Aquiles, la tortuga y lo infinitamente pequeño

Con esta

entrada Hablando de Ciencia participa en la edición 2.10 del Carnaval de

Matemáticascelebrado en Resistencia Numantina.

Se dice que un día Aquiles, el más grande de los

guerreros, héroe de Troya y verdugo de Héctor en combate singular, fue retado a una carrera

no por un campeón que anhelara arrebatarle su gloria, sino por una simple tortuga. Aquiles,

sorprendido, rechazó el duelo por considerarlo poco digno de su condición de hijo de Dioses,

pero la tortuga se mostró tenaz y propuso que, para anular toda superioridad que pudiera

tener, este no tomaría la salida hasta que ella hubiese ganado nada más y nada menos que

un estadio de ventaja.

Finalmente Aquiles dio su aún invicto brazo a torcer y accedió a aceptar tan extravagante reto,

pues consideró que la ventaja que daba a la tortuga era tal que permitiría afianzar aún más su

reconocimiento como el más veloz de los hombres. La carrera comenzó, y Aquiles esperó a

que la tortuga recorriera el primer estadio con la paciencia de la que sólo es capaz el guerrero

que ha velado mil batallas. Cuando lo hizo, se lanzó como un rayo hacia la meta deslizándose

sobre el suelo tan rápido que habría dejado atrás al más veloz de los corceles, pero a la vez

tan grácilmente que habría ganado con facilidad el favor de la damisela de corazón más frío.

Llegó Aquiles al primer estadio y vio que la tortuga había recorrido apenas sesenta pies.

Pensó que ya tenía la carrera ganada, pues corría diez veces más rápido que su rival, pero

cuál fue su sorpresa al ver que, al avanzar esos sesenta pies, la tortuga se encontraba todavía

a seis pies de distancia. Recorrió esos seis pies decidido a dar alcance a la tortuga, pero para

cuando lo logró ésta se hallaba a tres quintas partes de un pie de donde él se encontraba. Y

aunque Aquiles alcanzó pronto esas tres quintas partes, para cuando llegó la tortuga ya había

conseguido avanzar tres partes entre cincuenta más. De esta manera Aquiles, el de los pies

ligeros, nunca fue capaz de dar alcance a la tortuga, pues cada vez que llegaba al lugar donde

ella había estado un instante antes ésta ya se había desplazado un poco más allá.

Esta historia (de la que me he permitido redactar una versión libre) es una de las

conocidasparadojas de Zenón, concretamente la paradoja de Aquiles y la tortuga. Se trata de

un sofisma, un razonamiento lógico que aparenta ser correcto pero no lo es, pues

evidentemente Aquiles le pegaría una soberana paliza a la tortuga en una carrera real. Existen

muchas formas de rebatir a Zenón en su paradoja (como pueden comprobar aquí), pero más

que hablarles de lo acertado o no del relato, me gustaría describir un concepto matemático de

gran importancia que se esconde en él: el de lo infinitamente pequeño.

Probablemente sin ser consciente de ello Zenón aportó uno de los mejores ejemplos que

existen para  entender que el infinito no consiste simplemente en

comenzar a contar y no parar jamás. El concepto clásico de infinito, el que relacionamos

intuitivamente con las cosas infinitamente grandes, es el referido al cardinal de los números

naturales, es decir, a la cantidad de números naturales que existen. Sin embargo lo que se

describe en la paradoja es una idea muy diferente.

Aquiles, aunque va 10 veces más rápido que la tortuga, recorre primero 1 estadio (600 pies), a

los que suma 60 pies, después 6 pies más, luego otros 6/10=3/5, y así va añadiendo

sucesivamente 3/50, 3/500, 3/5000 pies… Como se puede seguir indefinidamente dividiendo

por diez cada distancia recorrida, en su camino para alcanzar a la tortuga Aquiles se ve

obligado a recorrer una cantidad infinita de espacios que llegan a ser infinitamente pequeños,

en el sentido de que, por muy reducidos que sean, el espacio siguiente siempre será más

diminuto que el anterior.

Más aún, si aplicamos el mismo razonamiento a su rival, la tortuga irá poniendo también de

por medio infinitos espacios infinitamente pequeños, manteniéndose siempre alejada de su

perseguidor aunque sólo sea por un poco. Como además no parece posible recorrer infinitos

espacios en un tiempo finito, Zenón concluye que Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.

Estos espacios representan un concepto de infinito, diferente al de los números naturales y

que podemos relacionar con lo infinitamente pequeño, que surge del hecho de que entre dos

números cualesquiera siempre se pueden encontrar infinitos números más, por ejemplo: entre

el 666 (600+60+6) y el 667 encontramos el 666.6 (666+3/5), el 666.66 (666.6+3/50), 666.666

(666.66+3/500) etcétera. Basándose en esta propiedad Zenón concluyó en su paradoja que,

debido a que el espacio se puede dividir en trozos infinitamente pequeños, el movimiento no

era posible, y por tanto debía ser mera ilusión.

Pero la realidad no es así, y lo sabemos. ¿Quién se equivoca entonces? ¿Las matemáticas o

Zenón? Aunque hoy en día nos pueda parecer absurdo Zenón tenía razones sólidas para

pensar que su conclusión era la acertada, pues en su forma de pensar la razón era una

herramienta más potente y mucho más fiable que los sentidos, que nos pueden engañar

fácilmente. Así, si utilizando la lógica se llegaba a la conlusión de que el movimiento no era

posible, entonces es que no lo era por mucho que nuestros ojos vieran a Aquiles adelantar a

la tortuga.

Pero las matemáticas por aquella época andaban aún en pañales y con las herramientas que

se manejaban entonces no era fácil dar con una explicación que convenciera al bueno de

Zenón (por no decir que era imposible). Sin embargo, alrederor de dos mil años después se

encontró una forma de sumar cantidades infinitamente pequeñas como las que aquí aparecen,

y además cuando se logró los matemáticos se dieron cuenta que algunas de estas sumas dan

lugar a valores finitos. Y por suerte para Aquiles, las sumas infinitas que la tortuga pretendía

utilizar para ganar la carrera son de estas últimas (pueden ver en esta figura cuál es el valor

de la suma en este caso).

Aquiles alcanza a la tortuga a los 2000/3 pies de su salida

Por lo tanto las matemáticas acabaron por resolver la paradoja* demostrando que, aunque

Aquiles necesita recorrer infinitos tramos infinitamente pequeños para alcanzar a la tortuga,

éstos sumados forman una distancia finita que se puede recorrer en un tiempo determinado. Y

así al final Aquiles alcanza a la pobre tortuga, que derrotada no puede hacer más que rendirse

ante la evidencia.

- Bueno, lo importante es participar – dijo la tortuga con resignación cuando el hijo de Tetis

pasó a su lado corriendo como si persiguiera al mismísimo Ares.

Javier Oribe