apunte 2 mecacrac

8/19/2019 Apunte 2 mecacrac

1/40


2/40

COORDENADAS CURVILINEAS ORTOGONALES

Familia de tres superficiesen el espacio

Conjunto de tresrelaciones


3/40

Suponiendo que las relaciones son tales que:

• Para un punto dado P en el espacio, un miembro de cada familia q j de

curvas pasa por el punto dado• Las tres superficies son ortogonales entre sí en el punto P

• P es el punto único de intersección de las tres superficies

! Las superficies quedan definidas al evaluar la relación en las

coordenadas del punto P! Los vectores normales a cada superficie en P son perpendicularesentre sí



4/40

planohorizontal

cilindro

O

z P

r P

z

y

x

P

y P

x P

Familia de tres superficies en el espacio

Las tres superficies seintersectan en el punto P

Los vectores normales a las superficiesson perpendiculares entre sí en P

plano

vertical

COORDENADAS CURVILINEAS ORTOGONALES - CILINDRICAS


5/40

Para un sistema ortogonal de superficiesq j , los valores q 1(P), q 2 (P) y q 3(P) son las

coordenadas del punto P en el sistema decoordenadas curvilíneas ortogonales. planohorizontal

cilindro

O

z P

r P

z

y

x

P

y P

x P

plano

vertical

El caso mostrado en la figura correspondea las coordenadas cilíndricas, definidascomo



6/40

Vectores Unitarios - General

planohorizontal

cilindro

O

z P

r P

z

y

x

P

y P

x P

plano

vertical

Sean P un punto en el espacio y S j

(P) lassuperficies definidas por q j (P) para j = 1,2,3

El vector unitario e

j (P) = e j es normal a S j (P) enel punto P y apunta en la dirección en que qj crece

El vector unitario e j es entonces tangente a la

línea L j (P) definida por la intersección de lassuperficies S i (P) y S k (P), con i j k.

ez

e

e



7/40

Vectores Unitarios - Sistema Cilíndrico

plano

horizont

al

cilindr

o

O

z P

r

P

z

y

x

P

y P x

P

plano

vertical



8/40

plano

horizont

al

cilindr

o

O

z P

r P

z

y x

P

y P x P

plano

vertical

Vectores Unitarios - Sistema Cilíndrico



9/40

Se ha logrado definir un sistema de tres

vectores unitarios, perpendiculares entre sí

Estos vectores forman una base para el sistema.

planohorizontal

cilindro

O

z P

r P

z

y

x

P

y P

x P

plano

vertical

ez

e

e

Presentan, sin embargo, la desventaja ser

variables con la posición, y por lo tanto,con el tiempo.

Esta característica debe ser considerada al evaluar sus derivadas, tanto espacialescomo temporales.



10/40


11/40

En forma matricial

[T]: Matriz de transformación de coordenadas, cumple con:

TRANSFORMACION DE COORDENADAS



12/40

TRANSFORMACION DE COORDENADAS



13/40

DERIVADAS ESPACIALES DE UN VECTOR EN COORDENADAS CURVILÍNEAS ORTOGONALES

•

Vector en Componentes Cartesianas

• Vector en Componentes Curvilíneas



14/40

DERIVADAS ESPACIALES DE LOS VECTORES UNITARIOS DEL SISTEMACILÍNDRICO



15/40

DERIVADAS TEMPORALES DE UN VECTOR EN COORDENADAS CURVILÍNEAS ORTOGONALES

Si el vector se representa mediante sus componentes curvilíneas

donde



16/40

DERIVADAS TEMPORALES DE LOS VECTORES UNITARIOS DELSISTEMA CILÍNDRICO



17/40

INTERPRETACIÓN FÍSICA DE LAS DERIVADAS DE LOS VECTORES UNITARIOS DEL SISTEMA CILÍNDRICO

e

#

e’

y

x

O

• Variación # de la coordenada #

e# mantiene su dirección, no sufriendo cambios! e

#

/ ! # = 0

• Lo mismo ocurre con respecto a z



18/40

#e e

e

#

y

x

e’

#

e’

O

x

Variación $ e#

cambia a e’ # , sufriendo una variación e#



19/40

#e e

e

#

y

x

e’

#

e’

O

x

t muy pequeño $ es pequeño

e# tiende a ser perpendicular a e# , es decir,

tiene la dirección de e$



20/40

#e e

e

#

y

x

e’ #

e’

O

x



21/40

y

z

r P

z

x

P

y

x

e$

e#

e z

#

$



22/40

COORDENADAS CILINDRICAS - EJEMPLO

x

z

r

z

y

h

Una partícula P desliza a lo largo de una

espiral cilíndrica de eje vertical, radio r y paso h

Se determinará las expresiones para lavelocidad y aceleración de P en un instantecualquiera

$ Sistema tiene 1 Grado de Libertad:desplazamiento a lo largo de la espiral

$

Se usará el ángulo $ de las coordenadascilíndricas como coordenada generalizada


23/40


x

zr

z

y

h

Se trata de evaluar los términos en lasexpresiones generales para la posición, velocidad y aceleración, en términos de los datos dados

(geometría y movimiento)

Expresiones generales para posición, velocidad y aceleración en coordenadas cilíndricas:


24/40


z = " h2#

$

% ˙ z = "h

2# $̇

, ˙̇ z = "h

2# ˙̇$

x

zr

z

y

h

1) Geometría cilindro:

2) Geometría espiral:


25/40


x

zr

z

y

h

% v = r "̇ e" #h

2$ "̇ e

z

%

a = "r #̇

2e$ + r ˙̇#

e# " h2%

˙̇#

e z


26/40


x

zr

z

y

h

Supóngase ahora que la partícula P desliza

hacia abajo con rapidez constante v o a lolargo de una espiral cilíndrica de eje vertical,radio r y paso h

Se determinará la aceleración de P en uninstante cualquiera

$ Sistema tiene 1 Grado de Libertad:desplazamiento a lo largo de la espiral

$ Con los datos dados, el movimiento está totalmente definido


27/40


x

zr

z

y

h

Se trata de evaluar los términos en lasexpresiones generales para la posición, velocidad y aceleración, en términos de los datos dados

(geometría y movimiento)Expresiones generales para posición, velocidad y aceleración:


28/40


x

zr

z

y

h

Geometría de la espiral:

h : Paso

& : Inclinación


29/40


x

zr

z

y

h

Dada la geometría del espiral, se tiene:

Dada la condición de rapidez constante a lo largo

de la espiral, se tiene:


30/40


x

zr

z

y

h

%


31/40


x

zr

z

y

h

%


32/40


Solución directa

La velocidad es tangente a la trayectoria,

teniendo las siguientes componentes:

La componente en z es constante

La componente en es constante en módulo, pero cambia de dirección, generándoseentonces una aceleración centrípeta de valor:

x

zr

z

y

h


33/40

COORDENADAS ESFERICAS

%

e

er

e%

r

P

r

O

z

y

x


34/40

%

e

er

e%

r

P

r

O

z

y

x



35/40

%

e

er

e%

r

P

r

O

z

y

x



36/40

%

e

er

e%

r

P

r

O

z

y

x

Posición

Velocidad

Aceleración



37/40

COORDENADAS ESFERICAS - EJEMPLO

Tubo de forma semi-circular de radio R,

pivoteado en uno de sus extremos a un puntofijo O. En todo instante, todos sus puntos seencuentran en un plano vertical único,rotando en torno al eje z con velocidad angular constante '

Al interior del tubo circula una partícula conuna rapidez v o constante

Se determinará la velocidad y la aceleraciónabsolutas de la partícula uti l izandocoordenadas esféricas


38/40


b R

R

e

e%

b R

R

%

&

er

'

e'

vo

z

x

y

O

z

O

(

vo

Sistema tiene 3 Grados deLibertad:

•

La rotación en torno al eje z del plano vertical que contieneel anillo – definida por ángulo$ (coordenada esférica)

•

La rotación del anillo en su plano – definida por ángulo ( que forma diámetro del anillocon eje vertical

• El des l i zamiento de la partícula a lo largo del anillo –definido por ángulo & entrediámetro del anillo y línea b enla figura


39/40


b R

R

e

e%

b R

R

%

&

er

'

e'

vo

z

x

y O

z

O

(

vo

COORDENADAS ESFERICAS EJEMPLO


40/40


b R

R

e

e%

b R

R

%

&

er

'

e'

vo

z

x

y

O

z

O

(

vo

apunte 2 mecacrac

Documents