arboles balanceados

Clase 32: rbol balanceado AVL

Estructuras de datos (Prof. Edgardo A. Franco)

1Prof. Edgardo Adrin Franco Martnez http://computacion.cs.cinvestav.mx/~efranco

@efranco_escom

[email protected]

Contenido Problema de los rboles binarios de bsqueda Variantes de los rboles binarios de bsqueda rbol balanceado AVL

Definicin Condicin de equilibrio Caractersticas Operaciones sobre un AVL

Insertar nodos Balancear Eliminar Nodos Calcular altura

Complejidad de la bsqueda Ordenes de complejidad Bsquedas y recorridos Ejercicios de rboles AVL

Insercin de claves Eliminacin de claves

Liga Web

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2

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AV

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nco

Mar

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ez

2

Problema de los rboles binarios de bsqueda Los rboles binarios, son eficientes en las operaciones de

bsqueda, insercin y eliminacin cuando el rbol crece odecrece descontroladamente, la eficiencia de la estructura dedatos decae.

Una situacin critica es cuando se insertan elementosordenados.

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3

Insertar los datos 15,18,30,60

15

18

30

60

32

11

9

4

Insertar los datos 32,11,9,4,

Se expanden incrementando las comparaciones, operacin de O(N)

Variantes de los rboles binarios de bsqueda

Con el objetivo de mantener la eficiencia en laoperacin de bsqueda surgen modificaciones a lasreglas de operacin del rbol binario de bsqueda.

rbol rojo-negro rbol balanceado (AVL) rbol biselado

Estas variantes presentan ventajas en cuanto alrendimiento que ofrecen a la hora de realizarbsquedas principalmente.

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rbol balanceado AVL La principal caracterstica de estos es la de realizar

reacomodos o balanceos, despus de inserciones oeliminaciones de elementos.

Estos rboles tambin reciben el nombre de AVL(autores: 2 matemticos rusos G.M. Adelson-Velskii y E.M Landis en1962).

Formalmente se define un rbol balanceado comoun rbol de bsqueda, en el cual se debe cumplir lasiguiente condicin: Para todo nodo T del rbol laaltura de los subrboles izquierdo y derecho nodeben diferir en a lo sumo una unidad.

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Definicin Bsicamente un rbol AVL es un rbol Binario de

Bsqueda al que se le aade una condicin deequilibrio.

Para todo nodo la altura de sus subrboles izquierdo y derecho pueden diferir a lo sumo en 1.

Gracias a esta forma de equilibrio (o balanceo), lacomplejidad de una bsqueda en uno de estosrboles se mantiene siempre en orden decomplejidad O(log n).

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Condicin de equilibrio

Para todos los nodos, la altura de la ramaizquierda no difiere en mas de una unidad de la altura de la rama derecha Es

tru

ctu

ras

de

dat

os

32

rb

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alan

cead

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VL

Pro

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gard

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n F

ran

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nez

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Caractersticas Un AVL es un ABB.

La diferencia entre las alturas de los subrboles. derecho eizquierdo no debe excederse en ms de 1.

Cada nodo tiene asignado un peso de acuerdo a las alturasde sus subrboles.

Un nodo tiene un peso de 1 si su subrbol derecho es msalto, -1 si su subrbol izquierdo es ms alto y 0 si las alturasson las mismas.

La insercin y eliminacin en un rbol AVL es la misma queen un ABB.

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Ejemplo de AVL

Slo el rbol de la izquierda es AVL. El de la derecha viola lacondicin de equilibrio en el nodo 6, ya que su subrbolizquierdo tiene altura 3 y su subrbol derecho tiene altura 1.

6

8

741

2

3

1

0

0-1

0

-1

-16

8

7

41

2

3

0 0

00

10

-2

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Equilibrio Equilibrio = (altura derecha ) (altura izquierda)

Describe relatividad entre subrbol derecho ysubrbol izquierdo.

+ (positivo) derecha mas alto (profundo) - (negativo) izquierda mas alto (profundo)

Un rbol binario es un AVL si y slo si cada uno desus nodos tiene un equilibrio de 1, 0, + 1

Si alguno de los pesos de los nodos se modifica enun valor no vlido (2 -2) debe seguirse unesquema de rotacin.

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Desequilibrios Desequilibrio hacia la izquierda (Equilibrio > +1)

Desequilibrio hacia la derecha (Equilibrio < -1)

Operaciones sobre un AVL1. Insertar nodo

2. Balancear

Caso 1 Rotacin simple izquierda RSI Caso 2 Rotacin simple derecha RSD Caso 3 Rotacin doble izquierda RDI Caso 4 Rotacin doble derecha RDD

3. Eliminar nodo

4. Calcular altura

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Insertar un nodo 1. Se usa la misma tcnica que para insertar un nodo

en un ABB ordenado

2. Trazamos una ruta desde el nodo raz hasta unnodo hoja (donde hacemos la insercin).

3. Insertamos el nodo nuevo.

4. Volvemos a trazar la ruta de regreso al nodo raz,ajustando el equilibrio a lo largo de ella.

5. Si el equilibrio de un nodo llega a ser + - 2,volvemos a ajustar los subrboles de los nodospara que su equilibrio se mantenga acorde con loslineamientos AVL (que son +- 1)

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Balancear Caso 1: Rotacin simple izquierda RSI

Si esta desequilibrado a la izquierda (E>+1) y suhijo derecho tiene el mismo signo (+) hacemosrotacin sencilla izquierda.

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Caso 1: Rotacin simple izquierda RSI

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Caso 2: Rotacin simple derecha RSD Si esta desequilibrado a la derecha (E

Caso 2: Rotacin simple derecha RSD

D

0

-1

0 Estr

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Caso 2: Rotacin simple derecha RSD

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Rotacin simple izquierda o derecha. Observaciones:

Se conserva el orden apropiado del rbol. Restablece todos los nodo a equilibrios

apropiados AVL

Conserva el recorrido en orden que el rbolanterior.

Slo se necesita a lo ms modificar 3 apuntadorespara lograr el nuevo equilibrio (con la de la raz)

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Caso 3: Rotacin doble izquierda RDI Si est desequilibrado a la derecha (E< 1), y su

hijo izquierdo tiene distinto signo (+) hacemos rotacin doble izquierda-derecha.

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Caso 3: Rotacin doble izquierda RDI

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Caso 3: Rotacin doble izquierda RDI

Ejercicios de rboles AVL (Edgardo A. Franco)

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Caso 4: Rotacin doble derecha RDD Si esta desequilibrado a la izquierda (E>+1), y su

hijo derecho tiene distinto signo () hacemosrotacin doble derecha-izquierda.

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Caso 4: Rotacin doble derecha RDD

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Caso 4: Rotacin doble derecha RDD


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Eliminar Al eliminar un nodo en un rbol AVL puede afectar

el equilibrio de sus nodos. Entonces hay que hacer rotaciones simples o dobles.

Eliminar un nodo se realiza de la misma manera que en un rbol binario ordenado. Al localizar el nodo que se desea eliminar se realiza el siguiente procedimiento: Si el nodo es un nodo hoja, simplemente lo eliminamos. Si el nodo solo tiene un hijo, lo sustituimos con su hijo. Si el nodo eliminado tiene dos hijos, lo sustituimos por el

nodo que se encuentra mas a la derecha en el subrbol izquierdo o ms a la izquierda en el subrbol derecho.

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Una vez que se ha eliminado el nodo, se tiene queequilibrar el rbol:

Si el equilibrio del padre del nodo eliminado cambia de 0 a+-1 el algoritmo concluye.

Si el padre del nodo eliminado cambio de +-1 a 0, la alturadel rbol ha cambiado y se afecta el equilibrio de suabuelo.

Si el equilibrio del padre del nodo eliminado cambia de +-1 a +- 2 hay que hacer una rotacin. Despus deconcluirla, el equilibrio del padre podra cambiar, lo que, asu vez, podra forzarnos a hacer otros cambios (yprobables rotaciones) en toda la ruta hacia arriba amedida que ascendemos hacia la raz. Si encontramos enla ruta un nodo que cambie de 0 a +- 1 entonces seconcluye.

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Calcular altura Una funcin para calcular la altura a partir de una

posicin puede escribirse recursivamente como:

//Calcula la altura de un rbol a partir de una posicin pint Altura (arbol *a, posicion p){

if(NullNode (a,p))return 0;

// Retornar la mayor altura (Izquierda o Derecha)else

return 1 + Max(Altura (a,LeftSon (a,p)),Altura (a,RightSon (a,p)));}

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Complejidad de bsqueda Los rboles AVL estn siempre equilibrados de tal

modo que para todos los nodos, la altura de la ramaizquierda no difiere en mas de una unidad de laaltura de la rama derecha. Gracias a esta forma deequilibrio (o balanceo), la complejidad de unabsqueda en uno de estos arboles se mantienesiempre en orden de complejidad O(log2 n).

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Ordenes de complejidad

O(f(n)) N=100 N=200 En un t=2h (N=?)

log n 1 h 1.15 h 10000

n 1 h 2 h 200

n log n 1 h 2.30 h 199

n2 1 h 4 h 141

n3 1 h 8 h 126

2n 1 h 1030 h 101

Ejemplo: 1 h de cmputo para un problema detamao N=100.

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Ejercicios de insercin1. Inserte las claves 10 47 38 06 55 90 49 50 51 58

en el rbol balanceado que se da a continuacin.


62

80

22

35-1-1

00

00

-1-1

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Ejercicios de eliminacin2. Elimine las siguientes claves del rbol balanceado siguiente:

73 66 50 47 39 94

39

66

9 37

-1-1

0044 85

22 50 73 90

88 9447

-1-1

-1-111

11

11

00

00 000000

00

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Liga Web Simulacin del funcionamiento de un

rbol AVL

http://www.cs.jhu.edu/~goodrich/dsa/trees/avltree.html

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arboles balanceados

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