apuntes elementales de probabilidades
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8/19/2019 Apuntes Elementales de Probabilidades
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Apuntes de Probabilidades y Procesos Estoc´ asticos
AYHAM A LCHOUHUF
14 DE FEBRERO DE 2016
Indice
1. Probabilidades: Conceptos y Definiciones 2
1.1. Senal Aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Definicion de Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3. Operaciones de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.1. Diagrama de Venn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.2. Igualdad y diferencia de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.3. Union e interseccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.4. Complemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4. Principio de dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.5. Conceptos de Probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.5.1. Espacio Muestral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.5.2. Espacios Muestrales Discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.5.3. Espacios Muestrales Continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.6. Sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.7. Axiomas y definicion de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.8. Probabilidad: Como una Frecuencia Relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.9. Probabilidad Conjunta y Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.9.1. Probabilidad conjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.9.2. Probabilidad condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.10. Probabilidad Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.11. Teorema de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.12. Sucesos Independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.12.1. Dos Sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.12.2. Multiples Sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.12.3. Propiedades de los sucesos independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.13. Experimentos Combinados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.13.1. Espacio muestral combinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.13.2. Sucesos en el espacio combinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.14. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.15. Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Leyes y Formulas 6
2.1. Leyes de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
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1. Probabilidades: Conceptos y Definicio-
nes
1.1. Se ˜ nal Aleatoria
Una senal aleatoria es una forma de onda que solo se puede ca-
racterizar de forma probabilıstica. En general, puede ser una forma
de onda deseada o no deseada.
1.2. Definicion de Conjunto
Un conjunto es una coleccion de objetos. Los objetos se llaman
elementos del conjunto y pueden ser cualquier cosa. Y un conjunto
de conjuntos, a veces se le denomina clase de conjuntos.
Para cualquier conjunto Universal dado de N elementos, existen
2 N posibles Sub-Conjuntos.
1.3. Operaciones de Conjuntos
Cuando se trabaja con conjuntos, es util emplear una represen-
tacion geometrica que nos permita asociar una imagen fısica con
los conjuntos.
1.3.1. Diagrama de Venn
Los conjuntos se representan mediante figuras planas cerradas.
Los elementos de los conjuntos se representan mediante puntos en
su interior (area). El conjunto universal S se representa mediante
un rectangulo.
1.3.2. Igualdad y diferencia de conjuntos
Dos conjuntos A y B son iguales si todos los elementos de A
estan en B y todos los elementos de B estan en A; es decir, si A C B
y B C A. Que dos conjuntos sean iguales se expresa como A = B.
La diferencia de dos conjuntos A y B se denota por A− B
y es el conjunto que contiene todos los elementos de A que no
estan presentes en B. Por ejemplo, con A = {0,6 < a < 1,6}y B = {1,0 < b < 2,5}, entonces A− B = {0,6 < c < 1,0} o
B− A = {1,6 < d < 2,5}. Observe que A− B = B− A.
1.3.3. Union e interseccion
La uni´ on (sea C ) de dos conjuntos A y B se expresa del siguien-
te modo:
C = A∪ B (1)
Es el conjunto de todos los elementos de A o B, o ambos. La
union a veces se denomina suma de dos conjuntos.
La intersecci´ on (sea D) de dos conjuntos A y B se expresa como
sigue:
D = A∩ B (2)
Es el conjunto de todos los elementos comunes de A y B. En
ocasiones, la interseccion se denomina producto de dos conjuntos.
Propiedad: Para dos conjuntos mutuamente excluyentes A y B,
el producto: A∩ B = φ
1.3.4. Complemento
El complemento de un conjunto A, que se designa como A, es
el conjunto de todos los elementos que no estan en A. Luego:
A = S − A (3)
Tambien es facil ver que: φ = S , S = φ y que A∩ A = φ
1.4. Principio de dualidadEste principio establece si en una identidad reemplazamos las
uniones por intersecciones, las intersecciones por uniones, S por φ
y φ por S , entonces la identidad no varıa.
1.5. Conceptos de Probabilidades
1.5.1. Espacio Muestral
Es el conjunto de todos los resultados posibles en cualquier
experimento. Se designa mediante el sımbolo S (Conjunto Univer-
sal).
1.5.2. Espacios Muestrales Discretos
En el experimento de tirar un dado, S es un conjunto finito de
seis elementos. Tal espacio muestral se dice que es discreto y finito.
En algunos experimentos, el espacio muestral puede ser discreto e
infinito. Por ejemplo, S en el experimento ”elegir aleatoriamente
un entero positivo” es el conjunto infinito contable {1,2,3, . . .}.
1.5.3. Espacios Muestrales Continuos
Algunos experimentos tienen un espacio muestral infinito e
incontable. Por ejemplo, el experimento ”obtener un numero gi-
rando la manecilla de una rueda de la fortuna numerada de 0 a
12”. Aquı, cualquier numero S de 0 a 12 puede ser el resultado y
S = {0 < s < 12}. Un espacio muestral ası se dice que es continuo.
1.6. Sucesos
Un suceso se define como un subconjunto del espacio mues-
tral. Puesto que un suceso es un conjunto, todas las definiciones
y operaciones anteriores aplicables a conjuntos se aplicaran a los
sucesos. Por ejemplo, si dos sucesos no tienen resultados comunes
ser an mutuamente excluyentes.
Al igual que los espacios muestrales, los sucesos pueden ser
discretos o continuos.
1.7. Axiomas y definicion de probabilidad
A cada suceso definido sobre un espacio muestral le asignare-
mos un numero no negativo denominado probabilidad y se denota
como P( A), para definir la probabilidad de que ocurra el suceso A,
Por tanto, la probabilidad es una funcion de los sucesos definidos.
Cuando un suceso se enuncia explıcitamente como un conjunto
usando llaves, empleamos la notacion P{·} en lugar de P({·}).
Axiomas:
1. P( A) ≥ 0
2. P(S ) = 1 ”S se conoce como Suceso Seguro”
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El tercer axioma se aplica a N sucesos An,n = 1,2, . . . , N , don-
de N posiblemente sea infinito, definido sobre un espacio muestral
S y teniendo la propiedad Am ∩ An = 0 para todo m = n. Es decir,
3. P
N
n=1
An
=
N
∑n=1
P( An) si Am∩ An = 0
Observar: En general, la probabilidad de un suceso discreto,
definido sobre un espacio muestral continuo es 0. Una consecuen-
cia de la afirmacion anterior es que los sucesos pueden ocurrir in-
cluso aunque su probabilidad sea 0. Tales sucesos no son igualesque el suceso imposible, que no tiene ningun elemento, por tanto,
no puede ocurrir. La situacion inversa puede producirse cuando los
sucesos con probabilidad no pueden ocurrir. Finalmente, los suce-
sos con probabilidad 1 (que pueden no ocurrir) no son iguales que
el suceso seguro, que debe ocurrir siempre.
1.8. Probabilidad: Como una Frecuencia Relativa
Suponiendo un experimento cualquiera, el cual se repite mu-
chas veces (por ejemplo digamos N ) y algun suceso especifico que
llamaremos n H , de n ensayos, entonces:
lımn→+∞
n H
n = P( H ) (4)
Donde P( H ) se interpreta como la probabilidad del suceso ” H ”. La
relacion n H /n es la frecuencia relativa (o numero promedio de ocu-
rrencias) de ese suceso. Se utiliza la idea de regularidad estad ısti-
ca para tener en cuenta el hecho de que las frecuencias relativas se
aproximan a un valor fijo (una probabilidad) cuando n es grande.
1.9. Probabilidad Conjunta y Condicional
En ciertos experimentos, puede ocurrir que algunos sucesos no
sean mutuamente excluyentes debido a los elementos comunes en
el espacio muestral. Estos elementos corresponden a la ocurrencia
simultanea o conjunta (joint) de los sucesos no excluyentes. Parados sucesos A y B, los elementos comunes forman el suceso A∩ B.
1.9.1. Probabilidad conjunta
La probabilidad P( A∩ B) se denomina probabilidad conjunta
de los sucesos A y B que se interseccionan en el espacio muestral.
P( A∩ B) = P( A) + P( B)−P( A∪ B) (5)
De forma equivalente,
P( A∪ B) = P( A) + P( B)−P( A∩ B) ≤ P( A) + P( B) (6)
En otras palabras, la probabilidad de la interseccion de dos sucesos
nunca es mayor que la suma de las probabilidades de los sucesos.
La igualdad se mantiene solo para sucesos mutuamente excluyen-
tes, porque A∩ B = φ , y por tanto P( A∩ B) = P(φ ) = 0.
1.9.2. Probabilidad condicional
Dado un suceso B con probabilidad distinta de cero, tal que
P( B) > 0 definimos la probabilidad condicional de un suceso A,
dado B, como sigue:
P( A| B) = P( A∩ B)
P( B) (7)
La probabilidad P( A| B) simplemente refleja el hecho de que laprobabilidad de un suceso A depende de un segundo suceso B. Si
A y B son mutuamente excluyentes, A∩ B = φ y P( A| B) = 0
1.10. Probabilidad Total
La probabilidad P( A) de cualquier suceso A definido sobre un
espacio muestral S se puede expresar en terminos de probabilida-
des condicionales. Supongamos que tenemos sucesos mutuamente
excluyentes Bn, n = 1,2, . . . , N ; cuya union es igual a S . Estos su-
cesos satisfacen:
1. Bm ∩ Bn = φ m = n = 1,2, . . . , N
2.
N n=1
Bn = S
Y finalmente definiendo:
P( A) = N
∑n=1
P( A| Bn)P( Bn) (8)
como probabilidad total del suceso A.
1.11. Teorema de Bayes
Sea Bn
uno de los sucesos definidos en un experimento cual-
quiera, y un suceso A ya registrado, se define:
P( Bn| A) = P( Bn∩ A)
P( A) , P( A) = 0 (9)
O alternativamente:
P( A| Bn) = P( A∩ Bn)
P( Bn) , P( Bn) = 0 (10)
Una forma del teorema de Bayes se obtiene de igualar las ecuacio-
nes (9) y (10):
P( Bn| A) = P( A| Bn)P( A)
P( Bn), P( A) = 0 (11)
Otra forma se obtiene sustituyendo P( A) con la expresion dada por
(8):
P( Bn| A) = P( A| Bn)P( Bn)
P( A| B1)P( B1) + . . .+ P( A| Bn)P( Bn), n = 1,2, . . . , N
(12)
1.12. Sucesos Independientes
1.12.1. Dos Sucesos
Sean dos sucesos A y B tales, que tienen probabilidades distin-
tas de cero de ocurrir; es decir, P( A) = 0 y P( B) = 0. Decimos que
los sucesos son estadısticamente independientes si la probabilidad
de ocurrencia de uno de ellos no se ve afectada por la ocurrencia
del otro suceso.
P( A| B) = P( A) y P( B| A) = P( B) (13)
Ademas, comprobamos que la independencia estadıstica tam-
bien significa que la probabilidad de la ocurrencia conjunta (in-
tersecci ´ on) de dos sucesos tiene que ser igual al producto de las
probabilidades de los dos sucesos:
P( A∩ B) = P( A)P( B) (14)
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Pero, la probabilidad conjunta de dos sucesos independientes
es:
P( A∩ B) = 0 (15)
Observar: Si los dos sucesos tienen probabilidades de ocurren-
cia distintas de cero, entonces, por comparacion de (14) con (15),
podemos establecer f acilmente que dos sucesos no pueden ser mu-
tuamente excluyentes y estadısticamente independientes. No obs-
tante, para que dos sucesos sean independientes su intersecciondebe ser A ∩ B = 0. Si un problema implica mas de dos sucesos,
aquellos sucesos que satisfagan (13) o (14) se dice que son inde-
pendientes entre s´ ı.
1.12.2. Multiples Sucesos
En el caso de tres sucesos, A1, A2 yA3, se dice que son indepen-
dientes si y solo si son independientes dos a dos y tambien son
independientes los tres conjuntamente; es decir, deben satisfacer
las cuatro ecuaciones siguientes:
P( A1∩ A2) = P( A1)P( A2) (16)
P( A1∩ A3) = P( A1)P( A3) (17)
P( A2∩ A3) = P( A2)P( A3) (18)
P( A1∩ A2∩ A3) = P( A1)P( A2)P( A3) (19)
En general, para decir que N sucesos A1, A2, . . . , A N son es-
tadısticamente independientes, se requiere que todas las ”2 N − N −1” condiciones se cumplan.
1.12.3. Propiedades de los sucesos independientes
Si N sucesos A1, A2, . . . , Ai, . . . , A N son independientes, en-
tonces ninguno de ellos es independiente de cualquier suce-
so formado por uniones, intersecciones y complementarios
de los demas sucesos.
Para dos sucesos independientes A1 y A2, resulta que A1 es
independiente de A2, A1 es independiente de A2 y A1 es in-
dependiente de A2.
Para tres sucesos independientes A1, A2 y A3, cualquiera de
ellos es independiente de la ocurrencia conjunta de los otros
dos. Por ejemplo: P[ A1 ∩ ( A2 ∩ A3)] = P( A1)P( A2)P( A3) =P( A1)P( A2 ∩ A3). Cualquiera de los sucesos tambien es in-
dependiente de la union de los otros dos. Por ejemplo:
P[ A1∩ ( A2 ∪ A3)] = P( A1)P( A2∪ A3)
1.13. Experimentos Combinados
Un experimento combinado consiste en formar un ´ unico ex-
perimento mediante la combinacion adecuada de experimentos in-
dividuales, los cuales denominaremos ahora subexperimentos. Re-
cuerde que un experimento se define especificando tres magnitu-
des: 1. el espacio muestral aplicable, 2. los sucesos definidos en el
espacio muestral, y 3. las probabilidades de los sucesos.
1.13.1. Espacio muestral combinado
Consideremos en primer lugar solo dos subexperimentos. Sean
S 1 y S 2 los espacios muestrales de los dos subexperimentos, y sean
s1 y s2 los elementos de S 1 y S 2 respectivamente. Formamos un
nuevo espacio S , denominado espacio muestral combinado 1, cu-
yos elementos son todos los pares ordenados (s1,s2). Por tanto, si
S l tiene M elementos y S 2 tiene N elementos, entonces S tendra
MxN elementos. El espacio muestral combinado se denota por:
S = S 1×S 2 (20)
Y en general: Para N espacios muestrales S n, n = 1,2, . . . , N ,
con s N elementos, el espacio muestral combinado S se denota:
S = S 1×S 2 ×S 3 × . . .×S N (21)
y es el conjunto de todas las N tuplas ordenadas:
(s1,s2, . . . , s N ) (22)
1.13.2. Sucesos en el espacio combinado
Los sucesos se pueden definir en el espacio muestral combina-do a traves de sus relaciones con los sucesos definidos en los espa-
cios muestrales de los subexperimentos. Consideremos dos subex-
perimentos con los espacios muestrales S 1 y S 2. Sea A cualquier
suceso definido sobre S 1 y B cualquier suceso definido sobre S 2,
entonces:
C = A× B
es un suceso definido sobre S formado por todos los pares
(s1,s2) tales que: s1 ∈ A y s2 ∈ B. Dado que los elementos de A
corresponden a los elementos del suceso A ×S 2 definido sobre S ,
y los elementos de B corresponden al suceso S 2× B definido sobre
S , podemos facilmente establecer que:
A× B = ( A×S 2)∩ (S 1× B) (23)
Por tanto, el suceso definido por el subconjunto de S dado por
A× B es la interseccion de los subconjuntos A×S 2 y S 1× B. Con-
sideremos todos los subconjuntos de S de la forma A× B como
sucesos. Todas las intersecciones y uniones de tales sucesos tam-
bien son sucesos.
Consideremos en primer lugar solo dos subexperimentos. Dado
que todos los sucesos definidos en S seran uniones e intersecciones
1En algunos textos, tambien denominado espacio del producto cartesiano.
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de sucesos de la forma A . . . B, donde A ⊂ S ! y B ⊂ S 2 solo necesi-
tamos determinar P( A× B) para cualesquiera A y B. Consideramos
unicamente el caso en que: P( A× B) = P( A)P( B) (expresi´ on deno-
minada experimentos independientes).
Y en general para N experimentos independientes, la generali-
zacion para experimentos independientes es:
P( A1× A2× . . .× An) = P( A1)P( A2) . . .P( An) (24)
donde An ⊂ S n,n = 1,2,..., N . Con experimentos independien-
tes, los resultados anteriores demuestran que las probabilidades pa-ra los sucesos definidos en S quedan completamente determinadas
a partir de las probabilidades de los sucesos definidos en los subex-
perimentos.
1.14. Permutaciones
A menudo, los experimentos implican multiples pruebas en las
que los resultados son los elementos de un espacio muestral finito y
estos no se reemplazan despues de cada prueba. Por ejemplo, en la
extraccion de cuatro de cartas de una baraja de 52 cartas, cada una
de las ?extracciones? no se reemplaza, de modo que los espacios
muestrales para la segunda, tercera y cuarta extraccion solo tienen
51,50 y 49 elementos, respectivamente. En este y otros tipos de
problemas, el numero de posibles secuencias de resultados suele
ser importante. En la primera prueba, para n elementos existen n
posibles resultados, (n−1) en la segunda prueba, etc. Para extraer
r elementos, el numero de posibles secuencias de r elementos de
los n originales se denota mediante Pnr , y se calcula como sigue:
Pnr =
n!
(n− r )! (25)
Con ordenaciones de r elementos tomados de n en n=
n(n−1)(n−2) · · · (n− r + 1)
1.15. Combinaciones
Si el orden de los elementos en una secuencia no es importante,
quiere decir que habra menos secuencias posibles de n elementos
tomados de r en r sin reemplazamiento. De hecho, el numero de
permutaciones de (25) se reduce en un factor que esta dado por el
numero de permutaciones (ordenaciones) de los r elementos, que
es Pr r = r ! El numero resultante de secuencias cuando el orden no
importa es lo que se denomina numero de combinaciones de n ele-
mentos tomados de r en r . Por tanto
n
r =
Pnr
P
r
r
= n!
(n− r )!r !
(26)
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2. Leyes y Formulas
2.1. Leyes de Conjuntos
Ley conmutativa:
A∩ B = B∩ A
A∪ B = B∪ A
Ley distributiva:
A∩ ( B∪C ) = ( A∩ B)∪ ( A∩C )
A∪ ( B∩C ) = ( A∪ B)∩ ( A∪C )
Ley asociativa: A∪ ( B∪C ) = ( A∪ B)∪C = A∪ B∪C
A∩ ( B∩C ) = ( A∩ B)∩C = A∩ B∩C
Leyes de Morgan:
A∪ B = A∩ B
A∩ B = A∪ B
Prob. de n− sucesos: P
N
n=1
An
=
N
∑n=1
P( An), si Am∩ An = 0
Probabilidad conjunta: P( A∩ B) = P( A) + P( B)−P( A∪ B)
P( A∪ B) = P( A) + P( B)−P( A∩ B) ≤ P( A) + P( B)
Probabilidad condicional:
P( A| B) =
P( A∩ B)
P( B)
Probabilidad total:
P( A) =
N
∑n=1
P( A| Bn)P( Bn)
Teorema de Bayes:
P( Bn| A) = P( Bn∩ A)
P( A) , P( A) = 0
P( Bn| A) = P( A| Bn)P( A)
P( Bn), P( A) = 0
Num. de Permutaciones:
Pn
r = n!
(n− r )!
Num. Combinaciones:
n
r
=
Pnr
Pr r
= n!
(n− r )!r !
6