apresentaÇÃo -...

MATEMTICA

ENSINO MDIO I

Proibida reproduo deste material em parte ou no todo, propriedade do CIP Lei n 9.610

1

APRESENTAO

Caro Aluno,

Voc est recebendo um material inovador, designer ousado, elaborado para fornecer

subsdios que o auxiliem a completar seus estudos. Neste volume, encontrar os assuntos

correspondentes a Matemtica 1 Srie do Ensino Mdio.

Os contedos selecionados permitem que voc desenvolva competncias que o conduzam

a:

Ser capaz de continuar aprendendo;

Preparar-se para o trabalho;

Desenvolver o senso crtico e esttico;

Inferir a teoria a partir da prtica.

Abra, leia, aproveite e vena todos os obstculos, pois o sucesso vai depender de seu

esforo pessoal, logo:

Voc precisa ler todo material de ensino; Voc deve realizar todas as atividades propostas Voc precisa organiza-se para estudar.

Nesse contexto, Gethe recomenda: Qualquer coisa que voc possa fazer ou sonhar,

voc pode comear. A coragem contm em si mesma o poder, o gnio e a magia.

Bom Estudo! Equipe do Polivalente

COLGIO INTEGRADO POLIVALENTE Qualidade na Arte de Ensinar

MATEMTICA

ENSINO MDIO I


2

SUMRIO

APRESENTAO ............................................................................................. 1 SUMRIO ....................................................................................................... 2 INTRODUO................................................................................................. 4 FUNES........................................................................................................ 5

SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL ............................................................................................. 5 PAR ORDENADO ............................................................................................................................ 5 DIAGRAMAS .................................................................................................................................. 5 DOMNIO, CONTRADOMNIO E IMAGEM DE UMA FUNO ............................................................ 6

EXERCCIO ............................................................................................................................... 6 TESTES ..................................................................................................................................... 6

ESTUDO DO DOMNIO DE FUNES ............................................................... 7 FUNO FRACIONRIA ................................................................................................................. 7 FUNO IRRACIONAL ................................................................................................................... 7

EXERCCIO ............................................................................................................................... 8 TESTES ..................................................................................................................................... 9

FUNO DO PRIMEIRO GRAU....................................................................... 10 GRFICO DA FUNO LINEAR..................................................................................................... 10

FUNO LINEAR (Y=AX) ........................................................................................................ 10 FUNO CONSTANTE (Y=B) ................................................................................................... 11 EXERCCIOS ........................................................................................................................... 11 TESTES ................................................................................................................................... 11

FUNO QUADRTICA ................................................................................. 12 O GRFICO DA FUNO QUADRTICA......................................................................................... 12 RAZES OU ZEROS DA FUNO QUADRTICA.............................................................................. 13 VRTICE DA FUNO QUADRTICA............................................................................................. 13

EXERCCIOS ........................................................................................................................... 14 TESTES ................................................................................................................................... 14

FUNO INVERSA E FUNO COMPOSTA ..................................................... 16 FUNO INVERSA ....................................................................................................................... 16 FUNO COMPOSTA .................................................................................................................... 16


EQUAO MODULAR .................................................................................... 17 1 CASO ...................................................................................................................................... 17 2 CASO ...................................................................................................................................... 17


EQUAES EXPONENCIAIS .......................................................................... 19 SOLUO DE UMA EQUAO EXPONENCIAL................................................................................ 19 RESOLUO DAS EQUAES EXPONENCIAIS ELEMENTARES....................................................... 19 RESOLUO DAS EQUAES EXPONENCIAIS QUE ENVOLVEM ARTIFCIOS................................. 19


COLGIO INTEGRADO POLIVALENTE Qualidade na Arte de Ensinar

MATEMTICA

ENSINO MDIO I


3

LOGARITMOS ............................................................................................... 21

DEFINIO ................................................................................................................................. 21 CLCULO PELA DEFINIO ......................................................................................................... 21 LOGARITMOS DECIMAIS ............................................................................................................. 21

EXECCIOS ............................................................................................................................. 21 TESTES ................................................................................................................................... 21

PROPRIEDADE OPERATRIAS DE LOGARITMOS .......................................... 22 LOGARTMO DE UM PRODUTO..................................................................................................... 22 LOGARTMO DE UM QUOCIENTE.................................................................................................. 22 LOGARTMO DE UMA POTNCIA.................................................................................................. 22 LOGARTMO DE UM RADICAL ...................................................................................................... 22


TRIGONOMETRIA ......................................................................................... 24 ARCOS DE CIRCUNFERNCIA ...................................................................................................... 24 O CRCULO TRIGONOMTRICO.................................................................................................... 25 EXPRESSO GERAL DE UM ARCO................................................................................................. 25

FUNES CIRCULARES ........................................................................................................... 25 EXERCCIOS ........................................................................................................................... 26 TESTES ................................................................................................................................... 26

TRIGONOMETRIA ......................................................................................... 27 MUDANA DE QUADRANTE.......................................................................................................... 27 ARCOS COMPLEMENTARES .......................................................................................................... 27


GLOSSRIO.................................................................................................. 30 CONSIDERAES FINAIS ............................................................................. 31

MATEMTICA

ENSINO MDIO I


4

INTRODUO

Voc esta recebendo o mdulo de Matemtica relativo ao Ensino Mdio. Voc ter

contato com teorias importantes que vo proporcionar um desempenho eficiente durante o seu Curso.

Este material didtico foi produzido pela Equipe do Colgio Polivalente, como uma

contribuio que orientar a Educao de Jovens e Adultos, terceiro segmento, constitudos de 1, 2

e 3 sries do Ensino Mdio.

Nossa linha de trabalho abre um caminho atraente e seguro pelas seqncias das

atividades leitura, interpretao, reflexo e por fazer com que o aluno aprenda aliando a teoria

pratica. Nessa busca temos aprendido que desenvolvemos competncias quando vamos alm daquilo que

esperado de um aluno, quando fazemos, mais do que apenas cumprir com o nosso dever.

Foi assim que nos tornamos pioneiros com iniciativas como a Educao a Distncia,

alternativa que aparece como soluo para aqueles que buscam conhecimento acadmico, no tiveram

acesso educao na poca certa, e tm pouca disponibilidade de tempo.

Para viabilizar iniciativas como essa no bastou uma deciso do Polivalente. Contamos

com a colaborao de muitos profissionais, trazendo informaes, vises, experincias, tecnologias, todos

com o objetivo em comum: a coragem de mudar na busca de um ensino de qualidade.

A coordenao e Tutores/Professores ir acompanh-lo em todo o seu percurso de

estudo, onde as suas dvidas sero sanadas, bastando para isso acessar o nosso site:

www.colegiopolivalente.com.br.

Equipe Polivalente

MATEMTICA

ENSINO MDIO I


5

FUNES

As funes representam um importante captulo da Matemtica. Atravs deste conceito o homem pode se informar sobre a evoluo de processos fabris, comerciais e econmicos. Em Botnica, por exemplo, podemos observar que a fotossntese funo da intensidade de luz que chega at a planta. Em Fsica citamos o exemplo de um mergulhador que sente maior presso quando vai para lugares mais fundos, isto , a presso funo da profundidade. E em Matemtica faremos um estudo deste assunto lembrando que ele est presente em todas as reas do conhecimento humano.

SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL

O Sistema Cartesiano Ortogonal um plano (superfcie entre duas retas) onde dois eixos graduados encontram-se em uma origem e formam entre si 90. O eixo horizontal o eixo dos x e o eixo vertical o eixo dos y.

PAR ORDENADO

Para cada ponto P de um plano existe um valor de X denominado abscissa e um valor de y chamado ordenada . A abscissa, x, corresponde a distncia horizontal entre o ponto P e a origem. A ordenada, y, corresponde a distncia vertical entre o ponto p e a origem.

coordenada que define a posio de um ponto sobre uma

linha; primeira das coordenadas que definem, no sistema cartesiano, a posio de um ponto no plano e no espao.

ordenadas segunda das coordenadas que, no sistema cartesiano, definem a posio de um ponto no plano e no espao.

Ex.: A (2,3) onde x=2 e y=3 B (-2,5) onde x=-2 e y=5 C (0,6) onde x=2 e y=6 D (-4,-5) onde x=-4 e y=-5 Veja como o ponto P(x,y) = P(4,3) posto no plano cartesiano.

Coloque os seguintes pontos no plano cartesiano ortogonal abaixo: A (2,5) B (-2,-4) C (-3,-2) D (5,-4) E (0,8) F (5,0) G (-3,0)

DIAGRAMAS

Os diagramas so representaes grficas que nos permitem trabalhar as funes como na Teoria dos Conjuntos, segundo a Matemtica Bsica. Assim usamos os nmeros x para o conjunto de partida e os nmeros y no conjunto de chegada. Consideramos que dois conjuntos A={1,2,3} e B={1,2,3,4,5,6,7} esto ligados atravs de y=2x onde y=f(x) e f:AB (funo de A em B) tal que x A e y B. Ento todos os elementos do conjunto A sero valores de x que substitudos em y=2x daro como resultado valores y os quais estaro presentes no conjunto B. Vejamos o que ocorre com os diagramas.

A justia de Deus varrer montanhas de injustias.

MATEMTICA

ENSINO MDIO I


6

DOMNIO, CONTRADOMNIO E IMAGEM DE UMA FUNO

O conjunto A recebe o nome de conjunto de partida ou Domnio da Funo e o conjunto B tem o nome de conjunto de chegada ou Contradomnio da Funo. O conjunto de valores de B que servem a funo tem o nome de Imagem da Funo. Notao

A= {1,2,3} Domnio da funo = D(f) B= {1,2,3,4,5,6,7} Contradomnio da funo = Cd(f) {2,4,6} Imagem da funo = Im(f)

Quando diagramas representam funes observamos que todos os valores do domnio so usados e deles sai apenas uma nica seta na direo do contradomnio.

EXERCCIO

01. Considerando A= {0,2,4,6,8} e B=

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} e f:A B definida pela lei matemtica y=x+1 d o que se pede, abaixo:

a) D(f) b) Cd(f) c) Im(f) d) f(4) e) f(0) f) Mostre a representao de diagramas da funo. 02. Represente no plano cartesiano os seguintes

pontos: a) A(4,2) b) B(2,4) c) C(-2,5) d) D(5,-2) e) E(-4,-1) f) F(-1,4) g) G(-6,0) h) H(0,-6) i) I(0,0)

TESTES

01. Qual a resposta certa considerando f:DE

definida por f(x)=x2 e sabendo que D={1,3,5,7,9}, E={1,4,9,16,25,36,49,6481,100}?

a) D(f)=E b) Cd(f)={1,3,5,7,9} c) Im(f)={1,4,9,16,25,36,49,64,81,100} d) f(1)=100 e) Im(f)={1,9,25,49,81}

02. D a soma das alternativas corretas, abaixo, considerando f:RR definida por Y=x2-5x+6.

01) D(f)=R 02) Cd(f)=R 04) f(0)=6 08) f(2)=0 16) f(3)=0 32) f(-1)=23 64) f(0)=0 03. Considerando que a funo f(x)=ax+b,f(2)=7 e

f(-5)=-7 marque nica resposta certa, nas opes a seguir.

a) a=3 e b=2 b) a+b=5 c) a-b=2 d) a=b e) b=2 04. Considerando h:RR e j:RR so definidas por

h(x)=2x+m e j(x)=5x-n d a soma das alternativas corretas sabendo que h(3)=9 e j(1)=3.

01) m+n=5 02) h(0)+j(0)=1 04) 2.h(3)-6.j(1)=0 08) m.n=h(3)-j(1) 16) n2.m2=216 32) h(0)-=j(1) 64) m-n=-1

05. (CEFET- Adaptada) Se f(x)=3x -x2

ento f(5)

vale: a) 73/5 b) 5 c) 73 d) 2/5 e) 1/5 06. (CEFET Adaptada) Considerando g:RR

definida por g(x) = x2 -3x +2 e as afirmaes abaixo, soma das alternativas corretas :

01) g(0)=2 02) g(1)=9(0) 04) O valor de x para que g(1) + 4.g (x) +1-0 3/2 08) g(-1)=g(-2) 16) g(2)=g(-2) 32) g(-1)=6 07. Diz-se que uma relao entre dois conjuntos A e

B uma funo ou aplicao de A em B, quando todo elemento de:

a. ( ) B imagem de algum elemento de A. b. ( ) B imagem de um nico elemento de A. c. ( ) A possui, no mnimo, uma imagem em B. d. ( ) A possui, somente uma imagem em B.

Aquietai-vos e sabei que eu sou Deus. (Salmo 46:10)

MATEMTICA

ENSINO MDIO I


7

08. Para localizar de maneira rpida qualquer ponto da cidade e calcular a distncia entre dois pontos quaisquer, a polcia de So Paulo associa um sistema cartesiano planta da cidade, em que cada unidade nos eixos corresponde a 1 km, como mostra a figura:

Certo dia, ocorreu um acidente no ponto P(12,1) e uma viatura policial partiu no ponto Q(24,6), percorrendo um trajeto reto at P. Quantos quilmetros percorreu a viatura ? 09. (Fuvest-SP) Na figura esto representados

geometricamente os nmeros reais 0, x y e 1. Qual a posio do nmero xy?

0 x y 1 a) esquerda de 0. b) Entre 0 e x. c) Entre x e y. d) Entre y e 1. e) direita de 1. 10. (Cesgranrio) O valor de um carro novo de

R$ 9.000,00 e, com quatro anos de uso, de R$ 4.000,00. Supondo que o preo caia com o tempo, segundo uma linha reta, o valor de um carro com um ano de uso :

a) R$ 8.250,00 b) R$ 8.000,00 c) R$ 7.750,00 d) R$ 7.500,00 e) R$ 7.000,00

ESTUDO DO DOMNIO DE FUNES

Quando estudamos o domnio de uma funo estamos definindo os valores da varivel (x) que servem funo: No caso de uma funo polinomial simples no h muito a se estudar visto que o domnio irrestrito. Como, por exemplo, podemos afirmar que

f:RR definida por f(x)=x3 + 2x2- 7x5

+8 uma

funo onde D(f)=R, pois qualquer valor de x, quando substitudo em f(x) produz nmeros Reais, isto , f(x) R.

FUNO FRACIONRIA

Quando uma funo se apresenta como uma frao percebemos que, em nenhum momento, o denominador pode ser nulo. Observemos, abaixo, alguns exemplos de fraes:

155

= 515

= 050

= =05 (no existe)

Ento uma funo que apresente denominador nulo (igual a zero) no ser definida.

Consideremos f:RR definida por f(x)=3x1x5

Como o denominador no pode ser nulo podemos escrever x-3 0 x 3 Isto significa que o domnio da funo, D(f), so todos os nmeros Reais menos o nmero trs. Podemos notar assim: D(f)={x R/x3} x pertence a R tal que x diferente de trs D(f)=R-{3} todos os Reais menos o trs. Isto quer dizer que quando x=3 f(x) =

porque f(x) 0

1x5331x5

3x1x5

=

= = (note o

denominador nulo) Como o numerador feito de uma funo polinomial simples no h o que estudar nele.

FUNO IRRACIONAL

Quando uma funo apresenta a varivel no interior de um radical conhecida com funo irracional. Neste caso temos que analisar duas situaes bsicas:

Radical com ndice impar. Radical com ndice par.

No caso de ndice mpar o domnio , sempre, o conjunto dos Reais. Para justificar esta afirmao recorremos s operaes seguintes:

Pai, obrigado por me aceitares com todas as minhas falhas. Ajuda-me aceitar os outros. Amm

MATEMTICA

ENSINO MDIO I


8

2532 = pois 2 325=

33 27 = pois ( ) 2733 = Isto significa que, neste caso, existe resposta para qualquer tipo de radicando, seja ele positivo ou negativo. Ex.: Considerando f:R, definida por

f(x)=3 12x3 no h necessidade de se analisar o radicando porque o ndice mpar e D(f)=R. No caso de ndice par as funes irracionais comportam-se como os exemplos a seguir:

25 = 5 pois 5 252= mas 49 = pois no existe um nmero que , elevado ao quadrado, seja -49 Por isso

No se admite radicando negativo quando o ndice um nmero par

Exemplo: Determine o domnio das funes f:R R e g:RR abaixo:

F(x)= 3 9x3

G(x)= 9x3

Logo o domnio de g(x) so todos os nmeros Reais maiores ou iguais a trs. Ento: D(g)={xR/x3} De fato, para nmeros maiores que 3, g(x) fica definida pois seu radicando positivo ou nulo.

No podemos esquecer que 0n0 = e, portanto

00 = existe no campo dos nmeros Reais.

EXERCCIO

01. Encontre o domnio D(f) das seguintes funes f:RR a) f(x)= 3x2-2x+1

b) f(x)=6x31x2

c) f(x)= 2 6x52x + d) f(x)= 30x5 02. Represente no eixo real o domnio de cada uma das funes:

a) f(x)= 3 1x2

5

b) f(x)= ( )( )( )5x41x21x6

c) f(x)= + 2x6

1

15x

1

d) f(x)= 1x42x

1x1

+

+

Neste caso (ndice mpar=3) qualquer valor de x serve ao radicando e devido a isso D(F)=R

Neste caso (ndice mpar=2) o radicando no pode ser negativo e assim 3x-9 0 3x 9

X 39

X 3

MATEMTICA

ENSINO MDIO I


9

TESTES

01. Marque a resposta certa

considerando a funo f:RR definida por f(x)= 2x3+3x2-1

a) D(f)=R b) D(f)={xR/x=0} c) D(f)=R-{2} d) D(f)={ } e) D(f)=N

02. D a soma das alternativas corretas, abaixo

considerando f:R definida por y=92x

5x

01) D(f)={xR/x 5} 02) D(f)={xR/x 3} 04) D(f)=R-{-3,3} 08) D(f)=R 16) D(f)=R-{-9,9} 32) D(f)={xR/x 9}

3. Considerando h(x)=1252x5

1x3

o conjunto que

melhor representa o domnio D(h) pode ser notado por:

a) D(h)={xR/ 5} b) D(h)={xR/ 25} c) D(h)={xR/-5

MATEMTICA

ENSINO MDIO I


10

FUNO DO PRIMEIRO GRAU

Denominamos funo do 1 grau quela f:RR definida por y=ax+b na qual a,b R e a 0. Casos Particulares

Y=ax (b=0) funo linear Y=x(a=1,b=0) funo identidade

GRFICO DA FUNO LINEAR

O grfico da funo linear uma reta que utiliza o plano cartesiano ortogonal como referncia. Veja, abaixo, a representao grfica da funo y=3x-1

ATENO Quando: a>0 a funo crescente a0 a funo corta o eixo y na parte superior do mesmo b

MATEMTICA

ENSINO MDIO I


11

a) f(x)=2x=2 b) f(x)=-x+3

FUNO CONSTANTE (Y=B)

uma funo na qual o valor de x est omitido. Aparece, apenas, o valor numrico de b. Um exemplo y=2 e y=3. Veja o grfico abaixo:

EXERCCIOS

Dado o plano cartesiano abaixo trace os grficos das seguintes funes usando cores distintas em cada um deles. a) f(x)=x+1 b) f(x)=-2x-3 c) f(x)=-x

02. Um vendedor recebe a ttulo de rendimento mensal um valor fixo de R$ 160,00 e mais um adicional de 2% das vendas por ele efetuadas no ms. Com base nisso:

a) Complete a tabela com os rendimentos mensais desse vendedor nos meses de abril a junho:

Vendas (R$)

Rendimentos (R$)

Abril 8.350 Maio 10.200 Junho k

b) D uma equao que expresse o rendimento

mensal y desse vendedor em funo do valor X de suas vendas mensais, e construa o grfico dessa funo:

03) Toda funo f:RR tal que f(x)=ax, com a0,

chamada de funo linear. Pode-se afirmar que:

a) toda funo linear crescente em todo seu domnio.

b) toda funo linear decrescente em todo seu domnio.

c) o grfico de uma funo linear uma reta que passa pela origem do sistema de coordenadas.

d) existem funes lineares com raiz positiva . e) existem funes lineares com raiz negativa.

TESTES

01. Marque a resposta certa considerando o grfico

da funo f(x)=2

1x

a) uma reta crescente que corta o eixo Y em y= -1. b) No uma reta. c) uma reta decrescente que passa pela origem. d) uma reta crescente que corta o eixo Y abaixo

de zero. e) uma reta decrescente que corta o eixo vertical

e y=1/2. 02. D a soma das alternativas corretas, abaixo,

considerando a funo Y=2x-31

01) O grfico da funo passa pela origem do plano cartesiano ortogonal.

02) uma funo crescente.

MATEMTICA

ENSINO MDIO I


12

04) A raiz da funo 1/6. 08) O ponto (0,-3) faz parte do grfico. 16) A funo corta o eixo vertical em y=-1/3. 32) O grfico da funo uma reta paralela ao eixo

horizontal. 03. Um mvel percorre, com velocidade constante e

igual a 3 m/s, uma estrada retilnea. Considerando t o tempo gasto em segundos e x a distncia percorrida em metros, determine o valor da distncia, em metros, percorrida depois de oito segundos de movimento.

04. Considerando as afirmaes abaixo, a soma das

alternativas corretas : 01) Se y=3x-7 ento, quando x=o, y=-4. 02) As retas Y1=12x e Yz=5x+14 se encontram

quando x=2. 04) O grfico da funo f(x)=4x-1 uma reta decrescente. 08) O grfico da reta Y=-3x-3 passa pela origem. 16) A funo f(x)=10-10x se anula quando x=0.

32) O valor de f(x)= 2

x53 para x=4 -17.

05. Seja f:RR definida por f(x)= ax-b, calcule os

valores de a e b respectivamente, sabendo que f(0)=-5 e f(1)=-2.

06. Calcule a soma das alternativas abaixo, que

correspondem s respostas corretas.

01) f(x)=6

1x3

02) O grfico de y=9+7x3

corta o eixo vertical Y no

ponto y=9. 04) Para encontrar o valor da raiz da funo f(x)=

x-1 devemos fazer f(x)=0. 08) A funo do primeiro grau que passa pela

origem dos eixos ortogonais possui termo independente nulo.

16) Toda funo do primeiro grau tem termo independente nulo.

07. (Unicamp-SP) O grfico da funo y = mx + n

passa pelos pontos A(1,3) e B(2,8). Pode-se afirmar que:

a) f(3) = 10 b) f(4) = 12 c) f(x) < 0 x < 3

d) f(x) > 0 x > 52

FUNO QUADRTICA

Quando uma funo polinomial apresenta, no termo de maior grau, a varivel elevada a segunda potncia dizemos que a funo do segundo grau ou quadrtica. Podemos generalizar a funo do segundo grau notando-a por f(x)=ax2+bx+c. Abaixo apresentamos alguns exemplos da funo quadrtica. Exemplos:

Y=3x2+4x-5 a=3 b=4 c=-5 F(x)=x2+5x a=1 b=5 c=0 Y=-5x2+7 a=-5 b=0 c=7

O GRFICO DA FUNO QUADRTICA

Toda funo quadrtica pode ser representada por uma parbola.

Abaixo encontramos uma parbola que foi construda a partir da funo f(x)=-x2+4. Os valores do eixo vertical (y) so obtidos pela substituio dos valores do eixo horizontal (x) conforme a tabela a seguir.

Em seguida apresentamos f(x)=x2

MATEMTICA

ENSINO MDIO I


13

Agora vejamos o caso onde f(x)=x2-5x+6

Na construo dos grficos das funes quadrticas podemos utilizar o mtodo tradicional de substituio dos valores de x em f(x). No entanto existem regras prticas que nos permitem traar estes grficos atravs de conceitos associados s formas das figuras representadas. Vejamos quais so eles: Seja f(x)=ax2+bx+c

Quando o sinal de a for positivo a curva ter concavidade voltada para cima e quando o sinal de a for negativo a curva ter concavidade voltada para baixo.

A curva corta o eixo vertical (y) em um ponto de coordenadas (0,c) onde c o termo independente .

O sinal de b determina se, no ponto de corte vertical, a funo crescente, quando b positivo, ou decrescente quando b negativo.

RAZES OU ZEROS DA FUNO QUADRTICA

So os pontos do eixo horizontal para os quais a funo se anula, ou seja, f(x)=0. Quando uma funo quadrtica apresenta todos os termos em x fica caracterizada uma expresso que, igualada a zero, se transforma em uma equao do segundo grau completa. Neste caso ax2+bx+c=0. Para resolver esta equao utilizamos a Frmula de Bhskara.

concavidade forma cncava de um objeto; o contrario de

convexo.

X=a2

ac42bb

Frmula de Bhskara

VRTICE DA FUNO QUADRTICA

O vrtice da funo quadrtica conhecido como o ponto em que a funo troca de sentido passando de crescente para decrescente ou vice versa. Este ponto apresenta coordenadas V(X 1v Y v ) definidas abaixo.

a2b

vX

= a4v

Y

= onde =b2 -4ac

Exemplo:

Seja construir o grfico da funo f(x)=x2 -6x+5 utilizando os conceitos. a=1 Concavidade voltada para cima porque a>0 c=5 A funo corta o eixo vertical no ponto (0,5)... b=-6 Descendo porque b

MATEMTICA

ENSINO MDIO I


14

Nas condies o grfico da funo pode ser representado abaixo.

CURIOSIDADE

Em vrias situaes do dia-a-dia pode-se perceber a presena da parbola. a) Quando lanamos uma pedra obliquamente para

cima, sua trajetria parablica.

b) Quando acendemos o farol do carro, os raios de

luz provenientes da lmpada incidem num espelho parablico e so refletidos paralelamente ao eixo de simetria.

Como se v, embora poucos saibam o nome dessas curvas, ela faz parte do nosso cotidiano.

EXERCCIOS

01. Determine os valores de a,b e c em y=3x2+5x-2 02. Calcule as razes de f(x)=X2-x-20 03. Escreva uma funo quadrtica em que o grfico

tenha concavidade para cima.

TESTES

01. Qual deve ser o valor de f(2) considerando a

funo quadrtica f(x)=4x2-2x a)12 b)16 c)4 d)20 e)8 02.D a soma das alternativas corretas abaixo. 01) O grfico da funo y=5x2-6x+1 corta o eixo

vertical no ponto (0,6). 02) A funo f(x)=-x2+2x+3 possui razes iguais a

x=-1 e x=3. 04) O vrtice da funo apresentada na alternativa

anterior o ponto (1,4). 08) Uma funo quadrtica tem concavidade para

baixo quando b

MATEMTICA

ENSINO MDIO I


15

06. A equao que melhor representa o grfico abaixo :

a) f(x)=x2 b) f(x)=3x2-6x+5 c) f(x)=x2-5x+5 d) f(x)=x2-6x+5 e) f(x)=x2-5x+6 07. Calcule a soma das alternativas abaixo,

correspondentes s respostas corretas. 01) (UFPE - Adaptada)- O custo C, em reais, para se

produzir n unidades em uma fbrica dado por C=2510-100n+n2. Ento para se obter custo mnimo a fbrica dever produzir 50 unidades.

02) (UEL - Adaptada)- A funo real f, de varivel real, dada por f(x)=-x2+12x+20, tem um valor mximo, igual a 72, para x=12.

04) (FUVEST Adaptada)- O grfico de f(x)=x2+bx+c, onde b e c so constantes, passa pelos pontos (0,0) e (1,2). Ento f(-2/3) vale -2/9.

08) A funo f(x)=x2+1 possui um grfico que corta duas vezes o eixo x.

16) O grfico de f(x)=10x2=3x+1 corta o eixo y de forma crescente.

08. Para que a funo f(x) = -x + 4x + 2 seja

decrescente, os valores de x devem ser: a) {x |R x 2} b) {x |R x 2} c) {x |R x -1} d) {x |R x -1} e) NDA 09. O nmero de solues inteiras da inequao

x - 10x + 21 < 0 : a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

10. Os grficos a seguir representam uma funo do 2 grau do tipo f(x) = ax + bx + c. Em relao aos grficos, pode-se afirmar que:

a) a funo positiva com < 0, para valores de

a > 0. b) a parbola no corta o eixo x, para valores de

a < 0. c) a funo tem valor mximo para valor de > 0. d) a parbola corta o eixo x, porque o = 0. e) NDA 11. Considerando a funo real de |R em |R definida

por f(x) = x + 2x, o valor de f(-1) + f(2) : a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3

Coragem agir em obedincia orientao de Deus.

MATEMTICA

ENSINO MDIO I


16

FUNO INVERSA E FUNO COMPOSTA

FUNO INVERSA

Seja f:AB uma funo f(x) que possui todos os elementos do Contradomnio (B) associados a todos do Domnio (A). Ento f(x) admite uma inversa f-1(x) que uma aplicao de B em A, ou seja f-1:BA, isto , todos os elementos de B formam, agora, o Domnio f-1(x) enquanto que os elementos de A formam seu Contradomnio. O mtodo utilizado para encontrar y=f-1(x) consiste de dois passos simples:

1 trocar x por y 2 isolar y Exemplo: Encontrar a inversa de y=3x-8 Primeiro passo x=3y-8

Segundo passo

+=

+==

38x

y

8xy3)1( x8y3

FUNO COMPOSTA

Sejam f:AB e g:BC funes definidas por leis matemticas especficas. Podemos afirmar que existe uma composio destas funes quando uma delas se apresenta como varivel da outra. Assim surge a idia de funo composta.

Observao fg=f(g(x)) f composta com f gf=g(f(x)) g composta com f

Consideremos, como exemplo, os conjuntos A={0,1,2,3}, B={1,2,3,4} e C={0,1,2,4,5,9,10,16} e as funes f:AB e g:BC definidas por f(x)=x+1 e f(x)=x2. Ento podemos notar a existncia de uma funo g f (g composta com f) de domnio D(f)=A e contradomnio Cd(f)=C. Para obtermos g f devemos considerar f(x) como a varivel de g(x). Ento g f= g[f(x)]. Como g(x)=x2 conclumos que G[f(x)]=[f(x)]2=[x+1]2 Os diagramas destes conjuntos e suas funes so:

EXERCCIOS

01. Determine a inversa de y=x+1. 02. Determine a inversa de 2y=x2. 03. Sendo f:RR e g:RR definidas por f(x)=2x e

g(x)=x2 encontre g f. 04. Considerando o exerccio anterior determine f

g. 05. Sendo f:RR definida por f(x)=3x determine f

f.

TESTES

01. Um estudante ao responder uma questo sobre

funes inversas errou ao afirmar que a inversa de y=3x+1 y=-1-3x. Qual deveria ser a resposta certa?

a) y=3

3x

b) y=3

1x

c) y=(3x+1)-1

d) y=( )

9

11x3 +

e) y=(3x-1)-1

MATEMTICA

ENSINO MDIO I


17

02. Considerando f:RR definida por f(x)=5x-1 podemos afirmar que a soma das alternativas corretas abaixo :

01) f(2)=9 02) f-1(3)=0,8

04) f-1(x)=5

1x +

08) ff=25x-6 16) f(-1)=19 03. (UFPE) Seja g:RR uma funo tal que, para

todo x,g(2x+3)=2x. O valor de g(5) : a) 10 b) 32 c) igual a g(13) d) 2 e) Impossvel de calcular apenas com esses dados. 04. (UFBA Adaptada) D a soma das alternativas

corretas considerando o enunciado a seguir: 01) O domnio de f(x)=7x/(x+2) R. 02) O domnio de f(x)=3x+4 R. 04) f(x)=(3x+2)/2x a funo inversa de

g(x)=2/(2x-3). 08) Sendo f(x)=2x+4, ento sua inversa

f(x)=(x/2)-2. 16) Sendo f(x)=4x2-7x, ento f(-1)=11. 05. (UFMG) Seja f:RR uma funo tal que

f(x+1)=2f(x)-5 e f(0)=6. O valor de f(2) : a) 0 b) 3 c) 8 d) 9 e) 12 06. (VUNESP Adaptada) Considere as funes

f(x)=2x +3 e g(x)=ax+b e o conjunto C, dos pontos (a,b) R2 tais que fg=gf. Calcule a soma das alternativas que correspondem s respostas corretas.

01) a+b=0 02) 3(a-1)=b 04) 3a=4 08) 3a-b=3 16) 2a-3b=7 07.(CONSART) O grfico de uma funo f o

segmento de reta cujos extremos so os pontos (-3,4) e (3,0). Se f-1 a funo inversa de f, ento f-1(2) :

a) 2 b) 0

c) 23

d) -23

e) no definida

EQUAO MODULAR

Uma equao dita modular quando a varivel se encontra entre as duas barras que caracterizam o mdulo. Em sua forma bsica f(x)=|x| definida para todo x real tal que

|x|=x se x0 |x|=x se

MATEMTICA

ENSINO MDIO I


18

EXERCCIOS

01. Nos itens abaixo descubra os valores das

incgnitas. a) |x|=3 b) |x-1|=8 c) |x+5|=0 d) |2x-3|=8x e) |-2x+1|=x+2

TESTES

01. Marque a resposta certa considerando a

resposta da equao modular |x-3|=5 a) S={0,0} b) S={-2,0} c) S={0,8} d) S={-2,8} e) S={1,0} 02. D a soma das alternativas corretas, abaixo,

considerando f(x)=|x-1| 01) f(2)=1 02) f(-1)=-2 04) f(0)=-1 08) f(4)=3 16) f(-10)=11 32) f(1)=f(-1)

03. Sabendo que 3

2x =1 marque a nica resposta

certa, nas opes a seguir. a) S={1,0} b) S={-1,5} c) S={0,0} d) S={5,5} e) S={3,4} 04. Considerando |2x-1|=|4x+3| e as afirmaes

abaixo a soma das alternativas corretas : 01) -2 uma das solues da equao. 02) A equao apresenta uma soluo. 04) A equao apresenta duas solues. 08) -1/3 soluo da equao. 16) x=0 soluo da equao. 32) S={2,4}

05. Marque a resposta correta considerando o conjunto soluo da equao |-2x+1|=x+2.

a) S={1,0} b) S={1,3} c) S={-1/3,3} d) S={0} e) S={3} 06. (UFSC Adaptada) Considere a funo f:RR

dada por f(x)=|2x+5|. Determine a soma dos nmeros associados s proposies corretas.

01) f(0)=0 02) O valor mnimo assumido por f zero. 04) O grfico de f intercepta o eixo y no ponto de

coordenadas (0,5). 08) O grfico de f uma parbola. 16) f uma funo do segundo grau. 07) (PUC-MG) O grfico da funo f(x)=x2-4.|x|+3

:

MATEMTICA

ENSINO MDIO I


19

EQUAES EXPONENCIAIS

So equaes que apresentam a varivel localizada no expoente de uma expresso algbrica. Ex: 3x=9 52x=625 Nesta categoria de equaes esto presentes as propriedades das potncias.

SOLUO DE UMA EQUAO EXPONENCIAL

Para resolvermos uma equao exponencial precisamos transformar a equao em igualdade de mesma base, isto , devemos obter potncias de mesma base nos dois membros da equao, nos quais aplicaremos as propriedades estudadas em potenciao.

RESOLUO DAS EQUAES EXPONENCIAIS ELEMENTARES

Seja resolver a seguinte equao exponencial: 2x=64 Para isso conservamos o primeiro membro (2x) e fatoramos o segundo: 2x=26 Desta maneira igualamos as bases dos dois membros, e seus expoentes, portanto, so iguais. Ento conclumos que x=6 pelas razes anteriores. S={6}

RESOLUO DAS EQUAES EXPONENCIAIS

QUE ENVOLVEM ARTIFCIOS

1 CASO Seja resolver a seguinte equao exponencial: 2x-5-64

Soluo: 2x-5=64 2x-5=26

expoente nmero que, posto direita de outro e um

pouco acima, indica o grau de potencia a que esse outro elevado.

Como as bases foram igualadas basta igualar os expoentes x-5=6 x=6-5 x=11 S={11}

2 CASO

Seja resolver a equao 22x-9.2x+8=0 Soluo Para a soluo desta equao lanamos mo de um artifcio fazendo y2=22x e y=2x Desta maneira podemos substituir os valores adorados assim: y2-9y+8=0 Utilizando a Frmula de Bhskara podemos descobrir os valores de y e y:

y=2

32819

y=2

499

y= 2

79 y=8 e y=1

Voltamos ao artifcio e utilizando-o para as duas razes teremos,

para y=8 2x=8 2x=23 Ento x=3 para y=1 2x=1 2x=2 Ento x=0 Logo a soluo o conjunto S={0,3}

3 CASO

Considere a resoluo da equao exponencial 3x+1+3x-1=90 Soluo Notamos que 3x termo comum, por isso, pode ser colocado em evidncia. Alm disso sabemos que a soma de dois expoentes (3x+1) vem de uma multiplicao de potncias de mesma base, bem como a subtrao de dois expoentes (3x+1) vem de uma diviso de potncias de mesma base. Devido a isto correto afirmar que:

9031

3x3 =

+

1. Igualar as bases 2. Igualar os expoentes

MATEMTICA

ENSINO MDIO I


20

903

10x3 =

=

31090x3

27103

90x3 =

=

33x3 = Como as bases esto iguais: X=3 Assim o conjunto soluo representado por S={3}

EXERCCIOS

01. Resolva as seguintes exponenciais: a) 2x=128 b) 32x=243

c) ( )

2714xx3 =

a) 9x+3=4.3x

TESTES

01. Resolva a equao exponencial abaixo e marque

a resposta certa. a) x=1 b) x=3 c) x=5 d) x=7 e) x=10 02. D a soma das alternativas corretas, abaixo,

correspondentes s solues de 1283x=1024 21

01) S={5/21} 02) 21x+1=6 04) 4,2x=1

08) x+1=0 16) 3x=5/7 32) x2-1=0

03. Considerado (4x)x=256 marque nica resposta certa, nas opes a seguir:

a) S={2} b) S={-2,2} c) S={-2} d) S={3,-3} e) S={1,-1] 04. Considerando a equao 22x-5.2x+4=0 e as

afirmaes abaixo, soma das alternativas corretas :

01) S={0,2} 02) S={xZ/0x2} 04) S={xR/0x1} 08) S={3,5} 16) S={ } 32) S={0} 01. (PONTA GROSSAAdaptada) Marque a resposta

correta considerando a equao 2x+1-2x+2x+1=12

a) 2x+1 =8 b) x-x2=1 c) x=2 d) 5x-x2=6 e) 4x-1=11 02. (IME-Adaptada) Calcule a soma das alternativas

abaixo, que correspondem s respostas corretas da equao 102x-1-11.10x-1+1=0

01) S={0} 02) S={ } 04) S={1} 08) S={0,1} 16) S={xZ/0x1} 32) S={xR/0x1} 03. A partir de um determinado instante t, que

denominou instante zero (t=0), um bilogo comeou a estudar o crescimento das populaes de duas culturas bacteriolgicas A e B. Aps o estudo, o cientista concluiu que em cada instante t, em minutos, os nmeros f(t) e g(t) de indivduos de A e B, respectivamente, eram dados por f(t) = 300. 2t-1 + 900 e g(t)=70.2t+2-140.

a) Qual era o nmero de indivduos de cada populao no instante zero?

b) Durante quanto tempo desse estudo o nmero de indivduos da populao A permaneceu maior ou igual ao nmero de indivduos da populao B?

MATEMTICA

ENSINO MDIO I


21

LOGARITMOS

Em nossos dias as equaes exponenciais esto presentes de maneira clara como um exerccio de Matemtica ou de modo sutil, quando fazemos algum tipo de pagamento a prazo envolvendo juros. Quando nos utilizamos de potncias atravs de equaes exponenciais produzimos resultados que vem de funes do tipo y=2x. Existe, no entanto, a necessidade de uma operao inversa da exponencial, quando queremos, por exemplo em Qumica, determinar o PH de uma substncia. Esta operao envolve o conceito de logaritmos. Portanto podemos entender uma funo logartmica como a inversa da funo exponencial.

DEFINIO

Considerando um nmero positivo b, e uma base a, positiva e diferente de 1 podemos definir logaritmo como o expoente a que se deve elevar a para se obter b. Logab=x ax=b Lemos: logaritmo de b na base a igual a x se, e somente se, a elevado a x for igual a b. Ex: Como se pode observar logaritmo expoente.

CLCULO PELA DEFINIO

Como vemos o clculo dos logaritmo tm ligaes fortes com o clculo das potncias. Seja, por exemplo, calcular o logaritmo de 16 na base 2. como sempre, devemos chamar de x ao nmero que no conhecemos. Veja: Log216=x Pela definio temos:

x16log16x2 2 ==

Resolvendo a exponencial: 2x=24 Ento: x=4 Isto log216=4

LOGARITMOS DECIMAIS

Quando a base o nmero dez no necessrio nota-la. Assim podemos escrever log102=log2

EXECCIOS

01. Calcule, pela definio os seguintes logaritmos: a) log2128= b) log327= c) log22= d) log81/2 e) log5125=

TESTES

01. Marque a resposta certa considerando o

resultado de log216+log2 a) 2 b) 52 c) 10 d) log280 e) 4 02. D a soma das alternativas corretas, abaixo: 01) log2 256=8 02) log10 100000=5 04) Se logx 1/729=3 ento x=4 08) Sendo log3x=3 ento x=27 16) log13 169=3 32) 7. (log5 625)=28 03. (PUC-Adaptada)- Determine o valor da

expresso log20,5+log33+log48 e marque a resposta certa, nas opes a seguir.

a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3 04. Considerando as afirmaes abaixo, a soma das

alternativas corretas 01) log4 4=1 02) log5 1=0 04) log7 49=1 08) log 10=1 (quando a base omitida devemos

consider-la 10) 16) log3 9 + log2 16=5+5 32) log3 12=4

logaritmo decimal aquele de base 10. Indica-se o

logaritmo deciaml de um nmero a simplesmente por log a (a base 10 fica subentendida). Por exemplo, log10 2 indica-se simplesmente por log 2

MATEMTICA

ENSINO MDIO I


22

05. (CESCEM-SP-Adaptada) Sabendo que log a=L e lob b= M ento 10l . 10m = igual a:

a) 10(L/M) b) 10(L-M) c) 10(L.M) d) ab e) a/b 06. Calcule a soma das alternativas abaixo, que

correspondem s respostas corretas. 01) log (x-3)=2 x=5 02) log (3x+1)=1 x=3 04) log 2x=2 x=1 08) log3 (6x+7)=0 x=-1

16) Rlog

10log5

06. Uma capital C, aplicado durante n anos taxa

de juro composto de 20% ao ano, produzir um montante M(capital+juro) dado por M=C(1,2)n.

a) O grfico abaixo descreve a variao de M em funo de n. Complete esse grfico com as abscissas dos pontos E,F e G, dados log 2=0,30 e log 3=0,47.

b) Em quanto tempo o capital aplicado ser

duplicado? c) Aproximando o grfico, entre 1 e 2 meses, pelo segmento EF , qual o valor aproximado do montante produzido em 1,5 ms? 07. (Mackenzie-SP) A expresso

:a igual 10101,0log001,010log32

21log +

a) 213

b) 213

c) 45

d) 219

e) 0

PROPRIEDADE OPERATRIAS DE LOGARITMOS

As propriedades operatrias so de grande importncia para que possamos efetuar clculos que envolvem operaes entre logaritmos. Tais propriedades esto relacionadas a seguir e acompanharo o estudante em todos os nveis de graduao nas reas exatas.

LOGARTMO DE UM PRODUTO

( ) Bb logAb logBAb log += O logaritmo de um produto a soma dos logaritmos dos fatores. EX: ( ) 32 log52 log352 log +=

LOGARTMO DE UM QUOCIENTE

Bb logAb logBA

b log =

O logaritmo de um quociente a diferena entre os logaritmos do numerador e do denominador. Ex: ( ) 23 logAb log2/53 log =

LOGARTMO DE UMA POTNCIA

Ab logmmAb log =

O logaritmo de uma potncia o produto do expoente pelo logaritmo da base.

Ex: 135 log44135 log =

LOGARTMO DE UM RADICAL

n

Ab logn A log b =

O logaritmo de um radical a razo entre o logaritmo do radicando e o ndice.

Ex: 3

5log35 log 44 =

EXERCCIOS

01. Encontre o resultado dos exerccios abaixo

atravs da propriedade operatrias dos logaritmos e sabendo que log2=0,3 e log3=0,4.

a) Log6

MATEMTICA

ENSINO MDIO I


23

b) Log12 c) Log8 d) Log5 e) Log200

TESTES

01. Marque a resposta certa considerando o

resultado de log2 (4.64). a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 32 02. D a soma das alternativas corretas, abaixo: 01) log x.y=log x+log y 02) log (x/y)= log y- log x 04) log xy=y log x 08) log x1/2= (logx)/2 16) log x + log y + log z= log xyz 32) log 12 = 2 log 2 + log 3 03. (UGF-RJ)- Dado log 3=0,47712 calcule log 81 +

log 2,43 e marque nica desposta certa, nas opes a seguir.

a) 2,29415 b) 4,29408 c) 2,29408 d) 2,00000 e) 2,29406 04. Considerando as afirmaes abaixo, a soma das

alternativas corretas : 01) log3 27+ 3 log3 9 02) 2 log x= log 100 x=10 04) log 32= 5 log 2 08) log 30= 1+ log 3 16) 5 log 3= log 15 05. (UFP-Adaptada) Sendo log 2= 0,301 e log

7=0,845 qual dever ser o valor de log 28? a) 22.7 b) 1,146 c) 1,002 d) 1,182 e) 1,447

06. (Mau-SP-Adaptada) Dado log 2 = a e levando

em conta que x=log 4 + log 6 + log 32

+ log

0,25 podemos afirmar que: 01) x= 2 a 02) log 0,25= -2a 04) log 6 = log 2. log 3 08) log 4 = log 2. log 2 16) log 8 = 3+1 32) x=2 a +2 07. Dos grficos apresentados abaixo, apenas um

representa uma funo logaritmica do tipo

y = log x

21 , sabendo que a funo do tipo

y = log x

21 , ento o grfico da alternativa correta

:

MATEMTICA

ENSINO MDIO I


24

TRIGONOMETRIA

De forma elementar Trigonometria o estudo dos trs ngulos de um tringulo. Foi utilizada, pela primeira vez, entre os babilnicos na tentativa de resolver problemas de Astronomia e navegao. Mais tarde a Grcia teve em Hiparco (190 a.C 125 a.C) grande impulso atravs de sua utilizao em Astronomia. Foi utilizado, pela primeira vez, o tringulo retngulo e as relaes que envolviam seus lados e ngulos. Estudos posteriores foram realizados pelos hindus, e depois traduzidos para o rabe. No sculo XV a trigonometria ganhou novo impulso atravs dos estudos de dois matemticos alemes Purback e Johann Muller. Hoje a Trigonometria est presente em diversas reas da atividade humana como em Eletricidade, Mecnica, Topografia, Engenharia Civil, Engenharia Cartogrfica, etc.

ARCOS DE CIRCUNFERNCIA

Um arco de circunferncia pode ser entendido como uma frao da circunferncia. Em termos acadmicos podemos afirmar que: Arco de circunferncia cada uma das partes em que se divide uma circunferncia por dois de seus pontos.

MEDIDAS DE ARCOS

Na medida de ngulos fazemos uso de graus ou radianos. No entanto, para medirmos um arco o fazemos em unidades de comprimento como, o metro e a polegada. Portanto quando queremos medir um ngulo devemos faz-lo atravs dos smbolos (grau) ou rad (radiano) enquanto que os arcos podem ser medidos em m (metro) e suas variaes do Sistema Internacional de Unidades de Medida, bem como em outras unidades de comprimento conhecidas, como o caso da polegada ( ) muito utilizada ainda na indstria.

O GRAU ( )

O grau conhecido e definido como a frao

de 3601

da abertura do ngulo central da

circunferncia. Ele tem submltiplos que so o minuto ( ) e o segundo ( ). Um grau contm 60 minutos. 1=60 Um minutos contm 60 segundos 1=60

O RADIANO (RAD)

Obtemos o valor da abertura de um ngulo em radianos atravs de uma operao de diviso. Consideramos um arco feito a partir de um segmento de reta (raio) que, preso em uma extremidade capaz de girar livremente descrevendo arcos de vrios comprimentos. Cada um destes arcos possui um ngulo interno que pode ser calculado pela expresso:

=RS

onde: - a abertura do ngulo em radianos S o comprimento do arco descrito pelo giro do raio. medido em metros. () R o raio de giro medido em metros. () () - podem ser usadas outras unidades de comprimento como a polegada, o ano-luz etc... Assim, quando o raio R apresenta o mesmo valor que o arco S, a medida de 1 rad porque:

O NMERO (PI)

Desde os mais antigos tempos do estudo da Geometria os matemticos se defrontam com o intrigante nmero . O (Pi) o resultado da diviso do comprimento de uma circunferncia (C) por seu dimetro (D) linha esta que contm dois raios (R) da circunferncia. Este nmero tem o valor aproximado de 3,14159265359... At hoje no se sabe o valor final de . Fazendo uso desta constante at a segunda casa decimal teremos =3,14 o que no est correto, mas serve para a preciso requerida em nossos problemas escolares. Dependendo da utilizao este nmero pode ser notado com centenas de casas decimais. Em Astronomia e Astrofsica h necessidades desta natureza.

RELAO ENTRE GRAUS E RADIANOS

Sabemos que uma circunferncia possui comprimento C=2R onde C representa no s o

MATEMTICA

ENSINO MDIO I


25

comprimento da figura como o arco subtendido por R. Ento para calcularmos o ngulo central de uma circunferncia podemos relacionar.

= 2RC

= rad

Sabemos tambm que a mesma circunferncia apresenta 360. Isto nos permite concluir que 2 rad so equivalentes a 360. Ento deduzimos que a metade desta circunferncia, que possui 180, tem o equivalente a rad.

EXEMPLO:

Transformar: a) 30=______rad b) /3 rad=_____ ________180 . ________180

x________30 3

_______

180x=30 x=1803

x=18030

x=60

x=6

rad x= 60

x=60

O CRCULO TRIGONOMTRICO

O crculo trigonomtrico possui raio igual a unidade (R=1) e serve para a definio das linhas trigonomtricas que so:

Seno Cosseno Tangente Cotangente Secante Cossecante

O crculo est dividido em quatro

quadrantes dispostos em sentido anti-horrio a partir de 0.

EXPRESSO GERAL DE UM ARCO

No crculo trigonomtrico um arco possui duas extremidades que, medidas em sentido anti-horrio, do o valor de sua abertura em graus ou em radianos. As extremidades de arcos diferentes podem ser as mesmas. Por exemplo quando um arco x=30 e um arco y=390 podemos afirmar que os dois arcos so ditos cngruos, isto , possuem as mesmas extremidades diferindo, apenas, no nmero de voltas. O arco y tem 360 sobre o arco x. Se um arco medido em graus sua expresso geral : =0 +K.360 Quando o arco medido em radianos sua expresso geral : =0+2K onde: - o valor total do arco. 0- a menor determinao. K o nmero inteiro de voltas dadas.

FUNES CIRCULARES

Como funes circulares entendemos aquelas linhas presentes em tringulos retngulos formados no interior do crculo trigonomtrico (R=1), segundo as figuras abaixo: importante que tenhamos em mente que:

eixos horizontais so: Positivos direita da origem. Negativos esquerda da origem.

eixos verticais so: Positivos acima da origem. Negativos abaixo da origem.

MATEMTICA

ENSINO MDIO I


26

Resumo

Seno a projeo do raio sobre o eixo vertical y.

Cosseno a projeo do raio sobre o eixo horizontal x.

Tangente a linha que resulta do corte entre o prolongamento do raio com o eixo y e a origem deste eixo.

Cotangente a linha que resulta do corte entre o prolongamento do raio com o eixo de x e a origem deste eixo.

Secante a linha que vai da origem, atravs do raio, at o eixo y.

Cossecante a linha que vai da origem, atravs do raio, at o eixo x.

EXERCCIOS

01. Transformar 32

rad em graus.

02. Transformar 12 em radianos. 03. Calcule a abertura de um arco de 40m cujo raio

de curvatura mede 10m.

04. Somar 302012 com 12318. 05. Quanto 1352714 com 204950?

TESTES

01. Marque a resposta certa considerando a menor

determinao do arco de 400. a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60 02. D a soma das alternativas corretas, abaixo. 01) 2 rad=360 02) O semicrculo possui 3,14 rad

aproximadamente, de ngulo central. 04) 180=3 08) 5/6 rad=180 16) O arco trigonomtrico de 6 rad cngruo com

o arco de 360 32) 45 um ngulo do 4 quadrante. 03. Considerando rad um ngulo do terceiro

quadrante marque nica resposta certa, nas opes a seguir.

a) 0

MATEMTICA

ENSINO MDIO I


27

05. (FUVEST) Considere um arco AB de 110 numa circunferncia de raio 10 cm. Considere, a seguir, um arco AB de 60 numa circunferncia de raio 5 cm. Dividindo-se o comprimento do arco AB pelo do arco AB (ambos medidos em cm), obtm-se:

a) 11/6 b) 2 c) 11/3 d) 22/3 e) 11 06. Considerando um ngulo tal que /2

MATEMTICA

ENSINO MDIO I


28

ARCOS NOTVEIS

EXEMPLO:

A partir de sen 30 = descubra todas as outras linhas do arco d 30.

EXERCCIOS

01. Considerando os arcos notveis, encontre o

valor de: a) Sen 210 b) Cos 300

MATEMTICA

ENSINO MDIO I


29

c) Tg 135 02. Complete: a) Sen 50= cos ______ b) Tg 21= cotg______ 03. Sabendo que sen tg 45=1, determine: a) Sen 45 b) Cos 45 c) Cotg 45 d) Sec 45 e) Csc 45

TESTES

01. Reduzindo ao 1 quadrante o valor de tg 150

ser: a) tg 60 b) tg 30 c) cotg 150 d) tg 30 e) tg 60

02. D a soma das alternativas corretas, abaixo: 01) sen 60= cos 30 02) tg 10= tg 80 04) sec 20= csc 70 08) cos 12= sem 78 16) cos 10= tg 80 03. Considerando sen /3= cos 30 marque nica

resposta certa, nas opes a seguir. a) cos /3=1/2 b) sen /2=0 c) tg /4=2 d) cotg 30=1 e) csc /3=0 04. Considerando as afirmaes abaixo, a soma das

alternativas : 01) Se sen x=1/2 ento x pode ser igual a /6 rad. 02) Se cos x=1 ento x pode ser igual a /4 rad. 04) Se tg x=0 ento x pode ser igual a rad. 08) Se sen2x + cos2x=tg x ento x pode ser 45. 16) Se cotg x = 3 ento x pode ser /6 rad. 32) Se sec x=2 ento x pode ser 2/3 rad. 05. (FAAP) Se sen x = - (3/5) e x 4 quadrante,

ento tg x a) (3/4) b) c) (4/5) d) e) 4/5 06. (PUC-Adaptada) O valor de sen 1200 nos

permite afirmar que: 01) igual ao sem 120. 02) Vale o mesmo que sen 60.

04) igual a 23 .

08) igual a cos 30. 16) Vale 1/2. 32) igual a 1. 07. (Faap-SP) A seguir est representado em

esquema de uma sala de cinema com piso horizontal. De quanto deve ser a medida de AT para que um espectador sentado a 15 metros da tela com os olhos 1,2 metros acima do piso, veja o ponto mais alto da tela, que T, a 30 da horizontal?

Ainda que eu ande pelo vale da sombra da morte, no temerei mal nenhum, porque tu ests comigo. (Salmo 23:4)

MATEMTICA

ENSINO MDIO I


30

GLOSSRIO

coordenada que define a posio de um ponto sobre uma linha; primeira das coordenadas que definem, no sistema cartesiano, a posio de um ponto no plano e no espao.

ordenadas segunda das coordenadas que, no sistema cartesiano, definem a posio de um ponto no plano e no espao.

superior que esta mais acima; mais elevado. inferior que esta mais baixo que outro, que subordinado

a um superior. crescente aumento progressivo; progresso, do menor

para o maior. decrescente tornar-se menor; diminuir; declinante; do

maior para o menor. concavidade forma cncava de um objeto; o contrario de

convexo. expoente nmero que, posto direita de outro e um

pouco acima, indica o grau de potencia a que esse outro elevado.

expoente nmero que, posto direita de outro e um pouco acima, indica o grau de potencia a que esse outro elevado.

logaritmo decimal aquele de base 10. Indica-se o logaritmo deciaml de um nmero a simplesmente por log a (a base 10 fica subentendida). Por exemplo, log10 2 indica-se simplesmente por log 2

MATEMTICA

ENSINO MDIO I


31

CONSIDERAES FINAIS Neste mdulo, voc encontrou contedos, textos e interpretaes para apoi-lo no seu Curso.

Aqui foi lanado um olhar diferenciado para a Educao de Jovens e Adultos, acolhendo seus

conhecimentos, motivaes e interesses.

No pretendemos de forma alguma ditar receitas infalveis. Nosso desafio possibilitar todos os

usos possveis da palavra como elemento de conquista da competncia comunicativa de auto-realizao e

da cidadania. Mas esse desafio um caminho a ser trilhado e trabalhado. Portanto, estudem

intensamente, pois o estudo o ponto central da nossa vida. Todavia, ns professores, advertimos que a

aquisio do conhecimento instrumento para competirmos no mercado em igualdade de oportunidades.

Agora, vamos ao seu desempenho. Estude os assuntos detalhadamente. Se tiver duvidas, ligue

por telefone (61 30378860), ou acesse o nosso site (www.colgiopolivalente.com.br) . O importante

que voc passe para o tema seguinte quando dominar bem o que constava do anterior.

O seu sucesso o sucesso do CIP,

Afinal, o CIP voc!!!!!

APRESENTAOSUMRIOINTRODUOFUNESSISTEMA CARTESIANO ORTOGONALPAR ORDENADODIAGRAMASDOMNIO, CONTRADOMNIO E IMAGEM DE UMA FUNOEXERCCIOTESTES

ESTUDO DO DOMNIO DE FUNESFUNO FRACIONRIAFUNO IRRACIONALEXERCCIOTESTES

FUNO DO PRIMEIRO GRAUGRFICO DA FUNO LINEARFUNO LINEAR (Y=AX)FUNO CONSTANTE (Y=B)EXERCCIOSTESTES

FUNO QUADRTICAO GRFICO DA FUNO QUADRTICARAZES OU ZEROS DA FUNO QUADRTICAVRTICE DA FUNO QUADRTICAEXERCCIOSTESTES

FUNO INVERSA E FUNO COMPOSTAFUNO INVERSAFUNO COMPOSTAEXERCCIOSTESTES

EQUAO MODULAR1 CASO2 CASOEXERCCIOSTESTES

EQUAES EXPONENCIAISSOLUO DE UMA EQUAO EXPONENCIALRESOLUO DAS EQUAES EXPONENCIAIS ELEMENTARESRESOLUO DAS EQUAES EXPONENCIAIS QUE ENVOLVEM ARTIFCIOSEXERCCIOSTESTES

LOGARITMOSDEFINIOCLCULO PELA DEFINIOLOGARITMOS DECIMAISEXECCIOSTESTES

PROPRIEDADE OPERATRIAS DE LOGARITMOSLOGARTMO DE UM PRODUTOLOGARTMO DE UM QUOCIENTELOGARTMO DE UMA POTNCIALOGARTMO DE UM RADICALEXERCCIOSTESTES

TRIGONOMETRIAARCOS DE CIRCUNFERNCIAO CRCULO TRIGONOMTRICOEXPRESSO GERAL DE UM ARCOFUNES CIRCULARESEXERCCIOSTESTES

TRIGONOMETRIAMUDANA DE QUADRANTEARCOS COMPLEMENTARESEXERCCIOSTESTES

GLOSSRIOCONSIDERAES FINAIS

apresentaÇÃo -...

Documents