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Posiciones relativas de rectas y planos en el espacio

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Posiciones relativas de dos rectas

Tratamos de resolver el sistema formado por las 4 ecuaciones con tres incógnitas que forman sus ecuaciones implícitas (en el cual llamaremos A a la matriz de los coeficientes y B a la matriz ampliada) y puede ocurrir:

r(A) 3 r(B) 4 .

Sistema incompatible, las rectas no tienen puntos comunes y no están en el mismo plano, se cruzan.

r(A) r(B) 3 . Sistema

compatible determinado las rectas son tienen un único punto en común, son secantes.

r(A) 2 r(B) 3 .

Sistema incompatible, las rectas no tienen puntos en común pero están en el mismo plano, son paralelas.


compatible e indeterminado con un grado de indeterminación, las rectas tienen todos sus puntos comunes, son coincidentes.

Determinar la posición relativa

de x y 6

r :x z 1

y

x y z 1s :

x z 3

Las matrices A y B son:

1 1 0

1 0 1A

1 1 1

1 0 1

1 1 0 6

1 0 1 1B

1 1 1 1

1 0 1 3

A tiene rango 3 pues el menor:

1 1 0

1 0 1 1 1 1 1

1 1 1

Orlando ese determinante y operando por Gauss:

1 1 0 6

0 1 1 7

0 2 1 5

0 1 1 3

1 1 7

2 1 5

1 1 3

3 5 14 7 5 6

14 0

R(B)=4. las rectas se cruzan en el espacio

Posiciones relativas de una recta y un plano

Las ecuaciones implícitas de la recta y el plano forman un sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas, pudiendo ocurrir:


compatible determinado, la recta corta al plano en un único punto.

r(A) 2 r(B) 3 .

Sistema incompatible. La recta es paralela al plano y ambos no se cortan.

r(A) r(B) 2 . El

sistema es compatible indeterminado con un grado de indeterminación, todos los

Posición relativa de la recta

x y z 1r :

2x y 3z 2

Y el plano : x y z 2

Las matrices son:


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puntos de la recta también están en el plano, es decir, la recta está contenida en él

1 1 1

A 2 1 3

1 1 1

1 1 1 1

B 2 1 3 2

1 1 1 2

El determinante de A es: -1-3+2+1-3+2=-2 Por tanto los rangos de ambas matrices son iguales y el sistema es compatible determinado. La recta y el plano se cortan en un único punto. Resolvamos el sistema por Gauss:

1 1 1 1

2 1 3 2

1 1 1 2

1 1 1 1

0 1 1 4

0 2 0 1

1 1 1 1

0 1 1 4

0 0 2 9

9z

2

9 1y 4

2 2

1 9x 1 6

2 2

La recta y el plano se cortan en:

1 9P 6, ,

2 2

Posiciones relativas de 2 planos

Sus ecuaciones forman un sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas, pudiendo ocurrir:

r(A) r(B) 2 . El

sistema es compatible e indeterminado con un grado de indeterminación. Los dos planos se cortan en una recta.

r(A) 1 r(B) 2 . El

sistema es incompatible y los dos planos no tienen puntos comunes son paralelos.

r(A) r(B) 1 . El

Estudiar la posición de los planos:

: x y z 1

' : 2x z 1

Como:

1 12 0

2 0

r(A) 2 r(B)

Ambos planos se cortan en una recta cuyas ecuaciones implícitas son las formadas por las de los dos planos dados juntas.


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sistema es compatible e indeterminado con dos grados de indeterminación. Cualquier punto del primer plano también lo es del segundo. Los planos coinciden

Posiciones relativas de 3 planos.

Sus ecuaciones forman un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas pudiendo ocurrir 8 posibilidades:

r(A) r(B) 1 . Los tres

planos coinciden.

r(A) 1 r(B) 2 . O

dos planos coinciden y el otro es paralelo a ellos o los tres son paralelos.

r(A) r(B) 2 . Los

planos se cortan en una recta pudiendo ser dos coincidentes y el otro secante a ellos o los tres secantes entre sí.

r(A) 2 r(B) 3 . O

dos son paralelos y el otro secante a ambos o los tres forman una superficie prismática triangular.

r(A) r(B) 3 . Los tres

planos se cortan en un único punto

Posición de

: x y 1

' : x z 3

'' : y z 1

Las matrices son:

1 1 0

A 1 0 1

0 1 1

1 1 0 1

B 1 0 1 3

0 1 1 1

Siendo:

r(A) 2 r(B) 3

Estudiando las ecuaciones de dos en dos llegamos a la conclusión de que los tres planos forman una superficie prismática. Comprobadlo...

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