta per x Î B -1- 5

2, -1+ 5

2F, e

x Î @1, 2D.Esercizio 3.5.2 - 8. Risolvere le seguenti disequazioni (in alcuni casi sono possibili più decomposizioni in fattori lineari o quadratici;premendo più volte il bottone soluzione, si ottengono tutte le possibili decomposizioni):

Disequazione

Soluzione Reset

Disequazione:

Decomposizione in fattori:

3.5.3. Le biquadratiche

Tra le varie disequazioni di grado superiore al secondo, si incontrano spesso le disequazioni biquadratiche. Talidisequazioni sono della forma:

a x4 + b x2 + c

> 0

³ 0

< 0

£ 0

Il primo membro è un polinomio di quarto grado con i coefficienti dei termini di grado dispari nulli.

Il polinomio a x4 + b x2 + c può essere facilmente fattorizzato nel prodotto di due fattori di secondo grado (da qui il nomedi biquadratiche) ponendo x2 = t, e risolvendo l'equazione di secondo grado a t2 + b t + c = 0. Una volta ottenuta talefattorizzazione, si procede come visto in precedenza.

Carlo Greco :


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Esercizio 3.5.3 - 1. Risolvere la disequazione x4 - 13 x2 + 36 < 0.

Svolgimento. Poniamo x2 = t, e consideriamo l'equazione t2 - 13 t + 36 = 0. Essa ammette le due radici

t1�2 =13± 169-144

2=

13±5

2= 4, 9, e pertanto il primo membro può essere fattorizzato nel modo seguente:

t2 - 13 t + 36 = Ht - 4L Ht - 9L. Poiché t = x2, ne consegue che

x4 - 13 x2 + 36 = Ix2 - 4M Ix2 - 9M.A questo punto, si procede come al solito, ottenendo lo schema:

x2-4 > 0-2 2

x2-9 > 0-3 3

x4-13 x2+36 < 0-3 -2 2 3

Pertanto la nostra disequazione (col segno <) è soddisfatta per -3 < x < -2, e per 2 < x < 3.

Esercizio 3.5.3 - 2. Risolvere la disequazione x4 + x2 - 2 > 0.

Svolgimento. Si ha t2 + t - 2 = 0 per t1�2 =-1± 1+8

2= -2, 1. Pertanto:

x4 + x2 - 2 = Ix2 + 2M Ix2 - 1M.Poiché il primo fattore è sempre strettamente positivo, il segno di x4 + x2 - 2 dipende solo dal secondo fattore x2 - 1,pertanto la nostra disequazione è soddisfatta per x < -1 e per x > 1. Osservazione. Nei due esercizi precedenti abbiamo ottenuto i seguenti insiemi di soluzioni: S1 =D - 3, -2@ÜD 2, 3@,S2 =D - ¥ , -1@ÜD 1, +¥ @.In entrambe i casi l'insieme delle soluzioni è simmetrico rispetto all'origine. Ciò si verifica in generale, ed è dovuto,ovviamente, al fatto che un polinomio biquadratico è una funzione pari, cosicché ciò che succede "a destra'' dell'origine èanalogo a ciò che succede "a sinistra''.

Esercizio 3.5.3 - 3. Risolvere le seguenti disequazioni.

Disequazione

Soluzione Reset

Disequazione:

Decomposizione in fattori:

Esercizio 3.5.3 - 4. 1°) Trovare una disequazione biquadratica soddisfatta nell'insieme S = @-5, -3D Ü @3, 5D.2°) Trovare una disequazione biquadratica che non è mai soddisfatta.

3°) Trovare una disequazione biquadratica soddisfatta nell'insieme S = R \ 80<.4°) Trovare una disequazione biquadratica soddisfatta nell'insieme S = R \ 8-1, 1<.3.5.4. Disequazioni del tipo xn < k, xn £ k, xn > k, xn ³ k.

Una disequazione del tipo

Carlo Greco :


Settembre 2009

xn

> k

³ k

< k

£ k

dove k è un assegnato numero reale, ed n > 2, può essere ricondotta, evidentemente, a particolare disequazione di gradosuperiore al secondo.Ad esempio, la disequazione x5 < 2 equivale alla disequazione x5 - 2 < 0, che è una particolare disequazione di quintogrado. Tuttavia, piuttosto che cercare di fattorizzare il primo membro x5 - 2 conviene risolvere direttamente ladisequazione x5 < 2 approfittando del fatto che è noto il grafico di xn per ogni n Î N (vedere il paragrafo sulla funzionepotenza n -esima).Infatti, dal disegno seguente:

25

x

2

y

si vede che la disequazione data è soddisfatta per x < 25

.Più in generale si ha:

se n è dispari :

xn < k � x < kn

xn £ k � x £ kn

xn > k � x > kn

xn ³ k � x ³ kn

In altri termini, è possibile estrarre la radice n -esima da entrambe i membri della disequazione mantenendone inalteratoil verso.Se invece n è pari, la situazione è leggermente differente. Disegnamo il grafico di xn, con n pari, e consideriamo i tre casipossibili per k, cioé k > 0, k = 0 (cioé la retta y = k coincide con l'asse delle x) e k < 0. Si ha:

- kn

x

y

x

y

x

y

Dunque possiamo riassumere la situazione nella seguente animazione:

Carlo Greco :


Settembre 2009

n pari dispari

k

disequazione xn < k x

n £ k xn > k x

n ³ k

x

y

xn < k

- kn

< x < kn

- kn

kn

Esercizio 3.5.4 - 1. Risolvere le seguenti disequazioni:

x3 ³ -3; x6 < 5; x8 < -8; x7 < -2; x4 < 16; x6 > 1; x21 £ 0; x22 £ 0.

3.6. Disequazioni razionali fratte

Le disequazioni razionali fratte si presentano nella forma

p@xDq@xD

< 0

£ 0

> 0

³ 0

dove p@xD e q@xD sono due polinomi.

Per risolvere una disequazione razionale fratta è necessario studiare il segno del numeratore e del denominatore, eapplicare poi la regola dei segni. L'unica differenza rispetto al prodotto di fattori è che in questo caso si devono escluderei valori che annullano il denominatore.

Esempio 3.6.0 - 1. Risolvere la disequazione

x2-4 x+3

Hx-2L Ix2+2 x+2M £ 0.

Svolgimento. Si ha x2 - 4 x + 3 = 0 per x1�2 = 1, 3. Per quanto riguarda il denominatore, osserviamo che il fattore

x2 + 2 x + 2 è sempre strettamente maggiore di zero, e quindi può essere trascurato.Si ha dunque:

Carlo Greco :


Settembre 2009

x2-4 x+3 ³ 0 1 3

x-2 > 0 2

x2-4 x+3

Hx-2L Ix2+2 x+2M £ 0 1 2 3

Pertanto la nostra disequazione (col segno £) è soddisfatta per x £ 1, e per 2 < x £ 3.

Esempio 3.6.0 - 2. Risolvere la disequazione

x2-2 x-15

2 x2-x4< 0.

Svolgimento. Le radici dell'equazione x2 - 2 x - 15 = 0 sono x1�2 = -3, 5. Si ha poi 2 x2 - x4 = -x2 Ix2 - 2M > 0 per

x ÎD - 2 , 2 @ con x ¹ 0.Dunque

x2-2 x-15 > 0-3 5

2 x2-x4 > 0 0- 2 2

x2-2 x-15

2 x2-x4 <0 -3 0 5- 2 2

Pertanto la disequazione data (col segno <) è soddisfatta per x < -3, per x > 5, e per - 2 < x < 2 , con x ¹ 0.Osservazione. Si noti che, anche per le disequazioni razionali fratte, si studia la positività del numeratore e deldenominatore, anche se il segno della disequazione è < oppure £ .Talvolta il numeratore e il denominatore della disequazione razionale fratta possono presentare una radice comune. Adesempio, consideriamo l'espressione

x2 - 3 x + 2

x3 - x - 6;

le radici del numeratore sono x1�2 = 1, 2; è poi facile controllare che 2 è anche radice del denominatore. Pertanto,

adoperando il metodo di Ruffini, si trova

x3 - x - 6 = Hx - 2L Ix2 + 2 x + 3M.In definitiva:

x2 - 3 x + 2

x3 - x - 6=

Hx - 1L Hx - 2LHx - 2L Ix2 + 2 x + 3M .

Ora, è lecito semplificare il fattore Hx - 2L? Ovviamente è lecito, ma l'uguaglianza

x2 - 3 x + 2

x3 - x - 6=

x - 1

x2 + 2 x + 3

vale solo per x ¹ 2, infatti per x = 2, il primo membro non ha significato, mentre il secondo vale 1 �11.

Così, se ad esempio vogliamo risolvere la disequazione

x2 - 3 x + 2

x3 - x - 6> 0

possiamo scrivere:

x2 - 3 x + 2

x3 - x - 6> 0 �

Hx - 1L Hx - 2LHx - 2L Ix2 + 2 x + 3M > 0 �

x¹2 x - 1

x2 + 2 x + 3> 0.

L'ultima disequazione è soddisfatta per x > 1 (in quanto il denominatore x2 + 2 x + 3 è sempre strettamente positivo). Indefinitiva la disequazione data è soddisfatta per x > 1 e x ¹ 2.

Carlo Greco :


Settembre 2009

L'ultima disequazione è soddisfatta per x > 1 (in quanto il denominatore x2 + 2 x + 3 è sempre strettamente positivo). Indefinitiva la disequazione data è soddisfatta per x > 1 e x ¹ 2.

Esercizio 3.6.0 - 1. Risolvere le disequazioni:

1 - 3 x

x4 - x2 + 1> 0;

x3 - 2 x

x4 + x2 + 1< 0;

x4 - x3 + 2 x2 - 3 x + 1

x3 - 2 x2 + x< 0.

Spesso una disequazione razionale fratta non si presenta esattamente nella forma p@xDq@xD > 0, e pertanto bisogna ricondurla a

tale forma prima di studiare il segno del numeratore e del denominatore.

Ad esempio, consideriamo la disequazione 2 x-1

x2-2 x< 1. Per ricondurla alla forma precedente dobbiamo portare 1 al primo

membro, e ridurre allo stesso denominatore:

2 x - 1

x2 - 2 x< 1 �

2 x - 1

x2 - 2 x- 1 < 0 �

-x2 + 4 x - 1

x2 - 2 x< 0 �

x2 - 4 x + 1

x2 - 2 x> 0

e da questo punto in poi possiamo studiarla come abbiamo fatto prima.

Osservazione particolarmente importante. Sarebbe sbagliato risolvere la disequazione precedente moltiplicando per ildenominatore x2 - 2 x, cioé procedendo nel modo seguente:

2 x - 1

x2 - 2 x< 1 � 2 x - 1 < x2 - 2 x � x2 - 2 x + 1 > 0 � ºº

infatti, poiché il denominatore non è sempre positivo, la disequazione non conserva lo stesso verso.

Analogamente, per risolvere una disequazione del tipo

x2 + 2 x - 6

3 x - 1>

1 - x

x - 2

dobbiamo portare il secondo membro a sinistra del segno >, e ridurre allo stesso denominatore:

x2 + 2 x - 6

3 x - 1>

1 - x

x - 2�

x2 + 2 x - 6

3 x - 1-

1 - x

x - 2> 0 �

Ix2 + 2 x - 6M Hx - 2L - H1 - xL H3 x - 1LH3 x - 1L Hx - 2L > 0 � ºº

Anche in questo caso, dobbiamo osservare che sarebbe sbagliato moltiplicare "in croce'', cioé scrivendo

x2 + 2 x - 6

3 x - 1>

1 - x

x - 2� Ix2 + 2 x - 6M Hx - 2L > H1 - xL H3 x - 1L � ºº

Ovviamente, tali procedimenti possono essere, talvolta leciti: ad esempio, consideriamo la disequazione

2 x - 1

x2 - 2 x + 3<

1

x2 + 1.

Si verifica immediatamente che x2 - 2 x + 3 > 0 per ogni x Î R, e analogamente x2 + 1 > 0 per ogni x Î R, pertanto, inquesto caso, è possibile moltiplicare "in croce'' ottenendo

H2 x - 1L Ix2 + 1M < x2 - 2 x + 3.

Si ha poi:

H2 x - 1L Ix2 + 1M < x2 - 2 x + 3 �

-x2 + 2 x + H2 x - 1L Ix2 + 1M - 3 < 0 � x3 - x2 + 2 x - 2 < 0

L'equazione x3 - x2 + 2 x - 2 = 0 ammette la radice x = 1, quindi, dividendo con Ruffini, si hax3 - x2 + 2 x - 2 = Hx - 1L Ix2 - 2M < 0, ecc. ecc..

Carlo Greco :


Settembre 2009

L'equazione x3 - x2 + 2 x - 2 = 0 ammette la radice x = 1, quindi, dividendo con Ruffini, si hax3 - x2 + 2 x - 2 = Hx - 1L Ix2 - 2M < 0, ecc. ecc..


Disequazione

Soluzione Reset

3.7. Sistemi di disequazioni

Come si è accennato all'inizio del capitolo, può talvolta essere necessario risolvere un sistema di disequazioni, comenell'esercizio seguente.

Esempio 3.7.0 - 1. Risolvere il sistema

x2 + 2 x - 3 ³ 01

x-1<

1

3 x-2

Svolgimento. Il sistema è costituito da due disequazioni, che vanno prima risolte separatamente.1°) disequazione: le radici di x2 + 2 x - 3 = 0 sono x1 = -3 e x2 = 1, pertanto la prima disequazione è soddisfattanell'insieme X1 =D - ¥ , -3D Ü @1, +¥ @.2°) disequazione: si tratta di una disequazione razionale fratta che risolviamo al solito modo:

1

x - 1<

1

3 x - 2�

1

x - 1-

1

3 x - 2< 0 �

3 x - x + 1 - 2

Hx - 1L H3 x - 2L < 0 �2 x - 1

Hx - 1L H3 x - 2L < 0 ;

(si noti che non svolgiamo i calcoli per il denominatore, sarebbe fatica inutile!). Studiamo ora il segno del numeratore edel denominatore adoperando il solito schema:

2 x-1 > 01

2

Hx-1L H3 x-2L > 02

3 1

2 x-1

Hx-1L H3 x-2L < 01

2

2

3 1

Come si vede, la seconda disequazione (col segno <) è soddisfatta nell'insieme X2 =D - ¥ , 1

2@ Ü D 2

3, 1@.

Arriviamo ora al punto cruciale: dobbiamo fare l'intersezione dei due insiemi X1 e X2. Il modo più semplice di fare ciòconsiste nel disegnare i due insiemi X1 e X2 su due rette parallele, e prendere la parte sovrapposta:

X1 H1° dis. sodd.L -3 1

X2 H2° dis. sodd.L 1

2

2

3 1

X1ÝX2 -3 1

Evidentemente, la parte sovrapposta è D -¥ , -3D, dunque X1 Ý X2 =D - ¥ , -3D. Questo è l'insieme delle soluzioni delsistema dato.

Carlo Greco :


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Evidentemente, la parte sovrapposta è D -¥ , -3D, dunque X1 Ý X2 =D - ¥ , -3D. Questo è l'insieme delle soluzioni delsistema dato.

Osservazione molto importante. E' opportuno osservare che lo schema precedente è solo apparentemente simile aquello adoperato per la regola dei segni, ma in realtà è ben diverso, dato che non si tratta di studiare il segno di una

disequazione, ma di trovare l'intersezione di due insiemi.

Svolgere in modo analogo il seguente esercizio:

Esercizio 3.7.0 - 1. Risolvere i sistemi seguenti:

x2 + 2 x £ 0

x2 - 1 < 0

x2+x

x-1£ 0

x2 - 4 < 0

x4 - 4 x2 + 1 > 0x

x-2> 0

Risolvendo un sistema di disequazioni può capitare, talvolta, che una (o più di una) delle disequazioni date sia

soddisfatta per ogni x Î R. In tal caso, il sistema dato equivale (cioé ha le stesse soluzioni) di quello che si ottienetrascurando la disequazione identicamente soddisfatta.

Esempio 3.7.0 - 2. Risolvere il sistema:

x4 + x2 + 1 ³ 0

x2 - 1 > 0

Svolgimento. Si ha:

x4 + x2 + 1 ³ 0

x2 - 1 > 0� x2 - 1 > 0

perché la prima disequazione è, visibilmente, soddisfatta in tutto R, e pertanto il sistema è soddisfatto nell'insiemeS =D - ¥ , -1@ Ü D 1, +¥ @. In questo caso, un sistema è equivalente ad una singola disequazione.


x - 2 < 0

x2 - 2 x + 1 ³ 0x - 1 > 0

Svolgimento. Poiché la seconda disequazione è soddisfatta in tutto R, si ha:

x - 2 < 0

x2 - 2 x + 1 ³ 0x - 1 > 0

� : x - 2 < 0

x - 1 > 0

Chiaramente l'ultimo sistema è soddisfatto per x Î S =D 1, 2@. Talvolta si vede subito che una delle disequazioni del sistema non ammette alcuna soluzione. E' chiaro che, in tal caso, ilsistema dato non ammette soluzioni, e, pertanto, è inutile continuare nella risoluzione delle restanti disequazioni.


x4 - 2 x2 ³ 0x2-x+1

2 x-5³ 0

x6 + 11 £ 0

Svolgimento. Poiché la terza disequazione non è mai soddisfatta, l'intero sistema non ammette soluzioni, cioé S = Æ.Può capitare talvolta che due o più disequazioni di un sistema non ammettano soluzioni comuni.Ad esempio, nel sistema

Carlo Greco :


Settembre 2009

x - 1 < 0x2-x+1

2 x-5³ 0

x > 2

si nota subito che la prima e la terza disequazione non ammettono alcuna soluzione comune, in quanto non esistononumeri che siano contemporaneamente minori di 1 e maggiori di 2. In tal caso si dice che la prima e la terza disequazione

del sistema sono incompatibili, e, evidentemente, anche in questo caso l'intero sistema non ammette soluzioni.Tenendo presente tutte le osservazioni precedenti, svolgere i seguenti esercizi.

Esercizio 3.7.0 - 2. Risolvere i sistemi seguenti:

x2 + 3 x + 2 > 0

x2 - x > 0x Hx-2L

Ix2+1M Hx+2L < 0

x4 - 2 x3 + 2 x2 - 2 x + 1 £ 01

Hx-1L Hx-2L > 0: x4 - x2 - 2 > 0

x2 + 4 x + 5 < 0

3.8. Disequazioni irrazionali

In uno dei paragrafi precedenti abbiamo richiamato la nozione di funzione potenza n -esima. Ad esempio, se n è unintero dispari, il grafico di xn è il seguente.

-1 1x

-1

1

y

n dispari

In questo caso, la funzione potenza n -esima è strettamente crescente, cioé se a < b, allora anche an < bn, anzi, questedue proposizioni sono del tutto equivalenti:

a < b � an < bn.

Dunque, se un numero a è strettamente minore di un numero b, anche an è strettamente minore di bn, e viceversa.

Le cose vanno diversamente nel caso della funzione xn con n pari; infatti, in questo caso, il grafico di xn è il seguente.

-1 1x

1

y

n pari

La funzione potenza n -esima con n pari non è strettamente crescente in tutto R, ma solo in @0, +¥@, mentre èstrettamente decrescente in D - ¥, 0D. Pertanto, se a e b sono due numeri reali qualsiasi, con a < b, non è detto che risultinecessariamente an < bn.

Carlo Greco :


Settembre 2009

Posizione

x

y

an < bn

a ban

bn

In altri termini, la diseguaglianza a < b in generale non si conserva elevando entrambe i membri ad una potenza pari; si

conserva invece se entrambe i numeri a e b sono positivi.

Ciò premesso, passiamo ad occuparci delle disequazioni irrazionali.

Le disequazioni irrazionali sono disequazioni nelle quali l'incognita x figura sotto il segno di radice (quadrata, cubica,ecc. ecc.).Le disequazioni

x - 1 < 2 x, x5

³ 2 - 1 - x ,x

5 - 2 x<

1

4 x - 1,

sono tutti esempi di disequazioni irrazionali.

L'idea di base per la risoluzione di qualsiasi disequazione irrazionale, consiste nell'elevare entrambe i membri delladisequazione alla potenza opportuna, in modo da "liberare'' l'incognita sotto radice. Purtroppo però, bisogna fare i conticon due difficoltà fondamentali:1°) se nella disequazione compaiono radici di indice pari, bisogna imporre che l'espressione che compare sotto radicesia ³ 0, altrimenti la disequazione non avrebbe senso.2°) se sorge la necessità di elevare entrambe i membri della disequazione ad un esponente pari, bisogna tenere ben

presente che entrambe i membri devono essere ³ 0, altrimenti la disequazione non si conserva dopo l'elevamento apotenza.In particolare, la seconda delle due condizioni precedenti, può essere soddisfatta solo in un sottoinsieme x di R, quindi aldi fuori di tale insieme, le eventuali soluzioni della disequazione irrazionale devono essere cercate con metodi diversidall'elevamento a potenza di entrambe i membri. Ciò si traduce, in concreto, nella necessità di fare una distinzione di varicasi, che porta all'impostazione di uno o più sistemi di disequazioni, equivalenti alla disequazione irrazionale data.In questo paragrafo ci occuperemo solo di due tipi di disequazioni, in cui, tra l'altro, è coinvolta una sola radice n -esima,e precisamente delle disequazioni del tipo

A@xDn

< B@xD oppure A@xDn

£ B@xD ,

e di quelle del tipo

A@xDn

> B@xD oppure A@xDn

³ B@xD .

3.8.1. Disequazioni del tipo A@xDn

< B@xD oppure A@xDn

£ B@xDUna disequazione del tipo

3.8.1 - 1A@xDn

< B@xD oppure A@xDn

£ B@xD ,

si risolve immediatamente nel caso in cui l'esponente n è dispari. Infatti in questo caso, l'espressione A@xDn

ha sempresenso, anche se A@xD è negativo.Inoltre, possiamo elevare entrambe i membri della disequazione all'n -esima potenza conservando il verso delladisequazione stessa (ciò perché, come abbiamo ricordato sopra, la funzione potenza n -esima, nel caso n dispari, èstrettamente crescente).

Carlo Greco :


Settembre 2009

Inoltre, possiamo elevare entrambe i membri della disequazione all'n -esima potenza conservando il verso delladisequazione stessa (ciò perché, come abbiamo ricordato sopra, la funzione potenza n -esima, nel caso n dispari, èstrettamente crescente).Dunque:

A@xDn

< B@xD n dispariA@xD < B@xDn ,

e analogamente:

A@xDn

£ B@xD n dispariA@xD £ B@xDn .

Esempio 3.8.1 - 1. Supponiamo di voler risolvere la disequazione

x3 - 2 x3

< x - 1.

Il primo membro ha sempre significato, indipendentemente dal segno della quantità sotto radice.

Inoltre possiamo elevare direttamente alla terza potenza ottenendo la disequazione equivalente x3 - 2 x < Hx - 1L3. Si hacioé:

x3 - 2 x3

< x - 1 � x3 - 2 x < Hx - 1L3.

Svolgendo i calcoli si vede che l'ultima disequazione è di secondo grado, ed è soddisfatta per x Î D 5- 13

6, 5- 13

6@;

dunque, questo è anche l'insieme delle soluzioni della disequazione irrazionale data.

Esempio 3.8.1 - 2. Risolvere la disequazione:

1 -1

x33 £

1

x.

Come nell'esempio precedente possiamo elevare direttamente alla terza potenza:

1 -1

x33 £

1

x� 1 -

1

x3£

1

x3� 1 -

2

x3£ 0 �

x3 - 2

x3£ 0.

Abbiamo trasformato la disequazione di partenza in una disequazione razionale fratta. Quest'ultima, come si vede

immediatamente, è soddisfatta per x ÎD 0, 23 F, pertanto questo è l'insieme delle soluzioni della disequazione irrazionale

data.Osservazione. Entrambe i membri della disequazione dell'esempio precedente perdono significato per x = 0, mapossiamo comunque elevare alla terza potenza, in quanto il valore x = 0 viene comunque scartato nel momento in cui

discutiamo la disequazione x3-2

x3£ 0.


x3 + 13

£ -x;x

2 x - 15 £ 1; x4 - 3 x3 + 3 x2 - x

5£ x - 1; 2 x2 - x + 2

3£ x.

(Suggerimento: per la terza, osservare che 1 è radice del polinomio al primo membro).

Veniamo ora al caso in cui l'indice n della radice è pari. In questo caso, affinché la disequazione stessa abbia significato,bisogna anzitutto imporre che sia A@xD ³ 0. Fatto ciò, osserviamo che dev'essere necessariamente B@xD ³ 0, altrimenti una

disequazione del tipo 3.8.1 - 1 non potrebbe mai essere soddisfatta, in quanto il primo membro A@xDn

è sempre positivo.

Se sono soddisfatte queste due condizioni, cioé A@xD ³ 0 e B@xD ³ 0, i due membri della nostra disequazione sonoentrambe positivi, ed è quindi possibile elevare all'n -esima potenza mantenendo il verso della disequazione, e ottenendoA@xD < B@xDn oppure A@xD £ B@xDn.

Carlo Greco :


Settembre 2009

Se sono soddisfatte queste due condizioni, cioé A@xD ³ 0 e B@xD ³ 0, i due membri della nostra disequazione sonoentrambe positivi, ed è quindi possibile elevare all'n -esima potenza mantenendo il verso della disequazione, e ottenendoA@xD < B@xDn oppure A@xD £ B@xDn. Quest'ultima disequazione è libera da radici.

Riassumendo, si ha:

A@xDn< B@xD �

n pariA@xD ³ 0

B@xD ³ 0

A@xD < B@xDn

e analogamente:

A@xDn£ B@xD �

n pariA@xD ³ 0

B@xD ³ 0

A@xD £ B@xDn

In altri termini la disequazione irrazionale data è equivalente ad un sistema di disequazioni, non più irrazionali.


x - 1 < x + 1.

Svolgimento. Poiché abbiamo una radice quadrata, dobbiamo imporre x - 1 ³ 0. Fatto ciò, il primo membro x - 1 èben definito e positivo, pertanto, se vogliamo che la nostra disequazione ammetta soluzioni, anche il secondo membro

dev'essere positivo: x - 1 ³ 0. Possiamo ora elevare al quadrato ottenendo x - 1 < Hx + 1L2. Queste tre condizioni devonoessere verificate contemporaneamente, e quindi abbiamo un sistema:

x - 1 < x + 1 �

x - 1 ³ 0

x + 1 ³ 0

x - 1 < Hx + 1L2

�

x - 1 ³ 0

x + 1 ³ 0

x2 + x + 2 > 0

�* : x ³ 1

x ³ -1� x ³ 1,

pertanto la disequazione data è soddisfatta per x ³ 1.

Si noti che l'equivalenza indicata con * è dovuta al fatto che la terza equazione del sistema che la precede è soddisfattaper ogni x Î R, e, pertanto, può essere trascurata.

Esempio 3.8.1 - 4.

Risolvere la disequazione: 1 - x2 £ 1 - x.

Svolgimento. Anche in questo caso abbiamo una radice quadrata, pertanto dobbiamo imporre, preliminarmente, che1 - x2 ³ 0. Osservato il verso della disequazioni, si vede che dev'essere 1 - x ³ 0. Infine, se queste condizioni sono

verificate, possiamo elevare al quadrato, ottenendo 1 - x2 £ H1 - xL2.Dunque:

1 - x2 < 1 - x �

1 - x2 ³ 01 - x ³ 0

1 - x2 £ H1 - xL2

�

1 - x2 ³ 01 - x ³ 0

1 - x2 £ x2 - 2 x + 1

�

1 - x2 ³ 01 - x ³ 0

x2 - x ³ 0

�

-1 £ x £ 1

x £ 1

x £ 0 oppure x ³ 1

Rappresentiamo graficamente la situazione. Indichiamo, al solito, con X1, X2 e X3 gli insiemi delle soluzioni delle tredisequazioni del sistema. Si ha:

Carlo Greco :


Settembre 2009

X1 H1° dis. sodd.L -1 1

X2 H2° dis. sodd.L 1

X3 H3° dis. sodd.L 0 1

S = X1ÝX2ÝX3 -1 0 1

A questo punto, dobbiamo determinare l'intersezione S = X1 Ý X2 Ý X3, cioé la parte comune alle tre zone disegnate contratto continuo. Chiaramente l'intervallo @-1, 0D è comune ai tre insiemi X1, X2, X3. Osservando attentamente, vediamoche anche il singolo punto 1 è comune ai tre insiemi (in altri termini x = 1 è soluzione delle tre disequazioni del sistema),pertanto S è costituito dall'intervallo @-1, 0D e dal punto "isolato'' 81<.In definitiva l'insieme delle soluzioni della nostra disequazione è S = @-1, 0D Ü 81<. Osservazione. Possiamo renderci conto visivamente di ciò che abbiamo ottenuto nel seguente modo: risolvere la

disequazione 1 - x2 £ 1 - x significa determinare i valori di x per i quali il grafico della funzione 1 - x2 si trova al

di sotto della retta 1 - x o la tocca.

La funzione 1 - x2 rappresenta geometricamente una semicirconferenza, quindi la situazione è quella del seguente

disegno:

-1 1x

y

Chiaramente il grafico di 1 - x2 si trova al di sotto della retta per x Î S = @-1, 0D Ü 81<, e tocca la retta solo nei due

punti x = 0, e x = 1.Svolgere in modo analogo i seguenti esercizi.


Disequazione

Soluzione Reset

Osserviamo che, talvolta, il procedimento per risolvere una disequazione del tipo 3.8.1 - 1 può essere leggermente

semplificato.

Ad esempio, se vogliamo risolvere la disequazione x2 - 1 < 3, possiamo evitare di imporre B@xD ³ 0, infatti nel nostro

caso B@xD º 3 è sempre strettamente positivo, pertanto svolgeremo i calcoli nel modo seguente:

Carlo Greco :


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x2 - 1 < 3 � : x2 - 1 ³ 0

x2 - 1 < 9� : x2 - 1 ³ 0

x2 - 10 < 0�

: x £ -1 oppure x ³ 1

x < - 10 oppure 10 < x� x Î S = E - 10 , -1E æA1, 10 A

Alcune volte si vede immediatamente che la disequazione non può essere mai soddisfatta. Ad esempio, la disequazione

x - 1 < -2 non è mai soddisfatta (più precisamente, per x < 1 è priva di senso, mentre per x ³ 1 non ammette nessunasoluzione).

Analogamente la disequazione x £ -x2 + 2 x - 1 non è mai soddisfatta, perché il trinomio a secondo membro èsempre strettamente negativo, e si annulla solo per x = 1.

In qualche caso una disequazione del tipo 3.8.1 - 1 può essere risolta semplicemente elevando all'n -esima potenza

entrambe i membri. Ciò succede quando sappiamo a priori che A@xD e B@xD sono positivi.

Ad esempio, se vogliamo risolvere la disequazione x4 + x2 < 2 x2, non vale la pena di impostare alcun sistema:

possiamo scrivere direttamente:

x4 + x2 < 2 x2 � x4 + x2 < 4 x4 � 3 x4 - x2 < 0

� x2 I3 x2 - 1M > 0 � x < -1

3oppure

1

3< x.


x + 1

x - 1£ 4; 2 x2 - 1

4< -1; 2 x2 + 10

4< 1.

3.8.2. Disequazioni del tipo A@xDn

> B@xD oppure A@xDn

³ B@xDAnche le disequazioni del tipo

3.8.2 - 1A@xDn> B@xD oppure A@xDn

³ B@xDsi risolvono immediatamente se l'indice n della radice è dispari. Infatti in questo caso, basta elevare entrambe i membriall'n -esima potenza.Ad esempio, si possono svolgere facilmente i seguenti esercizi.


x3 + 13

> x + 1; 2 x + 13

³ 1; x5 + x25> 2 x.

Vediamo ora cosa succede per n pari.

Supponiamo, per fissare le idee, di voler risolvere la disequazione A@xDn

> B@xD con in segno di maggiore stretto.Essendo n pari, dobbiamo anzitutto imporre che sia A@xD ³ 0, altrimenti la disequazione non avrebbe senso.

A questo punto, il secondo membro B@xD può essere positivo o negativo. Se, ad esempio, B@xD ³ 0, abbiamo unadisequazione nella quale entrambe i membri sono positivi. Possiamo pertanto elevare alla n conservandone il verso. Siottiene così il sistema

S1LA@xD ³ 0

B@xD ³ 0

A@xD > B@xDn

Tuttavia, in questo caso, le soluzioni di tale sistema non sono tutte quelle della disequazione data. Infatti, se risulta

B@xD < 0, che è il caso opposto a quello contemplato nel sistema precedente, la disequazione data A@xDn

> B@xD risultaautomaticamente soddisfatta (ammesso sempre che abbia senso, cioè che A@xD ³ 0). Infatti, il primo membro è positivo, epertanto sarà certamente strettamente maggiore del secondo membro, che è strettamente negativo. Ciò porta ad impostareun secondo sistema, e cioé il sistema

Carlo Greco :


Settembre 2009

Tuttavia, in questo caso, le soluzioni di tale sistema non sono tutte quelle della disequazione data. Infatti, se risulta

B@xD < 0, che è il caso opposto a quello contemplato nel sistema precedente, la disequazione data A@xDn

> B@xD risultaautomaticamente soddisfatta (ammesso sempre che abbia senso, cioè che A@xD ³ 0). Infatti, il primo membro è positivo, epertanto sarà certamente strettamente maggiore del secondo membro, che è strettamente negativo. Ciò porta ad impostareun secondo sistema, e cioé il sistema

S2L A@xD ³ 0

B@xD < 0

che fornisce l'altra "metà'' delle soluzioni della disequazione data. Questa è la principale differenza rispetto alla

disequazione A@xDn

< B@xD che abbiamo già visto. Infatti, nel caso di quest'ultima disequazione, se B@xD è negativo, ladisequazione non è soddisfatta, e quindi non è necessario impostare il secondo sistema S2).Se indichiamo con S1 e con S2 l'insieme delle soluzioni, rispettivamente, dei due sistemi, abbiamo che l'insieme S dellesoluzioni della disequazione data è l'unione di S1 e di S2: S = S1 Ü S2.

Ciò si esprime dicendo che la prima delle disequazioni 3.8.1 - 1 è equivalente ai due sistemi S1) ed S2).

Osserviamo anche che, nel sistema S1) la prima disequazione può essere trascurata, infatti la condizione A@xD ³ 0 èinclusa nella terza disequazione.In definitiva possiamo scrivere:

A@xDn> B@xD � S1O

A@xD ³ 0

B@xD ³ 0

A@xD > B@xDn

ed al sistema S2M : A@xD ³ 0

B@xD < 0

Ragionando in modo analogo, si tratta la disequazione con il maggiore o uguale, ottenendo che:

A@xDn³ B@xD � S1O

A@xD ³ 0

B@xD ³ 0

A@xD ³ B@xDn

ed al sistema S2M : A@xD ³ 0

B@xD < 0


x2 - 1 > 2 - x.

Svolgimento. Ripetiamo il ragionamento che ci ha portato all'impostazione dei due sistemi: anzitutto dev'esserex2 - 1 ³ 0 affinché la disequazione abbia senso. Poi il secondo membro può essere positivo o negativo. Se è positivo,cioé se 2 - x ³ 0, possiamo elevare entrambe i membri al quadrato, ottenendo quindi il primo sistema:

S1Lx2 - 1 ³ 02 - x ³ 0

x2 - 1 > H2 - xL2

La prima disequazione può essere trascurata, come sempre, dato che è implicata dalla terza. Dunque:

S1Lx2 - 1 ³ 02 - x ³ 0

x2 - 1 > H2 - xL2

� : 2 - x ³ 0

4 x - 5 > 0� x ÎE 5

4, 2E.

Se invece il secondo membro è strettamente negativo, si ha il sistema

S2L : x2 - 1 ³ 02 - x < 0

che è soddisfatto per x > 2:

S2L : x2 - 1 ³ 02 - x < 0

� x ÎE 2, +¥A.L'unione dei due intervalli E 5

4, 2E e E 2, +¥A è, evidentemente, l'intervallo S =D 5

4, +¥ @ , e questo è anche l'insieme delle

soluzioni della disequazione data.

Carlo Greco :


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L'unione dei due intervalli E 5

4, 2E e E 2, +¥A è, evidentemente, l'intervallo S =D 5

4, +¥ @ , e questo è anche l'insieme delle

soluzioni della disequazione data.


x3 - 1

x + 1³ x.

Svolgimento. Il primo sistema è il seguente:

S1Lx3-1

x+1³ 0

x ³ 0x3-1

x+1> x2

�

x3-1

x+1³ 0

x ³ 01+x2

1+x< 0

Ora, l'ultimo sistema non ammette, evidentemente, alcuna soluzione, dato che la seconda e la terza disequazione sono traloro incompatibili, cioé S1 = Æ.Impostiamo ora il secondo sistema:

S2L x3-1

x+1³ 0

x < 0

La disequazione razionale fratta è soddisfatta per x < -1 e per 1 £ x. Pertanto il sistema S2) è soddisfatto perx ÎD - ¥ , [email protected] soluzioni della disequazione data sono dunque S = S1 Ü S2 = Æ ÜD - ¥ , -1@= D - ¥ , -1@. Esercizio 3.8.2 - 2. Risolvere le seguenti disequazioni:

Disequazione

Soluzione Reset

Come per la disequazioni del tipo 3.8.1 - 1, anche per le 3.8.2 - 1 possiamo osservare che, in alcuni casi, esse possono

essere risolte più velocemente senza bisogno di impostare esplicitamente i due sistemi S1) ed S2).Ad esempio, se vogliamo risolvere la disequazione

x

x2 + 1>

1

2,

basta osservare che la radice ha senso per x ³ 0, e che entrambe i membri sono positivi, per cui basta elevare al quadrato,ottenendo il sistema

x

x2 + 1>

1

2� : x ³ 0

x

x2+1>

1

4

La disequazione razionale fratta è soddisfatta per 2 - 3 < x < 3 + 2, pertanto la disequazione data è soddisfatta

anch'essa per 2 - 3 < x < 3 + 2.

Analogamente, per la disequazione x2 - 14

³ -3 non occorrono certo molti calcoli: basta infatti imporre che essa abbia

senso, il che accade per x2 - 1 ³ 0, cioé per x £ -1 e per x ³ 1; essendo poi il primo membro positivo, ed il secondosempre strettamente negativo, è chiaro che la disequazione data è soddisfatta per ogni valore di x per il quale ha senso, ecioé per x £ -1 e per x ³ 1, appunto.

Carlo Greco :


Settembre 2009

Analogamente, per la disequazione x2 - 14

³ -3 non occorrono certo molti calcoli: basta infatti imporre che essa abbia

senso, il che accade per x2 - 1 ³ 0, cioé per x £ -1 e per x ³ 1; essendo poi il primo membro positivo, ed il secondosempre strettamente negativo, è chiaro che la disequazione data è soddisfatta per ogni valore di x per il quale ha senso, ecioé per x £ -1 e per x ³ 1, appunto.

Carlo Greco :


Settembre 2009

4. Disequazioni esponenziali e logaritmiche

In questo capitolo ci proponiamo di ricordare come si risolvono alcuni tipi di disequazioni che coinvolgono la funzioneesponenziale e il logaritmo.

4.1. Richiami su funzione esponenziale e logaritmi

Iniziamo a richiamare le principali proprietà della funzione esponenziale e di quella logaritmica, utili per studiaresuccessivamente le disequazioni.

4.1.1. Funzione esponenziale

Se a è un numero reale strettamente positivo, e x è un numero reale qualsiasi, è possibile definire ax (potenza di base aed esponente qualsiasi). Il procedimento per definire ax sarà visto meglio nel corso di Analisi. Ci limitiamo a ricordare

che, se l'esponente x è il numero razionale p

q, si ha

ap

q = apq

,

mentre se x è un numero irrazionale, ax viene definito come elemento di separazione tra due insiemi numerici contigui.

Ad esempio, per definire (e contemporaneamente calcolare!) 2Π, consideriamo i due insiemi di numeri razionali:

A = {3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, 3.141592, º }

B = {3.2, 3.15, 3.142, 3.1416, 3.14160, 3.141593, º }

che approssimano, rispettivamente, per difetto e per eccesso Π. A partire da essi consideriamo gli insiemi:

A ' = 923.1, 23.14, 23.141, 23.1415 , 23.14159 , 23.141592 , º =B ' = 923.2, 23.15, 23.142, 23.1416 , 23.14160 , 23.141593 , º =

Essi sono contigui ed approssimano, rispettivamente, per difetto e per eccesso 2Π.

Le principali proprietà delle potenze di base a ed esponente qualsiasi sono elencate nel seguente teorema.

Teorema 4.1.1 - 1. (Proprietà di ax)Siano a e b due numeri reali strettamente positivi, e siano x ed y due numeri reali qualsiasi. Si ha:

1°) ax+y = ax ay;

2°) ax y = HaxLy;

3°) a-x =1

ax ;

4°) 1x = 1;

5°) Ha bLx = ax bx.

Esempio 4.1.1 - 1. Come esempio di applicazione del teorema precedente, si ha:

9x = I32Mx= 32 x;

1

4

x+2

=1

4

x 1

4

2

=1

4x

1

16=

1

2x

1

16;

12x = H3´4Lx = 3x 4x = 3x 22 x.

Una volta definito ax per qualsiasi x Î R, è possibile dare la seguente definizione.

Carlo Greco :

Precorso di Analisi Matematica4. Disequazioni esponenziali e logaritmiche 75

Settembre 2009

Una volta definito ax per qualsiasi x Î R, è possibile dare la seguente definizione.

Definizione 4.1.1 - 1. (Funzione esponenziale)Se a è un numero reale strettamente positivo, la funzione che associa ad ogni x Î R il numero reale ax, si chiama

funzione esponenziale di base a.

Il grafico della funzione esponenziale varia a seconda che sia a > 1 oppure 0 < a < 1 (a £ 0 non può essere, e il casoa = 1 è banale perché la funzione 1x è costante a costante valore 1).La situazione è illustrata nella seguente animazione.

Base a ã

ãx 10x

x

y

a > 1

f HxL = ãx

Osservazione. Come si vede dal grafico, la funzione esponenziale ax è definita per ogni x Î R, ed è sempre strettamentepositiva. Il suo codominio è D 0, +¥@. Infine, essa è strettamente crescente se a > 1, mentre è strettamente decrescente se0 < a < 1.

Osservazione. Come vedremo in seguito, ha interesse considerare la funzione esponenziale avente come base unparticolare numero reale (irrazionale) che si chiama numero di Nepero. Tale numero si indica con ã, ed è uguale a2.7182818284590452354.Spesso, quando si parla di funzione esponenziale senza precisarne la base, si intende proprio la funzione ãx. Poichéã > 1, il suo grafico rientra nel caso a > 1 (v. figura precedente).

4.1.2. Funzione logaritmo

Se a è un numero reale strettamente positivo e diverso da uno, la funzione esponenziale ax è ingettiva, perché è

strettamente monotona sia nel caso a > 1 che nel caso 0 < a < 1. La sua inversa si chiama funzione logaritmo in base a.

Definizione 4.1.2 - 1. (Logaritmo)L'inversa della funzione esponenziale di base a, con a > 1 oppure 0 < a < 1, si dice funzione logaritmo in base a, e si

indica con [email protected] il grafico della funzione logaritmo varia a seconda che sia a > 1 oppure 0 < a < 1, come si vede nella seguenteanimazione.

Carlo Greco :


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Base a 1.3

Logã@xD Log10@xD

x

y

a > 1f HxL = Log1.3@xD

1

Osservazione. La funzione Loga@xD è definita per x > 0, e il suo codominio è tutto R; come la funzione esponenziale,

anche la funzione logaritmo è strettamente crescente se a > 1, mentre è strettamente decrescente se 0 < a < 1. Per quantoriguarda il segno, osserviamo che:1°) se a > 1, allora Loga@xD < 0 nell'intervallo D 0, 1@, mentre si ha Loga@xD > 0 in D 1, +¥@;2°) se 0 < a < 1, allora Loga@xD > 0 nell'intervallo D 0, 1@, mentre si ha Loga@xD < 0 in D 1, +¥@;Osservazione. Spesso ha interesse considerare la funzione logaritmo avente come base il numero ã di Nepero (logaritmineperiani). Quando si parla del logaritmo senza precisarne la base, si intende proprio Log

ã@xD, e in genere si scrive

semplicemente Log@xD. Nel nostro corso non useremo invece quasi mai i logaritmi decimali, che per noi non hanno

alcuna particolare rilevanza. Poiché ã > 1, il grafico di Logã

@xD rientra nel caso a > 1 (v. figura precedente).

Riassumiamo nel seguente teorema le proprietà più importanti dei logaritmi.

Teorema 4.1.2 - 1. (Proprietà dei logaritmi)Se a, b Î R, con a ¹ 1, b ¹ 1, e se x, y > 0, si ha:

1°) Loga@x yD = Loga@xD + Loga@yD;2°) LogaB x

yF = Loga@xD - Loga@yD;

3°) Loga@xyD = y Loga@xD;4°) Loga@xD =

Logb@xDLogb@aD ;

5°) Loga@bD =1

Logb@aD .

Esempio 4.1.2 - 1. Come esempio di applicazione delle proprietà del logaritmo, si ha:

Log@16D = LogA24E = 4 Log@2D ;

Log[2 x]=Log[2]+Log[x];

3 LogAx2 + 2E - LogAx4 + 1E = LogB Ix2+2M3

x4+1F

Osservazione. Si noti che le proprietà espresse nel teorema precedente valgono solo se x ed y sono positivi. Ad esempio,

non è vero che LogAx2E = 2 Log@xD; infatti, se x > 0, tale uguaglianza è certamente vera, mentre, se x < 0, il secondo

membro perde significato. E' invece vero che:

LogAx2E = 2 Log@ x D ;

analogamente, la relazione

Carlo Greco :


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analogamente, la relazione

Log@xD + Log@yD = Log@x yDè valida solo se x ed y sono entrambe strettamente positivi; notiamo però, che se x ed y sono entrambe strettamente

negativi, il secondo membro, cioé Log@x yD ha ancora significato.

Alle proprietà del teorema precedente, aggiungiamo quelle che derivano dal fatto che le due funzioni, esponenziale elogaritmo, sono una l'inversa dell'altra. Dunque:

aLoga@xD = x per ogni x > 0;

Loga@axD = x per ogni x Î R.

Esempio 4.1.2 - 2. Si ha:

3Log3@x+2D = x + 2;

Log5A57E = 7.

4.2. Disequazioni esponenziali

Nelle disequazioni esponenziali l'incognita figura come esponente. Ad esempio,

3x < 1, 102 x-1 < 3x, 7x2³ ãx,

sono disequazioni esponenziali (nell'ultima di esse compare, come capita di frequente, la base ã dei logaritmi naturali).Come vedremo, tali disequazioni, ed altre analoghe, si risolvono facilmente adoperando i logaritmi. Osserviamo ancheche disequazioni del tipo

3x < x, ã2 x ³ 2 x - 3x,

ecc. ecc., sono molto più difficili da risolvere, perché l'incognita x non compare sempre come esponente. Per risolvere ledisequazioni esponenziali, partiamo dalle disequazioni esponenziali elementari

ax < k, ax £ k,

e

ax > k, ax ³ k,

dove k Î R, (e a > 0, come sempre).

Se k > 0, le disequazioni precedenti si risolvono semplicemente prendendo i logaritmi, in base a, di entrambe i membri,ricordandosi di invertire il verso della disequazione se la base a è minore di 1. Questo è dovuto, ovviamente, al fatto chela funzione Loga@xD è strettamente crescente se a > 1, strettamente decrescente se invece 0 < a < 1.

Esempio 4.2.0 - 1. Risolvere la disequazione 3x < 2.

Svolgimento. Prendendo i logaritmi in base 3, e ricordando che Loga@axD = x, e che Loga@aD = 1, si ha:

3x < 2 � Log3 @3xD < Log3 @2D � x Log3 @3D < Log3 @2D � x < Log3 @2D,pertanto la disequazione data è soddisfatta nell'intervallo D - ¥, Log3 @2D @. Esempio 4.2.0 - 2. Risolvere la disequazione 2x ³ 8.

Svolgimento. Anche in questo caso, prendiamo i logaritmi in base 2:

2x ³ 8 � Log2 @2xD ³ Log2 @8D � x Log2 @2D ³ Log2 @8D � x ³ Log2 @8D � x ³ 3.

(si è usato il fatto che Log2 @8D = 3 in quanto 23 = 8).

Carlo Greco :


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Esempio 4.2.0 - 3.

Risolvere la disequazione I 1

4Mx

£ 1.

Svolgimento. Questa volta dobbiamo prendere i logaritmi in base 1

4 di entrambe i membri, e quindi la disequazione

dev'essere cambiata di verso. Ricordando anche che Loga@1D = 0, si ottiene:

1

4

x

£ 1 � Log1�4 B 1

4

xF ³ Log1�4 @1D � x Log1�4 B 1

4F ³ 0 � x ³ 0.

pertanto l'insieme delle soluzioni è l'intervallo @0, +¥ @. Vediamo cosa succede nel caso k £ 0. In questo caso non ha senso considerare Loga@kD; però, tenendo conto che ax è un

numero strettamente positivo (indipendentemente dai due casi a > 1 ed 0 < a < 1), è chiaro che le disequazioni ax < k oax £ k non possono essere mai soddisfatte.Viceversa, le disequazioni ax > k e ax ³ k, sempre nel caso k £ 0, saranno sempre soddisfatte.

Esempio 4.2.0 - 4. Risolvere la disequazione 10x < -2.

Svolgimento. Per qualunque x il numero 10x è strettamente positivo, pertanto la disequazione data non ammettesoluzioni.

Esempio 4.2.0 - 5. Risolvere la disequazione ãx > 0.

Svolgimento. Per qualunque x il numero ãx è strettamente positivo, pertanto la disequazione data è soddisfatta per ognix Î R.Osservazione. Per maggiore chiarezza possiamo interpretare disequazioni logaritmiche elementari geometricamente,disegnando i grafici della funzione ax nei due casi a > 1 e 0 < a < 1, insieme con le rette di equazione y = k.

k

a

Disequazione: ax < k a

x £ k ax > k a

x ³ k

x

y

a > 1 k > 0ax < k

x < Loga@kD

x0 = Loga@kD

k

Fissiamo l'attenzione, ad esempio, sul caso a > 1, e sulla disequazione ax < k.

Dal grafico precedente si comprende chiaramente il motivo per cui la disequazione ax < k è soddisfatta per x < Loga@kDse k > 0, non è soddisfatta mai se k £ 0. Infatti, risolvere la disequazione ax < k significa determinare i valori di x per iquali il grafico di ax si trova al di sotto della retta di equazione y = k.

Evidentemente, se k £ 0, tali valori non esistono. Se invece k > 0, la retta y = k interseca il grafico di ax nel punto di

ascissa Loga@kD, e, poiché ax è strettamente crescente, la disequazione risulta soddisfatta per x < [email protected] in modo analogo ci si convince facilmente degli altri risultati sopra esposti.

Carlo Greco :


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Ragionando in modo analogo ci si convince facilmente degli altri risultati sopra esposti.


ãx < 10,1

3

x

³ 0,2x

3x£ 5,

5x

2x> -4.

Alcune disequazioni esponenziali possono essere ricondotte ai tipi fondamentali che abbiamo appena visto ricordando leproprietà della funzione esponenziale, e, in particolare:

ax+y = ax ay, Ha bLx = ax bx, ax y = HaxLy.

Dalla terza uguaglianza consegue, ad esempio, a2 x = HaxL2, ecc. ecc..Vediamo alcuni esempi concreti.

Esempio 4.2.0 - 6. Risolvere la disequazione 10x ³ 3x.

Svolgimento. Al primo e al secondo membro figurano due funzioni esponenziali di diversa base. Si ha

10x ³ 3x �10x

3x³ 1 �

10

3

x

³ 1 � x ³ Log10

3

@1D = 0,

cioé x ³ 0.

Esempio 4.2.0 - 7. Risolvere la disequazione 9x + 3x ³ 6.

Svolgimento. Poiché 9x = H3xL2, la disequazione data può essere scritta nella forma H3xL2+ 3x ³ 6. Ponendo t = 3x, si

ottiene la disequazione di secondo grado t2 + t - 6 ³ 0, che è soddisfatta per t £ -3 e per t ³ 2.Pertanto la disequazione data sarà soddisfatta per 3x £ -3, e per 3x ³ 2. La prima di queste due disequazioni esponenzialielementari non è mai soddisfatta. La seconda è soddisfatta per x ³ Log3@2D. Pertanto la disequazione data è soddisfatta

per x ³ Log3@2D. Esempio 4.2.0 - 8. Risolvere la disequazione 23 x+1 < 4x.

Svolgimento. E' possibile avere in entrambe i membri della disequazione due funzioni esponenziali nella stessa baseosservando che 4x = 22 x, pertanto, prendendo i logaritmi in base 2 di entrambe i membri:

23 x+1 < 4x � 23 x+1 < 22 x � 3 x + 1 < 2 x � x < -1.

Quindi la disequazione è soddisfatta per x < -1.

In modo analogo si possono risolvere i seguenti esercizi.


Disequazione

Soluzione Reset

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4.3. Disequazioni logaritmiche

Nelle disequazioni logaritmiche, l'incognita figura sotto il segno di logaritmo. Ad esempio, le seguenti disequazioni:

10 < Log@x - 2D, Log2@xD ³ LogAx2 + 1E2, Log10@xD > -5,

sono disequazioni logaritmiche.Anche in questo caso, osserviamo che disequazioni del tipo:

x < Log@xD, Log@xD2 - Log@xD + x > 0

e simili, non sono risolubili facilmente, in quanto l'incognita non figura sempre sotto il segno di logaritmo.Come per le disequazioni esponenziali, partiamo dalle disequazioni logaritmiche elementari, che sono le seguenti:

Loga@xD < k, Loga@xD £ k

Loga@xD > k, Loga@xD ³ k

dove k Î R (e a > 0, a ¹ 1, essendo base di logaritmo).

Per risolvere tali disequazioni, basta ricordare che esse hanno senso per x > 0 perché x è l'argomento del logaritmo, e poisi prende "l'esponenziale'' in base a di entrambe i membri, ricordandosi, anche in questo caso, di invertire il verso delladisequazione se 0 < a < 1.

Esempio 4.3.0 - 1. Risolvere la disequazione Log2@xD > 2.

Svolgimento. Prendendo l'esponenziale di base 2 di entrambe i membri, si ha:

Log2@xD > 2 � 2Log2@xD > 22 � x > 4,

pertanto la disequazione è soddisfatta per x ÎD 4, +¥ @. Esempio 4.3.0 - 2. Risolvere la disequazione Log@xD < -5.

Svolgimento. Si ha:

Log@xD < -5 � ãLog@xD < ã-5 � 0 < x < ã-5,

dove si è tenuto conto del fatto che dev'essere x > 0, dato che x figura sotto il segno di logaritmo.

Esempio 4.3.0 - 3. Risolvere la disequazione Log3@xD < 1.

Svolgimento. Si ha in questo caso:

Log3@xD < 1 � 3Log3@xD < 31 � 0 < x < 3,

cioé la disequazione è soddisfatta per x Î D 0, 3@. Esempio 4.3.0 - 4. Risolvere la disequazione Log1�2@xD £ -4.

Svolgimento. Questa volta la base del logaritmo è minore di 1, pertanto dobbiamo invertire il verso della disequazione:

Log1�2@xD £ -4 �1

2

Log1�2@xD³

1

2

-4

� x ³ 16,

cioé la disequazione è soddisfatta per x Î @16, +¥ @. Esempio 4.3.0 - 5. Risolvere la disequazione Log1�2@xD ³ 0.

Svolgimento. Si ha:

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Log1�2@xD ³ 0 �1

2

Log1�2@xD£

1

2

0

� 0 < x £ 1,

pertanto la disequazione è soddisfatta per x Î D 0, 1D. Osservazione. Come abbiamo fatto per le disequazioni esponenziali, anche per quelle logaritmiche possiamo disegnareil grafico della funzione Loga@xD nei due casi a > 1 e 0 < a < 1, e della retta y = k, al fine di interpretare graficamente i

risultati sopra esposti:

k

a

Disequazione: Loga

@xD < k Loga

@xD £ k Loga

@xD > k Loga

@xD ³ k

x

y

a > 1Loga@xD < k

0 < x < ak

x0 = ak

k

Supponiamo, ad esempio, di voler risolvere la disequazione Loga@xD < k nel caso in cui a > 1. Dall'animazione

precedente vediamo che il grafico della funzione Loga@xD si trova al di sotto della retta y = k per x Î D 0, [email protected] si procede per gli altri casi.


Log10@xD ³ 10; Log@xD < 0; Log1�2@xD ³ -4; Log1�2@xD < -1; Log2@xD £ -8.

Vediamo ora come è possibile risolvere disequazioni logaritmiche che si presentano in forma leggermente diversa dalleprecedenti.

Esempio 4.3.0 - 6.

Risolvere la disequazione: Log2@3 xD > Log2A 1

xE + 1.

Svolgimento. Poiché Log2@3 xD = Log2@3D + Log2@xD, e Log2A 1

xE = -Log2@xD si ha:

Log 2@3 xD > Log2B 1

xF + 1 � Log2@3D + Log2@xD > -Log2@xD + 1 � 2 Log2@xD > 1 - Log2@3D

� 2 Log2@xD > Log2@2D - Log2@3D = Log2B 2

3F

� Log2@xD >1

2Log2B 2

3F = Log2B 2

3F � x >

2

3.

Dunque la disequazione data è soddisfatta per x ÎD 2

3, +¥ @ .

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Dunque la disequazione data è soddisfatta per x ÎD 2

3, +¥ @ .

Esempio 4.3.0 - 7. Risolvere la disequazione: Log@xD £ Log2@xD + 5.

Svolgimento. Nella disequazione compaiono logaritmi in base diversa.Ricordando la formula del cambiamento di base:

Loga@xD =Logb@xDLogb@aD ,

possiamo scrivere, ad esempio:

Log2@xD =Log@xDLog@2D ,

pertanto la nostra disequazione diventa:

Log@xD £ 5 + Log2@xD � Log@xD £ 5 +Log@xDLog@2D � 1 -

1

Log@2D Log@xD £ 5 �Log@2D - 1

Log@2D Log@xD £ 5

Vorremmo ora dividere entrambe i membri per Log@2D-1

Log@2D . Per fare ciò, dobbiamo conoscere il segno di tale quantità:

chiaramente Log@2D > 0, quindi il denominatore è positivo. Invece Log@2D - 1 < 0, perché 2 < ã e quindi Log@2D < 1.

Possiamo allora dividere, ma dobbiamo invertire il verso della diseguaglianza:

Log@2D - 1

Log@2D Log@xD £ 5 � Log@xD ³5 Log@2D

Log@2D - 1� x ³ ã

5 LogA2ELogA2E-1 .

La disequazione data è dunque soddisfatta per x Î Aã

5 LogA2ELogA2E-1 , +¥ A .

Molte disequazioni possono essere risolte mediante una sostituzione del tipo Loga@xD = t. Vediamo un esempio

semplicissimo.

Esempio 4.3.0 - 8.

Risolvere la disequazione: Log1�2@xD2 - 3 Log1�2@xD + 2 > 0.

Svolgimento. Ponendo Log1�2@xD = t, si ottiene la disequazione di secondo grado t2 - 3 t + 2 > 0, che è soddisfatta per

t < 1 e t > 2; pertanto la disequazione data sarà soddisfatta per Log1�2@xD < 1 e per Log1�2@xD > 2, cioé per x >1

2 e per

0 < x <1

4.

In altri termini, l'insieme delle soluzioni della disequazione data è x Î D 0, 1

4@ÜD 1

2, +¥ @.

Esercizio 4.3.0 - 2. Risolvere le seguenti disequazioni.

Disequazione

Soluzione Reset

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5. Disequazioni trigonometriche

In questo capitolo richiamiamo i metodi per la risoluzione di alcuni tipi di disequazioni trigonometriche, cioé didisequazioni che coinvolgono le funzioni seno, coseno e tangente e le loro inverse.

5.1. Richiami sulle funzioni trigonometriche

In tutto il corso di Analisi, gli angoli verranno misurati sempre in radianti invece che in gradi. La misura in radianti di unangolo Α, è la lunghezza dell'arco di circonferenza unitaria su cui "insiste" tale angolo. Se indichiamo con Αr tale misurae con Αg la misura in gradi di Α; tra Αg ed Αr sussiste la seguente relazione di proporzionalità:

Αr =Π

180Αg .

Nella seguente figura è riportata la misura in gradi ed in radianti di alcuni angoli notevoli.

0 0Π

630

Π

445

Π

360

Π

290

2 Π

3120

3 Π

4135

5 Π

6150

Π 1807 Π

6210

5 Π

4225

4 Π

3240

3 Π

2270

5 Π

3300

7 Π

4315

11 Π

6330

0 = 0°

Esempio 5.1.0 - 1. La misura in radianti dell'angolo di 30 ° è: Αr =

Π

18030 =

Π

6. Ciò significa che, considerata la circonferenza di raggio uno,

un angolo di 30 ° insiste su un arco di lunghezza Π

6= 0.523599 º.

Quanti gradi misura l'angolo di un radiante? Poiché evidentemente Αg =180

ΠΑr, la misura in gradi di un angolo di un

radiante sarà uguale a Αg =180

Π1 = 57.2958 º. Ciò significa che ad un arco di lunghezza uno della circonferenza

unitaria corrisponde un angolo di circa 57 °.

Carlo Greco :

Precorso di Analisi Matematica5. Disequazioni trigonometriche 84

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5.1.1. Le funzioni seno, coseno e tangente

Ora, considerata la circonferenza unitaria e un punto P su di essa, se x è la misura in radianti dell'angolo AOP, l'ascissa el'ordinata di P si dicono, rispettivamente, coseno e seno di x, e si indicano con Cos@xD e con Sin@xD:

P = HCos@xD, Sin@xDL.

P = HCos@xD, Sin@xDL

xx

y

Si può ora dare la seguente definizione.

Definizione 5.1.1 - 1. (Seno e Coseno)Le due funzioni che associano ad ogni x Î R rispettivamente il seno ed il coseno di x, si dicono funzione seno e

funzione coseno.

Il loro grafico è il seguente.

x

ΠΠ

2

3 Π

2 2 Π

x

-1

1

y

f@xD = Sin@xD

x

ΠΠ

2

3 Π

2 2 Π

x

-1

1

y

f@xD = Cos@xD

Le principali proprietà delle funzioni seno e coseno si suppongono note; ad esempio, ricordiamo che esse sono funzioni

2 Π -periodiche, e si ottengono l'una dall'altra mediante una traslazione di ampiezza Π

2:

Carlo Greco :


Settembre 2009

Le principali proprietà delle funzioni seno e coseno si suppongono note; ad esempio, ricordiamo che esse sono funzioni

2 Π -periodiche, e si ottengono l'una dall'altra mediante una traslazione di ampiezza Π

2:

Cos@xD = SinAx +Π

2E .

Si vede anche subito che la funzione seno è dispari, mentre la funzione coseno è pari:

Sin[-x] = -Sin[x] , Cos[-x] = Cos[x].

Poiché poi il seno ed il coseno sono l'ascissa e l'ordinata di un punto P@xD che si trova sulla circonferenza unitaria, si hala relazione fondamentale

Sin@xD2 + Cos@xD2 = 1.

Le funzioni seno e coseno si annullano in infiniti punti, si ha infatti:

Sin@xD = 0 per x = k Π, con k Î Z,

Cos@xD = 0 per x =Π

2+ k Π, con k Î Z.

Assumono poi i valori 1 e -1, cioé il massimo ed il minimo, negli infiniti punti:

Sin@xD = ±1 per x = ±Π

2+ 2 k Π, con k Î Z,

Cos[x] = 1 per x = 2 k Π, con k Î Z,

Cos[x] = -1 per x = Π + 2 k Π, con k Î Z.

Per il seguito sarà importante ricordare il valore assunto dalle funzioni seno e coseno in alcuni angoli particolari, che sidicono angoli notevoli.

x Sin@xD Cos@xD0 0 1

Π

6

1

2

3

2

Π

4

1

2

1

2

Π

3

3

2

1

2Π

21 0

2 Π

3

3

2-

1

2

3 Π

4

1

2-

1

2

5 Π

6

1

2-

3

2

Π 0 -1

7 Π

6-

1

2-

3

2

5 Π

4-

1

2-

1

2

4 Π

3-

3

2-

1

2

3 Π

2-1 0

5 Π

3-

3

2

1

2

7 Π

4-

1

2

1

2

11 Π

6-

1

2

3

2

Sin@0D = 0

Cos@0D = 1

Della precedente tabella, sono particolarmente importanti gli angoli notevoli relativi al primo quadrante (in rosso e ilverde). Gli altri si possono facilmente ricavare da essi.

Ad esempio, CosA 5 Π

6E = -CosA Π

6E = -

3

2 (vedere l'animazione precedente).

Carlo Greco :


Settembre 2009

Ad esempio, CosA 5 Π

6E = -CosA Π

6E = -

3

2 (vedere l'animazione precedente).

E' anche importante ricordare alcune formule trigonometriche che possono essere utili anche nella risoluzione di alcunedisequazioni. Le principali sono le seguenti.Formule di addizione e sottrazione:

Sin@x + yD = Sin@xD Cos@yD + Cos@xD Sin@yDCos@x + yD = Cos@xD Cos@yD - Sin@xD Sin@yD

Le formule di duplicazione:

Sin@2 xD = 2 Sin@xD Cos@xDCos@2 xD = Cos@xD2 - Sin@xD2 = 1 - 2 Sin@xD2 = 2 Cos@xD2 - 1

quelle di bisezione:

Sin@xD = ±1-Cos@x�2D

2

Cos@xD = ±1+Cos@x�2D

2

nelle quali bisogna prendere il segno + o il segno - in accordo col segno del primo membro.

Oltre alle funzioni seno e coseno, è importante la funzione tangente, definita come quoziente di Sin@xD e [email protected] 5.1.1 - 2. (Tangente) Il quoziente delle due funzioni seno e coseno si chiama funzione tangente, e si indica con Tan@xD:

Tan@xD =Sin@xDCos@xD .

Il suo significato geometrico è illustrato nella seguente animazione.

x

PT

AOx

1

y

Dunque, se x è l'angolo AOP, Tan@xD è la lunghezza del segmento (orientato) AT.

Il grafico della funzione tangente è il seguente.

Carlo Greco :


Settembre 2009

-Π -Π

2

Π

2Π

3 Π

2 2 Π

x

y

E' immediato verificare che si tratta di una funzione periodica, di periodo Π, dispari. In corrispondenza degli zeri deldenominatore, presenta asintoti verticali.E' opportuno ricordare a memoria i seguenti valori di Tan@xD.

x Tan@xD0 0Π

6

1

3Π

41

Π

33

Π

2Non definita

2 Π

3- 3

3 Π

4-1

5 Π

6-

1

3

Π 07 Π

6

1

3

5 Π

41

4 Π

33

3 Π

2Non definita

5 Π

3- 3

7 Π

4-1

11 Π

6-

1

3

Come per le funzioni seno e coseno, i valori di Tan@xD relativi ad angoli maggiori di Π

2 si ricavano in modo molto

semplice; ad esempio:

TanA 2 Π

3E = TanAΠ -

Π

3E =

H1L-TanA Π

3- ΠE =

H2L-TanA Π

3E =

H3L- 3 ,

dove la H1L vale perché Tan@xD è una funzione dispari, la H2L perché è Π -periodica, e la H3L per il valore di Tan@xD negliangoli notevoli relativi al primo quadrante.

Osservazione. E' anche opportuno osservare che, ad esempio, TanA Π

2E non si può considerare, perché Tan@xD non è

definita per x =Π

2. Sarebbe errato dire che TanA Π

2E = ¥, dato che ¥ non è un numero!

Tra le varie formule trigonometriche che coinvolgono la tangente, ci limitiamo a ricordare le seguenti.

Le formule che legano Tan@xD al seno ed al coseno:

Sin@xD2 =Tan@xD2

1+Tan@xD2, Cos@xD2 =

1

1+Tan@xD2;

le formule parametriche:

Sin@xD =2 TanB x

2F

1+TanB x

2F2

, Cos@xD =1-TanB x

2F2

1+TanB x

2F2

, Tan@xD =2 TanB x

2F

1-TanB x

2F2

;

Carlo Greco :


Settembre 2009

Sin@xD =2 TanB x

2F

1+TanB x

2F2

, Cos@xD =1-TanB x

2F2

1+TanB x

2F2

, Tan@xD =2 TanB x

2F

1-TanB x

2F2

;

infine, le formule di bisezione per la tangente:

TanA x

2E = ±

1-Cos@xD1+Cos@xD .

5.1.2. Funzione "inversa" del seno ed equazioni del tipo Sin@xD = k

Supponiamo di voler risolvere la semplice equazione trigonometrica:

Sin@xD =1

2;

risolvere tale equazione significa trovare tutti gli angoli x il cui seno sia uguale ad 1

2; ricordando la tabella degli angoli

notevoli, abbiamo, ad esempio, SinA Π

6E =

1

2, pertanto x =

Π

6 è una soluzione della nostra equazione. Oltre a tale soluzione,

l'equazione considerata ne ammette infinite altre, come si vede dal seguente grafico.

x

-1

1

y

Sin@xD =1

2

-2Π -3Π�2 -Π -Π�2 Π�2 Π 3Π�2 2Π 5Π�2 3Π

x-2 x-1 x0 x1 x2 x3

1

2

Di tutte le soluzioni dell'equazione Sin@xD =1

2, solo la soluzione x0 =

Π

6 cade nell'intervallo A-

Π

2, Π

2E; essa si dice

arcoseno di 1

2, e si indica con ArcSinA 1

2E.

In altri termini, l'arcoseno di 1

2 non è altro che l'arco (cioé l'angolo misurato in radianti), che è compreso tra - Π

2 e Π

2, il

cui seno è proprio uguale a 1

2, e questo angolo è appunto Π

6.

Una volta trovata x0, che possiamo considerare come la soluzione "fondamentale" dell'equazione Sin@xD =1

2, da questa

si ottengono tutte le altre. E' infatti evidente (vedere il grafico precedente) che tutte le altre infinite soluzioni xk siottengono dalla formula:

xk = k Π + H-1Lk x0, con k Î Z.

Nel nostro caso:

xk = k Π + H-1Lk Π

6, con k Î Z,

cioé le soluzioni sono:

º, - 11 Π

6, - 7 Π

6, Π

6, 5 Π

6, 13 Π

6, 17 Π

6, º

come si vede dando a k i valori: -2, -2, 0, 1, 2, 3, ecc. ecc..

Ovviamente per ogni y0 Î @-1, 1D, esiste una ed una sola soluzione x0 dell'equazione Sin@xD = y0 appartenente

all'intervallo A-Π

2, Π

2E, ed essa si dice appunto arcoseno di y0, anche se, ovviamente, solo ad alcuni valori di y0

corrisponde un angolo notevole; ad esempio, ArcSinA 1

4E è l'arco (in A-

Π

2, Π

2E) il cui seno vale 1

4, ma tale angolo, che

certamente esiste, non è un angolo notevole.

Carlo Greco :


Settembre 2009

Ovviamente per ogni y0 Î @-1, 1D, esiste una ed una sola soluzione x0 dell'equazione Sin@xD = y0 appartenente

all'intervallo A-Π

2, Π

2E, ed essa si dice appunto arcoseno di y0, anche se, ovviamente, solo ad alcuni valori di y0

corrisponde un angolo notevole; ad esempio, ArcSinA 1

4E è l'arco (in A-

Π

2, Π

2E) il cui seno vale 1

4, ma tale angolo, che

certamente esiste, non è un angolo notevole.

y01

2

y0

-1 -3

2

-1

2-

1

2 01

2

1

2

3

2 1

x

-1

1

y

x0 = ArcSin@y0D

-2Π -3Π�2 -Π -Π�2 Π�2 Π 3Π�2 2Π 5Π�2 3Π

x-2 x-1 x0 x1 x2 x3 x4

y0

Possiamo dunque considerare la funzione che associa ad ogni y0 Î @-1, 1D l'arcoseno di y0; essa si dice appunto funzione

arcoseno, e, come vedremo meglio durante il corso di Analisi, è l'inversa della restrizione della funzione Sin@xDall'intervallo A-

Π

2, Π

2E, come indicato nella seguente definizione.

Definizione 5.1.2 - 1. (Arcoseno)Si dice funzione arcoseno, e si denota con ArcSin@xD l'inversa della restrizione della funzione Sin@xD all'intervallo

A-Π

2, Π

2E.

Il suo grafico è il seguente.

-1 1x

-Π

2

Π

2

yf @xD = ArcSin@xD

Riassumendo, possiamo dire che la relazione che lega tra loro le funzioni Sin@xD e ArcSin@xD è la seguente.

se x Î A-Π

2, Π

2E ed y Î @-1, 1D, y = Sin@xD se e solo se ArcSin@yD = x.

Carlo Greco :


Settembre 2009

se x Î A-Π

2, Π

2E ed y Î @-1, 1D, y = Sin@xD se e solo se ArcSin@yD = x.

L'introduzione della funzione ArcSin@xD ci consente di risolvere le equazioni elementari della forma:

Sin@xD = k,

come si vede nei seguenti esempi.

Esempio 5.1.2 - 1.

Risolvere l'equazione Sin@xD =3

2. Poiché 3

2Î @-1, 1D, che è il codominio di Sin@xD, l'equazione ammette soluzioni.

Esse sono date della formula precedente: si ha quindi x = k Π + H-1Lk ArcSinB 3

2F, e, poiché SinA Π

3E =

3

2, si ha

x = k Π + H-1Lk Π

3, ossia, scrivendo la formula in modo più esplicito, x =

Π

3, x =

2 Π

3, x =

7 Π

3, x =

8 Π

3, e così via.

Esempio 5.1.2 - 2.

Risolvere l'equazione Sin@xD =2

4. Ovviamente 2

4Î @-1, 1D, pertanto l'equazione è certamente risolubile. Si ha

quindi x = k Π + H-1Lk ArcSinB 2

4F.

Questa volta, a differenza dell'esempio precedente, al numero 2

4 non corrisponde un arco notevole, pertanto il risultato

ottenuto non può essere reso più esplicito.Oltre alle equazioni elementari del tipo Sin@xD = k, è possibile risolvere tanti altri tipi di equazioni riconducendole ad esse.

Esempio 5.1.2 - 3. Risolvere l'equazione: 2 Cos@xD2 + 3 Sin@xD = 0.Trasformiamo l'equazione in modo che compaia solo la funzione Sin@xD:

2 Cos@xD2 + 3 Sin@xD = 2 I1 - Sin@xD2M + 3 Sin@xD = -2 Sin@xD2 + 3 Sin@xD + 2 = 0,

cioé

2 Sin@xD2 - 3 Sin@xD - 2 = 0;

poniamo Sin@xD = t e risolviamo l'equazione di secondo grado 2 t2 - 3 t - 2 = 0; si ottiene t1 = -1

2,

t2 = 2, da cui le due equazioni elementari:

Sin@xD = -1

2, Sin@xD = 2.

Di esse, la seconda non ammette nessuna soluzione, la prima è soddisfatta per x0 = ArcSinA-1

2E, cioé per

x0 = -ArcSinA 1

2E = -

Π

6. Tale soluzione è l'unica appartenente all'intervallo A-

Π

2, Π

2E; naturalmente, se per qualche motivo

vogliamo ad esempio le soluzioni nell'intervallo @0, 2 ΠD, dobbiamo prendere x1 =7 Π

6, e x2 =

11 Π

6.

5.1.3. Funzione "inversa" del coseno ed equazioni del tipo Cos@xD = k

Con considerazioni analoghe a quelle svolte nei paragrafi precedenti, si introduce la funzione ArcCos@xD. Piùprecisamente, si introduce la seguente definizione.

Definizione 5.1.3 - 1. (Arcocoseno)Si dice funzione arcocoseno, e si denota con ArcCos@xD, l'inversa della restrizione della funzione Cos@xD all'intervallo

@0, Π D.Dunque, se y0 Î @-1, 1D, si definisce arcocoseno di y0, e si indica con ArcCos@y0D, l'unica soluzione x0 dell'equazione

y0 = Cos@xD appartenente all'intervallo @0, ΠD, come illustrato nella seguente animazione.

Carlo Greco :


Settembre 2009

y01

2

y0

-1 -3

2

-1

2-

1

2 01

2

1

2

3

2 1

x

-1

1

y

x0 = ArcCos@y0D

-2Π -3Π�2 -Π -Π�2 Π�2 Π 3Π�2 2Π 5Π�2 3Π

x-3 x-2 x-1 x0 x1 x2 x3

y0

A partire da tale soluzione "fondamentale" x0 appartenente all'intervallo @0, ΠD (si noti che l'intervallo è cambiatorispetto a quello relativo all'arcoseno), si scrivono tutte le altre:

xk = 2 k Π ± ArcCos@y0D, con k Î Z.

La relazione fondamentale che lega le funzioni coseno e arcocoseno è la seguente:

se x Î @0, ΠD ed y Î @-1, 1D, y = Cos@xD se e solo se ArcCos@yD = x.

Ad esempio, ArcCos@0D =Π

2, perché Π

2 è appunto l'arco (l'unico nell'intervallo @0, ΠD) il cui coseno è uguale a zero.

Analogamente, ad esempio, ArcCosB 3

2F =

Π

6 perché CosA Π

6E =

3

2, ecc. ecc..

Il grafico della funzione arcocoseno, che associa ad ogni x Î @-1, 1D, l'arcocoseno di x, è il seguente.

-1 1x

Π

2

Π

y

Vediamo ora, con qualche esempio, come si risolvono le equazioni elementari della forma:

Cos@xD = k.

Carlo Greco :


Settembre 2009

Esempio 5.1.3 - 1.

Risolvere l'equazione Cos@xD =3

2. Poiché 3

2Î @-1, 1D, che è il codominio di Cos@xD, l'equazione ammette soluzioni.

Esse sono date della formula: xk = 2 k Π ± ArcCosB 3

2F, e, poiché CosA Π

6E =

3

2, si ha xk = 2 k Π ±

Π

6, ossia, scrivendo la

formula in modo più esplicito, x = -11 Π

6, x =

Π

6, x =

Π

6, x =

11 Π

6, x =

13 Π

6, e così via.

Esempio 5.1.3 - 2.

Risolvere l'equazione Cos@xD =2

4. Ovviamente 2

4Î @-1, 1D, pertanto l'equazione è certamente risolubile. Si ha

quindi xk = 2 k Π ± ArcCosB 2

4F.

Questa volta, a differenza dell'esempio precedente, al numero 2

4 non corrisponde un arco notevole, pertanto il risultato

ottenuto non può essere reso più esplicito.

Esempio 5.1.3 - 3. Risolvere l'equazione: 2 Cos@xD2 - 3 Cos@xD - 2 = 0.

Poniamo Cos@xD = t e risolviamo l'equazione di secondo grado 2 t2 - 3 t - 2 = 0; si ottiene t1 = -1

2, t2 = 2, da cui le due

equazioni elementari:

Cos@xD = -1

2, Cos@xD = 2.

Di esse, la seconda non ammette nessuna soluzione, la prima è soddisfatta per x0 = ArcCosA-1

2E, cioé per x0 =

2 Π

3, dato

che CosA 2 Π

3E = -

1

2. Tale soluzione è l'unica appartenente all'intervallo @0, ΠD; naturalmente, se per qualche motivo

vogliamo ad esempio le soluzioni nell'intervallo @0, 2 ΠD, dobbiamo prendere x0 =2 Π

3, e x1 =

4 Π

3.

5.1.4. Funzione "inversa" della tangente ed equazioni del tipo Tan@xD = k

Vediamo ora come si definisce la funzione arcotangente.

Definizione 5.1.4 - 1. (Arcotangente)Si dice funzione arcotangente, e si denota con ArcTan@xD l'inversa della restrizione della funzione Tan@xD all'intervallo

E -Π

2, Π

2A.

Dunque, se y0 Î R, si definisce arcotangente di y0, e si indica con ArcTan@y0D, l'unica soluzione, appartenente

all'intervallo E -Π

2, Π

2A, dell'equazione Tan@xD = y0.

Carlo Greco :


Settembre 2009

y01

2

y0

- 3 -1-

1

3 0

1

3 1 3

x

y

x0 = ArcTan@y0D

-2Π -3Π�2 -Π -Π�2 Π�2 Π 3Π�2 2Π 5Π�2 3Π

y0

x-2 x-1 x0 x1 x2 x3 x4

Tutte le soluzioni dell'equazione y0 = Tan@xD sono date dalla formula:

xk = k Π + ArcTan@y0D, con k Î Z.

La relazione tra tangente e arcotangente è la seguente:

se x ÎD -Π

2, Π

2@ ed y Î R, y = Tan@xD se e solo se ArcTan@yD = x.

Dunque, ad esempio, ArcTan@1D =Π

4 perché TanA Π

4E = 1, così come ArcTanB 3 F =

Π

3 perché TanA Π

3E = 3 .

Il grafico della funzione arcotangente è il seguente.

x

-Π

2

Π

2

y

Vediamo infine, con un esempio, come si risolvono le equazioni che coinvolgono la tangente.

Esempio 5.1.4 - 1.

Risolvere l'equazione: Tan@xD2 +2

3Tan@xD - 1 = 0.

Si pone Tan@xD = t, e si risolve l'equazione t2 +2

3t - 1 = 0, da cui: t1 = - 3 , t2 =

1

3. Pertanto si hanno le seguenti

due equazioni elementari:

Tan@xD = - 3 , Tan@xD =1

3.

Dalla prima si ottengono le soluzioni uk = k Π + ArcTanB- 3 F = k Π -Π

3, dalla seconda si ottiene

wk = k Π + ArcTanB 1

3F = k Π +

Π

6.

Se siamo interessati alle soluzioni della nostra equazione che cadono, ad esempio, in E -Π

2, Π

2A, dobbiamo considerare

u1 =2 Π

3, e w0 =

Π

6.

Carlo Greco :


Settembre 2009

Se siamo interessati alle soluzioni della nostra equazione che cadono, ad esempio, in E -Π

2, Π

2A, dobbiamo considerare

u1 =2 Π

3, e w0 =

Π

6.

5.2. Disequazioni trigonometriche

In questa sezione studieremo i principali tipi di disequazioni trigonometriche, che sono quelle che coinvolgono lefunzioni Sin@xD, Cos@xD, [email protected]. Disequazioni trigonometriche elementari

Le disequazioni trigonometriche elementari riguardanti la funzione Sin@xD, sono le seguenti:

Sin@xD < k, Sin@xD £ k

e

Sin@xD > k, Sin@xD ³ k

dove, come al solito, k è un numero reale qualsiasi.

Fissiamo l'attenzione, ad esempio, sulla disequazione Sin@xD < k.

Osserviamo subito che la principale differenza, rispetto alle disequazioni esponenziali o logaritmiche elementari, è che lefunzioni trigonometriche non sono invertibili in tutto R, pertanto la disequazione Sin@xD < k non può essere risoltaprendendo semplicemente "l'arcoseno'' di entrambe i membri.Possiamo invece disegnare il grafico della funzione Sin@xD insieme con quello della retta y = k, e vedere in quali

intervalli il grafico di Sin@xD si trova strettamente al di sotto di quello della retta.Naturalmente, essendo la funzione Sin@xD periodica di periodo 2 Π, possiamo limitarci ad eseguire tale studio in unqualsiasi intervallo di lunghezza 2 Π, ad esempio nell'intervallo @0, 2 ΠD, oppure nell'intervallo @-Π, ΠD.Vediamo direttamente alcuni esempi.

Esempio 5.2.1 - 1.

Risolvere la disequazione Sin@xD <1

2.

Svolgimento. Dal seguente grafico:

Π - ArcSinB 1

2F =

5 Π

62 Π

x

1

2

-1

1

y

ArcSinB1

2

F =

Π

6

vediamo che la retta y =1

2 incontra il grafico di Sin@xD in due punti, di ascissa ArcSinA 1

2E e Π - ArcSinA 1

2E nell'intervallo

@0, 2 ΠD, e che il grafico di Sin@xD si trova strettamente al di sotto di quello della retta per

x Î A0, ArcSinA 1

2E A æ E Π - ArcSinA 1

2E, 2 ΠE.

Poiché ArcSinA 1

2E =

Π

6, la disequazione è soddisfatta, sempre limitatamente all'intervallo @0, 2 ΠD, per

x Î A0, Π

6A Ü E 5 Π

6, 2 ΠE.

L'insieme di tutte le soluzioni è invece:

2 k Π £ x < 2 k Π +Π

6, e 5 Π

6+ 2 k Π < x £ 2 Π + 2 k Π, con k Î Z.

Carlo Greco :


Settembre 2009

Esempio 5.2.1 - 2. Risolvere le disequazioni:

Sin@xD < -2

2; Sin@xD < 1, Sin@xD < -1.

Svolgimento. Serviamoci di un unico grafico per le tre disequazioni:

Disequazione Sin@xD < - 2 �2 Sin@xD < 1 Sin@xD < -1

x

y

-

2

2

5 Π

4

7 Π

4

La retta y = -2

2 incontra il grafico di Sin@xD in due punti di ascissa 5 Π

4 e 7 Π

4, dato che SinA 5 Π

4E = SinA 7 Π

4E = -

2

2,

pertanto la prima disequazione è soddisfatta, limitatamente all'intervallo @0, 2 Π D, per x ÎD 5 Π

4, 7 Π

4@, mentre tutte le sue

soluzioni sono:

5 Π

4+ 2 k Π < x <

7 Π

4+ 2 k Π con k Î Z.

La seconda disequazione è soddisfatta per x ¹Π

2, e quindi, considerandola in tutto R, per x ¹

Π

2+ 2 Π k , con k Î Z; infatti

per tali valori il grafico di Sin@xD si trova tutto strettamente al di sotto della retta y = 1.

La terza disequazione non è soddisfatta mai, perché non esiste alcun punto del grafico di Sin@xD che si trovi strettamenteal di sotto della retta di equazione y = -1.

Le altre disequazioni elementari in Sin@xD si risolvono con lo stesso metodo: vediamo alcuni esempi.


Sin@xD £ 1; Sin@xD >3

2; Sin@xD ³ 1; Sin@xD ³ 0.

Svolgimento. Dal grafico:

Carlo Greco :


Settembre 2009

Disequazione: sinHxL £ 1

0 2 Πx

y0 £ x < 2 Π

1

si ha immediatamente che la prima disequazione è soddisfatta per ogni x Î R.

La seconda è soddisfatta per Π

3+ 2 Π k < x <

2 Π

3+ 2 Π k, con k Î Z (dato che SinA Π

3E = SinA 2 Π

3E =

3

2).

La terza disequazione è soddisfatta solo per x =Π

2+ 2 Π k , con k Î Z, infatti per questi valori si ha l'uguaglianza, mentre

per gli altri valori di x non è soddisfatta.Infine, la quarta disequazione è soddisfatta, evidentemente, per 2 k Π £ x £ Π + 2 k Π , con k Î Z.

Passiamo ora ad esaminare le altre disequazioni trigonometriche elementari. Esse sono le seguenti.

Cos[x] < k, Cos[x] £ k

Cos[x] > k, Cos[x] ³ k

per quanto riguarda il coseno, e, per la tangente:

Tan[x] < k, Tan[x] £ k

Tan[x] > k, Tan[x] ³ k

Il metodo che si usa per risolverle, è simile a quello già visto, pertanto ci limitiamo ad alcuni esempi.


Cos@xD ³1

2; Cos@xD <

3

2; Cos@xD > -2.

Svolgimento. Disegnamo il grafico della funzione Cos@xD:

Carlo Greco :


Settembre 2009

Disequazione: cosHxL ³1

2

0

Π

4

7 Π

4 2 Πx

y

0 £ x £Π

4ÈÈ 7 Π

4£ x < 2 Π

1

2

La retta di equazione y =1

2 incontra il grafico di Cos@xD in due punti nell'intervallo @0, 2 ΠD, di ascissa Π

4 e 7 Π

4. Pertanto

la prima disequazione è soddisfatta, limitatamente all'intervallo @0, 2 ΠD, per x Î A0, Π

4E Ü A 7 Π

4, 2 ΠE.

L'insieme di tutte le sue soluzioni, è invece:

2 k Π £ x £Π

4+ 2 k Π , e 7 Π

4+ 2 k Π £ x £ 2 Π + 2 k Π, con k Î Z.

Osserviamo che, essendo la funzione Cos@xD periodica di periodo 2 Π, possiamo risolvere la disequazione data anche

nell'intervallo @-Π, ΠD. In tale intervallo essa è soddisfatta per x Î A-Π

4, Π

4E, quindi l'insieme delle soluzioni si presenta in

forma più "compatta'' in quanto non è più unione di due intervalli. Corrispondentemente, l'insieme delle soluzioni della

prima disequazione in tutto R si scrive più brevemente: - Π

4+ 2 k Π £ x £

Π

4+ 2 k Π, con k Î Z.

Le due scritture:

2 k Π £ x £Π

4+ 2 k Π , e 7 Π

4+ 2 k Π £ x £ 2 Π + 2 k Π, con k Î Z,

e

-Π

4+ 2 k Π £ x £

Π

4+ 2 k Π, con k Î Z,

sono però equivalenti, come si può vedere disegnando i due insiemi di soluzioni ottenuti su una retta.

Risolviamo ora la seconda disequazione.

La retta y =3

2 incontra il grafico di Cos@xD in due punti, nell'intervallo @0, 2 ΠD, di ascissa Π

6 e 11 Π

6, e la seconda

disequazione è soddisfatta, nell'intervallo @0, 2 ΠD, per x ÎD Π

6, 11 Π

6@. (Questa volta non conviene considerare l'intervallo

@-Π , Π D). L'insieme di tutte le sue soluzioni è, pertanto: Π

6+ 2 k Π < x <

11 Π

6+ 2 k Π , con k Î Z.

Per quanto riguarda, infine, la terza disequazione, essa è chiaramente sempre soddisfatta.

Per risolvere le disequazioni elementari in Tan@xD, ci ricorderemo che Tan@xD è periodica di periodo Π, pertanto le

risolveremo nell'intervallo aperto E -Π

2, Π

2@, e poi prolungheremo le soluzioni ottenute a tutto R.

Esempio 5.2.1 - 5. Risolvere le seguenti disequazioni:

Tan@xD £ 1; Tan@xD > -2.

Svolgimento. Disegnamo il grafico di Tan@xD in E -Π

2, Π

2@:

Carlo Greco :


Settembre 2009

Disequazione: tanHxL £ 1

-

Π

2

Π

4

Π

2x

y

-Π

2< x £

Π

4

1

La retta y = 1 incontra il grafico di Tan@xD in un unico punto nell'intervallo E -Π

2, Π

2@, di ascissa Π

4 (perché TanA Π

4E = 1).

Pertanto la prima disequazione è soddisfatta per x ÎD -Π

2, Π

4E, e l'insieme di tutte le sue soluzioni è:

-Π

2+ k Π < x £

Π

4+ k Π, con k Î Z.

Vediamo ora la seconda disequazione.

La retta y = -2 incontra il grafico di Tan@xD in un punto la cui ascissa x0 non corrisponde ad alcun arco notevole,

pertanto deve essere indicata con ArcTan@-2D, senza che questo numero possa essere reso più esplicito. La disequazione

è soddisfatta per x ÎD ArcTan@-2D, Π

2@, da cui: ArcTan@-2D + k Π < x <

Π

2+ k Π, con k Î Z come insieme di tutte le

soluzioni. Osservazione importante. La circostanza messa in evidenza nell'ultimo esempio, cioé che la retta y = k incontri il

grafico di una funzione trigonometrica in un punto la cui ascissa non corrisponde ad un angolo noto, è piuttostofrequente, quindi è opportuno tenerne conto nella risoluzione degli esercizi.Osservazione. Per risolvere le disequazioni precedenti, abbiamo adoperato il grafico delle funzioni trigonometriche. Unaltro metodo, preferito da molti, consiste nel considerare il cerchio goniometrico. Ad esempio, per risolvere la

disequazione Sin@xD <1

2, avremmo potuto tracciare il cerchio goniometrico e la retta di equazione y =

1

2:

Π�65Π�6

x

1�2

y

Dal disegno si vede subito che tale disequazione è soddisfatta, limitatamente all'intervallo @0, 2 ΠD, per

x Î A0, Π

6@ÜD 5 Π

6, 2 ΠE. Questo risultato coincide con quello ottenuto precedentemente.

Per le disequazioni in Tan@xD si può procedere in modo simile, e così pure per quelle in Cos@xD, ricordando però, inquesto caso, di tracciare una retta verticale di equazione x = k.


Carlo Greco :


Settembre 2009

Nuova disequazione Soluzione Reset

5.2.2. Disequazioni contenenti una sola funzione trigonometrica incognita

Questo tipo di disequazioni si risolvono mediante sostituzione, come è mostrato dagli esempi seguenti.

Esempio 5.2.2 - 1. Risolvere la disequazione: 2 Cos@xD2 - Sin@xD - 1 < 0.

Svolgimento. Ricordando che Cos@xD2 = 1 - Sin@xD2, possiamo scrivere:

2 Cos@xD2 - Sin@xD - 1 < 0 � 2 Sin@xD2 + Sin@xD - 1 > 0.

Ponendo Sin@xD = t, abbiamo la disequazione 2 t2 + t - 1 > 0, e poiché:

t1�2 =1 ± 1 + 8

4= : 1

-1

2

la nostra disequazione è soddisfatta per Sin@xD < -1 e per Sin@xD >1

2. La prima di queste due condizioni, cioé

Sin@xD < -1 non è mai soddisfatta, la seconda, cioé Sin@xD >1

2 è soddisfatta per Π

6+ 2 k Π < x <

5 Π

6+ 2 k Π , con k Î Z.

Esempio 5.2.2 - 2.

Risolvere la disequazione: Cos@xD2 -5

2+

2

Tan@xD2> 0.

Poiché Cos@xD2 =1

Tan@xD2+1, si ha:

Cos@xD2 +2

Tan@xD2-

5

2> 0 �

1

Tan@xD2 + 1+

2

Tan@xD2-

5

2> 0 �

2 Tan@xD2 + 4 ITan@xD2 + 1M - 5 ITan@xD2 + 1M Tan@xD2

2 ITan@xD2 + 1M Tan@xD2> 0 �

�-5 Tan@xD4 + Tan@xD2 + 4

2 ITan@xD2 + 1M Tan@xD2> 0 �

5 Tan@xD4 - Tan@xD2 - 4

2 ITan@xD2 + 1M Tan@xD2< 0.

Risolviamo l'ultima disequazione nell'intervallo E -Π

2, Π

2A. Poiché il denominatore è sempre positivo per x ¹ 0, basta

studiare il segno del numeratore. Ponendo Tan@xD = t, si ha, come si vede subito, 5 t4 - t2 - 4 = It2 - 1M It2 +4

5M, quindi il

numeratore è negativo per -1 < t < 1, quindi per -1 < Tan@xD < 1, cioé per - Π

4< x <

Π

4.

In definitiva (tenendo anche conto del fatto che dev'essere x ¹ 0), le soluzioni, limitatamente all'intervallo considerato,

sono: - Π

4< x <

Π

4 e x ¹ 0.


Carlo Greco :


Settembre 2009

Disequazione:

Soluzione Reset

5.2.3. Disequazioni di secondo grado in seno e coseno

Sono disequazioni della forma

a Sin@xD2 + b Sin@xD Cos@xD + c Cos@xD2 + d > 0

a Sin@xD2 + b Sin@xD Cos@xD + c Cos@xD2 + d ³ 0

Esse si risolvono controllando prima se i valori di x che annullano il coseno sono soluzioni, e poi dividendo per Cos@xD2,in modo da ottenere una disequazione di secondo grado in [email protected] che è sufficiente trovare le soluzioni in A-

Π

2, Π

2E, in quanto il primo membro della disequazione è una

funzione Π -periodica.


Cos@xD2 + 4 Sin@xD Cos@xD - Sin@xD2 - 2 £ 0

Svolgimento. Per Cos@xD = 0 si ha Sin@xD2 = 1, cosicché la disequazione è soddisfatta. In altri termini i numeri

x = Π k +Π

2, con k Î Z, sono soluzioni.

Supponendo Cos@xD ¹ 0, possiamo dividere per Cos@xD2, ottenendo

1 + 4 Tan@xD - Tan@xD2 -2

Cos@xD2£ 0 � 1 + 4 Tan@xD - Tan@xD2 - 2 Sin@xD2+Cos@xD2

Cos@xD2£ 0

� 1 + 4 Tan@xD - Tan@xD2 - 2 ITan@xD2 + 1M £ 0 � 3 Tan@xD2 - 4 Tan@xD + 1 ³ 0

L'ultima disequazione è soddisfatta per Tan@xD £1

3 e per Tan@xD ³ 1, cioé per x ÎD -

Π

2, ArcTanA 1

3E Ü A Π

4, Π

2@,

limitatamente all'intervallo E -Π

2, Π

2@, nel quale consideriamo Tan@xD. L'insieme di tutte le soluzioni della disequazione

data è invece:

-Π

2+ k Π £ x £ ArcTanA 1

3E + k Π, e Π

4+ k Π £ x £

Π

2+ k Π, con k Î Z,

dove si è tenuto conto anche delle soluzioni già ottenute x =Π

2+ k Π.

Svolgere in modo analogo il seguente esercizio.


Disequazione:

Soluzione Reset

5.2.4. Disequazioni lineari in seno e coseno

Carlo Greco :


Settembre 2009

5.2.4.

Disequazioni lineari in seno e coseno

Sono disequazioni della forma

a Sin@xD + b Cos@xD + c > 0,

a Sin@xD + b Cos@xD + c ³ 0.

Se c = 0, si dicono omogenee, e possono essere risolte verificando preventivamente se i valori di x che annullano ilcoseno sono soluzioni, e poi mettendo in evidenza Cos@xD (attenzione a non dividere per Cos@xD), ottenendo così unadisequazione in [email protected] 5.2.4 - 1.

Risolvere la disequazione: Sin@xD + 3 Cos@xD > 0.Svolgimento. Se Cos@xD = 0, si ha necessariamente Sin@xD = ±1, pertanto i valori per cui risulta Cos@xD = 0 e Sin@xD = 1,

risolvono la disequazione, e sono x =Π

2+ 2 k Π, con k Î Z.

Supponendo Cos@xD ¹ 0, mettiamo in evidenza Cos@xD al fine di trovare le altre soluzioni della disequazione. La

disequazione data diventa: Cos@xD JTan@xD + 3 N > 0.

Essendo il primo membro prodotto di due fattori, studiamone il segno limitandoci, ad esempio, all'intervallo @-Π, ΠD:

Cos@xD > 0-Π

-Π

2

Π

2 Π

Tan@xD+ 3 > 0-Π

-Π

2-

Π

3

Π

2

2 Π

3 Π

Cos@xDHTan@xD+ 3 L > 0-Π

-Π

3

Π

2

2 Π

3 Π

Dovendo prendere i segni concordi, e tenendo presente le soluzioni x =Π

2+ 2 k Π già trovate, la disequazione data è

soddisfatta per - Π

3< x <

2 Π

3 nell'intervallo @-Π, ΠD, e per - Π

3+ 2 k Π < x <

2 Π

3+ 2 k Π, con k Î Z, in tutto R.


Disequazione:

Soluzione Reset

Se il coefficiente c è diverso da zero, si possono esprimere il seno ed il coseno mediante le formule parametriche:

Sin@xD =2 TanB x

2F

1+TanB x

2F2

, Cos@xD =1-TanB x

2F2

1+TanB x

2F2

.

Si ottiene così una disequazione nell'incognita TanA x

2E.

Tuttavia, poiché il secondo membro di tali formule parametriche perde significato per x

2=

Π

2+ k Π , ossia per

x = Π + 2 k Π, bisogna preventivamente controllare se questi valori risolvono la disequazione data.Osservazione. Per x = Π + 2 k Π, si ha Sin@xD = 0 e Cos@xD = -1, cosicché l'equazione

a Sin[x] + b Cos[x] + c = 0,

associata alla disequazione data, diventa: -b + c = 0. Dunque, se b ¹ c, i valori x = Π + 2 k Π non risolvono tale

equazione, mentre, se b = c, la risolvono. Si controlla poi facilmente che b = c se e solo se l'equazione in TanA x

2E ottenuta

da quella data utilizzando le formule parametriche è di primo grado (altrimenti è di secondo grado).

Carlo Greco :


Settembre 2009

associata alla disequazione data, diventa: -b + c = 0. Dunque, se b ¹ c, i valori x = Π + 2 k Π non risolvono tale

equazione, mentre, se b = c, la risolvono. Si controlla poi facilmente che b = c se e solo se l'equazione in TanA x

2E ottenuta

da quella data utilizzando le formule parametriche è di primo grado (altrimenti è di secondo grado).Ovviamente, se b = c, i valori x = Π + 2 k Π risolvono la disequazione data se essa è del tipo £ oppure ³ (cioé non è unadisequazione "stretta'').

Esempio 5.2.4 - 2. Risolvere la disequazione: 2 Cos@xD - Sin@xD + 1 < 0.

Svolgimento. Per x = Π + 2 k Π, si ha 2 Cos@xD - Sin@xD + 1 = -1 < 0, quindi la nostra disequazione è soddisfatta daquesti valori.Usiamo ora le formule parametriche per individuare le altre soluzioni; per x ¹ Π + 2 k Π si ha:

2 Cos@xD - Sin@xD + 1 < 0 � 21-TanB x

2F2

1+TanB x

2F2

-2 TanB x

2F

1+TanB x

2F2

+ 1 < 0 � t2 + 2 t - 3 > 0,

avendo posto, per brevità t = TanA x

2E.

L'ultima disequazione è soddisfatta per t < -3, e per t > 1, cosicché si ottiene - Π

2+ k Π <

x

2< ArcTan@-3D + k Π, e

Π

4+ k Π <

x

2<

Π

2+ k Π, con k Î Z, e quindi, tenendo anche conto dei valori x = Π + 2 k Π trovati precedentemente, si ha

-Π + 2 k Π £ x < 2 ArcTan@-3D + 2 k Π, e Π

2+ 2 k Π < x £ Π + 2 k Π, con k Î Z.

Esempio 5.2.4 - 3.

Risolvere la disequazione: Sin@xD - 3 Cos@xD - 3 > 0.Svolgimento. Per x = Π + 2 k Π il primo membro vale 0, quindi, dato che la disequazione è col maggiore stretto, talivalori non sono soluzioni. Per x ¹ Π + 2 k Π si ha:

Sin@xD - 3 Cos@xD - 3 > 0 �2 TanB x

2F

1+TanB x

2F2

- 31-TanB x

2F2

1+TanB x

2F2

- 3 > 0 �

� -2 J 3 -TanB x

2FN

1+TanB x

2F2

> 0 � TanA x

2E < 3 .

L'ultima disequazione è soddisfatta per Π

3<

x

2<

Π

2 e quindi 2 Π

3+ 2 k Π < x < Π + 2 k Π, con k Î Z, sono le soluzioni in

tutto R.

Esempio 5.2.4 - 4.

Risolvere la disequazione: Sin@xD - 3 Cos@xD - 3 ³ 0.

Svolgimento. Questa volta i valori x = Π + 2 k Π risolvono la disequazione, quindi: 2 Π

3+ 2 k Π £ x £ Π + 2 k Π, con k Î Z,

sono le soluzioni in tutto R.


Disequazione:

Soluzione Reset

5.3. Disequazioni con le funzioni trigonometriche inverse

Carlo Greco :


Settembre 2009

5.3.

Disequazioni con le funzioni trigonometriche inverse

Le disequazioni elementari che coinvolgono le funzioni trigonometriche inverse, sono le seguenti:

ArcSin@xD> k

³ k

< k

£ k

ArcCos@xD> k

³ k

< k

£ k

ArcTan@xD> k

³ k

< k

£ k

Esse si risolvono disegnando il grafico della funzione coinvolta, e la retta di equazione y = k, come negli esempi seguenti.


ArcSin@xD < 2; ArcSin@xD <Π

2; ArcSin@xD < -

Π

4; ArcSin@xD < -2.

Svolgimento. Disegnamo il grafico di ArcSin@xD:

x

-Π

4

Π

2

2

-2

y

1-1

- 2 �2

Come si vede, il grafico di ArcSin@xD si trova tutto strettamente al di sotto della retta y = 2, pertanto la prima

disequazione è soddisfatta in tutto l'intervallo @-1, 1D.La seconda disequazione è invece soddisfatta per x Î @-1, 1@, perché per x = 1 si ha l'uguaglianza.

Nel terzo caso la retta y = -Π

4 interseca il grafico di ArcSin@xD in un unico punto, di ascissa - 2

2, dato che

ArcSinB-2

2F = -

Π

4, in quanto SinA-

Π

4E = -

2

2. La terza disequazione è soddisfatta quindi per x Î A-1, -

Π

4@.

La quarta disequazione non è invece mai soddisfatta.


ArcTan@xD £Π

2; ArcTan@xD > -

Π

6; ArcTan@xD £ 1.

Svolgimento. Disegnamo il grafico di ArcTan@xD:

Carlo Greco :


Settembre 2009

x

y

Π�2

-Π�2

1

-Π�6- 3 �3

Tan@1D

La prima disequazione è soddisfatta per ogni x Î R.

La seconda è soddisfatta per x ÎD -3

3, +¥@, infatti la retta y = -

Π

6 incontra il grafico in un punto di ascissa - 3

3 (cioé

ArcTanB-3

3F = -

Π

6), dato che - 3

3= TanA-

Π

6E.

Per quanto riguarda la terza disequazione, osserviamo che la retta y = 1 incontra il grafico di ArcTan@xD in un punto la

cui ascissa è uguale a Tan@1D, che dobbiamo lasciare indicato (naturalmente Tan@1D significa tangente dell'angolo di unradiante, cioé tangente di un angolo di circa 57 gradi). Essa è dunque soddisfatta per x Î D - ¥ , Tan@1DD.(Approssimativamente si ha: Tan@1D > 1.56).


Disequazione:

Soluzione Reset

Carlo Greco :


Settembre 2009

6. Disequazioni varie

6.1. Disequazioni col valore assoluto

Le disequazioni elementari col valore assoluto sono le seguenti:

x

> k

³ k

< k

£ k

e si risolvono facilmente disegnando il grafico di x :

k

Disequazione: ÈxÈ < k ÈxÈ £ k ÈxÈ > k ÈxÈ ³ k

x

y

ÈxÈ < k-k < x < k

k

-k k

Osservando tale grafico, si vede immediatamente che la disequazione x < k non è mai soddisfatta se k £ 0, mentre sek > 0, essa è soddisfatta per x ÎD -k, [email protected] disequazione x £ k non è mai soddisfatta se k < 0, è soddisfatta solo per x = 0 nel caso k = 0, e infine è soddisfattaper x Î @-k, kD se invece k > 0.Analogamente, la disequazione x > k è soddisfatta in tutto R se k < 0, è soddisfatta in R \ 80< se k = 0, mentre nel casok > 0 essa è soddisfatta per x ÎD - ¥ , -k@ÜD k, +¥ @.Infine, la disequazione x ³ k è soddisfatta in tutto R se k ³ 0, mentre è soddisfatta per x ÎD - ¥ , -kD Ü @k, +¥@ nelcaso k > 0.


x < -2; x ³ 5; x ³ 0; x £ 0; x £ 4.

Svolgimento. La prima disequazione non è mai soddisfatta. La seconda è soddisfatta per x £ -5 e x ³ 5. La terza èsoddisfatta in tutto R. La quarta è soddisfatta solo per x = 0. Infine la quinta è soddisfatta per -4 £ x £ 4.

Carlo Greco :

Precorso di Analisi Matematica6. Disequazioni varie 106

Settembre 2009

Svolgimento. La prima disequazione non è mai soddisfatta. La seconda è soddisfatta per x £ -5 e x ³ 5. La terza èsoddisfatta in tutto R. La quarta è soddisfatta solo per x = 0. Infine la quinta è soddisfatta per -4 £ x £ 4.Le disequazioni che si presentano nella forma:

A@xD> k

³ k

< k

£ k

si risolvono in modo analogo, facendo svolgere ad A@xD il ruolo di x.

Esempio 6.1.0 - 2. Risolvere le seguenti disequazioni:

x2 - 1 < 2; x2 - x > 2.

Svolgimento. La prima disequazione è soddisfatta per -2 < x2 - 1 < 2; in altri termini, poiché le due disequazioni-2 < x2 - 1 e x2 - 1 < 2 devono essere verificate contemporaneamente, la prima disequazione è equivalente ad unsistema di due disequazioni:

x2 - 1 < 2 � -2 < x2 - 1 < 2 � -1 < x2 < 3 � x2 < 3 � -3 < x < 3,

quindi la prima disequazione è soddisfatta per x ÎD - 3, [email protected] seconda disequazione è invece soddisfatta per x2 - x < -2 e per 2 < x2 - x. Queste due disequazioni non devono

essere messe a sistema, dato che la disequazione col valore assoluto è soddisfatta nell'unione delle soluzioni delle duedisequazioni x2 - x < -2 e 2 < x2 - x:

x2 - x > 2 � Ix2 - x < -2 e 2 < x2 - xM � I x2 - x + 2 < 0 e x2 - x - 2 > 0M.Delle due ultime disequazioni, la prima non è mai soddisfatta, mentre la seconda è soddisfatta perx ÎD - ¥ , -1@ÜD 2, +¥@.Pertanto la disequazione data è soddisfatta in Æ Ü HD - ¥ , -1@ÜD 2, +¥ @L, cioé, ovviamente, in D -¥ , -1@ÜD 2, +¥@.Osservazione. Le disequazioni precedenti possono essere risolte anche in un altro modo. Infatti, ricordando che, perdefinizione,

x = : x se x ³ 0

-x se x < 0

e osservando che il ruolo di x è svolto, in questo caso da ciò che si trova dentro il valore assoluto, cioé da A@xD, possiamoscrivere, ad esempio:

x2 - 1 < 2 � : x2 - 1 ³ 0

x2 - 1 < 2 oppure : x2 - 1 < 0

-Ix2 - 1M < 2

Come si vede, abbiamo eliminato il valore assoluto distinguendo i due possibili casi x2 - 1 ³ 0 e x2 - 1 < 0. Resta ora darisolvere i due singoli sistemi, e fare poi l'unione delle soluzioni così trovate.Chiaramente questo metodo presenta lo svantaggio di dover risolvere due sistemi invece di uno solo.


Disequazione:

Soluzione Reset

Un'altro tipo di disequazioni col valore assoluto al quale vogliamo accennare, si presentano nella forma

A@xD< B@xD£ B@xD> B@xD³ B@xD

Carlo Greco :


Settembre 2009

A@xD< B@xD£ B@xD> B@xD³ B@xD

cioé il secondo membro non è più costante, ma dipende invece da x.

Queste disequazioni si possono risolvere in vari modi. Ad esempio, per la prima di esse, possiamo scrivere:

A@xD < B@xD �B@xD > 0

-B@xD < A@xD < B@xD � -B@xD < A@xD < B@xDInfatti, la prima equivalenza è dovuta al fatto che, se B@xD £ 0, la disequazione data non può essere soddisfatta. Laseconda equivalenza è dovuta al fatto che, nel sistema, la condizione B@xD > 0 è inclusa nella seconda condizione-B@xD < A@xD < B@xD, ed è quindi superflua.Analogamente, per la seconda, si ha:

A@xD £ B@xD � : B@xD ³ 0

-B@xD £ A@xD £ B@xD � -B@xD £ A@xD £ B@xD.

Esempio 6.1.0 - 3. Risolvere la disequazione: x - 2 < 3 x.

Svolgimento. Per quanto detto prima si ha:

x - 2 < 3 x � -3 x < x - 2 < 3 x � : 4 x > 2

2 x > -2

cioé la disequazione data è soddisfatta per x ÎD 1

2, +¥@.

Per quanto riguarda le disequazioni nell'altro verso, può essere opportuno distinguere i due casi A@xD ³ 0 e A@xD < 0:

A@xD > B@xD � : A@xD ³ 0

A@xD > B@xD oppure : A@xD < 0

-A@xD > B@xD(si deve fare l'unione delle soluzioni dei due sistemi).

Analogamente:

A@xD ³ B@xD � : A@xD ³ 0

A@xD ³ B@xD oppure : A@xD < 0

-A@xD ³ B@xDEsempio 6.1.0 - 4. Risolvere la disequazione: x + 5 > 3 x - 2.

Svolgimento. Si ha:

x + 5 > 3 x - 2 � : x + 5 ³ 0

x + 5 > 3 x - 2oppure : x + 5 < 0

-Hx + 5L ³ 3 x - 2

Il primo sistema è soddisfatto in S1 = A-5, 7

2@, il secondo in S2 =D - ¥, 3

4@, pertanto la disequazione data è soddisfatta in

S = S1 Ü S2 =D - ¥, -7

2@.

Esempio 6.1.0 - 5. Risolvere la disequazione: x2 - 2 ³ 2 x2.

Svolgimento. In questo caso il secondo membro, pur non essendo costante, ha sempre segno positivo, pertanto possiamoanche trattare la disequazione come una del tipo A@xD ³ k.Dunque:

x2 - 2 ³ 2 x2 � x2 - 2 £ -2 x2, oppure 2 x2 £ x2 - 2 � 3 x2 - 2 £ 0, oppure x2 + 2 £ 0.

La disequazione 3 x2 - 2 £ 0 è soddisfatta per x Î B-2

3, 2

3F, la disequazione x2 + 2 £ 0 non è mai soddisfatta,

pertanto la disequazione data è soddisfatta per x Î B-2

3, 2

3F.

Carlo Greco :


Settembre 2009

La disequazione 3 x2 - 2 £ 0 è soddisfatta per x Î B-2

3, 2

3F, la disequazione x2 + 2 £ 0 non è mai soddisfatta,

pertanto la disequazione data è soddisfatta per x Î B-2

3, 2

3F.


x

x2-1> -

1

x2+1.

Svolgimento. Questa volta il secondo membro è strettamente negativo, pertanto la disequazione è soddisfatta "sempre",cioé per ogni valore di x per il quale ha senso; in questo caso, evidentemente, per x Î R \ 8±1<.Esercizio 6.1.0 - 2. Risolvere le disequazioni:

Disequazione:

Soluzione Reset

6.2. Alcune disequazioni trascendenti

In questo paragrafo vogliamo accennare ad alcuni tipi di disequazioni meno elementari di quelle viste in precedenza, lacui esistenza è opportuno conoscere fin d'ora.Consideriamo, ad esempio, la disequazione: ãx < -x.

Non è una disequazione di tipo esponenziale, quindi non possiamo risolverla prendendo i logaritmi di entrambe i membri.

Possiamo però osservare che risolvere questa disequazione significa, dal punto di vista geometrico, trovare l'insiemedegli x per i quali il grafico della funzione y = ãx si trova al disotto di quello della retta y = -x.

Disegnando i due grafici, si ottiene:

x0

x

1

y

Come si vede, essi si intersecano in un unico punto, la cui ascissa indichiamo con x0. La disequazione data è dunquesoddisfatta per x ÎD - ¥, [email protected] valore x0 non siamo in grado, per ora, di precisarlo; dal grafico si vede che, ovviamente, è negativo.

Il numero x0 risolve l'equazione x + ãx = 0, ma non è esprimibile tramite le funzioni elementari che conosciamo. Per

questo motivo l'equazione x + ãx = 0 si dice trascendente, e così pure la disequazione data.Non sempre la situazione è così semplice; ad esempio, per risolvere la disequazione x ãx < 1 - x, dobbiamo disegnare ilgrafico di y = x ãx, che non è una funzione elementare.

Dunque la risoluzione per via grafica delle disequazioni (e delle equazioni!) trascendenti comporta la necessità didisegnare il grafico di funzioni, e pertanto il loro studio può essere svolto pienamente solo mediante gli strumenti delcalcolo differenziale.

Carlo Greco :


Settembre 2009

Dunque la risoluzione per via grafica delle disequazioni (e delle equazioni!) trascendenti comporta la necessità didisegnare il grafico di funzioni, e pertanto il loro studio può essere svolto pienamente solo mediante gli strumenti delcalcolo differenziale.

Vediamo ora alcuni esempi particolarmente semplici in cui si riesce anche, talvolta, a determinare il valore esatto di x0.

Esempio 6.2.0 - 1. Risolvere la disequazione: x + ãx - 1 ³ 0.

Svolgimento. Poiché x + ãx - 1 ³ 0 � ãx ³ 1 - x, disegnamo i grafici delle due funzioni y = ãx e y = 1 - x:

x

1

y

Come si vede, essi si intersecano nel punto H0, 1L, pertanto la disequazione data è soddisfatta per x Î @0, +¥@. Esempio 6.2.0 - 2. Risolvere la disequazione Sin@xD < x.

Svolgimento. Disegnamo i grafici di y = Sin@xD e di y = x:

x

y

Ammettiamo di conoscere tutte le particolarità del grafico di Sin@xD, ed in particolare il fatto, non dimostrato, che la rettay = x è tangente al grafico di Sin@xD in H0, 0L (in realtà non abbiamo ancora introdotto ufficialmente neanche la nozione

di retta tangente!). Abbiamo allora che la disequazione Sin@xD < x è soddisfatta per x ÎD 0, +¥@.Esempio 6.2.0 - 3. Risolvere la disequazione 2 ArcSin@xD - Π x > 0.

Svolgimento. E' opportuno scrivere la disequazione data nella forma: ArcSin@xD >Π

2x.

Disegnando i grafici di y = ArcSin@xD e y =Π

2x, si ha:

-1 1x

-Π

2

Π

2

y

quindi la disequazione data è soddisfatta per x Î @-1, 0@.

Carlo Greco :


Settembre 2009

Esempio 6.2.0 - 4.

Risolvere la disequazione: ArcTan@x - 1D <x2

x2+1+

Π

2.

Svolgimento. La disequazione sembra difficile, ma basta ricordare che ArcTan@xD <Π

2 per qualsiasi x, quindi si ha

anche ArcTan@x - 1D <Π

2, e poiché il secondo membro è maggiore di Π

2, la disequazione data è soddisfatta in tutto R.

Esempio 6.2.0 - 5. Risolvere la disequazione: ArcCos@xD £ [email protected]. Ancora una volta, disegnamo i grafici di y = ArcCos@xD e di y = Log2@xD:

-1 1x

Π

y

Come si vede, i due grafici si intersecano solo nel punto H1, 0L, e la disequazione data è soddisfatta solo per x = 1, nelqual caso vale l'uguaglianza.


Log@xD + 2 x - 2 < 0; Tan@xD < x in F -Π

2, Π

2B;

ArcTan@xD + 3 x £ 0; 2 ArcCos@xD + Π x £ Π;

x2+1

x2+2+ ArcCos@xD £ 0; x2+2

x2+1+ Sin@xD > 0.

6.3. Disequazioni varie e calcolo del dominio di definizione di una funzione

In questo paragrafo studieremo disequazioni che coinvolgono un po' tutti i tipi esposti nei paragrafi precedenti.

Molte di esse sorgono dalla ricerca del dominio di definizione di una data funzione, composta, in modo più o menocomplicato, da funzioni elementari.Prima di iniziare a risolvere una di queste disequazioni, è opportuno osservarla attentamente, per capire qual'è la giustastrategia di "attacco''.


Log4@xD-1

Log4@xD-2< 2.

Svolgimento. La disequazione si presenta come un misto di una disequazione logaritmica e una irrazionale. Possiamo, ad

esempio, porre t = Log4@xD, e risolvere la disequazione irrazionale t-1

t-2< 2, e ricavare poi x di conseguenza. Poiché

poi il secondo membro è positivo, possiamo imporre solo t-1

t-2³ 0, ed elevare tranquillamente al quadrato:

t-1

t-2< 2 �

t-1

t-2³ 0

t-1

t-2< 4

�t £ 1, 2 < t3 t-7

t-2> 0

�t £ 1, 2 < t

t < 2, 7

3< t

� t £ 1 oppure t >7

3.

Carlo Greco :


Settembre 2009

t-1

t-2< 2 �

t-1

t-2³ 0

t-1

t-2< 4

�t £ 1, 2 < t3 t-7

t-2> 0

�t £ 1, 2 < t

t < 2, 7

3< t

� t £ 1 oppure t >7

3.

Dunque la disequazione irrazionale in t è soddisfatta per t £ 1, e 7

3< t. La disequazione data sarà allora soddisfatta per

Log4@xD £ 1 e per 7

3< Log4@xD. Prendendo, come al solito, l'esponenziale in base 4 di entrambe i membri, si ha quindi

0 < x £ 4 e 47�3 < x.In altri termini, la disequazione data è soddisfatta per x ÎD 0, 4D ÜD 47�3, +¥@. Esercizio 6.3.0 - 1. Risolvere la disequazione:

Log3@xD-2

Log3@xD-1< 2.

Esempio 6.3.0 - 2.

Risolvere la disequazione: 2 1 - x2 £ x - 1 .

Svolgimento. Si tratta di una disequazione irrazionale, ma il secondo membro contiene anche un valore assoluto. Poichéentrambe i membri sono positivi, basterà imporre che la disequazione abbia senso, cioé che 1 - x2 ³ 0, e poi elevareentrambe i membri al quadrato.Si ha:

2 1 - x2 £ x - 1 � : 1 - x2 ³ 0

4 I1 - x2M £ Hx - 1L2

� : 1 - x2 ³ 0

5 x2 - 2 x - 3 ³ 0� : -1 £ x £ 1

x £ -3

5oppure 1 £ x

Nei passaggi precedenti si è adoperato il fatto che t 2 = t2, cioé il valore assoluto scompare dopo aver elevato alquadrato (o a qualsiasi potenza pari). Ora, facendo con attenzione l'intersezione delle soluzioni delle due disequazioni del

sistema, si ottiene x Î A-1, -3

5E Ü 81<.

Esercizio 6.3.0 - 2. Risolvere la disequazione:

2 1 - x2 £ x + 1 .


3 - x 2 - x > 0.

Svolgimento. La disequazione data si può scrivere, chiaramente, come:

x 2 - x < 3 .

Questa disequazione irrazionale non rientra nei tipi studiati nei paragrafi precedenti perché al primo membro l'incognitanon compare sotto il segno di radice.Osserviamo preliminarmente che la disequazione ha senso per 2 - x ³ 0, cioé per x £ 2. Per ricondurla ad uno dei casinoti, potremmo pensare di dividere per x, ma questo comporta uno studio separato dei casi x = 0, x < 0 e 0 < x £ 2: adesempio, se x è negativo, si deve invertire il segno della disequazione, ecc..

Non possiamo neanche portare semplicemente x sotto il segno di radice, perché l'uguaglianza x 2 - x = x H2 - xL èvalida solo per x ³ 0.Facciamo allora un semplice ragionamento simile a quello fatto nel paragrafo sulle disequazioni irrazionali: se x £ 0, ilprimo membro della disequazione ha senso ed è negativo, quindi essa è certamente soddisfatta.Se invece 0 < x £ 2, entrambe i membri della disequazione data sono positivi, quindi possiamo tranquillamente elevare alquadrato ottenendo:

Carlo Greco :


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Se invece 0 < x £ 2, entrambe i membri della disequazione data sono positivi, quindi possiamo tranquillamente elevare alquadrato ottenendo:

x 2 - x < 30<x£2

x2 H2 - xL < 3 � x3 - 2 x2 + 3 > 0.

Poiché -1 è radice dell'equazione x3 - 2 x2 + 3 = 0, dividendo con Ruffini si ha:

x3 - 2 x2 + 3 = Ix2 - 3 x + 3M Hx + 1L > 0 per x > -1,

dato che il discriminante di x2 - 3 x + 3 = 0 è negativo. Pertanto la disequazione x 2 - x < 3 è soddisfatta anche intutto l'intervallo D 0, 2D, oltre che, come abbiamo già visto, in D -¥ , 0D.In definitiva, la disequazione data è soddisfatta per x ÎD - ¥, 2D, cioé per ogni valore di x per il quale ha senso.


x x + 1 - 2 > 0.


Log1�2@xD Log1�2@xD -1 < 2.

Svolgimento. Ponendo Log1�2@xD = t, la disequazione diventa: t t -1 < 2, e può essere risolta come nell'esempio

precedente: ha senso per..., se t è negativo è soddisfatta, se t è positivo si eleva al quadrato, ecc. ecc..


Disequazione:

Soluzione Reset


x - 3 x + 2 < 0.

Svolgimento. Si tratta di una disequazione irrazionale che può essere scritta e risolta nella forma x >x+2

3.

Possiamo anche scegliere una via alternativa, ponendo x = t, e osservando che allora la disequazione data si trasformanella disequazione di secondo grado: t2 - 3 t + 2 < 0, che è soddisfatta per 1 < t < 2. Pertanto la disequazione data è

soddisfatta per 1 < x < 2, cioé per 1 < x < 4.


x - x - 2 > 0.


Hx - 4L x - 4 x + 4 < 8.

Svolgimento. La disequazione sembra complicata, ma si semplifica notevolmente osservando che

x - 4 x + 4 = I x - 2M2, e quindi:

Carlo Greco :


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Svolgimento. La disequazione sembra complicata, ma si semplifica notevolmente osservando che

x - 4 x + 4 = I x - 2M2, e quindi:

Hx - 4L x - 4 x + 4 = Hx - 4L I x - 2M2= Hx - 4L x - 2 .

(Ricordare che y2 = y ). Pertanto la disequazione data diventa: Hx - 4L x - 2 < 8. Ora, la disequazione ha

senso per x ³ 0. Se 0 £ x £ 4 il primo membro è negativo, quindi... Se invece 4 < x, possiamo elevare al quadrato...

Esempio 6.3.0 - 7. Determinare il dominio di definizione della funzione:

f @xD = 2 x -x + 2 -x+14

x.

Svolgimento. Per la presenza della radice quadrata più esterna, dobbiamo imporre che sia:

x+14

x< 2 x -x + 2 ;

le altre condizioni verranno fuori dalla risoluzione di questa disequazione. Questa è una disequazione irrazionale, mapresenta una radice anche al secondo membro, e inoltre al primo membro l'incognita compare anche fuori dal segno diradice.Osserviamo anzitutto che il primo membro ha senso per x ³ -14 e per x ¹ 0, cioé per x Î @-14, 0@ Ü D 0, +¥@.Ora, se x Î @-14, 0@, si ha x = -x, pertanto la disequazione diventa:

x+14

x< -3 x + 2 ;

In questa disequazione anche il secondo membro ha senso (in quanto, essendo x negativo, 2 - 3 x ³ 0), ed il primomembro è negativo, quindi essa è certamente soddisfatta in tutto l'intervallo @-14, [email protected] ora x ÎD 0, +¥@; si ha in questo caso x = x, quindi:

x+14

x< x + 2 ;

E' ora possibile elevare entrambe i membri al quadrato, ottenendo:

Hx+14L2

x2< x + 2 �

x¹0x3 + 2 x2 - x - 14 > 0.

Si vede subito che x = 2 è radice dell'equazione x3 + 2 x2 - x - 14 = 0, e dividendo con Ruffini si hax3 + 2 x2 - x - 14 = Hx - 2L Ix2 + 4 x + 7M > 0, da cui x > 2.

In conclusione, la disequazione data è soddisfatta per x Î @-14, 0@ Ü D 2, +¥@. Esercizio 6.3.0 - 6. Determinare il dominio di definizione della funzione:

f @xD = 2 x -x + 2 -x+10

x.


f @xD = LogB 3 H1 - Sin@xDL - 2 Cos@xD Sin@xD F.Svolgimento. Poiché Log@yD è definito per y > 0, dobbiamo imporre che sia:

2 Cos@xD Sin@xD < 3 H1 - [email protected] è una disequazione irrazionale in Sin@xD e Cos@xD. Osserviamo anzitutto che è sufficiente risolverla, ad esempio,nell'intervallo @0, 2 ΠD. Poiché Sin@xD si trova sotto radice, la disequazione ha senso in @0, ΠD. Osserviamo anche che, perla presenza di Cos@xD fuori della radice al primo membro, tale disequazione somiglia ad alcune altre già incontrate, e larisolveremo con un ragionamento analogo.

Carlo Greco :


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Questa è una disequazione irrazionale in Sin@xD e Cos@xD. Osserviamo anzitutto che è sufficiente risolverla, ad esempio,nell'intervallo @0, 2 ΠD. Poiché Sin@xD si trova sotto radice, la disequazione ha senso in @0, ΠD. Osserviamo anche che, perla presenza di Cos@xD fuori della radice al primo membro, tale disequazione somiglia ad alcune altre già incontrate, e larisolveremo con un ragionamento analogo.

Infatti, il secondo membro 3 H1 - Sin@xDL è sempre positivo; il primo membro è invece strettamente negativo per

x ÎD Π

2, ΠE, pertanto in tale intervallo la disequazione è soddisfatta (si noti che Π

2 non è soluzione perché annulla entrambe

i membri della disequazione).

Supponiamo ora x Î A0, Π

2E. In tale intervallo anche il primo membro è positivo, e possiamo allora elevare al quadrato

mantenendo il verso della disequazione. Si ha allora:

2 Cos@xD Sin@xD < 3 H1 - Sin@xDL xÎB0,Π

2F

2 Cos@xD2 Sin@xD < 3 H1 - Sin@xDL2 � 2 Sin@xD2 + 5 Sin@xD - 3 < 0

avendo scritto, ovviamente, Cos@xD2 = 1 - Sin@xD2.

La disequazione 2 t2 + 5 t - 3 < 0 è soddisfatta per -3 < t <1

2, quindi si ha -3 < Sin@xD <

1

2, da cui (sempre nel solo

intervallo A0, Π

2E), 0 £ x <

Π

6.

In definitiva, in @0, 2 ΠD la disequazione data è soddisfatta in A0, Π

6@ÜD Π

2, ΠE, e la soluzioni in tutto R si ottengono

aggiungendo 2 k Π , con k Î Z.

Esercizio 6.3.0 - 7. Determinare il dominio di definizione della funzione:

f @xD = LogB 3 H1 - Cos@xDL - 2 Sin@xD Cos@xD F.Esempio 6.3.0 - 9. Determinare il dominio di definizione della funzione:

f @xD = LogA18 + 7 x x - x3E.Svolgimento. Si deve imporre -x3 + 7 x x + 18 > 0, cioé 7 x x > x3 - 18. Ora, la disequazione ha senso per x ³ 0.Inoltre, per x ³ 0, il primo membro è positivo.

Per quanto riguarda il secondo membro, osserviamo che esso è negativo per x < 183

, pertanto nell'intervallo B0, 183 F,

la disequazione è soddisfatta.

Nell'intervallo F 183

, +¥@, entrambe i membri sono positivi, pertanto possiamo elevare al quadrato ottenendo

49 x3 > Ix3 - 18M2, cioé, ponendo x3 = t: t2 - 85 t + 324 < 0.

Quest'ultima disequazione è soddisfatta per 4 < t < 81, pertanto la disequazione in x3 è soddisfatta per 43

< x < 813

.

In definitiva la nostra disequazione è soddisfatta in B0, 183 F ÜF 4

3

, 813 @, cioé in B0, 81

3 @.Osservazione. Per risolvere la disequazione -x3 + 7 x x + 18 > 0 avremmo anche potuto porre x x = t, e allora,essendo x3 = t2, avremmo avuto la disequazione di secondo grado -t2 + 7 t + 18 > 0, che si risolve con meno conti.

Esercizio 6.3.0 - 8. Determinare il dominio di definizione delle funzioni:

f @xD = LogA20 + x x - x3E;f @xD = LogA4 - 4 Cos@xD4 - 5 Sin@xD2E.


f @xD = ArcCosB 1 - Log@x - 1D2 F.Svolgimento. La funzione ArcCos@yD è definita per -1 £ y £ 1, bisogna pertanto imporre che sia

-1 £ 1 - Log@x - 1D2 £ 1.

Carlo Greco :


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-1 £ 1 - Log@x - 1D2 £ 1.

Quest'ultimo è, in realtà, un sistema di due disequazioni:

-1 £ 1 - Log@x - 1D2

1 - Log@x - 1D2 £ 1

La prima di esse è una disequazione irrazionale che è certamente soddisfatta per ogni valore di x tale che

1 - Log@x - 1D2 ³ 0, cioé tale che -1 £ Log@x - 1D £ 1.

Passando all'esponenziale, otteniamo 1

ã£ x - 1 £ ã, cioé 1

ã+ 1 £ x £ ã + 1.

Per quanto riguarda la seconda disequazione, osserviamo che il primo membro è certamente minore di 1, in quanto sottoradice abbiamo 1 meno un numero positivo, ed è pertanto sempre soddisfatta.

In definitiva la disequazione data è soddisfatta per 1

ã+ 1 £ x £ ã + 1.

Esercizio 6.3.0 - 9. Determinare il dominio di definizione delle funzioni:

Funzione:

Soluzione Reset

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7. Indici

Indice analitico

Aggregato: 4

Allineamenti decimali: 29

Angoli notevoli: 88

Appartiene: 4

Arcocoseno: 91

Arcoseno: 89

Arcotangente: 93

Argomento di un numero complesso: 39

Argomento principale di un numero complesso: 39

Asse immaginario: 36

Asse reale: 36

Campo dei numeri complessi: 35

Cerchio goniometrico: 99

Classe di equivalenza: 24, … 24

Codominio: 16

Collezione: 4

Complementare di un insieme: 10

Complesso coniugato: 36

Completamento del quadrato: 33

Condizione necessaria e sufficiente: 6

Condizione sufficiente: 6

Connettivi logici: 5

Coppie ordinate: 11

De Morgan: 13

Dimostrazione per assurdo: 6

Direzione: 24

Discriminante: 33, … 49

Disequazioni elementari col valore assoluto: 106

Disequazioni equivalenti: 45

Disequazioni esponenziali elementari: 78

Disequazioni incompatibili: 66

Disequazioni logaritmiche elementari: 81

Distributività dell'intersezione rispetto all'unione: 13

Disuguaglianza triangolare: 37

Doppia implicazione: 6

Elemento di separazione: 31

Elemento di un insieme: 4

Equazione trascendente: 109

Esiste: 7

Esiste uno ed un solo: 7

Forma algebrica dei numeri complessi: 35

Forma trigonometrica di un numero complesso: 39

Formula del cambiamento di base: 83

Formula di de Moivre: 40

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Precorso di Analisi Matematica7. Indici 117

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Formula di de Moivre: 40

Formula ridotta: 51

Formule di addizione e sottrazione: 87

Formule di bisezione: 87

Formule di bisezione per la tangente: 89

Formule di duplicazione: 87

Formule parametriche in tangente di x/2: 102, … 88

Formule trigonometriche: 88

Frazione generatrice: 30

Funzione bigettiva: 19

Funzione composta: 19

Funzione esponenziale: 75, … 76

Funzione ingettiva: 17

Funzione inversa: 19

Funzione logaritmo: 77, … 76

Funzione surgettiva: 17

Funzione tra insiemi: 14

Grafico di una funzione tra insiemi: 16

Grafico di Venn: 10

Immaginario puro: 36

Implicazione: 6

Im[z]: 36

Insieme delle parti: 27, … 5

Insieme di arrivo: 15

Insieme di partenza: 15

Insieme infinito: 25

Insieme quoziente: 24, … 24, … 24

Insieme vuoto: 4

Insiemi contigui: 31, … 75

Insiemi equipotenti: 25

Insiemi formati da un solo elemento: 5

Insiemi numerabili: 25

Insiemi separati: 31

Insiemi uguali: 4

Interi naturali: 29

Interi relativi: 29

Intersezione di insiemi: 10

Intervalli: 32, … 7

Ipotesi e tesi: 6

Irrazionalità di radice di 2: 6

Leggi di De Morgan: 13

Logaritmi decimali: 77

Logaritmi neperiani: 77

Metodo grafico: 110

Modulo di un numero complesso: 37

Moltiplicazione di due numeri complessi in forma trigonometrica: 40

Negazione di una proposizione: 5

Nepero: 76

Numerabilità di Q: 26

Numerabilità di Z: 26

Numeri complessi: 34

Numeri razionali: 29, … 29

Numero di Nepero: 76

Parte reale e parte immaginaria: 36

Partizione di un insieme: 24

Per ogni: 7

Piano di Gauss: 36

Polinomio di grado n: 55

Potenza del continuo: 28

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Potenza del continuo: 28

Potenza dell'insieme delle parti: 27

Potenza di esponente qualsiasi: 75

Potenza minore: 27

Predicato: 6, … 45

Prodotto cartesiano di insiemi: 11

Proposizione: 5

Proprietà associativa dell'unione: 12

Proprietà del coniugato di un numero complesso: 36

Proprietà dell'addizione: 30

Proprietà della moltiplicazione: 30

Proprietà del modulo di un numero complesso: 37

Proprietà di completezza: 31

Proprietà distributiva dell'unione: 12

Quantificatore esistenziale: 7

Quantificatore universale: 7

Radice ennesima: 30

Radice n-esima di un numero complesso: 41

Radici intere: 55

Radici n-esime di un numero complesso: 41

Radici razionali: 56, … 55

Regola dei segni: 50

Regola di Ruffini: 57

Relazione di equivalenza: 23, … 25, … 23

Relazione d'ordine: 23, … 36, … 23

Relazione funzionale: 23

Relazione tra due insiemi: 23

Restrizione di una funzione tra insiemi: 21

Re[z]: 36

Risolvere una disequazione: 45

Ruffini: 57

Sistema di disequazioni: 46

Sottoinsieme di un insieme: 5

Sottoinsieme proprio di un insieme: 5

Tabella di verità: 5

Trinomio: 49

Unione di insiemi: 10

Unità immaginaria: 34

Venn: 10

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Indice delle definizioni

I numeri dopo la parola Definizione si riferiscono, rispettivamente, al Capitolo, alla Sezione, alla Sottosezione e alnumero della definizione all'interno della sottosezione.

Definizione 1.1.0 - 1 (Insiemi uguali) …… pag. 4

Definizione 1.1.0 - 2 (Sottoinsieme di un insieme) …… pag. 5

Definizione 1.5.0 - 1 (Unione di insiemi) …… pag. 10

Definizione 1.5.0 - 2 (Intersezione di insiemi) …… pag. 10

Definizione 1.5.0 - 3 (Complementare di un insieme) …… pag. 10

Definizione 1.5.0 - 4 (Prodotto cartesiano di insiemi) …… pag. 11

Definizione 1.7.0 - 1 (Funzione tra insiemi) …… pag. 14

Definizione 1.7.0 - 2 (Grafico di una funzione tra insiemi) …… pag. 16

Definizione 1.8.0 - 1 (Codominio) …… pag. 16

Definizione 1.8.0 - 2 (Funzione surgettiva) …… pag. 17

Definizione 1.8.0 - 3 (Funzione ingettiva) …… pag. 17

Definizione 1.8.0 - 4 (Funzione inversa) …… pag. 19

Definizione 1.8.0 - 5 (Funzione bigettiva) …… pag. 19

Definizione 1.9.0 - 1 (Funzione composta) …… pag. 19

Definizione 1.9.0 - 2 (Restrizione di una funzione tra insiemi) …… pag. 21

Definizione 1.11.0 - 1 (Relazione tra due insiemi) …… pag. 23

Definizione 1.11.0 - 2 (Relazione d'ordine) …… pag. 23

Definizione 1.11.0 - 3 (Relazione di equivalenza) …… pag. 23

Definizione 1.11.0 - 4 (Classe di equivalenza) …… pag. 24

Definizione 1.11.0 - 5 (Insieme quoziente) …… pag. 24

Definizione 1.12.0 - 1 (Insiemi equipotenti) …… pag. 25

Definizione 1.12.0 - 2 (Insieme infinito) …… pag. 25

Definizione 1.12.0 - 3 (Insiemi numerabili) …… pag. 25

Definizione 1.12.0 - 4 (Potenza minore) …… pag. 27

Definizione 2.1.0 - 1 (Insiemi separati) …… pag. 31

Definizione 2.3.2 - 1 (Parte reale e parte immaginaria) …… pag. 36

Definizione 2.3.2 - 2 (Complesso coniugato) …… pag. 36

Definizione 2.3.2 - 3 (Modulo di un numero complesso) …… pag. 37

Definizione 2.3.4 - 1 (Radice n -esima di un numero complesso) …… pag. 41

Definizione 4.1.1 - 1 (Funzione esponenziale) …… pag. 76

Definizione 4.1.2 - 1 (Logaritmo) …… pag. 76

Carlo Greco :


Settembre 2009

Indice dei teoremi

I numeri dopo la parola Teorema si riferiscono, rispettivamente, al Capitolo, alla Sezione e al numero del Teoremaall'interno della sezione.

Teorema 1.2.0 - 1 (Irrazionalità di 2 ) …… pag. 6

Teorema 1.12.0 - 1 (Potenza dell'insieme delle parti) …… pag. 27

Teorema 2.3.2 - 1 (Proprietà del coniugato di un numero complesso) …… pag. 36

Teorema 2.3.2 - 2 (Proprietà del modulo di un numero complesso) …… pag. 37

Teorema 2.3.4 - 1 (Moltiplicazione di due numeri complessi in forma trigonometrica) …… pag. 40

Teorema 2.3.4 - 2 (Formula di de Moivre) …… pag. 40

Teorema 2.3.4 - 3 (Radici n-esime di un numero complesso) …… pag. 41

Teorema 3.5.2 - 1 (Radici intere) …… pag. 55

Teorema 3.5.2 - 2 (Radici razionali) …… pag. 56

Teorema 4.1.1 - 1 (Proprietà di ax) …… pag. 75

Teorema 4.1.2 - 1 (Proprietà dei logaritmi) …… pag. 77

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Notazioni

Segnaliamo le principali differenze tra le notazioni usate in queste dispense e le notazioni standard.

Notazione usata nelle dispense Significato Notazione standardf @xD Simbolo di funzione f HxL

f @x, yD Simbolo di funzione f Hx, yLã Numero di Nepero e

ãx Funzione esponenziale ex

Log@xD Logaritmi naturali log xSin@xD Funzione seno sen xCos@xD Funzione coseno cos xTan@xD Funzione tangente tg x

ArcSin@xD Funzione arcoseno arcsen xArcCos@xD Funzione arcocoseno arccos xArcTan@xD Funzione arcotangente arctan x

Sec@xD Funzione secante H 1

cos xL sec x

Csc@xD Funzione cosecante H 1

sin xL cosec x

Cot@xD Funzione cotangente H 1

tg xL cotg x

Sin@xD2 Seno al quadrato sin2 x

Sin@x2D Seno di x al quadrato sinHx2L

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8. Appendice

La seguente applicazione può essere utilizzata per controllare il proprio grado di conoscenza dei vari argomentisviluppati nei capitoli precedenti.Molti importanti concetti sono stati introdotti in modo discorsivo, senza che vi sia, nel testo, una definizione apposita.Premendo il pulsante "domande generali", appaiono appunto domande su questo tipo di argomenti.Premendo il pulsante "domande definizioni", apparirà la richiesta di enunciare le varie definizioni introdotte nel corso,mentre "domande teoremi" consentirà di verificare la conoscenza dell'enunciato e della dimostrazione dei teoremi.E' possibile selezionare solo uno o più capitoli, o diversi tipi di domande.

Le domande vengono prese da un elenco, e si susseguono senza ripetersi fino ad esaurimento dell'elenco, poi l'elencoviene ripristinato.Per molte domande è possibile controllare immediatamente la risposta premendo il pulsante "risposte". Se si desideracontrollare meglio l'argomento della domanda, basta premere il pulsante "Vai all'argomento" della domanda che sidesidera approfondire.Per ritornare velocemente a questa appendice, premere CTRL-END.

Capitoli: 1 2 3 e 4 5 e 6

Domande: generali definizioni teoremi

Nuove domande Risposte

Vai all'argomento: domanda generale definizione teorema Reset

Domande disponibili

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Precorso di Analisi Matematica8. Appendice 123

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appunti precorso analisi 1 (2009-2010) - fataing.poliba.itversione_stampabile).pdf · 1. teoria...

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