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Cálculo
Curso de Sistema de Informação
Prof. Ma. Polyanna Possani da Costa Petry
Propriedades do Cálculo de Limite:
Observação: Nem todos os limites podem ser calculados pela substituição direta. Estes são os casos onde a função não está definida no ponto 𝑎 ou ainda lim
𝑥→𝑎𝑓 𝑥 ≠ 𝑓(𝑎).
Vejamos alguns exemplos:
a) lim𝑥→5
𝑥2−25
𝑥−5
b) lim𝑥→4
𝑓 𝑥 , com 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 3 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 4 5 𝑠𝑒 𝑥 = 4
c) lim𝑡→0
𝑡2+9 −3
𝑡2
Propriedades do Cálculo de Limite:
Exercício: Calcule os limites, caso existam:
a) lim𝑥→4
𝑓 𝑥 , com 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 4 𝑠𝑒 𝑥 > 4 8 − 2𝑥 𝑠𝑒 𝑥 < 4
b) 𝑙𝑖𝑚𝑥→0
(3+𝑥)2 −9
𝑥
c) lim𝑥→4
𝑥 − 2
𝑥−4
d) lim𝑥→1
𝑥2−5𝑥+4
𝑥−1
e) lim𝑥→0
𝑥+3 − 3
𝑥
f) lim𝑥→1
𝑥3−3𝑥+2
𝑥2−1
Limites Infinitos
Para discutir limite infinito, consideremos o seguinte limite
lim𝑥→0
1
𝑥2
Observe que para
𝑥 = 0,5 temos 1
(0,5)2=
1
0,25= 4
𝑥 = 0,25 temos 1
(0,25)2=
1
0,0625= 16
𝑥 = 0,1 temos 1
(0,1)2=
1
0,01= 100
𝑥 = 0,01 temos 1
(0,01)2=
1
0,0001= 10.000
𝑥 = 0,001 temos 1
(0,001)2=
1
0,000001= 1.000.000
Limites Infinitos
A medida que 𝑥 se aproxima de 0, 𝑥2 também se aproxima de 0
e desta forma 1
𝑥2 fica muito grande.
Assim, os valores de 𝑓(𝑥) não tendem a um número 𝑎 e
portanto não existe lim𝑥→0
1
𝑥2.
Limites Infinitos
Para indicar esse comportamento, usamos a notação lim𝑥→0
1
𝑥2 = ∞
Alguns outros casos:
FIGURAS
A reta 𝑥 = 𝑎 é chamada de assíntota vertical da curva 𝑦 = 𝑓 𝑥 .
Limites Infinitos
Exemplos: Calcule os limites.
1) lim𝑥→0
1
𝑥3
2) lim𝑥→3+
𝑥2+𝑥+2
𝑥2−2𝑥−3
Exercício: Calcule os limites e encontre as assíntotas verticais.
1) lim𝑥→3−
𝑥2+𝑥+2
𝑥2−2𝑥−3
2) lim𝑥→3
5
𝑥−3 2
Limites no Infinito
Para discutir limite no infinito, consideremos o seguinte limite
lim𝑥→∞
1
𝑥2
Observe que para
𝑥 = 10 temos 1
102 =1
100= 0,01
𝑥 = 100 temos 1
1002 =1
10.000= 0,0001
𝑥 = 1.000 temos 1
1.00002 =1
1.000.000= 0,000001
Se 𝑟 > 0 for um número racional então
lim𝑥→∞
1
𝑥𝑟 = 0 e lim𝑥→−∞
1
𝑥𝑟 = 0
Limites no Infinito
Para calcular o limite no infinito de uma função racional, primeiro dividimos o numerador e o denominador pela maior potência de 𝑥.
Exemplo:
lim𝑥→∞
3𝑥2 − 𝑥 − 2
5𝑥2 + 4𝑥 + 1
Exercício: Calcule os limites
1) lim𝑥→∞
2𝑥2
𝑥2+1
2) lim𝑥→∞
4𝑥−3
2𝑥+5
3) lim𝑥→−∞
2𝑥2−𝑥+5
4𝑥3−1
Limites Trigonométricos
Antes de prosseguirmos, lembremos de algumas identidades trigonométricas.
Algumas Identidades Fundamentais:
• cossec 𝜃 =1
sen 𝜃
• sec 𝜃 =1
cos 𝜃
• tg 𝜃 =sen 𝜃
cos 𝜃
• cotg 𝜃 =1
tg 𝜃
• sen2𝜃 + cos2 𝜃 = 1
• 1 + tg2 𝜃 = sec2 𝑥
Limites Trigonométricos
Primeiro Limite Fundamental
lim𝑥→0
sen 𝑥
𝑥= 1
A partir do primeiro limite fundamental e utilizando algumas identidades trigonométricas podemos calcular muitos outros limites trigonométricos.
Vejamos alguns exemplos:
a) lim𝑥→0
sec 𝑥−1
𝑥2 sec 𝑥
b) lim𝑥→0
tg 𝑥
𝑥
c) lim𝑥→0
sen 3𝑥
𝑥