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APUNTES DE ELEMENTOS FINITOS
PARA SÓLIDOS DEFORMABLES
BEGOÑA CALVO CALZADA
MIGUEL ÁNGEL MARTÍNEZ BARCA
ESTEFANÍA PEÑA BAQUEDANO
Área de Mecánica de Medios Continuos y Tª de Estructuras
Diseño e impresión.-
Autores: Begoña Calvo Calzada Miguel Ángel Martínez Barca Estefanía Peña Baquedano
impreso en España / printed in Spain
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Indice general
1. Presentacion 1
2. Introduccion al metodo de los elementos finitos 5
2.1. Resolucion de una ecuacion diferencial orden dos . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1. Definicion del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.2. Formulacion fuerte y debil problema . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.3. Aproximacion de la incognita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.4. Propiedades de la funciones de aproximacion . . . . . . . . . . . . 8
2.1.5. Calculo de matrices y vectores elementales . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.6. Ensamblaje de las matrices y vectores elementales . . . . . . . . . 10
2.1.7. Imposicion de las condiciones de contorno esenciales . . . . . . . . 10
2.1.8. Resolucion del sistema algebraico de ecuaciones . . . . . . . . . . 10
2.1.9. Interpretacion fısica del problema resuelto . . . . . . . . . . . . . 11
2.2. Caracterısticas generales del MEF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3. Convergencia de la solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.1. Condicion de Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.2. Condicion de Derivabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.3. Condicion de Integrabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.4. Condicion de compatibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.5. Condicion de complitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.6. Condicion de invariancia geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.7. Condicion de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.8. Criterio de la Parcela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4. Etapas a definir para la resolucion de un problema diferencial mediante el
MEF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3. Problemas Unidimensionales en Mecanica de Solidos Deformables 23
i
ii Apuntes de Elementos Finitos para Solidos Deformables
3.1. Formulacion de elementos finitos para axil y torsion . . . . . . . . . . . . 24
3.1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.2. Esfuerzo axil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.3. Modelo de torsion de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.4. Modelo de torsion no uniforme de Vlasov . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2. Formulacion de elementos finitos en flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.1. Modelo de flexion de Euler-Bernoulli-Navier . . . . . . . . . . . . 30
3.2.2. Modelo de flexion de Timoshenko . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3. Comparacion entre los modelos a flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3.2. Integracion numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.3. Bloqueo a cortante en el modelo de elementos finitos de Timoshenko 37
3.4. Solucion del problema de bloqueo a cortante . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4.1. Integracion reducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4.2. Distinta aproximacion para flecha y giros . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4.3. Campo de deformaciones a cortante impuesto . . . . . . . . . . . 50
3.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4. Resolucion de problemas bidimensionales en Mecanica de Solidos Deformables 77
4.1. Problema elastico bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2. Elementos de referencia y coordenadas naturales . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2.1. Aproximacion de la geometrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2.2. Funciones de aproximacion de la variable . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3. Integracion numerica en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.4. Algunos elementos en elasticidad bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.4.1. Elemento cuadrilatero bilineal. Deformacion plana . . . . . . . . . 88
4.4.2. Elemento triangular lineal. Tension plana . . . . . . . . . . . . . 92
4.4.3. Comparacion de resultados en funcion del tipo de elemento utilizado 94
4.4.4. Elemento cuadrilatero bilineal. Axisimetrico deformacion plana . . 95
4.5. Programacion del elemento cuadrilatero bilineal en elasticidad . . . . . . . 97
5. Resolucion de problemas tridimensionales en Mecanica de Solidos Deformables 137
5.1. Problema elastico tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.2. Elementos de referencia y coordenadas naturales . . . . . . . . . . . . . . 140
5.3. Integracion numerica en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.4. Comparacion de resultados en funcion del tipo de elemento utilizado . . . 145
5.5. Elemento hexaedrico trilineal en elasticidad lineal . . . . . . . . . . . . . . 147
6. Tecnicas Globales 149
Contenidos 3
6.1. Ensamblaje de las matrices y vectores elementales . . . . . . . . . . . . . 150
6.1.1. Caracterısticas de la matriz global . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.2. Imposicion de las condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.3. Metodos de almacenamiento de la matriz de rigidez . . . . . . . . . . . . . 154
6.4. Metodos de resolucion del sistema de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . 155
6.5. Calculo de variables elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Apendice A Planteamiento diferencial de La Barra 159
A.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
A.2. Planteamiento diferencial de la barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
A.2.1. Esfuerzo axil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
A.2.2. Modelo de flexion de Euler-Bernoulli-Navier . . . . . . . . . . . . 163
A.2.3. Modelo de flexion de Timoshenko . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
A.2.4. Modelo de torsion de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
A.2.5. Modelo de torsion no uniforme de Vlasov . . . . . . . . . . . . . . 167
Apendice B Aplicacion del MEF a otros problemas en Mecanica de Medios Continuos169
B.1. Problema de campo. Flujo unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
B.1.1. Formulacion debil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
B.1.2. Matriz de rigidez y vector de carga elementales . . . . . . . . . . . 171
B.2. Problema de Flujo bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
B.2.1. Matriz de rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
B.2.2. Vector de carga elemental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
B.3. Elemento hexaedrico trilineal para problemas Flujo tridimensional . . . . 176
Bibliografıa 189
1Presentacion
En la decada de los cincuenta comenzo a desarrollarse un metodo que, partiendo de las
ideas variacionales o energeticas ampliamente utilizadas en la primera mitad del siglo para
la obtencion de soluciones aproximadas, e incluyendo los conceptos de matriz de rigidez y
vector de cargas elementales que aparecıan en el calculo matricial de estructuras de barras,
permitıa establecer, mediante procedimientos intuitivos, las matrices de rigidez elementales
de subdominios previamente definidos de un medio elastico bidimensional. Este metodo,
desembocarıa finalmente en los anos posteriores en el Metodo de los Elementos Finitos
(MEF).
Fue la industria aeronautica la que, con la aparicion del motor a reaccion, planteo la
necesidad imperiosa de disponer de una herramienta de analisis suficientemente potente y
precisa, como para poder abordar los complejos problemas de geometrıa y cargas que en ella
se presentan, sin perder las dos condiciones basicas del diseno aeronautico: la seguridad y
la ligereza. En la empresa Boeing, bajo la direccion de Turner, un pequeno grupo comienza
a implementar las ideas antes aludidas, que plasman en un artıculo ya clasico, publicado
en el Journal of Aeronautical Sciences (Septiembre de 1956).
Es de senalar que el metodo vio la luz en el momento historico en que de forma natural
tenıa que aparecer. Efectivamente, se conjugaron los resultados aportados por Ritz, Ga-
lerkin y Courant en lo referente a metodos aproximados y formulacion variacional con los
primeros de Cross, Levy y Argyris en el establecimiento de matrices de rigidez de barras,
y sobre todo los primeros balbuceos en la comercializacion de ordenadores, sin los cuales
el MEF no hubiera sido posible. Todo ello en el breve espacio de los 25 anos previos a la
aparicion de este metodo.
Durante los anos sesenta se establecen las bases matematicas del metodo, siendo otra
fecha significativa en su desarrollo el ano 1967 cuando se publica el libro de O. C. Zienkie-
wicz “The Finite Element Method in Structural and Continuum Mechanics”, en el que se
compendian los conocimientos del metodo hasta esas fechas y que permitio su mas amplia
difusion. En esos anos, el MEF, inicialmente limitado a problemas estaticos lineales, se
extiende a problemas no lineales y dinamicos, destacando las contribuciones de Gallagher,
1
2 Apuntes de Elementos Finitos para Solidos Deformables
Oden, Taylor y muchos otros.
Posteriormente, en la decada de los setenta, el MEF alcanza su madurez, con la apli-
cacion a multiples problemas, no relacionados con el analisis estructural como mecanica
de fluidos, transmision de calor, electricidad, etc. Asimismo aparecen los primeros textos
relacionados con los fundamentos matematicos del metodo y nuevos algoritmos mas eficaces
para la resolucion de grandes sistemas de ecuaciones o problemas de autovalores, ası como
formulaciones no lineales. Es difıcil destacar algunos nombres entre la ingente cantidad de
investigadores dedicados al metodo pero citaremos aquı ademas de los anteriores a Hinton,
Owen, Ciarlet, Glowinski, Irons, Bathe y Felippa.
Es en esta decada tambien cuando aparecen los grandes programas de elementos fini-
tos que hacen aplicable el metodo en la industria mas sofisticada. Entre tales programas
destacan: ABAQUS, NASTRAN, ANSYS, IDEAS, CATIA la serie SAP, ADINA, MARC,
STRUDL, ASKA, MODULEF, etc.
La segunda mitad de los setenta y la decada de los ochenta se caracterizan por el desa-
rrollo espectacular de los pre y postprocesadores graficos que permiten una visualizacion
inmediata y realista de los datos y resultados del problema en estudio. Asimismo la apli-
cacion del metodo a microordenadores, mediante la configuracion de programas altamente
modulares y tecnicas particulares de programacion, ha supuesto una segunda revolucion en
la difusion del metodo entre la pequena y mediana empresa.
En la actualidad, el numero de publicaciones e investigadores dedicados al metodo es
enorme, habiendose consolidado como la principal herramienta de calculo en el analisis
estructural, que ha permitido el desarrollo de centrales nucleares, naves espaciales y demas
puntas de lanza de la tecnologıa actual.
El objetivo de este bloque es la presentacion del MEF como herramienta para resolver
problemas lineales en el ambito de la Mecanica de Solidos Deformables. Tambien utilizare-
mos el software comercial Abaqus para la resolucion de varios problemas.
Presentacion 3
(a) Pasarela metalica (b) Union soldada
(c) Stent metalico en una arteria
Figura 1.1 Distintas aplicaciones del metodo a problemas reales
2Introduccion al metodo de los elementos
finitos
El objetivo de este primer capıtulo es familiarizarnos con los conceptos generales del
metodo de los elementos finitos (MEF). Para ello, comenzaremos resolviendo una ecuacion
diferencial de orden 2 utilizando el MEF, e introduciremos los conceptos de formulacion
fuerte y debil, funciones de ponderacion y aproximacion (o de forma), nudos, elementos,
matriz de rigidez elemental, vector de carga, etc.
2.1. Resolucion de una ecuacion diferencial orden dos
2.1.1. Definicion del problema
Encontrar la funcion u(x), 0 ≤ x ≤ L , que satisface la ecuacion
Kd2uxdx2
= −fx (2.1)
con las siguientes condiciones de contorno:
esencial : ux(x = 0) = 0,003m
natural : G(L) = Kdux(X = L)
dx= 750N (2.2)
siendo L = 2m , K = 0,06× 106N y fx = −750N/m.
Para mantener la generalidad del metodo, como veremos en capıtulos posteriores, ex-
presamos el problema (2.1) en forma matricial,
A.u = f en Ω
G.u = g en δΩ (2.3)
siendo:
1. Vector de incognitas: u = (ux)1x12. Operador diferencial: A = SDH = ( d
2
dx2 )1x1 de orden 2k (k=1).
3. Operador diferencial: H = ( ddx )1x1 de orden k.
5
6 Apuntes de Elementos Finitos para Solidos Deformables
4. Operador diferencial: S = ( ddx )1x1 de orden k.
5. Matriz constitutiva: D = (K)1x16. Vector de datos: f = (f)1x1
2.1.2. Formulacion fuerte y debil problema
Esta forma de plantear el problema (2.1) se denomina forma fuerte del problema y exige
a la funcion solucion derivabilidad con continuidad de orden 2. En este caso, el problema
tiene solucion exacta sin mas que realizar la doble integracion y calcular las dos constantes
de integracion con las dos condiciones de contorno existentes. Si se realizan tales operaciones
se llega a una solucion exacta dada por (2.4)
ux(x) = (6,25x2 − 12,5x+ 3)10−3 con x expresadoen m (2.4)
Sin embargo, vamos a proceder a su resolucion mediante el metodo de los elementos
finitos. En primer lugar, se ha de transformar la formulacion fuerte (2.1) en la formulacion
debil. Para ello, se realiza el producto escalar de los dos terminos que definen la ecuacion
diferencial por una funcion vectorial ψ de la misma dimension que la funcion incognita u e
intregar las resultantes en el dominio del problema. En definitiva:∫ L
0
ψKd2uxdx2
dx = −∫ L
0
ψfxdx (2.5)
Si el termino de la izquierda se integra por partes k veces se observa que el primer
terminoA.u se puede integrar, por partes una vez, de forma que apareceran los dos terminos
siguientes: [Kψ
duxdx
]L0
−∫ L
0
Kdψ
dx
duxdx
dx = −∫ L
0
ψfxdx (2.6)
Reordenando terminos, nos queda∫ L
0
Kdψ
dx
duxdx
dx =
∫ L
0
ψfxdx+
[Kψ
duxdx
]L0
(2.7)
Para simplificar la notacion representamos por f′la derivada de f respecto x, con lo
que la ecuacion (2.7) se puede expresar por∫ L
0
Kψ′u
′
xdx =
∫ L
0
ψfxdx+[Kψu
′
x
]L0
(2.8)
Conocida como formulacion debil del problema. Si se encuentra una funcion ux solucion
de (2.8) para cualquier funcion ψ (con continuidad de primer orden), debera ser derivable
con continuidad de primer orden. A dicha funcion se denomina solucion debil del problema.
Observese que las condiciones de contorno naturales aparecen en esta formulacion en el
termino integral de contorno de la derecha de la ecuacion, con lo cual para tenerlas en