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TEMAS SELECTOS DE FISICA II BLOQUE 1 ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO ING. SERGIO BRIONES

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apuntes y notas de la materia de temas selectos de fisica 1 de nivel medio superior

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TEMAS SELECTOS DE FISICA II

BLOQUE 1

ELECTRICIDAD Y

MAGNETISMO

ING. SERGIO BRIONES

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TEMAS SELECTOS DE FISICA II

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1.1. ELECTROSTÁTICA

1.1.1. ESTRUCTURA ELÉCTRICA DE LA MATERIALa materia consiste de partículas extremadamente pequeñas agrupadas juntas para formar el átomo. Hay 92 ocurrencias naturales de estas agrupaciones de partículas llamadas elementos. Estos elementos fueron agrupados en la tabla periódica de los elementos en secuencia de acuerdo a sus números atómicos y peso atómico. Hay además 14 elementos hechos por el hombre que no ocurren en la naturaleza, por lo que al final son unos 106 elementos conocidos hasta la fecha. Estos elementos no pueden cambiarse por procesos químicos. Ellos solo pueden ser cambiados por reacción nuclear o atómica, sin embargo pueden ser combinados para producir el incontable número de compuestos con los que tropezamos día a día.

ESTRUCTURA DE ÁTOMO

Un átomo puede ser representado simbólicamente en un modelo que recrea nuestro sistema solar, el cual tiene en el centro el sol y los planetas girando en órbitas alrededor de él. Este modelo atómico, representado en la figura 1 fue propuesto por el físico Danés, Niels Bohr en 1913. Los mecanismos cuánticos actuales han demostrado que este modelo no es exactamente correcto, pero sigue siendo útil para la visualización de átomo.El centro del átomo se llama núcleo y está principalmente formado por las partículas llamadas Protones y Neutrones, los que constituyen la mayoría de la masa del átomo. Orbitando alrededor del los núcleos están pequeñas partículas llamadas electrones. Estos electrones tienen una masa muchas veces mas pequeña que el Protón y el Neutrón. Hay otras partículas sub-atómicas estudiadas por los físicos atómicos, pero estas tres son suficientes para nuestro propósito.

1.1.2. CARGA ELÉCTRICA

Toda la materia, se compone de átomos y estos a su vez en partículas elementales como los electrones los protones y los neutrones y todos ellos tienen una propiedad llamada carga eléctrica. La cual también se interpreta como la cantidad e electricidad que transporta un conductor.

Un átomo puede ganar electrones y quedar con carga negativa, o bien, perderlos y adquirir carga positiva. La masa de un protón es casi 2000 veces mayor que la del electrón pero la magnitud de las cargas eléctricas es la misma.

En cuanto a las cargas eléctricas un electrón tiene carga negativa y un protón carga positiva, mientras que los protones son eléctricamente neutros ya que contienen el mismo número de cargas positivas y negativas.

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Una carga eléctrica se distribuye uniformemente en la superficie de un objeto.

La ley de la conservación de la carga nos dice que es imposible producir o destruir una carga positiva sin producir o destruir al mismo tiempo una carga negativa de idéntica magnitud por tanto la carga eléctrica total del universo es una magnitud constante, pues no se crea ni se destruye.Es importante resaltar que existe una gran diferencia entre las cargas eléctricas y los campos electromagnéticos. Mientras los campos electromagnéticos no pueden existir aislados uno del otro, las cargas eléctricas si pueden existir por separado.

1.1.3. UNIDADES DE CARGA ELÉCTRICA EN EL SISTEMA INTERNACIONAL

La unidad elemental para medir la carga eléctrica, es la carga eléctrica del electrón, pero por ser una unidad muy pequeña se emplean múltiplos de acuerdo al Sistema Internacional (SI).

En dicho sistema se emplea el coulomb que es 6.27X1018 veces la carga del electrón. En electrostática se trabaja con cargas eléctricas mucho menores a 1C y por eso se emplean submúltiplos del Coulomb como el milicoulomb y el microcoulomb

La carga de un electrón y de un protón expresada en Coulombs es la siguiente:

1 electrón = -1.6X10-19 C1 protón = 1.6X10-19 C

1.1.4. LEY DE COULOMB

Charles Coulomb observo que a mayor distancia entre dos objetos cargados eléctricamente, menor es la fuerza de atracción o repulsión. Pero la fuerza no se reduce en igual proporción al incremento de la distancia sino respecto al cuadrado de la misma.

Este científico también descubrió que la fuerza de atracción o repulsión entre dos objetos cargados aumenta de modo proporcional al producto de sus cargas, y de estas observaciones estableció: que el valor de la fuerza F de atracción o repulsión entre dos cargas puntuales es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r que las separa.

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En base a estas observaciones Coulomb formulo la ley que lleva su nombre: la fuerza eléctrica de atracción o repulsión entre dos cargas puntuales q1 y q2, es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r que las separa. Donde k es la constante dieléctrica del cual dependerá del medio donde se encuentre la carga eléctrica

Medio material

Constante Dieléctrica (k)

Medio material

Constante Dieléctrica (k)

Vacio 1 Aceite 2.5Aire 1.0005 Mica 6

Gasolina 2.3 Glicerina

43

Ámbar 2.7 Agua 81Vidrio 4.5

q1, q2 = cargas de los objetos en Coulombsr = distancia entre los dos objetosF = fuerza atractiva o repulsiva, según sean las cargas de signo contrario o del mismo signo, en newton (N).k = constante electrostática equivalente a 9×109 Nm2 / C2.

Si entre dos objetos existe una sustancia, la fuerza, como ya se dijo, se vuelve menor; el coeficiente entre la fuerza en el vacío y la fuerza de un medio interpuesto, se llama permeabilidad o coeficiente dieléctrico de la sustancia

F '= FK

Donde:F = fuerza entre dos cargas colocadas en el vacioF´= fuerza entre dos cargas, con un dieléctrico entre ellask = permeabilidad del medio

1.1.5. CAMPO ELÉCTRICO

Una carga eléctrica se encuentra siempre rodeada por un campo eléctrico. Las cargas de diferente signo se atraen y las de igual signo se repelen, aun cuando se encuentren separadas. Esto quiere decir que las cargas eléctricas influyen sobre la región que esta a su alrededor; esta región recibe el nombre de campo eléctrico, el cual es invisible, pero su fuerza ejerce acciones sobre los objetos cargados con lo cual es fácil detectar su influencia.

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F=k . q1. q2

r2

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En otras palabras en un punto del espacio existirá un campo eléctrico cuando sobre una carga eléctrica (q) colocada en dicho punto, ejerce una fuerza de origen eléctrico.

La dirección del campo eléctrico en cualquier punto viene dada por la de la fuerza que actúa sobre una carga positiva unidad colocada en dicho punto. Las líneas de fuerza en un campo eléctrico están trazadas de modo que son, en todos sus puntos, tangentes a la dirección del campo, y su sentido positivo se considera que es el que partiendo de las cargas positivas termina en las negativas (Figura 1).

Dicho de otra forma consideramos que la fuerza eléctrica que actúa sobre q se debe a la acción del campo, y no a la acción directa de una carga sobre otra.

Figura 1. Líneas de fuerzas en cargas puntuales.

1.1.6. INTENSIDAD DEL CAMPO ELÉCTRICO

La intensidad del campo eléctrico es una magnitud vectorial, ya que la fuerza también lo es y por eso los campos eléctricos se suman vectorialmente. Por tanto la dirección y el sentido del vector que represente la intensidad del campo eléctrico será igual a la de la fuerza a la de la fuerza que actúa en ese punto sobre una carga positiva. El valor de la intensidad del campo eléctrico no es constante sino que disminuye a medida que aumenta la distancia. Sin embargo la intensidad del campo eléctrico será la misma para todos los puntos con igual distancia del centro de la carga

E= kqr2 k=9 X 10

9Nm

2/C2

También se considera que la intensidad del campo eléctrico (E) es el cociente de dividir la fuerza (F) que recibe la carga, entre el valor de la misma, cuando la carga se coloca en un punto fijo.

E=Fq

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Es importante que se especifique el puinto, ya que en otro punto seguramente la intensidad del campo sera distinta. La intensidad del campo eléctrico es igual a la fuerza que recibe la unidad de carga.

1.1.7. FLUJO ELÉCTRICO Y LEY DE GAUSS

La magnitud matemática relacionada con el número de líneas de fuerza que atraviesa una superficie recibe el nombre de flujo eléctrico. Debido a que el campo eléctrico es proporcional al número de líneas por unidad de área, el flujo es proporcional al número de líneas de fuerza que atraviesan esa área.

Cuando un campo eléctrico

atraviesa una superficie, se define al flujo eléctrico como el producto escalar del campo por la superficie. Mide de alguna manera las líneas de campo que atraviesan esa superficie.

Siendo θ el ángulo entre el vector normal al área y el vector campo eléctrico. Como las superficies pueden no ser planas y los campos eléctricos no uniformes, se resuelve con una integral. En caso de que el campo sea uniforme se saca E fuera de la integral.

1.2. POTENCIAL ELÉCTRICO Y CAPACITANCÍA

1.2.1. POTENCIAL ELÉCTRICO

El potencial eléctrico en un punto es el trabajo realizado para mover una carga eléctrica de un punto a otro.

V= T

qT = trabajo realizado para pasar la carga del potencial cero al punto considerado (Joule).q = carga que será transportada (coulomb)V = potencial en el punto considerado volts (Volts)

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1.2.2. DIFERENCIA DE POTENCIAL

Se llama diferencia de potencial o de tensión entre dos puntos, al trabajo suministrado parra llevar a una carga de un punto a otro

V 12=T 12

qT12 = es el trabajo realizado para llevar la carga q del punto 1 al punto 2 (Joules) q = es la carga transportada en (Coulombs)V12 = diferencia de potencial entre los dos puntos 1 y 2, dada en Volts

Al dividir el trabajo en Joules entre la carga en coulombs, el potencial quedara en joules/coulomb que, para abreviar, se llama volts (V).

Entre dos puntos habrá una diferencia de potencial de 1 volt, si hay que ejecutar el trabajo de 1 joule, para llevar 1 coulomb de un punto a otro.

El potencial en un punto es el trabajo suministrado para atraer a la unidad de carga positiva desde el potencial cero hasta un punto considerado

Ejemplo:

1. Se necesitan .0010 J para llevar 20 micro coulombs del punto 1 al 2 encuentra la diferencia de potencial

V=Tq

=10×10− 4 J

2×10−5 C=50

JC

=50 V

2. para llevar una carga de 2 coulombs desde una base hasta la superficie de una esfera cargada, se necesita un trabajo de 10 J encuentre el potencial de la esfera.

V=Tq

=10 J2 C

=5 V

1.2.3. CAPACITORES

La capacitancia de un conductor es la medida de su capacidad eléctrica. El potencial que adquiere un conductor, es directamente proporcional a la carga que recibe. El potencial que adquiere un conductor es inversamente proporcional a su capacitancia.

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En base a lo anterior tenemos que: el potencial que adquiere un conductor, es directamente proporcional a la carga que recibe, e inversamente proporcional a su capacitancia.

V= qC

q = es la carga que recibe el conductor (coulombs) V = el potencial dado en voltsC= Capacitancia del conductor dada en faradays

Así se tiene que la unidad de la capacitancia también es el Coulomb. Un conductor tiene un faraday (C/V) de capacitancia, si al recibir la carga de un coulomb, su tensión aumenta un volt.

Ejemplo:

Cuando un conductor recibe 2 nC, su potencial aumenta 1000 volts, encuentre la capacitancia del conductor.

C= qV

=2×10−9C

103V=2×10−12 F=2 pF

Con las propiedades antes descritas se crea un dispositivo, que sea capas de manejar la capacitancia eléctrica y es como surgen los capacitores o condensadores eléctricos los están formados por dos placas metálicas separadas por un material aislante. Si se conecta una batería a ambas placas, durante un breve tiempo fluirá una corriente eléctrica que se acumulará en cada una de ellas. Si se desconecta la batería, el condensador conserva la carga y la tensión asociada a la misma. Las tensiones rápidamente cambiantes, como las provocadas por una señal de sonido o de radio, generan mayores flujos de corriente hacia y desde las placas; entonces, el condensador actúa como conductor de la corriente alterna.

1.2.4. TIPOS DE CAPACITORES

La capacitancia de un capacitor es proporcional al área de las armaduras o laminas que quedan enfrentadas. Así si una de las laminas o armaduras es móvil puede variarse el área y en consecuencia la capacitancia del capacitor. De ahí que los capacitares se clasifiquen en fijos y variables.

Un ejemplo del empleo de este tipo de capacitores son los botones de sintonía de los aparatos receptores de radio

1.2.5. CAPACITORES EN SERIE Y EN PARALELO

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Cuando dos o mas capacitares se conectan pueden estar en serie o en paralelo. En el caso de los capacitares en serie para conocer la capacitancia

total del circuito se emplea C= 1

C1

+ 1C2

+. . .+ 1Cn es decir: cuando los capacitares

están en serie, la reciproca de la capacitancia total, es igual a la suma de las reciprocas de las capacitancias parciales. Si estos capacitores están en

paralelo la ecuación es: C=C1+C2+. . .+Cn es decir: cuando los capacitares están conectados en paralelo, la capacitancia total es igual a la suma de las capacidades parciales.

Ejemplo:

Dos capacitares de 10 y 20 pF están conectados en serie, encuentre la capacitancia total.

1C

= 1C1

+ 1C2

= 110 pF

+ 120 pF

= 10 .1

+ 10 . 05

= 1.15 pF

=6 .67 pF

1.3. ELECTRODINÁMICA, CORRIENTE ELÉCTRICA Y CIRCUITOS ELÉCTRICOS

1.3.1. CORRIENTE ELÉCTRICA

Una conductor metálico esta formado por iones positivos, es decir átomos que no tienen electrón. Los electrones perdidos por los átomos se mueven desordenadamente saltando de átomo en átomo, uniéndose ocasional y brevemente con algunos de ellos, con velocidades del orden de 10-7 m/s. la carga total del conductor es nula, pues existe el mismo número de cargas positivas que de negativas.

Si en un conductor se encuentra en un campo eléctrico, tanto los iones positivos como los electrones libres negativos, quedan sometidos a una fuerza que tiende a moverlos; como solo los electrones libres pueden hacerlo, solo estos se moverán con sentido contrario al campo. Al aplicar el campo, los electrones inician su movimiento sin que haya acumulación de electrones en el conductor, de tal manera que en cualquier porción del conductor el numero de iones positivos y de electrones libres es el mismo por lo que: un conductor que lleva una corriente eléctrica no esta cargado eléctricamente.

Cuando pasa una corriente eléctrica por un conductor, produce principalmente tres efectos:

La temperatura del conductor asciende y comunica calor a sus alrededores

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El conductor se rodea de un campo magnético y ejerce fuerzas sobre otras corrientes o sobre los imanes

La corriente, al atravesar ciertas sustancias, las descompone químicamente.

1.3.2. RESISTENCIA ELÉCTRICA Y CONDUCTIBIDAD

No todos los materiales son buenos conductores de la electricidad. Existen incluso diferencias entre las capacidades de los diversos metales para conducir la corriente. Por esta razón, necesitamos una magnitud que nos diga exactamente en que grado es buen conductor un material.

Supongamos que tenemos un trozo de cable. La resistencia de este conductor depende de su longitud y del área se su sección transversal. Por otra parte, cuanto mayor es el área de la sección transversal menor debe ser la resistencia. Por consiguiente, la resistencia debe ser inversamente proporcional al área.

R=ρLA

La constante de proporcionalidad ρ, es una propiedad del material del cual está hecho el conductor, y recibe el nombre de resistividad del material. Si la resistividad es grande, el material es un conductor pobre.

ρ=RAL

Se emplea una magnitud denominada conductividad para describir las propiedades eléctricas de metales y otros conductores. Es equivalente al reciproco de la resistencia.

λ=1δ Donde λ representa la conductibilidad yδ la resistividad

R=α (t−20 ° )

Resistividad a 20°

material Resistividad ρ (Ω-m)Coeficiente de temperatura

de una resistencia α

Plata 1.6×10-8 3.8×10-3 Cobre 1.7×10-8 3.9×10-3

Aluminio 2.8×10-8 3.9×10-3

Tunsgteno 5.6×10-8 4.5×10-3

Hierro 10×10-8 5.0×10-3

Carbón 3500×10-8 -0.5×10-3

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Generalmente la conductibilidad se expresa por el valor de su inversa, que es la resistividad. Los objetos que son buenos conductores del calor suelen serlo también de la electricidad. Pero ciertos objetos solo dejan pasar la electricidad en una sola dirección, propiedad que permite utilizarlos para detectar, rectificar y amplificar señales, a estos materiales se les llama semiconductores.

Ejemplo:

Una barra rectangular de hierro tiene una sección transversal de 2 por 2 cm y su longitud es de 40 cm, cual es el valor de la resistencia

R=ρLA

=10×10−8( . 40(. 02 ) (. 02 ) )=100− 6Ω

A una temperatura de 520°C, cual será la resistencia de la barra considerando los datos anteriores.

R=α (t−20 ° )=(5×10−3)(520−20 )=2. 5 Ω

1.3.3 LEY DE OHM

Para que pase una corriente a través de un alambre que une a dos conductores, es preciso que haya una diferencia de potencial entre ellos. Cuanto mayor sea la diferencia de potencial, pasaran mas coulombs por segundo y cuanto mayor sea la oposición o resistencia al paso de la corriente eléctrica, menos corriente podrá pasar. Además en cada sección del alambre la intensidad de la corriente es la misma, puesto que la corriente se comporta como un fluido incompresible.

La ley de ohm nos indica que: la intensidad de la corriente eléctrica que pasa por un conductor es directamente proporcional a la diferencia de potencial entre sus extremos e inversamente proporcional a la resistencia del conductor.

I=VR Donde

I es la intensidad de la corriente eléctrica medida en AmperesV es la diferencia de potencial aplicado a los extremos del conductor dado en voltsR es la resistencia del conductor dada en ohms

Un conductor tiene una resistencia de un ohm, si al aplicarle la diferencia de potencial de un volt, deja pasar una corriente de un ampere.

1.3.4. RESISTENCIA EN SERIE Y EN PARALELOING. SERGIO BRIONES

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Desde el surgimiento de la corriente eléctrica ha existido la necesidad de encontrar elementos que permitan el paso de la corriente eléctrica de forma limitada a estos elementos se les llama resistencias o resistores. Estos elementos se pueden conectar de dos modos principales, en serie y en paralelo.

En la conexión en serie las resistencias se conectan uno a continuación del otro, entonces, la intensidad de la corriente eléctrica será la misma en todas las resistencias

I = I1 = I2 = In

El trabajo necesario para pasar una carga entre los extremos de dicho arreglo será la suma de los trabajos para pasarla por la primera resistencia, por la segunda resistencia y por cada una de las resistencias que integren el arreglo

V = V1 + V2 + Vn

Cuando dos o mas resistencias se encuentran conectadas en serie, se suman sus resistencias para obtener la resistencia total es decir

R = R1 + R2 + Rn

En la conexión en paralelo los extremos de las resistencias se conectan juntos dividiéndose la corriente en quedando expresada de la siguiente forma

I = I1 + I2 + I n

El trabajo para pasar una carga por cualquiera de los elementos del arreglo es el mismo por cualquiera de ellos es decir

V = V1 = V2 = Vn

En cuanto a la resistencia total del arreglo cuando dos o mas resistencias se unen en paralelo, se suman los valores recíprocos o inversos de las resistencias, a fin de obtener el reciproco o inverso de la resistencia total

1R

= 1R1

+ 1R2

+. ..+ 1Rn

Ejemplos ejercicios

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1.3.5. LEYES DE KIRCHHOFF

La primera, la ley de los nudos, enuncia que en cualquier unión en un circuito a través del cual fluye una corriente constante, la suma de las intensidades que llegan a un nudo es igual a la suma de las intensidades que salen del mismo.

La segunda ley, la ley de las mallas afirma que, comenzando por cualquier punto de una red y siguiendo cualquier trayecto cerrado de vuelta al punto inicial, la suma neta de las fuerzas electromotrices halladas será igual a la suma neta de los productos de las resistencias halladas y de las intensidades que fluyen a través de ellas. Esta segunda ley es sencillamente una ampliación de la ley de Ohm.

En este circuito eléctrico formado por dos generadores, de fuerzas electromotrices 1 y 2, y tres resistencias, R1, R2 y R3, se puede aplicar la ley de los nudos al nudo B y la ley de las mallas a las redes ABEF y BCDE.

Las Leyes de Kirchoff se aplican de la misma manera: "la suma de las corrientes que llegan a un nodo es cero" y "la suma de todas las tensiones alrededor de una malla es cero". Esta vez, tanto las corrientes como las tensiones, son, en general, complejas.

Ejemplo de resolución de circuitos con las leyes de Kirchhoff .

En el caso más general, el circuito podrá tener más de una fuente. El análisis clásico de este tipo de redes se realiza obteniendo, a partir de las leyes de Kirchhoff, un sistema

de ecuaciones donde las incógnitas serán las corrientes que circulan por cada rama. En general, el proceso a seguir será el siguiente:

1. Se dibujan y nombran de modo arbitrario las corrientes que circulan por cada rama. (no aparece en el dibujo pero los recorridos son en ambas mallas respetando el sentido de las

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manecillas del reloj es decir de izquierda a derecha partiendo del nodo A)

2. Se obtiene un sistema de tantas ecuaciones como intensidades haya. Las ecuaciones se obtendrán a partir de las leyes de Kirchhoff de acuerdo con el siguiente criterio:

1. Se aplica la primera ley de nodos tomando como referencia a uno de dichos nodos.

2. Se aplica la segunda ley a todas las mallas. Es decir debemos tener tantas ecuaciones como mallas, por ejemplo en el dibujo tenemos dos mallas en consecuencia tendremos dos ecuaciones

Como ejemplo, se analizará el circuito de la figura anterior considerando los siguientes valores:

1. Se consideran las intensidades dibujadas en el circuito.

2. En el nudo A se cumple:

Las corrientes que entran a un nodo serán positivas (+) mientras que las corrientes que salen de el serán negativas (-).

Y sumando las tensiones en ambas mallas teniendo cuidado de determinar la polaridad correcta de la caída de tensión de una resistencia:

Si la corriente y el sentido son iguales el valor de la fuente será positivo(-).Si la corriente y el sentido no son iguales la polaridad de la fuente será negativa (+)

Es importante también resaltar que si la corriente y el sentido en una resistencia son iguales el valor de dicha resistencia será positivo (+), pero si la corriente y el sentido son contrarios el valor de dicha resistencia será negativo (-). RECUERDA QUE LA RESISTENCIA DEBERA IR ACOMPAÑADA DE LA CORRIENTE QUE PASA POR ELLA COMO A CONTINUACIUON SE MUESTRA

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Tomando en cuenta estas reglas se trazan los recorridos de las mallas respetando la cuestión de los signos antes planteada, se obtienen las ecuaciones siguientes.

I1 - I2 - I3 = 0R1I1 + R2I2 – E1 – E2 = 0-R2I2 + R3I3 + E2 - E3 = 0

Una vez obtenidas las ecuaciones procedemos a acomodar los valores tomando como referencia las corrientes es decir: en forma de columna acomodaremos todo lo que tenga que ver con I1 en otra columna lo que tenga que ver con I2 y en una última columna lo que tenga que ver con I3, ponga atención con las baterías, ellas se acomodas después del signo de igual como se muestra a continuación:

I1 - I2 - I3 = 0R1I1 + R2I2 – E1 – E2 = 0 -R2I2 + R3I3 + E2 - E3 = 0

Si son observadores las baterías no se acomodan por referencia como si lo hicimos con las resistencias, en las cuales para su cómodo se tomo como referencia el valor de la corriente, después se procede a sustituir los valores en las ecuaciones quedando de la siguiente forma:

I1 – I2 – I3 = 06I1 + 4I2 – 46 – 20 = 0 -4I2 + 8I3 + 20 – 48 = 0

Reacomodando las ecuaciones y sumando el valor de las baterías tenemos:

I1 – I2 – I3 = 06I1 + 4I2 – 66 = 0 -4I2 + 8I3 – 28 = 0Pasando las igualdades obtenemos:

I1 – I2 – I3 = 06I1 + 4I2 = 66 -4I2 + 8I3 = 28

Y finalmente ya una vez realizadas nuestras ecuaciones, el acomodo de información, la sustitución de valores, estamos en condiciones de escribir nuestro sistema de matrices el cual quedara de la siguiente forma:

1 – 1 – 1 = 0

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6 + 4 0 = 660 - 4 + 8 = 28

Observe que en los lugares donde no existen valores para las corrientes 1 y 3 se colocaron ceros, ese es el procedimiento en caso de no contar con dichos valores, repitiendo; debes respetar el acomodo de los valores como ya habrás notado los valores de las columnas I1, I2 e I3 no se modificaron este tipo de detalles es importante para la buena resolución de este tipo de problemas:

Finalmente solo queda dar respuesta a este sistema de matrices para lo cual, para poder resolver el sistema de matrices que se presenta, se debe buscar como objetivo trazar una línea diagonal, en la cual debe contener

números unos, y todo lo que haya por debajo y arriba de dicha diagonal sean números ceros sin importar que numero obtengamos en la última columna del sistema de matrices, como se muestra en la figura de la derecha.

Existen varios métodos para resolver este sistema de matrices, en nuestro caso se mostrara la resolución empleando el método de GAUSS por considerar, que es el más fácil.

Para emplear este método solo se empelaran operaciones aritméticas básicas como sumas y multiplicaciones, el detalle es que no deben olvidar que la comprobación nos debe dar como resultado cero, por lo cual se deben realizar según nos pida el desarrollo de la solución del sistema, operaciones con fracciones, si emplean números decimales no tendrán al final la comprobación, por lo que sus resultados serán incorrectos.

Lo primero que se debe hacer según el dibujo antes mostrado es que en nuestra primer columna, aparezca un número uno, en la parte superior, en este caso por los datos del ejemplo, ya tenemos dicho número uno en nuestra primer columna, por lo que podemos dedicarnos hacer en esa misma columna los números ceros en los lugares de la columna que se encuentran por debajo de dicho número uno.

Para lo cual emplearemos las siguientes ecuaciones, recuerda que las ecuaciones mostradas se realizan en base a la ubicación de los números y no propiamente con el valor de dichos números es decir:

1 – 1 – 1 = 0 6 + 4 0 = 66 0 - 4 + 8 = 28 R1 (-6) + R2 → R2

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1 0 0 #0 1 0 #0 0 1 #

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Recuerden que no de usan los valores sino las ubicaciones lo que significa es que el valor que se encuentra en el renglón uno (R1) se va a multiplicar por -6 después se le sumara 6 y el resultado de dicha operación se colocara en el renglón dos.

Es decir 1que se encuentra en el renglón uno por -6 nos da -6, mas 6 que se encuentra en el renglón dos nos da 0, y ese valor se colocara en el renglón dos, esa misma operación se debe realizar con la siguiente columna, por lo que tendremos que realizar las siguientes operaciones: -1 que se encuentra en el renglón uno por -6 nos da 6, mas 4 que es el valor que ahora se encuentra en el renglón dos nos da 10, y ese valor se colocara en el renglón dos, para la siguiente columna las operaciones quedarían: -1 que se encuentra en el renglón uno por -6 nos da 6, mas 0 que es el valor que ahora se encuentra en el renglón dos nos da 6, y ese valor se colocara en el renglón dos y para la última columna las operaciones quedan: 0 que se encuentra en el renglón uno por -6 nos da 0, mas 66 que es el valor que ahora se encuentra en el renglón dos nos da 66, y ese valor se colocara en el renglón dos, quedando nuestro sistema de matrices después de las operaciones de la siguiente forma: (noten que como no se hizo ninguna operación en los otros dos renglones estos quedan con los mismos valores).

1 – 1 – 1 = 0 0 + 10 6 = 66 0 - 4 + 8 = 28 R2 (1/10) → R2

Como se ve ya logramos parte del objetivo, en nuestra primera columna tenemos un 1 y debajo de, el tenemos ceros, ahora debemos trabajar sobre nuestra segunda columna, pero en el lugar donde deberíamos tener un 1 tenemos un numero 10, así que lo primero que hay que realizar es que ese 10 se convierta en 1, para lo cual, la operación para realizar dicha transformación ya se anoto ne la parte inferior de dicho sistema, lo único que se está haciendo es multiplicar todo el valor del renglón por el inverso del número 10 es decir 1/10.

Es decir las operaciones y los valores obtenidos serian 0 por 1/10 nos da 0 y el resultado se queda en el mismo renglón dos, en la siguiente columna la operaciones serian 10 por 1/10 nos da 1 y el resultado se queda en el mismo renglón dos, en la tercer columna se realiza las operaciones 6 por 1/10 obteniendo 3/5 y el resultado se queda en el mismo renglón dos, y en la última columna realizaremos 66 por 1/10 obteniendo 33/5 y el resultado se queda en el mismo renglón dos, quedando nuestro sistema de matrices d ela siguiente forma:

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1 – 1 – 1 = 0 0 + 1 3/5 = 33/5 0 - 4 + 8 = 28 R2 + R1 → R1 R2 (4) + R3 → R3 Ya que tenemos nuestro 1 en la segunda columna lo siguiente es obtener o convertir en ceros lo que este por arriba y debajo de ese uno, para lo cual ya se escribieron las operaciones con las obtendremos dichos ceros. Una observación importante si observan la segunda columna sería fácil intentar sumar de forma directa el renglón dos donde se encuentra un 1 con el renglón uno donde se encuentra un -1, pero el problema de realizarlo así es que el 1 que ya lograron obtener en la primer columna se volvería negativo, y como se aprecia en el segundo dibujo todos los números 1 deben ser positivos, así que deben tener cuidado cuando hagan sus operaciones de no afectar lo que está a la izquierda, de la columna donde se encuentren trabajando, en este caso, si estamos trabajando sobre la columna dos mis operaciones no deben afectar los valores obtenidos en la columna uno pero si de la columna dos en adelante.

Realizando las operaciones obtendremos en el renglón uno, 0 más 1 nos da 1 y ese resultado lo colocamos en la primer columna, después en la segunda columna tendremos; 1 más -1 nos da 0 y ese resultado lo colocaremos en la columna dos pero en el mismo renglón uno, recuerden que estamos haciendo las operaciones por todo el renglón, en la siguiente operación tendremos 3/5 más -1 lo que nos da, -2/5 y se coloca ese resultado en el renglón uno pero en la columna tres, y finalmente en la última columna tendremos 33/5 más 0, lo que nos da 33/5 colocando ese resultado en la última columna y en el renglón uno.

Para la siguiente ecuación que afecta al tercer renglón tendremos: 0 por 4 nos da 0, y ese 0 mas cero mas da 0, y colocamos ese resultado en el tercer renglón primera columna, después 1 por 4 nos da 4, 4 más -4 nos da cero y colocamos ese resultado en el renglón tres segunda columna, luego 3/5 por 4 nos da 12/5, 12/5 más 8 nos da 52/5 y colocamos ese resultado en la tercer columna del tercer renglón y finalmente 33/5 por 4 nos da 132/5, 132/5 más 28 nos da 272/5 y colocamos ese resultado en la última columna del tercer renglón. Quedando nuestro sistema de la siguiente forma:

1 0 –2/5 = 33/5 0 1 3/5 = 33/5 0 0 52/5 = 272/5 R3 (5/52) → R3

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Como pueden ver ya se está formando nuestra diagonal con unos y los 0 que van por arriba y por debajo de dicha diagonal, nos queda encontrar el último 1 para lo cual realizaremos la ecuación que se muestra abajo del arreglo, quedando nuestro sistema de matrices:

1 0 –2/5 = 33/5 0 1 3/5 = 33/5 0 0 1 = 68/13 R3 (-3/5) + R2 → R2 R3 (2/5) + R1 → R1

Haciendo estas últimas ecuaciones con los procedimientos anteriores tendremos finalmente:

1 0 0 = 133/13 0 1 0 = 45/13 0 0 1 = 68/13

Con lo cual obtendremos lo que buscábamos una diagonal con 0 y arriba y debajo de esa diagonal 0 y a la derecha cualquier numero. Ahora por ultimo solo falta comprobar que dichos números obtenidos son correctos por lo que hay que hacer una comprobación, esa comprobación se realiza sustituyendo le valor de las corrientes por dichos números en nuestra primera ecuación: I1 – I2 – I3 = 0, sustituyendo obtendremos:

133/13 – 45/13 – 68/13 = 0

Por lo que los datos obtenidos de nuestras corrientes están correctos.

1.4. MAGNETISMO

1.4.1. CAMPO MAGNÉTICO

La zona que rodea a un imán y también a las corrientes eléctricas se les llama campos magnéticos.

Las líneas que representan el campo magnético se llaman líneas magnéticas y su sentido es el indicado por el polo norte de una brújula, lo que quiere decir que las líneas magnéticas salen por el norte de un campo magnético y llegan al sur del mismo

Además hay que tomar en cuenta que el número de líneas magnéticas que atraviesan a la unidad de área representa la intensidad del campo magnético. Así donde el campo magnético es débil, las líneas magnéticas quedaran muy separadas y donde sea intenso, quedaran más unidas.

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1.4.2. INDUCCIÓN MAGNÉTICA

Supongamos que una carga q se mueve a velocidad v, perpendicularmente a las líneas magnéticas de un campo 8niforme. Entonces, debido al campo magnético de la carga en movimiento, la carga recibe una fuerza perpendicular tanto a las líneas magnéticas, como a la trayectoria del movimiento.

La inducción magnética que en realidad debería llamarse intensidad del campo magnético, en un punto del campo puede medirse por la fuerza que recibe la carga y se define de la siguiente forma.

La inducción magnética en un punto de un campo magnético mide la fuerza que recibe la unidad de carga que, en dicho punto, se mueva perpendicularmente al campo, con la unidad de la velocidad, es decir:

B= Fqv

donde la F es la fuerza magnética (N), q es la carga eléctrica dada en (C), la v es la velocidad perpendicular (m/s) y B es la inducción electromagnética, siendo sus unidades el tesla.La inducción en un punto de un campo magnético será de un tesla, cuando una carga de 1 Coulomb al pasar por el punto perpendicularmente al campo y a la velocidad de 1 m/s, reciba la fuerza magnética de 1 N.

El tesla es una unidad muy grande y en ocasiones se emplea el gauss, que tiene la siguiente equivalencia.

1T = 104 G 1G = 10-4 T

Ejemplo:

Una carga de 2μC, se mueve perpendicularmente en un campo magnético, con una velocidad de 10 km/s, y recibe una fuerza de 500X10-5 N, encuentre el valor de la inducción magnética.

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B= Fqv

=500×10−5 N

(2×10−6 )(104 )=. 25T

LEY DE FARADAY

Llamaremos flujo magnético ф al número de líneas del campo magnético. Y a la densidad de flujo magnético; al flujo que atraviesa perpendicularmente a la unidad de área es decir, ф/A

B= φA Donde B es la inducción magnética o densidad de flujo medido

en Teslas, A es el área perpendicular al flujo en m2 y ф es el flujo magnético medido en Teslas metro cuadrado (Tm2). 1Wb = Tm2.

Faraday logro demostrar que un flujo magnético variable induce un campo eléctrico, cuyas líneas rodean a las del campo magnético. Pero surgió la pregunta de cómo puede variarse un campo magnético:

Por el movimiento mutuo entre el circuito y un campo magnético como en los experimentos de faraday y en los generadores eléctricos

Por variación del área de flujo encerrada o eslabonada ´por el circuito, como un conductor móvil en un campo magnético

Y por variación de la corriente que origina el flujo, como en los transformadores eléctricos.

Si a lo largo del campo eléctrico inducido se encuentra un conductor, el campo eléctrico ejerce una fuerza sobre las cargas libres, por lo que se establece una fuerza electromotriz. Si el circuito está cerrado se tendrá en el una corriente eléctrica.

Los experimentos de faraday consistían en acercar y en alejar un imán o electroimán a una bobina; al variar el flujo magnético, se induce en ella una fuerza electromotriz que puede registrarse con un volmetro.

Faraday basándose en los experimentos descritos, encontró la siguiente ley de la inducción:

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La fuerza electromotriz inducida en un circuito es directamente proporcional a la rapidez con que cambia el flujo magnetico que encierra.

ε=φ f−φi

t Donde ф es el flujo final e inicial medido en Weber. T es el tiempo durante el cual el flujo paso del final al inicial medido en segundos, y ε es la fuerza electromotriz medida en volts.

Si se consideran varios circuitos en serie, como sucede en una bobina entonces nuestra ecuación seria

ε=Nφf −φi

t Donde N es precisamente el número de vueltas de la bobina

Ejemplo :Una bobina de 500 vueltas, con una resistencia de 10 ohms y con un área de 40 cm2 es atravesada su área por un campo magnético que, en un centésimo (102) de segundo, cambia de 1X10-1 a -1X10-1 T, calcule los flujos magnéticos, la fuerza electromotriz inducida y si la bobina se conecta a una resistencia de 30 ohms, cuanto vale la intensidad e corriente inducida.

Para los flujos magnéticos

Ф=BA para cada uno de los flujos 40 cm2 = 40×10-4 mФ = (1X10-1)(40X10-4) = 4×10-4 WbФ = (-1X10-1) (40X10-4) = -4×10-4 Wb

Para la fuerza electromotriz

ε=Nφf −φi

t=500

−4×10− 4−4×10−4

1×10−2=−40 V

Para la intensidad inducidaε= 40VR=Ri+Re=10+30=40Ω

I= εR

=−4040

=−1 A

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1.4.4. LEY DE LENZ

De los experimentos de Faraday se llega a la conclusión, que siempre que hay un movimiento del imán inductor se forma una corriente inducida en la bobina, en consecuencia la bobina se comporta como un imán, esto da origen a la ley de Lenz que enuncia que:

La corriente inducida tiene un sentido tal, que se opone a la causa que la produce.

La energía necesaria para mover un imán contra la fuerza que la bobina ejerce sobre el, se convierte en energía eléctrica que, cuando es la necesaria para impulsar 1C, es la fuerza electromotriz.

Una fuerza electromotriz (fem) inducida es directamente proporcional a la inducción magnética del campo, al largo del conductor comprendido en el campo y a la velocidad con que se mueve.

Si el conductor, el campo y la velocidad son mutuamente perpendiculares y si en lugar de un conductor hay una bobina con n vueltas, tenemos: ε=BLvN. Donde:

B = inducción magnética del campo en Teslas (T)L = largo del conductor en el campo en metros (m)v = velocidad con que se mueve el conductor dada en m/sN = numero de vueltas de la bobinaε = fem inducida en volts (V)

Ejemplo:

Un conductor se mueve a 50 cm/s, perpendicularmente a un campo magnético de 10 cm de ancho, cuyo valor es de .1 Wb, calcule la fem inducida.

ε=BLvN=(.1)(.1)(.5)(1)=5×10-3 V

1.4.5. Circuito serie RLC

El circuito ilustrado a la izquierda muestra la combinación de resistencia (R), inductancia (la bobina(L)) y capacitancia (el capacitor(C)), la expresión equivalente a la ley de Ohm para este circuito es:

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I= V

√R2+ (X L−XC )2

Generalmente a todo el denominador de la ecuación anterior se le conoce como impedancia (Z), sus unidades obviamente son los ohms.

Cuando de la ecuación anterior nuestra resistencia vale cero y la corriente llega a ser infinita, ocurre un fenómeno denominado resonancia, o lo que sería igual a tener un circuito LC obteniendo la siguiente ecuación:

f = 12 π √ 1

LC

La pérdida de potencia del circuito no puede ser la misma a un circuito de corriente continua que sería VI, de ahí que la expresión correcta para la pérdida de potencia es:

Potencia =VI cosθ

Donde θ es el ángulo de fase entre el voltaje y la corriente también se le denomina factor de potencia.

Ejemplo:

1.- Determine la frecuencia de resonancia para un circuito en donde L=.10 henrios y C=1×10-7 faradios.

f = 12 π √ 1

LC= 1

2 π √ 1

(. 10 )(1×10−7 )=1600

cseg

2.- un circuito contiene una resistencia de 4 Ω, una inductancia de 2 henrios, y un condensador de 1 microfaradio, conectado a una fuente variable de 20 Vencuentre el valor de la corriente.

I= V

√R2+ (X L−XC )2=20

√42+ (2−1×10

−6 )2=20

4 . 47=4 . 47 A

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BLOQUE 2

MECANICA ONDULATORIA

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2.1.1 CARACTERÍSTICAS DE UNA ONDA Y TIPOS DE ONDA

Que es una onda

Imaginemos ahora que una persona sujeta la cuerda, y mueve su mano de forma continua hacia arriba y hacia debajo de la posición inicial. En este caso tendremos una serie de pulsos producidos alternadamente hacia arriba y hacia abajo, que se propagan a lo largo de la cuerda.

Propagación de pulsoSi tenemos una cuerda estirada de forma horizontal por una persona. Si esta mueve su mano hacia arriba y enseguida hacia abajo, volviendo a su posición inicial, podremos ver que una pulsación o pulso se propaga a lo largo de la cuerda a cierta velocidad, fijando nuestra atención en un punto cualquiera de la cuerda, podremos observar que dicho punto se desplaza hacia arriba y hacia abajo reproduciendo el movimiento de la mano, mientras el pulso pasa por el. En otras palabras, pulso es lo que se desplaza a lo largo de la cuerda, mientras que sus puntos simplemente suben y bajan conforme pasa la pulsación.

Todo movimiento ondulatorio, al transmitirse presenta las siguientes características: La posición más alta con respecto a la posición de equilibrio se llama

cresta. El ciclo es una oscilación, o viaje completo de ida y vuelta. La posición más baja con respecto a la posición de equilibrio se

llama valle.

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El máximo alejamiento de cada partícula con respecto a la posición de equilibrio se llama amplitud de onda.

El periodo es el tiempo transcurrido entre la emisión de dos ondas consecutivas.

Al número de ondas emitidas en cada segundo se le denomina frecuencia.

La distancia que hay entre cresta y cresta, o valle y valle, se llama longitud de onda.

Nodo es el punto donde la onda cruza la línea de equilibrio. Elongación es la distancia que hay, en forma perpendicular, entre un

punto de la onda y la línea de equilibrio.

VELOCIDAD DE PROPAGACIÓNLa velocidad de una onda en un medio es la velocidad con la cual los pulsos de la onda se propagan. De tal manera, si alguien produce una pulsación en el extremo de una cuerda cuya longitud es de 6m, y el pulso llega hasta el otro extremo después de 1.5 s la velocidad de propagación es

v= d/t => 6/1.5 = 4 m/s

de manera general, la velocidad de una onda depende del medio en el cual se propaga. Para una cuerda, por ejemplo podemos ver que cuanto mas gruesa sea mayor masa tiene, por tanto menor será la velocidad que alcance. Esta velocidad depende de la tensión a la cual se encuentre sometida; cuanto mas estirada se halle, tanto mayor será la velocidad de propagación de la misma.

2.1.2 TIPOS DE ONDAS

MECÁNICASELECTROMAGNÉTICAS

Movimiento ondulatorio, proceso por el que se propaga energía de un lugar a otro sin transferencia de materia, mediante ondas mecánicas o electromagnéticas. En cualquier punto de la trayectoria de propagación se produce un desplazamiento periódico, u oscilación, alrededor de una posición de equilibrio. Puede ser una oscilación de moléculas de aire, como en el caso del sonido que viaja por la atmósfera, de moléculas de agua (como en las olas que se forman en la superficie del mar) o de porciones de una cuerda o un resorte. En todos estos casos, las partículas oscilan en torno a su posición de equilibrio y sólo la energía avanza de forma continua. Estas ondas se denominan mecánicas porque la energía se transmite a través de un medio material, sin ningún movimiento global del propio medio. Las únicas ondas que no requieren un medio material para

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su propagación son las ondas electromagnéticas; en ese caso las oscilaciones corresponden a variaciones en la intensidad de campos magnéticos y eléctricos

TRANSVERSALES

El movimiento por ejemplo que se da en una cuerda donde vibra de arriba hacia abajo mientras se propaga la onda de manera horizontal todo lo largo de ella. Una onda como esta, en que la vibración de los puntos se hace en dirección perpendicular a la propagación, de denomina onda transversal.

LONGITUDINALESSupongamos que ahora una persona mueve hacia el frente y hacia atrás el extremo de un resorte estirado dando a dicho extremo un movimiento oscilatorio en la dirección del propio resorte, hallaremos que la perturbación, constituida por una serie de compresiones y rarefacciones, se propaga a lo largo del resorte y recibe el nombre de onda longitudinal.

En una onda transversal, los puntos del medio en el cual se propaga vibran en forma perpendicular a su dirección de propagación.

En una onda longitudinal, los puntos del medio en el cual se propaga vibran en forma paralela a su dirección de propagación.

2.2 MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S.)

2.2.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Cuando un objeto realiza un movimiento en el cual va y viene sobre la misma trayectoria, decimos que esta vibrando u oscilando entre dos puntos, en el cual la fuerza que actúa sobre el objeto es proporcional a su distancia a la posición de equilibrio, el movimiento vibratorio se denomina movimiento armónico simple (MAS).

La distancia entre la posición de equilibrio y la posición extrema ocupada por un cuerpo que oscila se denomina amplitud (A), del movimiento.

El tiempo que un objeto tarda, en efectuar una vibración competa se denomina periodo (T) del movimiento. El número de vibraciones completas que el objeto efectúa por unidad de tiempo se denomina frecuencia (f) del movimiento.

Si un objeto oscila con una frecuencia f, su periodo de vibración esta dado por la inversa de la frecuencia es decir T=1/f

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Al aplicar la segunda ley de newton a un objeto que realiza un movimiento armónico simple, es posible establecer la relación entre el periodo T del movimiento, la masa m del objeto, y la constante elástica k (que dependerá del material del cual este formado el objeto) llegando a la siguiente relación

T=2 π √ mk

Esta ecuación permite calcular el periodo T del movimiento armónico simple cuando conocemos los valores de m y k. al analizar esta expresión vemos que:

1. cuanto mayor sea la masa del objeto mayor será su periodo de oscilación es decir, un objeto de mayor masa oscila con menor frecuencia2. cuanto mayor sea la constante elástica, tanto menor será el periodo de oscilación; o sea, tanto mayor será la frecuencia con la cual oscila el objeto

3. la amplitud no aparece en la expresión T=2 π√m /k , por tanto el periodo no depende de la amplitud

2.2.2 LEY DE HOOKE

Las deformaciones elásticas son directamente proporcionales a las fuerzas que las producen.

Una de las aplicaciones de la ley de Hooke ocurre con lo aparatos para medir fuerza los llamados dinamómetros, ya que se conforman de un material que se deforma elásticamente, esta propiedad de los sólidos debe ser tomada en cuenta en todas las construcciones, lo mismo que en la fabricación de toda clase de maquinas para que todas las partes de ellas reciban y ejerzan fuerzas que sean menores a los limites elásticos, porque de otra forma se deformaran permanentemente o simplemente se romperán.

2.2.3 CALCULO DE POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN DEL M.A.S.

Ejemplo 1: A una altura de 3.5 metros cuelga un resorte, que sostiene un peso de 7 N, se mueve con una frecuencia de 6 ciclos sobre segundo y la energía total del sistema es de 14 J. encuentre: la velocidad, el periodo, la energía cinética, la energía potencial, la longitud y la velocidad máxima.

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Con ayuda del formulario y en base a los datos proporcionados, se empieza a observar y ver que datos se puede obtener con la información proporcionada, de lo que se deduce que el primer dato que se puede encontrar es la velocidad con la siguiente fórmula:

v=√ km

( A2−x

2 )

Detalle: no se cuenta en primera instancia con ninguno de los datos solicitados más sin embargo con la información proporcionada y con ayuda del formulario se puede obtener lo que la formula nos pide; lo primero y más fácil es encontrar la masa, ya que lo podemos obtener por medio del peso de la siguiente forma:

m= Pg

= 79.8

=. 714kg

Una vez obtenida la masa se puede con ayuda de la misma encontrar la constante de elasticidad (k) despejando la formula:

f =12 π √k

m despejando tenemos: k= ( 2 fπ )2 m

( ( 2 ) (6 ) ( π )) 2 ( .714 )=1014 . 753

Con el dato que vamos obteniendo lo usamos para encontrar el siguiente dato que sería nuestra amplitud (A) despejando de la siguiente formula y obteniendo:

ε= kA2

2 despejando tenemos: A=√2 ε

k=√ (2 ) ( 14 )

1014 . 753=. 166

Para encontrar la x, que sería nuestro último dato para poder encontrar velocidad empleamos:

x=√2 mghk

=√ (2 )(. 714)(9 .8 )(3. 5)1014 . 753

=.219

Ya con los datos obtenidos por fin podemos obtener la velocidad con nuestra primer formula:

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v=√ km

( A2−x

2 )=√1014 .753. 714

( .1662−. 219

2 )=−5.385

Lo siguiente que nos piden encontrar es la energía cinética, para lo cual utilizaremos:

Ec=mv2

2=

( . 714)(−5 .385)2

2=10 .352

IMPORTANTE: chequén que se está resolviendo según la información que se va obteniendo NO es a discreción (como se les dé la gana) de ustedes, si necesitan en alguna fórmula y el dato no lo tienen, hay que buscar dicho dato para poder emplearla.

Después buscaremos la energía potencial empleando:

Ep=kx2

2=

(1014 .757)( . 219)2

2=24 .334

Ahora procederemos a encontrar la longitud del medio (L) para lo cual despejaremos la formula:

v=√ fm

L

obteniendo L=mv2

f=

( .714 )(−5385)2

6=3 . 450

Con el dato obtenido ya podemos encontrar la tensión empleando la formula:

T= 2 π √ L

g=2 π √3 . 450

9. 8=3 .728

Ahora buscaremos la velocidad máxima empleando:

v= √ 2 Em

=√ (2)(14 ). 714

=6. 262

Para encontrar la distancia recorrida emplearíamos y despejaríamos:

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k=mgd 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑=mg

k=

( . 714 )(908 )1014 .757

=. 0068

Y ya con la distancia podemos encontrar el tiempo de la formula:

𝑣=𝑑/𝑡 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜…..𝑡=𝑑/𝑣=(.0068)/(−5.385)=−.00126Y si deseamos saber cuántas veces reboto el resorte emplearemos:

f =nv

2 L 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜……… n= f 2 Lv

=(6 )(2 )(3 .450)

−5 .385=−7688

Y finalmente para encontrar la longitud de onda en el movimiento del resorte empleamos:

λ=2 Ln

=(2)(3 . 450)

−7. 688=−. 897 𝑜 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎

f = vλ∴ λ= v

f=−5 .385

6=−.897

2.3 PÉNDULO SIMPLE Y COMPUESTO

2.3.1. CONCEPTOS GENERALES SOBRE PÉNDULO

El peso del disco del péndulo, mg, puede dividirse en dos componentes. Una componente, a lo largo de la cuerda, es igual en magnitud, pero opuesta, a la tensión en la cuerda y, por consiguiente, queda completamente equilibrada. La otra componente, mostrada como F en la figura, no es contrarrestada por fuerza alguna y se le conoce como fuerza restauradora.

F=mgL

x

En base a la ley de Hooke tenemos que la constante de elasticidad del resorte es.

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k=mgL

T=2 π √ Lg

Esta expresión nos indica que:

1. cuanto mayor sea la longitud del péndulo, tanto mayor será su periodo.

2. cuanto mayor sea el valor de la aceleración de la gravedad en el lugar donde oscila el péndulo, tanto menor será su periodo.

3. el periodo del péndulo no depende de su masa ni de la amplitud de la oscilación, pues estas magnitudes no aparecen en la expresión de T

2.3.2. SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PÉNDULO SIMPLE

Ejemplo:

Se encuentra un péndulo suspendido a cierta altura, el objeto que se encuentra suspendido de el oscila 20 veces en 10 seg.,

Cuál es el periodo del péndulo?

T= tn=10

20=.50 s

Cuál es la frecuencia de oscilación del péndulo

f =nt=20

10=2vibraciones /seg

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BLOQUE 3

CALOR, LEYES DE LOS GASES Y

TERMODINAMICA

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3.1 CONCEPTO DE CALOR

Existe una propiedad de los objetos llamada temperatura, que, entre ciertos límites, la podemos apreciar con nuestros sentidos.

Los objetos en contacto y a diferente temperatura, tienden a igualarla, enfriándose los calientes y calentándose los fríos.

La energía que pasa de un objeto caliente a uno frio se llama energía térmica o calor. El calor es la causa y la elevación de la temperatura.

3.1.1 FORMAS DE PROPAGACIÓN DEL CALOR (CONDUCCIÓN, CONVECCIÓN Y RADIACIÓN)

El calor se puede transmitir de tres modos:

Por conducción en sólidos Por convección en los fluidos Por radiación a través del espacio

La conducción del calor por los sólidos es diferente para todos, siendo mejor en los metales y por lo general difícil en los objetos no metálicos.

Es un intercambio de energía que va de los objetos de mayor temperatura a los de menor temperatura.

3.1.2 UNIDADES DE CALOR (CALORÍA, KILOCALORÍA, UNIDAD TÉRMICA BRITÁNICA (BTU) Y JOULE)

La unidad de medida del calor en el Sistema Internacional de Unidades es la misma que la de la energía y el trabajo: el Joule (unidad de medida).

Otra unidad ampliamente utilizada para la cantidad de energía térmica intercambiada es la caloría (cal), que es la cantidad de energía que hay que

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suministrar a un gramo de agua a 1 atmósfera de presión para elevar su temperatura 1 °C. La caloría también es conocida como caloría pequeña, en comparación con la kilocaloría (kcal), que se conoce como caloría grande y es utilizada en nutrición.

1 kcal = 1000 calJoule, tras múltiples experimentaciones, estableció el equivalente mecánico del calor.

1 cal = 4,184 J

El joule (J) es la unidad de energía en el Sistema Internacional de Unidades, (S.I.).

El BTU, (o unidad térmica británica) es una medida para el calor muy usada en Estados Unidos y en muchos otros países de América. Se define como la cantidad de calor que se debe agregar a una libra de agua para aumentar su temperatura en un grado Fahrenheit, y equivale a 252 calorías.

3.1.3 CAPACIDAD CALORÍFICA, CALOR LATENTE Y CALOR ESPECÍFICO

Capacidad calorífica

Suponga que a un objeto A se le proporciona una cantidad de calor igual a 100 cal, y que su temperatura se eleva 20°C. Pero si se suministra esa misma cantidad de calor (100 cal) a otro objeto B, podemos observar un aumento de temperatura diferente, por ejemplo, de 10°C. Por tanto, al proporcionar la misma cantidad de calor a objetos distintos, en general, estos presentan diferentes variaciones en sus temperaturas. Para caracterizar este comportamiento de los objetos se define una magnitud llamada capacidad calorífica, de la siguiente manera:

Si un objeto recibe una cantidad de calor Q y su temperatura varia en t, la capacidad calorífica de este objeto está dada por

C=QT

Así al calcular las capacidades caloríficas de los objetos A y B mencionados tendremos

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C=QT

=10020

=5cal

° C C=Q

T=100

10=10

cal°C

Con los resultados podemos decir que mientras mayor sea la capacidad calorífica de un objeto, tanto mayor será la cantidad de calor que debemos proporcionarle para producir determinado aumento de temperatura, y de la misma manera, tanto mayor será la cantidad de calor que cederá cuando su temperatura sufra una determinada reducción.

Calor especifico

De manera general, el valor de la capacidad calorífica varia de un objeto a otro. Independientemente de que estén hechos del mismo material, dos objetos pueden teer distintas capacidades caloríficas, pues sus masas pueden ser diferentes.

Si un objeto de masa m tiene una capacidad calorífica C, el calor especifico, c, del material, que constituye el objeto esta dado por

c=Cm

3.2 LEYES DE LOS GASES

3.2.1 CONCEPTO DE GAS IDEAL

Gas, su principal composición son moléculas no unidas, expandidas y con poca fuerza de atracción haciendo que no tengan volumen ni forma definida provocando que este se expanda para ocupar todo el volumen del recipiente que lo contiene con respecto a los gases las fuerzas gravitatoria y de atracción entre partículas resultan insignificantes.

gas ideal o gas perfecto es un hipotético gas partículas idénticas que consisten en del volumen cero, sin fuerzas intermoleculares, donde el componente átomos o moléculas experimente perfectamente colisiones elásticos con las paredes del envase y de y esté en el movimiento al azar constante. Gases verdaderos no se comporte según estas características exactas, aunque la aproximación es a menudo bastante buena describir los gases verdaderos.

Estas cuatro características que constituyen un gas ideal se pueden recordar fácilmente por las siglas PRIE, para las cuales está parado;

- las moléculas no ocupan ningún volumenING. SERGIO BRIONES

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- las moléculas están en el movimiento al azar constante

- hay NO fuerzas intermoleculares entre las partículas

- las colisiones que implican las moléculas del gas son totalmente elásticos

Las condiciones en las cuales un gas verdadero se comportará cada vez más como un gas ideal es cualquiera en mismo las temperaturas altas y en las presiones muy.

3.2.2 TEORÍA CINÉTICA DE LOS GASES

Las propiedades de los gases se explican suponiendo que las moléculas que gorman un gas están separadas, relativamente, y moviéndose en forma rápida en línea recta hasta no chocar con otra molécula o con las paredes del recipiente. Este movimiento es completamente desordenado o aleatorio, por lo que si el volumen del depósito aumentara, algunas moléculas se moverán llenando ese espacio.

Los gases ocupan siempre todo el volumen del depósito

Si la temperatura del gas sube, la rapidez y el ímpetu del movimiento de cada molécula aumenta y en consecuencia la fuerza y la presión también.

Si el volumen del depósito aumenta, la pared tendrá mayor área y la fuerza por unidad de área disminuirá, lo que significa que la presión disminuye.3.2.3 LEY DE BOYLE, LEY DE CHARLES, LEY DE GAY-LUSSAC, LEY GENERAL DEL ESTADO GASEOSO

Ley de Boyle

Si la temperatura no cambia, las presiones que soporta una cierta cantidad de gas, son inversamente proporcionales a los volúmenes que ocupa.

P1V1 = P2V2

Ejemplo:

Una cierta cantidad de gas, presentaba un volumen de 24m3 cuando la presión a que se encontraba sometido era de 36000 Pascales. Si su temperatura no cambia, que volumen presentara dicho gas, cuando la presión sea de 54000 Pascales.

ING. SERGIO BRIONES

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P1 V 1=P2 V 2 despejando V 2=P1V 1

P2

=(36000 )(24 )54000

=16 m3

Ley de gay Lussac

El volumen ocupado por un gas ideal, a presión constante, es directamente proporcional a su temperatura absoluta.

V f

V o

=T f

T o

Las temperaturas inicial y final están dadas en grados kelvin

Ejemplo:

100m3 de un gas a presión constante se calientan de 20°C a 70°C cuanto valdrá el volumen final del gas?

V f

V o

=T f

T o

despejando V f=V oT f

T o

=(100 )(343 )293

=117 .064m3

Ley de Charles

La presión que ejerce un gas, a volumen constante es directamente proporcional a su temperatura absoluta.

Pf

Po

=T f

T oEjemplo:

Un gas ejerce 100 atmosferas de presión a 27°C que presión se ejerce a -73°C?

Pf

Po

=T f

T o

despejando P f=PoT f

T o

=(100)(200)300

=66 . 66 atm

Ley general de los gases

El volumen ocupado por la unidad de masa de un gas ideal, es directamente proporcional a su temperatura absoluta, e inversamente proporcional a la presión que recibe.

PV = CmT

C es una constante la cual es diferente para cada gas

ING. SERGIO BRIONES

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gas

(kJ/kg K) (KJ / kg K)

gas (KJ /

kg K)

gas (KJ / kg K)

gas (KJ / kg K)

Acetone Acetona

0.15 0.15

Carbon dioxide

Dióxido de carbono

0.189

0.189

Bromine Bromo

0.05 0.05

Hydrogen Hidrógeno

4.12 4.12

Acetylene Acetileno

0.319

0.319

Carbon monoxide Monóxido

de carbono

0.297

0.297

Hydroxyl Hidroxilo

0.489 0.489

Hydrogen Chloride El cloruro de hidrógeno

0.23 0.23

Air Aire

0.287

0.287

Carbon disulphide disulfuro

de carbono

0.12 0.12

Methane Metano

0.518 0.518

Propane Propano

0.189 0.189

Alcohol Alcohol

0.22 0.22

Chlorine Cloro

0.12 0.12

Methyl Chloride El cloruro de metilo

Propene (propylene) Propeno (propileno)

0.18 0.18

Alcohol Alcohol

0.39 0.39

Chloroform

Cloroformo

0.08 0.08

Natural Gas Gas Natural

0.5 0.5Butane Butano

0.143 0.143

Ammonia Amoniaco

0.53 0.53

Helium Helio

2.08 2.08

Neon Neón

0.412 0.412

Nitrogen tetroxide Tetróxido

de nitrógeno

0.09 0.09

Argon 0.20 Ethane 0.27 Nitric 0.277 Nitrous 0.18

ING. SERGIO BRIONES

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Argón8

0.208

Etano6

0.276

Oxide El óxido nítrico

0.277oxide El

óxido nitroso

0.18

Benzene Benceno

0.1 0.1

Ether Éter0.06 0.06

Nitrogen Nitrógeno

0.297 0.297

Oxygen Oxígeno

0.260 0.260

Blast furnace gas Gas de alto horno

0.3 0.3

Ethylene Etileno

0.296

0.296

Otra forma de la ley general de los gases nos dice que; el producto de la presión por el volumen de un gas ideal es directamente proporcional a su temperatura absoluta. Es decir:

PoV o

T o

=Pf V f

T f

Ejemplos:

Un tanque de 40 litros contiene 50 kg de propano a 27°C. a que presiones Se encuentra el gas?

PV=CmT despejando P=CmTV

=(. 189)(50 )(300). 04

=70875N

m2

100 m3 de aire a 5 atm y 100°C se pasan a 1 atm y a 0°C. calcule el nuevo volumen que ocupa el aire.

PoV o

T o

=Pf V f

T f

despejando V f=Po V o T f

Pf T o

=(5 )(100 )(273 )

(1)(373 )=365. 95 m3

Transformación isotérmica

Es cuando un gas modifica su densidad y volumen, por efecto del crecimiento o reducción de la temperatura tomando en cuenta que la masa no varía. Presentándose lo siguiente:

Al duplicar la T su duplica el V y la ρ se divide entre 2ING. SERGIO BRIONES

Page 45: APUNTES TFS 2

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Al triplicar la T, se triplica el V y la ρ se divide entre 3Al cuadruplicar la T, se cuadruplica el V y la ρ se divide entre 4

Es decir manteniendo constante la presión de una masa gaseosa, su densidad varía en proporción inversa a su temperatura absoluta.

Transformación isobárica

Es cuando un gas modifica su densidad y volumen, por efecto del crecimiento o reducción de la presión tomando en cuenta que la masa no varía. Presentándose lo siguiente:

Al duplicar la P el V queda dividido entre 2 y la ρ se duplicaAl triplicar la P, el V queda dividido entre 3 y la ρ se triplicaAl cuadruplicar la P, el V queda dividido entre 4y la ρ se cuadruplica

Ejemplos

En base a un cilindro de 190 cm de diámetro, el cual contiene un gas, complete la siguiente tabla y mencione si el gas en el recipiente, está sufriendo una transformación isobárica o isotérmica.

T = PAd d = V/A F = T/d

V 2=P1V 1

P2

ρ2=ρ1V 1

V 2

P V PV ρ T F d A.025 14 .35 .4 0.35 .070 4.94

2.83

.05 7 .35 .8 0.35 0.14 2.47.075 4.66 .34 1.20 0.35 0.21 1.65.1 3.49 .34 1.60 0.35 0.28 1.23

.125 2.79 .34 2 0.35 0.35 0.99.15 2.32 .34 2.40 0.35 0.42 0.82.175 1.98 .34 2.81 0.35 0.50 0.70.2 1.73 .34 3.21 0.35 0.57 0.61.3 1.15 .34 4.82 0.35 0.85 0.41.5 .69 .34 8.03 0.35 1.42 0.24

ING. SERGIO BRIONES

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Un gas se encuentra contenido en un recipiente, en base a los datos que se muestran complete la tabla y mencione si dicho gas está sufriendo una transformación isobárica o isotérmica

Ec=3 k (T ° K )

2 v=

Ec 2m

V 2=V 1 T 2

T 1

ρ2=V 1 ρ1

V 2

m=ρV

k=1.38×10−23 ° K =° C+273°C °K V ρ Ec v m-60 213 8 0.3 4.40X10-21 3.67 X10-21 2.4-30 243 7.01 0.34 5.03 X10-21 4.19 X10-21 2.40 273 6.24 0.38 5.65 X10-21 4.70 X10-21 2.430 303 5.62 0.43 6.27 X10-21 5.22 X10-21 2.460 333 5.12 0.47 6.89 X10-21 5.74 X10-21 2.490 363 4.69 0.51 7.51 X10-21 6.26 X10-21 2.4120 393 4.34 0.55 8.13 X10-21 6.77 X10-21 2.4240 513 3.32 0.72 1.06 X10-21 8.84 X10-21 2.4480 753 2.26 1.06 1.55 X10-21 1.29 X10-21 2.4960 1233 1.38 1.74 2.55 X10-20 2.12 X10-21 2.4

3.2.4 CONSTANTE UNIVERSAL DE LOS GASES

0.082 atmosfera*litro/mol*kelvin. La constante universal de los gases ideales es una constante física que relaciona entre si diversas funciones de estado termodinámicas, estableciendo esencialmente una relación entre la energía, la temperatura y la cantidad de materia.

En su forma más particular la constante se emplea en la relación de la cantidad de materia en un gas ideal, medida en número de moles (n), con la presión (P), el volumen (V) y la temperatura (T), a través de la ecuación de estado de los gases ideales

3.3 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE LA TERMODINÁMICA

3.3.1 TRABAJO EN PROCESOS TERMODINÁMICOS

Se considera un gas contenido en un cilindro provisto de un pistón, sobre el cual actúa la presión atmosférica P, cuando la temperatura del gas aumenta, el gas se expande a presión constante, cuando el gas se expande ejerce una fuerza F sobre el pistón y le produce un incremento en su

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volumen ∆V, de tal modo que el trabajo realizado por el gas sobre el pistón está dado por:

W = P*∆V

3.3.2 PRIMERA LEY DE TERMODINÁMICA

La primera ley de la termodinámica establece que, cuando se añade calor Q a un sistema mientras éste efectúa trabajo W, la energía interna U cambia en una cantidad igual a Q – W.

La primera ley de termodinámica es la misma ley del principio de conservación de la energía, la cual exige que para todo sistema termodinámico se cumpla:

∆U = Q-W

Siendo ∆U la energía interna del sistema.

Entonces, de la primera ley de la termodinámica se tiene que “el trabajo neto W realizado por la máquina es igual al calor neto que fluye hacia la misma”. De la figura 15.1, el calor neto es Qneto = QC - QF, por lo tanto el trabajo es:

W = QC - QF (15.1)

donde QC y QF se toman como cantidades positivas. Si la sustancia de trabajo es un gas, el trabajo neto realizado en un proceso cíclico es igual al área encerrada por la curva que representa a tal proceso en el diagrama PV.

3.3.3 MAQUINAS TÉRMICAS Y SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA

Una máquina térmica es aquella que convierte el calor en trabajo, aprovecha comúnmente el cambio de volumen de un fluido para obtener trabajo

Eficiencia térmica.La eficiencia térmica, e (o simplemente eficiencia), de una máquina térmica se define como la razón entre el trabajo neto realizado y el calor absorbido durante un ciclo, se escribe de la forma:

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Se puede pensar en la eficiencia como la razón de lo que se obtiene (trabajo mecánico) a lo que se paga por (energía). Este resultado muestra que una máquina térmica tiene una eficiencia de 100% (e = 1) sólo si QF = 0, es decir, si no se libera calor a la fuente fría. En otras palabras, una máquina térmica con una eficiencia perfecta deberá convertir toda la energía calórica absorbida QC en trabajo mecánico. La segunda ley de la termodinámica, que enseguida analizamos, establece que esto es imposible.

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VIE

611

408

407

407

R

E

C

E

S

O

409

409

JUE

AS E D 407

610

612

408

MI

E 608

408

407

610

611

409

TU

T

MA

R

608

611

407

409

D 610

612

LU

N

409

608

612

408

408

13:2

0 –

14:1

0

14:2

0 –

15:0

0

15:0

0 –

15:5

0

15:5

0 –

16:4

0

16:4

0 –

17:0

0

17:0

0 –

17:5

0

17:5

0 –

18:4

0

18:4

0 –

19:3

0

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II

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