apunte vectores

“Licenciatura en Tecnologías Aplicadas al Arte Sonoro”Facultad de Humanidades y arte. Escuela de Música

ÁLGEBRA VECTORIAL

En Física muchos son los conceptos, tales como fuerzas, velocidades, desplazamientos, para cuya modelización en matemática resultan imprescindibles recurrir a entes denominados vectores.

Definición:Un vector es un segmento orientado.

Por ser el vector un segmento orientado, tiene un principio y un fin, es decir un punto origen y un punto extremo. Si por ejemplo su origen es el punto a y su extremo el punto b, el vector se indicará o con una sola letra minúscula y una barra arriba o flecha. Es decir:

Los vectores se caracterizan por tener:

Módulo : es la distancia entre el punto origen y el extremo, es decir la medida del segmento orientado. Si el origen es a y el extremo es b, el módulo será la distancia de a y b y la simbolizaremos .

Dirección : es la de la recta que contiene al vector o cualquiera de sus paralelas.

Sentido : es el indicado por la punta de una flecha. Por ejemplo si el vector tiene por extremo el punto b, la punta de la flecha estará en él.

Definición:

Diremos que dos vectores y poseen:

Igual módulo: si la medida de los segmentos y son iguales, respecto a la misma unidad de medida.

Igual dirección: si ambos vectores están contenidos en la misma recta o rectas paralelas.

Igual sentido: o si teniendo la misma dirección e incluidos en rectas paralelas no

coincidentes, los segmentos y no tienen ningún punto en común.

o si teniendo la misma dirección e incluidos en la misma recta, existe un vector no incluido en dicha recta, que tiene igual sentido que y .

- 1 -

a

b

b

a

cd

R

T

b

a

cd

R

T pq


Distinto sentido o sentido opuesto:

o si teniendo la misma dirección e incluidos en rectas paralelas no coincidentes se intersecan en un punto.

o si teniendo la misma dirección e incluidos en la misma recta, existe un vector no incluido en dicha recta, que tiene sentido opuesto a uno de ellos e igual al otro.

Definiciones:

Dado un segmento , se llama vector libre al conjunto de todos los vectores que tienen igual módulo, dirección y sentido que , incluido el propio . En lo sucesivo será indistinto trabajar con cualquiera de los elementos de dicho conjunto.

Se llama vector nulo y se simboliza , al vector cuyo módulo es cero. Es decir . Este vector por tener módulo cero, su origen y extremo coinciden; es decir su representación es un punto. Este vector carece de dirección y sentido.

En símbolos:

Dos vectores no nulos son paralelos cuando tienen la misma dirección.

En símbolos:

Dos vectores son iguales cuando tienen módulo cero o cuando poseen igual dirección, sentido y módulo.En símbolos:

v

- 2 -

b

a

cd

R

T

a

bd

c

R

T pq


Dado un vector cualquiera no nulo, se llama vector opuesto de y se simboliza , a otro vector que tiene igual módulo y dirección que pero sentido opuesto.

En símbolos: Si

Se llama versor a todo vector de módulo uno.

En símbolos: es un versor

Convenio: Al conjunto de todos los vectores del espacio tridimensional lo notaremos .

Operaciones en

Suma

Definición:Dados los vectores y , denominamos vector suma a otro vector que

se obtiene de la siguiente manera:

A partir de un punto p cualquiera, se toma y con origen en q, se toma , al vector con origen en p y extremo en s, , se lo denomina vector suma de y . Es decir: = +

Ejemplo:

Dados los vectores:

El vector suma será:

Propiedades

; ;

S1)Conmutativa: + = +

S2)Asociativa: ( + ) + = + ( + )

S3)Existencia del elemento neutro: / + =

S4)Existencia del opuesto: - / + (- ) =

Diferencia

- 3 -

a

+

s

p

q


Definición:Dados los vectores y , denominamos vector diferencia a otro vector

que se obtiene sumando al primero el opuesto del segundo. Es decir:

Ejemplo:

Dados los vectores:

El vector diferencia será:

Práctica

1. Dados ; y del gráfico expresa ; y en función de ; y .

=

=

=

Producto de un vector de por un número real (o escalar)

Definición:

Se denomina producto de un vector por un escalar (o número real) a otro vector tal que:

Ejemplo:

= - 2

Propiedades

; ; R; R

- 4 -

-

a

b

c

v

wu


P1)1 =

P2) ( + ) = +

P3)( + ) = +

P4) ( ) = ( )

Definición:

Dado un vector no nulo, llamamos versor asociado al vector y lo simbolizamos , al vector de módulo uno que tiene igual dirección y sentido que .

Teorema 1

Si es un vector cualquiera del espacio, no nulo, entonces es su versor asociado.

Condición de paralelismo entre vectores

Teorema 2

Dos vectores y no nulos, son paralelos si y sólo si existe un número real tal que .

En símbolos:

Si :

Definición:

Dados los vectores y no nulos se denomina ángulo entre los vectores y y se indica al ángulo convexo (es decir ) por ellos determinado al ser aplicados con origen en un punto.

Ejemplo:

Práctica

2. Completa según corresponda, siendo y vectores no nulosa. y son ángulos ……………………………………..

b. y son ángulos …………………………………

- 5 -

ab

ba


c. y son ángulos ………………………………….

d. y son ángulos …………………………………….

3. Si y bisectriz de ¿cuál es la medida de cada uno de los siguientes ángulos?

a. d.

b. e.

c. f.

Definición de vectores perpendiculares:

Dados dos vectores no nulos, diremos que son perpendiculares y

simbolizaremos si el ángulo que ellos determinan es recto, es decir

Producto escalar o interno entre vectores

Definición:Dados dos vectores y , se llama producto escalar o interno entre los vectores

y ,y se simboliza , al número:

Propiedades

; ; R; R

PE1)

PE2)

PE3)

PE4)

PE5) (condición de perpendicularidad entre vectores no nulos)

PE6)

Práctica

4. Siendo , determina:a.

- 6 -

a

b

c

vo


b.c.

5. Sabiendo que , y , calcula:

a.b.c.

6. Determina al ángulo que forman y , sabiendo que ; y .

VECTORES EN COMPONENTES

Vectores en el plano y en el espacio

Hasta ahora hemos estudiado a los vectores en forma geométrica. Al conjunto de vectores geométricos lo simbolizamos con V.

A continuación trabajaremos con los vectores de otra forma, vinculándolos con conjuntos ordenados de números reales.

Si los consideramos en el plano lo vincularemos con R2 y en el espacio con R3.Recordemos las siguientes definiciones:

R2 =

R3 =

Para ello comenzaremos definiendo:

Sistemas de referencias cartesianos ortonormales

En el espacio:

Dado un punto cualquiera del espacio (origen de coordenadas), y en él aplicados tres versores ; y perpendiculares dos a dos, al conjunto se lo denomina sistema de referencia ortonormal en el espacio.

Denominaremos como:

ejes coordenados “x”; “y” y “z” a cada una de las rectas que contienen a cada uno de los versores ; y , respectivamente.

planos coordenados xy; xz e yz, a los planos que contienen a los ejes e , a los eje y y a los eje y , respectivamente.

Gráficamente resulta:

- 7 -

x

k

o

z


En el plano:

Dado un punto cualquiera del plano (origen de coordenadas), y en él aplicados dos versores y perpendiculares, al conjunto se lo denomina sistema de referencia ortonormal en el plano.


Observación: En las definiciones y las propiedades que a continuación se presentan se consideran las vectores en el espacio; análogamente las mismas son válidas para vectores en el plano.

Descomposición de un vector

Definición:

Llamaremos vector posición a todo vector con origen en el origen de coordenadas.

Dado un sistema de referencia y un punto , si por p trazamos una recta paralela a , ésta corta al plano xy en un punto que llamaremos p’. Como , y están en un mismo plano, resulta: (1).

Por otra parte,

De (1) y (2), podemos concluir que:


Definiciones:

- 8 -

xo

x

ko

z

p1

p3

p2

p1

p2

p3

p’

p


Llamamos:o a la expresión expresión canónica o cartesiana

del vector .o a la terna ordenada de números componentes escalares

del vector en el sistema .o a los vectores p1 ; p2 y p3 se los llama componentes vectoriales

de .

Práctica

7. En un sistema de referencia ubica los puntos: ; ; y .

8. Dado el vector posición demuestra que

Definición:Los vectores y son iguales si y solo si sus componentes son

iguales.

En símbolos:

Operaciones entre vectores en función de sus componentes

Suma

Dados los vectores y , el vector suma se obtiene:

Propiedades

; ;

S1)Conmutativa: + = +

S2)Asociativa: ( + ) + = + ( + )

S3)Existencia del elemento neutro: / + =

S4)Existencia del opuesto: - / + (- ) =

Diferencia

Dados los vectores y , el vector diferencia se obtiene:

- 9 -


Producto de un escalar por un vector

Dados el vector y el número , el vector producto de por se obtiene:

Propiedades

; ; R; R

P1)1 =

P2) ( + ) = +

P3)( + ) = +

P4) ( ) = ( )

Cosenos directores de un vector

Definiciones:

Llamaremos:

ángulos directores de un vector, respecto de un sistema , a los los ángulos que el vector forma con cada uno de los versores del sistema.

cosenos directores de un vector, respecto de un sistema , a cada uno de los cosenos de los ángulos directores.

Ejemplo:

Dados el vector , tenemos: ángulos directores de : ; y cosenos directores de : ; y

Práctica

9. Si: y con componentes no nulos y ,demuestra:

10. Si las componentes escalares de un vector son , determina sus cosenos directores.

- 10 -

x

ko

z

u


11. Determina de módulo 5 que forma ángulos iguales con los versores ; y .

12. Sabiendo que los cosenos directores de un vector son ; ;

y módulo 5, calcula las componentes del vector.

Admitiremos sin demostrar que:

a. Si , entonces ; y

b. Si , entonces

c. Si , entonces

Componentes de un vector en el espacio

Teorema 3

Dados los puntos y entonces las componentes escalares de son .

Demostración

Recordando la definición y propiedades de la suma entre vectores y la expresión canónica de un vector posición, resulta:

de donde las componentes escalares de son:

Coordenadas del punto medio de un segmento definido por dos puntos en el espacio

Teorema 4

Dados los puntos ; y el punto m, punto medio m del segmento

, entonces las coordenadas de m son

Demostración

Como m es el punto medio de , resulta:

- 11 -

x

k

z1p

0p

1p

m


Llamando a las coordenadas de m y utilizando el teorema 3, podemos escribir:

Luego, dos vectores son iguales si sus componentes son iguales, es decir:

Por lo tanto

Ejemplo

Dados los puntos y , entonces: Las componentes escalares de son . La expresión canónica de es . La distancia entre los puntos y o el módulo de es

.

Las coordenadas del punto medio del segmento son .

Práctica

13. Calcula las medidas de los lados del triángulo cuyos vértices son los puntos ; y ¿es el triángulo isósceles? Justifica la

respuesta.

14. Determina las coordenadas de los puntos simétricos de ; y

a. Respecto al plano coordenado .b. Respecto al eje x.c. Respecto al origen de coordenadas.

15. Dados los puntos y en un determina las componentes escalares de . Obtiene además las coordenadas el punto medio del segmento .

16. Un vector tiene módulo 13 y sus dos primeras componentes son 3 y 4, en ese orden; ¿Cuál es la tercera componente? ¿existe única solución?

- 12 -


Producto escalar

Dados los vectores y , el producto escalar entre y se obtiene de la siguiente manera:

Aplicando propiedades del producto escalar, podemos demostrar la fórmula anterior de la siguiente manera:.

(1) aplicando propiedades del producto escalar.(2) Condición de paralelismo y perpendicularidad de vectores

Práctica

17. Dados los vectores y , determina:a.b. el ángulo que forman dichos vectores

18. Dados los vectores y , halla m para que los vectores y sean: i) Paralelos ii) Ortogonales

19. Dados en , determina:a. La expresión canónica de b.

20. Siendo y y , determina:a. Las componentes vectoriales de .b. Las coordenadas del punto medio del segmento .c. Un vector colineal con de módulo 3 y de distinto sentido.

21. Siendo ; y , determina:a.b.c.d.

- 13 -


22. Determina las componentes de sabiendo que es paralelo al vector

, siendo y , y es obtuso.

PARA REPASAR - Un parcial de VECTORES como modelo. Dados en : p(3; 0; -1); q(5; 1; 0) y (3; 2; -2). Obtiene:

1) si

2)

3) el ángulo que forman y

4) el valor de “p” para que y (p; -1; 3 – 2p) sean perpendiculares

5) las coordenadas de a tal que

6) los cosenos directores de

7) un versor paralelo a ( )

8) las componentes vectoriales de ; ; y sent sent

- 14 -

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