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Isometrias
ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE
ISOMETRIAS
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Isometria: do grego ισο + μέτρο
(ισο = iso = igual; μέτρο = metria = medida)
Uma isometria é uma transformação
geométrica que preserva as distâncias entre
pontos e consequentemente as amplitudes dos
ângulos, transformando uma figura noutra
figura congruente.
ISOMETRIAS
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Existem quatro tipos de isometrias:
• Rotação
• Translação
• Reflexão
• Reflexão deslizante
Rodar uma figura em
torno de um ponto
chamado centro de
rotação (O).
Fig. 1
Fig. 2
O
O que é uma rotação?
A distância dos
pontos ao centro de
rotação mantém-se
constante.
ROTAÇÃO
ISOMETRIAS
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A
A’
180º
Uma rotação é uma transformação geométrica, associada a
um ponto, o centro da rotação, e a um ângulo, cuja
amplitude pode ser positiva ou negativa.
ROTAÇÃO
ISOMETRIAS
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Numa rotação:
• um segmento de recta é transformado num segmento de
recta congruente
• um ângulo é transformado noutro ângulo congruente e
com o mesmo sentido
Associado ao conceito de rotação está o conceito de ângulo
orientado.
Convencionou-se que a rotação tem
sentido positivo quando a rotação se
efectua no sentido contrário ao do
movimento dos ponteiros de um relógio.
Quando se efectua uma rotação no
sentido do movimento dos ponteiros de
um relógio, então diz-se que se efectuou
uma rotação no sentido negativo.
Sentido positivo
ângulo orientado +90º
Sentido negativo
ângulo orientado -90º
ROTAÇÃO
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ISOMETRIAS
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Rotação no sentido positivo Rotação no sentido negativo
Pavimentações usando as rotações
Pavimentações usando as rotações
“Deslocamento” de
uma figura segundo um
vector
(um vector é um ser
matemático que é
caracterizado por uma
direcção, um sentido e
um comprimento). Fig. 1
Fig. 2
Vector v
O que é uma translação? TRANSLAÇÃO
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Em baixo, a figura B é a imagem da figura A pela
translação T no plano.
A figura A é a figura original (o
objecto) e a figura B é a sua
imagem (o transformado) através
de uma translação.
11 José Carvalho@2007
TRANSLAÇÃO
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A figura D não foi obtida
por translação da figura C.
Não existe nenhuma
translação que permita
obter a figura D a partir da
figura C.
12 José Carvalho@2007
TRANSLAÇÃO
ISOMETRIAS
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Na figura que podes observar agora, o deslocamento foi feito
segundo a mesma direcção e o mesmo sentido, mas não foi
mantida a distância em todos os deslocamentos.
Uma translação transforma uma figura numa outra figura
geometricamente igual.
Todos os pontos da figura transformada (imagem) resultam de
um “deslocamento” de todos os pontos da figura original
definidos por:
• uma direcção;
• um sentido;
• um comprimento.
13 José Carvalho@2007
TRANSLAÇÃO
ISOMETRIAS
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Todos os segmentos orientados que
têm a mesma direcção, o mesmo
sentido e o mesmo comprimento (ou
norma) representam o mesmo
vector.
14 José Carvalho@2007
TRANSLAÇÃO
ISOMETRIAS
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O vector é o representante de todos os
segmentos de recta equipolentes (ou
seja, com a mesma direcção, mesmo
sentido e mesmo comprimento).
15 José Carvalho@2007
TRANSLAÇÃO
ISOMETRIAS
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Um vector fica então definido desde que se conheça:
• a direcção (que é dada pela recta
onde esse vector se encontra: - a recta
suporte do vector)
• o sentido (um dos dois possíveis na
direcção)
• o comprimento (ou norma)
Consideremos o triângulo da
figura abaixo e vamos obter a sua
imagem através da translação
associada ao vector representado
a vermelho.
16 José Carvalho@2007
TRANSLAÇÃO
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1.º passo:
A partir de cada um dos vértices
do triângulo, com régua e
esquadro, vamos traçar paralelas
com a direcção do vector dado
2.º passo:
Abrimos o compasso com
comprimento igual ao do vector
dado
17 José Carvalho@2007
TRANSLAÇÃO
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3.º passo:
Marcam-se as imagens dos vértices, respeitando o sentido
indicado pelo vector
4.º passo:
Traçam-se os lados do novo triângulo cujos vértices são as
imagens obtidas, obtendo-se a translação da figura original
18 José Carvalho@2007
TRANSLAÇÃO
ISOMETRIAS
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Concluindo:
19 José Carvalho@2007
• Uma translação transforma um
segmento de recta num outro
segmento de recta paralelo e
congruente .
PROPRIEDADES DA TRANSLAÇÃO
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• Uma translação transforma um ângulo noutro ângulo
congruente (com a mesma amplitude).
• Uma translação transforma uma figura noutra figura
geometricamente igual.
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Translação associada ao vector u=(1,1)
Pavimentações usando as translações
Pavimentações usando as translações
Reflexão em redor de um eixo.
Dada uma recta L chama-se
reflexão em torno do eixo L ao
movimento que transforma um
ponto C em outro ponto C'
verificando que:
• O segmento CC' é perpendicular a L.
• Os pontos C e C' são equidistantes
do eixo L.
REFLEXÃO
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O que é uma reflexão?
Dito de outra forma o eixo L é a mediatriz do segmento CC'
Reflexão
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Exemplos de Reflexões
A reflexão deslizante é a
combinação de uma reflexão
com uma translação.
REFLEXÃO DESLIZANTE
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O que é uma reflexão deslizante?
A figura que resulta da combinação de uma reflexão com uma
translação chama-se de reflexão deslizante.
O vector associado à translação tem de ser paralelo ao eixo de reflexão
Reflexão deslizante ISOMETRIAS
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O quadrilátero [ABCD] é reflectido segundo uma reflexão obtendo-se
o quadrilátero [A’B’C’D’].
Em seguida, sofre uma translação associada ao vector u, obtendo-se
o quadrilátero [A’’B’’C’’D’’].
Assim, o quadrilátero [A’’B’’C’’D’’] é a imagem do quadrilátero
[ABCD] segundo uma reflexão deslizante.
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SIMETRIAS
ISOMETRIAS
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Existe uma simetria para cada um
dos quatro tipos de isometrias:
• Simetria de Reflexão
• Simetria de Rotação
• Simetria de Translação
• Simetria de reflexão deslizante
Existe, pelo menos, uma reflexão que deixa
a figura globalmente invariante.
… se conseguirmos dobrar a figura de
tal modo que as duas partes obtidas se
sobreponham exactamente
… se conseguirmos colocar um espelho sobre a figura de modo
a que a junção da parte reflectida com a não reflectida seja
exactamente igual à figura toda
SIMETRIA DE REFLEXÃO
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Tal pode ser identificado…
SIMETRIA DE REFLEXÃO
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A simetria de reflexão também se designa por simetria axial;
o eixo de reflexão também se designa por eixo de simetria ou
linha de simetria
Eixo de simetria de uma figura é a recta sobre a qual se faz
a dobra ou se coloca o espelho/mira que divide a figura ao
meio de modo que uma metade da figura seja a reflexão da
outra metade. Caso contrário, a recta não é eixo de
simetria.
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EIXO DE SIMETRIA
2 eixos
1 eixo
6 eixos 1 eixo
Não tem eixos
EIXOS DE SIMETRIA
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2 eixos
Os eixos de simetria duma
circunferência são as rectas
que passam pelo centro.
Uma circunferência tem
uma infinidade de eixos de
simetria.
EIXOS DE SIMETRIA numa circunferência
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EIXOS DE SIMETRIA em polígonos regulares
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Triângulo
3 lados
Quadrado
4 lados Pentágono
5 lados Hexágono
6 lados Octógono
8 lados
3 eixos 4 eixos 5 eixos 6 eixos 8 eixos
Um polígono regular com n lados tem n eixos de simetria
EIXOS DE SIMETRIA em polígonos regulares
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Se o número de lados do polígono
regular é ímpar, cada um dos eixos de
simetria une um vértice ao ponto médio
do lado oposto
EIXOS DE SIMETRIA em polígonos regulares
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Se o número de lados do polígono regular é par, cada
um dos eixos de simetria une dois vértices opostos
ou une os pontos médios dos lados opostos
Existe, pelo menos, uma rotação com uma amplitude
superior a 0º e inferior a 360º que deixa a figura
globalmente invariante.
SIMETRIA DE ROTAÇÃO
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… se conseguirmos girar a figura em
torno de um ponto fixo (centro da
figura), de modo a que a imagem
resultante, através da rotação,
coincida com a figura original.
Tal pode ser identificado…
SIMETRIA DE ROTAÇÃO
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O centro da simetria rotacional é o ponto em torno do qual a
figura roda (centro da figura)
O ângulo da simetria rotacional é o ângulo orientado que
descreve o movimento da figura
Figura original Um terço de volta
120º
Dois terços de volta
240º
Um volta inteira
360º
Exemplos de simetrias de rotação
Esta simetria de reflexão deslizante
caracteriza-se por ser uma reflexão
que envia a pegada de baixo para cima
seguida de um deslizamento que a faz
avançar um passo.
1º A pegada sofre uma reflexão em
torno da recta r.
2º A pegada sofre uma translação na
direcção e no sentido de um vector
paralelo ao eixo de simetria.
r SIMETRIA DE REFLEXÃO DESLIZANTE
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NOTA: Só existe simetria de reflexão deslizante em figuras infinitas
FIM ESCOLA SECUNDÁRIA ANSELMO DE ANDRADE