apuntes 2011-1
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2010
Facultad de Ingeniería
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[APUNTES CIRCUITOSELÉCTRICOS] Semestre 2011-1
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Clase: 1 Fecha: 16-08-2010
Potencia es la razón de cambio de la energía
∫ ∫
Elemento Propiedad
Resistor Resistencia
Capacitor Capacitancia
Inductor Inductancia
Tipos de fuentes
Fuentes independientes: Son aquellas fuentes que no son afectadas por voltajes o corrientes externas
o internas del circuito
Fuentes dependientes:
a) Fuente de voltaje controlada por voltaje (FVCV)
b) Fuente de voltaje controlada por corriente (FVCC)
c) Fuente de corriente controlada por voltaje (FCCV)
d) Fuente de corriente controlada por corriente (FCCC)
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Circuito de parámetros concentrados
Son aquellos en los que la energía se acumula o se concentra en cada uno de los elementos del
circuito.
Nodo: es el punto donde se unen dos o más elementos
Malla: trayectoria cerrada dentro de un circuito
Ley de Ohm
Nota: fórmulas sólo válidas para resistencias
Si , y se genera un corto circuito
Si , y se produce un circuito abierto
Leyes de Kirchhoff
Ley de voltajes de Kirchhoff (L. V. K)
La suma algebraica de los voltajes alrededor de cualquier trayectoria cerrada es igual a cero
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Ley de corrientes de Kirchhoff (L. C. K)
La suma algebraica de las corrientes que entran a cualquier nodo es igual a la suma algebraica de las
corrientes que salen del mismo nodo
Usando L.C.K
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[
]
Utilizando conductancia (G)
donde ,
Divisor de voltaje
Ejercicio
Determinar v 2(t) del siguiente circuito
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Clase: 2 Fecha: 18-08-2010
,
[ ]
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Ejercicio:
Calcular el voltaje y la potencia de la fuente dependiente
Reduciendo el circuito
Análisis del capacitor
∫
∫
.
∫
∫
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∫
Inductor
Circuito RLC
∫
∫
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Impedancia Z(s)
Se define como la transformada de Laplace de una transvariable entre la trasformada de Laplace de
una pervariable considerando las condiciones iniciales nulas. Se mide en Ohms*Ω+
Admitancia Y(s)
Se define como la transformada de Laplace de una pervariable entre la trasformada de Laplace de una
transvariable considerando las condiciones iniciales nulas. Se mide en Mohs o en Siemens [S]
Transvariable
Es aquella que se mide entre 2 puntos, es decir, es necesario tener una referencia para poder medirla
Pervariable
Es aquella que se mide en un solo punto, es decir, no se requiere una referencia para poder medirla
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Clase: 3 Fecha: 23-08-2010
1. Impedancia resistiva
, aplicando transformada de
Laplace
2. Impedancia capacitiva
A]
aplicando transformada de Laplace
asdas
3. Impedancia Inductiva
S
Ley de Ohm :
Ley de voltajes de Kirchhoff
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Generalizando:
Ley de corrientes de Kirchhoff
[
]
Divisor de voltaje
Divisor de corriente
Admitancia resistiva
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Admitancia capacitiva
Admitancia inductiva
Ley de corrientes de Kirchhoff
Generalizando:
Ley de voltajes de Kirchhoff
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[ ]
Ejercicio
Reduciendo:
Función de transferencia
En sistemas lineales en invariantes en el tiempo es el cociente de transformada de Laplace de la salida
entre la transformada de Laplace de la entrada o de la excitación aplicada al sistema considerando
condiciones iniciales nulas
Si VS > VE entonces la F. de T. > 1 y se tiene una ganancia
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Si VS < VE entonces la F. de T. < 1 y se tiene una atenuación
Si VS = VE entonces la F. de T. = 1
Función de transferencia:
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Clase: 4 Fecha: 25-08-2010
amplitud
Frecuencia
Ángulo desfasamiento
Fasor: es la representación en números complejos de una señal que originalmente se encuentra en el
dominio del tiempo.
Aplicando Ley de Voltajes de Kirchhoff (L.V.K) ( )=
Z impedancia compleja
cuando el signo es positivo es un inductor reactancia inductiva
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Aplicando Ley de Voltajes de Kirchhoff (L.V.K)
∫
∫ ∫
,
[
[Ω]
Admitancia
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Susceptancia susceptancia inductiva susceptancia capacitiva
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Clase: 5 Fecha: 30-08-2010
Ejercicio
Calcular la impedancia equivalente así como las reactancias inductivas ycapacitivas refiriendo las impedancias al plano complejo si F = 800 [Hz].Además, Encontrar el circuito equivalente en serie y en paralelo, y el valorde los elementos que lo conforman.
Ejercicio
Calcular la impedancia equivalente así como las reactancias inductivas ycapacitivas refiriendo las impedancias al plano complejo si F = 1500 [Hz].Además, Encontrar el circuito equivalente en serie y en paralelo, y elvalor de los elementos que lo conforman.
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EjercicioLa impedancia de un circuito vale 15-75° [Ω+, determinar qué elementos en serie generan dichoelemento si ω = 5000 *rad/s+
EjercicioDel circuito equivalente en serie se desea reducir el ángulo de la impedancia a -60°, diga queelementos deben agregarse y de qué valor para obtener dicho cambio.
Ejercicio
Calcular la impedancia y la admitancia equivalentes del circuitosi F = 1500 [Hz]
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Clase: 6 Fecha: 1-09-2010
Ejercicio
Calcular la impedancia equivalente del siguiente circuito y representar su circuito equivalente en serie
y en paralelo. F=1050 *Hz+, ω=6597.34*rad/s+
Admitancia:
Impedancia:
Circuito equivalente en serie
Circuito equivalente en paralelo
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Ejercicio
Determinar el comportamiento de la reactancia inductiva respecto a la frecuencia angularconsiderando L=1
Ejercicio
Determinar el comportamiento de la susceptancia inductiva y capacitiva respecto a la frecuenciaangular considerando L=1 y C=1 respectivamente
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Clase: 7 Fecha: 6-09-2010
El valor eficaz de una señal al circular una corriente i(t) por un elemento resistivo puro de resistenciaR, este elemento disipara una potencia P en función de del tiempo i(t) con un determinado valormedio. Ahora, esta potencia P la puede disipar una corriente constante de intensidad i. Lo mismopodemos decir respecto al voltaje eficaz. Matemáticamente queda expresado por la siguienteexpresión:
∫
√ √
EjerciciosDeterminar el valor eficaz de la siguiente señal de voltaje
√
Un voltímetro
EjercicioDeterminar la suma de las siguientes corrientes
La suma no se puede hacer porque las corrientes tienen frecuencia distinta
Notación fasorial
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Ejercicio
Determinar la suma de las siguientes corrientes .418° [A]
Ejercicio
Determinar el valor de la impedancia y además que elementos la conforman, si tenemos los
siguientes valores:
Resistor:
Inductor:
Ejercicio
Encontrar la corriente i(t) que circula por el siguiente circuito y graficar V e I en el plano complejo
Para circuitos puramente inductivos, el voltaje se encuentra adelantado a la corriente 90°. Para
circuitos con dominancia inductiva el adelanto está entre 0°-90°.
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Clase: 8 Fecha: 8-09-2010
BL
Circuito abierto Cortocircuito
Ejercicio
Ejercicio
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Ejercicio
Calcular las corrientes que
fluyen por el circuito
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Clase: 9 Fecha: 13-09-2010
Ejercicio
Determinar las corrientes que circulan en el interior del circuito
Ejercicio
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Ejercicio
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Clase: 10 Fecha: 20-09-2010
Ancho de banda: Factor de calidad:
Frecuencias de corte: * + * + Si el Q S<10 se deben usar las siguientes fórmulas para las frecuencias de corte:
Frecuencia de media potencia
Son aquellas donde se cosume la mitad de la potencia con respecto a la frecuencia consumida por
la frecuencia de resonancia
Ejercicio
Se tiene un circuito RLC conectado en serie donde R=4[Ω], L=22[mH], Q s=50, calcular el valor de C
que produce, el ancho de banda, frecuencias de corte. Considere V=180[V]
* +
√
[ ]
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Ejercicio
Se tiene un circuito RLC en serie donde R=2[Ω], L=1[mH], C=0.4[µF]. Determinar ω0, Q s, β, ω1,2
[ ] Ejercicio
Se tiene un circuito RLC en serie R=100[Ω], L=5[mH], C=50[µF]. Determinar ω0, Q s, β, ω1,2
[
] [
] [
]
Ejercicio
Se tiene un circuito RLC en paralelo. Calcular en magnitud y ángulo la admitancia si a)ω=4000* +b)5000* +, c)6000* +. Si L=10 [mH], C=4[µF], R=8[Ω]
Si Y=0 circuito abierto
ω |Y| Y
4000 0.125 4.11°
5000 0.125 0°
6000 0.125 3.33
Resonancia en paralelo
Es cuando en un circuito eléctrico conectado en paralelo y que contenga por lo menos un
capacitor y un inductor se presenta el caso de que anulan las suceptancias √ [ ] √
Ejercicio
Diseñar un circuito resonante para poder sintonizar la estación universal situada en 92.1[MHz]
[ ]
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Clase: 11 Fecha: 22-09-2010
Ejercicio
Diseñar un circuito resonante en paralelo con R=4[kΩ], Q s=14 y ω0=14200[rad/s]
Ejercicio
Se necesita un circuito resonante RLC en paralelo que opere a ω0=10[µrad/s] y β=200[krad/s].
Determinar L y Q s si C=10[pF].
Ejercicio
Para un circuito RLC en paralelo R=8[kΩ], L=40[mH] y C=0.25[µF]. Determinar Q S, ω0, β, ω1,ω2 [ ]
[ ] [ ]
Ejercicio
Determinar ω0
del siguiente circuito.
[ ]
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Ejercicio
Determinar ω0 del siguiente circuito.
√ [ ]
Ejercicio
Determinar Q S, ω0, β, ω1,ω2. Si R=200*Ω+, L=2*mH+ y C=5*µF+.
√ [ ]
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Clase: 12 Fecha: 27-09-2010
Potencia media e instantánea
La potencia instantánea en watts es la potencia en cualquier instánte:
La potencia promedio en watts es el promedio de la potencia instantánea a lo largo de un periodo: ∫
Potencia aparente y factor de potencia
La potencia promedio es producto de dos términos. El producto se conoce como
potencia aparente S. El factor se llama factor de potencia (fp).
El factor de potencia es el coseno de la diferencia de fase entre el voltaje y la corriente. También
es igual al coseno del ángulo de la impedancia de la carga.
Potencia Compleja
La potencia complejo (en VA) es el producto del fasor de voltaje rms y el conjugado del fasor
complejo de la corriente rms. Como variable compleja, su parte real representa la potencia realP y
su parte imaginaria la potencia reactivaQ.
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Clase: 13 Fecha: 29-09-2010
Ejercicio
Calcular la potencia real, reactiva, aparente, fp y dibujar el triángulo de potencia
Ejercicio
Un motor eléctrico requiere para su funcionamiento P=16[kW] a 110 [Vrms], la carga presenta un
fp=90% atrasado. Si la línea por la que se alimenta tiene RT=0.15[Ω] calcular: la potencia que debe
suministrar la compañía, la pérdida de potencia en la línea de alimentación, el V con el que opera y
el % de aprovechamiento de energía.
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Ejercicio
Encontrar la potencia real, reactiva, aparente, el factor de potencia y dibujar el triángulo de
potencias para el siguiente circuito con ω = 1000 *rad/s+
Ejercicio
Se tiene un circuito con un motor de inducción de 4 [kW] con f p = 55.5% atrasado, para conseguir
tarifas eléctricas más bajas el f p debe aumentarse a 90% atrasado. Si V = 220 [VRMS], determinar el
valor del capacitor que se debe conectar en paralelo. Considere F = 60 *Hz+, ω = 120π *rad/s+
II C
x=
SC
IV =− 18.44j = 18.44 / 90° [ A RMS]
Z C =IV
II =
22018.44
/ 90°=− 11.93j
C =1
ω X C =
1
120π 11.93= 0.22 [mF ]
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Clase: 14 Fecha: 04-10-2010
Ejercicio
Un dispositivo funciona a 300 [kW] con un f p de 65% atrasado. El factor de potencia debeaumentarse a 90% en atraso. Determinar el valor de C considerando V = 200 [VRMS]
f p= cosθ 1= 0.65 ⇒ θ 1= 49.46°
S1=P
cosθ 1=
300000
0.65= 461538.46 [VA] Q1= S1 senθ 1= 350747 [VAR]
f p= cosθ 2= 0.9 ⇒ θ 2= 25.84°
S2=P
cosθ 2=
300000
0.9= 333333.33 [VA] Q2= S 2senθ 2= 145286 [VAR]
QC =Q1−Q2= 205461 [VAR]
C =QC
ωV RMS
2 = 13.62 [mF ]
Ejercicio
Un cliente de LFC necesita una P de 20.5 [kW] a 140 [V] y 50 [Hz]. La carga que va a conectarpresenta un fp = 0.642 atrasado. La línea presenta una resistencia de 0.18 *Ω+. Calcular la potencia
que se pierde en la línea, la potencia que debe generar la compañía, la C en paralelo para
aumentar el fp a 0.89 atrasado y la potencia y el voltaje que debe generar la compañía
correspondiente al fp = 0.89 S1=
P
cosθ 1
=20500
0.642= 31931.46 [VA] Q1= S1 senθ 1= 24482.4 [VAR]
f p= cosθ 2= 0.89 ⇒ θ 2= 27.12 °
S2=P
cosθ 2=
20500
0.89= 23033.7 [VA] Q2= S 2senθ 2= 10500.04 [VAR]
QC =Q1−Q2= 12533.65 [VAR]
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C =QC
ωV RMS
2 = 4.07 [mF ]
i RMS=P
V RMScosθ 2= 232.67 [ A RMS]
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Clase: 15 Fecha: 11-10-2010
Los dos circuitos siguientes son equivalentes
Monofásico de 2 hilos Monofásico de 3 hilos
Sin embargo, el de 3 hilos posee tierra, la cual proporciona protección y descarga de corriente o
balanceo de cargas.
Ahora en un sistema bifásico se pueden tener dos casos, los cuales hacen que cambie el
comportamiento del sistema.
En el primero la corriente se mantiene igual mientras el voltaje se incrementa, y en el segundo el
voltaje permanece igual y la corriente aumenta.
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Clase: 16 Fecha: 13-10-2010
Sistemas Trifásicos
Sistema Trifásico de 4 hilos
Voltajes de fase o voltaje a
neutro . corrientes de fase. Voltajes entre línes corrientes entre líneas.
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Condiciones de balanceo
1. Las impedancias de fase del sistema deben ser iguales
2. La magnitud de los voltajes de fase debe ser la misma|| || || 3. La suma algebraica de los voltajes de fase debe ser cero
√
√ √
Conexión estrella
|| √ || De la ley de Ohm:
Para un sistema desbalanceado:
En un sistema balanceado:
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Ejercicio
Se tiene una conexión en estrella con un voltaje de línea de 200[Vrms] la cual alimenta a una carga
balanceada con una potencia total de 900[W] con un fp=0.9 . Determinar la corriente de línea y la
impedancia de fase.
√
√ √
Ejercicio
Calcular las potencias medias, total y el factor de potencia si tenemos un sistema trifásico en
estrella donde
√
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,
Ejercicio
Calcular las corrientes de línea si sabemos que sabiendo que|| √
√ √ √ Potencia
Sistema desbalanceado
Sistema balanceado √
Ejercicio
Se tiene una carga conectada en delta donde PT=1500[W] con un fp=80% en atraso, suponiendo la
carga balanceada , determinar la corriente de línea si V=290[V]
√ √
Clase: 17 Fecha: 18-10-2010
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Ejercicio
Calcular las corrientes de fase y línea de un circuito delta y además calcular las potencias medias,
fp, la potencia total y los fp mdios si:
Transformación Estrella-Delta (Y-Δ)
Para este tipo de transformaciones existen dos métodos a utilizar los cuales son el método de
las admitancias y el método de las impedancias.
Método de las admitancias:
La admitancia de una rama de la delta es igual al producto de las admitancias de las ramas
adyacentes de la estrella divididas entre la suma de las admitancias de la estrella.
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Método de las impedancias:
La impedancias de una rama de la delta es igual a la suma de los productos de la impedancia
de la estrella tomados de dos en dos y divididos entre la impedancia de la rama opuesta a la
estrella.
Transformación Delta-Estrella (Δ-Y)
La impedancia de una rama de la estrella es igual al producto de las impedancias de las ramas
adyacentes de la delta divididas entre la suma de las impedancias de la delta.
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Clase: 18 Fecha: 20-10-2010
Teorema de superposición
El teorema de superposición establece que la respuesta en cualquier elemento de un circuito
lineal bilateral que contenga dos o más fuentes es la suma de las respuestas obtenidas para cada
una de las fuentes, actuando separadamente y con todas las demás fuentes iguales a cero.
El principio de superposición se aplica para determinar las corrientes y las tensiones en los nodos
que están relacionados linealmente con las fuentes que actúan en el circuito.
Ejemplo
Se toma como un circuito abierto
descartando una de las fuentes
i x1
=V
RT
=3
15= 0.2 [ A]
Se descarta la otra fuente pero
dejando cerrado el circuito
Finalmente se suman las dos corrientes obtenidas
anteriormente
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Teorema de sustitución
Se puede sustituir cualquier
elemento en un circuito por una
fuente que proporcione el mismo
voltaje y pase por ella la misma
corriente que dicho elemento.
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Transformación con condiciones iniciales
Para esta transformación se necesita hacer una medición con un instrumento externo,
Transformación de fuentes ideales a reales
De fuente ideal de voltaje a fuente real de voltaje. Una fuente ideal de voltaje es aquella que notiene una impedancia conectada en serie, por lo tanto, no se puede transformar en fuente de
corriente. Para ser transformada a real se sigue la siguiente metodología:
a) Por cada fuente ideal de voltaje que exista en una red, el número de nodos se reduce a uno.
b) Por cada fuente ideal que tenga una red, el número de fuentes reales de voltaje aumenta a 2
fuentes cuando se desplaza a 2 ramas, 3 cuando se desliza a 3 ramas, etc. Por esta razón es
preferible deslizar la fuente de voltaje hacia donde exista un menor número de ramas
Ejemplo
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Transformación de fuente ideal de corriente a fuente real de corriente
Para transformar una fuente de corriente ideal a una real se hace lo siguiente:
La fuente ideal de corriente se reemplaza por un circuito abierto
Se coloca una fuente en paralelo respetando el sentido de la fuente original en los
elementos adyacentes
Ejemplo
Ejercicio
Del siguiente circuito transformar la fuente de corriente a voltaje y viceversa.
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Clase:19 Fecha: 25-10-2010
Teorema de Tellegen
Fue publicado en 1952 por Bernard Tellegen
Las suposiciones básicas de los sistemas son la conservación del flujo de muchas
cantidades y el conjunto de potenciales en los nodos de una red. Este teorema se aplica a circuitos lineales o no lineales, variantes o invariantes en el
tiempo y cuyo estado energético puede ser nulo o no. Establece que en un circuito la
suma de potencias en las ramas es igual a cero, o bien, la potencia suministrada es
igual a la consumida por el mismo.
El teorema de Tellegen nos brinda una herramienta útil en el análisis de sistemas
complejos de redes como los circuitos eléctricos, y a veces es llamado “balance de
potenciales”
Teorema de reciprocidad
Se aplica a redes eléctricas de una sola fuente, elementos lineales y pasivos.
La corriente i en cualquier rama de una red, debida a una sola fuente de voltaje E en cualquier otra
parte de la red, será igual a la corriente a través de la rama en que la fuente está originalmente
localizada si la fuente es colocada en la rama en que la corriente i se midió en un principio.
=
Teorema de la red equivalente de Thevenin
Este teorema establece que un sistema eléctrico lineal cargado con una impedancia arbitraria,
puede ser sustituido por su equivalente de Thevenin sin afectar el voltaje y la corriente en donde
está conectada la impedancia de carga, el equivalente de Thevenin consiste en una fuente de
voltaje (VTh) y una impedancia equivalente (ZTh) conectados en serie. La impedancia de Thevenin es
la impedancia entre los puntos a y b del sistema original, cuando las fuentes de voltaje y corrienteque contenga este han sido anuladas. El voltaje de Thevenin es igual al voltaje medido entre las
terminales a y b cuando la impedancia de carga ha sido desconectada.
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Método sistemático para aplicar el teorema
El circuito equivalente de Thevenin es útil cuando se desea estudiar el comportamiento de un
elemento en particular de la red, en cuyo caso se suele seguir el siguiente procedimiento:
1. Se selecciona el elemento o grupos de elementos que se vayan a estudiar
2. Dichos elementos se separan de la red, dejando solamente dos bornes en circuito abierto
3. Se calcula el voltaje del circuito abierto aplicando las leyes de Kirchhoff y la ley de Ohm
4. Se reducen a cero los voltajes (sustituir fuentes de voltaje por corto circuito) de las fuentes
de la red o bien, se eliminan las corrientes (las fuentes de corriente se sustituyen por
circuitos abiertos) y se procede a calcular la impedancia equivalente
5. Se constituye el circuito equivalente de Thevenin, se reintegran los elementos separados y
se analiza la red resultante.
Teorema de la red equivalente de Norton
Este teorema establece que un S.E.L cargado con una impedancia arbitraria puede ser
reemplazado por su equivalente de Norton sin afectar el voltaje y la corriente en las terminales en
donde se encuentra conectada la impedancia de carga.
El equivalente de Norton consiste en una fuente de corriente equivalente (ie) y una impedancia
equivalente (Ze) conectadas en paralelo, la impedancia de Norton es la equivalente entre los
puntos a y b del S.E original cuando las fuentes de voltaje y de corriente que contenga este han
sido anuladas, la corriente de Norton es igual a la que fluye a través de la carga cuando la
impedancia de carga ha sido reemplazada por un corto circuito.
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Ejercicio
Calcular el equivalente de Thevenin y Norton del siguiente circuito.
Se sigue el método indicado, la fuente
de corriente se sustituye por circuito
abierto y la de voltaje por cortocircuito.
Con el voltaje y la resistencia de Thevenin
calculados se puede dibujar el circuito
equivalente.
Equivalente de Thevenin Equivalente de Norton
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Clase: 20 Fecha: 27-10-2010
Ejercicio
Calcular el equivalente de Thevenin y Norton del siguiente circuito
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Ejercicio
Teorema de la máxima transferencia de potencia
Este teorema establece que la máxima potencia se
transfiere cuando la impedancia de Thevenin es
igual a la impedancia de la carga.
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Ejercicio
Hallar la máxima potencia transferida al circuito
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Clase:21 Fecha: 3-11-2010
Bipuertos o redes de dos puertos
Un bipuerto debe de cumplir con las siguientes tres características:
1. La corriente que entra por una terminal de un puerto debe ser igual a la corriente que sale
por la otra terminar del mismo puerto.
2. La red no debe de contener en su interior fuentes independientes aunque sí podrá
contener fuentes dependientes.
3. Las fuentes y las cargas deben estar conectadas entre las dos terminales de un puerto, es
decir, no se puede conectar nada entre las terminales de entrada y de salida con la
excepción del bipuerto aterrizado o de tres terminales.
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Para los bipuertos se consideran varios parámetros:
- Parámetros de impedancia o “Z”
- Parámetros de admitancia o “Y”
- Parámetros híbridos o “h”
- Parámetros híbridos inversos o “y” - Parámetros de transición o “T”
- Parámetros de transición inversa o “t”
También se consideran los siguientes tipos de conexiones:
- Serie
- Paralelo
- Cascada
Parámetros de impedancia
Usando la L.V.K. se tiene que:
Prueba del circuito abierto
Para determinar los parámetros de impedancia
hacemos una corriente igual a cero. Obtenemos lo
siguiente:
|
|
De donde:
Ω
Ω
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Se realiza lo mismo para la otra prueba y se obtiene lo
siguiente:
|
|
De donde:
A partir de estos parámetros podemos obtener las ecuaciones de bipuerto:
*+ [ ] []
La matriz de parámetros de impedancia es la matriz dada por:
[ ]
Donde:
es la impedancia de entrada en circuito abierto.
es la impedancia de salida en circuito abierto. es la impedancia transferida en circuito abierto del puerto 1 al puerto 2 o inversa.
es la impedancia transferida en circuito abierto del puerto 2 al puerto 1 o directa.
Para un bipuerto en términos de los parámetros sea simétrico debe de ser igual a , para
que sea recíproco debe ser igual a .
Algunos autores mencionan que y son las impedancias del punto de accionamiento y y
son las impedancias de transferencia.
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Ejercicio
Determinar las ecuaciones del bipuerto equivalente en términos de los parámetros Z del siguiente
circuito.
Para determinar z11 y z21 se pone una fuente de voltaje en la entrada y circuito abierto a la salida.
,
Ahora se pone una fuente en la salida y circuito abierto a la entrada
Lo que resulta en:
[] []
De manera alternativa podemos utilizar el circuito T que sólo es válido para circuitos
recíprocos.
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Ejercicio
Dados los siguientes voltajes y corrientes determinados en pruebas de circuito abierto para unbipuerto determine:
a) Los parámetros de impedancia
b) Las ecuaciones de bipuerto en términos de la impedancia
c) Dibuje el modelo equivalente en términos de los parámetros de impedancia
|
|
|
|
|
|
*+ * + []
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Parámetros de admitancia
Circuito equivalente general
De forma similar a los parámetros deimpedancia, usando la L.C.K. se tiene que:
De donde se deduce la ecuación de bipuerto equivalente “Y” siguiente:
[] [ ] []
Con la matriz de parámetros de admitancia dada por:
[ ]
De forma análoga a las impedancias, se procede forma similar para obtener las admitancias pero
ahora haciendo las pruebas de corto circuito.
Para determinar los parámetros de admitanciahacemos un voltaje igual a cero. Obtenemos lo
siguiente:
|
|
De donde:
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Se realiza lo mismo para la otra prueba y se obtiene lo siguiente:
|
|
De donde:
Donde:
es la admitancia de entrada en corto circuito.
es la admitancia de transferencia directa en corto circuito.
es la admitancia de transferencia inversa en corto circuito.
es la admitancia de salida en corto circuito.
Para que un bipuerto sea recíproco se debe de cumplir con la condición = .
Ejercicio
Haciendo las pruebas con llegamos a lo siguiente:
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De las pruebas con :
El problema también se puede resolver con el circuito equivalente Pi
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Clase: 22 Fecha: 8-11-2010
Parámetros híbridos
Red equivalente de parámetros h de un bipuerto
V1= h 11i1 + h 12 v2
I 2= h21 i1 + h22 V2
* + = * + * + Ec.
De Bipuertos equivalente
Aplicando prueba de circuito abierto en la entrada
V1= h 12 v2 h 12 = V1/ v2
I 2= h22 V2 evaluando estas ecs. Cuando i1=0 h22 = i2/V2 [S] cuando i1=0
Aplicando prueba del corto circuito en la salida
V1= h 11 i1 h 11 = V1/ i1 *Ω+
I 2= h21 i1 evaluando estas ecuaciones. Cuando V2=0 h21 = i2/i1 cuando V2=0
Se dice que si i2 > i1 es una Ganancia
h 11: es la impedancia de entrada en corto circuito
h 12 : es la ganancia de voltaje inversa en circuito abierto
h 21 : es la ganancia de corriente directa en corto circuito
h 22 : es la admitancia de salida en circuito abierto
La condición de reciprocidad es que h 21 = - h 21
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Ejercicio
Determinar las ecuaciones de bipuerto equivalente en términos de los parámetros híbridos.
Para obtener h11 y h21 se pone una fuente de corriente en el puerto de entrada y cortocircuito en
la salida.
De la figura anterior se tiene
Por la división de corrientes
Aplicando el divisor de voltaje:
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,
Parámetros híbridos inversos
Red equivalente de parámetros g de un bipuerto
i1= g 11v1 + g 12 i2
v 2= g21 i1 + g22 i2 * + =
[ ]
* +
Circuito abierto a la salida
i1= g 11 v1 g 11 = i1/ v1 [S]
v 2= g22 V 1 evaluando estas ecs. Cuando i2=0 g21 = v2/V1 cuando i2=0
Corto circuito a la entrada
i1= g 12 i1 g 12 = i1/ i2
v 2= g22 i 2 evaluando estas ecs. Cuando v1=0 g22 = v2/i2 *Ω+ cuando v1=0
g 11: es la admitancia de entrada en circuito abierto
g 12 : es la ganancia de corriente inversa en corto circuito
g 21 : es la ganancia de voltaje directa en circuito abierto
g22 : es la impedancia de salida en corto circuito
La condición de reciprocidad es que g 12 = - g 21
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EjercicioDeterminar las ecuaciones de bipuerto equivalente en términos de g del circuito siguiente:
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Clase: 23 Fecha: 10-08-2010
Parámetro de transmisión o “T”
Del diagrama se tiene que:
* +
* + * +
Prueba del circuito abierto en la salida
|
|
Prueba del corto circuito
|
|
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Donde:
- A es la razón de voltajes en circuito abierto.
- B es la impedancia de transferencia negativa en corto circuito.
- C es la admitancia de transferencia en circuito abierto.
- D es la razón de corrientes negativas en corto circuito.
La condición de reciprocidad es que AD-BC=1.
Ejemplo
Determinar los parámetros de transmisión del circuito:
Parámetros de transmisión inversa o “t”
Este conjunto de parámetros “t” se define expresando las variables en el punto de salida, en
términos de las variables en el puerto de entrada.
* +
[ ] [ ]
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Se procede de forma similar que en los parámetros “T” y se llega a que:
Prueba del corto circuito en la entrada:
|
|
Prueba del corto circuito en la entrada:
|
|
Donde:
- a es la ganancia de tensión en circuito abierto.
- b es la impedancia negativa de transferencia en corto circuito.
- c es la admitancia de transferencia en circuito abierto.
- d es la ganancia negativa de corriente en corto circuito.
La condición de reciprocidad es que ad-bc=1.
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Relaciones entre parámetrosLos parámetros con que se analizan los bipuertos se relacionan mediante el uso de la tabla deconversión de parámetros
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Clase: 24 Fecha: 15-11-2010
Conexión en serie
Para el bipuerto
Y para el bipuerto
Usando la L.V.K. tenemos que:
Sustituyendo las expresiones de los bipuertos y en las anteriores se llega a lo siguiente:
[] [ ] []
Donde:
[ ]
Ejemplos
Determinar para el siguiente circuito las matrices de parámetros Z de ambos bipuertos y laecuación de bipuerto equivalente en serie
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Ejercicio
Determinar la ecuación de bipuerto equivalente en serie del siguiente circuito
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Clase: 25 Fecha: 17-11-2010
Conexión en Paralelo
Ejemplo
Determinar las matrices de parámetros [Yp], [Ya] y [Yb] del siguiente circuito
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Ejemplo
Determinar la ecuación de bipuerto equivalente en términos de los parámetros de admitancia del
siguiente circuito
Ya = [ ] Yb = [ ]
Yp= [ ]
*+= [Yp] *+
Conexión en cascada
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Clase: 26 Fecha: 22-11-2010
Ganancia
[] [ ] []
Sustituyendo todas las ecuaciones entre sí:
Ganancia de Corriente
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Clase: 27 Fecha: 24-11-2010
Ejercicio
Vrs=Vg-V1=100mV-96mV=4mV
I1=Irs=Vrs/Irs=4mV/100 Ω=40uA
Z1=V1=I1=96mV/40uA=24k Ω
Para calcular Ro y Ri ponemos en corto circuito el otro lado
Avnl=V2/V1=-20v/4mV=-5000
Av=(-5000)((2.2k)/(2.2k+50k))=-210.73
Avt=(-210.73)(1/(1+1))=-105.35
Ro=(2.2k)((-5000/-210.73)-1)=50K Ω
Ganancia con parámetros híbridos
V1=h11i1+h12V2 …(1)
I2=h21i1+h22V2…(2)
V1=Vg-I1Zg …(3)
V2=-I2ZL
De 3 Vg=0, V1=-i1Zg …(5) sustituimos 5 en 1
-i1Zg=h11i1-h12v2
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-h12v2=h11i1+i1Zg
i1=(-h12v2)/(h11+Zg) ..6
i2=(-h21h12V2)/(h11+Zg)+h22V2
V2/i2=(h11+Zg)/(Zgh22+Δh) cuando Vg=0
Ganancia de corriente A
Ai=IL/I1=-I2/I1=-hf/(1+hoZL)
V1=i1=Zin=h11-((h12h21ZL)/(1+h22ZL))
Av=V2/V1=(-h21ZL)/( ΔhZL+h11)
La ganancia de corriente y voltaje, respectivamente, se definen como:
Las impedancias de entrada y salida se definen de la siguiente manera:
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Ejemplos:
1. Hallar las ganancias de voltaje y corriente y las impedancias de entrada y salida del
siguiente circuito:
(Diagrama)
Por lo que:
Finalmente
2. Hallar las ganancias de voltaje y corriente y las impedancias de entrada y salida del
siguiente circuito:
(Diagrama)
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Ejercicio
Considerando el circuito amplificador de emisor común. Determine la ganancia de voltaje, de
corriente y las impedancias de entrada y salida. Utilizando los siguientes parámetros h: