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PEF2602 Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
EP-USP FAU-USP
Sistemas Reticulados
PEF2602 Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
2º semestre 2018
Treliças– I
(Aula 3 – 10/09/2018)
Professores Ruy Marcelo Pauletti, Leila Meneghetti Valverdes, Luís Antônio Bitencourt Jr.
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2PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
Pontes em arcos treliçados sobre o rio Karun, Irã (2012)Vão principal (300m)
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3PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
Teliças Planas:Módulo Básico - Triângulo
Módulo básico de uma treliça plana (Triângulo)
Nó ideal: articulação Nó usual: rígido, mas com os eixos das barras convergindo para os nós
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4PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
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5PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
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6PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
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7PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
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8PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
(T) (T)
(T)
(T)
(T)(C)
(C)
(C)
(C)
(C)
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9PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
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10PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
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11PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
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12PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
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13PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
Treliça Pettit.
Treliça com banzo superior em partes inclinadas.
“Duas águas”
Treliça K
Treliça Baltimore.
Treliça “Duas águas”,
sem montantes
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14PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
xM
P
a b
A B
Recordando das VIGAS:
Equilíbrio:
AVBV
AH
x
N
V
xM
Os esforços solicitantes são determinados imaginando-se seções de corte genéricas!
TRELIÇAS – Método de Ritter
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15PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
a
a 3a
4a
A B
Banzo Superior
Banzo Inferior
Diagonal
Montante
TRELIÇAS – Método de Ritter
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16PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
a
a 3a
4a
TRELIÇAS – Método de Ritter
Corte de Ritter
1
P
3
4
P
4
P
2
3
A B
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17PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
a
a
TRELIÇAS – Método de Ritter
1
P
3
4
P
2
3
A
Corte de Ritter
N2
N3
N1
1 2 3cos 0i
HiF N N N
1 2 3
20
2N N N
2
3sin 0
4
i
ViF P P N
2
2
4
PN
14
PN 3
3
4
PN
( ) 3
3a a 0
4
i
Di
PM N
Compressão!
Compressão!
Tração!
Forças incógnitas saindo do corte!
D
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18PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
a
a
TRELIÇAS – Método de Ritter
1
P
3
4
P
2
3
A
Corte de Ritter
N2
N3
N1
Forças incógnitas saindo do corte!
DNotas:
• Até 3 barras podem ser determinadas por cada corte de Ritter!
• Podem ser cortadas quantas barras forem necessárias!
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19PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
TRELIÇAS – Método dos Nós
1 2
34 5
3m
4m 4m
100kN50kN
68,75kN31,25kN
50kN ABC
D
Cortes de Ritter em torno dos nós!
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20PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
Corte de Ritter em torno do nó B:
2 5 cos 0i
HiF N N
2
5
68,75kN
B
N5
N2
3sin
5
4cos
5
2 5
4
5N N
5 sin 68,75 0i
ViF N
5
568,75 114,5833
3N kN
2
4114,5833 91,667
5N kN
Tração!
Compressão!
( ) 0i
BiM Trivial! O Método dos nós gera apenas duas
equações de equilíbrio de forças para cada nó!
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21PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
Corte de Ritter em torno do nó C:
3 0i
ViF N
2C
N3
N1
2 1 0i
HiF N N
Pode-se concluir por simples inspeção!
N2
1 2 91,667N N kN
13
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22PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
Nó A:
31,25kN
A
N4
N1
4 sin 31,25 0i
ViF N
Sobram 3 equações de equilíbrio nodal: que servem de verificação:
50kN
4
531,25 52,083
3N kN
• Equilíbrio horizontal do nó A
• Equilíbrio horizontal e vertical do nó D
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23PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
1 2
34 5
3m
4m 4m
100kN50kN
68,75kN31,25kN
50kN A C
D
[kN]
N1 +91,667
N2 +91,667
N3 0
N4 -52,3083
N5 -114,583
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24PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
Dimensionamento:
e
1
E
210E GPa
lim 250e MPa
2s (coeficiente de segurança)
Tensão admissível:
lim 250125
2MPa
s
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25PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
1. Barras Tracionadas:N
A
1.1. Adotando barra circular, de diâmetro ‘d’:
3
6
4 4 91,667 100,0306 3,06
125 10
Nd m cm
2
4
d NA
d
![Page 26: Apresentação do PowerPoint - edisciplinas.usp.br · Corte de Ritter em torno do nó B: 25 cos 0 i i H ¦ F N N D 2 5 68,75kN D B N 5 N 2 3 sin 5 D cos 4 5 D 25 4 5 NN 5 sin 68,75](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022112/5c60568b09d3f2006c8b5235/html5/thumbnails/26.jpg)
26PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
1.2. Escolha de um perfil comercial: dt
34 2 2
6
91,667 107,33 10 7,33
125 10
NA m cm
Catálogo Vallourec & Mannesmann:
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27PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
2. Barras Comprimidas:
2.1. Adotando seção quadrada maciça, de lado ‘a’:
2A a
1º Critério: Tensão Normal:
a
a4
12
aI
max
max
cN
A
(Nota: não é uma escolha prática, é apenas para exercitar as fórmulas!)
max 114,4583cN kN
3
6
2
114,4583 10125 10
a
3
6
114,4583 100,0303 3,03
125 10a m cm
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28PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
2º Critério: Estabilidade
critPN
s
critP
critP
2 2
2 2crit
fl
EI EIP
2. Barras Comprimidas:
2
max 2
1c EIN
s
24max
212
cs NaI
E
2 2 3max4 4
2 2 9
12 12 2 5 114,4583 100,076
210 10
cs Na m
E
7,6a cm a
a
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29PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
2. Barras Comprimidas:
2.1. Escolha de um perfil comercial: dt
1º Critério: Tensão Normal: max
cN
A max
cNA
3
4 2 2
6
114,4583 109,157 10 9,157
125 10A m cm
2º Critério: Estabilidade2
max 2
1c EIN
s
2
max
2
cs NI
E
2 36 4 4
2 9
2 5 114,4583 102,76 10 276
210 10I m cm
![Page 30: Apresentação do PowerPoint - edisciplinas.usp.br · Corte de Ritter em torno do nó B: 25 cos 0 i i H ¦ F N N D 2 5 68,75kN D B N 5 N 2 3 sin 5 D cos 4 5 D 25 4 5 NN 5 sin 68,75](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022112/5c60568b09d3f2006c8b5235/html5/thumbnails/30.jpg)
30PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
2.1. Escolha de um perfil comercial:
29,157A cm
4276I cm
2. Barras Comprimidas:d
t
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31PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
Regra de Maxwell para Treliças Planas
* Cada nó de uma treliça plana fornece 2 equações de equilíbrio
- Logo, sendo n o número de nós, tem-se um total de 2n equações de equilíbrio;
* Cada barra treliça fornece 1 esforço solicitante, inicialmente incógnito
- Logo, sendo b o número de barras tem-se um total de b esforços incógnitos;
* Cada vínculo externo também fornece uma incógnita!
- Logo, sendo r o número de vínculos, tem-se um total de incógnitas igual (r+b)
![Page 32: Apresentação do PowerPoint - edisciplinas.usp.br · Corte de Ritter em torno do nó B: 25 cos 0 i i H ¦ F N N D 2 5 68,75kN D B N 5 N 2 3 sin 5 D cos 4 5 D 25 4 5 NN 5 sin 68,75](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022112/5c60568b09d3f2006c8b5235/html5/thumbnails/32.jpg)
32PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
Regra de Maxwell para Treliças Planas
* Uma condição necessária (mas não suficiente) para que uma treliça seja isostática, isto é, possa ser resolvida exclusivamente por equações de equilíbrio é que 2n b r
* Se , existe um excesso de incógnitas, e novas equações devem ser acrescentadas para a resolução do problema – a treliça é hiperestática!
2b r n
* Se , existe uma carência de vínculos (internos e externos), e a treliça é hipostática (apresenta movimentos de corpo rígido ou mecanismos!)
2b r n
Regra de Maxwell(para treliças planas):
• Rearranjando e resumindo:
treliça hiperestática
treli
2
ça isostática
treliça hipostática
r
n b r
r
• Observa-se que a regra de Maxwell apresenta condições necessárias, mas não suficientes, para os casos de treliças isostáticas ou hiperestáticas, pois o arranjo das barras e vínculos pode ser deficiente!
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33PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
Regra de Maxwell para Treliças PlanasExercício. Determine o grau de estaticidade das treliças esquematizadas a seguir. (Adaptado de Leet et al., Fundamentos da análise Estrutural, 3ª Edição, McGraw-Hill, 2009).
2 2 4 5 3
3
n b
r
treliça 2 vezes hiperestática
( 1 grau de hiperestaticidade interna
+ 1 grau de hiperestaticidade exter
na)
treliça isostática
2 2 8 14 2
4
n b
r
treliça isost ática
2 2 9 14 4
4
n b
r
![Page 34: Apresentação do PowerPoint - edisciplinas.usp.br · Corte de Ritter em torno do nó B: 25 cos 0 i i H ¦ F N N D 2 5 68,75kN D B N 5 N 2 3 sin 5 D cos 4 5 D 25 4 5 NN 5 sin 68,75](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022112/5c60568b09d3f2006c8b5235/html5/thumbnails/34.jpg)
34PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
Regra de Maxwell para Treliças PlanasExercício. Determine o grau de estaticidade das treliças esquematizadas a seguir. (Adaptado de Leet et al., Fundamentos da análise Estrutural, 3ª Edição, McGraw-Hill, 2009).Consulte respostas comentadas nessa referencia!
2 2 6 6 6
3 2 6
n b
r
treliça isostática
2 2 9 14 4
1 2 1 4
n b
r
treliça isostática
![Page 35: Apresentação do PowerPoint - edisciplinas.usp.br · Corte de Ritter em torno do nó B: 25 cos 0 i i H ¦ F N N D 2 5 68,75kN D B N 5 N 2 3 sin 5 D cos 4 5 D 25 4 5 NN 5 sin 68,75](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022112/5c60568b09d3f2006c8b5235/html5/thumbnails/35.jpg)
35PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
Regra de Maxwell para Treliças PlanasExercício. Determine o grau de estaticidade das treliças esquematizadas a seguir. (Adaptado de Leet et al., Fundamentos da análise Estrutural, 3ª Edição, McGraw-Hill, 2009).Consulte respostas comentadas nessa referencia!
2 2 6 8 4
4 2 4
n b
r
a treliça atende a Regra de Maxwell, e parece isostática, mas
apresenta um mecanismo infinitesimal, que a torma indeterminada
para pequenos deslocamentos...
2 2 10 16 4
2 1 1 4
n b
r
a treliça atende a Regra de Maxwell, mas apresenta um
mecanismo, que a torma 1 vez internamente hipostática.
2 2 9 14 4
2 2 4
n b
r
a treliça atende a Regra de Maxwell, e parece isostática, mas
apresenta um mecanismo infinitesimal, que a torma indeterminada
para pequenos deslocamentos...
![Page 36: Apresentação do PowerPoint - edisciplinas.usp.br · Corte de Ritter em torno do nó B: 25 cos 0 i i H ¦ F N N D 2 5 68,75kN D B N 5 N 2 3 sin 5 D cos 4 5 D 25 4 5 NN 5 sin 68,75](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022112/5c60568b09d3f2006c8b5235/html5/thumbnails/36.jpg)
36PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
Regra de Maxwell para Treliças PlanasExercício. Determine o grau de estaticidade das treliças esquematizadas a seguir. (Adaptado de Leet et al., Fundamentos da análise Estrutural, 3ª Edição, McGraw-Hill, 2009).Consulte respostas comentadas nessa referência!
2 2 10 21 1
2 1 3
n b
r
treliça quatro vezes internamente hiperestática,
mas externamente isostática.
2 2 5 6 4
2 1 3
n b
r
treliça uma vez hipostática
2 2 6 9 3
2 1 3
n b
r
a treliça atende a Regra de Maxwell, e parece isostática, mas
apresenta um mecanismo infinitesimal, que a torma indeterminada
para pequenos deslocamentos...