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Apuntes de Curso

Introduccion alCuerpo de los Numeros Reales

Juan Mayorga-Zambrano, Ph.D.Universidad Tecnologica Israel

jrmayorgaz@gmail.com

Septiembre 2012

Resumen

Se hace un introduccion axiomatica al conjunto de los numeros reales y se presentaun conjunto de propiedades derivadas. Se presenta el metodo de demostraccion porInduccion Matematica.

Topicos

1. Introduccion 1

2. Axiomatizacion de R 22.1. Sistema Deductivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2. Axiomas de Campo o Cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3. Axiomas de Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.4. Axioma del Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3. Propiedades 63.1. Resultados sobre la adicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2. Propiedades de la multiplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3. Propiedades combinadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.4. Otras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.5. Teorema del binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4. Induccion Matematica y Signo Sumatorio 13

5. Problemas 16

1. Introduccion

Los griegos estaban al tanto de las propiedades de Q y tambien del hecho de quefaltaban numeros para suplir las necesidades manifiestas en su estudio de la Geometra.Por ejemplo, segun el Teorema de Pitagoras, la longitud de la hipotenusa correspondiente

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a un triangulo rectangulo cuyos catetos son de longitud 1 es

2; sin embargo, el mismoPitagoras probo el siguiente resultado.

Teorema 1.1.El numero

2 no es racional.

Demostracion. Supongamos que

2 es un numero racional. Por la defincion de numeroracional, existen a Z y b Z\ {0}, enteros primos entre s tales que

2 =

ab.

Se tiene entonces quea2 = 2b2, (1.1)

de manera que a2 es par y, por tanto, a tambien es par. Entonces existe un k Z tal quea = 2k,

de manera que, por (1.1), se tiene que

4k2 = 2b2,

es decirb2 = 2k2,

as que b2 es par y b tambien lo es. Tenemos una contradiccion pues si a y b son numerospares, no pueden ser primos entre s.

El conjunto de los numeros reales, R, nos permitira llenar los huecos dejadospor Q. En principio se pensaba que tales huecos, posteriormente llamados numerosirracionales, eran pocos pues para las necesidades practicas de la antiguedad Q sedefenda bastante bien; sin embargo, hoy se sabe, mediante el concepto de cardinalidad,que hay mas numeros irracionales que racionales:

#[Q] = 0 < #[R \Q]. (1.2)

Recomendamos [1] y [3] como apoyo para esta unidad.

2. Axiomatizacion de R

2.1. Sistema Deductivo

En un Sistema Deductivo se establece un conjunto consistente de axiomas que juntocon un grupo de reglas de inferencia impulsan la obtencion de nuevo conocimiento so-bre el sistema, i.e. la derivacion de Teoremas (y Proposiciones, Corolarios, etc.) mediantelas herramientas de la Logica.

Todo campo del conocimiento es un conjunto de ideas que se plasma a traves de palabras y smbolos.Para entender los conceptos es entonces necesario el significado exacto de tales palabras y smbolos.

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El ejemplo mas conocido de sistema deductivo es la Geometra de Euclides, que seestudia usualmente en el bachillerato. Para Euclides un punto es una realidad concretaque no necesita (ni puede) ser probada. Todo el conocimiento geometrico de los griegosse deriva logicamente a partir de los Cinco Postulados. En particular el Quinto Postu-lado refleja inconcientemente la concepcion antigua de un mundo plano. No fue hastaprincipios del siglo XIX en que los matematicos se atrevieron a ver el universo curvo,introduciendo Sistemas Geometrcos (e.g. las Geometras de Riemann y Lobachevsy)liberados del Quinto Postulado de Euclides.

2.2. Axiomas de Campo o Cuerpo

Introduciremos el conjunto de los numeros reales como un sistema deductivo, es-to es, supondremos la existencia de R junto con dos operaciones internas (adicion ymultiplicacion) que verifican un conjunto de postulados o axiomas. No se demuestra laexistencia deR ni la validez de tales axiomas pero se exige que sean consistentes. Todoslos resultados que se prueben a partir de entonces constituyen teoremas, corolarios,lemas y proposiciones.

Observacion 2.1. Es posible construir R a partir de Q de diferentes formas (e.g. de Dedekind,Weierstrass, Meray y Cantor-Heine) evitando de esa manera una axiomatizacion. Sin embargoesto requiere un tiempo que normalmente no esta disponible en los programas de Matematicaspara Ingeniera. Al lector interesado le recomendamos [4] para un primer acercamiento al tema.En [2] se presenta la construccion de Dedekind en un estado digerible.

Suposicion 1. Existen un conjunto no vaco,R, y dos operaciones internas sobreR, +(llamada adicion) y (llamada multiplicacion), de manera que (R,+, ) es un campo.

Las condiciones establecidas por la Suposicion 1, suelen referirse como Axiomas deCampo o Cuerpo y corresponden a los puntos a)-i) que se exponen a continuacion.

a) [Asociatividad aditiva]

a,b,c R : (a+b)+ c = a+ (b+ c). (2.3)b) [Existencia del neutro aditivo]

0 R,a R : a+0 = 0+ a = a. (2.4)c) [Existencia de inversos aditivos]

a R, b R : a+b = b+ a = 0. (2.5)d) [Conmutatividad aditiva]

a,b R : a+ b = b+ a. (2.6)e) [Asociatividad multiplicativa]

a,b,c R : (a b) c = a (b c). (2.7)f) [Propiedad distributiva]

a,b,c R : a (b+ c) = (a b)+ (a c). (2.8)

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g) [Existencia del neutro multiplicativo]

1 R,a R : a 1 = 1 a = a. (2.9)h) [Existencia de inversos multiplicativos]

a R \ {0}, b R : a b = b a = 1. (2.10)i) [Conmutatividad multiplicativa]

a,b R : a b = b a. (2.11)Observacion 2.2. Las propiedades a)-d) establecen que la pareja (R,+) es un grupo abelianoo conmutativo. Al anadir e) y f), la terna (R,+, ) se constituye en un anillo. Finalmente, laspropiedades g)-i) transforman a (R,+, ) en un campo o cuerpo.

2.3. Axiomas de Orden

Suposicion 2. Existe un conjunto R+ R, llamado conjunto de numeros positivos, talque la relacion de orden , definida sobre Rmediante

a b ssi b a R+{0}, (2.12)tiene las siguientes propiedades (llamadas Axiomas de Orden)

a) [Orden total]a,b R : a b b a. (2.13)

b) [Compatibilidad con la suma]

a,b,c R : a b a+ c b+ c. (2.14)c) [Compatibilidad con la multiplicacion]

a,b,c R : a b 0 c ac bc. (2.15)Notacion 2.1. Los smbolos y se introducen de la siguiente manera: dados x, y R,

x < y yx R+; (2.16)x > y y < x; (2.17)x y y x. (2.18)

Intervalos

Sean a,b R con a < b. A los conjuntos[a,b] = {x R : a x b},

]a,b[= (a,b) = {x R : a < x < b},]a,b] = (a,b] = {x R : a < x b},[a,b[= [a,b) = {x R : a x < b},

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se les conoce como intervalos finitos. A [a,b] se le llama intervalo cerrado. A los conjun-tos (a,b), [a,b) y (a,b] se les llama, respectivamente, intervalo abierto, intervalo cerradoa la izquierda e intervalo cerrado a la derecha. A los conjuntos

[a,+) = {x R : a x},(a,) = {x R : a < x},

(,b) = {x R : x < b},(,b] = {x R : a x},

se les conoce como intervalos infinitos.

2.4. Axioma del Supremo

Recordemos que nuestro objetivo era tapar los hoyos dejados por Q.1 Esta tareaqueda concluida cuando se presenta el Axioma del Supremo (o su equivalente el Axiomade Completitud), que es la materia de esta seccion.

A diferencia de Q podemos identificar los elementos de R con los puntos en una recta; para ello, bastacon asignar a un punto en la recta el numero 0 y escoger una escala de unidades al asignar a un punto (a laderecha del 0) el numero 1.

Una vez hecho esto, uno bien puede preguntarse si efectivamente es valido escribirla relacion

R Q.Intuitivamente, esto se consigue de la siguiente manera. Para empezar, usando la Su-posicion 1 tenemos la existencia del elemento 1+ 1 R, al que lo denotamos 2. Lue-go denotamos 3 = 2+ 1 y procediendo as obtenemos N = {1,2, ...}. Si a los elementosde N les anadimos sus inversos aditivos y 0 R obtenemos Z. Finalmente ponemosQ = {p/q : p Zq Z\ {0}}. Al conjunto

I =R \Q (2.19)se le conoce como el conjunto de los numeros irracionales. Son numeros irracionales

2 = 1,414213562373...pi = 3,1415926535...

e = 2,718281828459....

Introduzcamos el concepto de cota para poder presentar el Axioma del Supremo.

Definicion 2.1. [Acotamiento superior]Sea M R. Se dice que M esta acotado superiormente si existe un b R tal que

x b, x M.En este caso se dice que b es una cota superior de M.

1Que verifica los axiomas de campo y de orden al reemplazar R+ por Q+

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De manera analoga se definen los conceptos de acotamiento inferior y cota inferior. Sedice que un conjunto M R esta acotado si esta acotado superior e inferiormente.

Axioma del Supremo.Sea M R un conjunto acotado superiormente. Entonces, existe sup(M) R tal que

1) sup(M) es cota superior de M;2) si r R, es una cota superior de M arbitraria, se tiene que

sup(M) r.

Se dice que sup(M), la menor de las cotas superiores de M, es el supremo de M. En casode que sup(M) M se dice que M tiene maximo y lo denotamos max(M) = sup(M).

De manera analoga se define el nfimo de un conjunto acotado inferiormente: sera la mayor de lascotas inferiores. Si un conjunto acotado inferiormente contiene a su nfimo se dice que tiene mnimo.

Por convension, si A R no esta acotado superiormente se escribe sup(A) =. De la misma manera,si A no esta acotado inferiormente se escribe nf(A) = .

Ejercicio 2.1. Pruebe que

2 R.Ejercicio 2.2. Suponga que los conjuntos A R+ y B R+ verifican

a = sup(A)

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3.1. Resultados sobre la adicion

Teorema 3.1. [Unicidad del neutro aditivo]Se tiene que

!0 R,a R : a+0 = 0+ a = a. (3.23)Demostracion. Puesto que en (2.4) se establece la existencia de un elemento neutro aditi-vo, 0 R, basta probar que no existe 0 R \ {0} que tambien sea neutro aditivo.

Supongamos entonces que s existe un neutro aditivo 0 R \ {0}. Puesto que tanto 0como 0 son neutros aditivos se tiene por (2.4) que

0+0 = 0, (3.24)0+0 = 0. (3.25)

Entonces por (3.24) y (3.25) se sigue que

0 = 0,

lo cual contradice nuestra suposicion de que 0 , 0.

Teorema 3.2. [Unicidad de los inversos aditivos]Se tiene que

a R, !b R : a+ b = b+ a = 0. (3.26)Ejercicio 3.1. Pruebe el Teorema 3.2.

Por el Teorema 3.2 de aqu en adelante se denotara al inverso aditivo de un numeroa R como a. Se define asimismo la operacion resta en Rmediante

a b = a+ (b), a,b R. (3.27)Teorema 3.3.Sean a,b,c R. Se tiene que

a = b a+ c = b+ c, (3.28)a = b a c = b c, (3.29)

a+ b = 0 a = b b = a, (3.30)(a+b) = a b. (3.31)

Ejercicio 3.2. Pruebe el Teorema 3.3 y que

(a) = a, a R. (3.32)

3.2. Propiedades de la multiplicacion

Teorema 3.4. [Unicidad del neutro multiplicativo]Se tiene que

!1 R,a R : a 1 = 1 a = a. (3.33)

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Ejercicio 3.3. Pruebe el Teorema 3.4.

Teorema 3.5. [Unicidad de los inversos multiplicativos]Se tiene que

a R \ {0}, !b R : a b = b a = 1. (3.34)Ejercicio 3.4. Pruebe el Teorema 3.5.

Por el Teorema 3.5, de aqu en adelante se denotara al inverso multiplicativo de unnumero a R \ {0} como a1. Se define asimismo la operacion division en Rmediante

ab= a b1, a R, b R \ {0}. (3.35)

Teorema 3.6.Sean a,b,c R. Se tiene que

a = b a c = b c, (3.36)a c = b c c , 0 a = b, (3.37)

a = b c , 0 ac=

bc, (3.38)

a b = 1 a = b1 b = a1, (3.39)a , 0 b , 0 (a b)1 = a1b1. (3.40)

Ejercicio 3.5. Pruebe el Teorema 3.6 y que

(a1)1 = a, a R \ {0}. (3.41)

3.3. Propiedades combinadas

Teorema 3.7.Se tiene que

b R : b 0 = 0, (3.42)a,b R : ab = 0 a = 0 b = 0, (3.43)

a R \ {0} : ab = a b = 1, (3.44)a,b R : (ab) = (a)b, (3.45)

a R \ {0} : aa= 1, (3.46)

Ejercicio 3.6. Pruebe el Teorema 3.7.

Teorema 3.8. [Suma de fracciones]Sean a,c R y b,d R \ {0}. Entonces se tiene que

ab+

cd=

ad+ bcbd

. (3.47)

Ejercicio 3.7. Pruebe el Teorema 3.8.

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3.4. Otras propiedades

Empezamos estableciendo un conjunto de propiedades que equivalen a los Axiomasde Orden.

Teorema 3.9. Se tiene que

x, y R+ : x+ y R+ x y R+; (3.48)x R \ {0} : x R+ Y x R+; (3.49)

0 b. (3.53)Demostracion. i) Supongamos que

b = sup(S) 0,x S : x > b. (3.56)Sea > 0, cualquiera. Supongamos que

(x S : x > b) ,es decir que

x S : x b. (3.57)

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Por (3.57) se tiene que b es cota superior de S y, puesto que > 0, se tiene queb < b,

lo cual contradice (3.55). Por tanto, hemos probado que

x S : x > b.Puesto que fue elegido arbitrariamente, se ha probado (3.56).

ii) Supongamos ahora (3.56) y probemos (3.54).Supongamos que b R es cota superior de S pero que b , sup(S). Se tiene entonces que

sup(S) < b b sup(S) > 0. (3.58)Por (3.58) y la definicion de supremo se tiene que

x S : x sup(S) < b. (3.59)Entonces, por (3.56) y (3.59), se sigue que

> 0, x S : b < x sup(S) < b. (3.60)Ahora, por (3.58), podemos elegir

= b sup(S) > 0,que reemplazado en (3.60) implica

sup(S) < x sup(S),que es una contradiccion. Se ha probado entonces (3.54).

Corolario 3.2. [Caracterizacion del Infimo]Sea S R. Entonces

b = nf(S) > > 0,x S : x < b+. (3.61)Ejercicio 3.11. Pruebe que para un conjunto A R se tiene que

nf(A) = sup{x : x A}; (3.62)sup(A) = nf{x : x A}. (3.63)

Ejercicio 3.12. Usando el Teorema 3.11 pruebe el Corolario 3.2.

Ejercicio 3.13. Probar que

sup{ n

n+1: n N

}= 1;

nf{1

n: n N

}= 0;

nf{ n

n+1: n N

}=

12

;

nf{n+1

n: n N

}= 1. (3.64)

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3.5. Teorema del binomio de Newton

Dados n,k N, k n, se define el coeficiente binomial de n sobre k, como el numero(nk

)=

n!k!(n k)! . (3.65)

Proposicion 3.1. [Coeficiente binomial]Sean n,k N, k n. Se tiene que(

n0

)= 1; (3.66)(

n1

)= n; (3.67)(

nk

)=

(n

n k); (3.68)(

n+1k+1

)=

(nk

)+

(n

k+1

), si k < n. (3.69)

Observacion 3.1.(n

k)

corresponde al numero de subconjuntos de tamano k que posee un conjuntode tamano n. Para su calculo se puede utilizar (3.69) mediante el triangulo de Pascal. En eltriagulo de Pascal, los bordes se rellenan con unos, el valor de

(nk)aparece en la fila n y columna

k como la suma del elemento que se encuentra por encima y del que se encuentra en su diagonalsuperior izquierda.

Figura 1: Triangulo de Pascal.

Ejercicio 3.14. Pruebe la Proposicion 3.1.

Teorema 3.12. [Binomio de Newton]Sean x, y R y n N. Entonces

(x+ y)n =n

k=0

(nk

)xkynk. (3.70)

Ejercicio 3.15. Pruebe el Teorema del Binomio de Newton.

Para terminar esta seccion probaremos que todo numero de la forma n

a, donde a > 0y n N, esta en R.

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Teorema 3.13. [Raz n-esima de un positivo]Sean a > 0 y n N. Entonces existe un unico x > 0 tal que

xn = a. (3.71)

Demostracion. i) Es evidente que x = 1 es raz n-esima de a = 1. Ahora bien, si el Teorema3.13 esta probado para el caso en que a > 1 inmediatamente lo estara para 0 < a < 1.En efecto, si 0 < a < 1, se tiene que a1 > 1 de manera que existe un unico y > 0 tal queyn = a1 y, entonces, x = y1 verifica xn = a.ii) Probemos la unicidad de x en (3.71). Supongamos entonces que existe y > 0, x , y, talque yn = a. Se tiene entonces que

0 = xn yn= (x y) (xn1+xn2y+ ...+xyn2+ yn1).

Puesto quexn1+xn2y+ ...+xyn2+ yn1 > 0,

se tiene que x y = 0 lo que contradice la suposicion de que x , y.iii) Sea a > 1. Por i) y ii) nos basta probar que existe un x > 0 tal que xn = a. Sea

M = {y [0,)/ yn a}.Puesto que 0 M, se tiene que M , . Puesto que a > 1, se tiene que

y a, para todo y M,de manera que M esta acotado superiormente. Sea

x = sup(M). (3.72)

iii.a) Supongamos que xn < a. Tomamos

= axn > 0.Elegimos R de manera que

0 < 0.

Se tiene entonces que

(x+)n = xn+n1k=0

(nk

)xknk

< xn+c< xn+= a,

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de manera que x+ M, con > 0, lo cual contradice (3.72). Por tanto no es posible quexn < a.iii.b) Supongamos que xn > a. Tomamos

= xn a > 0y un numero

y (0,x) (3.73)tal que

x y < nxn1

.

Se tiene entonces que

xn yn = (x y)(xn1+xn2y+ ...+xyn2+ yn1) a.Si w M verificara w y se tendra que wn yn > a de manera que, necesariamente,

w y, para todo w M;pero esto contradice (3.73). Por tanto no es posible que xn > a.

4. Induccion Matematica y Signo Sumatorio

El signo sumatorio permite describir sumas de forma abreviada:

pi=n

ai = an+ an+1+ ...+ ap1+ ap, (4.74)

donde n,p N, n p y ai R, i = n, ...,p. Se dice que i {n,n+ 1, ...,p} es el ndice delsumatorio (4.74) y que ai es el i-esimo termino de (4.74).

Es claro que se cumplen las propiedades enunciadas en el siguiente Teorema.

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Teorema 4.1. [Propiedades del Sumatorio]Sean c R, n,p N, n p y ai R, para i = n, ...,p+1. Se tiene que

pi=n

c ai = c p

i=n

ai, (4.75)

pi=n

(ai+ bi) =p

i=n

ai+p

i=n

bi, (4.76)

pi=n

aibi =p

i=n

biai, (4.77)

p+1i=n

ai =p

i=n

ai+ ap+1, (4.78)

n q p p

i=n

ai =q

i=n

ai+p

i=q+1

ai, (4.79)

pi=n

c = c (pn+1), (4.80)p+1

i=n+1

ai1 =p

i=n

ai. (4.81)

Ejercicio 4.1. Pruebe el Teorema 4.1.

El Principio de Induccion es un metodo de demostracion que parte de casos particu-lares para llegar a una propiedad general; tiene una fuerte relacion con el conjuntoN yes de suma utilidad en demostraciones sobre este conjunto.

Un conjunto A R se dice que es inductivo si se cumplen las siguientes condiciones1) 1 A;2) x A x+1 A.

Teorema 4.2. Sea A R un conjunto inductivo. EntoncesN A.Este resultado establece queN es el mas pequeno de los conjuntos inductivos.

Corolario 4.1. [Principio de Induccion]Si A N es un conjunto inductivo, entoncesN = A.

Corolario 4.2. [Principio de Induccion]Consideremos una funcion proposicional N 3 n 7 Pn, esto es, para cada n N, Pn es unaproposicion. Si se cumplen las siguientes condiciones

1) P1 es verdadera;2) Pk Pk+1.

Entonces Pn es verdadera, para todo n N.

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A P1 suele llamarsele proposicion iniciadora. A Pk se le refiere como la hipotesis inductiva y a Pk+1como la tesis inductiva.

Ejemplo 4.1. Probemos por Induccion Matematica que

ni=1

i =n(n+1)

2, n N. (4.82)

Denotemos

Pn :n

i=1

i =n(n+1)

2.

1) Para n = 1 se tiene que1

i=1

i = 1 =1 (1+1)

2,

es decir que P1 se cumple.2) Supongamos que se cumple Pk. Se tiene que

k+1i=1

i =k+1i=1

i

=

ki=1

i+ (k+1)

=k(k+1)

2+ k+1

=(k+1)(k+2)

2,

es decir que se cumple Pk+1. Por tanto hemos probado que

Pk Pk+1En virtud de 1) y 2), por induccion matematica hemos probado (4.82).

Ejercicio 4.2. Pruebe que

ni=1

i2 =16

n(n+1)(2n+1), n N. (4.83)

Ejercicio 4.3. Pruebe quen

i=1

(6i3) = 3n2, n N. (4.84)

Ejercicio 4.4. Probar que para cada n N, el numero 52n1 es divisible por 24.

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5. Problemas

5.1. Pruebe quea Q+, b I : ab I. (5.85)

Concluya que el producto de un numero racional y un irracional es un irracional.

5.2. Indique el error (o los errores) en el siguiente razonamiento. Suponga que b real.a = b ab = a2,

ab b2 = a2b2 (a b)b = (a+b)(a b) b = a+b b = 2b 1 = 2.

5.3. Sean a,c R y b,d R \ {0} tales que a+ b , 0 y c+d , 0. Pruebe quea ba+ b

=cdc+d

.

5.4. Sean x, y R. Indique el valor de verdad de la siguiente proposicion:4xy2x4

x2y = 2 x = 1 Y y = 1.

5.5. Pruebe quea,b,c R : a+ b+ c = 0 a3+b3+ c3 = 3abc.

5.6. Sean a,b,c R. Pruebe que

x, y,z R+ : ax=

by=

cz= k (ax+ by+ cz)2 = (a2+b2+ c2)(x2+ y2+ z2).

5.7. Sea k R. Indique el valor de verdad de la siguiente proposicion:

a,c R, b,d R \ {0} : ab=

cd= k 2a+3c

2b+3d= k.

5.8. Pruebe quex R+ x > 0. (5.86)

5.9. Pruebe las siguientes proposiciones:

a R, b R+ : a < b; (5.87)a,b R : a2+ b2 2ab; (5.88)

5.10. Pruebe las siguientes proposiciones:

b,d R+ : ab