APUNTES DE MECNICA DE SUELOS

VOLUMEN 1

Agustn Demneghi Colina Margarita Puebla Cadena

Profesores del Departamento de Geotecnia

Universidad Nacional Autnoma de Mxico

2

NDICE

Captulo Tema Pgina

Ley de Coulomb 3 Prueba de compresin triaxial 3 Prueba de corte directo 14 Estado crtico 15 Influencia de la presencia de agua en el comportamiento de un suelo

22

Suelos friccionantes 27 Suelos cohesivos totalmente saturados 28 Suelos cohesivos parcialmente saturados 40 Uso de correlaciones 44 Experiencia local 50 Presin horizontal en un elemento de suelo 54 Referencias 56

Resistencia al esfuerzo cortante de los suelos

58 Suelos cohesivos 58 Suelos friccionantes 63 Compactacin de campo 64 Anexo 1 64 Referencias 65

Compactacin

Licuacin de arenas

66

Nota preliminar 71 Mtodo de Rankine 71 Respuesta del esqueleto slido de un suelo totalmente saturado

74

Mtodo de Rankine. Suelo puramente friccionante

74

Mtodo de Rankine. Suelo puramente cohesivo 77 Mtodo de Coulomb 79 Frmula de Mononobe-Okabe 81 Anlisis y diseo de muros de retencin de mampostera

82

Tierra armada 91 Comentario final 92 Referencias 94

Empuje de tierras sobre elementos de retencin

Mtodo semiemprico de Terzaghi

95

Drenaje de muros de retencin

101

3

RESISTENCIA AL ESFUERZO CORTANTE DE LOS SUELOS

Agustn Demneghi Colina* Margarita Puebla Cadena* 1. LEY DE COULOMB En 1776 Charles Augustin Coulomb enunci la ley de resistencia al corte de un material cohesivo-friccionante (figura 1) s = c + tan (1) donde c = cohesin = ngulo de friccin interna

Esfuerzocortante

Phi

c

Esfuerzonormal

LEY DE COULOMB(Msrescortef) FIGURA 1

2. PRUEBA DE COMPRESIN TRIAXIAL En una prueba de compresin triaxial una probeta de suelo se somete al estado de esfuerzo sealado en la figura 2. En un ensaye de compresin triaxial de rutina 2 = 3. Los esfuerzos se aplican en dos etapas, como se indica en la figura 3.

* Profesores del Departamento de Geotecnia. Divisin de Ingenieras Civil y Geomtica. Facultad de Ingeniera. UNAM

4

Sigma1

Sigma3

Sigma2 Sigma2

Sigma3

Sigma1

ESFUERZOS EN UNA PRUEBA DE COMPRESIN TRIAXIALFIGURA 2

Sigma3 Sigma1-Sigma3 Sigma1

Sigma3 Sigma3 + = Sigma3 Sigma3

Sigma3 Sigma1-Sigma3 Sigma1

Primera etapa Segunda etapaEtapa (a) Etapa (b)

ETAPAS EN UNA PRUEBA DE COMPRESIN TRIAXIALFIGURA 3

Convencin de signos En mecnica de suelos usamos la convencin de signos indicada en la figura 4. La deformacin unitaria lineal vertical se define (figura 4a) como z = - (2) ho Considerando que < 0 y ho > 0, la deformacin unitaria z dada por la ecuacin 2 resulta positiva. Es decir, las deformaciones de compresin son positivas en mecnica de suelos.

5

El esfuerzo normal vertical se define (figura 4b) Fz z = - (3) A

Fzz z

A

Delta

ho Delta < 0 Fz < 0ho > 0 A > 0

x x

DEFORMACIN UNITARIA ESFUERZO(a) (b)

DEFORMACIONES Y ESFUERZOS EN MECNICA DE SUELOSFIGURA 4

Como Fz < 0 y A > 0, el esfuerzo normal z dado por la ecuacin 3 es positivo. Es decir, esfuerzos normales de compresin son positivos en mecnica de suelos. rea corregida El rea A se calcula como V Vo + V Vo (1 + V/Vo) A = = = h ho + ho (1 + /ho) Vo [1 - (-V/Vo)] A = ho [1 - (-/ho)] donde V = volumen de la probeta de suelo h = altura de la probeta de suelo V < 0 (decremento de volumen) < 0 (deformacin vertical) Es decir 1 - v A = Ao (4) 1 - z siendo Ao = Vo/ho = rea inicial

6

v = - V/Vo > 0 z = - /ho > 0 Obtencin de la ley de resistencia a partir de resultados de pruebas de compresin triaxial Para conocer la ley de resistencia de un material, en la prctica se realizan varias pruebas de compresin triaxial; los resultados se dibujan en un plano de Mohr, como se muestra en la figura 5. Se traza una lnea tangente a los crculos (que se denomina envolvente de falla) y se obtienen las magnitudes de c y (figura 5).

Esfuerzocortante

Envolvente defalla Phi

C

Esfuerzonormal

ENVOLVENTE DE FALLAFIGURA 5

(Msrescortef) Determinacin de los esfuerzos 3 y 1 en funcin de las propiedades de resistencia c y Sea el estado de esfuerzo en una prueba de compresin triaxial como se ilustra en la figura 6, con 2 = 3. El crculo de Mohr y la envolvente de falla del suelo se exhiben en la figura 7, en la que

(1 - 3)/2 sen =

c cot + (1 + 3)/2 Es decir 1 sen 2c cos 3 = 1 - (5) 1 + sen 1 + sen 1 + sen 2c cos 1 = 3 + (6) 1 - sen 1 - sen

7

Sigma1

Sigma3

Sigma3 Sigma3

Sigma2 = Sigma3Sigma3

Sigma1

ESFUERZOS EN UNA PRUEBA DE COMPRESIN TRIAXIAL DE RUTINAFIGURA 6

Esfuerzocortante

Phi

c

PhiSigma3 (Sigma1+Sigma3)/2 Sigma1 Esfuerzo

c cot Phi normal

ESTADO DE ESFUERZO EN UNA PRUEBA DECOMPRESIN TRIAXIAL

FIGURA 7 En un suelo con c = 0, el ngulo de friccin interna se puede obtener de la ecuacin 5

1 - 3 sen = (7)

1 + 3 (c = 0)

8

Inclinacin del plano de falla Consideremos una prueba de compresin triaxial como la indicada en la figura 6. El crculo de Mohr correspondiente y el polo de los esfuerzos se muestran en la figura 8. El tringulo ACB de la figura 8 es un tringulo issceles, en el que 2 + 90 - = 180 Es decir = 45 + /2 (8) Observamos que el plano de falla en una prueba de compresin triaxial tiene una inclinacin de 45+ /2 con respecto a la horizontal.

Esfuerzo Inclinacin del planocortante de falla

n

PhiB

Beta

Polo90 - Phi

Phi Sigma3 Beta AlfaA C Sigma1 Esfuerzo

normal

INCLINACIN DEL PLANO DE FALLAFIGURA 8

(Msrescortef) Estado de esfuerzo en el plano de falla Las coordenadas del punto B de la figura 8 miden los esfuerzos normal y cortante, respectiva-mente, en el plano de falla. El estado de esfuerzo en dicho plano de falla tambin se puede obtener en forma analtica. En efecto, dado el estado de esfuerzo de la figura 9, los esfuerzos normal y cortante en el plano cuyo vector normal es n valen = x cos2 + y sen2 + 2 xy sen cos (9) = (x - y) sen cos + xy (sen2 - cos2) (10) donde = ngulo que forma la normal al plano con el sentido positivo del eje horizontal.

9

y

Sigmayn

Tauyx

Tauxy Alfa

xSigmax Sigmax

Tauxy

Tauyx

Sigmay

ELEMENTO SOMETIDO A UN ESTADO DE ESFUERZOFIGURA 9

Para el estado de esfuerzo de la figura 6: x = 3, y = 1, xy = 0. El ngulo vale (figura 8) = 90+ Reemplazando en las ecuaciones 9 y 10 = 3 sen2 + 1 cos2 (11) = (1 - 3) sen cos (12) siendo = 45+ /2 la inclinacin del plano de falla (ecuacin 8). Trayectorias de esfuerzo Diagrama s-t Sea una prueba de compresin triaxial como la mostrada en la figura 6. Los esfuerzos normal, s, y cortante, t, en un plano inclinado 45 con respecto a la horizontal valen 1 + 3 s = (13) 2 1 - 3 t = (14) 2 Las variables s y t estn relacionadas de la siguiente forma: de la ecuacin 13 1 - 3 + 3 + 3 s = = t + 3 (15)

2 t = s - 3 (16)

10

Observamos que el esfuerzo t est dado en funcin de s por una recta de pendiente 1 y de ordenada al origen - 3. Para una prueba de compresin triaxial podemos trazar la trayectoria de esfuerzos de la primera a la segunda etapa del ensaye. En efecto, en la primera etapa (figura 3a): 1 = 3; sustituyendo en las ecuaciones 13 y 14: s = 3, t = 0; este estado de esfuerzo queda representado por el punto A en el diagrama s-t de la figura 10. El punto B mide el estado de esfuerzo durante la falla de la probeta (figura 10).

t

B (falla)

11

ASigma 3 s

- Sigma3

TRAYECTORIA DE ESFUERZOSDIAGRAMA s-t

FIGURA 10

Uniendo los puntos B de varias pruebas triaxiales obtenemos la envolvente de falla en un diagrama s-t (figura 11). En la figura 11

t tan = (17)

a cot + s Reemplazando las ecuaciones 13 y 14 en la ecuacin 17 (1 - 3) = 2 a + (1 + 3) tan (18) En la figura 7

(1 - 3)/2 sen =

c cot + (1 + 3)/2 Es decir

11

t

Alfa

B

ta

Alfas

a cot Alfa s

ENVOLVENTE DE FALLA EN UNDIAGRAMA s-t

FIGURA 11(Msrescortef)

(1 - 3) = 2c cos + (1 + 3) sen (19) Para que las ecuaciones 18 y 19 sean iguales se debe cumplir a = c cos (20) sen = tan (21) Ejemplo En una prueba de compresin triaxial se obtuvieron los siguientes resultados Prueba N Esfuerzo

confinante Esfuerzo desviador en la falla

kPa kPa 1 100 383 2 200 521 3 300 658

a) Trazar los crculos de Mohr correspondientes y determinar los parmetros de resistencia c y

del suelo b) Trazar el diagrama s-t y determinar a partir de ste los parmetros de resistencia c y del

suelo c) Determinar los esfuerzos normal y cortante en el plano de falla de la prueba 3 Solucin (a) En la figura E-1a se muestran los crculos de Mohr para las tres pruebas triaxiales; medimos c

= 80 kPa y = 24 (b) En la tabla E-1 se indican los valores de s y t, y en la figura E-2b se exhibe el diagrama s-t; en

ste medimos a = 75 kPa y = 22. Aplicando las ecuaciones 21 y 20: = 23.8, c = 82 kPa (c) La inclinacin del plano de falla es (ecuacin 8) = 45 + /2 = 45 + 24/2 = 57 Reemplazando valores en las ecuaciones 11 y 12

12

13

TABLA E-1 Prueba s t

kPa kPa 1 291.5 191.5 2 460.5 260.5 3 629 329

= (300) sen2 57 + (958) cos2 57 = 495.18 kPa = (958 - 300) sen 57 cos 57 = 300.56 kPa En la figura E-1a medimos = 495 kPa, = 300 kPa

----------- Diagrama p-q Sea una prueba de compresin triaxial como la mostrada en la figura 2. Definamos la presin de confinamiento p de la siguiente forma 1 + 2 + 3 p = (22) 3 El esfuerzo desviador q se define como q = 1 - 3 (23) Si, como es comn en una prueba triaxial convencional, que 2 = 3 (figura 6), entonces la presin de confinamiento es 1 + 2 3 p = (24) 3 1 + 2 3 1 - 3 + 3 3 p = = 3 3 p = q/3 + 3 (25) Es decir q = 3 p - 3 3 (26) Observamos que el esfuerzo desviador q est dado en funcin de p por una recta de pendiente 3 y de ordenada al origen - 3 3. Consideremos una prueba de compresin triaxial como la indicada en la figura 3. [En direccin perpendicular al plano de la figura acta en la primera etapa (etapa a) un esfuerzo normal 2 = 3.] En la primera etapa, usando las ecuaciones 23 y 24 q = 0 3 + 2 3 p = = 3 3

14

El estado de esfuerzo en la primera etapa queda representado por el punto A en el diagrama p-q de la figura 12. Al aplicar al espcimen el esfuerzo desviador durante la segunda etapa (figura 3b), se llega al punto B, que representa la falla del suelo. Como sealamos antes, la trayectoria de esfuerzo durante la prueba triaxial est dada por una recta de pendiente 3 (ecuacin 26; figura 12).

q

B (falla)

3

1

A p

- 3 Sigma3

TRAYECTORIA DE ESFUERZOSDIAGRAMA p-q

FIGURA 12

3. PRUEBA DE CORTE DIRECTO En un ensaye de corte directo se aplica un esfuerzo normal vertical y un esfuerzo cortante horizontal , hasta llevar a la falla al espcimen de suelo. Se mide el desplazamiento horizontal ocasionado por (figura 13). La ley de resistencia de un suelo se determina realizando ensayes para diferentes valores de y la ley de resistencia se obtiene uniendo los puntos representativos de cada prueba (figura 14).

15

Esfuerzocortante

Arena compacta oarcilla preconsolidada

Arena suelta oarcilla normalmenteconsolidada

Desplazamientohorizontal

CURVAS ESFUERZO CORTANTE-DESPLAZAMIENTO HORIZONTALPRUEBA DE CORTE DIRECTO

FIGURA 13

Esfuerzocortante

Phi

c

Esfuerzonormal

LEY DE COULOMBPRUEBA DE CORTE DIRECTO

FIGURA 14 4. ESTADO CRTICO Curvas esfuerzo-deformacin unitaria En la figura 15 se muestra la forma de las curvas esfuerzo desviador-deformacin unitaria para diferentes suelos. Vemos que para grandes deformaciones las curvas tienden a un mismo esfuerzo, que se denomina resistencia ltima (correspondiente al estado crtico del suelo).

16

Sigma1 - Sigma3

(Sigma1 - Sigma3)max Arena compacta oarcilla preconsolidada

(Sigma1 - Sigma3)ult

Arena suelta oarcilla normalmenteconsolidada

psilonz

CURVAS ESFUERZO-DEFORMACIN UNITARIAFIGURA 15

Esfuerzo cortante

Phi maxPhi ult

Esfuerzonormal

ENVOLVENTES DE FALLA, PARA ESFUERZO DESVIADORMXIMO Y PARA ESFUERZO DESVIADOR LTIMO

FIGURA 16 En el caso de una arena compacta o una arcilla preconsolidada podemos entonces determinar un ngulo de friccin interna para la resistencia mxima y un ngulo de friccin interna para la resistencia ltima o resistencia crtica (figura 16). En el estado crtico = ult y c = 0 (figura 16). Denominemos M a la pendiente de la envolvente de falla en el estado crtico, en un diagrama p-q (figura 17). Si el punto E queda sobre la recta de pendiente M: M =q/p Pero, en una prueba triaxial de rutina (ecuaciones 24 y 23) q = 1 - 3 1 + 2 3 p = 3

17

q

E

M

1

p

ENVOLVENTE DE FALLA EN EL ESTADO CRTICOFIGURA 17

Por lo tanto

1 - 3 M = (27) (1/3) (1 + 2 3) La ecuacin 5, con c = 0, queda 1 sen 3 = 1 1 + sen Reemplazando en la ecuacin 27 6 sen M = (28) 3 - sen O bien

3 M sen = (29)

6 + M Ejemplo En una prueba de compresin triaxial, practicada en un suelo puramente friccionante, se obtuvieron los siguientes resultados: Prueba N Esfuerzo

confinante Esfuerzo desviador en la falla

kPa kPa 1 100 200 2 200 400 3 300 600

a) Trazar los crculos de Mohr correspondientes y determinar el ngulo de friccin interna del suelo

b) Trazar el diagrama s-t y determinar a partir de ste el ngulo c) Trazar el diagrama p-q y determinar a partir de ste los valores de M y d) Determinar los esfuerzos normal y cortante en el plano de falla de la prueba 3

18

Solucin (a) En la figura E-2a se muestran los crculos de Mohr para las tres pruebas triaxiales; medimos

= 38

19

(b) En la tabla E-2 se indican los valores de s y t, y en la figura E-2b se exhibe el diagrama s-t; en ste medimos = 26.5. Usando la ecuacin 21: = 30

(c) En la tabla E-2 se muestran los valores de p y q, y en la figura E-2c se exhibe el diagrama p-q, donde medimos M = 1.21. Empleando la ecuacin 29: = 30.3

(d) La inclinacin del plano de falla es (ecuacin 8) = 45 + /2 = 45 + 30/2 = 60 TABLA E-2

Prueba s t p q kPa kPa kPa kPa

1 200 100 166.67 200 2 400 200 333.33 400 3 600 300 500 600

Reemplazando valores en las ecuaciones 11 y 12 = (300) sen2 60 + (900) cos2 60 = 450 kPa = (900 - 300) sen 60 cos 60 = 259.8 kPa En la figura E-2a medimos: = 450 kPa, = 260 kPa

------------- Comportamiento elastoplstico del suelo Se define el volumen especfico de la siguiente forma Vm v = (31) Vs Vv + Vs v = = 1 + e (32) Vs Consideremos ahora un elemento de suelo normalmente cargado (o normalmente consolidado). Sometamos a este elemento a una presin istropa p; en una curva v-p (figura 18b) el suelo se consolida a lo largo de la rama virgen NCL (normal consolidation line). Consolidemos al elemento hasta alcanzar la presin pC y luego reduzcamos sta hasta la presin pB. A la relacin pC Ro = (33) pB se le denomina relacin de preconsolidacin (para presiones istropas).

20

El suelo se mueve a lo largo de la lnea URL (unload-reload line; figura 18b), del punto C al punto B (Budhu, 2000). Apliquemos ahora un esfuerzo desviador q (figura 18a y c). El suelo se deforma elsticamente (puesto que est precargado) hasta el punto D, a partir del cual ocurren deformaciones elsticas y deformaciones plsticas. Al punto D le podemos llamar punto de cedencia. Del punto D al punto E el suelo experimenta deformaciones elastoplsticas, hasta llegar a la resistencia ltima o resistencia crtica (lnea CSL). Si repetimos la operacin con varias presiones de confinamiento pB, y unimos los diferentes puntos B, obtendremos aproximadamente una elipse, cuyo eje mayor es pC y cuya ordenada del semieje menor corresponde a la interseccin de la elipse con la lnea CSL (figura 18a).

21

Si cargamos del punto D al punto F (figura 19), y luego descargamos, el suelo queda precargado hasta F, y por lo tanto la zona elstica se expande como se indica en la figura 19.

q

E Lnea decedencia1 (expandida)

FLnea de

D cedencia

pB pC pC1 p

ENVOLVENTE DE FALLA EN EL ESTADO CRTICOFIGURA 19

Estudiemos el cambio de volumen que experimenta el suelo. Como mencionamos antes, ste se encuentra normalmente cargado, y al ir aumentando la presin se mueve a lo largo de la rama virgen de la curva v-p, hasta la presin pC (figura 18b). Al descargar hasta pB el suelo se mueve sobre la lnea URL (unload-reload line). Al aplicar el esfuerzo desviador q, de B a D, el suelo se regresa por la misma lnea URL (figura 18b). Despus del punto D la trayectoria abandona la lnea URL y se dirige hacia la lnea CSL, hasta que la alcanza en el punto E.

v

N

NCL

NCL: normal consolidation lineURL: unload-reload lineCSL: critical state line

LambdaGamma

CSL

vk Lambda

URLKappa

1 kPa ln p'

LNEA NORMALMENTE CONSOLIDADA (NCL), LNEA DE CARGA-DESCARGA (URL)Y LNEA DEL ESTADO CRTICO (CSL)

FIGURA 20 La curva de compresibilidad volumen se puede dibujar en escala semilogartmica v-ln p (figura 20). Las lneas NCL, URL y CSL se vuelven lneas rectas en esta grfica. Adems, la CSL es

22

aproximadamente paralela a la NCL (figura 20). Denominemos a la pendiente de las rectas NCL y CSL y a la pendiente de la recta URL en escala semilogartmica (figura 20). Obtengamos ahora las ecuaciones de estas rectas. Lnea NCL La ecuacin de una recta es y = mx + b v = - ln p + b (34) Para p = 1 kPa, v = N (figura 20). Reemplazando en la ecuacin 34 N = b La ecuacin 34 queda v = N - ln p (35) En la lnea URL (figura 20) v = v - ln p (36) En la CSL (figura 20) v = - ln p (37) 5. INFLUENCIA DE LA PRESENCIA DEL AGUA EN EL COMPORTAMIENTO DE UN SUELO 5.1 Procedimiento de Skempton para estimar los incrementos de presin de poro en un suelo Se define el coeficiente de compresibilidad volumtrica cv de un material de la siguiente forma v cv = (38) m donde v = deformacin volumtrica unitaria

m = incremento de esfuerzo de confinamiento sobre el material Consideremos ahora un elemento de suelo sometido al estado de esfuerzo indicado en la figura 21. Supongamos que el suelo se consolid a una presin inicial de confinamiento p, y que posteriormente se producen incrementos de esfuerzo de confinamiento 3 primera etapa- y de esfuerzo desviador (1 - 3) segunda etapa-, como se muestra en la figura 21.

23

p Sigma3 Sigma1-Sigma3 p + Sigma1

uo = 0 + u1 + u2 = u1 + u2p p Sigma3 Sigma3 p + Sigma3 p + Sigma3

p Sigma3 Sigma1-Sigma3 p + Sigma1

Primera etapa Segunda etapa

INCREMENTOS DE PRESIN DE PORO EN UNA PRUEBA DE COMPRESIN TRIAXIALFIGURA 21

Valuemos el incremento de presin de poro uw1 en la primera etapa. El coeficiente de compresibilidad volumtrica cvs, del esqueleto slido del suelo, vale Vm/Vm cvs = (39)

3 donde Vm es el volumen del elemento y 3 = 3 uw1 es el esfuerzo efectivo sobre la estructura del suelo. Por lo tanto Vm = cvs Vm (3 uw1) (40) Por otra parte, el coeficiente de compresibilidad cvf, de los fluidos del suelo (agua y aire) es Vm/Vv cvf = (41) uw1 Pero n = Vv/Vm, siendo Vv = volumen de vacos y n = porosidad del suelo. As Vm = cvf n Vm uw1 (42) Dado que lo que se comprime el esqueleto del suelo debe ser igual a lo que se comprime el sistema agua-aire del elemento, podemos igualar las ecuaciones 40 y 42 (Jurez Badillo y Rico, 1976) cvs Vm (3 uw1) = cvf n Vm uw1 Es decir

3 uw1 = (43) 1 + n cvf / cvs

24

Skempton (1954) define el coeficiente B de la siguiente forma uw1 B = (44) 3 uw1 = B 3 (45) Siendo

1 B = (46) 1 + n cvf / cvs En un suelo totalmente saturado, la compresibilidad del agua es mucho menor que la del esqueleto slido, de tal forma que el cociente cvf / cvs 0 y el coeficiente B 1 (ecuacin 46). En cambio, en un suelo seco, la compresibilidad del aire es mucho mayor que la de la estructura de los slidos, cvf / cvs , y B 0. Para la segunda etapa, suponiendo un comportamiento elstico del material, el coeficiente de compresibilidad del esqueleto de los slidos es

Vm/Vm cvs = (47) (1/3) (1 + 2 3) En la segunda etapa (figura 21) 1 = (1 - 3) uw2 3 = 0 uw2 Reemplazando en la ecuacin 47

Vm/Vm cvs = (48) (1/3) [(1 - 3) 3 uw2] Es decir Vm = cvs Vm (1/3) [(1 - 3) 3 uw2] (49) El coeficiente de compresibilidad del sistema agua-aire, en la segunda etapa, de acuerdo con la ecuacin 38 es Vm/Vv cvf = uw2 Vm = cvf n Vm uw2 (50) Considerando que lo que se comprime el esqueleto de los slidos es igual a lo que se comprime el medio agua-aire, podemos igualar las ecuaciones 49 y 50, y despejar u2

25

1 - 3 uw2 = (1/3) (51)

1 + n cvf / cvs O sea, tomando en cuenta la ecuacin 46 uw2 = (1/3) B (1 - 3) (52) Fuera de la zona elstica, el comportamiento del suelo se aleja de una respuesta de este tipo, por lo que el coeficiente (1/3) se puede reemplazar por un coeficiente A, quedando la ecuacin 52 uw2 = A B (1 - 3) (53) El coeficiente A se determina experimentalmente. En la tabla 1 se muestran valores de A medidos en el momento de la falla del suelo (Whitlow, 1994) TABLA 1 VALORES DEL COEFICIENTE A (Whitlow, 1994) Clase de suelo A (en la falla) Arcilla altamente sensitiva 1.2 - 2.5 Arcilla normalmente consolidada 0.7 - 1.3 Arcilla ligeramente preconsolidada 0.3 - 0.7 Arcilla fuertemente preconsolidada -0.5 - 0 Arena fina muy suelta 2.0 - 3.0 Arena fina semicompacta 0 - 1.0 Arena fina compacta -0.3 - 0 El incremento de presin de poro, al trmino de las dos etapas, vale uw = uw1 + uw2 (54) Sustituyendo las ecuaciones 45 y 53 en la ecuacin 54 uw = B [3 + A (1 - 3)] (55) La ecuacin 55 proporciona el incremento de presin de poro uw producido por un incremento de presin de confinamiento 3 en la primera etapa, y por un incremento de esfuerzo desviador (1 - 3) en la segunda etapa de una prueba de compresin triaxial convencional. 5.2 Esfuerzos totales, neutros y efectivos en un suelo totalmente saturado En un suelo totalmente saturado se debe cumplir la siguiente relacin de esfuerzos entre las fases slida y lquida = + uw = - uw (56) donde = incremento de esfuerzo total = incremento de esfuerzo efectivo uw = incremento de presin en el agua

26

En una prueba de compresin triaxial, la ecuacin 56 se debe cumplir tanto para el esfuerzo principal mayor como para el esfuerzo principal menor, es decir 1 = 1 uw (57) 3 = 3 uw (58) Adems, la presin de confinamiento efectiva p se define 1 + 2 + 3 p = (59) 3 Si 2 = 3 1 + 2 3 p = (60)

3 (1-uw) + 2(3-uw) 1 + 2 3 p = = - uw 3 3 p = p uw (61) El esfuerzo desviador efectivo: q = 1 - 3 = (1 uw) - (3 uw) q = 1 - 3 (62) Dado que q = 1 - 3, vemos que q = q.

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6. SUELOS FRICCIONANTES En la figura 22 se exhiben las leyes de resistencia de una arena limpia y de una arena cementada.

Esfuerzocortante

Arena cementada

Arena limpia

Esfuerzonormal

LEY DE COULOMBSUELOS FRICCIONANTES

FIGURA 22 Observamos que si el suelo friccionante est en estado seco, y no tiene cementacin, su resistencia al corte vale s = tan (63) Ahora bien, si el suelo friccionante se encuentra totalmente saturado, la resistencia al corte la proporciona la fase slida del mismo, es decir s = tan (64) Es decir s = ( - uw) tan (65) Consideremos un elemento de arena fina en estado suelto, totalmente saturada y sometida a una solicitacin dinmica. Los granos del suelo tienden a ocupar una posicin ms densa, pero el agua no fluye con suficiente rapidez hacia fuera del elemento, lo que ocasiona que disminuya la presin intergranular y aumente la presin u en el agua del suelo. Si el incremento de uw es grande, la resistencia al corte dada por la ecuacin 65 se reduce notablemente, pudiendo incluso llegar a ser nula. En este ltimo caso el suelo se comporta como un lquido, por lo que a este fenmeno se conoce como licuacin de la arena. La reduccin de resistencia al corte puede provocar fallas de taludes, de cimentaciones, etctera. En el anexo 1 se exponen algunos resultados sobre estudios de licuacin de suelos granulares.

28

7. SUELOS COHESIVOS TOTALMENTE SATURADOS Para determinar la resistencia al corte de arcillas totalmente saturadas se llevan a cabo ensayes de compresin triaxial. stos se dividen en tres clases: a) Prueba consolidada-drenada (prueba CD) b) Prueba consolidada-no drenada (prueba CU) c) Prueba no consolidada-no drenada (prueba UU) a) Prueba consolidada-drenada (prueba CD) Como se seal en el inciso 2, una prueba de compresin triaxial consta de dos etapas: la de confinamiento y la de aplicacin del esfuerzo desviador. En un ensaye consolidado-drenado se permite el drenaje de agua en ambas etapas. Por lo tanto, los esfuerzos sobre el espcimen de suelo son esfuerzos efectivos. En arcillas normalmente consolidadas la envolvente de falla de pruebas CD es aproximadamente una recta que pasa por el origen, con c = 0 y 0 (figura 23). Las arcillas preconsolidadas exhiben tanto cohesin como friccin, para presiones de confinamiento menores que la presin de preconsolidacin (figura 24).

Esfuerzocortante

Phi'

Esfuerzonormal

PRUEBA CONSOLIDADA-DRENADA (CD)ARCILLA NORMALMENTE CONSOLIDADA

FIGURA 23 Esfuerzocortante

Phi'

c'

Esfuerzonormal

PRUEBA CONSOLIDADA-DRENADA (CD)ARCILLA PRECONSOLIDADA

FIGURA 24

29

Trayectorias de esfuerzo Consideremos un elemento de arcilla normalmente consolidada. Sometamos a este elemento a una presin istropa p; la arcilla se consolida a lo largo de la rama virgen NCL (normal consolidation line; figura 25b). Continuemos consolidando el suelo hasta alcanzar la presin pC y luego reduzcamos sta hasta la presin pB, de tal forma que la relacin de preconsolidacin Ro (ecuacin 30) sea menor que 2. El suelo se mover a lo largo de la lnea URL (unload-reload line; figura 25b), del punto C al punto B. Apliquemos ahora un esfuerzo desviador q (figura 25c), hasta alcanzar la lnea de cedencia en el punto D (figura 25a). En el tramo de B a D el suelo queda dentro de la zona elstica. Esfuerzos desviadores mayores que el del punto D ocasionan en el suelo deformaciones elastoplsticas, hasta que se llega al estado crtico (punto E de la lnea CSL, critical state line; figura 25a) La variacin de volumen del suelo se muestra en la figura 25b: de C a B el suelo se mueve a lo largo de la lnea URL; de B a D se desplaza tambin a lo largo de esta lnea. Al salir de la zona elstica, de D a E, abandona la lnea URL y se dirige a la lnea CRL, hasta que alcanza el estado crtico en el punto E.

30

Sea ahora una arcilla fuertemente preconsolidada, con Ro > 2. La presin pC la reducimos hasta pB (figura 26b). Aplicamos ahora un esfuerzo desviador q de pB hasta alcanzar la lnea de cedencia (punto D; figura 26a y c), donde se alcanza la resistencia mxima (figura 26c). A partir de D, la resistencia disminuye hasta la resistencia ltima o resistencia crtica (punto E). La variacin de volumen se exhibe en la figura 26b. De B a D el suelo se mueve en la lnea URL, pero despus de la resistencia mxima (punto D), el suelo se desplaza hacia la CSL (hacia arriba), es decir, el suelo aumenta de volumen despus de la falla.

31

b) Prueba consolidada-no drenada (prueba CU) En una prueba consolidada-no drenada se permite el drenaje en la primera etapa, pero no en la segunda etapa de la prueba triaxial. En la prctica se requiere realizar varias pruebas de este tipo para obtener la envolvente de resistencia (figura 27).

Esfuerzocortante

Phi cu

c cu

Esfuerzonormal

PRUEBA CONSOLIDADA-NO DRENADA (CU)FIGURA 27

Existen dispositivos para medir la presin de poro de una prueba CU; si ste es el caso, por ejemplo, en una arcilla normalmente consolidada se puede determinar el crculo de Mohr en trminos de esfuerzos efectivos, y obtener el ngulo de friccin del suelo (figura 28).

Esfuerzocortante

Crculo de Mohr entrminos de esfuerzos Phi'efectivos

Prueba CU

u Esfuerzou

normal

PRUEBA CONSOLIDADA-NO DRENADA (CU)CON MEDICIN DE PRESIN DE PORO

ARCILLA NORMALMENTE CONSOLIDADAFIGURA 28

Ejemplo Una arcilla normalmente consolidada, totalmente saturada se somete a una presin de confina-miento 3 = 200 kPa, en una prueba de compresin triaxial consolidada-no drenada. La probeta falla para un esfuerzo desviador (1 - 3) =115 kPa. Si el coeficiente de presin de poro de Skempton A = 0.7, determinar el ngulo de friccin interna del suelo. Solucin 1 = 200 + 115 = 315 kPa uw = 0.7(115) = 80.5 kPa 3 = 200 80.5 = 119.5 kPa

32

1 = 315 80.5 = 234.5 kPa Aplicando la ecuacin 7

1 - 3 sen =

1 + 3

234.5 119.5 sen = = 0.3249

234.5 + 119.5 = 18.96 En la figura E-3 se presenta la solucin grfica a este problema.

33

FIGURA E-3

----------

34

Trayectorias de esfuerzo Consideremos que realizamos una prueba CU en una arcilla ligeramente preconsolidada (Ro < 2). Sea pB la presin de confinamiento de la probeta (figura 29a). Al aplicar el esfuerzo desviador la trayectoria de esfuerzos totales es la mostrada en la figura 29a (TSP: total stress path). La presin de confinamiento efectiva p vale p = p uw (66) El esfuerzo desviador efectivo (ecuacin 62) q = 1 - 3 (67) En la segunda etapa de la prueba triaxial, el incremento de presin efectiva de confinamiento est dado por la ecuacin 66 p = p uw (68) En la segunda etapa: p = (1 - 3)/3 (69) El incremento de presin de poro en la segunda etapa est dado por la ecuacin 53 uw = A B (1 - 3) (53) Dentro de la zona elstica A = 1/3. Como el suelo est saturado B = 1, por lo tanto uw = (1/3) (1 - 3) (70)

35

Reemplazando las ecuaciones 69 y 70 en la ecuacin 68: p = 0. Vemos entonces que el incremento de presin efectiva, al aplicar el esfuerzo desviador, vale cero dentro de la zona elstica (figura 29a). La trayectoria de esfuerzo efectivo es la ESP (effective stress path). Al llegar a la lnea de cedencia, el coeficiente A de la ecuacin 53 es mayor que (1/3), la presin de poro aumenta an ms, y la ESP se dirige hacia la lnea CSL, alcanzando el estado crtico en el punto E (figura 29a y c). Como se trata de una prueba CU, no existe cambio de volumen durante la aplicacin de esfuerzo desviador (figura 29b).

36

Si ahora realizamos una prueba CU en una arcilla fuertemente preconsolidada (Ro > 2), obtenemos los resultados indicados en la figura 30. La presin de confinamiento efectiva no cambia dentro de la zona elstica, hasta llegar al punto D (figura 30a). Al pasar del punto D al punto E el suelo tiende a expandirse, por lo que se genera presin de poro negativa, alcanzndose el estado crtico en E. En la trayectoria de D a E la presin efectiva aumenta, pues, de acuerdo con la ecuacin 55: p = p - uw, al disminuir la presin de poro se incrementa la presin efectiva. Inclusive, si uw es negativa, la presin efectiva en la falla pf puede ser mayor que la presin total en la falla pf, como es el caso de la figura 30b (uwf < 0).

37

Variacin de la resistencia al corte no drenada con la profundidad Sea una arcilla normalmente consolidada hasta el punto A de la NCL (figura 31). En prueba no drenada el suelo falla a volumen constante, por lo que se desplaza sobre una lnea horizontal hacia la izquierda hasta tocar a la CSL en el punto B (figura 31). En la CSL

v

N

NCL

LambdaGamma

CSL

Lambda

v AB

1 kPa pB' pA' ln p'

ARCILLA NORMALMENTE CONSOLIDADAFIGURA 31

v = - ln pB (ecuacin 37) pB = exp [( - v)/ ] (71) Pero q = M pB (72) y cu = q/2 (73) Sustituyendo las ecuaciones 71 y 72 en la ecuacin 73 cu = (M/2) exp [ ( - v) / ] (74) El suelo tiene el mismo volumen en la NCL, por lo tanto v = N - ln pA Reemplazando en la ecuacin 74 cu = (M/2) {exp [( - N)/]} pA (75) Observamos en la ecuacin 75 que, dado que , N y son constantes, la cohesin cu aumenta linealmente con la presin efectiva de confinamiento. sta a su vez es funcin lineal de la presin

38

efectiva vertical, por lo que la resistencia no drenada cu se incrementa linealmente con la presin efectiva vertical, en un suelo normalmente consolidado. En una arcilla preconsolidada, en la CSL (figura 32) v = - ln pB pB = exp [( - v)/] cu = (M/2) exp [( - v)/] (76) Pero, en la URL v = v - ln pA

v

Gamma

CSL

vk Lambda

URLKappa

v B A

1 kPa pB' pA' ln p'

ARCILLA PRECONSOLIDADAFIGURA 32

Reemplazando en la ecuacin 76 cu = (M/2) exp [( - v)/] exp [ ln pA/) = (M/2) exp [( - v)/] exp [ln (pA)/] cu = (M/2) { exp [( - v)/] } (pA)/ (77) En la ecuacin 77 vemos que en una arcilla preconsolidada la cohesin cu ya no aumenta linealmente con la presin efectiva de confinamiento. Ejemplo Una arcilla normalmente consolidada tiene las siguientes propiedades = 3.21, N = 3.32, = 0.19, M = 1.1, sat = 18 kN/m3, Ko = 0.5 Considerando que el nivel de agua fretica est en la superficie, determinar la resistencia al corte no drenada cu, a la profundidad de 4 m.

39

Solucin pv = (18 -9.81)(4) = 32.76 kPa pA = (1 + 2Ko) pv/3 = 21.84 kPa Reemplazando en la ecuacin 75 cu = (1.1/2) {exp[(3.21-3.32)/0.19]}(21.84) cu = (0.308)(21.84) = 6.73 kPa

---------- c) Prueba no consolidada-no drenada (prueba UU) En este ensaye no se permite el drenaje en ninguna de las dos etapas de la prueba triaxial. Los resultados de pruebas UU se muestran en la figura 33. Dado que todos los incrementos de presin de confinamiento los toma el agua, no hay cambio en presin de confinamiento efectiva, y por ende, no hay incremento de resistencia al corte del suelo. Una prueba de compresin no confinada es un caso particular de una prueba de compresin triaxial, con presin de confinamiento nula (figura 34). La resistencia al corte queda dada por cu = qu/2 (78) donde qu es la resistencia en compresin no confinada del material (figura 34).

Esfuerzocortante

Phiu = 0

cu

Esfuerzonormal

PRUEBA NO CONSOLIDADA-NO DRENADA (UU)FIGURA 33

Esfuerzocortante

cu

Esfuerzoqu normal

PRUEBA DE COMPRESIN NO CONFINADAFIGURA 34

40

8. SUELOS COHESIVOS PARCIALMENTE SATURADOS La problemtica de los suelos plsticos parcialmente saturados es diferente a la de los suelos totalmente saturados. En stos, la presin hidrulica uw es mayor que cero, mientras que en aqullos la presin uw es menor que cero. Consideremos un suelo plstico totalmente saturado, y hagamos que ste pierda humedad; durante este proceso se forman meniscos que producen esfuerzos de tensin en el agua del suelo, lo que a su vez ocasiona esfuerzos efectivos de compresin en la estructura slida del suelo (Jurez Badillo y Rico, 1976); a la tensin en el agua se le denomina succin. Por lo tanto, en una arcilla parcialmente saturada la succin produce un incremento de la presin efectiva, y un proceso de contraccin del material. Por el contrario, una disminucin de la succin ocasionar un aumento del volumen del suelo. La succin total de un suelo consiste de dos componentes: la succin osmtica y la succin matricial (Nelson y Miller, 1992). La succin osmtica en una arcilla se debe a las fuerzas ejercidas sobre las molculas de agua, como resultado de la diferencia de concentracin de iones en el agua en la zona cercana a la doble capa elctrica. En efecto, cerca de la partcula existe una mayor concentracin de iones por la atraccin de la carga negativa de una partcula sobre los cationes del agua, mientras que lejos de esta regin la atraccin disminuye y con ello la concentracin de iones. Esta diferencia de concentracin produce un fenmeno osmtico que tiene como consecuencia la aparicin de la succin osmtica en el agua del suelo. Respecto a la succin matricial, establezcamos el equilibrio de fuerzas verticales en el menisco de la figura 35 - ua (D2/4) + uw (D2/4) + Ts cos (D) = 0

4 Ts cos (ua - uw) = (79)

D ua = presin en el aire, kPa uw = presin en el agua, kPa Ts = tensin superficial, N/m = ngulo de contacto entre el agua y la pared del tubo capilar D = dimetro del tubo, m La cantidad (ua - uw) de la ecuacin 79 es justamente la succin matricial.

41

ua

Ts TsAlfa

Menisco

uw

D ua = presin en el aireuw = presin en el aguaD = dimetro del tubo

TENSIN SUPERFICIALFIGURA 35

La tensin superficial Ts entre el agua y las partculas de un suelo es del orden de 0.073 N/m, mientras que el ngulo de contacto depende de la cantidad de sales en el agua; si sta contiene pocas sales, es cercano a cero. Observamos en la ecuacin 79 que la succin matricial es inversamente proporcional al dimetro de los poros del suelo. As, en arcillas muy plsticas se pueden alcanzar valores de la succin mayores que 10 MPa (100 kg/cm2). Por lo anterior, en una arcilla parcialmente saturada la succin produce un incremento de la presin intergranular y, por consiguiente, un aumento de la resistencia al corte, tal como se muestra en la figura 36. Vemos en esta figura que al disminuir el grado de saturacin (con el consecuente aumento de la succin) se incrementa la resistencia al corte del terreno.

Esfuerzocortante

Phi'

c (ua -uw) = 0(ua - uw) aumenta

c'

Esfuerzo normal

VARIACIN DE LA RESISTENCIA AL CORTECON LA SUCCIN

FIGURA 36

42

Fredlund y Rahardjo (1993) consideran que la resistencia al corte de un suelo parcialmente saturado est dada por s = c + ( - ua) tan + (ua - uw) tan b (80) siendo (ua - uw) = succin matricial En la tabla 2 se muestran valores de c, y b para diferentes suelos (Fredlund y Rahardjo, 1993).

43

44

Cabe aclarar que, en un suelo cohesivo parcialmente saturado, al aumentar la presin de confinamiento 3 se incrementan tanto la presin en el aire ua como la presin en el agua uw; si en los poros del suelo se presenta un estado abierto (vacos del aire interconectados entre s; Marsal, 1979), la presin ua se disipa rpidamente y el suelo se comprime. En consecuencia, aumenta el grado de saturacin del suelo. Para valores altos del grado de saturacin Sr, los poros pasan del estado abierto al estado ocluido (vacos del aire no conectados entre s); en este momento la presin del aire se aproxima a la del agua ua uw. Este fenmeno se presenta para valores del grado de saturacin cercanos a 100%. Para Sr = 100%, ua = uw . La ecuacin 80 se transforma en s = c + ( - uw) tan (81) que es la ley de resistencia de un suelo totalmente saturado. 9. USO DE CORRELACIONES En ocasiones en la prctica no se pueden obtener directamente las propiedades mecnicas del suelo mediante pruebas de campo o ensayes de laboratorio. Esto se debe a diversas causas; por ejemplo, por su baja o nula cohesin, es muy difcil recuperar muestras inalteradas en suelos puramente friccionantes, y, si se obtienen, es a un costo muy alto. Por otra parte, en proyectos preliminares de anlisis, no siempre es necesario realizar pruebas de campo o de laboratorio para hallar las propiedades mecnicas. Por lo anterior, se recurre a correlaciones entre los valores de pruebas relativamente sencillas y propiedades mecnicas de campo, o entre propiedades ndice y propiedades mecnicas de campo. Cabe destacar que las correlaciones que se exhiben en los siguientes prrafos deben usarse con precaucin, pues su dispersin en el campo suele ser alta. Suelos friccionantes Valores del ngulo de friccin interna de suelos granulares se indican a continuacin (Terzaghi y Peck, 1967):

ngulo de friccin interna

grados

Tipo de suelo

Suelto Compacto Arena uniforme, granos redondeados

27.5 34

Arena bien graduada, granos angulares

33 45

Grava con arena 35 50 Arena limosa 27-33 30-34 Limo no plstico 27-30 30-35 La figura 37 contiene la variacin del ngulo de friccin interna en funcin del nmero de golpes N de la prueba de penetracin estndar (Jurez Badillo y Rico, 1976).

45

46

La tabla 3 (Meyerhof, 1956) muestra los valores del ngulo de friccin interna en funcin de la compacidad del suelo. TABLA 3 NGULO DE FRICCIN INTERNA PARA ARENAS (Meyerhof, 1956) Estado Compacidad

relativa N qc ngulo de

friccin interna kg/cm2 Grados Muy suelto < 0.2 < 4 < 20 < 30 Suelto 0.2-0.4 4-10 20-40 30-35 Semicompacto 0.4-0.6 10-30 40-120 35-40 Compacto 0.6-0.8 30-50 120-200 40-45 Muy compacto > 0.8 > 50 > 200 > 45 N = nmero de golpes en la prueba de penetracin estndar qc = resistencia en la punta del cono La relacin entre N y qc (qc = resistencia en la punta del cono holands, en kg/cm2) est dada por (Schmertmann, 1970) Suelo qc/N Limo. Limo arenoso 2 Arena de fina a media. Arena poco limosa

3.5

Arena gruesa. Arena con poca grava 5 Arena con grava. Grava 6 Para fines prcticos, en cimientos profundos la resistencia qc se puede tomar como la capacidad de carga ltima del suelo. Las figuras 38 y 39 contienen correlaciones entre qc y el ngulo de friccin interna para arenas (Tamez et al, 1987).

47

48

En la figura 40 se muestra la variacin del ngulo de friccin interna de un suelo friccionante en funcin de su compacidad relativa Dr (Zeevaert, 1973).

49

Suelos cohesivos En la tabla 4 se exhibe la variacin de la resistencia a la compresin simple qu de un suelo cohesivo en funcin de su consistencia y del nmero de golpes de la prueba de penetracin estndar (Terzaghi y Peck, 1967). TABLA 4 RESISTENCIA A LA COMPRESIN SIMPLE EN ARCILLAS (Terzaghi y Peck, 1967) Consistencia N Resistencia a la

compresin simple, qu kg/cm2

Muy blanda < 2 < 0.25 Blanda 2-4 0.25-0.50 Media 4-8 0.50-1.0 Firme 8-15 1.0-2.0 Muy firme 15-30 2.0-4.0 Dura > 30 > 4.0 N = nmero de golpes en la prueba de penetracin estndar Cuando se emplea el cono holands la resistencia al corte en condiciones no drenadas est dada por cu = qc/Nk (82) La tabla 5 muestra valores tpicos del coeficiente Nk (Santoyo et al, 1989). TABLA 5 VALORES TPICOS DEL COEFICIENTE Nk (Santoyo et al, 1989) Tipo de suelo Nk Arcilla normalmente consolidada (qc < 20 kg/cm2) 15-18 Arcilla suave con falla local 10-14 Arcilla preconsolidada (qc > 25 kg/cm2) 22-26 Suelos arcillosos abajo del nivel fretico 14 Suelos arcillosos blandos 20 Existe tambin una cierta correlacin entre la resistencia cu y la presin vertical efectiva pv. As, el cociente cu/pv vara de 0.2 a 0.3 en arcillas normalmente consolidadas (datos de cinco suelos; 21% < ndice plstico < 75%; Ladd et al, 1977). Para arcillas preconsolidadas, la relacin es (cu/pv)pc = (cu/pv)nc (OCR)m (83) siendo OCR la relacin de preconsolidacin. El exponente m 0.8 (Ladd et al, 1977). El ngulo de friccin interna, en trminos de esfuerzos efectivos, en arcillas totalmente saturadas, obtenido en pruebas consolidadas drenadas (CD), es funcin del ndice de plasticidad. En la figura 41 se muestra la variacin de con el ndice plstico (Terzaghi y Peck, 1967).

50

10. EXPERIENCIA LOCAL Cada localidad se asienta sobre una o varias formaciones geolgicas, las cuales exhiben una estratigrafa y propiedades tpicas de cada una de ellas, lo cual conduce a que en una determinada formacin geolgica se presenten problemas de ingeniera especficos de la misma. Por lo anterior, el ingeniero debe estar familiarizado con la estratigrafa y propiedades de dicha formacin, y observar el comportamiento de las obras construidas en ella, para poder hacer una adecuada calibracin entre uso de propiedades mecnicas y la conducta de las cimentaciones. En los siguientes prrafos presentamos magnitudes de propiedades mecnicas para el subsuelo de la ciudad de Mxico, obtenidas a partir de la estadstica. Cabe aclarar que estas propiedades el ingeniero las debe emplear con las reservas de caso, pues en general la dispersin de los datos es alta. Desde luego, presentan una mayor confiabilidad aquellas correlaciones en las que se conocen las magnitudes de la dispersin de los datos (desviacin estndar o varianza). La resistencia al corte de suelos cohesivos en condiciones no drenadas se puede obtener aproximadamente con la siguiente expresin cu = qc/Nk (84) En la tabla 6 se presentan los valores de cu para el subsuelo de la zona del lago de la ciudad de Mxico, en funcin de la resistencia en la punta del cono qc (Santoyo, 1980).

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TABLA 6 VALORES DE LA RESISTENCIA AL CORTE EN PRUEBA RPIDA (Santoyo, 1980) Prueba Torcmetro Tipo de suelo qc, kg/cm2 Triaxial

UU Compresin

simple Laboratorio Campo Penetrmertro de

bolsillo Costra seca 5 < qc < 10 qc/14 qc/20 - - - Arcillas blandas

qc > 5 qc/13 qc/16 qc/12 qc/14 -

Limos arcillosos duros

qq > 10 qc/24 qc/54 - - qc/29

La arcilla de la ciudad de Mxico, que constituye la llamada formacin arcillosa superior (Marsal y Mazari, 1959), formacin Tacubaya (Zeevaert, 1973) o serie arcillosa superior (Tamez et al, 1987), exhibe el siguiente valor de la resistencia al corte cqu = qu/2 (qu = resistencia a la compresin simple) en funcin del contenido natural de agua w (Demneghi, 1982a): cqu = 0.4194 0.0003038 w - 0.11203 t 1.01449+(w252.8)2/620434 (85) (cqu en kg/cm2 y w en porciento del peso seco, 75 < w < 400%) La ecuacin 85 se obtuvo con N = 69 pares de valores (w, cqu); t es una variable aleatoria con distribucin t de Student, la cual se obtiene para N-2 grados de libertad. En la tabla 7 se proporcionan valores de t para diferentes niveles de confianza . Consideremos que un estrato de la formacin Tacubaya (o formacin arcillosa superior, o serie arcillosa superior) tiene un contenido natural de agua w = 250%; tomando un = 10%, de la tabla 6: t = 1.2944. Aplicando la ecuacin 85 se obtiene cqu = 0.1974 kg/cm2. Esto indica que existe una probabilidad de 10% de que el valor de la cohesin en dicho estrato sea menor que 0.1974 kg/cm2. La figura 42 muestra la variacin de cqu con w, para = 10% (Demneghi, 1982b). TABLA 7 VALORES DE LA VARIABLE ALEATORIA t (t DE STUDENT) PARA N-2=67 GRADOS DE LIBERTAD Nivel de con-fianza , %

2.5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

t 1.9961 1.6680 1.2944 1.0446 0.8471 0.6782 0.5270 0.3870 0.2544 0.1261 0

52

La tabla 8 contiene datos de resistencia al corte de suelos de la zona poniente de la ciudad de Mxico (Demneghi y Sangins, 2000). Las tobas estn formadas por limos arenosos y arenas limosas; en ocasiones estos suelos contienen cierto porcentaje de arcilla (Len, 1976). Las arenas de pmez proceden de materiales pumticos gris claro (Len, 1976) y de una laterita de pmez (Ellstein, 1992). c es la cohesin del suelo saturado previamente, en condiciones drenadas; cnat es la cohesin en estado natural (sin variar su humedad natural) y es el ngulo de friccin interna.

53

TABLA 8 PARMETROS DE RESISTENCIA AL CORTE. MUESTRAS ESTADSTICAS DE TOBAS Y DE ARENAS PUMTICAS (Demneghi y Sangins, 2000) Tobas Arenas pumticas Propiedad mecnica c cnat cnat t/m2 t/m2 grados t/m2 grados Nmero de valores, N 7 13 20 18 18 Media 6.357 26.169 37.65 4.63 31.367 Variancia, s2 19.560 355.986 167.818 4.463 76.364 Desviacin estndar, s 4.423 18.868 12.954 2.113 8.739 Coeficiente de variacin 0.696 0.721 0.344 0.456 0.279 En la tabla 9 la media de la poblacin se toma igual a la media de la muestra. La variancia de la poblacin se estima con la siguiente expresin 2 = (N-1) s2 / 21-1 (86) donde 21-1 se obtiene para N-1 grados de libertad; para fines prcticos 1 se puede tomar igual a 40%. Esto quiere decir que la probabilidad de que la variancia de la poblacin sea mayor que 2 (calculada con la ecuacin 86), es 40%. En la tabla 9 se presentan los parmetros de resistencia de las poblaciones estadsticas de las tobas y de las arenas pumticas, usando los datos de la tabla 8. TABLA 9 PARMETROS DE RESISTENCIA AL CORTE. POBLACIONES ESTADSTICAS DE TOBAS Y DE ARENAS PUMTICAS (Demneghi y Sangins, 2000) Tobas Arenas pumticas Propiedad mecnica c cnat cnat t/m2 t/m2 grados t/m2 grados Nmero de valores, N 7 13 20 18 18 cuadrada 4.57 10.182 16.85 14.937 14.937 Media, 6.357 26.139 37.65 4.63 31.367 Variancia, 2 25.680 419.547 189.231 5.080 86.910 Desviacin estndar, 5.068 20.483 13.756 2.254 9.323 Con los valores de la tabla 9 se pueden hacer inferencias estadsticas de las propiedades mecnicas. En efecto, aceptando que una poblacin estadstica tiene una distribucin normal de probabilidad, un valor desfavorable (poco probable) se calcula Valor desfavorable = - z2 (87) La probabilidad de que la magnitud de una propiedad mecnica sea menor que el valor desfavorable calculado con la ecuacin 87, es 2. Aplicando la ecuacin 87, en la tabla 10 se presentan valores desfavorables de los parmetros de resistencia, para las tobas y para las arenas pumticas, para distintos niveles de confianza 2. El ingeniero puede elegir un cierto nivel de confianza, de acuerdo con su criterio y experiencia, y estimar la probabilidad de ocurrencia de una propiedad mecnica (Demneghi y Sangins, 2000). El uso de la tabla 10 es como sigue: tomando por ejemplo un nivel de confianza 2 = 20%, en la toba existe una probabilidad de 20% de que c resulte menor que 2.092 t/m2, que cnat resulte menor que 8.931 t/m2 y que resulte menor que 26.073.

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TABLA 10 VALORES DESFAVORABLES ESTIMADOS DE PROPIEDADES DE RESISTENCIA AL CORTE (Demneghi y Sangins, 2000) Tobas Arenas pumticas

Nivel de confianza

2 z2 c cnat cnat

% t/m2 t/m2 grados t/m2 grados 5 1.6449 0 0 15.023 0.923 16.032

10 1.2816 0 0 20.020 1.741 19.419 15 1.0364 1.105 4.941 23.393 2.294 21.705 20 0.8416 2.092 8.931 26.073 2.733 23.521 25 0.6745 2.939 12.354 28.371 3.110 25.079 30 0.5244 3.700 15.428 30.436 3.448 26.478 40 0.2533 5.074 20.981 34.166 4.059 29.005 50 0 6.357 26.169 37.650 4.630 31.367

Cabe aclarar que los parmetros de resistencia dependen del grado de saturacin del suelo. El valor de una propiedad mecnica b en funcin de la variacin de la humedad del terreno se puede calcular con la siguiente expresin b = b + a (bnat b) (88) donde a es un parmetro que depende de las condiciones de drenaje del sitio. Sus valores tentativos se muestran en la tabla 11. Por ejemplo, cuando existe una baja probabilidad de que cambie la humedad del terreno, se considera que las condiciones de drenaje son buenas; mientras que cuando existe una alta probabilidad de que se sature completamente el suelo, se considera que las condiciones de drenaje son malas (Demneghi y Sangins, 2000). TABLA 11 VALORES APROXIMADOS DEL PARMETRO a (Demneghi y Sangins, 2000) Condiciones de drenaje a Buenas 0.6 Regulares 0.3 Malas 0 En la prctica conviene utilizar un nivel de confianza 2 suficientemente alejado de 50%, para tomar en cuenta la dispersin de los datos estadsticos. En este sentido, podemos tomar 2 = 20%. Para 2 = 20% obtenemos las siguientes propiedades mecnicas de las tobas (tabla 10): c = 2.092 t/m2, cnat = 8.931 t/m2, = 26.073 Por otra parte, en una arcilla totalmente saturada, ligeramente preconsolidada, de un sitio cercano a la ciudad de San Francisco (Young Bay Mud; ndice plstico 45%), la relacin cu/pv vara de 0.35 a 0.4 (Benoit y Clough, 1986). 11. PRESIN HORIZONTAL EN UN ELEMENTO DE SUELO Sea el elemento de suelo de la figura 43. Suponemos que el esfuerzo cortante es el esfuerzo de falla del suelo, es decir (figura 44)

55

tan cs Obtengamos la presin horizontal sobre dicho elemento en funcin de las propiedades de resistencia c y . En el tringulo CPB de la figura 44

R

pp

senhv

2

senppR hv

2

ELEMENTO SUJETO A PRESIN VERTICAL, HORIZONTAL Y ESFUERZO CORTANTE FIGURA 43

Por otra parte, en el tringulo CAP de la figura 44

2cot vh ppc

Rsen

Despejamos ph

22

2

1cos2

11

sensencp

sensenp vh

56

ENVOLVENTE DE FALLA FIGURA 44

Ciudad Universitaria, D F, junio de 2011 REFERENCIAS Benoit, J y Clough, G W, Self-boring pressure-meter tests in soft clay, Jour Geot Eng, ASCE, vol 112, N 1: 60-78, enero 1986 Budhu, M, Soil Mechanics and Foundations, Wiley, 2000 Coulomb, Ch A, Essai sur une application des rgles des maximis et minimes quelques problmes de statique relatifs larquitecture", Mm Acad Roy des Sciences, Pars, 1776 Demneghi, A, Sobre el empleo de correlaciones en mecnica de suelos, Revista Ingeniera, Vol LII, N 2: 81-87, Facultad de Ingeniera, UNAM, 1982a Demneghi, A, Aplicaciones de la estadstica a la arcilla de la formacin Tacubaya del valle de Mxico, Revista Ingeniera, Vol LII, N 4: 95-106, Facultad de Ingeniera, UNAM, 1982b Demneghi, A y Sangins, H, Anlisis estadstico de propiedades de los suelos de la zona poniente de la ciudad de Mxico, XX Reunin Nal Mec Suelos, vol 2: 379-385, Oaxaca, Oax, Soc Mex Mec Suelos, nov 2000 Ellstein, A, Medicin de la capacidad de carga in-situ mediante un cono dinmico especial, Simposio sobre Experiencias Geotcnicas en la Zona Poniente del Valle de Mxico: 17-21, Soc Mex Mec Suelos, Mxico, D F, 1992

57

Fredlund, D G y Rahardjo, H, Soil Mechanics for Unsaturated Soils, Wiley, 1993 Jurez Badillo, E y Rico, A, Mecnica de Suelos, tomo I, 3ra ed, Limusa, 1976 Ladd, C C, Foott, R, Ishihara, K, Schlosser, F y Poulos, H G, Stress-deformation and strength characteristics IX Int Conf Soil Mech Found Eng, Tokio, 1977 Len, J L, Propiedades del suelo, Simposio sobre Cimentaciones en Zonas Minadas de la Ciudad de Mxico: 22-36, Soc Mex Mec Suelos, Mxico, D F, 1976 Marsal, R J, Propiedades de los suelos compactados, VI Congr Panam Mec Suelos Ing Ciment, vol I, Lima, 1979 Marsal, R J y Mazari, M, El Subsuelo de la Ciudad de Mxico, Facultad de Ingeniera, UNAM, 1959 Meyerhof, G G, Penetration tests and bearing capacity of cohesionless soils, Jour Soil Mech Found Div, SM-1, ASCE, enero 1956 Nelson, J D y Miller, D J, Expansive Soils. Problems and Practice in Foundation and Pavement Engineering, Wiley, 1992 Santoyo, E, Empleo del cono esttico en un tnel de la ciudad de Mxico, X Reunin Nal Mec Suelos, Morelia, Soc Mex Mec Suelos, 1980 Santoyo, E, Riqing, L X y Ovando, E, El Cono en la Exploracin Geotcnica, TGC Geotecnia, 1989. Schmertmann, J H, Static cone to compute static settlement over sand, Jour Soil Mech Found Div, ASCE, SM3, mayo 1970 Skempton, A W, The pore-pressure coefficients A and B, Gotechnique, vol IV, 1954 Tamez, E, Santoyo, E, Mooser, F y Gutirrez, C E, Manual de Diseo Geotcnico, Vol 1, Covitur, Sria Gral Obras, Depto Distrito Federal, 1987 Terzaghi, K y Peck, R B, Soil Mechanics in Engineering Practice, 2da ed, Wiley, 1967 Whitlow, R, Fundamentos de Mecnica de Suelos, CECSA, 1994 Zeevaert, L, Foundation Engineering for Difficult Subsoil Conditions, Van Nostrand Reinhold, 1973 (Ms resistencia al corte 120801)

58

COMPACTACIN

Agustn Demneghi Colina*

El fenmeno de compactacin consiste en una reduccin de la relacin de vacos de un suelo, con el propsito de mejorar sus propiedades mecnicas. Es importante sealar que la compactacin es un medio, no un fin en s misma, para mejorar las propiedades mecnicas de un suelo. [Puede ocurrir que un aumento de la compactacin redunde en un perjuicio de una propiedad mecnica: por ejemplo, en una arcilla expansiva, un alto grado de compactacin puede conducir a que el suelo exhiba una alta expansibilidad, lo que puede resultar perjudicial para la obra de ingeniera. Por otra parte, compactar excesivamente un suelo puede dar lugar a propiedades mecnicas que no son estrictamente necesarias para una cierta obra de ingeniera; en este caso se est haciendo un innecesario gasto excesivo.] SUELOS COHESIVOS Consideremos un suelo de mediana a alta plasticidad que exhibe cierta cohesin, tal como una arena limosa (con limo plstico, SM), arena arcillosa (SC), arcilla de mediana plasticidad (CH) o arcilla de alta plasticidad (CH). Recordemos que el peso volumtrico seco se define (figura 1)

m

sd V

W (1)

VOLMENES PESOS

Va AIRE Wa = 0

w Ws / Sr w

Vm w Ws / w AGUA w Ws Wm

Ws / Gs o SLIDO Ws

(Compactacin. Figuras)

ESQUEMA DE LAS FASES DE UN SUELOFIGURA 1

* Profesor. Departamento de Geotecnia. Divisin de Ingenieras Civil y Geomtica. Facultad de Ingeniera. UNAM

59

Dada una muestra de suelo, el peso seco Ws se mantiene constante, y el efecto de la compactacin se refleja en el volumen de la muestra Vm: a mayor compactacin menor volumen Vm y mayor d (puesto que Ws es constante). Por lo tanto, el peso volumtrico seco d se puede usar como una medida de la compacidad de un suelo: al acrecentarse d se produce un aumento de la densificacin de una muestra de suelo. Sobre una muestra de suelo cohesivo como los sealados al principio de este inciso, llevamos a cabo una prueba Prctor estndar, cuyas caractersticas se indican a continuacin. Prueba Prctor estndar La prueba de compactacin Prctor estndar consiste en compactar el suelo en tres capas, dentro de un molde de dimensiones y forma especificadas, por medio de golpes de un pisn que se deja caer libremente desde una altura prefijada (Jurez Badillo y Rico, 1976). El molde es un cilindro de 0.94 l de capacidad aproximada, de 10.2 cm de dimetro y 11.7 cm de altura, provisto de una extensin desmontable de igual dimetro y 5 cm de altura. El molde puede fijarse a una base metlica con tornillos de mariposa. El pisn es de 2.5 kg (kg = kgf) de peso y consta de un vstago en cuyo extremo inferior hay un cilindro metlica de 5 cm de dimetro. Los golpes se aplican dejando caer el pisn desde una altura de 30.5 cm. Dentro del molde el suelo debe colocarse en tres capas que se densifican dando 25 golpes, repartidos uniformemente en el rea del cilindro, a cada una de las capas (Jurez Badillo y Rico, 1976). La energa especfica de compactacin vale

32 /.98.54

7.112.105.25.30325 cmcmkgEe

La prueba Prctor modificada es similar a la Prctor estndar, pero se entrega mayor energa al suelo. La energa especfica en la prueba Prctor modificada es de 27.2 kg.cm/cm3. Existen otros ensayes de compactacin, como la prueba Harvard miniatura, donde la densificacin del suelo se alcanza por medio de amasado. Curva de compactacin Tomemos una muestra remoldeada de un suelo cohesivo y supongamos que exhibe un bajo contenido de agua. Practiquemos sobre esta muestra una prueba de compactacin Prctor estndar, a partir de la cual obtendremos un peso volumtrico seco d. Anotemos este resultado en un diagrama d-w, como se indica en la figura 2 (punto (w1, d1)). Sobre otra muestra del mismo suelo aumentemos el contenido de agua y repitamos la prueba. Hallamos un segundo punto (w2, d2). Repitamos el procedimiento para varias humedades w, con lo cual trazamos la curva w-d mostrada en la figura 2. En la figura 2 observamos que existe una humedad para la cual se alcanza el mximo peso volumtrico seco. A esta humedad se le denomina humedad ptima o contenido de agua ptimo. A la curva de la figura 2 se le conoce como curva de compactacin.

60

Pesoespecficoseco, d

dmax

3 Sr = 100%

2

4

15

woptHumedad, w

CURVA DE COMPACTACINFIGURA 2

Curva del 100% de saturacin Encontremos a continuacin la curva que representa la relacin d-w cuando el suelo se encuentra totalmente saturado. De acuerdo con la figura 1, y usando las siguientes relaciones

s

w

WWw

v

wr V

VS

s

ss V

W

o

ssG

os

s

s

ss G

WWV

completamos el diagrama de fases de la figura 1. Ahora bien (ecuacin 1)

m

sd V

W De la figura 1

wr

s

os

s

sd

SwW

GW

W

Pero w o, por lo tanto

61

rs

od

Sw

G

1 (2)

Hacemos Sr = 1 en la ecuacin 2 y trazamos la curva del 100% de saturacin en la figura 2. Grado de compactacin Definimos el grado de compactacin Gc de la siguiente forma

maxd

dc

campoG (3)

O bien

100%max

d

dc

campoG

(4)

El peso especfico seco de campo se obtiene haciendo una cala en la capa compactada, y midiendo en dicha cala el peso hmedo Wm y el volumen Vm del suelo extrado (figura 3). El peso volumtrico de la muestra m vale

m

mm V

W

Vm Wm

m = Wm / Vmw

d = m / (1 + w)

Cala

CALA PARA DETERMINAR EL GRADO DE COMPACTACINFIGURA 3

Para encontrar d usamos la relacin (vase el anexo 1)

wm

d 1

El volumen de la muestra se puede hallar usando una arena de Ottawa, cuyo peso volumtrico Ott se ha calibrado

m

mOtt V

W

62

Ott

mm

WV (5) La cala se rellena con la arena de Ottawa, midiendo el peso de dicha arena que se introdujo en la cala. Usando la ecuacin 5 se encuentra el volumen de la cala. Existen otros procedimientos para hallar el volumen de la muestra en campo, como el mtodo de extractor de ncleos, desplazamiento de agua, mtodos nucleares, etctera (Whitlow, 1994). El contenido de agua de campo se encuentra tomando una pequea porcin de la muestra extrada de la cala, y secndola al horno con el procedimiento estndar; esta tcnica tiene el inconveniente de que la humedad de campo se conoce hasta el siguiente da de haber compactado una capa de suelo. Existen tambin mtodos especficos para hallar en forma menos tardada el valor de w, como son los mtodos nucleares (Whitlow, 1994), mtodo de Hilf (Jurez Badillo y Rico, 1976) u otros. El peso especfico seco mximo se tiene que referir a una prueba especfica de compactacin. Aun cuando la ms usual es la prueba Prctor estndar, se pueden usar otro tipo de pruebas. Efecto de la energa de compactacin Si llevamos a cabo un ensaye de compactacin que le entregue a una muestra de suelo mayor energa de compactacin por unidad de volumen, que por ejemplo la prueba Prctor estndar, es natural que se alcance un mayor peso volumtrico seco, pero tambin se produce una disminucin de la humedad ptima, como se muestra en la figura 4.

Pesoespecficoseco, d

Aumenta la energade compactacin

Sr = 100%

Humedad, w

EFECTO DE LA ENERGA DE COMPACTACINFIGURA 4

63

Influencia de la estructura del suelo En forma general, cuando se compacta del lado seco de la curva de compactacin (figura 5), las fuerzas capilares entre las partculas dificultan la traslacin y rotacin de stas y el suelo exhibe una estructura en castillo de naipes, como se muestra en la figura 6a. En cambio, cuando se compacta del lado hmedo (figura 5) se produce una orientacin ms o menos paralela de las partculas del suelo, mostrando ste una estructura dispersa (figura 6b).

Pesoespecficoseco, d

dmax

Sr = 100%

Rama"seca" Rama

"hmeda"

woptHumedad, w

RAMAS "SECA" Y "HMEDA"FIGURA 5

(a) (b)

Estructura en "castillo de naipes" Estructura "dispersa"Rama "seca" Rama "hmeda"

EFECTO DE LA ESTRUCTURA DEL SUELOFIGURA 6

SUELOS FRICCIONANTES El procedimiento ms efectivo para densificar arena y grava es la vibracin del suelo. Los mejores resultados de compactacin se alcanzan con mquinas vibrando a una frecuencia f1 cercana a la frecuencia de resonancia fo del conjunto suelo-vibrador (Terzaghi y Peck, 1967). Para arena gruesa, grava y enrocamiento de fragmentos pequeos se alcanzan buenos resultados con rodillos de 5 a 15 t de peso, equipados con vibradores operando a una frecuencia entre 1100 y 1500 ciclos por minuto (Bertram, 1963). Se emplean capas de 30 a 36 cm de espesor. Con 2 a 4 pasadas de tales rodillos, con una velocidad no mayor que 2.4 km/hora, usualmente se alcanza un buen grado de compactacin. No se hace necesario llevar un control de la humedad de compactacin.

64

Tambin se pueden usar rodillos neumticos jalados por tractores pesados de diesel. En este caso se puede agregar agua al relleno durante el proceso. La mayor parte de la compactacin se logra ms por el tractor que por el rodillo. Se requieren de 6 a 8 pasadas con el equipo para alcanzar un grado satisfactorio de compactacin, siempre y cuando el espesor de la capa no supere los 30 cm (Terzaghi y Peck, 1967). Para el control del grado de compactacin se puede usar la frmula 4

100%max

d

dc

campoG

(6)

o bien la compacidad relativa, Dr

minmax

minmax

minmax

max

dd

ddnat

dnat

dnatr ee

eeD

100%minmax

minmax

dd

ddnat

dnat

drD

(7)

COMPACTACIN DE CAMPO Para suelos cohesivos se usan rodillos neumticos o rodillos pata de cabra, con los que se logra un efecto de amasado, dando lugar a una mejor compactacin del material. Como se indic en el inciso anterior, en suelos friccionantes se emplean mtodos vibratorios o rodillos neumticos jalados por un tractor pesado. ANEXO 1 Demostrar la siguiente ecuacin

wm

d 1

Solucin Nos auxiliamos del diagrama de la figura 1.

s

w

WWw

sw wWW

m

sd V

W (A)

m

mm V

W

65

VOLMENES PESOS

Va AIRE Wa = 0

w Ws / Sr w

Vm w Ws / w AGUA w Ws Wm

Ws / Gs o SLIDO Ws

(Compactacin. Figuras)

ESQUEMA DE LAS FASES DE UN SUELOFIGURA 1

sssm WwwWWW 1 (figura 1)

m

sm V

Ww 1 (B) Dividimos la ecuacin A entre la ecuacin B

m

s

m

s

m

d

VWw

VW

1

wm

d 1

Ciudad Universitaria, D F, noviembre de 2010 REFERENCIAS Bertram, G E, Rockfill compaction by vibratory rollers, Proc 2nd Panamerican Conf Soil Mech Found Eng, Brasil, 1: 441-455, 1963 Jurez Badillo, E y Rico, A, Mecnica de Suelos, tomo I, Limusa, Mxico, D F, 1976 Terzaghi, K y Peck, R B, Soil Mechanics in Engineering Practice, 2nd ed, Wiley, New York, 1967 Whitlow, R, Fundamentos de Mecnica de Suelos, CECSA, Mxico, D F, 1994 (Compactacin 0711)

66

67

68

69

70

71APUNTES DE MECNICA DE SUELOS

EMPUJE DE TIERRAS SOBRE ELEMENTOS DE RETENCIN

Agustn Demneghi Colina* NOTA PRELIMINAR Cuando se presenta un desnivel entre las superficies de dos reas, ste se puede resolver con un talud o con un elemento de retencin. Si se emplea un elemento de retencin, ste puede ser un muro de mampostera de piedra o de concreto, una tablaestaca, tierra armada, etctera. Con frecuencia los elementos de retencin sufren desplazamientos que hacen que la presin horizontal en reposo se reduzca hasta una presin mnima, que se denomina presin activa. Por el contrario, la presin horizontal puede aumentar hasta una magnitud mxima (esto ocurre cuando el muro empuja sobre el relleno), a la cual se le llama presin pasiva. En los siguientes incisos se presenta la forma de determinar las presiones activa y pasiva, usando el mtodo de Rankine. Tambin se presenta el mtodo de Coulomb para valuar el empuje activo sobre un muro. Al final del captulo se exhibe la forma de calcular un muro de tierra armada. MTODO DE RANKINE Clculo de la presin activa Consideremos el muro de retencin de la figura 1. Supongamos que dicho muro sufre un desplazamiento o un giro hacia la izquierda de la figura, de tal forma que se produce en el suelo del relleno una falla por resistencia al corte.

q

pv

ph ph

pv

MURO DE RETENCINFIGURA 1

* Profesor. Departamento de Geotecnia. Divisin de Ingenieras Civil y Geomtica. Facultad de Ingeniera. UNAM

72En el elemento de la figura 1 la presin vertical pv se mantiene aproximadamente constante, mientras que la presin horizontal disminuye de ph = Ko pv hasta un valor mnimo pa, que denominaremos presin activa de tierra. A Ko se denomina coeficiente de presin en reposo, y se puede calcular con la siguiente expresin (Mayne y Kulhawy, 1982) Ko = (1 sen ) (OCR)sen (1) donde = ngulo de friccin interna del suelo OCR = relacin de preconsolidacin del suelo Por otra parte, suponiendo que la resistencia del suelo est dada por la ley de Mohr-Coulomb

s = c + tan (2) hallemos a continuacin la magnitud de pa.

c

pa pv c cot

DETERMINACIN DEL EMPUJE ACTIVOMTODO DE RANKINE

FIGURA 2 De acuerdo con la figura 2

(pv pa)/2 sen =

c cot + (pv + pa)/2 Despejando pa 1 sen cos pa = pv 2 c (3)

1 + sen 1 + sen 1 sen (1 sen2) pa = pv 2 c

1 + sen (1 + sen )2

73 1 sen 1 sen pa = pv 2 c (4)

1 + sen 1 + sen Sea 1 1 sen = (5) N 1 + sen Reemplazando en la ecuacin 4 pa = (1/N) pv - 2 c (1/N) (6) La magnitud de 1/N se puede poner de la siguiente forma cos 2a = cos2a sen2a sen = cos(90 - ) = cos2(45 - /2) sen2(45 - /2) Sustituyendo en la ecuacin 5 1 1 - cos2(45 - /2) + sen2(45 - /2) = N 1 + cos2(45 - /2) - sen2(45 - /2) 1/N = tan2 (45 - /2) (7) El estado de esfuerzo en el plano de falla queda representado por el punto D de la figura 3. Usando el procedimiento del polo de los esfuerzos (Demneghi, Magaa y Sangins, 2003) observamos que la inclinacin del plano de falla, con respecto a la horizontal, vale = 45 + /2

Inclinacin delplano de falla

Vector normalal plano de falla

Esfuerzos en el plano Dde falla

Polo

c 45+/2

pa pv c cot

(Ms empuje tierras figuras)INCLINACIN DEL PLANO DE FALLA

FIGURA 3

74 Es decir, cuando se presenta el estado plstico activo del suelo, ste falla a travs de planos que tienen una inclinacin de 45 + /2, con respecto a la horizontal. Clculo de la presin pasiva Ahora supongamos que la presin horizontal ph sobre el elemento de la figura 1 aumenta hasta que falla el suelo. Procediendo en forma anloga obtenemos 1 + sen 1 + sen pp = pv + 2 c (8)

1 - sen 1 sen pp = N pv + 2 c /N (9) Kp = tan2(45 + /2) (10) En forma anloga que para el caso activo, se puede demostrar que la inclinacin de los planos de falla, cuando se presenta el estado plstico pasivo de suelo, es de 45 - /2, con respecto a la horizontal. RESPUESTA DEL ESQUELETO SLIDO DE UN SUELO TOTALMENTE SATURADO En mecnica de suelos las teoras que se desarrollan para el clculo de las deformaciones, de la resistencia al corte, del empuje de tierras, de la capacidad de carga, etctera, son vlidas para un cuerpo slido. Sin embargo, un suelo totalmente saturado est formado por dos fases: la fase slida y la fase lquida; cuando el suelo est en reposo, la fase lquida no posee resistencia al corte y no se comporta como un slido, por lo que las teoras mencionadas slo son aplicables a la estructura slida del terreno. Dado que la presin que acta sobre las partculas slidas es la presin efectiva, cuando se quiera conocer la respuesta del esqueleto slido se debe emplear en las frmulas obtenidas justamente la presin efectiva en vez de la presin total. MTODO DE RANKINE. SUELO PURAMENTE FRICCIONANTE En un suelo puramente friccionante c = 0. La ecuacin 3 queda 1 sen pa = pv (11)

1 + sen pa = 1/N = Ka pv (12) 1 sen Ka = (13) 1 + sen Ka = tan2 (45 - /2) (14) Ka se denomina coeficiente de presin activa del suelo friccionante.

75Si el suelo est sometido nicamente a peso propio (sin sobrecarga), la fuerza resultante de la presin activa, actuando sobre un muro de altura total H, por unidad de longitud del muro, vale Ea = (1/2) Ka H2 (15) El punto de aplicacin de Ea queda a H/3, medido a partir de la base del muro. Para la condicin de empuje pasivo, usando la ecuacin 8 1 + sen pp = pv (16)

1 - sen pp = Kp pv (17) 1 + sen Kp = (18) 1 - sen Kp = tan2 (45 + /2) (19) La fuerza resultante pasiva sobre un muro de altura total H vale Ep = (1/2) Kp H2 (20) El punto de aplicacin de Ep queda a H/3, medido a partir de la base del muro. Ejemplo Calcular la magnitud y punto de aplicacin del empuje activo Ea del muro de retencin de la figura E-1. Utilizar el mtodo de Rankine. Considerar las siguientes condiciones:

a) Suelo seco. Nivel de agua fretica (NAF) bajo la base del muro b) Suelo totalmente saturado debido a una fuerte lluvia, pero muro con un eficiente sistema de

drenaje c) NAF en la superficie del relleno. No existe drenaje en el muro d) NAF a 2 m de profundidad bajo la corona del muro. Suelo totalmente saturado entre 0 y 2 m de

profundidad

30 kPa

Arena Phi = 34limosa

8 mGamma seco = 16 kN/m3Gs = 2.6

MURO DE RETENCINFIGURA E-1

76Solucin El coeficiente activo vale Ka = tan2 (45-/2) = tan2 (45-34/2) = 0.2827

a) La presin activa (ecuacin 15) pa = Ka pv Para el clculo del empuje activo Ea usamos las siguientes frmulas para un trapecio (figura 4)

area = (a+b) h / 2

y = (2a+b) h / [3(a+b)]CM h

y

b

REA Y CENTROIDE DE UN TRAPECIOFIGURA 4

rea = (a+b)h/2 (21) y = (2a+b)h/[3(a+b)] (22) Los diagramas de presin se muestran en la figura E-2a

(a) Suelo seco

z pvo pv = q + pvo pa = Ka pvm kPa kPa kPa

0 30 8.48

Ea = 212.6 kN/m

3.09 m8 128 158 44.69

(b) Suelo saturado, con drenaje

z pvo pv = q + pvo pa = Ka pvm kPa kPa kPa

0 30 8.48

Gammasat= 19.656 kN/m3

Ea = 245.68 kN/m

3.03 m8 157.25 187.25 52.94

(Ms empuje tierras figuras)FIGURA E-2

CLCULO DE LOS EMPUJES DE TIERRA

77

b) La presin activa pa = Ka pv, usando sat = 19.656 kN/m3

Los diagramas de presin se exhiben en la figura E-2b (c) NAF en la superficie

z pvo' pv' = q + pvo' pa' = Ka pv' u pa = Ka pv' + um NAF kPa kPa kPa kPa kPa

0 30 8.48 8.48

Ea = 470.85 kN/m

2.86 m8 78.77 108.77 30.75 78.48 109.23

(d) NAF a 2 m de profundidad

z pvo' pv' = q + pvo' pa' = Ka pv' u pa = Ka pv' + um kPa kPa kPa kPa kPa

0 30 8.48 8.48 28.08 kN/mNAF 0.87 m

239.31 69.31 19.60 19.6

344.26 kN/m

2.34 m8 98.39 128.39 36.30 58.86 95.16

CCULO DE LOS EMPUJES DE TIERRAFIGURA E-2

c) La presin horizontal sobre el muro vale pa = Ka pv + u Los diagramas de presin de muestran en la figura E-2c

d) La presin horizontal sobre el muro vale pa =Ka pv + u

Los diagramas de presin de muestran en la figura E-2d

---------- MTODO DE RANKINE. SUELO PURAMENTE COHESIVO En un material puramente cohesivo = 0. Para el caso activo la ecuacin 3 queda pa = pv 2 c (23) Para la condicin de empuje pasivo, con la ecuacin 8 hallamos pp = pv + 2 c (24)

78 Altura crtica de un corte vertical Consideremos que hacemos un corte vertical en un suelo puramente cohesivo (figura 5). El empuje activo total horizontal vale Ea = o pv dz 2 c H (25)

Suelo puramentecohesivo

Hs = c

CORTE VERTICAL EN UN MATERIAL PURAMENTE COHESIVOFIGURA 5

Si no existe sobrecarga pv = z. La ecuacin 25 queda Ea = o z dz 2 c H Ea = H2 / 2 2 c H (26) El corte se sostiene cuando el empuje Ea = 0. Reemplazando en la ecuacin 26 H = Hcrit = 4 c / (27) La ecuacin 27 proporciona la altura mxima de un corte vertical en un material puramente cohesivo (sin sobrecarga en la corona). La altura de trabajo Ht la obtenemos Ht = Hcrit / FS (28) donde FS = factor de seguridad. Si usamos un FS = 2 Ht = Hcrit / 2 Debido a la cohesin del suelo, al disminuir la presin horizontal en un corte vertical se pueden producir esfuerzos de tensin en el terreno, y presentarse grietas en la corona del corte. Considerando una sobrecarga nula sobre la excavacin, la profundidad de estas grietas de tensin se obtiene haciendo pa = 0 en la ecuacin 23 z = 2 c z = 2 c / (28) La ecuacin 28 mide la profundidad de las grietas de tensin que se presentan en la corona de un corte vertical, practicado en un material puramente cohesivo.

79 MTODO DE COULOMB Sea el muro de retencin mostrado en la figura 6. El significado de las literales es el siguiente W = peso de la cua Q = sobrecarga sobre la cua Sh = fuerza ssmica horizontal Sv = fuerza ssmica vertical C = fuerza resistente debida a la cohesin del suelo F = fuerza resistente debida a la friccin del suelo U = fuerza de subpresin hidrulica = ngulo de friccin interna del suelo Cm = fuerza resistente debida a la adherencia entre muro y suelo = ngulo de friccin interna entre muro y suelo

D

Q

WSv

Sh CCm

H U

Ea F

L

(Ms empuje tierras figuras)CUA DE DESLIZAMIENTO

MTODO DE COULOMBFIGURA 6

Establezcamos el equilibrio de fuerzas en direcciones x y y Fx = Ea cos - Sh + C cos - F sen ( - ) U sen = 0 (29) Fy = - W Q + Cm + Sv + Ea sen + F cos ( - ) + C sen + U cos = 0 (30) De la ecuacin 30 despejamos F W+Q -Cm - Sv Ea sen - C sen - U cos F = (31)

cos ( - )

80 Sustituimos en la ecuacin 30 Sh-Ccos+Usen+tan(-)(W+Q-Cm-SvCsen-Ucos) Ea = (32)

cos + tan ( - ) sen El valor mximo del empuje sobre la pared vertical del muro de la figura 6 se obtiene variando el ngulo en la ecuacin 32, hasta hallar el mximo de Ea en dicha ecuacin. El uso de la ecuacin 32 tiene la ventaja de que se puede programar en hoja de clculo de una computadora. Frmulas para el clculo del empuje de tierras Se emplean las siguientes frmulas (figura 5) = - (33) L = H [ sen (90+) / sen ] (34) A = H L cos / 2 (35) W = A (36) D = L cos (37) Q = q D (38) C = c L (39) Cm = cm H (40) Sh = csh (W + Q) (41) Sv = csv (W + Q) (42) csh = coeficiente ssmico horizontal csv = coeficiente ssmico vertical Ejemplo Determinar el empuje de tierra sobre un muro de retencin que tiene las siguientes caractersticas: H = 4 m, = 34, c = 0, = 0, cm = 0, = 18 kN/m3, q = 30 kPa, = 0, csh = 0.053, csv = 0, considerando una cua de deslizamiento con = 55. Solucin Aplicando las ecuaciones 33 a 42 obtenemos = 55 L = 4.8831 m A = 5.6017 m2 W = 100.830 kN D = 2.8008 m Q = 84.025 kN C = Cm = 0 Sh = 9.7973 kN Reemplazando en la ecuacin 32 Ea = 80.756 kN Resolviendo el problema en hoja de clculo de computadora, se halla un empuje mximo Eamax = 82.42 kN, que corresponde a un ngulo = 60. (Coulombm)

----------

81 FRMULA DE MONONOBE-OKABE Dado el muro de retencin de la figura 7, el empuje de tierras sobre el mismo vale (Ovando et al, 1979; Das, 2001) Ea = (1/2) H2 (1 csv) Ka (43)

cos2 ( - - ) Ka = (44)

sen(+) sen(--) cos cos2 cos(++)[1+ ]2

cos(++) cos(-) donde = peso volumtrico del relleno = ngulo de friccin interna del relleno = ngulo de friccin entre la pared y el relleno = ngulo del muro con la vertical = inclinacin del relleno = tan-1 [csh/(1 csv)] (45) csh = coeficiente ssmico horizontal csv = coeficiente ssmico vertical

Alfa

Lambda

HLambda

Delta Ea

FRMULA DE MONONOBE-OKABEFIGURA 7

La ecuacin 43 da el empuje activo mximo generado por un suelo en estado de equilibrio lmite (estado activo) y de inclinacin con la horizontal (figura 7). Cuando se considera el efecto ssmico, se recomienda que el punto de aplicacin del empuje Ea quede a la mitad de la altura del muro.

82ANLISIS Y DISEO DE MUROS DE RETENCIN DE MAMPOSTERA La revisin de la seguridad de un muro consta de tres etapas: a) Estabilidad regional b) Estabilidad externa c) Estabilidad interna a) Estabilidad regional Se revisa la seguridad del muro por problemas de estabilidad regional, como pueden ser fallas de taludes en grandes reas, erosin regional -externa o interna-, presencia de oquedades o cavernas en el subsuelo, agrietamiento del terreno por sismos de alta intensidad, etctera. b) Estabilidad externa La estabilidad externa se revisa por los siguientes conceptos: b.1) Volteo b.2) Deslizamiento b.3) Seguridad del terreno de cimentacin b.1) Volteo En trminos generales, el factor de seguridad para prevenir una falla de cierto tipo, se define de la siguiente forma Sumatoria de elementos mecnicos resistentes FS= (46) Sumatoria de elementos mecnicos actuantes De acuerdo con lo anterior, el factor de seguridad por volteo es FSv = MR / MA (47) donde MR = sumatoria de momentos resistentes MA = sumatoria de momentos actuantes Los momentos se toman con respecto a un eje que pasa por el punto A de la figura 8. Como ejemplo, en la figura 8 se muestran los empujes de tierra que actan sobre un plano vertical trazado a partir del taln (punto B) del muro. b.2) Deslizamiento El factor de seguridad para prevenir el deslizamiento se define FSd = FR / FA (48) donde FR = sumatoria de fuerzas resistentes FA = sumatoria de fuerzas actuantes

83

q

b D

4 d4Alfa

3

RellenoH'

H 1A' B'

2

Mampostera

A BB

B'

CLCULO DE FUERZASMURO DE RETENCIN

FIGURA 8 Las fuerzas se calculan a lo largo del posible plano de deslizamiento AB de la figura 8. La fuerza de friccin entre la base del muro y un suelo friccionante es igual a la fuerza normal en la base multiplicada por el coeficiente de friccin f entre suelo y base. En un suelo friccionante sin finos f es del orden de 0.55; si el suelo contiene limo f = 0.45. Cuando el muro descansa sobre un suelo fino, inmediatamente antes de construir el cimiento del muro, se deben remover los ltimos 10 cm de suelo y reemplazarlos por una capa del mismo espesor de arena o arena con grava bien compactadas; en este caso se puede tomar f = 0.35. Sin embargo, si la resistencia no drenada su del suelo cohesivo es menor que la resistencia por friccin, el deslizamiento puede ocurrir a lo largo del suelo fino, en cuyo caso la fuerza resistente se debe obtener a partir de la cohesin su del terreno de cimentacin (Terzaghi y Peck, 1967). b.3) Seguridad del terreno de cimentacin La revisin de la seguridad del terreno de cimentacin se lleva a cabo verificando que no se exceda la capacidad de carga admisible por resistencia al corte del terreno y que las deformaciones del mismo no superen las deformaciones permisibles del muro de retencin. Este tema se estudiar en el siguiente captulo.

84c) Estabilidad interna Como se trata de un muro de mampostera de piedra, no deben obrar en el mismo esfuerzos de tensin. Por lo tanto, se verifica en varias secciones horizontales del muro que no se presenten esfuerzos de tensin. Los esfuerzos se calculan usando la frmula de la escuadra = N/A My/I (49) donde N = fuerza normal sobre la seccin A = rea de la seccin M = momento flexionante actuando alrededor de un eje que pasa por el centroide de la seccin I = momento de inercia de la seccin y = distancia del centroide al punto donde se calcula el esfuerzo Tomemos como ejemplo la seccin AB de la figura 8, situada digamos a la mitad de la altura del muro. En la figura 9 se exhiben los empujes de tierra que obran por arriba de la seccin AB. Los esfuerzos en los puntos extremos A y B valen, aplicando la ecuacin 49 a = N/B1L + 6M/L(B1)2 (50) b = N/B1L - 6M/L(B1)2 (51) donde B1 = ancho de la seccin L = longitud de la seccin

b D

EaEav

Relleno Delta

H Eah

Cm

dMampostera

A BB

(Ms empuje tierras figuras)EMPUJES SOBRE LA CARA BD

FIGURA 9

85 Se revisa que el esfuerzo a dado por la ecuacin 50 no supere la resistencia a la compresin de la mampostera, y que el esfuerzo b dado por la ecuacin 51 sea positivo, o, si es negativo, que sea menor, en valor absoluto, a la resistencia a la tensin de la mampostera. Revisin de la seguridad de un muro de retencin Para el muro de la figura 8, es usual calcular los empujes de tierra debidos a la sobrecarga q y al peso propio del relleno actuando sobre la seccin BD de la figura. La sobrecarga y el relleno que se encuentran sobre el muro se consideran como parte integrante de ste. Los pesos de muro y relleno se computan tomando las cuatro reas indicadas en la figura. La altura sobre la que obran los empujes vale (figura 8) H = H + d4 = H + B tan (52) B = B b (53) Cuando se hace la revisin en condiciones ssmicas, adems de los empujes debidos al temblor, se deben considerar las fuerzas de inercia de las cuatro reas de la figura 8. Las fuerzas que obran sobre el plano BD son las mostradas en la figura 9. El cmputo de los momentos actuantes se lleva a cabo descomponiendo la fuerza Ea en una componente horizontal y en una componente vertical: Eah = Ea cos (54) Eav = Ea sen (55) Por ejemplo, la sumatoria de momentos con respecto a un eje que pasa por el punto A valdr (figura 9) MA = Eah d - Eav B - Cm B En la tabla 1 se exhiben factores de seguridad tentativos para volteo y deslizamiento, los cuales deben usarse nicamente para fines de anteproyecto. Las magnitudes de estos factores pueden variar ampliamente en funcin de la clase de obra que se est analizando. TABLA 1 FACTORES DE SEGURIDAD MNIMOS TENTATIVOS Volteo Deslizamiento Sin sismo 2.0 1.5 Con sismo 1.5 1.2 Nota: Las magnitudes de estos factores pueden variar ampliamente en funcin de la clase de obra que se est analizando.

86Para la determinacin de los esfuerzos internos, las fuerzas actuantes para el cmputo de los esfuerzos en la seccin AB se exhiben en la figura 10.

D'

Eav' Ea'

DeltaEah'

Cm'H 1

A' B'

2

Mampostera

A BB

EMPUJES SOBRE LA CARA B'D'SECCIN A LA MITAD DE LA ALTURA DEL MURO

FIGURA 10 Ejempl