arbeid og potensiell energi

FYS-MEK 1110 05.03.2014 1

Arbeid og potensiell energi

05.03.2014

FYS-MEK 1110 05.03.2014 2

energibevaring )(xFdx

dU

Konservative krefter:

vi kan finne en potensialfunksjon U(x) slik at:

fjær: 2

0 )(2

1)( xxkxU

)()( 0xxkdx

dUxF

vertikal kast: mgxxU )(

mgdx

dUxF )(

atom i

krystall: )

2cos(

2)( 0

b

xbFxU

b

xF

dx

dUxF

2sin)( 0

x

F

b

FYS-MEK 1110 05.03.2014 3

)()()()()( 10011,0

1

0

xUxUxKxKdxxFW

x

x

arbeid-energi teorem:

EUKUK 1100

mekanisk energi

er bevart

vi kan velge nullpunktet x0

uten konsekvens for kraften

kraft er bare

posisjons-

avhengig

arbeid

uavhengig

av veien

mekanisk

energi er

bevart

)(xFdx

dU kraft er

konservativ

potensiell energi:

x

x

dxxFxUxU

0

)()()( 0

potensial til kraften F

FYS-MEK 1110 05.03.2014 4

Kraften F virker på en partikkel som beveger seg langs

x-aksen. Ved hvilke(t) av de avmerkede verdiene for x

er den potensielle energien maksimal?

http://pingo.upb.de/ access number:7182

x

F

O x 1

x 2

x 3 x 4 x 5

x 6

x 7

1. Ved x1 og x5

2. Ved x4

3. Ved x1, x3, x5 og x7

4. Ved x2 og x6

5. Ved x3 og x7

0)( xFdx

dUpotensiell energi U(x) har ekstremverdi ved:

maksimum hvis: 02

2

dx

Ud0

2

2

dx

dF

dx

dU

dx

d

dx

Ud

0dx

dFstigning av F positiv i x3 og x7

FYS-MEK 1110 05.03.2014 5

Flere krefter

flere konservative krefter virker på et legeme langs x-aksen: i

i xFF )(net

1

0

1

0

)()(net1,0

x

x i

i

x

x

dxxFdxxFW i

x

x

i dxxF1

0

)(

siden kreftene Fi(x) er konservativ: )(xFdx

dUi

i

i

x

x

i dxdx

dUW

1

0

1,0 i

x

x

i dxdx

dU0

1

i

ii xUxU )()( 10 i i

ii xUxU )()( 10

arbeid-energi teorem: 011,0 KKW

i

i

i

i xUKxUK )()( 1100

i

i xUxU )()(med: energibevaring: )()( 1100 xUKxUK

FYS-MEK 1110 05.03.2014 6

Eksempel: Fjærkanon

fjær med likevektslengde y1

og fjærkonstant k

Hvor høyt kommer klossen?

krefter: gravitasjon, fjærkraft

begge er konservativ

1

1

2

1

0

)(2

1

)()()(

yy

yyyykmgyyUyUyU kG

vi kan direkte sammenligne energi ved tid t0 og t2:

)()( 2200 yUKyUK

2

2

100 0)(2

10 mgyyykmgy

2

1002 )(2

yymg

kyy

FYS-MEK 1110 05.03.2014 7

Hvordan finner vi potensialet til en konservativ kraft?

x

x

dxxFxUxU

0

)()()( 0

)(xFdx

dU

x

x

x

x

dxxFdxdx

dU

00

)(

x

x

dxxFxUxU

0

)()()( 0

x0

eksempel: fjærkraft

)()( 0xxkxF

x

x

dxxFxUxU

0

)()()( 0

x

x

dxxxkxU

0

)()( 00

0

0

0 )(

xx

xdxkxU 2

00 )(2

1)( xxkxU

vi kan velge U(x0), f. eks. 0)( 0 xU

2

0 )(2

1)( xxkxU

hva hvis

kraften er meget komplisert

vi kjenner kraften fra måling numerisk integrasjon x

x

dxxF

0

)(

FYS-MEK 1110 05.03.2014 8

B

A

x

x

dxxF )(numerisk integrasjon

vi deler intervallet i n små intervaller: n

xxx AB xixx Ai

1

0

1

)()(n

i

x

x

x

x

i

i

B

A

dxxFdxxF

1

0

)(n

i

i xxF

bedre tilnærming enn rektangel: trapes

1

0

1)()(2

1)(

n

i

ii

x

x

xxFxFdxxFB

A

FYS-MEK 1110 05.03.2014 9

eksempel: xexxF )sin(2)( 2

55396.0)sin(20

2 dxex x

x

x

xdxFxUxU

0

)()()( 0 0)( 0 xU

)(2))(sin(2)( ixeixiF

1

0

1)()(2

1n

i

ii xxFxFI

cumulative

trapezoidal

integration

55396.0)( U

F=0 maksimalverdi til U

?)(xU

FYS-MEK 1110 05.03.2014 10

Grafen viser den potensielle energien

til en partikkel som beveger seg langs

x-aksen. Partikkelen starter ved x=x4

og beveger seg i negativ x-retning.

Ved hvilke(t) av de merkede punktene

er kraften på partikkelen null?


x O

U

x 1

x 2

x 3 x 4

1. Ved både x1 og x3

2. Kun ved x2

3. Kun ved x4

4. Ved både x2 og x4

0dx

dUF

stigning for funksjonen U(x) er null i x2 og x4

FYS-MEK 1110 05.03.2014 11

Grafen viser den potensielle energien

til en partikkel som beveger seg langs

x-aksen. Partikkelen starter ved x=x4

og beveger seg i negativ x-retning.

Ved hvilket av de merkede punktene

er farten størst?


x O

U

x 1

x 2

x 3 x 4

1. Ved x=x1

2. Ved x=x2

3. Ved x=x3

4. Ved x=x4

konstant )( ii xUKE

kinetisk energi er maksimal når

potensiell energi er minimal ved x2

FYS-MEK 1110 05.03.2014 12

Energidiagrammer

)()( xymgxU

)(xyenergibevaring:

)()()()( 00 xUxKxUxKE

0)()()( 0 xUxUxK

0)( 0 xKhvis

)()( 0xUxU

FYS-MEK 1110 05.03.2014 13

atom er ”fanget” i

potensialet og svinger

frem og tilbake

kinetisk energi

kan bli null x

U

b

maxUUKE

x

U

b

maxUUKE

0)( xK

atomet kan bevege

seg overalt

FYS-MEK 1110 05.03.2014 14

En partikkel befinner seg i posisjon

x = a med total energi E.

Hva kommer til å skje?


1. Partikkelen forblir i ro ved x=a.

2. Partikkelen svinger om posisjon x=a.

3. Partikkelen svinger frem og tilbake

mellom x=a og x=b.

4. Partikkelen slipper unna mot

uendelig i negativ x retning.

5. Ikke nok informasjon for å avgjøre.

konstant )()( xUxKE

)()( xUExK

x = a: vi antar at v > 0

partikkelen beveger seg mot høyre

c

x

x = c: K = 0 v = 0

0dx

dUF kraft mot venstre

partikkelen snu og har negativ hastighet fremover

FYS-MEK 1110 05.03.2014 15

Likevekt

0dx

dU0

dx

dUF

partikkel i x2 med v=0

partikkel blir i x2

litt kinetisk energi

partikkel svinger med

små amplitude rund x2

0dx

dU0

dx

dUF

partikkel i x3 med v=0

partikkel blir i x3

litt kinetisk energi

partikkel beveger seg enten mot x1

eller mot x2 og fjerner seg langt fra x3

minimum i potensiell energi

stabilt likevektspunkt

maksimum i potensiell energi

ustabilt likevektspunkt 02

2

dx

Ud

02

2

dx

Ud

arbeid og potensiell energi

Documents