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Aproximação Linear de Sistemas Não-Lineares
Os sistemas lineares respeitam aos princípios da Superposição e da Homogeneidade.
Superposição
Entrada = a(t) Saída = y(t)Entrada = b(t) Saída = w(t)
Entrada = a(t) + b(t)
Implica
Saída = y(t) + w(t)
Homogeneidade
Entrada = k1.a(t) Saída = k1.y(t)Entrada = k2.b(t) Saída = k2.w(t)
Entrada = k1.a(t) + k2.b(t)
Implica
Saída = k1.y(t) + k2.w(t)
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Aproximação Linear de Sistemas Não-Lineares
Linearização pela Série de Taylor
Representação de função não-linear por uma série polinomial.
f(n) n-ésima derivada da função associada à série.
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Aproximação Linear de Sistemas Não-Lineares
Função sen(x) e aproximações pela série de Taylor com polinômios de ordem impar.
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Aproximação Linear de Sistemas Não-Lineares
Se considerarmos um sistema com a relação entrada-saída definida por:
Se assumirmos o ponto de operação xPO, e g( ) contínua em torno do ponto de operação, pela série de Taylor, temos:
y(t) = m.x(t) + b
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Aproximação Linear de Sistemas Não-Lineares
Assumindo-se pequenas variações em torno do ponto de operação, a série pode ser reduzida a:
Relação linear
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Aproximação Linear de Sistemas Não-Lineares
Exemplo: Pêndulo Simples
M.g.sen()
M.g
Para PO = 00 e TPO = 0, tem-se
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Para o exemplo do pêndulo simples, temos:
se - /4 ≤ ≤ +/4 o erro é 2 %
em relação ao modelo real.
Aproximação Linear de Sistemas Não-Lineares
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Função de Transferência
Define a relação entre a saída e a entrada de um sistema dinâmico, no domínio da frequência;
Só é obtida para sistemas lineares invariantes no tempo;
Para sua obtenção assume-se as condições iniciais como nulas.
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Transformada de Laplace
Domínio do Tempo
Domínio do Frequência
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Função de Transferência
Exemplo para o circuito RLC paralelo.
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Representação por Diagramas de Blocos
Sistemas dinâmicos e seus subsistemas são normalmente representados através das funções de transferência, que definem as relações (entrada-saída) entre as variáveis de interesse.
Para simplificação e análise do comportamento do sistema podem ser utilizadas equivalências na representação por diagramas de blocos, como as apresentadas a seguir.
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Representação por Diagramas de Blocos
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Representação por Diagramas de Blocos
X2 = (X1 X2.H).G X2 = X1.G X2.H.G X2 X2.H.G = X1.G
X2.(1 H.G) = X1.GX2(s) G(s)
X1(s) 1 H(s).G(s)
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Representação por Diagramas de Blocos