apresentação do...
TRANSCRIPT
Hedges: Operadores semânticos
• Atuam na modelagem de um sistema fuzzy da mesma forma que advérbios atuam em uma sentença.
• Modificam a natureza de um conjunto fuzzy.
• O hedge (limita) por condições ou exceções: – Variável linguística(substantivo): Velocidade
– Etiqueta ou Estado ou label (adjetivo): baixa, média, alta
– Hedge (advérbio): pouco, muito, quase
Hedges: Operadores semânticos
• Classes de Hedges:
– Concentradores: muito, extremamente.
– Diluidores: pouco, levemente, mais ou menos.
– Complemento: não.
– Aproximadores: em torno, aproximadamente, perto de.
– Restrição de uma região fuzzy: abaixo de , acima de.
– Contraste: positivamente, geralmente.
Hedges: Operadores semânticos
• Da mesma forma que os advérbio e adjetivos, a ordem do hedge é importante:
Não muito Alto Muito não Alto
• Múltiplos hedges podem ser aplicados a um único conjunto fuzzy
Positivamente não muito Alto
Conjunto fuzzy Múltiplos hedges
Hedges: Operadores semânticos
• O processamento dos hedges é de forma análoga à linguagem
Positivamente não muito Alto
(Positivamente (não (muito Alto)))
Hedges: Operadores semânticos
• Hedges podem ser usados no antecedente (premissas) e/ou no consequente (ação)
Se custos são muito Altos
Então as margens são Baixas
Se pressão (t-1) é muito Baixa e pressão (t) é Alta
Então incrementar aproximadamente Zero
Hedges: Concentradores
• Reduzem o espaço dos candidatos que pertencem ao conjunto fuzzy
Muito, Extremamente
𝜇𝐴 𝑥 ≥ 𝜇𝑀𝑈𝐼𝑇𝑂 𝐴 𝑥
• Concentradores de Zadeh
𝜇𝑀𝑈𝐼𝑇𝑂 𝐴 𝑥 = 𝜇𝐴(𝑥)2
𝜇𝐶𝑂𝑁𝐶 𝐴 𝑥 = 𝜇𝐴(𝑥)𝑛, 𝑛 ∈ 1,4
Hedges: Diluidores
• Diluem a função de pertinência para uma certa região fuzzy
Um pouco, Levemente
𝜇𝐴 𝑥 ≤ 𝜇𝑈𝑀 𝑃𝑂𝑈𝐶𝑂 𝐴 𝑥
• Contrariamente aos intensificadores, esses hedges devem ter valor de pertinência maior que a função básica.
Hedges: Diluidores
• Exemplo 1
Para se obter o mesmo valor de (x) o elemento do domínio deve estar mais à esquerda
Levemente Alto n=1/3
Um pouco Alto n=1/2
Alto
Hedges
• Concentradores e Diluidores
– Possuem o mesmo suporte que o conjunto original
– Mesmo valor no domínio para (x) = 0 e (x) = 1
– Muito e Um pouco são os únicos hedges comutativos.
Hedges: Aproximadores
• Alargam ou estreitam uma região fuzzy (tipo sino)
• Transformam valores escalares em regiões fuzzy
Em torno de, Aproximadamente, Perto de
Hedges: Restrição de uma região fuzzy
• Restringem o escopo da função de pertinência
Acima de, Abaixo de
Hedges: Restrição de uma região fuzzy
• Acima: Somente aplicável a funções que diminuam conforme se mova o domínio da esquerda para a direita
Hedges: Restrição de uma região fuzzy
• Abaixo: Somente aplicável a funções que aumentem conforme se mova no domínio da esquerda para a direita.
Hedges: Contraste
• Muda a natureza da região fuzzy
– Positivamente ou Definitivamente: torna o conjunto menos fuzzy.
– Geralmente: torna o conjunto mais fuzzy.
Hedges: Contraste
• Positivamente: diminui a fuziness (DF).
• Fórmula de Zadeh
𝜇𝐷𝐹 𝐴 𝑥 = 2 𝜇𝐴(𝑥)
2 𝑠𝑒 𝜇𝐴(𝑥) ≥ 0.5
1 − 2{1 − 𝜇𝐴 𝑥 2} 𝑠𝑒 𝜇𝐴 𝑥 < 0.5
Hedges: Contraste
• Geralmente: aumenta a fuziness (AF).
• Fórmula de Zadeh
• 𝜇𝐴𝐹 𝐴 𝑥 = 0.5 𝜇𝐴(𝑥)
1/2 𝑠𝑒 𝜇𝐴(𝑥) ≥ 0.5
1 − 0.5{1 − 𝜇𝐴 𝑥 1/2} 𝑠𝑒 𝜇𝐴 𝑥 < 0.5
Relações Crisp no mesmo espaço
• Relação Crisp – Representa a presença ou ausência de associação,
interação ou interconectividade entre elementos de dois ou mais conjuntos
– Relações binárias: são relações que envolvem dois conjuntos.
Relações Crisp no mesmo espaço
• Relação Crisp – Sejam os conjuntos, 𝑈 e 𝑉. O produto cartesiano desses
conjuntos é: 𝑈 × 𝑉 = {(𝑥, 𝑦)/𝑥 𝜖 𝑈 𝑒 𝑦 𝜖 𝑉}.
– Uma relação 𝑅(𝑈, 𝑉) é um subconjunto de 𝑈 × 𝑉 que pode ser definido como:
𝜇𝑅(𝑥, 𝑦) = 1 𝑠𝑒 𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅(𝑈, 𝑉)
0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
– Uma relação também é um conjunto e todas as operações de conjuntos crisp podem ser aplicadas.
Relações Crisp no mesmo espaço
• Exemplo: Sejam os conjuntos:
𝑈 = {𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑠 sistemas contínuos de 2ª ordem} e 𝑉 = {𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑙𝑜s dos sistemas contínuos de 2ª ordem}
O produto cartesiano desses conjuntos esta dado por:
𝑈 × 𝑉 = 𝑥, 𝑦 𝑥 𝜖 𝑈 𝑒 𝑦 𝜖 𝑉}
Seja 𝑅 uma relação que representa a relação de estabilidade entre o conjunto de todos os sistemas contínuos lineares de 2ª ordem e o conjunto de polos de tais sistemas. 𝑅 é um subconjunto de 𝑈 × 𝑉.
Relações Crisp no mesmo espaço
Suponha que:
𝑈 = {𝑥1, 𝑥2} = {sistema 2ª ordem LVT, sistema de 2ª ordem LIT}
𝑉 = {𝑦1, 𝑦2, 𝑦3} = {pólo no lado esquerdo do plano s, pólo no eixo imaginário, pólo no lado direito do plano s}
Então:
𝑅 = { 𝑥2, 𝑦1 , (𝑥2, 𝑦2)} = {(sistema de 2ª ordem LIT,pólo no lado esquerdo do plano s),(sistema de 2ª ordem LIT,pólo no eixo imaginário)}
LVT: linear variante no tempo LIT: linear invariante no tempo
Relações Crisp no mesmo espaço
𝑅 = { 𝑥2, 𝑦1 , (𝑥2, 𝑦2)} = {(sistema de 2ª ordem LIT,polo lado esquerdo),(sistema de 2ª ordem LIT,polo eixo imaginário)}
Matriz relacional Diagrama sagital
𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒚𝟑
𝒙𝟏 0 0 0𝒙𝟐 1 1 0
𝒚𝟏 𝒚𝟐
𝒚𝟑
𝒙𝟏 𝒙𝟐
Relações Fuzzy no mesmo espaço
• Relação Fuzzy: Representa a presença ou ausência de
associação, interação ou interconectividade entre elementos de dois ou mais conjuntos fuzzy
• Exemplos:
• 𝑥 é 𝑚𝑢𝑖𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑦
• 𝑥 é 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑎𝑙𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑦
• 𝑥 é 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑓𝑟𝑖𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑦
Relações Crisp no mesmo espaço
• Relação Fuzzy – Seja 𝑈 × 𝑉 o produto cartesiano de 2 conjuntos fuzzy 𝑈 e 𝑉. – 𝑅(𝑈, 𝑉) é um subconjunto fuzzy no espaço 𝑈 × 𝑉 que pode ser
definido como:
𝜇𝑅 𝑥, 𝑦 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 𝜖 𝑈 𝑒 𝑦 𝜖 𝑉.
– Isto é:
𝑅 𝑈, 𝑉 = {[ 𝑥, 𝑦 , 𝜇𝑅(𝑥, 𝑦)]/ (𝑥, 𝑦)𝜖 𝑈 × 𝑉
– A relação fuzzy também é um conjunto fuzzy, as operações com essas relações podem ser definidas utilizando os operadores: União, Interseção e Complemento.
Relações Crisp no mesmo espaço
• Exemplo:
Sejam os conjuntos 𝑈 = {ℝ} e 𝑉 = {ℝ}
E seja a relação fuzzy “ o valor de 𝑥 é perto do valor de 𝑦”, com 𝑥 𝜖 𝑈 e 𝑦 𝜖 𝑉 , supondo que o maior valor da diferença entre 𝑥 e 𝑦 é 5, a relação pode ser representada como:
𝜇𝑃𝑒𝑟𝑡𝑜 𝑥, 𝑦 , = 𝑚á𝑥 5 − 𝑥 − 𝑦
5, 0
Composições Fuzzy no mesmo espaço
• Sejam 𝑅 𝑥, 𝑦 e 𝑆 𝑥, 𝑦 duas relações fuzzy no espaço 𝑈 × 𝑉 a interseção e união de 𝑅 e 𝑆, isto é, as composições dessas duas relações definem-se como:
𝜇𝑅∩𝑆 𝑥, 𝑦 = 𝜇𝑅(𝑥, 𝑦) ⋆ 𝜇𝑆(𝑥, 𝑦)
𝜇𝑅∪𝑆 𝑥, 𝑦 = 𝜇𝑅(𝑥, 𝑦) ⊕ 𝜇𝑆(𝑥, 𝑦)
Onde ⋆ é qualquer t-norm e ⊕ é qualquer t-conorm.
Composições Fuzzy no mesmo espaço
• Exemplo: – Considere a afirmação:
“𝑥 é muito maior que 𝑦 e 𝑦 é muito próximo de 𝑥” – A afirmação não é verossímil!
– Para estabelecer uma função de pertinência para essa afirmação, deve-se observar e proceder como segue:
• A afirmação é uma composição de duas relações “𝑥 é muito maior que 𝑦” e “𝑦 é muito próximo de 𝑥”.
• As duas relações pertencem ao mesmo espaço 𝑈 × 𝑉.
• Criar funções de pertinência para cada relação: 𝜇𝑀𝑀 𝑥, 𝑦 e 𝜇𝑀𝑃 𝑦, 𝑥 .
• Obter 𝜇𝑀𝑀∩𝑀𝑃 𝑥, 𝑦 usando um t-norm adequado.
Composições Fuzzy no mesmo espaço
• Exemplo: Suponha que as as relações 𝜇𝑀𝑀 e 𝜇𝑀𝑃 estão representadas
pelas matrizes abaixo, com 𝑈 = 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 e 𝑉 = {𝑦1, 𝑦2, 𝑦3, 𝑦4} . Na
matriz do lado direito apresenta-se a composição dessas relações.
𝜇𝑀𝑀 𝑥, 𝑦 =
𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑦4𝑥1 0.8 1 0.1 0.7𝑥2 0 0.8 0 0𝑥3 0.9 1 0.7 0.8
𝜇𝑀𝑀 𝑥, 𝑦 ∩ 𝜇𝑀𝑷 𝒚, 𝒙
𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑦4𝑥1 0.4 0 0.1 0.6𝑥2 0 0.4 0 0𝑥3 0.3 0 0.7 0.5
A maioria dos graus de pertinência são menores que 0.5, isto significa que a afirmação é pouco verossímil.
𝜇𝑀𝑃 𝑦, 𝑥 =
𝑥1 𝑥2 𝑥3𝑦1 0.4 0.9 0.3𝑦2 0 0.4 0𝑦3 0.9 0.5 0.8𝑦4 0.6 0.7 0.5
Composições Crisp em espaços diferentes
• Sejam 𝑃(𝑈, 𝑉) e 𝑄(𝑉,𝑊) duas relações crisp nos espaços 𝑈 × 𝑉 e 𝑉 ×𝑊 respectivamente.
• Composição 𝑅(𝑈,𝑊) das relações crisp 𝑃 e 𝑄 é:
𝑅(𝑈,𝑊) = 𝑃(𝑈, 𝑉) ∘ 𝑄(𝑉,𝑊)
Composições Crisp em espaços diferentes
𝑅(𝑈,𝑊) = 𝑃(𝑈, 𝑉) ∘ 𝑄(𝑉,𝑊)
Onde 𝑅(𝑈,𝑊) é um subconjunto de 𝑈 ×𝑊 tal que:
𝑥, 𝑧 ∈ 𝑅 𝑈,𝑊 se e somente se ∃𝑦 ∈𝑉 / 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑃 𝑒 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑄
Composições Crisp em espaços diferentes
• Na composição crisp , o cálculo de cada elemento é obtido através do produto booleano das matrizes 𝑃(𝑈, 𝑉) e 𝑄(𝑉,𝑊). Onde: – Cada multiplicação ou “e booleano” é tratado como o “mínimo” ou
“produto”
– Cada soma ou “ou booleano” é tratado como o “máximo”.
𝜇𝑃∘𝑄 𝑥, 𝑧 = { 𝑥, 𝑧 ,𝑚á𝑥𝑦
[𝑚í𝑛(𝜇𝑃 𝑥, 𝑦 , 𝜇𝑄 𝑦, 𝑧 )]}
𝜇𝑃×𝑄 𝑥, 𝑧 = { 𝑥, 𝑧 ,máx
𝑦[𝜇𝑃 𝑥, 𝑦 ⋅ 𝜇𝑄 𝑦, 𝑧 ]}
Composições Crisp em espaços diferentes
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑦1
𝑦2
𝑦3
𝑦4
𝑧1
𝑧2
𝑧3
𝑧4
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑧1
𝑧2
𝑧3
𝑧4
P(U,V) Q(V,W)
R(U,W)=P(U,V) Q(V,W)
Composições Fuzzy em espaços diferentes
• A composição de duas relações fuzzy 𝑃(𝑈, 𝑉) e 𝑄(𝑉,𝑊) é análoga ao caso crisp, exceto que no caso fuzzy os conjuntos são conjuntos fuzzy com:
𝜇𝑃 𝑥, 𝑦 𝜖 0,1 𝜇𝑄 𝑦, 𝑧 𝜖 0,1
Composições Fuzzy em espaços diferentes
• De modo similar à composição crisp, a composição fuzzy pode ser calculada como:
Onde:
“×” é uma composição sup-star e ⋆ é um t-norm.
𝑃 e 𝑄 possuem universos de discurso discretos e podem ser representados por um diagrama sagital ou uma matriz relacional.
𝜇𝑃×𝑄(𝑥, 𝑧) = sup𝑦∈𝑉
[𝜇𝑃 𝑥, 𝑦 ⋆ 𝜇𝑄 𝑦, 𝑧 ]
Composições Fuzzy em espaços diferentes
• Exemplo: 𝑈 = {𝑥1, 𝑥2, 𝑥3}
𝑉 = {𝑦1, 𝑦2, 𝑦3, 𝑦4}
𝑊 = {𝑧1, 𝑧2, 𝑧3}
E as matrizes relacionais
𝜇𝑀𝑀 𝑥, 𝑦 e 𝜇𝑀𝑃 𝑦, 𝑧
“𝑥 é muito maior que 𝑦 E 𝑦 é muito próximo de z”
𝜇𝑀𝑀 𝑥, 𝑦 𝜇𝑀𝑃 𝑦, 𝑧
𝜇𝑀𝑀∘𝑀𝑃 𝑥, 𝑧 =?
𝜇𝑀𝑀 𝑥, 𝑦 =
𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑦4𝑥1 0.8 1 0.1 0.7𝑥2 0 0.8 0 0𝑥3 0.9 1 0.7 0.8
𝜇𝑀𝑃 𝑦, 𝑧 =
𝑧1 𝑧2 𝑧3𝑦1 0.4 0.9 0.3𝑦2 0 0.4 0𝑦3 0.9 0.5 0.8𝑦4 0.6 0.7 0.5
Composições Fuzzy em espaços diferentes
As composições máx-mín e máx-produto são obtidas como segue:
No caso crisp, os resultados são os mesmos se for o máx-mín ou o máx-produto. Já no caso fuzzy os resultados são diferentes. Esta é uma diferença entre o crisp e o fuzzy para composição de relações em espaços diferentes.
𝑧1 𝑧2 𝑧3
𝑥1 0.6 0.8 0.5𝑥2 0 0.4 0𝑥3 0.7 0.9 0.7
𝑧1 𝑧2 𝑧3
𝑥1 0.42 0.72 0.35𝑥2 0 0.32 0𝑥3 0.63 0.81 0.56
𝑴á𝒙{𝑴í𝒏[𝜇𝑀𝑀 𝑥, 𝑦 , 𝜇𝑀𝑷 𝒚, 𝒛 ]} 𝑴á𝒙{𝜇𝑀𝑀 𝑥, 𝑦 ⋅ 𝜇𝑀𝑷 𝒚, 𝒛 }
Composições Fuzzy em espaços diferentes
• Caso particular: Relação Fuzzy P é apenas um conjunto fuzzy:
𝜇𝑃 𝑥, 𝑦 = 𝜇𝑃 𝑥
𝑈 = 𝑉