Centro Asociado de Palma de Mallorca Autor: Antonio Rivero Cuesta

AACCCCEESSOOAALLAAUUNNIIVVEERRSSIIDDAADD

MMaatteemmttiiccaassAApplliiccaaddaass

CCiieenncciiaassSSoocciiaalleess

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TEMA 1 FUNDAMENTOS

1.1 LGICA DE PROPOSICIONES.

1.1.1 Proposiciones. Proposicin, oracin que siempre podemos afirmar que es verdadera o falsa. Proposicin simple, se limita a enunciar una cualidad de un ser o cosa. Proposicin compuesta, se obtiene combinando una o ms proposiciones simples.

1.1.2 Conectores lgicos. Ejercicios (1.1-1.15) Se utilizan para combinar proposiciones simples. Un conector lgico es una partcula que se utiliza para formar las proposiciones compuestas. Estn ordenadas por orden de preferencia. Las conexiones lgicas son: Negacin p Conjuncin pq Disyuncin pq Condicional pq pq Una tabla de verdad representa todas las posibilidades lgicas que pueden tomar las proposiciones simples, son 2n . Variables proposicionales: p, q, r Constantes proposicionales: V, F.

p q p pq pq pqV V F V V V V F F F V F F V V F V V F F V F F V

1.1.3 Clculo de valores de verdad. Construccin de tablas de verdad.

1.1.4 Razonamientos. Ejercicios (1.16-1.16) Un razonamiento es una afirmacin de una proposicin que llamamos conclusin y que deducimos de unas proposiciones que se llaman premisas. Un razonamiento es lgicamente vlido si siempre que las premisas son verdaderas lo es tambin la conclusin. Un razonamiento que no es lgicamente vlido se llama falacia. Las premisas implican lgicamente la conclusin, es decir, un razonamiento ser vlido cuando

1 2 ... np p p q Para probar la validez de un razonamiento se forma la tabla de verdad de las premisas y la conclusin y se comprueba que siempre que las premisas toman el valor de verdad V tambin la conclusin toma el valor de V. Para mostrar que un razonamiento no es lgicamente vlido basta encontrar un caso en el que las premisas sean verdaderas y la conclusin falsa.

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Reglas de inferencia. Lo que afirma cada regla es que una estructura lgica produce siempre razonamientos vlidos, cualesquiera que sean las proposiciones particulares que se sustituyan. Modus ponendo ponens Para analizar la validez del razonamiento, formamos la tabla de verdad y se observa que siempre que las premisas p y pq son verdaderas tambin lo es la conclusin q. Por lo tanto el razonamiento es lgicamente vlido. Modus tollendo tollens p q

q

p

Modus tollendo ponens

p q

p

q

p qq

p

Silogismo hipottico p qq r

p r

Una deduccin o demostracin es el proceso que partiendo de las premisas nos lleva a la conclusin a travs de una serie de proposiciones intermedias obtenidas a partir de las reglas de inferencia.

Premisas Conclusin p q p pq q V V V V V V F V F F F V F V V F F F V F

Premisas Conclusin p q pq 5 q 5p V V V F F V F F V F F V V F V F F V V V

Premisas Conclusin p q pq 5 p q V V V F V V F V F F F V V V V F F F V F

Premisas Conclusin p q pq 5 q p V V V F V V F V V V F V V F F F F F V F

Premisas Conclusin p q r pq qr pr V V V V V V V V F V F F V F V F V V V F F F V F F V V V V V F V F V F V F F V V V V F F F V V V

p qp

q

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1.2 CONJUNTOS

1.21 Conceptos bsicos. Ejercicios (1.17-1.21) Los conjuntos se representan con letras maysculas, A, B,C , Los elementos se representas con minsculas, a, b, c, x, y, z. Relacin de pertenencia:

El elemento a pertenece al conjunto X, a X El elemento a no pertenece al conjunto Z, a Z

Formas de definir un conjunto:

Enumeracin: enumeramos todos y cada uno de los elementos. Descripcin: definimos alguna caracterstica comn a todos los elementos.

Conjunto definidos por enumeracin: S = {lunes, martes, mircoles, jueves, viernes, sbado, domingo} V = {a, e, i, o, u} Conjunto definidos por descripcin: S = {das de la semana} V = {vocales del espaol}

Por descripcin podemos definir de la siguiente manera los conjuntos: es vocalV x A x V es el conjunto de los elementos x que pertenecen al conjunto de las letras del alfabeto espaol A, tales que x es una vocal. Relacin de inclusin: Dados dos conjuntos A y B, se dice que A est incluido en B y se escribe A B cuando todos los elementos de A pertenecen a B. Si A est contenido en B se dice que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B. Propiedades de la inclusin de conjuntos.

Reflexiva: todo conjunto A est contenido en s mismo. A A .

Transitiva: Si un conjunto A est contenido en otro B, y B est contenido en otro conjunto C, entonces A est contenido en C. Si A B y B C , entonces A C .

Si A y B son dos conjuntos tales que A B y B A entonces son iguales A B . Conjunto universal, es el conjunto que contiene a todos los conjuntos que se analizan en un determinado contexto y se representa por U. Conjunto vaco es un conjunto que no tiene elementos, se representa por . Cualquiera que sea el conjunto A se cumple A .

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El conjunto de las partes de un conjunto A es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A. Se representa por ( )P A . Si el conjunto A tiene n elementos, el conjunto de las partes de A tiene 2n elementos. DIAGRAMAS DE VENN Los conjuntos suelen representarse por medio de unos dibujos denominados diagramas de Venn. El conjunto universal lo representamos por un rectngulo y los conjuntos por crculos dentro del conjunto universal.

1.2.2 Operaciones con conjuntos. Ejercicios (1.22-1.31) La interseccin de dos conjuntos A y B es el conjunto que tiene como elementos los comunes a ambos conjuntos, se representa por A B . Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos comunes, A B . La unin de los conjuntos A y B es el conjunto que tiene como elementos los que pertenecen a alguno de los conjuntos, se representa por A B . El conjunto complementario de A est formado por los elementos del conjunto universal que no pertenecen a A, se representa por CA . La diferencia de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B, se representa por A B . La diferencia de dos conjuntos A y B es igual a la interseccin de A con el complementario de B, se representa por CA B A B . Cuando A B A o B A B entonces A B . 1.2.3 Propiedades de las operaciones con conjuntos. Propiedades de la interseccin. La interseccin de cualquier conjunto con el conjunto vaco es igual al conjunto vaco, A . La interseccin de cualquier conjunto con el universal es el mismo conjunto, A U A . Idempotencia: La interseccin de cualquier conjunto consigo mismo es igual al mismo conjunto, A A A . Conmutativa: La interseccin de un conjunto A con otro B es igual a la interseccin de B con A, A B B A . Asociativa: A B C A B C . La interseccin de dos conjuntos est contenida en cualquiera de los conjuntos que se intersectan, A B A y A B B . Si B est contenido en A, entonces la interseccin de A y B es igual a B, Si B A entonces A B B .

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Propiedades de la unin. La unin de cualquier conjunto con el conjunto vaco es igual al conjunto, A A . La unin de cualquier conjunto con el universal es igual al conjunto universal, A U U . Idempotencia: La unin de cualquier conjunto consigo mismo es igual al mismo conjunto, A A A . Conmutativa: La unin de un conjunto A con otro B es igual a la unin de B con A, A B B A . Asociativa: A B C A B C . La unin de dos conjuntos contiene a cualquiera de los conjuntos que se unen, A A B y B A B . Si B est contenido en A, entonces la unin de A y B es igual a A, Si B A entonces A B A . Propiedades de la complementacin. El complementario del conjunto vaco es el conjunto universal, UC . El complementario del conjunto universal es el conjunto vaco, CU . El complementario del complementario de un conjunto es el mismo conjunto, CCA A . Propiedades que relacionan varias operaciones. La interseccin de un conjunto y su complementario es igual al conjunto vaco, CA A . La unin de un conjunto y su complementario es igual al conjunto universal, CA A U . Propiedad distributiva de la interseccin respecto de la unin: A B C A B A C . Propiedad distributiva de la unin respecto de la interseccin: A B C A B A C . Primera ley de Morgan: C C CA B A B . Segunda ley de Morgan: C C CA B A B . Dados dos conjuntos cualesquiera A, B y C se cumple:

C CA B A B A B A B A B A B B A . Dados tres conjuntos cualesquiera a y b se cumple:

C C C C C

C C C C

A B C A B C A B C A B C A B C A B C

A B C A B C

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Resumen de las propiedades A A U A A A A A B B A A B C A B C A B A A B B Si B A entonces A B B A A A U U A A A A B B A A B C A B C A A B B A B Si B A entonces A B A

UC CU

CCA A CA A CA A U

A B C A B A C A B C A B A C

C C CA B A B C C CA B A B

C CA B A B A B A B

A B A B B A

C C

C C C C C

C C

A B C A B C A B C A B C

A B C A B C A B C

A B C

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1.3 APLICACIONES. 1.3.1 Concepto de aplicacin. Ejercicios (1.47-1.51) Una aplicacin entre dos conjuntos A y B es una transformacin que convierte cada elemento del conjunto A en un nico elemento del conjunto B. El conjunto A se llama conjunto inicial o dominio de la aplicacin. El conjunto B se llama conjunto final o rango de la aplicacin. Las aplicaciones suelen designarse por las letras f, g, h y se representan por BAf : o BA f . Si el elemento Ax se transforma en el elemento By se escribe xfy , se dice que y es la imagen de x mediante la aplicacin f.

1.3.2 Imagen e inversa de un Subconjunto. Sea BAf : una aplicacin y AC . Se denomina imagen del subconjunto C al conjunto de las imgenes de los elementos de C. la imagen de C se representa por Cf En esta aplicacin la imagen del subconjunto 1, 2,3C A es igual ,f C a b B Sea BAf : una aplicacin y BD . Se denomina imagen inversa del subconjunto D al subconjunto formado por las preimagenes de los elementos de D, se representa por Df 1 En esta aplicacin la imagen inversa del subconjunto 1,3D B es igual 1 , ,f D b c d A

B

a b c d

1 2 3 4

f

A

B

1 2 3 4

a b c d

f

A

B

a b c

1 2 3 4

f

A

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1.3.3 Tipos de aplicacin. Una aplicacin :f A B es inyectiva si a cada valor del conjunto A le corresponde un valor distinto en el conjunto B de f. Es decir, a cada elemento del conjunto A le corresponde un solo valor de B tal que, en el conjunto A no puede haber dos o ms elementos que tengan la misma imagen. Una aplicacin :f A B es, sobreyectiva cuando cada elemento de "B" es la imagen de como mnimo un elemento de "A". Una aplicacin :f A B es, biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida. Inyectiva Sobreyectiva Biyectiva

1.3.4. Composicin de aplicaciones. Si tenemos dos aplicaciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2 est incluido en el recorrido de la 1, se puede definir una nueva funcin que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)].

B

1 2 3 4

a b c d

A

f

C

u v x z

1 2 3 4

B

g a b c d

2 4 1 3

z x v uf

f

f

f

g

g

g

g

A B

1 2 3

a b c d

A B

1 2 3 4

a b c

A B

1 2 3 4

a b c d

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1.4 CARDINAL DE UN CONJUNTO. El cardinal de un conjunto A es su nmero de elementos y se representa por A# .

1.4.1 Clculo de cardinales con dos conjuntos. Ejercicios (1.53-1.65) Si dos conjuntos A y B son disjuntos, el cardinal de la unin es igual a la suma de los cardinales. Si BA , entonces BABA ### Si A y B son dos conjuntos, siempre se cumple que el cardinal de su unin BA es igual al cardinal de A ms el cardinal de B menos el cardinal de la interseccin BA . BABABA #### Podemos razonar la frmula de otra manera: # # # #A B A B B A A B

Tenemos que A A B A B , siendo A B y A B disjuntos, por lo tanto:

# # #A A B A B y # # #B B A A B

# 7A # 5B # 10A B # 2A B # 5A B # 3B A

BABABA #### 10 7 5 2 # # # #A B A B B A A B 10 5 3 2

# # #A A B A B 7 5 2

U A B

X X X X X

X X X

X

X

10

TEMA 1 FUNDAMENTOS ....................................................................................................................... 11.1 LGICA DE PROPOSICIONES. ........................................................................................................ 1

1.1.1 Proposiciones. ................................................................................................................................ 11.1.2 Conectores lgicos. Ejercicios (1.1-1.15) ...................................................................................... 11.1.3 Clculo de valores de verdad. ........................................................................................................ 11.1.4 Razonamientos. Ejercicios (1.16-1.16) .......................................................................................... 1

1.2 CONJUNTOS ....................................................................................................................................... 31.21 Conceptos bsicos. Ejercicios (1.17-1.21) ...................................................................................... 31.2.2 Operaciones con conjuntos. Ejercicios (1.22-1.31) ....................................................................... 41.2.3 Propiedades de las operaciones con conjuntos. ............................................................................. 4

Propiedades de la interseccin. ........................................................................................................... 4Propiedades de la unin. ..................................................................................................................... 5Propiedades de la complementacin. .................................................................................................. 5Propiedades que relacionan varias operaciones. ................................................................................. 5Resumen de las propiedades ............................................................................................................... 6

1.3 APLICACIONES. ................................................................................................................................. 71.3.1 Concepto de aplicacin. Ejercicios (1.47-1.51) ............................................................................. 71.3.2 Imagen e inversa de un Subconjunto. ............................................................................................ 71.3.3 Tipos de aplicacin. ....................................................................................................................... 81.3.4. Composicin de aplicaciones. ....................................................................................................... 8

1.4 CARDINAL DE UN CONJUNTO. ...................................................................................................... 91.4.1 Clculo de cardinales con dos conjuntos. Ejercicios (1.53-1.65) .................................................. 9

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TEMA 2 ARITMTICA Y LGEBRA 2.1 NMEROS NATURALES.

2.1.1 Concepto de nmero natural. Ejercicios (2.1-2.2)

1, 2,3, 4,...

2.1.2 Operaciones con nmeros naturales.

Suma. Resta. Multiplicacin. Divisin.

2.1.3 Sistemas de numeracin. Ejercicios (2.3-2.22) En los sistemas posicionales el valor de un smbolo depende de su posicin respecto de los dems. En la potencia 310 , el 10 es la base y el 3 es el exponente y es igual a 10 10 10 1000 Cualquier nmero natural b puede ser base de un sistema de numeracin. Un sistema de numeracin de base b necesita de b smbolos que hagan el papel de cifras del sistema. Cambio de base: calcular la expresin de un nmero en un sistema de numeracin a partir de su expresin en otro sistema. A base decimal. 2 1 02101 1 2 0 2 1 2 5 De base decimal a otra.

2.1.4 Divisibilidad. Ejercicios (2.23-2.41) Un nmero natural c es divisible por otro a cuando la divisin es exacta. El cociente es otro nmero natural y el resto de la divisin es cero. a divide a c a es un divisor de c c es mltiplo a Factorizacin, sean a, b, c nmeros naturales si c a b se denomina factorizacin en factores de c. Un nmero primo es un nmero natural mayor que 1, que tiene nicamente dos divisores distintos: l mismo y el 1 Un nmero compuesto tiene uno o ms divisores distintos a 1 y a s mismo.

432 11 3 39 11 6 3

2

Criterios de divisibilidad Un nmero es divisible por 2, si termina en cero o cifra par. Un nmero es divisible por 3, si la suma de sus dgitos nos da mltiplo de 3. Un nmero es divisible por 5, si termina en cero o cinco. Descomposicin en factores primos, Los nmeros compuestos, se pueden expresar como productos de potencias de nmeros primos, a dicha expresin se le llama descomposicin de un nmero en factores primos. La descomposicin de un nmero es muy til pues ayuda a poder calcular el mximo comn divisor o mnimo comn mltiplo de varios nmeros. Mximo comn divisor. Comunes al menor exponente. El mximo comn divisor (abreviado mcd) de dos o ms nmeros es el mayor nmero que los divide sin dejar resto. Ejemplo: el mcd de 20 y 10: 20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20 10: 1, 2, 5 y 10 Mnimo comn mltiplo. Comunes y no comunes al mayor exponente. El mnimo comn mltiplo (mcm) de dos o ms nmeros naturales es el menor nmero natural que es mltiplo de todos ellos. 72 36 18 9 3 1

2 2 2 3 3

50 25 5 1

2 5 5

3 272 2 3 250 2 5

3 2 272,50 2 3 5 1800mcm

Tomando los factores comunes y no comunes con su mayor exponente, tenemos que:

3 2 272,50 2 3 5 1800mcm

, ,a b mcm a b mcd a b , ,

a bmcm a bmcd a b

3

2.2 NMEROS ENTEROS.

2.2.1 Concepto de nmero entero. Ejercicios (2.42-2.47)

,...,0,1, 2,3, ,... El opuesto de un nmero entero es el nmero que hay que aadir para que la suma sea 0. Valor absoluto. El valor absoluto o mdulo de un nmero entero es su valor numrico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-).

2.2.2 Operaciones con nmeros enteros.

Suma. o Conmutativa. a b b a o Asociativa. a b c a b c

Resta. Multiplicacin.

o Conmutativa. a b b a o Asociativa. a b c a b c

Divisin.

Los signos:

Iguales + Desiguales

Propiedad distributiva del producto respecto de la suma.

a b c a b a c 2 2 2 2a b a b ab 2 2 2 2a b a b ab

4

2.3 NMEROS RACIONALES.

2.3.1 Concepto de nmero racional.

1 1 1, , ,...2 3 4

Fraccin ab

numeradordenominador

Fracciones equivalentes. ab

y cd

a d b c

2.3.2 Operaciones fracciones. Ejercicios (2.48-2.54) Igual denominador Suma a c a cb b b

Resta a c a cb b b

Distinto denominador

Suma y resta a c a d b cb d b d

Producto a c a cb d b d

Divisin a c a db d b c

Fraccin inversa, dos fracciones son inversas si su producto es 1.

1a bb a

5

2.3.3 Expresin decimal de nmeros racionales. Ejercicios (2.55-2.57)

Forma de representar un nmero decimal. 68 60 8 6 8 0,6 0,08 0,68100 100 100 10 100

Paso expresin fraccin a decimal, Utilizamos el algoritmo de la divisin. Fraccin peridica. Fraccin con parte decimal que se repite indefinidamente. El periodo es la parte que se repite.

Pura: 9,5 Mixta: 9, 435

Paso de decimal a fraccin. 569756,97100

Expresin decimal peridica. 2,051

2,051...1000 2051,051...999 2049

xxx

2049 683999 333

x

2.3.4 Porcentajes. Ejercicios (2.58-2.60) ab

Hallar la expresin decimal fraccionaria y multiplicar por 100. %100

cc

Porcentaje de variacin: % 100medida actual medida anteriorvariacinmedida anterior

El signo de la diferencia: medida actual medida anterior da el sentido de la variacin.

Si la diferencia es positiva el porcentaje ser de aumento. Si la diferencia es negativa el porcentaje ser de disminucin.

2.3.5 Nmeros fraccionarios definidos por expresiones literales.

Por cada b individuos u objetos de cierto colectivo, hay a que tienen una cualidad, b ab .

Por cada a individuos u objetos de cierto colectivo, hay b que no la tienen,

La fraccin del total que cumple la propiedad es aa b .

La fraccin del total que no la cumple es ba b .

2.3.6 Ordenacin de nmeros racionales. ab

es mayor que cd

si 0a cb d , 0a d b c .

Mtodo 2: 2051 2 2049 683

999 999 333

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2.4 NMEROS REALES.

2.4.1 Concepto de nmero real. Ejercicios (2.61-2.65) 13, , 4, 8,2.71, 2... Nmero irracional: es un nmero decimal infinito no peridico. 2 , , etc 2.4.2 Operaciones con nmeros reales.

Suma. Resta. Multiplicacin. Divisin.

2.4.3 Ordenacin de nmeros reales. Sean a, b, c y d nmero reales. Se cumple:

1. Si a b entonces a c b ca c b c

2. Si a b y c d entonces a c b da d b c

3. Si a b y 0c entonces a c b c 4. Si a b y 0c entonces a c b c

2.4.4 Potencias. Ejercicios (2.66-2.72) Si a es un nmero real y n es un nmero natural no nulo el producto

....

n veces

a a a a se representa por na y se denomina potencia de base a y exponente n, o a elevado a n. Si 0n entonces 0 1a .

m n m na a a ( )n n na b a b nm m na a

1 1nnna a a

m

m nn

a aa

nn

n

a ab b

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2.4.5 Races. Dado un nmero natural n no nulo y un nmero real positivo a, siempre existe un nmero real positivo b tal que nb a . Se dice que b es la raz n-esima de a y se escribe nb a o

1nb a

Potencia con exponente fraccionado.

1 1mm mn n na a a 2.5 ECUACIONES.

2.5.1 La idea de ecuacin. Ejercicios (2.73-2.80)

o Ecuacin, es toda igualdad que relaciona nmeros con letras. Las letras se denominan incgnitas y son las que debemos hallar.

o Plantear, traducir las condiciones literales a smbolos matemticos. o Resolver, hallar el valor de las incgnitas.

Clasificacin:

o Nmero de incgnitas. Una, dos, etc o Mayor exponente, es el que determina el grado. o Nmero de ecuaciones.

2.5.2 Soluciones de una ecuacin.

o Ecuaciones de una incgnita. Tenemos que hallar nmeros tales que al reemplazar las incgnitas se cumple la igualdad de los dos miembros. o Ecuaciones con ms de una incgnita. La solucin son tantos nmeros como incgnitas. o Sistemas de ecuaciones. La solucin del sistema son nmeros que son solucin de todas las ecuaciones

2.5.3 Reglas generales para resolver ecuaciones. Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Si sumamos o restamos a ambos miembros de una ecuacin un mismo nmero se obtiene una equivalente. Si multiplicamos o dividimos a ambos miembros de una ecuacin un mismo nmero distinto de cero se obtiene una equivalente. Podemos pasar cualquier trmino de una ecuacin de un miembro a otro sin ms que cambiarle el signo.

8

2.5.4 Ecuaciones lineales con una incgnita. Si a y b son dos nmeros reales, una ecuacin lineal con una incgnita x de la forma ax b est en forma normal. El nmero a es el coeficiente de la incgnita. El nmero b se denomina trmino independiente. Dada la ecuacin ax b , donde a y b son nmeros reales y x es la incgnita se cumple:

o Si 0a la ecuacin tiene una nica solucin bxa

. o Si 0a hay dos casos:

Si 0b la ecuacin tiene infinitas soluciones ya que 0 0x . Si 0b no hay solucin ya que no se puede cumplir 0 x b .

2.5.5 Sistemas de ecuaciones lineales. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas.

Mtodo de sustitucin.

Sistemas de tres ecuaciones con tres incgnitas. Mtodo de eliminacin.

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TEMA 2 ARITMTICA Y LGEBRA ..................................................................................................... 12.1 NMEROS NATURALES. ................................................................................................................. 1

2.1.1 Concepto de nmero natural. Ejercicios (2.1-2.2) ......................................................................... 12.1.2 Operaciones con nmeros naturales. ............................................................................................. 12.1.3 Sistemas de numeracin. Ejercicios (2.3-2.22) .............................................................................. 12.1.4 Divisibilidad. Ejercicios (2.23-2.41) .............................................................................................. 1

2.2 NMEROS ENTEROS. ....................................................................................................................... 32.2.1 Concepto de nmero entero. Ejercicios (2.42-2.47) ...................................................................... 32.2.2 Operaciones con nmeros enteros. ................................................................................................ 3

2.3 NMEROS RACIONALES. ................................................................................................................ 42.3.1 Concepto de nmero racional. ....................................................................................................... 42.3.2 Operaciones fracciones. Ejercicios (2.48-2.54) ............................................................................. 42.3.3 Expresin decimal de nmeros racionales. Ejercicios (2.55-2.57) ................................................ 52.3.4 Porcentajes. Ejercicios (2.58-2.60) ................................................................................................ 52.3.5 Nmeros fraccionarios definidos por expresiones literales. .......................................................... 52.3.6 Ordenacin de nmeros racionales. ............................................................................................... 5

2.4 NMEROS REALES. .......................................................................................................................... 62.4.1 Concepto de nmero real. Ejercicios (2.61-2.65) .......................................................................... 62.4.2 Operaciones con nmeros reales. ................................................................................................... 62.4.3 Ordenacin de nmeros reales. ...................................................................................................... 62.4.4 Potencias. Ejercicios (2.66-2.72) ................................................................................................... 62.4.5 Races. ............................................................................................................................................ 7

2.5 ECUACIONES. .................................................................................................................................... 72.5.1 La idea de ecuacin. Ejercicios (2.73-2.80) ................................................................................... 72.5.2 Soluciones de una ecuacin. .......................................................................................................... 72.5.3 Reglas generales para resolver ecuaciones. ................................................................................... 72.5.4 Ecuaciones lineales con una incgnita. .......................................................................................... 82.5.5 Sistemas de ecuaciones lineales. .................................................................................................... 8

1

TEMA 3 GEOMETRA 3.1 GEOMETRA ANALTICA.

3.1.1 Teorema de Pitgoras. 2 2 2h b c

3.1.2 Sistemas de referencia y coordenadas. Ejercicios (3.1-3.5) Un sistema de referencia cartesiano tiene los siguientes elementos:

Origen. Ejes de coordenadas. Dos puntos:

o Eje de abscisas, x. o Eje de ordenadas, y.

Distancia entre dos puntos ,x y y ,x y . 2 2h x x y y 3.2 RECTAS EN EL PLANO.

Una recta es el conjunto de todos los puntos que satisface la siguiente ecuacin: Ejercicios (3.6-3.17) Ecuacin General de la Recta 0Ax By C

Recta paralela al eje de ordenadas. Si 0B tenemos que CxA

.

Recta paralela al eje de abscisas. Si 0A tenemos que CyB

. Ecuacin explicita de la recta: y ax b

Pendiente: a, indica la inclinacin. Ordenada en el origen: b, nivel de la recta donde corta al eje de ordenadas.

3.2.1 Ecuacin de la recta que pasa por dos puntos. Ejercicios (3.18-3.22) Si dos puntos tienen abscisas distintas 1 2x x la ecuacin de la recta que pasa por dos puntos 1 1,x y y 2 2,x y es: 2 1 1 1

2 1

y yy x x yx x

Si dos puntos tienen abscisas iguales 1 2x x la ecuacin es 1x x

3.2.2 Condicin de alineacin de tres puntos. Ejercicios (3.23-3.26)

Tres puntos 1 1,x y , 2 2,x y y 3 3,x y estn alineados si 3 1 2 13 1 2 1

y y y yx x x x o bien 1 2 3x x x .

2

3.2.3 Posicin relativa de dos rectas. Ejercicios (3.27-3.34) El punto de interseccin de dos rectas es la solucin del sistema de ecuaciones. Rectas paralelas. Las rectas de ecuaciones: y ax by a x b

Son paralelas si a a La ecuacin de la recta paralela a la recta y ax b por el punto 0 0,x y es 0 0y a x x y . En el caso de una recta vertical x k , la paralela por 0 0,x y es la vertical 0x x . Rectas perpendiculares. Ejercicios (3.35-3.45)

La ecuacin de la perpendicular a la recta y ax b por el punto 0 0,x y es 0 01y x ya x Si 0a la recta es paralela al eje de abscisas y su perpendicular por el punto 0 0,x y es la paralela al eje de ordenadas 0x x . Simtricamente la perpendicular a la recta vertical x k por 0 0,x y es la paralela al eje de abscisas

0y y .

3.3 FIGURAS GEOMTRICAS PLANAS. 3.3.1 Polgonos. Ejercicios (3.46-3.54)

Permetro, es la longitud total de su contorno. rea de un rectngulo. Es el producto de sus lados, A a b .

rea de un paralelogramo. Es el producto de su base por su altura. A b h

rea de un tringulo. Es la mitad del producto de su base por su altura. 2

b hA

3.3.2 La circunferencia. Ejercicios (3.55-3.66) Ecuacin de la circunferencia: 2 2 20 0x x y y r . Centro y radio de una circunferencia: La ecuacin de la forma 2 2 0x y ax by c representa una circunferencia con:

Centro: : ,2 2a bc .

Radio 2 21 42

r a b c . Crculo: dada la circunferencia de centro 0 0,x y su crculo es 2 2 20 0x x y y r . Longitud de la circunferencia: 2L r . rea del crculo: 2A r .

3

TEMA 3 GEOMETRA .............................................................................................................................. 13.1 GEOMETRA ANALTICA. ............................................................................................................... 1

3.1.1 Teorema de Pitgoras. ................................................................................................................ 13.1.2 Sistemas de referencia y coordenadas. Ejercicios (3.1-3.5) ....................................................... 1

3.2 RECTAS EN EL PLANO. .................................................................................................................... 13.2.1 Ecuacin de la recta que pasa por dos puntos. Ejercicios (3.18-3.22) ....................................... 13.2.2 Condicin de alineacin de tres puntos. Ejercicios (3.23-3.26) ................................................ 13.2.3 Posicin relativa de dos rectas. Ejercicios (3.27-3.34) .............................................................. 2

3.3 FIGURAS GEOMTRICAS PLANAS. .............................................................................................. 23.3.1 Polgonos. Ejercicios (3.46-3.54)............................................................................................... 23.3.2 La circunferencia. Ejercicios (3.55-3.66) .................................................................................. 2

1

TEMA 4 ANLISIS 4.1 FUNCIONES.

4.1.1 Concepto de funcin. Ejercicios (4.1 - 4.3) Una funcin es una relacin entre dos variables, de forma que a cada valor de la variable independiente x, le asocia un nico valor de la variable dependiente y, que llamaremos imagen de x. Decimos que y es funcin de x y lo representamos por y f x Una funcin es una aplicacin . Una aplicacin entre dos conjuntos A y B es una transformacin que convierte cada elemento del conjunto A en un nico elemento del conjunto B. Rango de variacin de una magnitud numrica. Intervalo cerrado [a,b] al conjunto de los nmeros reales x, a x b. Intervalo semiabierto [a,b) al conjunto de los nmeros reales x, a x < b. Intervalo semiabierto (a,b] al conjunto de los nmeros reales x, a < x b. Intervalo abierto (a,b) al conjunto de los nmeros reales x, a < x < b. 0 02 ; 3

0 ; 4 0 .

4.1.2 Representacin grfica de una funcin. Ejercicios (4.4 - 4.10) La grfica de una determinada funcin f, definida en un intervalo I, es el conjunto de puntos del plano cuya abscisa es un valor x I y ordenada f x . 4.1.3 Caractersticas de las funciones. Ejercicios (4.11 - 4.15) Funcin creciente, cuando x aumenta dentro de un intervalo tambin aumenta f x . Funcin decreciente, cuando x aumenta dentro de un intervalo entonces f x disminuye. Mximos y mnimos relativos, la derivada en un mximo o mnimo local o relativo vale 0, siendo condicin necesaria del mximo o mnimo, si bien esta condicin es necesaria no es suficiente, no obstante nos limita los posibles mximos o mnimos. Estos se encontrarn entre los valores que anulan la derivada. 0f x . Asntotas verticales, las asntotas verticales se presentan en aquellos puntos que anulan el denominador. Asntotas horizontales, hay asntota horizontal en las funciones racionales cuando el numerador tiene grado menor o igual al denominador. lim

xf x

Asntotas oblicuas, se presentan cuando el grado del numerador excede en una unidad del grado del denominador, son incompatibles con las asntotas horizontales. Son rectas del tipo y ax b

( )lim

lim( ( ) )x

x

f xax

b f x ax

2

4.2 LMITES Y CONTINUIDAD. 4.2.1 Lmite de una funcin en un punto. Ejercicios (4.16 - 4.19) El lmite describe cmo se comporta una funcin cuando se aproxima a un determinado valor. Un lmite existe si el valor de los lmites laterales en un punto es el mismo. El lmite de una funcin en un punto si existe, es nico. Lmites elementales.

Si f x c entonces 0

limx x

f x c . Si f x x entonces

00limx x f x x .

Si 11 1 0...n nn nf x a x a x a x a entonces 0

10 1 0 1 0 0lim ...n n

n nx xf x a x a x a x a .

Si 1f xx

entonces lim 0x

f x .

00 0

lim lim limx xx x x x

f x f x f x No existe el lmite. Estas reglas son vlidas siempre que el resultado est bien determinado, existen unos casos donde la funcin resulta indeterminada:

; 0 ; 00

; ; La regla de l'Hpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valor numrico del lmite en la funcin dada. La regla dice que, se deriva el numerador y el denominador, por separado; es decir: sean las funciones originales f(x)/g(x), al aplicar la regla se obtendr: f'(x)/g'(x). Lo podemos aplicar en indeterminaciones del tipo 0/0 y /.

4.2.2 Funciones continuas. Ejercicios (4.20 - 4.24) La funcin f(x) tiene que estar definida. El valor de los lmites laterales tiene que ser el mismo. Una funcin f es continua en el punto 0x si se verifica

00limx x f x f x .

Una discontinuidad evitable en un punto x = a es aquella en que los lmites laterales coinciden, pero el valor de la funcin en el punto no, es decir:

lim ( ) limx a x a

f x L ( )f a L

Es razonable que llamen discontinuidad evitable a este tipo de discontinuidades ya que la funcin en el punto de discontinuidad parece que sea continua, pero el punto en concreto no existe, as que slo aadiendo ese punto, lograramos que la funcin fuera continua. Ejercicio 4.23.

3

4.3 CLCULO DIFERENCIAL. 4.3.1 Concepto de derivada. Ejercicios (4.25 - 4.31) Si f es una funcin definida en un intervalo I y 0x I , la derivada de f en 0x es

0

00

0

limx x

f x f xf x

x x , suponiendo que el lmite exista.

Una funcin f se denomina derivable en el punto 0x si la derivada 0f x existe y es finita. Toda funcin derivable en un punto 0x es continua en 0x . La derivada es el resultado de un lmite y representa la pendiente de la recta tangente a la grfica de la funcin en un punto. 4.3.2 Tangente a una curva. Ejercicios (4.32 - 4.47) La derivada 0f x es la pendiente de la recta tangente a la grfica de la funcin f en el punto

0 0x f x . La ecuacin de dicha recta tangente es 0 0 0y f x x x f x y adems pasa por el punto

0 0x f x . 4.3.3 Clculo de derivadas. Ejercicios (4.26 - 4.31)

Suma f g f g Producto f g f g fg Cociente 2

f f g fgg g

Funcin constante 0f x si f x c Funcin identidad 1f x si f x x Potencia de f 1c cf c f f Funcin compuesta f g x f g x g x

4

4.3.4 Aplicaciones de las derivadas. Ejercicios (4.48) Si f es una funcin definida y derivable en un intervalo I:

Los intervalos de crecimiento coinciden con los intervalos en que 0f . Los intervalos de decrecimiento coinciden con los intervalos en que 0f .

Si f es una funcin derivable en 0x y tiene en 0x un mximo o mnimo relativo tiene que ser 0 0f x . Para una funcin f derivable en todos los puntos de un intervalo ,a b , la resolucin de la ecuacin

0 0f x con ,x a b proporciona todas las abscisas candidatas a ser mximos o mnimos relativos de f en ,a b . Derivada segunda de una funcin. Ejercicios (4.49 - 4.50) Sea f derivable en todos los puntos de un intervalo alrededor de 0x y f la funcin derivada de f. La derivada de f en 0x , si existe, se denomina derivada segunda de f y se representa por f Si f tiene derivada f que es derivable en 0x , se cumple 0 0f x y:

0 0f x , entonces f tiene un mnimo relativo en 0x . 0 0f x , entonces f tiene un mximo relativo en 0x .

La funcin se denomina: Ejercicios (4.51 - 4.55) Convexa en aquellos intervalos en que la pendiente de la tangente, f x crece. Cncava cuando la pendiente de la tangente f x decrece.

Los puntos en los que pasa de ser cncava a ser convexa o viceversa se llaman puntos de inflexin.

5

TEMA 4 ANLISIS ................................................................................................................................... 14.1 FUNCIONES. ....................................................................................................................................... 1

4.1.1 Concepto de funcin. Ejercicios (4.1 - 4.3) ............................................................................... 14.1.2 Representacin grfica de una funcin. Ejercicios (4.4 - 4.10) ................................................. 14.1.3 Caractersticas de las funciones. Ejercicios (4.11 - 4.15) .......................................................... 1

4.2 LMITES Y CONTINUIDAD. ............................................................................................................. 24.2.1 Lmite de una funcin en un punto. Ejercicios (4.16 - 4.19) ..................................................... 24.2.2 Funciones continuas. Ejercicios (4.20 - 4.24) ............................................................................ 2

4.3 CLCULO DIFERENCIAL. ............................................................................................................... 34.3.1 Concepto de derivada. Ejercicios (4.25 - 4.31) .......................................................................... 34.3.2 Tangente a una curva. Ejercicios (4.32 - 4.47) .......................................................................... 34.3.3 Clculo de derivadas. Ejercicios (4.26 - 4.31) ........................................................................... 34.3.4 Aplicaciones de las derivadas. Ejercicios (4.48) ....................................................................... 4

1

TEMA 5 PROBABILIDAD Y ESTADSTICA 5.1 AZAR Y PROBABILIDAD.

5.1.1 Azar y necesidad. Ejercicios (5.1 - 5.7) Un fenmeno aleatorio es aquel que bajo el mismo conjunto aparente de condiciones iniciales, puede presentar resultados diferentes, es decir, no se puede predecir el resultado exacto de cada experiencia particular.

5.1.2 Certeza y probabilidad. La probabilidad de un acontecimiento posible es un nmero entre 0 y 1.

5.2 MODELO MATEMTICO DE LOS FENMENOS ALEATORIOS. Un suceso es un fenmeno aleatorio que podemos decir si ha ocurrido o no.

5.2.1 Modelo matemtico de los sucesos. Un espacio de posibilidades es el conjunto de los resultados posibles de un experimento aleatorio y se designa por . Los sucesos relativos a un fenmeno aleatorio se identifican con los subconjuntos de su espacio de posibilidades.

Los subconjuntos con un nico elemento se denominan sucesos simples. Los subconjuntos que tienen varios elementos se denominan sucesos compuestos y son

agregados de sucesos simples. El espacio de posibilidades es un suceso compuesto que contiene como elementos a todos los resultados posibles del experimento y recibe el nombre de suceso seguro. El subconjunto vaco representa el suceso imposible. No es simple ni compuesto.

5.2.2 Operaciones con sucesos. Ejercicios (5.8 - 5.11) Inclusin A B Siempre que ocurre A ocurre B. Interseccin A B Ocurre siempre que el resultado pertenezca a A y B Unin A B Ocurre siempre que el resultado pertenezca a A o B o los dos. Complementacin CA Sucede siempre cuando el resultado no pertenece a A.

2

5.2.3 Modelo matemtico de la probabilidad. Una probabilidad sobre un espacio de posibilidades es una funcin que a cada subconjunto A de le asocia un nmero P(A), esta funcin cumple las cuatro condiciones siguientes:

1. 0 1P A . 2. 1P . 3. Si A B entonces P A B P A P B . 4. Si A es un suceso, 1cP A P A .

5.2.4 Asignacin de probabilidades en un espacio finito. Ejercicios (5.12 - 5.13) Para definir una probabilidad en un espacio que tenga un nmero finito de resultados posibles:

Asignamos una probabilidad a cada suceso simple. Deben ser entre 0 y 1. La suma tiene que ser 1.

La probabilidad de los restantes sucesos se calculan sumando las probabilidades de los sucesos simples que los componen.

5.2.5 Asignacin de probabilidad en los modelos uniformes finitos. Ejercicios (5.14 - 5.23) Regla de Laplace.

nmero de casos favorables a AP Anmero de casos posibles

5.3 PROBABILIDADES CONDICIONADAS Ejercicios (5.24 - 5.33) La probabilidad de que ocurra el suceso B cuando sabemos que A ha ocurrido se denomina probabilidad de B condicionada por A y se designa por el smbolo P B A . La probabilidad condicionada reduce el espacio de posibilidades con la informacin adicional que nos proporciona y mejora la probabilidad que se obtiene.

P A B

P B AP A

5.3.1 Clculo con probabilidades condicionadas. Si A y B son dos sucesos, la probabilidad de que ocurran ambos sucesos es igual a la probabilidad de que ocurra primero A, por la probabilidad de que ocurra B si ya ha ocurrido A. P A B P A P B A

3

5.3.2 Frmula de la probabilidad total. Ejercicios (5.34 - 5.37) 1 1 2 2 ... n nP A P B P A B P B P A B P B P A B

5.3.3 Regla de Bayes. Ejercicios (5.38 - 5.41) Si A y B son dos sucesos, la probabilidad de que A haya ocurrido, suponiendo que B ha ocurrido, se puede calcular mediante la regla de Bayes.

P B A

P A B P AP B

5.3.4 Independencia de sucesos. Ejercicios (5.42 - 5.46) En un fenmeno aleatorio determinado diremos que el suceso B es independiente del suceso A si se cumple P B A P B Dos sucesos A y B son independientes si se cumple P A B P A P B En la probabilidad condicionada un suceso A modifica la probabilidad de que ocurra otro B, pero no siempre la probabilidad condicionada es distinta de la inicial, en este caso un suceso es independiente del otro.

5.3.5 Series independientes de fenmenos aleatorios. La probabilidad de que ocurran simultneamente todos estos sucesos es igual al producto de sus probabilidades. 1 2 1 2... ...n nP A A A P A P A P A

5.4 VARIABLES DE LA ESTADSTICA DESCRIPTIVA

5.4.1 Conceptos bsicos en estadstica. Ejercicios (5.47 - 5.63) Poblacin, conjunto de seres u objetos acerca de los que se desea obtener informacin. Individuo, cada uno de los elementos de los miembros de la poblacin. La estadstica es la ciencia que estudia mediante mtodos cuantitativos, caractersticas de las poblaciones obtenidas como sntesis de la observacin de unidades estadsticas. Censo, consiste en anotar determinadas caractersticas de todos los individuos de una poblacin. La estadstica descriptiva es la parte de la estadstica que estudia las ideas, mtodos y tcnicas para la descripcin grfica y numrica de los conjuntos numerosos. Muestra, subconjunto de individuos que son observados para obtener informacin sobre el total de la poblacin a que pertenecen. Inferencia estadstica, parte de la estadstica que estudia los mtodos para establecer conclusiones sobre una poblacin a partir de una muestra de la misma.

4

5.4.2 Variables y observaciones. Los atributos o magnitudes que se observan en los individuos de la poblacin se denominan variables estadsticas.

De los atributos presentan modalidades. De las magnitudes toman valores.

El conjunto de modalidades o valores de cada variable medidos en un individuo constituye una observacin.

5.4.3 Clasificacin de las variables. Variable Cualitativa mide atributos y sus modalidades no son numricas sino simples etiquetas. Variable Cuantitativa cuando los valores que toma son numricos.

Discretas, si toman valores discretos como 0, 1, 2, Continuas, si es razonable suponer que puede tomar cualquier valor intermedio.

Variables nominales son las que representan atributos cuyas modalidades no pueden ser ordenadas ni operadas conforme a las reglas aritmticas. Variables ordinales son las que tienen modalidades que pueden ser ordenadas de mayor a menor. Variables medidas en escala de intervalos son las que valoran alguna cualidad cuantificable de los individuos en la que el 0 de la escala de medida tiene un carcter relativo. Variables medidas en escala de razn son las que valoran una cualidad de modo que el 0 tiene un sentido absoluto. Tomar el valor 0 significa ausencia absoluta de la cualidad.

5.4.4 Distribucin de frecuencias de una variable. La frecuencia absoluta de una modalidad o valor de la variable es el nmero de observaciones que presentan esa modalidad o valor. La suma de frecuencias absolutas 1 2 ... kF F F N La frecuencia relativa de la modalidad o valor ix es la proporcin de observaciones que presentan el

valor ix , se representa por iiFfN

. La suma de las frecuencias relativas de todas las modalidades o valores es igual a 1. El porcentaje de una modalidad o valor ix es igual a multiplicar por 100 su frecuencia relativa, se representa por 100i ip f . La frecuencia absoluta acumulada del valor jx es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores menores o igual que jx , se representa por 1 2 ...j jN F F F . La frecuencia relativa acumulada del valor jx es la suma de las frecuencias relativas de todos los valores menores o igual que jx , se representa por 1 2 ...j jn f f f .

5

5.5 DESCRIPCIN GRFICA DE UNA DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS.

5.5.1 Variables cualitativas. Diagramas de sectores. Diagramas de barras. Pictogramas.

5.5.1 Variables cuantitativas. Histogramas.

5.6 DESCRIPCIN NUMRICA DE UNA DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS.

5.6.1 Medidas de centralizacin. Ejercicios (5.64 - 5.70) La media aritmtica es igual a la suma de todos sus valores dividida entre el nmero de sumandos.

1 2

1

...1 n ni

i

x x xx xn n

La media aritmtica de una distribucin de frecuencias absolutas.

1 1 2 2 1

1 2

......

n

i in n i

n

x Fx F x F x Fx

F F F N

La media aritmtica de una distribucin de frecuencias relativas.

1 1 2 21

...n

n n i ii

x x f x f x f x f

5.6.2 Medidas de dispersin. El rango o recorrido de una variable es la diferencia entre los valores mximo y mnimo de la variable, se representa por: max minR x x . La varianza es la media aritmtica de los cuadrados de sus desviaciones respecto de la media, se

representa por: 2 2 2

21 22

1

... 1 nni

i

x x x x x xs x x

n n .

6

La desviacin tpica es la raz cuadrada de la varianza, se reprenda por:

2 2 2

21 22

1

... 1 nni

i

x x x x x xs x x

n n

Varianza de una distribucin de frecuencias absolutas:

2 2 2

21 1 2 22

11 2

... 1...

nn n

i iin

x x F x x F x x Fs x x F

F F F N

Varianza de una distribucin de frecuencias relativas:

2 2 2 22 1 1 2 21

...n

n n i ii

s x x f x x f x x f x x f

La varianza es igual a la media de los cuadrados de los datos menos el cuadrado de la media, se

representa por: 2 2 2

2 2 2 21 2

1

... 1 nni

i

x x xs x x xn n

Coeficiente de variacin al cociente entre la desviacin tpica y la media, suele expresarse en forma de

porcentaje. CVx

7

TEMA 5 PROBABILIDAD Y ESTADSTICA ......................................................................................... 15.1 AZAR Y PROBABILIDAD. ................................................................................................................ 1

5.1.1 Azar y necesidad. Ejercicios (5.1 - 5.7) ..................................................................................... 15.1.2 Certeza y probabilidad. .............................................................................................................. 1

5.2 MODELO MATEMTICO DE LOS FENMENOS ALEATORIOS. .............................................. 15.2.1 Modelo matemtico de los sucesos. ........................................................................................... 15.2.2 Operaciones con sucesos. Ejercicios (5.8 - 5.11) ...................................................................... 15.2.3 Modelo matemtico de la probabilidad. .................................................................................... 25.2.4 Asignacin de probabilidades en un espacio finito. Ejercicios (5.12 - 5.13) ............................ 25.2.5 Asignacin de probabilidad en los modelos uniformes finitos. Ejercicios (5.14 - 5.25) ........... 2

5.3 PROBABILIDADES CONDICIONADAS Ejercicios (5.26 - 5.36) .................................................... 25.3.1 Clculo con probabilidades condicionadas. ............................................................................... 25.3.2 Frmula de la probabilidad total. Ejercicios (5.37 - 5.40) ......................................................... 35.3.3 Regla de Bayes. Ejercicios (5.41 - 5.44) .................................................................................... 35.3.4 Independencia de sucesos. Ejercicios (5.45 - 5.48) ................................................................... 35.3.5 Series independientes de fenmenos aleatorios. Ejercicios (5.49 - 5.50) .................................. 3

5.4 VARIABLES DE LA ESTADSTICA DESCRIPTIVA ...................................................................... 35.4.1 Conceptos bsicos en estadstica. Ejercicios (5.51 - 5.61) ........................................................ 35.4.2 Variables y observaciones. ........................................................................................................ 45.4.3 Clasificacin de las variables. .................................................................................................... 45.4.4 Distribucin de frecuencias de una variable. Ejercicios (5.62 - 5.72) ....................................... 4

5.5 DESCRIPCIN GRFICA DE UNA DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS. ................................. 55.5.1 Variables cualitativas. ................................................................................................................ 55.5.1 Variables cuantitativas. .............................................................................................................. 5

5.6 DESCRIPCIN NUMRICA DE UNA DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS. ............................. 55.6.1 Medidas de centralizacin. Ejercicios (5.73 - 5.89)................................................................... 55.6.2 Medidas de dispersin. Ejercicios (5.90 - 5.110) ...................................................................... 5

TEMA 1 FUNDAMENTOS1.1 LGICA DE PROPOSICIONES1.2 CONJUNTOS1.3 APLICACIONES1.4 CARDINAL DE UN CONJUNTO

TEMA 2 ARITMTICA Y LGEBRA2.1 NMEROS NATURALES2.2 NMEROS ENTEROS2.3 NMEROS RACIONALES2.4 NMEROS REALES2.5 ECUACIONES

TEMA 3 GEOMETRA3.1 GEOMETRA ANALTICA3.2 RECTAS EN EL PLANO3.3 FIGURAS GEOMTRICAS PLANAS

TEMA 4 ANLISIS4.1 FUNCIONES4.2 LMITES Y CONTINUIDAD4.3 CLCULO DIFERENCIAL

TEMA 5 PROBABILIDAD Y ESTADSTICA5.1 AZAR Y PROBABILIDAD5.2 MODELO MATEMTICO DE LOS FENOMENOS ALEATORIOS5.3 PROBABILIDADES CONDICIONADAS5.4 VARIABLES DE LA ESTADSTICA DESCRIPTIVA5.5 DESCRIPCIN GRFICA DE UNA DISTRIBUCIN DEFRECUENCIAS5.6 DESCRIPCIN NUMRICA DE UNA DISTRIBUCIN DEFRECUENCIAS