apuntes matemticas logica
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Apuntes para matemáticas de lógica de proposiciones.TRANSCRIPT
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TEMA 1 FUNDAMENTOS
1.1 LÓGICA DE PROPOSICIONES
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Proposiciones
•
Proposición, oración que siempre podemos afirmar que es verdadera o falsa.
•
Proposición simple, se limita a enunciar una cualidad de un ser o cosa.
•
Proposición compuesta, se obtiene combinando una o más proposiciones simples.
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Conectores lógicos
•
Se utilizan para combinar proposiciones simples.
•
Una tabla de verdad representa todas las posibilidades lógicas que pueden tomar las proposiciones simples, son 2n.
•
Variables proposicionales: p, q, r…
•
Constantes proposicionales: V, F.
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•
Un conector lógico es una partícula que se utiliza para formar las proposiciones compuestas.
•
Están ordenadas por orden de preferencia.
•
Las conexiones lógicas son:
•
Negación p
•
Conjunción ⋀
(p ⋀
q)
•
Disyunción ⋁
(p ⋁
q)
•
Condicional →
(p → q) ≡
(p ⋁
q)
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Cálculo de valores de verdad
p q p pq pq pqV V F V V VV F F F V FF V V F V VF F V F F V
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Razonamientos•
Un razonamiento es una conclusión que resulta ser verdadera y que deducimos de unas premisas.
•
Un razonamiento es lógicamente válido si siempre que las premisas son verdaderas lo es también la conclusión.
•
Un razonamiento que no es lógicamente válido se llama falacia.
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Razonamientos•
Las premisas implican lógicamente la conclusión, es decir, un razonamiento será
válido cuando:
p1 ⋀ p2 ⋀
… ⋀
pn → q
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Razonamientos•
Para probar la validez de un razonamiento se forma la tabla de verdad de las premisas y la conclusión y se comprueba que siempre que las premisas toman el valor de verdad V también la conclusión toma el valor de V.
•
Para mostrar que un razonamiento no es lógicamente válido basta encontrar un caso en el que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa.
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Reglas de inferencia•
Lo que afirma cada regla es que una estructura lógica produce siempre razonamientos válidos, cualesquiera que sean las proposiciones particulares que se sustituyan.
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•
Modus ponendo ponens
p qp
q
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Modus ponendo ponens
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•
Modus tollendo tollens
p qq
p
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Modus tollendo tollens
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•
Modus tollendo ponens
p q
p
q
p qq
p
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Modus tollendo ponens
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Modus tollendo ponens
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•
Silogismo hipotético
p qq r
p r
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Silogismo hipotético
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Deducción
•
Una deducción o demostración es el proceso que partiendo de las premisas nos lleva a la conclusión a través de una serie de proposiciones intermedias obtenidas a partir de las reglas de inferencia.
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TEMA 1 FUNDAMENTOS
1.2 CONJUNTOS
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Conceptos básicos
• Los conjuntos se representan con letras mayúsculas, A, B,C ,…
• Los elementos se representas con minúsculas, a, b, c, x, y, z.
• Relación de pertenencia:– El elemento a pertenece al conjunto X, a ∈ X– El elemento a no pertenece al conjunto Z, a ∉ Z
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Formas de definir un conjunto• Enumeración: enumeramos todos y cada uno de
los elementos.
• Conjunto definidos por enumeración:
– S = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}
– V = {a, e, i, o, u}
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Formas de definir un conjunto• Descripción: definimos alguna característica
común a todos los elementos.
• Conjunto definidos por descripción:
– S = {días de la semana}
– V = {vocales del español}
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Formas de definir un conjunto
• Por descripción podemos definir de la siguiente manera los conjuntos:
• V es el conjunto de los elementos x que pertenecen al conjunto de las letras del alfabeto español A, tales que x es una vocal.
es vocalV x A x
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Relación de inclusión• Dados dos conjuntos A y B, se dice que A está
incluido en B y se escribe:
A ⊂
B• cuando todos los elementos de A pertenecen a
B.
• Si A está contenido en B se dice que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B.
• Si A y B son dos conjuntos tales que A⊂B y B⊂A entonces son iguales A = B.
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Relación de inclusión• Propiedades de la inclusión de conjuntos.
– Reflexiva: todo conjunto A está contenido en sí mismo. A⊂A
– Transitiva: Si un conjunto A está contenido en otro B, y B está contenido en otro conjunto C, entonces A está contenido en C.
– Si A⊂B
y , B⊂C
entonces A⊂C.
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Conjunto universal y vacío
• Conjunto universal, es el conjunto que contiene a todos los conjuntos que se analizan en un determinado contexto y se representa por U.
• Conjunto vacío es un conjunto que no tiene elementos, se representa por ∅.
• Cualquiera que sea el conjunto A se cumple ∅⊂A.
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El conjunto de las partes
• El conjunto de las partes de un conjunto A es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A. Se representa por P(A).
• Si el conjunto A tiene n elementos, el conjunto de las partes de A tiene 2n elementos.
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DIAGRAMAS DE VENN• Los conjuntos suelen representarse por medio
de unos dibujos denominados diagramas de Venn.
• El conjunto universal lo representamos por un rectángulo y los conjuntos por círculos dentro del conjunto universal.
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OPERACIONES CON CONJUNTOS
• Intersección.• Conjuntos disjuntos.• Unión.• Conjunto complementario.• Diferencia.
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Intersección• La intersección de dos conjuntos A y B es el
conjunto que tiene como elementos los comunes a ambos conjuntos, se representa por A∩B.
U
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Conjuntos disjuntos• Dos conjuntos son disjuntos si no tienen
elementos comunes, A∩B=∅.
U A B
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Unión• La unión de los conjuntos A y B es el conjunto
que tiene como elementos los que pertenecen a alguno de los conjuntos, se representa por A∪B.
U
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Conjunto complementario• El conjunto complementario de A está
formado por los elementos del conjunto universal que no pertenecen a A, se representa por AC.
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Diferencia• La diferencia de dos conjuntos A y B es el conjunto
formado por los elementos de A que no pertenecen a B, se representa por A-B.
• La diferencia de dos conjuntos A y B es igual a la intersección de A con el complementario de B, se representa por A∩BC.
U
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PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON CONJUNTOS
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TEMA 1 FUNDAMENTOS
1.3 APLICACIONES
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Concepto de aplicación
• Una aplicación entre dos conjuntos A y B es una transformación que convierte cada elemento del conjunto A en un único elemento del conjunto B.
• El conjunto A se llama conjunto inicial o dominio de la aplicación.
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Concepto de aplicación
• El conjunto B se llama conjunto final o rango de la aplicación.
• Las aplicaciones suelen designarse por las letras f, g, h y se representan por f:A→B o BA f
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• Si el elemento x ∈
A se transforma en el elemento y ∈
B se escribe y = f(x), se dice que
y es la imagen de x mediante la aplicación f.
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Imagen de un Subconjunto
• Sea f:A→B una aplicación y C ⊂
A. Se denomina imagen del subconjunto C al conjunto de las imágenes de los elementos de C.
• La imagen de C se representa por f(C).• En esta aplicación la imagen del subconjunto C = {1,2,3} ⊂
A es
igual a f(C) = {a,b} ⊂
B.
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Inversa de un Subconjunto
• Sea f:A→B una aplicación y D ⊂
B. Se denomina imagen inversa del subconjunto D al subconjunto formado por las preimagenes de los elementos de D, se representa por f -1(C).
• En esta aplicación la imagen inversa del subconjunto D = {1,3} ⊂
B es igual a f-1(C) = {b,c,d} ⊂
A.
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Tipos de aplicaciónTipos de aplicación• Una aplicación f:A→B es inyectiva si a cada valor del conjunto A le
corresponde un valor distinto en el conjunto B de f. Es decir, a cadacorresponde un valor distinto en el conjunto B de f. Es decir, a cadaelemento del conjunto A le corresponde un solo valor de B tal que,en el conjunto A no puede haber dos o más elementos que tenganla misma imagen.
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Tipos de aplicaciónTipos de aplicación• Una aplicación f:A→B es, sobreyectiva cuando cada elemento de
“B" es la imagen de como mínimo un elemento de “A".g
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Tipos de aplicaciónTipos de aplicación• Una aplicación f:A→B es, biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva
y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto dey y ; , jsalida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cadaelemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento delconjunto de salidaconjunto de salida.
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Composición de aplicaciones• Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la
2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)].
![Page 47: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/47.jpg)
TEMA 1 FUNDAMENTOS
1.4 CARDINAL DE UN CONJUNTO
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1.4.1 Cálculo de cardinales con dos conjuntos
•
El cardinal de un conjunto A es su número de elementos y se representa por #(A).
•
Si dos conjuntos A y B son disjuntos, el cardinal de la unión es igual a la suma de los cardinales.
•
Si A⋂B=∅, entonces #(A⋃B) = #(A) + #(B).
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1.4.1 Cálculo de cardinales con dos conjuntos
•
Si A y B son dos conjuntos, siempre se cumple que el cardinal de su unión #(A⋃B) es igual al cardinal de A más el cardinal de B menos el cardinal de la intersección #(A⋂B).
•
#(A⋃B) = #(A) + #(B) -
#(A⋂B).
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•
Podemos razonar la fórmula de otra manera:
•
#(A⋃B) = #(A -
B) + #(B -
A) + #(A⋂B).
•
Tenemos que A= (A -
B) ⋃ (A⋂B), siendo (A -
B) y (A⋂B) disjuntos, por lo tanto:
•
#(A) = #(A -
B) + #(A⋂B).•
#(B) = #(B -
A) + #(A⋂B).
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•
#(A)=7 #(B)=5
•
#(A⋃B) =10 #(A⋂B) = 2•
#(A-B) =5
#(B-A) = 3
•
#(A⋃B) = #(A) + #(B) -
#(A⋂B) → 10 = 7 + 5 -
2•
#(A⋃B) = #(A -
B) + #(B -
A) + #(A⋂B) → 10 = 5 + 3 + 2
•
#(A) = #(A -
B) + #(A⋂B) → 7 = 5 + 2•
#(B) = #(B -
A) + #(A⋂B) → 5 = 3 + 2
UA B
X X X
X X
X X
X
X
X
![Page 52: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/52.jpg)
TEMA 2 ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA
2.1 NÚMEROS NATURALES
![Page 53: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/53.jpg)
Concepto de número natural
1,2,3,4,...
![Page 54: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/54.jpg)
Operaciones con números naturales
• Suma.• Resta.• Multiplicación.• División.
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Sistemas de numeración• En los sistemas posicionales el valor de un
símbolo depende de su posición respecto de los demás.
• En la potencia 103, el 10 es la base y el 3 es el exponente y es igual a 10x10x10=1000.
• Cualquier número natural b puede ser base de un sistema de numeración.
• Un sistema de numeración de base b necesita de b símbolos que hagan el papel de cifras del sistema.
![Page 56: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/56.jpg)
Cambio de base• Cambio de base: calcular la expresión de un
número en un sistema de numeración a partir de su expresión en otro sistema.
• A base decimal
• De base decimal a otra.
2 1 02
101 1 2 0 2 1 2 5
![Page 57: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/57.jpg)
Divisbilidad • Un número natural c es divisible por otro
a cuando la división es exacta.• El cociente es otro número natural y el
resto de la división es cero.
• a divide a c• a es un divisor de c• c es múltiplo a
![Page 58: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/58.jpg)
Di isbilidadDivisbilidad • Factorización, sean a, b, c números
naturales si c = a b se denominanaturales si c = a b se denominafactorización en factores de c.
• Un número primo es un número naturalmayor que 1 que tiene únicamente dosmayor que 1, que tiene únicamente dosdivisores distintos: él mismo y el 1
• Un número compuesto tiene uno o másdi i di ti t 1 í idivisores distintos a 1 y a sí mismo.
![Page 59: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/59.jpg)
Criterios de divisibilidad
• Un número es divisible por 2, si termina en cero o cifra par.
• Un número es divisible por 3, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 3.
• Un número es divisible por 5, si termina en cero o cinco.
![Page 60: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/60.jpg)
Descomposición en factores primos
• Los números compuestos, se pueden expresar como productos de potencias de números primos, a dicha expresión se le llama descomposición de un número en factores primos.
• La descomposición de un número es muy útil pues ayuda a poder calcular el máximo común divisor o mínimo común múltiplo de varios números.
![Page 61: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/61.jpg)
Máximo común divisor• El máximo común divisor (mcd) de dos o más
números es el mayor número que los divide sin dejar resto.
• mcd (20,10)=10
![Page 62: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/62.jpg)
Mínimo común múltiplo• El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números
naturales es el menor número natural que es múltiplo de todos ellos.
• Seleccionamos los factores comunes y no comunes al mayor exponente.
![Page 63: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/63.jpg)
Fórmulas
, ,a b mcm a b mcd a b
,
,a bmcm a b
mcd a b
![Page 64: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/64.jpg)
TEMA 2 ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA
2.2 NÚMEROS ENTEROS
![Page 65: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/65.jpg)
Concepto de número entero
![Page 66: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/66.jpg)
Opuesto y valor absoluto
• El opuesto de un número entero es el número que hay que añadir para que la suma sea 0.
• el valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-).
![Page 67: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/67.jpg)
Operaciones con números enteros
![Page 68: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/68.jpg)
Los Signos
• Iguales +
• Desiguales –
![Page 69: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/69.jpg)
Propiedad distributiva del producto respecto de la suma
![Page 70: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/70.jpg)
Expresiones
2 2 2 2a b a b ab
2 2 2 2a b a b ab
![Page 71: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/71.jpg)
TEMA 2 ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA
2.3 NÚMEROS RACIONALES
![Page 72: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/72.jpg)
Concepto de número racional
1 1 1, , ,...2 3 4
![Page 73: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/73.jpg)
Fracción
ab
numeradordenominador
![Page 74: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/74.jpg)
Fracciones equivalentes
![Page 75: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/75.jpg)
Operaciones fracciones
![Page 76: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/76.jpg)
Operaciones fracciones
![Page 77: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/77.jpg)
Fracción inversa
![Page 78: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/78.jpg)
Expresión decimal de números racionales
• Forma de representar un número decimal
68 60 8 6 8 0,6 0,08 0,68100 100 100 10 100
![Page 79: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/79.jpg)
Paso expresión fracción a decimal
• Utilizamos el algoritmo de la división.
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Fracción periódica
• Fracción con parte decimal que se repite indefinidamente.
• Periodo: parte decimal que se repite.–Pura: –Mixta:
9,5
9, 435
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Paso de decimal a fracción
569756,97100
![Page 82: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/82.jpg)
Expresión decimal periódica
![Page 83: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/83.jpg)
Expresión decimal periódica
![Page 84: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/84.jpg)
Porcentajes
• El porcentaje c% equivale a la fracción: c / 100.
• Para expresar la fracción a/b como porcentaje, se halla la expresión decimal de la fracción y se multiplica por cien
%100
cc
![Page 85: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/85.jpg)
Porcentajes• Porcentaje de variación:
• El signo de la diferencia: medida actual – medida anterior da el sentido de la variación.– Si la diferencia es positiva el porcentaje será de aumento.– Si la diferencia es negativa el porcentaje será de disminución.
% 100
medida actual medida anteriorvariaciónmedida anterior
![Page 86: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/86.jpg)
Números fraccionarios definidos por expresiones literales
![Page 87: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/87.jpg)
Ordenación de números racionales
![Page 88: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/88.jpg)
TEMA 2 ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA
2.4 NÚMEROS REALES
![Page 89: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/89.jpg)
Concepto de número Real
![Page 90: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/90.jpg)
![Page 91: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/91.jpg)
Operaciones con números reales
• Suma.• Resta.• Multiplicación.• División.
![Page 92: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/92.jpg)
Ordenación de números reales
![Page 93: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/93.jpg)
Potencias
• Si a es un número real y n es un número natural no nulo el producto
se representa por an y se denomina potencia de base a y exponente n, o a elevado a n.
• Si n = 0 entonces a0 = 1.
....n veces
a a a a
![Page 94: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/94.jpg)
Operaciones con potencias
![Page 95: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/95.jpg)
Raíces• Dado un número natural n no nulo y un
número real positivo a, siempre que existe un número real positivo b tal que bn = a
• Se dice que b es la raíz n-esima de a y se
escribe onb a
1nb a
![Page 96: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/96.jpg)
Raíces• Potencia con exponente fraccionado.
1 1mm
mn n na a a
![Page 97: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/97.jpg)
TEMA 2 ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA
2.5 ECUACIONES
![Page 98: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/98.jpg)
La idea de ecuación
• Ecuación, es toda igualdad que relaciona números con letras. Las letras se denominan incógnitas y son las que debemos hallar.
• Plantear, traducir las condiciones literales a símbolos matemáticos.
• Resolver, halar el valor de las incógnitas.
![Page 99: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/99.jpg)
Clasificación:
• Número de incógnitas. Una, dos, etc…
• Mayor exponente, es el que determina el grado.
• Número de ecuaciones.
![Page 100: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/100.jpg)
Soluciones de una ecuación
• Ecuaciones de una incógnita. – Tenemos que hallar números tales que al reemplazar
las incógnitas se cumple la igualdad de los dos miembros.
• Ecuaciones con más de una incógnita.– La solución son tantos números como incógnitas.
• Sistemas de ecuaciones.– La solución del sistema son números que son
solución de todas las ecuaciones
![Page 101: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/101.jpg)
Reglas generales para resolver ecuaciones
• Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
• Si sumamos o restamos a ambos miembros de una ecuación un mismo número se obtiene una equivalente.
• Si multiplicamos o dividimos a ambos miembros de una ecuación un mismo número distinto de cero se obtiene una equivalente.
• Podemos pasar cualquier término de una ecuación de un miembro a otro sin más que cambiarle el signo.
![Page 102: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/102.jpg)
Ecuaciones lineales con una incógnita
![Page 103: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/103.jpg)
Sistemas de ecuaciones lineales
• Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.– Método de sustitución.
• Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas.– Método de eliminación.
![Page 104: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/104.jpg)
TEMA 3 GEOMETRÍA
3.1 GEOMETRÍA ANALÍTICA
![Page 105: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/105.jpg)
3.1.1 Teorema de Pitágoras
h2 = b2 + c2
![Page 106: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/106.jpg)
![Page 107: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/107.jpg)
3.1.2 Sistemas de referencia y coordenadas
• Un sistema de referencia cartesiano tiene los siguientes elementos:– Origen.– Ejes de coordenadas.– Dos puntos:
• Eje de abscisas, x.• Eje de ordenadas, y.
![Page 108: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/108.jpg)
![Page 109: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/109.jpg)
Distancia entre dos puntos (x,y) y (x´,y´)
2 2h x x y y
![Page 110: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/110.jpg)
TEMA 3 GEOMETRÍA
3.2 RECTAS EN EL PLANO
![Page 111: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/111.jpg)
• Ecuación general de la recta :
Ax+By+C = 0• Recta paralela al eje de ordenadas. Si B = 0
tenemos que
• Recta paralela al eje de abscisas. Si A = 0 tenemos que
CxA
ByA
![Page 112: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/112.jpg)
• Ecuación explicita de la recta: y = ax + b
• Pendiente: a, indica la inclinación.
• Ordenada en el origen: b, nivel de la recta donde corta al eje de ordenadas.
![Page 113: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/113.jpg)
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
• Si dos puntos tienen abscisas distintas x1 … x2 la ecuación de la recta que pasa por dos puntos (x1 ,y1 ) y (x2 ,y2 ) es :
• Si dos puntos tienen abscisas iguales x1 =x2 la ecuación es x=x1
2 11 1
2 1
y yy x x yx x
![Page 114: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/114.jpg)
Condición de alineación de tres puntos
• Tres puntos (x1 ,y1 ), (x2 ,y2 ) y (x3 ,y3 ), están alineados si:
• o bien x1 =x2 =x3 .
3 1 2 1
3 1 2 1
y y y yx x x x
![Page 115: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/115.jpg)
Posición relativa de dos rectas
• El punto de intersección de dos rectas es la solución del sistema de ecuaciones.
• Rectas paralelas.–Las rectas de ecuaciones:y = ax + by = a´x + b´
• son paralelas si a = a´
![Page 116: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/116.jpg)
Posición relativa de dos rectas
• La ecuación de la recta paralela a la recta y = ax+b por el punto (x0 , y0 ) es
• En el caso de una recta vertical x=k, la paralela por (x0 , y0 ) es la vertical x= x0 .
0 0y a x x y
![Page 117: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/117.jpg)
Posición relativa de dos rectas• Rectas perpendiculares.
• La ecuación de la perpendicular a la recta y = ax + b por el punto (x0 ,y0 ), es
0 01y x ya
x
![Page 118: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/118.jpg)
Posición relativa de dos rectas• Si a = 0 la recta es paralela al eje de
abscisas y su perpendicular por el punto (x0 ,y0 ) es la paralela al eje de ordenadas x = x0 .
• Simétricamente la perpendicular a la recta vertical x = k por (x0 ,y0 ) es la paralela al eje de abscisas y = y0 .
![Page 119: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/119.jpg)
TEMA 3 GEOMETRÍA
3.3 FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS
![Page 120: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/120.jpg)
3.3.1 Polígonos
• Perímetro, es la longitud total de su contorno.
• Área de un rectángulo. – Es el producto de sus lados, A=a·b.
• Área de un paralelogramo. – Es el producto de su base por su altura, A=b·h.
• Área de un triángulo. – Mitad del producto de su base por su altura,
2b hA
![Page 121: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/121.jpg)
3.3.2 La circunferencia
• Ecuación de la circunferencia:
2 2 20 0x x y y r
![Page 122: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/122.jpg)
Centro y radio de una circunferencia
• La ecuación de la forma
• representa una circunferencia con:
• Centro:
• Radio:
2 2 0x y ax by c
: ,2 2a bc
2 21 4
2r a b c
![Page 123: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/123.jpg)
Círculo
• Dada la circunferencia de centro (x0
,y0
)
su círculo es:
• Longitud de la circunferencia: L=2πr.
• Área del círculo: A=πr2.
2 2 20 0x x y y r
![Page 124: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/124.jpg)
TEMA 4 ANÁLISIS
4.1 FUNCIONES
![Page 125: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/125.jpg)
4.1.1 Concepto de función• En matemáticas, una función (f) es una relación entre un conjunto
inicial dado X y otro conjunto final de elementos Y de forma que a cada elemento x del conjunto inicial le corresponde un único elemento f(x) del conjunto final.
• Rango de variación de una magnitud numérica.
• Intervalo cerrado [a,b] al conjunto de los números reales x, a≤
x ≤
b.• Intervalo semiabierto [a,b) al conjunto de los números reales x, a ≤
x < b.
• Intervalo semiabierto (a,b] al conjunto de los números reales x, a < x ≤
b.• Intervalo abierto (a,b) al conjunto de los números reales x, a < x < b.
![Page 126: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/126.jpg)
Rango de variación de una magnitud numérica
a ≤
x ≤
b
a ≤
x < b
a < x ≤
b
a <
x < b
[a,b]
[a,b)
(a,b]
(a,b)
![Page 127: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/127.jpg)
4.1.2 Representación gráfica de una función
• La gráfica de una determinada función f, definida en un intervalo I, es el conjunto de puntos del plano cuya abscisa es un valor x ∈ I y ordenada f(x).
![Page 128: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/128.jpg)
4.1.3 Características de las funciones
• Función creciente.
• Función decreciente.
• Máximo relativo.
• Mínimo relativo.
![Page 129: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/129.jpg)
• Asíntotas verticales, se presentan en aquellos puntos que anulan el denominador.
• Asíntotas horizontales, se presentan en las funciones cuando el numerador tiene grado menor o igual al denominador.
• Asíntotas oblicuas, se presentan cuando el grado del numerador excede en una unidad del grado del denominador, son incompatibles con las asíntotas horizontales, son rectas del tipo y = ax+ b.
limx
f x
( )lim
lim( ( ) )x
x
f xax
b f x ax
![Page 130: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/130.jpg)
TEMA 4 ANÁLISIS
4.2 LÍMITES Y CONTINUIDAD
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Límite de una función en un punto
• La función f, definida en el intervalo I, tiene límite l cuando x tiende a , si al tomar x suficientemente próximo a x0 , aunque diferente de x0 , puede hacerse el valor de f(x) tan próximo a l como se desee.
• Se indica así:
• El límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, etc.
0
limx x
f x l
![Page 132: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/132.jpg)
Límites elementales
![Page 133: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/133.jpg)
Funciones continuas
• Una función f es continua en el punto x0 si se verifica
• Tanto si el límite no existe como si no coincide con f(x0 ) la función f es discontinua o tiene una discontinuidad en x0 .
0
0limx x
f x f x
![Page 134: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/134.jpg)
TEMA 4 ANÁLISIS
4.3 CÁLCULO DIFERENCIAL
![Page 135: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/135.jpg)
4.3.1 Concepto de derivada
•
Si f
es una función definida en un intervalo I y x0 ∈ I , la derivada de f
en
x0 es:
•
suponiendo que el límite exista.
0
00
0
limx x
f x f xf x
x x
![Page 136: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/136.jpg)
•
Una función f
se denomina derivable en el punto x0 si la derivada f´(x0
) existe y es finita.
•
Toda función derivable en un punto x0 es continua en x0 .
•
La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto.
![Page 137: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/137.jpg)
Tangente a una curva
•
La derivada f´(x0
) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f
en el punto (x0, ( f (x0
))).•
La ecuación de dicha recta tangente es: y = f´(x0
)·(x
- x0
)
+ f (x0
)
y además pasa
por el punto (x0, ( f (x0
))).
![Page 138: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/138.jpg)
4.3.3 Cálculo de derivadas
![Page 139: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/139.jpg)
4.3.4 Aplicaciones de las derivadas
•
Si f es una función definida y derivable en un intervalo I:
–
Los intervalos de crecimiento coinciden con los intervalos en que f´
≥
0.
–
Los intervalos de decrecimiento coinciden con los intervalos en que f´
≤
0.
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•
Si f es una función derivable
en x0
y tiene en x0
un máximo o mínimo relativo tiene que ser f´(x0
)=0.
•
Para una función f derivable
en todos los puntos de un intervalo (a,b), la resolución de la ecuación f´(x0
)=0
con x∈(a,b) proporciona todas las abscisas candidatas a ser máximos o mínimos relativos de f en (a,b).
![Page 141: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/141.jpg)
•
Sea f derivable
en todos los puntos de un intervalo alrededor de x0
y f ́ la función
derivada de f, la derivada de f ́ en x0
, si existe, se denomina derivada segunda de f y se representa por f´´
![Page 142: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/142.jpg)
•
Si f tiene derivada que es derivable
en x0
, se cumple f´(x0
)=0
y:
– f´´>0, entonces f tiene un mínimo relativo en x0
.
– f´´<0, entonces f tiene un máximo relativo en x0
.
![Page 143: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/143.jpg)
•
La función se denomina:
•
Convexa en aquellos intervalos en que la pendiente de la tangente, f´(x) crece.
•
Cóncava cuando la pendiente de la tangente f´(x) decrece.
•
Los puntos en los que pasa de ser cóncava a ser convexa o viceversa se llaman puntos de inflexión.
![Page 144: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/144.jpg)
TEMA 5 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
5.1 AZAR Y PROBABILIDAD
![Page 145: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/145.jpg)
5.1.1 Azar y necesidad
• Un fenómeno aleatorio es aquel que bajo el mismo conjunto aparente de condiciones iniciales, puede presentar resultados diferentes, es decir, no se puede predecir el resultado exacto de cada experiencia particular.
![Page 146: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/146.jpg)
5.1.2 Certeza y probabilidad
• La probabilidad de un acontecimiento posible es un número entre 0 y 1.
![Page 147: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/147.jpg)
TEMA 5 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
5.2 MODELO MATEMÁTICO DE LOS FENOMENOS
ALEATORIOS
![Page 148: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/148.jpg)
5.2.1 Modelo matemático de los sucesos
• Un suceso es un fenómeno aleatorio que podemos decir si ha ocurrido o no.
• Un espacio de posibilidades es el conjunto de los resultados posibles de un experimento aleatorio y se designa por .
• Los sucesos relativos a un fenómeno aleatorio se identifican con los subconjuntos de su espacio de posibilidades.
![Page 149: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/149.jpg)
• Los subconjuntos con un único elemento se denominan sucesos simples.
• Los subconjuntos que tienen varios elementos se denominan sucesos compuestos y son agregados de sucesos simples.
• El espacio de posibilidades es un suceso compuesto que contiene como elementos a todos los resultados posibles del experimento y recibe el nombre de suceso seguro.
• El subconjunto vacío ∅
representa el suceso imposible. No es simple ni compuesto.
![Page 150: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/150.jpg)
5.2.2 Operaciones con sucesos• Inclusión A⊂B,
– Siempre que ocurre A ocurre B.
• Intersección A⋂B,– Ocurre siempre que el resultado pertenezca a A y B
• Unión A⋃B,– Ocurre siempre que el resultado pertenezca a A o B o los dos.
• Complementación AC,– Sucede siempre cuando el resultado no pertenece a A.
![Page 151: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/151.jpg)
5.2.3 Modelo matemático de la probabilidad
• Una probabilidad sobre un espacio de posibilidades
es una función que a cada
subconjunto A de
le asocia un número P(A), esta función cumple las cuatro condiciones siguientes:
1. 0P(A)12. P()=13. Si A, B⊂, son dos sucesos con intersección
vacía, entonces P(A⋃B)=P(A)+P(B).4. Si A es un suceso, la probabilidad del sucesos
contrario es igual a P(AC)=1- P(A).
![Page 152: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/152.jpg)
5.2.4 Asignación de probabilidades en un espacio finito
• Para definir una probabilidad en un espacio que tenga un número finito de resultados posibles:
– Asignamos una probabilidad a cada suceso simple.– Deben ser entre 0 y 1.– La suma tiene que ser 1.
• La probabilidad de los restantes sucesos se calculan sumando las probabilidades de los sucesos simples que los componen.
![Page 153: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/153.jpg)
5.2.5 Asignación de probabilidad en los modelos uniformes finitos
• Regla de Laplace.
número de casos favorables a AP Anúmero de casos posibles
![Page 154: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/154.jpg)
TEMA 5 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
5.3 PROBABILIDADES CONDICIONADAS
![Page 155: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/155.jpg)
Probabilidad condicionada
• La probabilidad de que ocurra el suceso B cuando sabemos que A ha ocurrido se denomina probabilidad de B condicionada por A y se designa por el símbolo
P A BP B A
P A
P B A
![Page 156: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/156.jpg)
5.3.1 Cálculo con probabilidades condicionadas
• Si A y B son dos sucesos, la probabilidad de que ocurran ambos sucesos es igual a la probabilidad de que ocurra primero A, por la probabilidad de que ocurra B si ya ha ocurrido A.
P A B P A P B A
![Page 157: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/157.jpg)
5.3.2 Fórmula de la probabilidad total
1 1 2 2 ... n nP A P B P A B P B P A B P B P A B
![Page 158: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/158.jpg)
5.3.3 Regla de Bayes
• Si A y B son dos sucesos, la probabilidad de que A haya ocurrido, suponiendo que B ha ocurrido, se puede calcular mediante la regla de Bayes.
P B AP A B P A
P B
![Page 159: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/159.jpg)
5.3.4 Independencia de sucesos
• En un fenómeno aleatorio determinado diremos que el suceso B es independiente del suceso A si se cumple
• Dos sucesos A y B son independientes si se cumple
P B A P B
P A B P A P B
![Page 160: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/160.jpg)
5.3.5 Series independientes de fenómenos aleatorios
• La probabilidad de que ocurran simultáneamente todos estos sucesos es igual al producto de sus probabilidades.
1 2 1 2... ...n nP A A A P A P A P A
![Page 161: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/161.jpg)
TEMA 5 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
5.4 VARIABLES DE LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
![Page 162: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/162.jpg)
5.4.1 Conceptos básicos en estadística
• Población, conjunto de seres u objetos acerca de los que se desea obtener información.
• Individuo, cada uno de los elementos de los miembros de la población.
• La estadística es la ciencia que estudia mediante métodos cuantitativos, características de las poblaciones obtenidas como síntesis de la observación de unidades estadísticas.
• Censo, consiste en anotar determinadas características de todos los individuos de una población.
![Page 163: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/163.jpg)
5.4.1 Conceptos básicos en estadística
• La estadística descriptiva es la parte de la estadística que estudia las ideas, métodos y técnicas para la descripción gráfica y numérica de los conjuntos numerosos.
• Muestra, subconjunto de individuos que son observados para obtener información sobre el total de la población a que pertenecen.
• Inferencia estadística, parte de la estadística que estudia los métodos para establecer conclusiones sobre una población a partir de una muestra de la misma.
![Page 164: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/164.jpg)
5.4.2 Variables y observaciones
• Los atributos o magnitudes que se observan en los individuos de la población se denominan variables estadísticas.– De los atributos presentan modalidades.– De las magnitudes toman valores.
• El conjunto de modalidades o valores de cada variable medidos en un individuo constituye una observación.
![Page 165: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/165.jpg)
5.4.3 Clasificación de las variables• Variable Cualitativa mide atributos y sus
modalidades no son numéricas sino simples etiquetas.
• Variable Cuantitativa cuando los valores que toma son numérico.
• Discretas, si toman valores discretos como 0, 1, 2,…
• Continuas, si es razonable suponer que puede tomar cualquier valor intermedio.
• Variables nominales son las que representan atributos cuyas modalidades no pueden ser ordenadas ni operadas conforme a las reglas aritméticas.
![Page 166: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/166.jpg)
5.4.3 Clasificación de las variables
• Variables ordinales son las que tienen modalidades que pueden ser ordenadas de mayor a menor.
• Variables medidas en escala de intervalos son las que valoran alguna cualidad cuantificable de los individuos en la que el 0 de la escala de medida tiene un carácter relativo.
• Variables medidas en escala de razón son las que valoran una cualidad de modo que el 0 tiene un sentido absoluto. Tomar el valor 0 significa ausencia absoluta de la cualidad.
![Page 167: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/167.jpg)
5.4.4 Distribución de frecuencias de una variable
• La frecuencia absoluta de una modalidad o valor de la variable es el número de observaciones que presentan esa modalidad o valor.
• La suma de frecuencias absolutas F1 +F2 +…+Fk =N.
![Page 168: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/168.jpg)
• La frecuencia relativa de la modalidad o valor xi es la proporción de observaciones que presentan el valor xi , se representa por
• La suma de las frecuencias relativas de todas las modalidades o valores es igual a 1.
• El porcentaje de una modalidad o valor xi es igual a multiplicar por 100 su frecuencia relativa, se representa por pi =100·fi .
ii
FfN
![Page 169: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/169.jpg)
• La frecuencia absoluta acumulada del valor xj es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores menores o igual que xj , se representa por Nj =F1 +F2 +…+Fj .
• La frecuencia relativa acumulada del valor xj es la suma de las frecuencias relativas de todos los valores menores o igual que xj , se representa por nj =f1 +f2 +…+fj .
![Page 170: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/170.jpg)
TEMA 5 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
5.5 DESCRIPCIÓN GRÁFICA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE
FRECUENCIAS
![Page 171: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/171.jpg)
5.5.1 Variables cualitativas
• Diagramas de sectores.• Diagramas de barras.• Pictogramas.
![Page 172: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/172.jpg)
5.5.1 Variables cuantitativas
• Histogramas.
![Page 173: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/173.jpg)
TEMA 5 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
5.6 DESCRIPCIÓN NUMÉRICA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE
FRECUENCIAS
![Page 174: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/174.jpg)
5.6.1 Medidas de centralización
• La media aritmética es igual a la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos.
• La media aritmética de una distribución de frecuencias absolutas.
• La media aritmética de una distribución de frecuencias relativas.
1 2
1
...1 nn
ii
x x xx xn n
1 1 2 2 1
1 2
......
n
i in n i
n
x Fx F x F x Fx
F F F N
1 1 2 21
...n
n n i ii
x x f x f x f x f
![Page 175: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/175.jpg)
5.6.2 Medidas de dispersión• El rango o recorrido de una variable es la diferencia entre
los valores máximo y mínimo de la variable, se representa por:
• La varianza es la media aritmética de los cuadrados de sus desviaciones respecto de la media, se representa por:
max minR x x
2 2 2
21 22
1
... 1 nn
ii
x x x x x xs x x
n n
![Page 176: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/176.jpg)
• La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza, se reprenda por:
• Varianza de una distribución de frecuencias absolutas:
• Varianza de una distribución de frecuencias relativas:
2 2 2
21 22
1
... 1 nn
ii
x x x x x xs x x
n n
2 2 2
21 1 2 22
11 2
... 1...
nn n
i iin
x x F x x F x x Fs x x F
F F F N
2 2 2 221 1 2 2
1...
n
n n i ii
s x x f x x f x x f x x f
![Page 177: Apuntes Matemticas Logica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081722/5695d0c91a28ab9b0293dfd4/html5/thumbnails/177.jpg)
• La varianza es igual a la media de los cuadrados de los datos menos el cuadrado de la media, se representa por:
• Coeficiente de variación al cociente entre la desviación típica y la media, suele expresarse en forma de porcentaje.
2 2 22 2 2 21 2
1
... 1 nn
ii
x x xs x x xn n
CVx